第六章第二讲旋转体的体积与平面曲线的弧长-精品文档
《旋转体的体积》课件
旋转体的性质
深入探讨了旋转体的几何性质，如旋 转体的表面积、质心和转动惯量等。
计算实例
通过具体的计算实例，演示了如何运 用旋转体的体积公式解决实际问题。
未来研究方向和展望
深入研究旋转体的性质
随着几何学的发展，旋转体的 性质将得到更深入的研究，如 探讨旋转体的对称性、稳定性 等。
扩展旋转体的应用领域
条件和范围。
计算中需要注意的事项
单位统一
在计算过程中，确保所有的长度单位都 是统一的，避免因单位不统一导致的误 差。
VS
精确度要求
根据问题的实际需求，合理选择计算方法 和工具，确保计算结果的精确度。
提高计算准确性的技巧和方法
01
02
03
多做练习
通过大量的练习，提高学 生的计算能力和对公式的 熟悉程度。
数学建模
在物理、化学和生物等学科中，旋转 体常被用来建立数学模型，以描述和 分析各种现象。
02
旋转体的体积计算公式
圆柱体的体积计算公式
总结词
圆柱体的体积计算公式是底面积乘以高。
详细描述
圆柱体的体积计算公式是底面积（πr^2）乘以高（h），即V=πr^2h，其中r是 底面圆的半径，h是高。
圆锥体的体积计算公式
随着科技的进步，旋转体在工 程、物理、生物等领域的应用 将更加广泛，如探讨旋转体在 流体动力学、机械工程和生物 学等领域的应用。
探索新的计算方法
随着数学和计算机技术的发展 ，将会有新的计算方法出现， 以更高效、精确地计算旋转体 的体积和其他几何量。
加强与其他学科的交叉研 究
旋转体作为几何学的重要分支 ，将与其他学科如物理学、化 学、生物学等产生更多的交叉 研究，以推动科学的发展。
《经济数学-微积分》旋转体的体积
旋转体定义
一个平面图形绕着它所在的平面 内的一条定直线旋转所形成的曲 面围成的几何体称为旋转体。
旋转体分类
根据旋转轴的不同，旋转体可以 分为绕x轴旋转的旋转体和绕y轴 旋转的旋转体。
体积计算公式推导
01
圆柱体体积公式推导
02
圆锥体体积公式推导
03
圆球体体积公式推导
圆柱体可以看作是一个矩形绕其一边 旋转而成的，因此其体积可以通过矩 形的面积与旋转的高度的乘积来计算 。
多重积分概念与性质
了解多重积分的概念和性质，如二重积分、三重积分等。
在旋转体体积求解中应用
对于复杂形状的旋转体，可以通过多重积分进行求解，如球体、椭 球体等。
求解步骤与技巧
掌握多重积分的求解步骤和技巧，如选择合适的坐标系、确定积分 顺序等。
数值近似解法介绍
01
数值近似解法概念
当无法直接通过积分公式求解旋 转体体积时，可以采用数值近似 解法进行估算。
04 积分法在求解旋转体体积 中应用
定积分求解旋转体体积基本原理
旋转体体积的定积分表示
通过截面面积函数对定区间进行积分，得到旋转体体积的公式。
几何意义与物理应用
定积分求解旋转体体积的方法在几何和物理领域有广泛应用，如计 算圆柱、圆锥等体积。
求解步骤与技巧
掌握定积分的求解步骤和技巧，如确定积分区间、选择合适的积分 变量等。
物理应用
旋转体体积的计算公式在物理学中也 有广泛应用，例如在计算物体的质量 、密度、浮力等方面都需要用到体积 的计算公式。
常见问题及解决方法
问题1
如何判断一个几何体是否为旋转体？
解决方法
观察几何体的形状和特征，看其是否符合旋转体的定义和 性质。
平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积
平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积在平面解析几何中，曲线的旋转体体积是一个重要的概念。
在本文中，我们将介绍什么是曲线的旋转体体积，以及如何计算曲线的旋转体体积。
我们还会解释如何应用这一概念来解决一些实际问题。
一、曲线的旋转体体积的概念介绍在平面解析几何中，当一个曲线绕某一条直线旋转一周时，所形成的立体图形称为曲线的旋转体。
而曲线的旋转体体积就是这个立体图形的体积。
二、如何计算曲线的旋转体体积计算曲线的旋转体体积需要使用积分的方法。
具体而言，我们可以将曲线分割成无穷多个微小的弧段，然后将每个微小弧段旋转一周所形成的微小体积相加，从而得到整个旋转体的体积。
设曲线在直角坐标系中由函数y=f(x)(a≤x≤b)给出，将其绕x轴旋转一周。
则将曲线划分为无穷多个微小的弧段dx，每个微小的弧段dx所对应的体积元素为dV=πf^2(x)dx。
然后，对所有的微小弧段进行求和积分，即可得到曲线的旋转体体积V。
V=∫[a,b]πf^2(x)dx三、应用示例下面我们通过一个具体的应用示例来进一步说明如何计算曲线的旋转体体积。
例题：计算函数y=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积。
