2015年福建省福州市中考数学试卷
2015福建福州中考数学解析
2015年福建省福州市中考数学试卷（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分，满分30分；每小题只有一个正确选项．）1．（2015福建省福州市，1，3分）a的相反数是（）A．|a| B．1aC．－a D．a【答案】C【考点解剖】本题考查了相反数，解题的关键是正确理解相反数的概念．【解题思路】将a前面添加“－”，即可得到a的相反数．【解答过程】解：根据相反数的定义知，a的相反数是－a，故选择C.【易错点津】此类问题容易出错的地方是混淆绝对值、倒数和相反数的概念，造成错选．【思维模式】对于一个数，主要是由符号和绝对值构成的，符号相反绝对值相等的两个数是互为相反数．【点评】虽然相反数是一个简单的概念，但字母的相反数比具体数字的相反数要抽象一些，更能看出考生是否理解相反数的概念，不是简单无聊的送分题．【试题难度】★【关键词】相反数2．（2015福建省福州市，2，3分）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．【答案】B【考点解剖】本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，解题的关键是掌握准确识别证明AB∥CD所需的内错角．【解题思路】根据平行线的判定，逐项判断，识别.【解答过程】解：A、D两项中，∠1和∠2是同旁内角，同旁内角相等，两直线不一定平行；B项正确；C项中，∠1和∠2是内错角，但由∠1＝∠2只能得到AD∥BC，不能得到AB∥CD．故选择B.【易错点津】此类问题容易出错的地方是错选C项，因为C项中∠1和∠2是内错角．【思维模式】逐项检查∠1和∠2是不是AB、CD的同位角、内错角．【试题难度】★【关键词】内错角；平行线的判定3．（2015福建省福州市，3，3分）不等式组12xx≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【考点解剖】本题考查了不等式组的解法并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是会寻找两个不等式解集的公共部分．【解题思路】先确定不等式组的解集，然后分别在数轴上表示x≥－1和x＜2．x≥－1实心x＜2空心．【解答过程】解：不等式组12xx≥-⎧⎨<⎩的解集是－1≤x＜2，解集在数轴上的表示为A，故选择A .【易错点津】此类问题容易出错的地方是不注意解集在数轴上表示的时候是空心点还是实心点．【方法规律】解决此类题的关键是能够将数、形结合起来，掌握在数轴上表示不等式解集的方法：“大于向右画，小于向左画，含有等号为实心圆点，不含等号为空心圆圈”.利用数轴表示不等式的解集通常有下列四种情况：x≥a x＞a x≤a x＜a 【试题难度】★★【关键词】不等式(组)的解集；不等式(组)的解集的表示方法4．（2015福建省福州市，4，3分）计算3.8×107－3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×106【答案】D【考点解剖】本题考查了整式的运算和科学记数法，解题的关键是掌握整式的运算法则和科学记数法．【解题思路】先计算3.8×107－3.7×107，得0.1×107，然后表示成科学记数法的形式．【解答过程】解：3.8×107－3.7×107＝（3.8－3.7）×107＝0.1×107＝10-1×107＝106＝1×106，故选择D .【易错点津】此类问题容易出错的地方是以为0.1×107是最终结果导致错选A．【方法规律】把任何一个大于10的数表示成a×10n时，确定a和n有如下规律：其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这里的n可以用原数的整数数位减去1得到．【试题难度】★★【关键词】科学记数法；整式的运算法则5．（2015福建省福州市，5，3分）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图【答案】A【考点解剖】本题考查了扇形统计图，条形图，折线图，直方图，解题的关键是掌握各种统计图的基本特征．【解题思路】根据各种统计图的特征作出选择．【解答过程】解：A项是扇形统计图，它能够显示部分在总体中所占百分比，符合题意；B项是条形统计图，它能够清楚地显示每组数据具体数值是多少；C项是折线图，它能够反映一组数据的变化趋势；D项是直方图，它能够反映数据在各个小范围内的分布情况，故选择A.【方法规律】统计图的基本特征：条形统计图：①能够显示每组中的具体数据；②易于比较数据之间的差别．扇形统计图：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小．折线统计图：能够显示数据的变化趋势，反映事物的变化情况．直方图：①能清楚显示各组频数分布情况;②易于显示各组之间频数的差别.【试题难度】★★【关键词】扇形图；条形图；折线图；直方图6．（2015福建省福州市，6，3分）计算a·a－1的结果为（）A．－1 B．0 C．1 D．－a【答案】C【考点解剖】本题考查了同底数幂的乘法和零指数幂的意义，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则和零指数幂的意义．【解题思路】先算同底数幂的乘法，再根据零指数幂的意义得出结果.【解答过程】解：a·a－1＝a1－1＝a0＝1，故选择.C【易错点津】此类问题容易出错的地方是误认为a＝a0．误认为a－1＝－a，错将指数的负号当作前面的负号．【思维模式】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．本题涉及的知识点有：①a0＝1（a≠0）；②a m·a n＝a m＋n；③a＝a1．【试题难度】★★【关键词】零指数幂；同底数幂的乘法7．（2015福建省福州市，7，3分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】B【考点解剖】本题考查了建立平面直角坐标表示轴对称，解题的关键是找到可以关于坐标轴对称的两个点．【解题思路】由于两个点关于一条坐标轴对称，坐标轴是网格线，可以发现点A、点C的对称轴经过点B，以B点为y轴，建立的平面直角坐标系，点A、点C必定关于y轴对称．【解答过程】解：观察正方形网格，得A、C两点的连线被过点B的网格线所在直线垂直平分，所以满足条件的原点是点B，故选择B.【易错点津】此类问题容易出错的地方不能准确理解题意，随意瞎做．【方法规律】本题解决问题的关键是找准成轴对称的两点，对称轴必定垂直平分对称点的所连的线段．【试题难度】★★【关键词】象限坐标特征；在坐标系或网格中求解几何图形中点的坐标；用坐标表示轴对称8．（2015福建省福州市，8，3分）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°【答案】B【考点解剖】本题考查了垂直平分线的尺规作图作法，解题的关键是准确画出图形，找出图中线段间的数量关系．【解题思路】分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，实际上是线段CD的垂直平分线的作法．MA D C B由作法不难看出CA＝CM＝CB，因此∠A＝∠CMA，∠B＝∠BMC，由于∠A＋∠CMA＋∠B＋∠BMC＝180°，因此∠CMA＋∠BMC＝90°．【解答过程】解：如上图，测量∠AMB的度数为90°．故选择B .【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能准确画出图形，也就不能发现题中的数量关系．【思维模式】这是一个基本图形，CM＝CA＝CB时，∠AMB＝90°．【试题难度】★★★【关键词】中点；垂直平分线；尺规作图；等边对等角；直角三角形 9．（2015福建省福州市，9，3分）若一组数据1，2，3，4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的值不可能是（ ） A ．0 B ．2.5 C ．3 D ．5【答案】C【考点解剖】本题考查了平均数和中位数之间的关系，解题的关键是会用排除法解决问题． 【解题思路】（1）当x ＝0时，平均数是2，中位数是2，符合题意；（2）当x ＝2.5时，平均数是2.5，中位数是2.5，符合题意；（3）当x ＝3时，平均数是2.6，中位数是3，不符合题意；（4）当x ＝5时，平均数是3，中位数是3，符合题意．【解答过程】解：由题意得中位数为2或x 或3. 由15（1＋2＋3＋4＋x ）＝2，得x ＝0. 由15（1＋2＋3＋4＋x ）＝x ，得x ＝2.5. 由15（1＋2＋3＋4＋x ）＝3，得x ＝5.故选择C . 【易错点津】此类问题容易出错的地方是计算错误或找中位数时没有排序． 【方法规律】】将数据按由小到大的顺序重新排序后，最中间的数就是中位数，出现次数最多的就是众数．平均数公式121()n x x x x n=+++．【试题难度】★★★【关键词】平均数；中位数 10．（2015福建省福州市，10，3分）已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．反比例函数 D ．二次函数【答案】D【考点解剖】本题考查了函数的增减性，解题的关键是用排除法解决问题． 【解题思路】【解答过程】解：若正比例函数过(1，－4)，(2，－2)两点，则这个正比例函数不存在；若一次函数、反比例函数过(1，－4)，(2，－2)两点，那么这些函数的函数值y 随x 的增大而增大．若二次函数过(1，－4)，(2，－2)两点如下图：（2）（1）图（1）中，在对称轴的左侧，函数值y 随x 的增大而减小，图（2）中，在对称轴的右侧，函数值y 随x 的增大而减小，故选择D .【易错点津】此类问题容易不借助画图，仅凭记忆，容易记错．【方法规律】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质主要从抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、函【关键词】二次函数增减性；函数图象二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（2015福建省福州市，11，4分）分解因式a2－9的结果是______________．【答案】(a＋3)(a－3)【考点解剖】本题考查了分解因式，解题的关键是了解平方差公式特点．【解题思路】运用平方差公式分解即可.【解答过程】解：a2－9＝a2－32＝(a＋3)(a－3)【易错点津】此类问题容易出错的地方一是记错9是多少的平方；二是和完全平方公式相混淆．【思维模式】因式分解一般步骤为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四检验”，先考虑通过提公因式，套用公式法解决，不行再考虑用分组分解法进行，最后检验因式分解是否彻底正确．【试题难度】★★【关键词】分解因式；运用平方差公式12．（2015福建省福州市，12，4分）计算(x－1)(x＋2)的结果是_____________________．【答案】x2＋x－2【考点解剖】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．【解题思路】将第一个括号里面的每一项依次与第二个括号里面的每一项分别相乘．【解答过程】解：(x－1)(x＋2)＝x2＋2x－x－2＝x2＋x－2．【易错点津】此类问题容易出错的地方是漏乘其中一项．【方法规律】(x＋a)(x＋b)型多项式乘法：在进行计算含有一个相同字母的两个一次二项式相乘时，可借助下列公式进行快速计算：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab．注意：（1）多项式的乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的；（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积，如(a＋b)(x＋y＋z)的项数在没合并前，应是2×3＝6项；（3）注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号；（4）多项式乘多项式的积中，有同类项要合并同类项．【试题难度】★★【关键词】多项式与多项式相乘13．（2015福建省福州市，13，4分）一个反比例函数图象过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的解析式是______________．【答案】6 yx =【考点解剖】本题考查了反比例函数解析式的确定，解题的关键是会用待定系数法求反比例函数的解析式．【解题思路】先设出反比例函数的解析式，再将A (－2，－3)代入，求出解析式．【解答过程】解：设反比例函数的解析式为k y x=， ∵双曲线ky x=经过点A (－2，－3)， ∴32k-=-，解得k ＝6． ∴反比例函数的解析式为6y x=． 【易错点津】此类问题容易出错的地方是混淆正比例函数和反比例函数． 【方法规律】用待定系数法求反比例函数的关系式的步骤： （1）设出反比例函数的关系式ky x=(k ≠0)； （2）把已知条件(一组自变量与因变量的对应值)代入关系式，得到关于k 的方程； （3）解这个方程，求出待定系数k ；（4）将待定系数k 的值代入，得到反比例函数的关系式．确定反比例函数的关系式时，自变量的取值应使实际问题有意义．【试题难度】★★【关键词】反比例函数的表达式 14．（2015福建省福州市，14，4分）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是______________．【答案】0【考点解剖】本题考查了方差，解题的关键是熟记方差公式或掌握方差的性质． 【解题思路】应用方差公式计算或应用“一列相等的数的方差为0”解题．【解答过程】解法1：121()n x x x x n=+++＝1(20152015201520152015)5++++＝2015.2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-＝2221[(20152015)(20152015)(20152015)]5-+-++- ＝0.解法2：∵该组数据都相等，∴2s ＝0.【易错点津】此类问题容易出错的地方是错用公式或不掌握方差性质．【方法规律】（1）求方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-的一般步骤：①求平均数；②计算各偏差的平方；③求各偏差的平方和；④求各偏差平方的平均数． （2）方差的意义方差是度量数据波动情况的重要统计量，方差越大，数据的波动越大，即数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，即数据越稳定．我们需用样本方差来估计总体方差．（3）方差的变形公式如果一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据的平均数是x ，那么它们的方差可用下面的公式计算：① S 2＝1n [(x 12＋x 22＋…＋x n 2)－n 2x ]，或写成S 2＝1n (x 12＋x 22＋…＋x n 2)－2x ； ②22222121[()]n S x x x nx n'''=+++-，其中'11x x a =-，'22x x a =-，…，'n n x x a =-，a 是接近这组数据的平均数的一个常数．（4）平均数、方差的运算性质①如果一组数据12,,,n x x x 的平均数是x ，方差是2S ，那么一组新数据12,,,n x b x b x b+++的平均数是x ＋b ，方差仍是2S ．②如果一组数据12,,,n x x x 的平均数是x ，方差是2S ，那么一组新数据12,,,n ax ax ax 的平均数是ax ，方差仍是22a S ，标准差是a s ．③如果一组数据12,,,n x x x 的平均数是x ，方差是2S ，那么一组新数据12,,,n ax b ax b ax b +++的平均数是ax b +，方差仍是22a S ，标准差是a s ，其中a 、b 是常数．【试题难度】★★【关键词】方差 15．（2015福建省福州市，15，4分）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm ，则正方体的体积为_______cm 3．【答案】【考点解剖】本题考查了圆内接正方形的边角关系，解题的关键是求出正方体的棱长． 【解题思路】根据底面周长求出正方体的棱长，进而求出正方体的体积． 【解答过程】解：设圆柱的底面半径为r ．∵圆柱底面周长为2π， ∴r ＝1．∴正方体的体积为【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能根据圆的半径，求出正方体的棱长． 【方法规律】正多边形的性质（1）正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆． （2）正多边形的各边相等，各角相等．（3）正多边形都是轴对称图形，几边形就有几条对称轴，边数为偶数的正多边形也是中心对称图形．（4）正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．