2009机械振动基础_CH1
机械振动基础
第9 章 机械振动基础人类生活在充满振动的自然界之中，固体物质中原子的振动、宇宙空间的电 磁振荡、机械钟表钟摆的摆动等，振动现象俯拾皆是。
而机械振动是机械工程和 日常生活普遍可见的力学现象，行驶交通工具的振动、人体脉搏不停息地跳动和 内燃机工作状态的振动等均属此类运动。
机械振动的传播便形成机械波，因此本 章是第10章波动的学习基础。
值得注意的是，机械振动和机械波的基本内容还是 电工学、无线电技术、自动控制技术等科学技术领域的理论基础。
本章将重点介 绍简谐振动及其规律，讨论简谐振动的合成，以及阻尼振动、受迫振动等更接近 客观实际的机械振动模型。
在本章学习过程中，应重视简谐振动的学习，掌握其 动力学方程的建立与求解，简谐振动合成复杂振动的研究等，为机械振动在专业 课程的学习和技术工程中的应用奠定扎实的理论基础。
9.1 简谐振动物体在其平衡位置附近往复运动称为机械振动，简谐振动属于最简单、最基 本的机械振动，是研究复杂振动的基础，因为复杂的振动可由若干简谐振动合成 获得。
由原长为l 、劲度系数为k 的轻弹簧和质量为m的物体构成的弹簧振子如图9.1所示，若不计空气阻力、水平桌面的摩擦力，则该力学系统做简谐振动，应用 牛顿第二定律可以求解其运动方程。
以下通过对弹簧振子的求解，详细介绍简谐 振动问题的求解方法。
以固定于地面的水平桌面为惯性系，选择如图9.1所示的坐 标系，取振动系统的平衡位置为坐标原点O，由胡克定律得到质量为m的振子所 受弹性力与其位移成正比得：=-F kx图9.1 弹簧振子如上式所述，将始终指向振子平衡位置、又与其位移成正比的力称为线性回2大学物理（下册）复力，受到此类力作用的系统一般为简谐振动系统。
由牛顿第二定律可得：22ddxm kxt=- （9.1.1）令 2kmw= （9.1.2） 由式（9.1.1）、（9.1.2）得到：222ddxxtw+= （9.1.3） 式（9.1.3）是振子简谐振动的动力学方程，求解该二阶线性齐次微分方程得 到振子简谐振动的运动方程为：()cos()x t A tw j=+ （9.1.4） 将式（9.1.4）对时间分别求一、二次导数得到振子简谐振动的速度、加速度为：00dsin()dxv A ttw w j==-+ （9.1.5）22000dcos()dva A t xtw w j w==-+=- （9.1.6） 由式（9.1.4）～（9.1.6）可知，物体做简谐振动时，其位移、速度和加速度 均为时间的周期性函数，图9.2给出了相应的函数图像。
机械振动基础
固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程
机械振动基础
机械振动基础1. 引言机械振动是工程中一个重要的概念，在各种机械设备中都会出现振动现象。
了解机械振动的基础知识对于设计、分析和维护机械系统都至关重要。
本文将介绍机械振动的基本概念、分类以及振动分析的方法。
2. 机械振动的概念机械振动是指机械系统中物体在某一参考点附近以往复运动的方式进行振荡。
振动可由外力引起，也可由机械系统本身的结构、弹性特性或制动装置等因素引起。
机械振动可分为自由振动和受迫振动两种形式。
自由振动是指机械系统在无外力作用下，自身的动力系统引起的振动。
受迫振动是指机械系统在外力作用下，强制性地以某种频率进行振动。
3. 机械振动的分类根据振动的特性和产生机制，机械振动可分为以下几类：3.1 自由振动自由振动是机械系统在无外力作用下，由于初位置、初速度或初形状等因素引起的振动。
在自由振动中，机械系统会按照一定的频率（固有频率）和振幅进行振动，直至最终停止。
3.2 受迫振动受迫振动是机械系统在外力作用下进行的振动。
外力的作用可能是周期性的，也可能是随机的。
受迫振动的频率与外力的频率相同或有一定的关系。
3.3 维持振动维持振动是指机械系统中某个部件受到外力作用后，振动会持续存在，没有衰减的现象。
维持振动往往是由于机械系统的频率与外力频率非常接近或相同。
3.4 阻尼振动阻尼振动是指机械系统在振动过程中，由于能量的损耗而逐渐减小振幅的过程。
阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种形式。
4. 振动分析方法为了对机械系统中的振动进行分析和评估，需要采用相应的振动分析方法。
以下是几种常用的振动分析方法：4.1 振动传感器振动传感器是用来检测机械系统中的振动信号的装置。
常用的振动传感器包括加速度传感器、速度传感器和位移传感器等。
这些传感器能够测量机械系统中的振动信号，并将其转化为电信号供后续分析。
4.2 频域分析频域分析是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
通过对振动信号进行傅里叶变换等数学处理，可以将振动信号转化为频谱图并分析其中的频率成分和幅值。
机械振动基础一章的PPT
5
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
实际 系统
简化系统
离散模型 连续体模型
2019年9月22日
简化系统
有限元 模型
对于振动问题的适应性强，应用范围广，
能详细给出各种数值结果，并通过图像
6
显示还可以形象地描述振动过程。
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
静平衡位置
29
1.2 无阻尼系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