解答：根据前述的计算公式，我们可以得到函数f(x)=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积V为：V=∫[0,1]π(x^2)^2dx=∫[0,1]πx^4dx=π[1/5*x^5]从0到1=π/5所以，函数y=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为π/5。
四、总结曲线的旋转体体积是平面解析几何中的重要概念，应用广泛。
通过使用积分的方法，我们可以计算曲线的旋转体体积。
在实际应用中，我们可以利用曲线的旋转体体积来解决一些具体的问题。
希望本文对您理解平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积有所帮助。
（字数：525字）。
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
第六章第二讲旋转体的体积与平面曲线的弧长
dy
任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
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第六章第二讲
23
例 13 计算曲线 y x 2 上相应于 x从a 到b 的一段弧的
r
y x
o
h
P
r
h
x
取积分变量为 x， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
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第六章第二讲
以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体
积为
dV
r h
x
2
dx
圆锥体的体积
V
h 0
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 3
10
第六章第二讲
补充 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线
x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一
周而成的立体，体积为
b
Vy 2 a x | f ( x) | dx
利用这个公式，可知上例中
2a
Vy 2 0 x | f ( x) | dx
2
20 a(t sin t) a(1 cos t)d[a(t sin t)]
弧长 s 2(t ) 2(t )dt.
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第六章第二讲
2
2
高数求旋转体体积公式
高数求旋转体体积公式一、引言在数学领域，特别是高等数学中，我们经常会遇到一些形状不规则的物体。
这些物体通常由曲线或直线围成，而它们的体积可以通过特定的方法进行计算。
其中一种常见的方法是使用旋转体体积公式。
本文将详细介绍如何利用这个公式来求解旋转体的体积。
二、旋转体体积公式概述旋转体体积公式是指，一个平面图形绕着它的某一轴线旋转所形成的立体体积的计算公式。
其基本形式为V = ∫πr²θh dθ，其中V代表体积，r是底圆半径，θ是角度变量，h是高，dθ表示对角度的微分。
积分是对所有角度的求和。
三、具体应用及实例1. 圆柱体：当旋转体围绕其中心垂直于平面的轴线旋转时，得到的几何体通常是圆柱体。
我们可以将该问题简化为求出圆的周长（2πr）乘以高度（h）。
这种情况下，面积积分可以视为周长的函数，因此可以用定积分的概念进行处理。
2. 圆锥体：如果旋转体是从一个斜面或锥形开始，然后围绕其中一个边旋转，那么得到的几何体就是一个圆锥。
在这种情况下，可以使用旋转体体积公式结合三角形的面积来进行计算。
3. 其他形状：除了上述两种情况外，还可以通过旋转更复杂的图形来形成各种不同的旋转体。
例如，可以将多边形作为母体，然后将其各边按照一定顺序依次围绕一条轴线旋转，得到新的几何形体。
此时需要用到积分的知识以及相应的技巧来解决实际问题。
四、进一步讨论与扩展1. 更复杂的旋转体：除了上述的圆柱和圆锥，还可以通过围绕不同的轴线旋转更复杂的图形来形成其他类型的旋转体。
例如，可以通过将多边形围绕其边界上的点进行旋转来得到旋转星体等。
这些问题的解决需要更深入的理解积分以及形状与体积之间的关系。
2. 自适应算法：在实际应用中，可能需要求解涉及大量数据或复杂几何形状的问题。
此时，可以使用一些自适应的算法来优化计算效率。
例如，可以根据问题的具体情况选择合适的坐标系，或者使用分治等方法将大问题分解为小问题来解决。
3. 与其他方法的结合：旋转体体积公式并不是wei一的立体体积计算方法。
定积分在几何上的应用体积、弧长讲解
任取 x [a,b]，
过点 x 作平面垂直于 x 轴，
截旋转体的截面为环面，其面积为
A( x) [ f22( x) f12( x)]
体积为
V
b
[
a
f22
(
x)
f12 ( x)]dx.