（5）正n 边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则有2222a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【试题难度】★★【关键词】圆内接四边形16．（2015福建省福州市，16，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC △ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是______________．1【考点解剖】本题考查了等边三角形的判定、等腰直角三角形和轴对称，解题的关键是能够判断出△ACM 是等边三角形．【解题思路】连接AM ，设BM 与AC 相交于点D ，证明△ACM 是等边三角形，然后分别求出BD 和DM 的长．【解答过程】解：连接AM ，设BM 与AC 相交于点D ．∵Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC∴AC ＝2． ∵∠ACM ＝60°，AC ＝CM ＝2． ∴△ACM 是等边三角形． ∴MC ＝MA ． ∵AB ＝BC ，∴BM 垂直平分AC ． ∴DM ＝AM ×sin60°又∵BD ＝12AC ＝1， ∴BM ＝BD ＋DM1．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能发现△ACM 是等边三角形． 【方法规律】1．含60°角的等腰三角形是等边三角形；2．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；3. 连接AM ，构造等边三角形ACM ．【试题难度】★★★★【关键词】等腰直角三角形；等边三角形的判定；垂直平分线的判定．三、解答题（共10小题，满分96分） 17．（2015福建省福州市，17，7分）计算：20150(1)sin30(2-++．【考点解剖】本题考查了乘方、三角函数值以及二次根式的乘法，解题的关键是数量掌握这些基本运算法则．【解题思路】2015(1)1-=-，sin30°＝12，(2＝222431-=-=． 【解答过程】解：原式＝11(43)2-++-12=．【易错点津】此类问题容易出错的地方是算错负数的奇次幂为正，记错特殊角的三角函数值等．【方法规律】实数的运算，需注意：（1）实数的运算顺序；（2）特殊角的三角函数值，绝对值、二次根式，乘方，零指数幂，负指数幂等知识的灵活应用；（3）运算律的灵活应用．【试题难度】★★【关键词】实数；负整数指数幂；特殊角三角形函数值；平方差；二次根式D18．（2015福建省福州市，18，7分）化简：22222 ()2a b aba b a b+-++．【考点解剖】本题考查了同分母分式的减法，解题的关键是正确运用分式运算的法则．【解题思路】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，然后再化简约分．【解答过程】解：原式22222()2a b aba b a b+-++222222a ab b aba b++-=+2222a ba b+=+＝1．【易错点津】此类问题容易出错的地方是混淆分式本身的符号和分子的符号而运算错误．【方法规律】分式化简类题型运算的一般过程：（1）有括号先计算括号内的（加减法关键是通分）；（2）除法变为乘法；（3）分子、分母能因式分解一定要进行分解；（4）约分；（5）进行加减运算：①通分：关键是寻找公分母，②分子合并同类项．【试题难度】★★【关键词】分式的减法运算19．（2015福建省福州市，19，7分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD．【考点解剖】本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是找准判定全等的条件．【解题思路】要证AC＝AD，就要证△ABC≌△ABD，由于这两个三角形有公共边，设法用角边角来证明．【解答过程】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD．在△ABC和△ABD中，12AB ABABC ABD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△ABD (ASA) ．∴AC＝AD．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能正确运用适当的方法来判定两个三角形全等，比如用边边角来证明两个三角形全等，这样就错了．【关键词】全等三角形；全等三角形的判定；全等三角形的性质；20．（2015福建省福州市，20，8分）已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值．【考点解剖】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求方程中的参数，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式定理．【解题思路】根据一元二次方程有两个相等的实数根得出根的判别式等于零． 【解答过程】解：∵关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根，∴△2(21)4140m =--⨯⨯=． ∴214m -=±． ∴52m =或32m =-．【易错点津】此类问题容易出错的地方是弄错一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系．【归纳拓展】（1）一元二次方程根的判别式：在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中，代数式△＝b 2－4ac 叫做根的判别式．（2）一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的情况与根的判别式△＝b 2－4ac 之间的关系：①△＞0⇔该方程有两个不相等的实数根； ②△＝0⇔该方程有两个相等的实数根； ③△＜0⇔该方程没有实数根． 【试题难度】★★【关键词】一元二次方程根的判别式21．（2015福建省福州市，21，9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球各有多少支参赛？【考点解剖】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解题的关键是找出能够反应题目全部含义的一个或两个相等关系．【解题思路】设参加篮球、排球各有x ，y 支参赛，根据共有48支队，以及共有520人这两个相等关系列出二元一次方程组，解方程组即可求解．【解答过程】解：方法一：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛，由题意得481012520x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2820x y =⎧⎨=⎩．答：篮球、排球队各有28支与20支参赛． 方法二：设有x 支篮球队，则有(48－x )支排球队参赛，由题意得10x ＋12(48－x )＝520， 解得x ＝28．∴48－x ＝48－28＝20．答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．【易错点津】此类问题容易出错的地方是找不出两个相等关系，也就是理解不了题目的意思． 【方法规律】用方程或方程组解应用题的一般步骤如下：（1）审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及相等数量关系(这是关键)； （2）找：找出题中所有的等量关系，特别是隐含的数量关系； （3）设：设出未知数，既可设直接未知数（求什么就设什么），也可设间接未知数（一般是与所求问题有直接关系的量）；（4）列：列出方程或方程组； （5）解：解这个方程或方程组；（6）验：检验解是否符合实际意义或是否正确； （7）答：根据所得结果作出回答． 【试题难度】★★【关键词】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用22．（2015福建省福州市，22，9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n ＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？ （在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）（2）从袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．【考点解剖】本题考查了概率的有关计算，解题的关键是知晓如何计算简单事件的概率．【解题思路】弄清楚各种情形下的所有的等可能事件和满足一定条件的情形，然后根据概率的公式进行计算．【解答过程】解：（1）相同；（2）2；（3）由树状图可知：共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A）的结果共有10种，∴P(A)105 126 ==．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不注意随机摸球后的放回和不放回的区别．【归纳拓展】求概率的方法．（1）直接公式法：P（A）＝mn，其中n为所有事件的总和，m为事件A发生的总次数；（2）列举（列表或画树状图）法：当一次试验涉及多个因素（对象）时，由于不能直观的得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n，所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰的列举出来，再根据公式进行计算．一般步骤为：①判断使用列表或画树状图法：列表一般适用于两步计算概率；画树状图法适合于两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果m；④用公式()A mPn=求事件A发生的概率；（3）判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平．【试题难度】★★【关键词】概率23．（2015福建省福州市，23，10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC tan B＝12．半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到弧DE．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【考点解剖】本题考查了切线的判定以及与圆有关的阴影部分面积的计算，解题的关键是运用正确的方法判定圆的切线以及用割补法求不规则图形的面积．【解题思路】（1）用圆心到直线的距离等于圆的半径来证明直线AB是⊙C的切线；（2）用规则图形面积的代数和来表示阴影部分的面积．【解答过程】解：（1）如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt △ABC 中，tan B 12AC BC ==，∴BC ＝2AC ＝∴5AB ===，∴25AC BC CF AB ⋅===． 又∵⊙C 的半径为2，∴AB 为⊙C 的切线． （2）ABC CDE S S S ∆=-阴影扇形212360n r AC BC π=⋅- 219022360π⨯= 5π=-．【易错点津】此类问题容易出错的地方是用错扇形的面积公式． 【思维模式】判定圆的切线常见思路：①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．看到求不规则图形阴影部分的面积，就想到割补法，即用几个规则图形的面积相加相减可得不规则图形的面积．【试题难度】★★★【关键词】圆的切线的判定；扇形的面积；割补法求面积24． （2015福建省福州市，24，12（n操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF ．则四边形BCEF∴∠A ＝∠BFE ． ∴EF ∥AD ．∴BG BFBD AB =1BF=． ∴BF =．∴:BC BF ==．∴四边形BCEF阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH 相等的线段是 ，tan ∠HBC 的值是 ；（2）已知四边形BCEF BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN（3BCMN 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个”，则n 的值是 ．【考点解剖】以及每次折叠中图形中的数量关系和位置关系．【解题思路】矩形． 【解答过程】解：（1）由轴对称的性质可知CH ＝GH ，∠BGH ＝∠C ＝90°，又由于四边形ABCD 为正方形， ∴∠BDC ＝45°．∴△DGH 为等腰直角三角形． ∴GD ＝GH ．因此第一处的答案应该是GH ，DG ．设CH ＝a ，则DH ，所以CD ＝1)a ，∴tan ∠HBC ＝1CH BC ==．1．（2）证明：∵BF =，BC ＝1，∴BD =． 由折叠的性质可知：BP ＝BC ＝1，∠FNM ＝∠BNM ＝90°，则四边形BCEF 为矩形． ∴∠BNM ＝∠F ． ∴MN ∥EF ．∴BP BNBE BF =，即BP ·BF ＝BE ·BN ．2BN =． ∴BN =．。
2015年福建省福州市中考数学试卷-答案
【考点】三角形全等的判定及其应用
20.【答案】 m 5 或 m 3
2
2
【解析】解： 关于 x 的方程 x2 (2m 1)x 4=0 有两个相等的实数根，
=(2m 1)2 41 4 0 ，2m 1 4 ，
的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零）。 3.8107 3.7 107 0.1107 =1106 ，故选 D。 【考点】科学记数法 5.【答案】A 【解析】扇形统计图是表示部分在总体中所占百分比的统计图，故选 A。 【考点】扇形图、条形图、折线图和直方图统计数据的意义 6.【答案】C 【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加， a a-1 1 ，故选 C。
不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（ ， 向右画； ， 向左
画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那
么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个。在表示解集时“ ”“ ”要用实心圆点表示，“ ”“ ”
福建省福州市 2015 年初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
________________ _____________
一、选择题 1.【答案】C
【解析】 a 的相反数是 a ，故选 C。
【考点】相反数 2.【答案】B 【解析】B 选项中，由 1=2 得出 AB//CD ，故选 B。 【考点】平行线的判定 3.【答案】A 【解析】先利用口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了）求出这些解集的公共部分。
而 k 0 ，所以在每个象限内， y 随 x 增大而增大，所以 C 选项错误，故选 D。
2015福州市中考数学试卷
年福州市初中毕业会考、髙级中等学校招生考试2015试题数学）3分，满分30分；每小题只有一个正确选项。