u0
m h
u0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
2
a
u02
u0
0
2 2h
u
梁的最大扰度：
2019年9月22日
max A
• 单自由度系统
仅需一个独立坐标来描述的系统。
������ 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度
不2019年9月22日
3
1.1 概述
• 构成机械振动系统的基本元素
构成振动系统的基本元素有惯性(质量) 、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
2019年9月22日 4
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就 称为建模。
第一章 机械振动学基础
当系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时 的自由度数与约束数之差。对于n个质点组成的质 点系，各质点的位移可用3n个直角坐标 来描述。当有r个约束条件，约束方程为：
( x1, y1, z1 ,...,xn , yn , zn )
f k ( x1 , y1 , z1 ,..., xn , yn , zn ) 0 k 1,2,...,r
为了确定各质点的位置，可选取N＝3n-r个独立 的坐标： q j q j ( x1 , y1 , z1 ,...,xn , yn , zn )
j 1,2,3,...,N
来代替3n个直角坐标。这种坐标叫做广义坐标。 在广义坐标之间不存在约束条件，它们是独立的 坐标。广义坐标必须能完整地描述系统的运动， 其因次不一是长度。因为选取了个数为自由度数 N的广义坐标，运动方程就能写成不包含约束条 件的形式。
有两个不同频率的简谐振动
x1 A1 sin 1t x2 A2 sin 2t
若
1 2
x x1 x2 A1 sin 1t A2 sin 2t
则合成运动为：
对于 A2 A1 ，这时有
x1 A1 sin 1t x2 A2 sin(1 )t
从能量角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性 是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质 量来表示。根据牛顿第二定律，有：
d x F m 2 dt
质量的单位是KG。物体的质量是反映其惯性的基 本元件，质量的大小是反映物体惯性的基本物理 参数。
2
典型的恢复性元件是弹簧，该恢复性元件所产 生的恢复力Fs是该元件位移x的函数，即： Fs＝ Fs(x) 其作用方向与位移x的方向相反。当Fs(x)为 线性函数时，即 Fs＝－kx
机械振动基础 第一章 导论
三、离散系统和连续系统
系统的自由度数——定义为描述系统运动所需要的独立坐标的数目。 连续系统——在实际中遇到的大多数振动系统，其质量和刚度都是连续分
布的，通常需要无限多个自由度才能描述它们的振动，它们的运动微分方程 是偏微分方程，这就是连续系统。 离散系统——在结构的质量和刚度分布很不均匀时，或者为了解决实际问 题的需要，往往把连续结构简化为由若干个集中质量，集中阻尼和集中刚度 组成的有限个自由度的系统。它们的运动微分方程是常微分方程。
§1.5 叠加原理
R为微分算子 ——是指微分符号的组合： 拉普拉斯算子 梯度算子 2 2 2 i j k 2 2 2 x y z x y z 每一个线性振动系统均可以用一个线性的运动微分方程或运动微分 方程组描述，而微分方程可以统一写成： R[ x] F (t ) R为微分算子。
X x(t ) max
2．平均值：类似于交流电中的直流分量，可从下式 得到 ： lim 1 T
x T T
0
x(t )dt
3．均方值 ：均方值与能量有关，常用来度量振动能量
lim 1 T 2 x x (t )dt 0 T T
2
4．均方根值(rms)
xrms x
2
——系统势能最小、系统势能最大、特殊系统与结构
一、基本概念
机械振动中的平衡位置是系统的稳定平衡位置。
现实中振动现象——车辆行驶振动、乐器的振动、车刀振动等 振动抑制与利用——在很多情况下机械振动是有害的；而在某些 情况下，人们又利用振动进行工作。 为了避免振动危害，利用振动进行工作，我们应了解结构振动 的规律，在实际工作中应用这些规律。
§1.2 振动的分类
第1章
导论
一．线性振动和非线性振动
第1章 机械振动基础
《机械振动学讲义》§1 绪论所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和极小值而往复变化。
机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。
本书涉及的振动如果没有特别说明，均指机械振动。
机械振动所研究的对象是机械或结构，在理论分析中要将实际的机械或结构抽象为力学模型，即形成一个力学系统。
可以产生机械振动的力学系统，称为振动系统，简称系统。
一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统均可能产生机械振动。
振动系统发生振动的原因是由于外界对系统运动状态的影响，即外界对系统的激励或作用。
如果外界对某一个系统的作用使得该系统处于静止状态，此时系统的几何位置称为系统的静平衡位置。
