新疆巴州蒙古族高级中学2015届高三上学期12月月考数学试卷

新疆巴州蒙古族高级中学2015届高三上学期12月月考数学试卷一、选择题1．（5分）已知α是三角形的一个内角且sinα+cosα=，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3．（5分）若函数f（x）=sinax+cosax（a＞0）的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（）A．B．（0，0）C．D．4．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，5．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．6．（5分）已知点A（6，2），B（1，14），则与共线的单位向量为（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量、的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与向量+2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°8．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5D．109．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5（）A．﹣16 B．16 C．31 D．3210．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．2711．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5 D．﹣712．（5分）设f（x）=，则f（x）dx等于（）A．B．C．D．不存在13．（5分）己知曲线y=x3在点（a，b）处的切线与直线x+3y+1=0垂直，则a的值是（）A．﹣1 B．±1 C．1D．±3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14．（5分）在△ABC中，A，B，C成等差数列，则=．15．（5分）函数y=lgsin2x+的定义域为．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1（n≥2），则a n=．17．如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，第17题10分，其余每小题10分，共70分）.18．（10分）已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，﹣1）处与直线y=x﹣3相切，求实数a，b，c的值．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（Ⅰ）若c=2，，且△ABC的面积，求a，b的值；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状．20．（12分）设两个非零向量与不共线．（1）若+，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．21．（12分）（1）在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S10=S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值；（2）已知数列{a n}的通项公式是a n=4n﹣25，求数列{|a n|}的前n项和．22．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}中，b1=a1，b n=a n﹣a n﹣1（n≥2），若a n+S n=n．（1）设c n=a n﹣1，求证：数列{c n}是等比数列；（2）求数列{b n}的通项公式．23．（12分）求函数y=sin（+4x）+cos（4x﹣）的周期、单调区间及最大、最小值．新疆巴州蒙古族高级中学2015届高三上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知α是三角形的一个内角且sinα+cosα=，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：α是三角形的一个内角，利用sinα+cosα=∈（0，1），可知此三角形是钝角三角形．解答：解：∵α是三角形的一个内角，∴sinα＞0，又sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinα•cosα=，∴2sinα•cosα=﹣＜0，sinα＞0，∴cosα＜0，∴α为钝角，∴此三角形是钝角三角形．故选C．点评：本题考查三角形的形状判断，考查二倍角公式的应用，属于中档题．2．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．3．（5分）若函数f（x）=sinax+cosax（a＞0）的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（）A．B．（0，0）C．D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：化简函数f（x）=sinax+cosax（a＞0）为sin（ax+），利用周期求出a，然后通过f（x）=0求出满足选项中的x值即可．解答：解：f（x）=sinax+cosax=sin（ax+）T==1，则a=2π所以f（x）=sin（2πx+）令f（x）=0，则其中有：2πx+=0x=﹣即其中一个对称中心是（﹣，0）故选C．点评：本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，是基础题．4．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，2）确定φ，推出选项．解答：解：由图象可知：T==，∴T=π，∴ω==2；∵（，2）在图象上，所以2×+φ=2k，φ=2kπ，（k∈Z）．∵﹣＜φ＜，∴k=0，∴φ=．故选：A．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．5．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A ．B ．C ．D ．考点： 零向量；三角形五心． 专题： 平面向量及应用．分析： 先根据所给的式子进行移项，再由题意和向量加法的四边形法则，得到，即有成立．解答： 解：∵，∴，∵D 为BC 边中点， ∴，则，故选：A ．点评： 本题考查了向量的加法的四边形法则的应用，即三角形一边上中点的利用，再根据题意建立等量关系，再判断其它向量之间的关系．6．（5分）已知点A （6，2），B （1，14），则与共线的单位向量为（）A ．B ．C ．D ．考点： 平行向量与共线向量；单位向量；平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用．分析： 与共线的单位向量为：，由已知分别求得，即可得到答案．解答： 解：=（﹣5，12），||==13，∴与共线的单位向量为：==±（﹣，），即与共线的单位向量为（，）或（），故选C ．点评： 本题考查共线向量、单位向量及向量的坐标运算，属基础题，与共线的单位向量为±．7．（5分）已知向量、的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与向量+2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：先求出及||==的值，再根据cosθ=求出θ的值．