一、选择题（共10小题，每题的相反数是1.A B. C.-a DAB//C下列图形中，的能得2?的解集在数轴上表示正确的是3.不等式组77-3.7×10 ，结果用科学记数法表示为4.计算3.8×106776 1 C. 1 D. A.0.1 B. 0.1 10×10×××1010是分比的统计图示部分在总体中所占百5下列选项中，显图方D直 c.折线图扇形图 B.条形图 A.-1的结果为计算a·a6D-a C 1 B.0-1A线为在直原点，格线所一点为其中D，,以7如图，在3x3的正方形格中有四个格点A,B,C,角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐坐标轴，建立平面直标轴对称，则原点是点 D. D C. C点点 A.A点 B. BBC圆心，点C，D为D分別是线段AB，AC的中点，分别以图8如.，C，为数，结果度半径画弧，两弧交于点M，测量的长为AMB? 000005 1 D. C. 1009 A.80 B.09.若一组数据1,2,3,4，x的平均数与中位数相同，则实数x的値不可能是D.53C..52B. A.0．xy随都有函数值某个取值范围内，的，在自变量x (2.10.已知一个函数图像经过(1.-4)-2)两点的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是次D.二.正比例一 B.次反比例函数c.A函数函数函数分）分，满分24共(6小题.每题4二、境空题2_.9a 分解因式的结果是-11的结果是（x+2)(x-l）12计算函数的解析式例，3)则这个反比13一个反比例函数图象过点A(-2,-_201的差20114组数201201201201其部凹槽是方体，图所15个工件，部是圆柱体，方体的方体一面四都在圆柱底面的圆上，若圆柱底周23m_cAB=BC1如在02ABC?绕中，=90点0_的逆时针转60，,得到△MNC，则BM.长是C)分96三、解答题(共10小题，满分2015033.+）in30(2+(2-）（)17 (7分计算:-1)+s简:(187分)化AC=AD.=，=，求证：3?2??14?分）如图，19（82. 的值有两个相等的实数根，求的方程xm+(2m-1)+4=0)20(8分已知关于x每12人，10加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队21(9分)有48支队520名运动员参一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛? 名运动员只能参加22(9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=l时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是_(3)在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球额色不同的概率．105)如图,分23(10C?BC=90，，的AC=，tanB=，分别交。
2015福建福州中考数学试题及答案(含答案)
2015年福建省福州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•福州）a 的相反数是（ ）A ．|a|B ．C ．﹣aD． 2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB ∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2015•福州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ） A ．0.1×107B ．0.1×106C ．1×107D ．1×106 5．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ） A ．扇形图B ．条形图C ．折线图D ．直方图 6．（3分）（2015•福州）计算a •a ﹣1的结果为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．﹣a 7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ） A ．A点B．B点C．C点D．D点8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ） A ．80°B．90°C．100°D．105°9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（ ） A ．0B．2.5C．3D．510．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A ．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是 ．12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是 ．13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是 ．14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是 ．15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 cm3．16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．18．（7分）（2015•福州）化简：﹣．19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．20．（8分）（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 ；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 ，tan∠HBC的值是 ；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 ．25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．2015年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•福州）a 的相反数是（ ） A ．|a|B ．C ．﹣a D．考点：实数的性质．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：a 的相反数是﹣a ．故选：C ．点评：本题考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．一个数的相反数就是在这个数前面添上一个“﹣”号． 2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB ∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：平行线的判定．专题：计算题．分析：利用平行线的判定方法判断即可．解答：解：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），故选B点评：此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3．（3分）（2015•福州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：首先根据解一元一次不等式组的方法，可得不等式组的解集是﹣1≤x ＜2；然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．解答：解：不等式组的解集是：﹣1≤x ＜2，∴不等式组的解集在数轴上表示为：．故选：A ．点评：（1）此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．（2）此题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ） A ．0.1×107B ．0.1×106C ．1×107D ．1×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：直接根据乘法分配律即可求解．解答：解：3.8×107﹣3.7×107=（3.8﹣3.7）×107=0.1×107 =1×106．故选：D．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．5．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ） A ．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图考点：统计图的选择．分析：根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．解答：解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图；故选：A．点评：本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．6．（3分）（2015•福州）计算a•a﹣1的结果为（ ） A ．﹣1B．0C．1D．﹣a考点：分式的乘除法；负整数指数幂．分析：利用同底数幂的乘法，零指数幂的计算法则计算即可得到结果．解答：解：a•a﹣1=a0=1．故选：C．点评：此题考查了同底数幂的乘法，零指数幂运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ） A ．A点B．B点C．C点D．D点考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．分析：以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．解答：解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．点评：本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ） A ．80°B．90°C．100°D．105°考点：等腰三角形的性质；作图—基本作图．分析：根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．解答：解：如图，，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B．点评：（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（ ） A ．0B．2.5C．3D．5考点：中位数；算术平均数．分析：因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．解答：解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选C．点评：本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数10．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A ．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．解答：解：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：y=，由题意得，k=﹣4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D．点评：本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是 （a+3）（a﹣3） ．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接运用平方差公式分解即可．解答：解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．点评：本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是 x2+x﹣2 ．考点：多项式乘多项式．分析：根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．解答：解：（x﹣1）（x+2）=x2+2x﹣x﹣2=x2+x﹣2．故答案为：x2+x﹣2．点评：本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是 ．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出k值，即可得到解析式．解答：解：设这个反比例函数解析式为y=，∴=﹣3，解得k=6，∴这个反比例函数的解析式是y=．故答案为：y=．点评：本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法是解题的关键，本题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解．14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是 0 ．考点：方差．分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2015，2015，2015，2015，2015，2015全部相等，没有波动，故其方差为0．解答：解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故它的方差为0．故答案为：0．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 2 cm3．考点：圆柱的计算．分析：作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．解答：解：该几何体的俯视图如图：∵圆柱底面周长为2πcm，∴OA=OB=1cm，∵∠AOB=90°，∴AB=OA=，∴该正方体的体积为（）3=2，故答案为：2．点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 +1 ．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．解答：解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．点评：本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．18．（7分）（2015•福州）化简：﹣．考点：分式的加减法．分析：根据同分母分式的减法法则计算，再根据完全平方公式展开，合并同类项后约分计算即可求解．解答：解：﹣===1．点评：考查了同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；完全平方公式，合并同类项．19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．解答：证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．点本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角评：形全等是解决问题的关键．20．（8分）（2015•福州）已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m 的值．考点：根的判别式．分析：先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m 的方程，解方程求出m 的值即可．解答：解：∵x 2+（2m ﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=（2m ﹣1）2﹣4×4=0，解得m=﹣或m=．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m 的方程是解答此题的关键． 21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？考点：二元一次方程组的应用．分析：设篮球队有x 支，排球队有y 支，根据共有48支队，520名运动员建立方程组求出其解即可．解答：解：设篮球队有x 支，排球队有y 支，由题意，得，解得：．答：篮球队有28支，排球队有20支．点评：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n 的值是 2 ；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．考点：列表法与树状图法；概率公式；利用频率估计概率．分析：（1）因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；（2）根据摸到绿球的频率稳定于0.25，即可求出n的值；（3）根据树状图即可求出两次摸出的球颜色不同的概率．解答：解：（1）当n=1时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，故答案为：相同；（2）∵摸到绿球的频率稳定于0.25，∴，∴n=2，故答案为：2；（3）由树状图可知，共有12种结果，其中两次摸出的球颜色不同的10种，所以其概率=．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．考点：切线的判定；勾股定理；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：（1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出CH=2，则可判断CH为⊙C的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线；（2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE进行计算即可．