依据系统势能在静平衡位置附近的性质，系统的静平衡位置可以分为稳定平衡，不稳定平衡和随遇平衡等几种情况。
机械振动中的平衡位置是系统的稳定平街位置。
系统在振动时的位移通常是比较小的，因为实际结构的变形一船是比较小的。
在上程和日常生活中有大量的，丰富多彩的振动现象。
例如，车辆行驶时的振动，发功机运转时的振动，演奏乐器时乐器的振动。
在很多情况下机械振动是有害的，比如，车辆行驶时的振动会使乘员感到不适，在用车床加工零件时车刀的振动会使零件的加工精度下降。
而在某些情况下，人们又利用振动进行工作。
比如，建筑1：利用捣固棒的振动使水泥沙浆混合均匀。
对于工程实际中的结构振动问题，人们关心振动会不会使结构的位移、速度、加速度等物理量过大。
因为位移过大可能引起结构各个部件之间的相互干涉。
比如汽车的轮铀与大梁会因为剧烈振动而频繁碰撞，造成大梁过早损坏，并危及行车安全。
又如，汽车行驶中如果垂直振动加速度过大，将会影响汽车的平顺性，给乘员带来不适或危及所载货物的安全。
振动过大也造成结构的应力过大，即产生过大的动应力，有时这种动应力比静应力大的多，容易使结构早期损坏。
另外，振动过大会引起其他的副作用，如剧烈的振动会使结构产生强烈的噪声，等等。
机械振动学 第一章 陈耀东
第一章机械振动学基础第一节引言机械系统振动问题的研究包括以下几方面的内容：1．建立物理模型要进行机械系统振动的研究，就应当确定与所研究问题有关的系统元件和外界因素。
比如汽车由于颠簸将产生垂直方向的振动。
组成汽车的大量元件都或多或少地影响到它的性能。
然而，汽车的车身及其他元件的变形壁汽车相对于道路的运动要小得多，弹簧和轮胎的柔性比车身的柔性要大得多。
因而，根据工程分析的要求，我们可以用一个简化的物理模型来描述它。
或者说，为了确定汽车由于颠簸而产生的振动，可以建立一个理想的物理系统，它对外界作用的响应，从工程分析的要求来衡量，将和实际系统接近。
应当指出，一个物理模型对于某种分析是合适的，并不表示对于其他的分析也适合。
如果要提高分析的精度，就可能需要更高近似程度的物理模型。
图1.1-1和图1.1-2是分析汽车由于颠簸产生振动的两个物理模型。
在低颠和低振级的情况下，若把人体看做一个机械系统，就可以用图1.1-3所示形式的线性集总参量系统来粗略近似。
不幸的是，怎样才能得到一个确切描述实际系统的物理模型还没有一般的规则。
这通常取决于研究者的经验和才智。
2．建立数学模型有了所研究系统的物理模型，就可以应用某些物理定律对物理模型进行分析，以导出一个或几个描述系统他特征的方程。
通常，振动问题的数学模型表现为微分方程的形式。
3.方程的求解要了解系统所发生运动的特点和规律，就要对数学模型进行求解，以得到描述系统运动的数学表达式，通常，这种数学表达式是位移表达式，表示为时间的函数。
表达式表明了系统运动与系统性质和外界作用的关系。
4.结果的阐述根据方程解提供的规律和系统的工作要求及结构特点，我们就可以作出设计或改进的决断，以获得问题的最佳解决方案。
本教程的重点是论述机械振动系统的数学模型的建立和方程的求解这两个问题。
第二节机械振动的运动学概念机械振动是一种特殊形式的运动。
在这种运动过程中，机械运动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
【精品课件】机械振动基础
而产生的振动 随机振动 :系统在随机激励作用下的振动
单自由度系统振动 多自由度系统振动 连续系统振动
线性振动 非线性振动
第15-1节
单自由度振动的线性化方程
单自由度系统的微振动
微振动 — 质系在它的稳定平衡位形附近的 微幅振动。也称为线性振动。
Ah
例3
以物块的静平衡
位置O为坐标原
点，建立坐标系。
受力图如图示。
物块的运动微分
方程为：
x
解
x
o
A
h
F
O
mg N
m x m gsin k(0x) x p2x 0 p40rad/s
初始条件为：x 0 0 3 .0 6 m m ,x 02 g h 1 .4 m /s
A x 0 2 x 0 2 /p 2 3 5 . 1 m m , a r c t a n ( p x 0 / x 0 ) 0 . 0 8 7 r a d
坐标原点取在静平衡位置
m xm gk(sx)
k
mxkx
mxkx0
O'
k
l0
O
s
m x l0
s
xAsin(pta)
m
x
返回
固有频率的计算方法
运动微分方程法
x p2x 0
静变形法
p k kg g
m mg s
能量法 xAsin(pt)
T1mA2p2cos2(pt) V1kA2sin2(pt)
2
2
机械振动基础
振动是工程中常见的现象 汽车在不平的路面上颠簸 发动机运转 结构物受阵风、波浪或地震的作用
《机械振动教学》课件
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
机械振动基础知识培训
按振动产生原因
自由振动 无阻尼自由振动
有阻尼自由振动
强迫振动 无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。
2
第四章 机械振动基础
1 单自由度系统的自由振动 2 计算固有频率的能量法 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 6 转子的临界转速
物块沿x轴的运动微分方程
m
d2x dt 2
mg
sin
k ( 0
x)
0
mg
sin k
m
d2x dt 2
kx
固有频率与斜面倾角β无关
固有频率 n
k m