解答：解：由题意可得=2×1cos60°=1，设向量与向量+2的夹角等于θ，则||===2．故cosθ===．再由0°≤θ≤180°，可得θ=30°，故选D．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量数量积公式，求向量的模的方法，属于中档题．8．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5D．10考点：向量在几何中的应用；三角形的面积公式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．解答：解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选C．点评：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．9．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5（）A．﹣16 B．16 C．31 D．32考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：先根据a1=S1，a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求出数列{a n}的通项公式，再将n=5代入可求出所求．解答：解：当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1．当n＞1时，S n=2a n﹣1，∴S n﹣1=2a n﹣1﹣1，∴S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴=2，∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1，n∈N*．∴a5=25﹣1=16．故选B．点评：本题主要考查了数列的概念及简单表示法，以及等差数列的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27考点：等差数列的性质．分析：观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．解答：解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．点评：本题考查等差数列的性质．11．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5 D．﹣7考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可解答：解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．12．（5分）设f（x）=，则f（x）dx等于（）A．B．C．D．不存在考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：原积分化为f（x）dx=x2dx+（2﹣x）dx，根据定积分的计算法则计算即可解答：解：f（x）dx=x2dx+（2﹣x）dx=x3|+（2x﹣x2）|=+（2×2﹣×22）﹣（2﹣）=+4﹣2﹣2+=故选：C点评：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，13．（5分）己知曲线y=x3在点（a，b）处的切线与直线x+3y+1=0垂直，则a的值是（）A．﹣1 B．±1 C．1D．±3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：曲线y=x3在点（a，b）的处的切线的斜率为3，再利用导数的几何意义，建立方程，可求a的值．解答：解：由题意，曲线y=x3在点（a，b）的处的切线的斜率为3求导函数可得y=3x2，所以3a2=3∴a=±1故选B．点评：本题考查导数的几何意义，考查两条直线的位置关系，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14．（5分）在△ABC中，A，B，C成等差数列，则=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：首先利用等差中项求出∠A+∠C=120°，然后利用两角和与差公式化简原式，即可得出结果．解答：解：A，B，C成等差数列∴2∠B=∠A+∠C又∵∠B+∠A+∠C=180°∴∠B=60°∠A+∠C=120°=tan（）（1﹣tan tan）+tan tan=（1﹣tan tan）+tan tan=故答案为．点评：本题考查了等差数列的性质和两角和与差的正切函数，关键是求出∠A+∠C和化简原式，要灵活掌握两角和与差的正切函数．属于基础题．15．（5分）函数y=lgsin2x+的定义域为[﹣3，﹣）∪（0，）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：函数的定义域应满足被开方数大于或等于0，且真数大于0，求出x的取值范围即可．解答：解：∵函数y=lgsin2x+，∴应满足，解得（其中k∈Z）；∴﹣3≤x＜﹣，或0＜x＜；∴函数的定义域为[﹣3，﹣）∪（0，）；故答案为：[﹣3，﹣）∪（0，）．点评：本题考查了函数的定义问题，也考查了解不等式组的问题，是基础题．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1（n≥2），则a n=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意，可得a n=••…•1=（n≥2），再验证n=1时是否符合该式即可得到答案．解答：解：∵数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1（n≥2），∴=，=，…，=，∴a n=•…•a1=••…•1=（n≥2），又n=1时a1=1，满足上式，∴a n=，故答案为：．点评：本题考查数列递推式的应用，着重考查累乘法，属于中档题．17．如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是．考点：二次函数的性质．专题：计算题；分类讨论．分析：①当a=0时，f（x）=2x﹣3在（﹣∞，4）上单调递增，②当a≠0时，则实数a满足，可求．解答：解：①当a=0时，f（x）=2x﹣3在（﹣∞，4）上单调递增，满足题意②当a≠0时，若使得函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增，则实数a满足，解可得综上可得，故答案为[﹣]点评：本题主要考查了函数单调性的应用及分类讨论的思想，解题的关键是比较区间端点与二次函数的对称轴，但是不要漏掉对一次函数即a=0时的考虑三、解答题：（本大题共6小题，第17题10分，其余每小题10分，共70分）.18．（10分）已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，﹣1）处与直线y=x﹣3相切，求实数a，b，c的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：根据点P在抛物线上，以及抛物线过点Q，和在x=2处的导数等于1，建立方程组，解之即可求出所求．解答：解：因为抛物线过点P，所以a+b+c=1①又y′=2ax+b，∴y′|x=2=4a+b，∴4a+b=1②又抛物线过点Q∴4a+2b+c=﹣1③由①②③解得a=3，b=﹣11，c=9点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数解析式的求出，属于中档题．