例3 连接坐标原点 O 及点 P(h,r) 的直线，直线
Ö±Ïß x a ¡¢ x b (0 a b)¼°x Öá Ëù Χ³É µÄ Çú ± ß ÌÝ ÐÎ
绕 y 轴旋转一周而成，求其体积. (柱壳法)
体积元素 dV 2 x f (x)dx
b
V 2 a x f ( x)dx
y2 x
利用这个公式，可知上 例6 中
x4
A(x)
x+dx
a
x
b
x
例1 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交
成角 ，计算这平面截圆柱体所得有限部分立体的体积.
解 取坐标系如图，底圆方程为 x2 y2 R2
任取 x [ R, R] 过点 x作平面垂直于 x轴，
截立体的截面为直角三角形.
截面面积
y
A( x) 1 y y tan 1 (R2 x2 )tan，
b y2dx
a
A( y) x2 绕y轴:
dV 2 xydx
Vy
d x2dy
c
b
Vy 2
x f ( x)dx
a
(柱壳法)
三、平面曲线的弧长
1. 平面曲线的弧长的概念 2. 平面曲线的弧长的计算公式
直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形
旋转体的体积
例 计算由椭圆
转而成的椭球体的体积. 解:
所围图形绕 x 轴旋转而
则
(利用对称性)
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3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕x轴: 绕y轴:
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已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
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特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
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旋转体的体积计算(课堂PPT)
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
高等数学第六章第二节
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
成悬链线 . 悬链线方程为
y c ch x (b x b)
y c
c
求这一段弧长 .
36π 2 π
12(1x2
x21)2
dห้องสมุดไป่ตู้
x
448 2π
π2
(
x2
1) 2
d
x
0
15 1
三、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
2πa
O
r
r a
2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2π 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
上下限按顺时针方向 确定
边界方程 参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
弧微分: d s
(d x)2 (d y)2
注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小
直角坐标方程
1
3
3 y
s
弧线段部分
3
1 1 4 y2 dy
直线段部分
3
dy
1
O 1
x2y3 0 x
x y2
2. 试用定积分求圆
绕x轴
旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .
微积分应用曲线的弧长与旋转体的体积
微积分应用曲线的弧长与旋转体的体积微积分作为数学的一个分支，广泛应用于各个领域中。
在微积分中，曲线的弧长与旋转体的体积是两个非常重要且常用的概念。
本文将分别介绍曲线的弧长以及旋转体的体积，并探讨它们在实际应用中的意义和计算方法。
曲线的弧长是指曲线上两点之间的路径长度，它在物理、几何、工程学等领域中有广泛的应用。
计算曲线的弧长需要使用积分方法，具体步骤如下：首先，确定曲线方程，并求出其导函数。
将导函数的绝对值表示为y'(x)，表示曲线在不同点上的斜率。
接着，选取一段曲线上的微小弧段Δs，该段的长度可以近似看作是线段的长度。
根据勾股定理，Δs在x轴和y轴上的投影分别为Δx和Δy。
然后，利用导函数y'(x)求得弧段Δs的长度。
根据导数的定义，Δs≈ √(Δx^2 + Δy^2) = √(1 + [y'(x)]^2) Δx。
最后，将弧段Δs的长度求和，即对Δs进行积分。
弧长L可以表示为积分的形式L = ∫√(1 + [y'(x)]^2)dx。
通过上述步骤，可以准确计算出曲线的弧长，这对于真实世界中的曲线问题，如公路的弯道长度、管道的弯曲区域长度等，具有重要的实际意义。
旋转体的体积是指通过绕定轴旋转曲线所形成的立体的体积。
计算旋转体的体积同样需要使用积分方法，具体步骤如下：首先，确定曲线方程，并确定该曲线绕哪个轴旋转，通常是x轴或y轴。
接着，将曲线分割成无限小的微小弧段，并将其旋转得到的微小体积ΔV表示为圆盘面积乘以微小高度。
然后，利用微积分的方法，将所有微小弧段的体积ΔV求和，即进行积分得到整个旋转体的体积V。
具体而言，对于绕x轴旋转的曲线，体积V可以表示为积分的形式V = π∫[y(x)]^2dx，其中y(x)为曲线方程。
而对于绕y轴旋转的曲线，体积V可以表示为积分的形式 V =π∫[x(y)]^2dy，其中x(y)为曲线方程。
通过以上计算方法，我们可以准确计算出绕任意轴旋转的曲线所形成的旋转体的体积。
高等数学 第6章 第四节 平面曲线的弧长
A M0
O
n
⌒