解答：（1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∵tanB==，∴BC=2AC=2，∴AB===5，∵CH•AB=AC•BC，∴CH==2，∵⊙C的半径为2，∴CH为⊙C的半径，而CH⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）解：S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE=×2×5﹣=5﹣π．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 GH、DG ，tan∠HBC的值是 ﹣1 ；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 6 ．考点：几何变换综合题；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；平行线分线段成比例．专题：阅读型；新定义．分析：（1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH=x，根据DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为矩形”的方法就可解决问题；（3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此就可得到n的值．解答：解：（1）由折叠可得：DG=HG，GH=CH，∴DG=GH=CH．设HC=x，则DG=GH=x．∵∠DGH=90°，∴DH=x，∴DC=DH+CH=x+x=1，解得x=．∴tan∠HBC===．故答案为：GH、DG，；（2）∵BC=1，EC=BF=，∴BE==．由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，∴MN∥EF，∴=，即BP•BF=BE•BN，∴1×=，2BN∴BN=，∴BC：BN=1：=：1，∴四边形BCMN是的矩形；（3）同理可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．点评：本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．考点：相似形综合题．分析：（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．解答：（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA；（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠DGE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是 2 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 45° ；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．解答：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，==，由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，。
2015年福建福州中考真题数学
2015年福建省福州市中考真题数学一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. a的相反数是（）A. |a|B. 1 aC.-a解析：a的相反数是-a．故选：C.答案：C2. 下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A.B.C.D.解析：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B.答案：B3. 不等式组12x x ≥-⎧⎨⎩＜的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B. C.D.解析：不等式组12x x ≥-⎧⎨⎩＜的解集是：-1≤x ＜2，∴不等式组12x x ≥-⎧⎨⎩＜的解集在数轴上表示为：故选A.答案：A4. 计算3.8×710-3.7×710，结果用科学记数法表示为（ ）A.0.1×710B.0.1×610C.1×710D.1×610解析：3.8×710-3.7×710 =（3.8-3.7）×710 =0.1×710 =1×610故选：D 答案：D5. 下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ） A.扇形图 B.条形图 C.折线图 D.直方图解析：根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目. 在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图. 故选：A 答案：A6. 计算1a a -⋅的结果为（ ） A.-1 B.0 C.1 D. a -解析：1a a -⋅=0a =1故选：C 答案：C7. 如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点解析：当以点B 为原点时， A （-1，-1），C （1，-1）， 则点A 和点C 关于y 轴对称， 符合条件， 故选：B 答案：B8. 如图，C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为（ ）A.80°B.90°C.100°D.105°解析：如图，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B.答案：B9. 若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A.0B.2.5C.3D.5解析：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选C.答案：C10. 已知一个函数图象经过（1，-4），（2，-2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数解析：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，422 k bk b+=-⎧⎨+=-⎩，解得，26 kb=⎧⎨=-⎩，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：kyx =，由题意得，k=-4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D.答案：D二、填空题（共6小题，满分24分）11. 分解因式2a-9的结果是 .解析：直接运用平方差公式分解：2a-9=（a+3）（a-3）．答案：（a+3）（a-3）12. 计算（x-1）（x+2）的结果是 .解析：根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，则，（x-1）（x+2）=2x+2x-x-2=2x+x-2．答案：2x+x-213. 一个反比例函数图象过点A（-2，-3），则这个反比例函数的解析式是 .解析：设这个反比例函数解析式为kyx =，14. 一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是 .解析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2015，2015，2015，2015，2015，2015全部相等，没有波动，故其方差为0.答案：015. 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为3cm. 解析：该几何体的俯视图如图：∵圆柱底面周长为2πcm，解析：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，19. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD.解析：先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可.（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：126，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于23. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，tanB=12点D，E，得到.（1）求证：AB为⊙C的切线；解析：（1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2答案：（1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，解析：（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1. 答案：（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA；（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠DGE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，①PD+DQ的最大值；②PD·DQ的最大值.2∴B（-2，0），（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=45°+45°=90°，过P点作PM⊥CH于点M，如图④，则△PMH是等腰直角三角形，。
福建省福州市2015年中考数学试题(word版)
2015年福州市初中毕业会考、髙级中等学校招生考试一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项。
） 1.a 的相反数是A.aB. a1C.-aD.a2.下列图形中，有1∠=2∠能得到AB//CD 的是3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是4.计算3.8×107-3.7×107，结果用科学记数法表示为A.0.1×107B. 0.1×106C. 1×107D. 1×1065 下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是A. 扇形图B. 条形图 c.折线图 D 直方图6 计算a ·a -1的结果为A -1 B.0 C 1 D-a7 如图，在3x3的正方形网格中有四个格点A , B, C, D ，,以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是A.A 点B. B 点C. C 点D. D 点8如图.，C ，D 分別是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心， BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量AMB ∠的度数，结果为A.800B. 900C. 1000D. 10509.若一组数据1,2,3,4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的値不可能是A.0B.2.5C. 3D.5 10.已知一个函数图像经过(1. -4) (2. -2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是A . 正比例函数 B. 一次函数 c. 反比例函数 D.二次函数二、境空题(共6小题.每题4分，满分24分）11 分解因式a 2-9的结果是_.12 计算(x - l ）（x+2)的结果是13一个反比例函数图象过点A(-2, -3)，则这个反比例函数的解析式是_.14. 一组数据: 2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是_.15 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示。
福建省福州市2015年中考数学试题(word版)
2015年福州市初中毕业会考、髙级中等学校招生考试一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项。
） 1.a 的相反数是A.aB. a1C.-aD.a2.下列图形中，有1∠=2∠能得到AB//CD 的是3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是4.计算3.8×107-3.7×107，结果用科学记数法表示为A.0.1×107B. 0.1×106C. 1×107D. 1×1065 下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是A. 扇形图B. 条形图 c.折线图 D 直方图6 计算a ·a -1的结果为A -1 B.0 C 1 D-a7 如图，在3x3的正方形网格中有四个格点A , B, C, D ，,以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是A.A 点B. B 点C. C 点D. D 点8如图.，C ，D 分別是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心， BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量AMB ∠的度数，结果为A.800B. 900C. 1000D. 10509.若一组数据1,2,3,4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的値不可能是A.0B.2.5C. 3D.5 10.已知一个函数图像经过(1. -4) (2. -2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是A . 正比例函数 B. 一次函数 c. 反比例函数 D.二次函数二、境空题(共6小题.每题4分，满分24分）11 分解因式a 2-9的结果是_.12 计算(x - l ）（x+2)的结果是13一个反比例函数图象过点A(-2, -3)，则这个反比例函数的解析式是_.14. 一组数据: 2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是_.15 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示。
2015年福州中考数学试卷含答 案(word版)