0.8 1000 0.5
40rad / s
系统的通解 x Asin(nt ) x
0
x
F
O
mg
mg FN
h
16
§4-1 单自由度系统的自由振动
h
17
§4-1 单自由度系统的自由振动
x0 3.06103 m; v0 1.4m / s;n 40rad / s
系统的通解 x Asin(nt )
0
x
h
得振幅及初相位
2
x v A
2
0
0 2
35.1mm
n
x
F
mg
O
FN
arctan n x0 0.087rad
v0
此物块的运动方程为 x 35.1sin(40t 0.087)mm
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
物块在平衡位置时，弹簧变形量
机械振动基础培训讲义课件
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
mg
F k( st a sin )
考虑到微转角,则 cos 1, sin
在静平衡位置处，有
mgl k sta
JO
d 2
dt 2
mgl k( st
a)a
ka2
l
JO ka2 0
n a
1. 阻 尼
阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑
表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cv
C－粘性阻尼系数或粘阻系数
2. 振动微分方程
取平衡位置为坐标原点，在建 立此系统的振动微分方程时， 可以不再计入重力的影响。
Fk kx 弹性恢复力 Fc cx 粘性阻尼力
my ky 0 meq keq＝F0sin( t)
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非 线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。
连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无 穷多个自由度。
物块的运动微分方程为
m
d2x dt 2
kx
c
dx dt
令:
2 n
k m
,
n c 2m
Fk Fc k
O
m v
x
c m
d2 dt
x
2
2n
dx dt
2 n
x
0
d2 dt
机械振动基础
相位关系：加速度领先速度90º; 速度领先位移90º。
§2.1 振动概述 2.1.2 机械振动按其输出的分类
2. 非简谐周期振动
xt xt nT
§2.1 振动概述 2.1.2 机械振动按其输出的分类
3. 准周期振动
x t Asin 2 fit i i 1
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 一、无阻尼自由振动
1、直线振动 振动微分方程的标准形式：
直线振动模型
其解为： x n2 x 0 x Asin nt
A ——振幅
——初相位，与初始条件有关
n ——固有频率，与系统结构特 性有关，与初始条件无关。
§2.3 机械系统的自由振动响应
三种情况讨论：
阻尼比：
n n
① n n ， 1 ：强阻尼状态；
② n n ， 1 ：弱阻尼状态；
③ n n ， 1 ：临界阻尼状态。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
1、强阻尼状态下的响应
xt
C e n n2 n2 t 1
x C e C e n n2 n2 t 1
6. 按频率范围分类： → 低频振动（ <1KHz ）； → 中频振动（ 1~10KHz ）； → 高频振动 ( >10KHz )。
本章只讨论有限自由度的线性振动
§2.1 振动概述 2.1.2 机械振动按其输出的分类
1. 简谐周期振动
§2.1 振动概述 2.1.2 机械振动按其输出的分类
1. 简谐周期振动
P62：简单元件的刚度计算公式
§2.2 机械振动系统的建模基础
机械振动基础CH1
1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 mu(t) ku(t) 0 注意
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件 (定解条件)
u(0) u0, u(0) u0
振动工程研究所
解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入
实际经验
单频、等幅、初始点
（2）用初始条件定系数
u(t) uest
与材料力学联系
单自由度扭振
假定盘和轴都为均质体，不考 虑轴的质量。设扭矩作用在盘 面，此时圆盘产生一角位移，
Tl 其中 I π d 4
GI
32
定义轴的扭转刚度为
kT
T
GI l
GI kT
l
振动工程研究所
扭转振动方程
J kT 0
扭转振动固有频率
n
kT J
系统对初始扰动的自由振动响应
(t)
u(t T0 ) u1(t mT1) u2 (t nT2 ) u1(t) u2 (t) u(t)
振动工程研究所
2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t) 2a cos(2 1 t 2 1 ) sin(2 1 t 2 1 )
2
2
2
2
a (t)sin[2 1 t (t)]
Im(aej e j0t )
a sin(0t )
振动工程研究所
不同频率的简谐振动的合成不再是简谐 振动