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（Ⅰ）若c=2，，且△ABC的面积，求a，b的值；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状．考点：正弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据余弦定理，得c2=a2+b2﹣ab=4，再由面积正弦定理得，两式联解可得到a，b的值；（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC的形状的形状加以判断，可以得到结论．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a2+b2﹣ab=4，…．（3分）又因为△ABC的面积等于，所以，得ab=4．（5分）联立方程组解得a=2，b=2．（7分）（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B﹣A）=sin2A得到sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A=2sinAcoA即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA所以有：sinBcosA=sinAcosA，（10分）当cosA=0时，，△ABC为直角三角形（12分）当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，所以，△ABC为等腰三角形．（14分）点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．熟练掌握三角函数的有关公式，是解好本题的关键．20．（12分）设两个非零向量与不共线．（1）若+，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．考点：向量的共线定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线．（2）两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k的等式，解出k的值，有两个结果，这两个结果都合题意．解答：解：（1）∵===，∴与共线两个向量有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）∵和共线，则存在实数λ，使得=λ（），即，∵非零向量与不共线，∴k﹣λ=0且1﹣λk=0，∴k=±1．点评：本题考查向量共线定理，是一个基础题，本题从两个方面解读向量的共线定理，一是证明向量共线，一是根据两个向量共线解决有关问题．21．（12分）（1）在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S10=S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值；（2）已知数列{a n}的通项公式是a n=4n﹣25，求数列{|a n|}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得，从而d=﹣，进而求出S n=﹣（n﹣）2+，由此能求出当n=12或13时，S n取得最大值130．（2）由已知得{a n}是首项为﹣21，公差为4的等差数列，从而数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣23n，由a n=4n﹣25≥0，得，从而n≤6时，a n＜0，n≥7时，a n＞0，由此能求出数列{|a n|}的前n项和．解答：解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=20，前n项和为S n，且S10=S15，∴，解得d=﹣，∴S n=20n+=﹣+=﹣（n﹣）2+，∴当n=12或13时，S n取得最大值S12=S13=130．（2）∵数列{a n}的通项公式是a n=4n﹣25，∴a1=4﹣25=﹣21，a n﹣a n﹣1=（4n﹣25）﹣（4n﹣4﹣25）=4，∴{a n}是首项为﹣21，公差为4的等差数列，∴数列{a n}的前n项和S n=﹣21n+=2n2﹣23n，由a n=4n﹣25≥0，得，∴n≤6时，a n＜0，n≥7时，a n＞0，设数列{|a n|}的前n项和为T n，当n≤6时，T n=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣S n=23n﹣2n2；当n≥7时，T n=S n﹣2S6=2n2﹣23n﹣2（2×36﹣23×6）=2n2﹣23n+132．∴数列{|a n|}的前n项和：．点评：本题考查等差数列的前n项和取最大值时项数的求法和最大值的求法，考查数列的各项绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．22．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}中，b1=a1，b n=a n﹣a n﹣1（n≥2），若a n+S n=n．（1）设c n=a n﹣1，求证：数列{c n}是等比数列；（2）求数列{b n}的通项公式．考点：等比关系的确定；数列递推式．专题：计算题；证明题．分析：（1）先根据a n+S n=n求出a1的值，再由a n+1+S n+1=n+1和a n+S n=n两式相减可得到2（a n+1﹣1）=a n﹣1，即=，再由c n=a n﹣1可得到数列{c n}是等比数列，得证．（2）先根据数列{c n}是等比数列求出数列{c n}的通项公式，进而可得到数列{a n}的通项公式，然后由b n=a n﹣a n﹣1可得到b n的通项公式．解答：（1）证明：∵a1=S1，a n+S n=n，∴a1+S1=1，得a1=．又a n+1+S n+1=n+1，两式相减得2（a n+1﹣1）=a n﹣1，即=，也即=，故数列{c n}是等比数列．（2）解：∵c1=a1﹣1=﹣，∴c n=﹣，a n=c n+1=1﹣，a n﹣1=1﹣．故当n≥2时，b n=a n﹣a n﹣1=﹣=．又b1=a1=，即b n=（n∈N*）．点评：本题主要考查等比数列的证明和求数列的通项公式，考查基础知识的综合运用．23．（12分）求函数y=sin（+4x）+cos（4x﹣）的周期、单调区间及最大、最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：经观察，（+4x）+（﹣4x）=，从而利用诱导公式及三角函数中的恒等变换可将原式化为y=2sin（4x+），从而可求其周期、单调区间及最大、最小值．解答：解：∵（+4x）+（﹣4x）=，∴cos（4x﹣）=cos（﹣4x）=sin（+4x），∴原式就是y=2sin（4x+），这个函数的最小正周期为，即T=．当﹣+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z）时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为[﹣+，+]（k∈Z）．当+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z）时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为[+，+]（k∈Z）．当x=+（k∈Z）时，y max=2；当x=﹣+（k∈Z）时，y min=﹣2．点评：本题考查诱导公式及三角函数中的恒等变换，观察到“（+4x）+（﹣4x）=”是关键，也是解题中的亮点，属于中档题．。