2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！毕业学校_______________________姓名_______________考生号__________一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项．）1．a的相反数是（C）A．|a| B． C．－a D．2．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（B）3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（A）4．计算，结果用科学记数法表示为（D ）A． B． C． D．5．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（A ）A．扇形图 B．条形图 C．折线图 D．直方图6．计算的结果为（ C）A．－1 B．0 C．1 D．－a7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ B ）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点8．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（B）A．80º B．90º C．100º D．105º9．若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（C）A．0 B．2．5 C．3 D．510．已知一个函数图象经过（1，－4），（2，－2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（D）A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．分解因式的结果是___（a＋3）（a－3）_______．12．计算（x－1）（x＋2）的结果是__________．13．一个反比例函数图象过点A（－2，－3），则这个反比例函数的解析式是________．14．一组数据：2015，2015，2015，2015，2015的方差是____0____．15．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2cm，则正方体的体积为____cm．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝BC＝．将△ABC绕点C逆时针旋转60º，得到△MNC，连接BM，则BM的长是______．三、解答题（共10题，满分96分）17．（7分）计算：＋sin30º＋．解：原式＝－1＋＋1＝．18．（7分）化简：．解：原式＝＝＝1．19．（8分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD．证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD．∵∠1＝∠2，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD．∴AC＝AD．20．（8分）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值．解：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝．解得m＝，或m＝．21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？解：设有x支篮球队参赛，则有（48－x）支排球队参赛．依题意列方程10x＋12（48－x）＝520．解得x＝28．所以48－x＝20．答：篮球、排球队各有28、20支参赛．22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0．25，则n的值是________;（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．解：（1）相同（2）2（3）由树状图得一次试验中一共有12种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件“两次摸出的球颜色不同”包含其中的10种结果，所以所求概率为＝．23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝，tan B＝．半径为2的⊙C分别交AC、BC于点D、E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）过点C作CF⊥AB，F为垂足．∵AC＝，tan B＝＝，∴BC＝．∴AB＝＝5．∵＝AC·BC＝AB·CF．∴CF＝＝2．∴点C到AB的距离等于⊙C的半径．∴AB为⊙C的切线．（2）由（1）得＝AC·BC＝5，而＝，阴影部分的面积＝5－．24．（12分）定义：长宽比为∶1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝．由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90º，则四边形BCEF为矩形．∴∠A＝∠BFE．∴EF∥AD．∴，即．∴．∴BC∶BF＝1∶＝∶1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下面问题：（1）在①中，所有与CH相等的线段是___GH，GD____，tan∠HBC的值是________;（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形．（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是____6_____．解：（2）证明：设矩形BCEF的边长BF＝1，则BC＝，则BE＝．由折叠性质可知BP＝BC＝，∠FNM＝∠BNM＝90º，则四边形BCMN为矩形．∴∠F＝∠BNM．∴MN∥FE．∴，即．∴．∴BC∶BN＝∶＝∶1．∴四边形BCMN为矩形．（3）附录：证明矩形经过上述操作后得到矩形．如附录图，设矩形BCEF的边长BF＝1，则BC＝，则BE＝．由折叠性质可知BP＝BC＝，∠FNM＝∠BNM＝90º，则四边形BCMN为矩形．∴∠F＝∠BNM．∴MN∥FE．∴，即．∴．∴BC∶BN＝∶＝∶1．∴四边形BCMN为矩形．25．（13分）如图①，在锐角△ABC中，D、E分别为AB、BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM＝DA；（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF;（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．解：（1）证明：∵DM∥EF，∴∠AMD＝∠AFE．∵∠AFE＝∠A，∴∠AMD＝∠A．∴DM＝DA．（2）证明：∵∠DGB＝180º－∠B－∠BDG，∠A＝180º－∠B－∠C，∠BDG＝∠C，∴∠DGB＝∠A．∵∠A＝∠AFE，∴∠DGB＝∠AFE．∵∠DGE＝180º－∠DGB，∠EFC＝180º－∠AFE，∴∠DGE＝∠EFC．又∵DE是中位线，∴DE∥AC．∴∠DEB＝∠C．∴△DEG∽△ECF．（3）提示：如答图，由△BDG∽△BED，得，由△EFH∽△ECF，得．由BD＝DA＝DM＝EF，且BE＝EC，得EH＝BG＝1．26．（13分）如图，抛物线与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是___ __，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______;（2）若两个三角形面积满足＝，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．解：（1）x＝2 45º（2）设直线PQ交x轴于点B，分别在△POQ和△PAQ中作PQ边上的高OE和AF．按点B的不同位置分三种情况讨论如下：①如答图①，若点B在线段OA的延长线上，OE>AF，＝不成立．②如答图②，若点B在线段OA上，∵＝，∴．∵OB＝，AB＝．∴AB＝3OB．∵A（4，0），∴OA＝4．∴OB＝1．∴B（1，0）．∵点B在直线y＝x＋m上，∴m＝－1．③若点B在线段AO的延长线上，与②类似，可得OB＝＝2．∴B（－2，0）．∴m＝2．综上所述，当m＝－1或2时，＝．（3）①如答图④，过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H．则△CHQ是等腰直角三角形．由C（2，2），A（4，0）得直线AC与x轴所夹锐角的度数为45º．∴CD是等腰直角三角形CHQ斜边上的高．∴DQ＝DH．∴PD＋DQ＝PH．过点P作PM⊥CH于点M，则△PMH也是等腰直角三角形．∴PH ＝．∵点P在抛物线上，设它的横坐标为n，则它的纵坐标为．∴点M的纵坐标为2，∴PM＝．配方，得＝．∵0＜n＜4，∴当n＝2时，PM取得最大值是6．∵PD＋DQ＝PH＝，∴PD＋DQ的最大值为．②由①可得PD＋DQ≤．设PD＝a，则DQ≤－a．∴PD·DQ≤＝＝．∵a的取值范围是0＜a≤，∴当a＝时，PD·DQ的最大值为18．附加说明：（对a的取值范围的说明）设点P的坐标为（n，），延长PM交AC于点N．PD＝a＝＝＝＝．∵＜0，0＜n＜4，∴当n＝时，a有最大值为．∴0＜a≤．说明：本卷解答由张越初中数学提供，仅供参考！如有疏漏或谬误之处，尚祈专家、同行不吝指教!。
2015年福建省福州市中考数学试卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前福建省福州市2015年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.a 的相反数是( ) A .||aB .1aC .a - D2.下列图形中,由12∠=∠能得到AB CD ∥的是( )ABC D3.不等式组1,2x x -⎧⎨⎩≥＜的解集在数轴上表示正确的是( )AB CD4.计算773.810 3.710⨯-⨯,结果用科学记数法表示为( ) A .70.110⨯B .60.110⨯C .7110⨯ D .6110⨯ 5.下列选项中,显示部分在总体中所占百分比的统计图是( ) A .扇形图B .条形图C .折线图D .直方图 6.计算1a a -的结果为( )A .1-B .0C .1D .a -7.如图,在33⨯的正方形网格中有四个格点,,,A B C D ,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是 ( ) A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点8.如图,,C D 分别是线段,AB AC 的中点,分别以点,C D 为圆心,BC 长为半径画弧,两弧交于点M ,测量AMB ∠的度数,结果为( ) A .80B .90C .100D .1059.若一组数据1,2,3,4,x 的平均数与中位数相同,则实数x 的值不可能是( ) A .0B .2.5C .3D .5 10.已知一个函数图象经过(1,4),(2,2)--两点,在自变量x 的某个取值范围内,都有函数值y 随x 的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( ) A .正比例函数 B .一次函数 C .反比例函数D .二次函数第Ⅱ卷(非选择题 共120分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在题中的横线上)11.分解因式29a-的结果是 .12.计算(1)(2)x x -+的结果是 .13.一个反比例函数图象过点A (2,3)--,则这个反比例函数的解析式是 . 14.一组数据：2015,2015,2015,2015,2015,2015的方差是 .15.一个工件,外部是圆柱体,内部凹槽是正方体,如图所示,其中正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上,若圆柱底面周长为2πcm ,则正方体的体积为 3cm .16.如图,在Rt ABC △中,90ABC AB BC ∠==，.将ABC △绕点C 逆时针旋转60,得到MNC △,连接BM ,则BM 的长是.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）三、解答题(本大题共10小题,共96分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分7分)计算：2015(1)sin30(2(2-++.18.(本小题满分7分)化简：22222(b)2a aba b a b +-++.19.(本小题满分8分)如图,12∠=∠,34∠=∠,求证：AC AD =.20.(本小题满分8分) 已知关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根,求m 的值.21.(本小题满分9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球队各有多少支参赛？22.(本小题满分9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n 个白球,这些球除颜色外无其他差别. (1)当1n =时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性 (填“相同”或“不相同”)；(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n 的值是 ； (3)在一次摸球游戏中,所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率.23.(本小题满分10分)如图,Rt ABC △中,90C ∠=,AC 1tan 2B =,半径为2的C ,分别交AC ,BC 于点,,DE 得到DE.数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）(1)求证：AB 为C 的切线； (2)求图中阴影部分的面积.24.(本小题满分12分)定义：长宽比为(n 为正整数). 下面,矩形,如图1所示.操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠,使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处,折痕为BH .操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠,使点A ,点D 分别落在边,AB CD 上,折痕为EF ,则四边形BCEF.证明：设正方形ABCD 的边长为1,则BD =.由折叠性质可知1BG BC ==,90AFE BFE ∠=∠=,则四边形BCEF 为矩形.,,,BG BF A BFE EF AD BD AB ∴∠=∠∴∴=∥1BF=, :BF BC BF ∴=∴==，∴四边形BCEF. 阅读以上内容,回答下列问题：(1)在图1中,所有与CH 相等的线段是 ,tan HBC ∠的值是 ； (2)已知四边形BCEF矩形,模仿上述操作,得到四边形BCMN ,如图2,求证：四边形BCMN(3)将图2BCMN 沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个,则n 的值是 .25.(本小题满分13分)如图1,在锐角ABC △中,,D E 分别为,A B B C 的中点,F 为AC 上一点,且,AFE A DM EF ∠=∠∥交AC 于点M .(1)求证：DM DA =；(2)点G 在BE 上,且,BDG C ∠=∠如图2,求证：DEG ECF △∽△； (3)在图2中,取CE 上一点H ,使CFH B ∠=∠,若1BG =,求EH 的长.26.(本小题满分13分)如图,抛物线24y x x =-与x 轴交于,O A 两点,P 为抛物线上一点,过点P 的直线y x m =+与对称轴交于点Q.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共6页） 数学试卷 第8页（共6页）(1)这条抛物线的对称轴是 ,直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 ； (2)若两个三角形面积满足13POQ PAQ S S =△△,求m 的值； (3)当点P 在x 轴下方的抛物线上时,过点(2,2)C 的直线AC 与直线PQ 交于点D ,求：①PD DQ +的最大值； ②PDDQ 的最大值.5 / 17福建省福州市2015年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】a 的相反数是a -，故选C 。
福州中考数学试卷含答案