1. 周期振动(频率可通约)
关键
u1(t) a1 sin(1t 1) 整数倍数 u2 (t) a2 sin(2t 2 )
证
1 m
明 2 n
T2 m , T1 n
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用复数法
•
不同频率的简谐振动的合成不再是简谐 振动
1. 周期振动(频率可通约)
u1 (t ) a1 sin(1t 1 ) u 2 (t ) a2 sin(2 t 2 )
证 明
关键
整数倍数
1 m 2 n
T2 m , T0 T1m T2 n T1 n
2
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周期误差与角度关系
0
6
3
2
T
T0
1 1.02 1.07 1.18
大角度简化方法
sin
3
3!
5 7
5! 7!
系统振动的Duffin方程
(t ) g (t ) g 3 (t ) 0 l 6l
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刚体摆
4 u1+u2 2 u 0 -2 -4
t
2 1
) sin(
2 1
2
t
2 1
2
)
谐同两 振、个 动频振 合率幅 成接相 近同 且， 可而 通相 约位 的不
a(t)
0
2
4
6 t
8
10
12
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几个概念
• 拍:周期振动的一种
• 拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率 (差一倍) • 包络线:有两条
钢丝绳中总张力的最大值是
T T1 T2 mg v 0 mk
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1.3 等效单自由度系统
数学模型唯一(等效性)
• 物理系统多样
• 工程实际简化例子 汽车乘员抗颠簸性研究 翼尖挂弹环境研究 摩天轮刹车性能研究
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摆
• 振动系统中不存在弹性元件，恢复力由摆锤重 力提供。 (势能提供者为重力，地球是储能元 件) 动力矩方程或力矩平衡方程
a a
2 0
0
a
O
0
Re
Re
a
b
c
– 复数法
z ae e
j
j0t
ae
j(0t )
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复数法的位移、速度、加速度关系
z ae e
z j 0 ae
j ( 0t )
j
j0t
ae
j / 2
j(0t )
0 ae
j ( 0t / 2 )
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1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼 必须要素
c
k m
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
u(t)
f(t)
mu(t ) cu(t ) ku(t ) f (t )
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方程中的弹性项
fs
u2
u1 f
f k
f s ( t ) k ( t ) k [ u1 ( t ) u2 ( t )]
频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动， 且频率不变。
u1 (t ) a1 sin( 0 t 1 ) u 2 (t ) a2 sin( 0 t 2 )
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) Im[a1e j(0t 1 ) a2e j(0t 2 ) ] Im{[(a1 cos1 a2 cos 2 ) j(a1 sin 1 a2 sin 2 )]e j0t } Im(aej e j0t ) a sin(0t )
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梁横向振动
例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部 集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的 位移，静态挠度 ：
P
EI
等效刚度
P 48EI ke 3 l
l 2
l 2
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系统自由振动方程为
mu(t ) k e u(t ) 0
振动固有频率
ke 48EI n m ml 3
def
• 弹性恢复力与弹簧两端的相对位移（变形）成 正比，方向相反。 • 弹簧受力有势能；松弛完全放势能（无阻尼）。
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方程中的阻尼项
u2
fd
f
u1
• 粘性阻尼力与物体在介质中的相对运动速度成 正比，方向相反。（最简阻尼形式）
f d (t ) c[u1 (t ) u2 (t )] f
其中
k m 为固有圆频率.