M i1 M i 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，
i 1
⌒
并称此曲线弧 AB是可求长的。
定理:
光滑曲线弧(即弧上任意点具有一阶连续导数）是可求长的。
•
M n1
• •
B Mn
x
1
二.直角坐标情形
y
设曲线弧由
y f (x)
y f ( x) (a x b)
给出， 其中f（x）在[a，b]上 上具有一阶连续导数，现在来 计算这曲线弧的长度。
(3) 极坐标
s r 2 ( ) r'2 ( )d
思考题： 一根弹簧按等速螺线 r =a 盘绕，共计10 圈，已知每圈的间隔为 10mm,求弹簧的全长。
AB
10
解： 考察第1、2两圈的间隔，如图 A、B两点的坐标分别为：
(2 ,2a), (4 ,4a)
所以AB 4a 2a 2a 10 解得： a 5
弹簧共10圈， 由0增加到20
s 20 r( )2 r'( )2 d a 20 1 2 d
0
0
查表 5 1 2
1 2 ln(
20
1 2 ) 0 3144.2(mm )
11
于是所求弧长为
s
'2 t '2 t dt
5
例3 计算摆线
x
y
a(
a(1
sin ) cos )
的一拱
y
2a
y y(x)
(0 2 ) 的长度。
2a
O
a
解:
∵
x' a(1 cos )
y' a sin
曲线的求弧长与旋转体体积教学方法总结
曲线的求弧长与旋转体体积教学方法总结曲线的求弧长与旋转体体积是高中数学中的重要内容，它们在几何和微积分领域中具有广泛的应用。
本文将总结一些教学方法，帮助学生更好地理解和应用这些概念。
一、曲线的求弧长教学方法1.引入概念：首先，我会向学生介绍曲线的概念和相关术语，包括曲线的参数方程、弧长元素以及弧长的定义。
通过例题演示，让学生了解如何根据参数方程求解弧长，并通过计算机绘图工具展示实际曲线的弧长。
2.数学推导：接下来，我会以数学推导的方式介绍弧长公式的推导过程，并解释其中的步骤和思路。
通过推导，学生能够更深入地理解弧长公式的来源和原理。
3.例题讲解：为了帮助学生掌握求解曲线弧长的方法，我会选择一些简单且具有代表性的例题进行讲解和演示。
在解题过程中，我会详细说明每一步的计算方法和思维逻辑，引导学生理解和掌握解题技巧。
4.实际应用：为了增加学生对曲线弧长的实际应用的认识，我会选取一些实际问题，如汽车行驶轨迹、物体的自由落体等，通过求解曲线的弧长来解决这些问题。
这样可以帮助学生将数学知识与实际问题相结合，提高学习兴趣和应用能力。
二、旋转体体积的教学方法1.引入概念：开始教学旋转体体积时，我会先向学生引入旋转体的概念和相关术语，如旋转轴、旋转面、截面积等。
通过具体的图形示例，让学生清楚地了解旋转体的定义和特点。
2.数学推导：接着，我会用数学推导的方式介绍旋转体体积的计算公式的推导过程。
通过推导和解释，学生能够理解体积公式的来源和原理，加深对旋转体体积的理解。
3.例题讲解：为了帮助学生掌握求解旋转体体积的方法，我会选择一些典型的旋转体例题进行讲解和演示。
在解题过程中，我会注重解题思路和关键步骤的讲解，并给予学生足够的时间来思考和尝试解题。
4.实际应用：为了增加学生对旋转体体积实际应用的认识，我会选择一些与实际问题相关的例题，如圆环、圆锥等，通过求解旋转体的体积来解决这些问题。
通过实际应用的例题，学生可以更好地理解旋转体体积的概念和计算方法，并将其应用于实际问题的解决中。
体积问题与平面曲线的弧长
−R
π
Y X
O
x R
x轴上的点 轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形。 过 x轴上的点 x 作垂直于 x 轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形。
R
R
−R
R 2 − x 2 dx
2 正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。 正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。
14
例2
两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量， 两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成
曲线形，这样的曲线叫悬链线，适当选取坐标系后， 曲线形，这样的曲线叫悬链线，适当选取坐标系后，悬链线的 悬链线
x y = c ⋅ ch 方程为： (其中 c为常数 为常数) 方程为： 其中 为常数 c = 之间一段弧的长度. 计算悬链线上介于 x = −b 与 x=b 之间一段弧的长度
当y = 0时，t = 2π ; 2π 2π 2π 3 2 2 3 当y = 2a时，t = π . 周期函数 = −πa t sin tdt − 2 t sin tdt + sin tdt 奇函数 0 0 0 对于x = x 1 ( y ) = LLLL
0
3
∫ ∫
2π
− π ∫0 a (t − sint ) ⋅ a sintdt
O
a
x x + dx b
x
从而得弧长元素 弧长元素： 上任取小区间[x , x + dx ], 从而得弧长元素： 在[a, b ]
ds =
(dx )
2
+ (dy ) = 1 + y' 2 dx ---弧微分公式 ---弧微分公式
2
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解
取坐标系如图 底圆方程为
R
x y R
2 2 2
o
R
x
y
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
1 2 2 截面面积 A ( x ) ( R x ) tan , 2 1R 2 2 2 3 立体体积 V ( R x ) tan dx R tan . R 2 3
A( x ) 为 x 的已知连续函数 的截面面积，
dV A ( x ) dx , 立体体积
2019/3/26
b
x
V A (x ) dx .