2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！ 毕业学校_______________________姓名_______________考生号__________ 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项．） 1．a 的相反数是（ C ）A ．|a|B ．a1C ．－aD ．a 2．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB ∥CD 的是（ B ）3．不等式组⎩⎨⎧<-≥21x x ，的解集在数轴上表示正确的是（ A ）4．计算77107.3108.3⨯-⨯，结果用科学记数法表示为（ D ） A ．7101.0⨯ B ．6101.0⨯ C ．7101⨯ D ．6101⨯ 5．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ A ） A ．扇形图 B ．条形图 C ．折线图 D ．直方图 6．计算1-⋅a a 的结果为（ C ）A ．－1B ．0C ．1D ．－a 7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ B ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 8．如图，C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为（ B ）A ．80ºB ．90ºC ．100ºD ．105º 9．若一组数据1，2，3，4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的值不可能是（ C ）A ．0B ．2．5C ．3D ．5B A ． A 1 2CDB B ．A 12DCBC ．A12DCB D ．A DC12A ．2B ．2D ．2C ．2DCBA第7题· · · ·C A B第8题· D· · ·10．已知一个函数图象经过（1，－4），（2，－2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ D ）A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．分解因式92-a 的结果是___（a ＋3）（a －3）_______． 12．计算（x －1）（x ＋2）的结果是_____22-+x x _____．13．一个反比例函数图象过点A （－2，－3），则这个反比例函数的解析式是____xy 6=____． 14．一组数据：2015，2015，2015，2015，2015的方差是____0____．15．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm ，则正方体的体积为__22__cm 3．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90º，AB ＝BC ＝2．将△ABC 绕点C 逆时针旋转60º，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是___13+___．三、解答题（共10题，满分96分） 17．（7分）计算：2015)1(-＋sin30º＋)32)(32(+-．解：原式＝－1＋21＋1＝21． 18．（7分）化简：222222)(b a abb a b a +-++ ． 解：原式＝222222b a ab b ab a +-++＝2222ba b a ++＝1． 19．（8分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝AD ．证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD ． ∵∠1＝∠2，AB ＝AB ， ∴△ABC ≌△ABD ． ∴AC ＝AD ．20．（8分）已知关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根，求m 的值． 解：∵方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根， ∴△＝016)12(2=--m ．解得m ＝25，或m ＝23-．21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？解：设有x 支篮球队参赛，则有（48－x ）支排球队参赛． 依题意列方程10x ＋12（48－x ）＝520． 解得x ＝28．第15题CAB第16题MNAB C D123 4第19题所以48－x ＝20．答：篮球、排球队各有28、20支参赛．22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n ＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？ （在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0．25，则n 的值是________;（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率． 解：（1）相同 （2）2（3）由树状图得一次试验中一共有12种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件“两次摸出的球颜色不同”包含其中的10种结果，所以所求概率为1210＝65． 23．（10分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝5，tan B ＝1．半径为2的⊙C 分别交AC 、BC 于点D 、E ，得到DE ⌒．（1）求证：AB为⊙C 的切线； （2）求图中阴影部分的面积．解：（1）过点C 作CF ⊥AB ，F 为垂足． ∵AC ＝5，tan B ＝BC AC ＝21， ∴BC ＝52．∴AB ＝22BC AC +＝5． ∵ABC S ∆＝21AC ·BC ＝21AB ·CF ． ∴CF ＝5525⋅＝2． ∴点C 到AB 的距离等于⊙C 的半径．∴AB 为⊙C 的切线．绿红红 红 绿 第一次绿 白1 第二次红 绿 白2 白2白2 白1白1 白2 白1第23题B第23题答图B（2）由（1）得ABC S ∆＝21AC ·BC ＝5， 而CDE S 扇形＝π，阴影部分的面积＝5－π．24．（12分）定义：长宽比为n ∶1（n 为正整数）的矩形称为n 矩形． 下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF ．则四边形BCEF 为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则BD ＝21122=+．由折叠性质可知BG ＝BC ＝1，∠AFE ＝∠BFE ＝90º，则四边形BCEF 为矩形． ∴∠A ＝∠BFE ． ∴EF ∥AD ．∴AB BFBD BG =，即121BF =． ∴21=BF ．∴BC ∶BF ＝1∶21＝2∶1．∴四边形BCEF 为2矩形． 阅读以上内容，回答下面问题：（1）在①中，所有与CH 相等的线段是___GH ，GD ____，tan ∠HBC 的值是____12-____;（2）已知四边形BCEF 为2矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN 是3矩形．（3）将图②中的3矩形BCMN 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“n 矩形”，则n 的值是____6_____．第24题图①E H第24题图② E Q解：（2）证明：设2矩形BCEF 的边长BF ＝1，则BC ＝2，则BE ＝31)2(22=+． 由折叠性质可知BP ＝BC ＝2，∠FNM ＝∠BNM ＝90º，则四边形BCMN 为矩形． ∴∠F ＝∠BNM ． ∴MN ∥FE ． ∴BF BNBE BP =，即132BN =． ∴32=BN ． ∴BC ∶BN ＝2∶32＝3∶1． ∴四边形BCMN 为3矩形．（3）附录：证明n 矩形经过上述操作后得到1+n 矩形． 如附录图，设n 矩形BCEF 的边长BF ＝1，则BC ＝n ，则BE ＝11)(22+=+n n ．由折叠性质可知BP ＝BC ＝n ，∠FNM ＝∠BNM ＝90º，则四边形BCMN 为矩形．∴∠F ＝∠BNM ． ∴MN ∥FE ． ∴BF BNBE BP =，即11BN n n =+． ∴1+=n nBN ． ∴BC ∶BN ＝n ∶1+n n＝1+n ∶1． ∴四边形BCMN 为1+n 矩形．第24题附录图E Q25．（13分）如图①，在锐角△ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 中点，F 为AC 上一点，且∠AFE ＝∠A ，DM ∥EF 交AC 于点M ．（1）求证：DM ＝DA ；（2）点G 在BE 上，且∠BDG ＝∠C ，如图②，求证：△DEG ∽△ECF ; （3）在图②中，取CE 上一点H ，使∠CFH ＝∠B ，若BG ＝1，求EH 的长．解：（1）证明：∵DM ∥EF ， ∴∠AMD ＝∠AFE ．∵∠AFE ＝∠A ，∴∠AMD ＝∠A ． ∴DM ＝DA ．（2）证明：∵∠DGB ＝180º－∠B －∠BDG ， ∠A ＝180º－∠B －∠C ， ∠BDG ＝∠C ， ∴∠DGB ＝∠A ． ∵∠A ＝∠AFE ， ∴∠DGB ＝∠AFE ． ∵∠DGE ＝180º－∠DGB ， ∠EFC ＝180º－∠AFE ， ∴∠DGE ＝∠EFC ．又∵DE 是中位线，∴DE ∥AC ．∴∠DEB ＝∠C ． ∴△DEG ∽△ECF ． （3）提示：如答图，由△BDG ∽△BED ，得BE BG BD ⋅=2， 由△EFH ∽△ECF ，得EC EH EF ⋅=2． 由BD ＝DA ＝DM ＝EF ，且BE ＝EC ， 得EH ＝BG ＝1．ABCD第25题答图ＭFEG H ABCD第25题图②ＭF EG ABCD第25题图① ＭF E26．（13分）如图，抛物线x x y 42-=与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y ＝x ＋m 与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是___ __，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是______; （2）若两个三角形面积满足POQ S ∆＝PAQ S ∆31，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD ＋DQ 的最大值；②PD ·DQ 的最大值．解：（1）x ＝2 45º（2）设直线PQ 交x 轴于点B ，分别在△POQ 和△P AQ 中作PQ 边上的高OE 和AF ． 按点B 的不同位置分三种情况讨论如下：①如答图①，若点B 在线段OA 的延长线上，OE >AF ， POQ S ∆＝PAQ S ∆31不成立． ②如答图②，若点B 在线段OA 上， ∵POQ S ∆＝PAQ S ∆31，∴31=AF OE ． ∵OB ＝OE 2，AB ＝AF 2． ∴AB ＝3OB ．∵A （4，0），∴OA ＝4． ∴OB ＝1． ∴B （1，0）．∵点B 在直线y ＝x ＋m 上， ∴m ＝－1．③若点B 在线段AO 的延长线上，与②类似，可得OB ＝OA 21＝2．∴B （－2，0）． ∴m ＝2．第26题图备用图综上所述，当m ＝－1或2时，POQ S ∆＝PAQ S ∆31．（3）①如答图④，过点C 作CH ∥x 轴交直线PQ 于点H ． 则△CHQ 是等腰直角三角形．由C （2，2），A （4，0）得直线AC 与x 轴所夹锐角的度数为45º．∴CD 是等腰直角三角形CHQ 斜边上的高． ∴DQ ＝DH ． ∴PD ＋DQ ＝PH ．过点P 作PM ⊥CH 于点M ，则△PMH 也是等腰直角三角形．∴PH ＝PM 2．∵点P 在抛物线x x y 42-=上，设它的横坐标为n ，则它的纵坐标为n n 42-． ∴点M 的纵坐标为2，∴PM ＝242++-n n ． 配方，得242++-n n ＝6)2(2+--n ． ∵0＜n ＜4，∴当n ＝2时，PM 取得最大值是6．∵PD ＋DQ ＝ PH ＝PM 2，∴PD ＋DQ 的最大值为26． ②由①可得PD ＋DQ ≤26． 设PD ＝a ，则DQ ≤26－a ．∴PD ·DQ ≤)26(a a -＝a a 262+-＝18)23(2+--a ． ∵a 的取值范围是0＜a ≤2825，第26题答图①第26题答图②第26题答图④第26题答图③∴当a ＝23时，PD ·DQ 的最大值为18． 附加说明：（对a 的取值范围的说明）设点P 的坐标为（n ，n n 42-），延长PM 交AC 于点N ．PD ＝a ＝PN 22＝)]4(4[222n n n ---＝)43(222---n n ＝2825)23(222+--n ． ∵22-＜0，0＜n ＜4，∴当n ＝23时，a 有最大值为2825．∴0＜a ≤2825．说明：本卷解答由张越初中数学提供，仅供参考！如有疏漏或谬误之处，尚祈专家、同行不吝指教!。
2015年福建中考数学真题卷含答案解析
2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(共10小题,每题3分,满分30分;每小题只有一个正确选项)1.a的相反数是( )A.|a|B.1C.-aD.√aa2.下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )的解集在数轴上表示正确的是( )3.不等式组{x≥-1,x<24.计算3.8×107-3.7×107,结果用科学记数法表示为( )A.0.1×107B.0.1×106C.1×107D.1×1065.下列选项中,显示部分在总体中所占百分比的统计图是( )A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图6.计算a·a-1的结果为( )A.-1B.0C.1D.-a7.如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是( )A.A点B.B点C.C点D.D点8.如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为( )A.80°B.90°C.100°D.105°9.若一组数据1,2,3,4,x的平均数与中位数相同,则实数x的值不可能是( )A.0B.2.5C.3D.510.已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y 随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( )A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数第Ⅱ卷(非选择题,共120分)二、填空题(共6小题,每题4分,满分24分)11.分解因式a2-9的结果是.12.计算(x-1)(x+2)的结果是.13.一个反比例函数图象过点A(-2,-3),则这个反比例函数的解析式是.14.一组数据:2015,2015,2015,2015,2015,2015的方差是.15.一个工件,外部是圆柱体,内部凹槽是正方体,如图所示.其中,正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上,若圆柱底面周长为2πcm,则正方体的体积为cm3.16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=√2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连结BM,则BM的长是.三、解答题(共10小题,满分96分)17.(7分)计算:(-1)2015+sin30°+(2-√3)(2+√3).18.(7分)化简:(a+b)2a 2+b 2-2aba 2+b 2.19.(8分)如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD.20.(8分)已知关于x 的方程x 2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,求m 的值.21.(9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球队各有多少支参赛?22.(9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该试验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n的值是;(3)在一个摸球游戏中,所有可能出现的结果如下:根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率..半径为2的☉C,分别交AC,BC于点D,E, 23.(10分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=√5,tan B=12得到DE⏜.(1)求证:AB为☉C的切线;(2)求图中阴影部分的面积.24.(12分)定义:长宽比为√n∶1(n为正整数)的矩形称为√n矩形.下面,我们通过折叠的方式折出一个√2矩形,如图①所示.操作1:将正方形ABCD沿过点B的直线折叠,使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处,折痕为BH.操作2:将AD沿过点G的直线折叠,使点A,点D分别落在边AB,CD上,折痕为EF.则四边形BCEF为√2矩形.图①证明:设正方形ABCD的边长为1,则BD=√12+12=√2.由折叠性质可知BG=BC=1,∠AFE=∠BFE=90°,则四边形BCEF为矩形,∴∠A=∠BFE.∴EF∥AD.∴BGBD =BFAB,即√2=BF1.∴BF=12.∴BC∶BF=1∶1√2=√2∶1.∴四边形BCEF为√2矩形.阅读以上内容,回答下列问题:(1)在图①中,所有与CH相等的线段是,tan∠HBC的值是;(2)已知四边形BCEF为√2矩形,模仿上述操作,得到四边形BCMN,如图②,求证:四边形BCMN 是√3矩形;(3)将图②中的√3矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个“√n矩形”,则n的值是.图②25.(13分)如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.26.(13分)如图,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m 与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是;S△PAQ,求m的值;(2)若两个三角形面积满足S△POQ=13(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:①PD+DQ 的最大值;②PD·DQ的最大值.