或
1 fn 2
k 固有频率 Hz （固有 m
周期？）
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自由运动方程的通解可取为:
u(t ) a1 cos n t a 2 sin n t
或
u(t ) a sin( n t )
其中 a1 , a2 或 a, 为积分常数。由初 始条件定。
第一章 单自由度系统的振动
1
振动分类（自由度）
• 单自由度
• 多自由度（有限自由度）－>大自由度
• 连续体（无限自由度）
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振动分类（运动特点）
• 简谐振动 • 周期振动（可分解为若干简谐振动之和） • 非周期确定性振动
（可分解为无限个简谐振动之和）
*概周期振动 *一般确定性运动 • 随机振动 • 混沌振动
a1 u0 , a2
n a
u0
2 u0
(
u0
n
) ,
2
tan
1
n u0
u0
无阻尼系统的自由振动是简谐振动
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无阻尼自由振动的时间域响应(时间历程) 可表达为
u( t ) u0 cos n t u0 sin n t
n
或
u (t ) u (
u (t ) 0 a sin( 0t
2 0
2
)
注意位移、速 度、加速度之间 得相位关系
2 0
u(t ) a sin(0t ) u(t )
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旋转向量法（几何法）——纵轴投影
Im Q P Im
0 0
Im
0
u
a
O
t
Re
a
O
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研究的起点----单自由度系统的确定振动
• 是以后研究复杂系统的基础。
• 有助于理解实际工程振动问题。 • 很多实际问题可简化为单自由度问题。
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1.0 振动的描述
1.0.1 简谐振动的表示 • 三要素：振幅、频率、相位（概念复习）
简谐振动的三种表示法 – 三角函数法
u(t ) a sin( 0 t )
质量为m，质心C距铰中心O距离为l 绕固定铰使用动量矩定理
O l C mg
考虑小角度条件 sin
J 0 mgl 0
固有频率及固有周期
J0 mgl n , Tn 2 π J0 mgl
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与材料力学联系
单自由度扭振
假定盘和轴都为均质体，不考 虑轴的质量。设扭矩作用在盘 面，此时圆盘产生一角位移，
u(t T0 ) u1 (t mT ) u 2 (t nT2 ) 1 u1 (t ) u 2 (t ) u(t )
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2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t ) 2a cos(
2 1
2 2 2 1 a (t ) sin[ t (t )] 2
2 0
（易记忆）
n
u0 ) sin( n t tan
2 1
nu0
u0
)
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刚度元件的串并联
u2 k1 f k2 u1 f f k2 k1 u3 u2 u1 f
f 两个并联弹簧刚度增加, k k 1 k 2
k1k 2 两个串联弹簧刚度削弱, k k1 k 2
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方程中的惯性项
u mu m f
• 根 据 D’Alembert 原 理 （ 动 静 转 换 ） ， 质 量 块 （无变形）提供与外力大小相同、方向相反的 惯性力
f m (t ) f ( t ) mu( t )
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建模步骤
• 建立坐标系
原点为静止点 坐标正向为标示外力方向
悬臂梁、固支梁情况类似，关键在于确 定自由度与给出等效刚度
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*用能量法确定固有频率
（一种简单方法，也可发展用于近似求多自由 度系统固有特性）
固有振动是简谐 振动，其位移和 速度分别为
u(t ) u0 sin(nt ), u(t ) u0n cos(nt )
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解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入 （2）用初始条件定系数
实际经验
u(t ) ue
st
(ms k )u 0
2
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因为u 0 ,故得到有特征方程 （以s为变量的代数方程）
ms
n
def
2
特征解（根）为
def
k 0 s j n
• 分离体法（材力，结力）
对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力
• 力平衡
达朗贝尔原理
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方程分类
• 单自由度系统振动方程
mu(t ) cu(t ) ku(t ) f (t )
• 自由振动方程——无外激励 偏离静平衡 初始条件 由 繁 入 • 无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特点 简