a
12
b
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第六章第二讲
例 9 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底 面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
3 3 a ( t sin t ) sin tdt 6 a.
3 2 0
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2
第六章第二讲
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一 周而成的立体，体积为
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ]，
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第六章第二讲
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体 积为
r dV x dx h
圆锥体的体积
r r V x dx 0 h h2
泰山医学院信息工程学院刘照军 4
b
第六章第二讲
例6 连接坐标原点O 及点 P ( h, r )的直线、 直线 x
h及
x轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋转构成一个底
半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积．
y
解 直线OP的方程为
P
r y x h
r
o
h
x
[ 0 ,h ] 取积分变量为 x ， x
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第六章第二讲
二、体积
1 、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转 一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
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圆锥
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圆台
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第六章第二讲
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转 一周而成的立体，体积为多少？
x [ a ,b ]y 取积分变量为 x ，
在[a , b]上任取小区间 [ x , x dx ]，
yf( x )
o
dx xx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 2 的体积为体积元素， dV [ f ( x )] dx
旋转体的体积为
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2 V [ f ( x )] dx a
2 a ( 1 cos t ) a ( 1 cos t ) dt 0
2 3 2 3 a ( 1 3 cos t 3 cos t cos t ) dt 5 a. 0
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2 2
2 3
第六章第二讲
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2 a
0 2
0 2 3
第六章第二讲
2、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定 积分来计算.
A( x ) 表 示 过 点
o
a
dx x x
x 且垂直于 x 轴
y
绕 y 轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
2a C
o
B x x (y ) 2
x x (y ) 1
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
2 V x ( y ) dt x 2 y 1 (y)dt
2 a x
A
2 a
2
2 a
0
0
2 2 2 2 a ( t sin t ) a sin tdt a( t sin t ) a sin td 2 0
V
c
d
2 (y)] dy [
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第六章第二讲
例8 求摆线 x
a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一
拱与 y
0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋
转体的体积.
解
绕 x 轴旋转的旋转体体积
2 V y ( x ) dx x 0 2 a
h 2
2
2
hr 2 x 3 3 . 0
3
h
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第六章第二讲
例 7 求星形线 x y a (a 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积.
解
y
2 3
2 3
2 3
y a x ,
y a x
2 2 3 2 3 3
第六章第二讲 第二讲：平面体积的计算及平面曲线的弧长 重点：特殊图形的体积计算、平面曲线的弧长
难点：对具体问题找出微分元素 关键：理解解决问题的思想方法
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第六章第二讲
第二节 定积分在几何学上的应用
*****(本讲非常重要！必须掌握！！)
二、体积 三、平面曲线的弧长
2 3
2 3
2 3
x [ a ,a ]
a
o
ax
旋转体的体积
a x V a
a 2 3
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2 3 3
32 3 dx a . 105
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第六章第二讲
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x ( y ) 、 直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
补充
V 2 |f ( x ) |dx y x
a
b
利用这个公式，可知上例中
V 2 |f ( x ) |dx y x
2 a ( t sin t ) a ( 1 cos t ) d [ a ( t sin t )]
2 3 3 2 a ( t sin t )( 1 cos t ) dt 6 a. 0