备用图答案全解全析：一、选择题1.C只有符号不同的两个数叫做互为相反数,所以a的相反数是-a,故选C.2.B根据内错角相等,两直线平行,可知B选项正确,故选B.3.A不等式组的解集为-1≤x<2,故选A.4.D 3.8×107-3.7×107=0.1×107=1×106,故选D. 5.A 扇形图可以反映部分在总体中所占的百分比,故选A. 6.C a ·a -1=a 1-1=a 0=1,故选C.7.B 以点B 为坐标原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,则点A,C 关于坐标轴对称,故选B.8.B 在以C 为圆心的圆中,AB 是直径,M 为圆周上一点,所以∠AMB=90°,故选B. 9.C 当x ≤2时,中位数是2,此时1+2+3+4+x5=2,解得x=0,符合题意;当2<x<3时,中位数是x,此时1+2+3+4+x5=x,解得x=2.5,符合题意;当x ≥3时,中位数是3,此时1+2+3+4+x5=3,解得x=5,符合题意.故符合题意的x 的值为0,2.5,5,不可能是3,故选C. 评析 本题重点考查平均数和中位数的概念,属于中等难度题.10.D 易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A 不符合;若为一次函数或反比例函数,则在自变量x 的某个取值范围内,函数值y 随x 的增大而增大,所以B 、C 不符合题意;只有D 正确,故选D.二、填空题11.答案 (a+3)(a-3) 解析 a 2-9=a 2-32=(a+3)(a-3).12.答案 x 2+x-2解析 (x-1)(x+2)=x 2+2x-x-2=x 2+x-2.13.答案 y=6x解析 设这个反比例函数的解析式为y=kx (k ≠0),代入点A 的坐标,得k=6,故这个反比例函数的解析式为y=6x . 14.答案 0解析 该组数据的平均数为2 015,方差s 2=16×[6×(2 015-2 015)2]=0.15.答案 2√2解析 由题意可知圆柱底面的直径为2 cm,则圆柱底面内接正方形的对角线长为2 cm,边长为√2 cm,故正方体的体积是2√2 cm 3.16.答案 √3+1解析 如图,连结AM,易知△AMC 是等边三角形,所以CM=AM,易证△BMC ≌△BMA,所以∠CBM=∠ABM=45°,∠CMB=∠AMB=30°,所以∠CDM=∠CDB=90°.在Rt △CDB 中,CD=CB ·sin 45°=1,所以BD=CD=1.在Rt △CDM 中,DM=CM ·sin 60°=√3,所以BM=BD+DM=√3+1.评析 解决本题的关键是证出BM ⊥AC,再利用含有特殊角的直角三角形分别求得BD 、DM 的长,从而求出BM,综合性较强,属于难题.三、解答题17.解析 原式=-1+12+(4-3)=12. 18.解析 原式=(a+b)2-2ab a 2+b 2=a 2+b 2+2ab -2ab a 2+b 2=a 2+b 2a 2+b 2=1.19.证明 ∵∠3=∠4,∴∠ABC=∠ABD. 在△ABC 和△ABD 中,{∠1=∠2,AB =AB,∠ABC =∠ABD.∴△ABC ≌△ABD(ASA). ∴AC=AD.20.解析 ∵关于x 的方程x 2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2m -1)2-4×1×4=0. ∴2m -1=±4. ∴m=52或m=-32.21.解析 解法一:设有x 支篮球队和y 支排球队参赛, 依题意得{x +y =48,10x +12y =520.解得{x =28,y =20.答:篮球、排球队各有28支与20支.解法二:设有x 支篮球队,则排球队有(48-x)支, 依题意得10x+12(48-x)=520. 解得x=28. 48-x=48-28=20.答:篮球、排球队各有28支与20支. 22.解析 (1)相同. (2)2.(3)由树状图可知:共有12种结果,且每种结果出现的可能性相同.其中两次摸出的球颜色不同(记为事件A)的结果共有10种,∴P(A)=1012=56. 23.解析 (1)过点C 作CF ⊥AB 于点F, 在Rt △ABC 中,tan B=AC BC =12, ∴BC=2AC=2√5.∴AB=√AC 2+BC 2=√(√5)2+(2√5)2=5. ∴CF=AC ·BC AB=√5×2√55=2. ∴AB 为☉C 的切线.(2)S 阴影=S △ABC -S 扇形CDE =12AC ·BC-nπr 2360 =12×√5×2√5-90π×22360=5-π. 24.解析 (1)GH,DG;√2-1.(2)证明:∵BF=√22,BC=1,∴BE=√BF 2+BC 2=√62.由折叠性质可知BP=BC=1,∠FNM=∠BNM=90°,则四边形BCMN 为矩形,∴∠BNM=∠F. ∴MN ∥EF.∴BP BE =BN BF ,即BP ·BF=BE ·BN. ∴√62BN=√22.∴BN=√3. ∴BC∶BN=1∶√3=√3∶1. ∴四边形BCMN 是√3矩形.(3)6.25.解析图① (1)证明:∵DM ∥EF,∴∠AMD=∠AFE.∵∠AFE=∠A,∴∠AMD=∠A.∴DM=DA.(2)证明:∵D,E 分别为AB,BC 的中点,∴DE ∥AC.图② ∴∠DEB=∠C,∠BDE=∠A.又∠AFE=∠A,∴∠BDE=∠AFE.∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.∵∠BDG=∠C,∴∠EDG=∠FEC.∴△DEG ∽△ECF.(3)解法一:如图③所示,∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,图③ ∴△BDG ∽△BED.∴BD BE =BG BD ,即BD 2=BE ·BG.∵∠A=∠AFE,∠B=∠CFH,∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH.又∵∠FEH=∠CEF,∴△EFH ∽△ECF.∴EH EF =EF EC ,即EF 2=EH ·EC. ∵DE ∥AC,DM ∥EF,∴四边形DEFM 是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∵BE=EC,∴EH=BG=1.解法二:如图④,在DG 上取一点N,使DN=FH.图④ ∵∠A=∠AFE,∠ABC=∠CFH,∠C=∠BDG,∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠C=∠BDG.∵DE ∥AC,DM ∥EF,∴四边形DEFM 是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN ≌△EFH.∴BN=EH,∠BND=∠EHF.∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C,∠DBG=∠CFH,∴∠BGD=∠FHC.∴∠BNG=∠BGD.∴BN=BG.∴EH=BG=1.解法三:如图⑤,取AC 中点P,连结PD,PE,PH,则PE ∥AB.图⑤∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP ∽△CFH.∴CE CF =CP CH .∴△CEF ∽△CPH.∴∠CFE=∠CHP.由(2)可得∠CFE=∠DGE,∴∠CHP=∠DGE.∴PH ∥DG.∵D,P 分别为AB,AC 的中点,∴DP ∥GH,DP=12BC=BE.∴四边形DGHP 是平行四边形.∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1.解法四:如图⑥,作△EHF 的外接圆交AC 于另一点P,连结PE,PH.图⑥ 则∠HPC=∠HEF,∠FHC=∠CPE.∵∠B=∠CFH,∠C=∠C,∴∠A=∠CHF.∴∠A=∠CPE.∴PE ∥AB.∵DE ∥AC,∴四边形ADEP 是平行四边形.∴DE=AP=12AC.∴DE=CP.由(2)可得∠GDE=∠CEF,∠DEB=∠C,∴∠GDE=∠CPH.∴△DEG ≌△PCH.∴GE=HC.∴EH=BG=1.解法五:如图⑦,取AC 中点P,连结PE,PH,则PE ∥AB.图⑦∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP ∽△CFH.∴CE CF =CP CH .∴△CEF ∽△CPH.∴∠CEF=∠CPH.由(2)可得∠CEF=∠EDG,∠C=∠DEG.∵D,E 分别是AB,BC 的中点,∴DE=12AC=PC.∴△DEG ≌△PCH.∴CH=EG.∴EH=BG=1.26.解析 (1)x=2;45°.(2)设直线PQ 交x 轴于点B,分别过点O,A 作PQ 的垂线,垂足分别是E,F.显然当点B 在OA 的延长线上时,S △POQ =13S △PAQ 不成立.①当点B 落在线段OA 上时,如图1,图1S △POQ S △PAQ =OE AF =13. 由△OBE ∽△ABF 得OB AB =OE AF =13. ∴AB=3OB.∴OB=1OA.由y=x 2-4x 得点A(4,0), ∴OB=1.∴B(1,0).∴1+m=0.∴m=-1.②当点B 落在AO 的延长线上时,同理可得OB=12OA=2.图2∴B(-2,0).∴-2+m=0.∴m=2.综上所述,当m=-1或2时,S△POQ=1S△PAQ.3(3)①解法一:过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H,如图3,可得△CHQ是等腰三角形.∵∠CDQ=45°+45°=90°,∴AD⊥PH.∴DQ=DH.∴PD+DQ=PH.过点P作PM⊥直线CH于点M,则△PMH是等腰直角三角形.∴PH=√2PM.∴当PM最大时,PH最大.当点P在抛物线顶点处时,PM取最大值,此时PM=6.∴PH的最大值为6√2,即PD+DQ的最大值为6√2.图3解法二:如图4,过点P作PE⊥x轴,交AC于点E,作PF⊥CQ于点F,图4 则△PDE,△CDQ,△PFQ 是等腰直角三角形.设点P(x,x 2-4x),则E(x,-x+4),F(2,x 2-4x). ∴PE=-x 2+3x+4,FQ=PF=|2-x|.∴点Q(2,x 2-5x+2).∴CQ=-x 2+5x.∴PD+DQ=√22(PE+CQ) =√22(-2x 2+8x+4) =-√2(x-2)2+6√2(0<x<4).∴当x=2时,PD+DQ 的最大值为6√2.②由①可知:PD+DQ ≤6√2.设PD=a,则DQ ≤6√2-a.∴PD ·DQ ≤a(6√2-a)=-a 2+6√2a=-(a-3√2)2+18.∵当点P 在抛物线的顶点时,a=3√2,∴PD ·DQ ≤18.∴PD ·DQ 的最大值为18.附加说明:(对a 的取值范围的说明)设P 点坐标为(n,n 2-4n),延长PM 交AC 于N. PD=a=√22PN=√22[4-n-(n 2-4n)] =-√2(n 2-3n-4)=-√2(n -3)2+25√2. ∵-√22<0,0<n<4,∴当n=32时,有最大值,为258√2.∴0<a ≤258√2. 评析 在第(2)问中,因为△PQA 和△PQO 共用底边PQ,可以作高,把面积的比转换为高的比,再利用相似三角形求得OA 和OB 的关系,构造方程,求出m 的值;第(3)问构造等腰直角三角形是解题的突破口,综合性较强,属于难题.。
J0009--2015福州市中考数学试卷
2015年福州市初中毕业会考、髙级中等学校招生考试数学试题3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是4.计算3.8×107-3.7×107，结果用科学记数法表示为A.0.1×107B. 0.1×106C. 1×107D. 1×1065下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是A.扇形图B.条形图 c.折线图D直方图6计算a·a-1的结果为A -1 B.0 C 1D-a7如图，在3x3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D，,以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是A.A点B. B点C. C点D. D点8如图.，C，D分別是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M，测量AMB∠的度数，结果为A.800B. 900C. 1000D. 10509.若一组数据1,2,3,4，x的平均数与中位数相同，则实数x的値不可能是10.已知一个函数图像经过(1. -4) (2. -2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是A . 正比例函数 B. 一次函数 c. 反比例函数 D.二次函数二、境空题(共6小题.每题4分，满分24分）11 分解因式a 2-9的结果是_.12 计算(x - l ）（x+2)的结果是13一个反比例函数图象过点A(-2, -3)，则这个反比例函数的解析式 c在中，将绕三、解答题(共10小题，满分96分)18(7分)化简:19（8分）如图，1∠=2∠，3∠=4∠，求证：AC=AD.20(8分)已知关于x 的方程x 2+(2m -1)+4=0有两个相等的实数根，求m 的值.21(9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人， 每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛?22 (9分) 一个不透明袋子中有 1个红球, 1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别.(1)当n =l 时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n 的值是_(3)在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：23 (10分)如图,中，C ∠=900，AC=5，tanB=21。
福建省福州市中考数学试题及解析
2015年福建省福州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•福州）a的相反数是（）A．|a| B．C．﹣a D．2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2015•福州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×1065．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图6．（3分）（2015•福州）计算a•a﹣1的结果为（）A．﹣1 B．0C．1D．﹣a7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0B．2.5 C．3D．510．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是．12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是．13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是．14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是．15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为cm3．16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．18．（7分）（2015•福州）化简：﹣．19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．20．（8分）（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是，tan∠HBC的值是；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是．25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．2015年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•福州）a的相反数是（）A．|a| B．C．﹣a D．考点：实数的性质．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：a的相反数是﹣a．故选：C．点评：本题考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．一个数的相反数就是在这个数前面添上一个“﹣”号．2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．考点：平行线的判定．专题：计算题．分析：利用平行线的判定方法判断即可．解答：解：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B点评：此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3．（3分）（2015•福州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：首先根据解一元一次不等式组的方法，可得不等式组的解集是﹣1≤x＜2；然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．解答：解：不等式组的解集是：﹣1≤x＜2，∴不等式组的解集在数轴上表示为：．故选：A．点评：（1）此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．（2）此题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：直接根据乘法分配律即可求解．解答：解：3.8×107﹣3.7×107=（3.8﹣3.7）×107=0.1×107=1×106．故选：D．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．5．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图考点：统计图的选择．分析：根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．解答：解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图；故选：A．点评：本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．6．（3分）（2015•福州）计算a•a﹣1的结果为（）A．﹣1 B．0C．1D．﹣a考点：分式的乘除法；负整数指数幂．分析：利用同底数幂的乘法，零指数幂的计算法则计算即可得到结果．解答：解：a•a﹣1=a0=1．故选：C．点评：此题考查了同底数幂的乘法，零指数幂运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．分析：以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．解答：解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．点评：本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°考点：等腰三角形的性质；作图—基本作图．分析：根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．解答：解：如图，，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B．点评：（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0B．2.5 C．3D．5考点：中位数；算术平均数．分析：因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．解答：解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选C．点评：本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数10．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．解答：解：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：y=，由题意得，k=﹣4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D．点评：本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是（a+3）（a﹣3）．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接运用平方差公式分解即可．解答：解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．点评：本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是x2+x﹣2．考点：多项式乘多项式．分析：根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．解答：解：（x﹣1）（x+2）=x2+2x﹣x﹣2=x2+x﹣2．故答案为：x2+x﹣2．点评：本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出k值，即可得到解析式．解答：解：设这个反比例函数解析式为y=，∴=﹣3，解得k=6，∴这个反比例函数的解析式是y=．故答案为：y=．点评：本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法是解题的关键，本题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解．14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是0．考点：方差．分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2015，2015，2015，2015，2015，2015全部相等，没有波动，故其方差为0．解答：解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故它的方差为0．故答案为：0．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为2cm3．考点：圆柱的计算．分析：作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．解答：解：该几何体的俯视图如图：∵圆柱底面周长为2πcm，∴OA=OB=1cm，∵∠AOB=90°，∴AB=OA=，∴该正方体的体积为（）3=2，故答案为：2．点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是+1．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．解答：解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．点评：本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．18．（7分）（2015•福州）化简：﹣．考点：分式的加减法．分析：根据同分母分式的减法法则计算，再根据完全平方公式展开，合并同类项后约分计算即可求解．解答：解：﹣===1．点评：考查了同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；完全平方公式，合并同类项．19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．解答：证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（8分）（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．考点：根的判别式．分析：先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．解答：解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，解得m=﹣或m=．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？考点：二元一次方程组的应用．分析：设篮球队有x支，排球队有y支，根据共有48支队，520名运动员建立方程组求出其解即可．解答：解：设篮球队有x支，排球队有y支，由题意，得，解得：．答：篮球队有28支，排球队有20支．点评：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是2；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．考点：列表法与树状图法；概率公式；利用频率估计概率．分析：（1）因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；（2）根据摸到绿球的频率稳定于0.25，即可求出n的值；（3）根据树状图即可求出两次摸出的球颜色不同的概率．解答：解：（1）当n=1时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，故答案为：相同；（2）∵摸到绿球的频率稳定于0.25，∴，∴n=2，故答案为：2；（3）由树状图可知，共有12种结果，其中两次摸出的球颜色不同的10种，所以其概率=．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．考点：切线的判定；勾股定理；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：（1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出CH=2，则可判断CH为⊙C的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线；（2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE进行计算即可．解答：（1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∵tanB==，∴BC=2AC=2，∴AB===5，∵CH•AB=AC•BC，∴CH==2，∵⊙C的半径为2，∴CH为⊙C的半径，而CH⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）解：S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE=×2×5﹣=5﹣π．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是GH、DG，tan∠HBC的值是﹣1；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是6．考点：几何变换综合题；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；平行线分线段成比例．专题：阅读型；新定义．分析：（1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH=x，根据DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为矩形”的方法就可解决问题；（3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此就可得到n的值．解答：解：（1）由折叠可得：DG=HG，GH=CH，∴DG=GH=CH．设HC=x，则DG=GH=x．∵∠DGH=90°，∴DH=x，∴DC=DH+CH=x+x=1，解得x=．∴tan∠HBC===．故答案为：GH、DG，；（2）∵BC=1，EC=BF=，∴BE==．由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，∴MN∥EF，∴=，即BP•BF=BE•BN，∴1×=，2BN∴BN=，∴BC：BN=1：=：1，∴四边形BCMN是的矩形；（3）同理可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．点评：本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．考点：相似形综合题．分析：（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．解答：（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA；（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠DGE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是2，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P 在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．解答：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，==，由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，由y=x2﹣4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），∴1+m=0，∴m=﹣1；②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，∴B（﹣2，0），∴﹣2+m=0，∴m=2，综上，当m=﹣1或2时，S△POQ=S△PAQ；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，。
2015年福建省福州市中考数学试卷
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前福建省福州市2015年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.a 的相反数是( )A .||aB .1aC .a - D2.下列图形中,由12∠=∠能得到AB CD ∥的是( )ABC D 3.不等式组1,2x x -⎧⎨⎩≥＜的解集在数轴上表示正确的是( )AB CD4.计算773.810 3.710⨯-⨯,结果用科学记数法表示为 ( ) A .70.110⨯B .60.110⨯C .7110⨯D .6110⨯ 5.下列选项中,显示部分在总体中所占百分比的统计图是 ( ) A .扇形图 B .条形图 C .折线图 D .直方图 6.计算1a a -的结果为( )A .1-B .0C .1D .a -7.如图,在33⨯的正方形网格中有四个格点,,,A B C D ,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是 ( ) A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点8.如图,,C D 分别是线段,AB AC 的中点,分别以点,C D 为圆心,BC 长为半径画弧,两弧交于点M ,测量AMB ∠的度数,结果为( ) A .80 B .90 C .100 D .105 9.若一组数据1,2,3,4,x 的平均数与中位数相同,则实数x 的值不可能是( )A .0B .2.5C .3D .5 10.已知一个函数图象经过(1,4),(2,2)--两点,在自变量x 的某个取值范围内,都有函数值y 随x 的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( )A .正比例函数B .一次函数C .反比例函数D .二次函数第Ⅱ卷(非选择题 共120分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在题中的横线上)11.分解因式29a-的结果是 .12.计算(1)(2)x x -+的结果是 .13.一个反比例函数图象过点A (2,3)--,则这个反比例函数的解析式是 . 14.一组数据：2015,2015,2015,2015,2015,2015的方差是 .15.一个工件,外部是圆柱体,内部凹槽是正方体,如图所示,其中正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上,若圆柱底面周长为2πcm ,则正方体的体积为 3cm .16.如图,在Rt ABC △中,90ABC AB BC ∠==，.将ABC △绕点C 逆时针旋转60,得到MNC △,连接BM ,则BM 的长是 .三、解答题(本大题共10小题,共96分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分7分)计算：2015(1)sin30(2(2-++.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）18.(本小题满分7分)化简：22222(b)2a aba b a b +-++.19.(本小题满分8分)如图,12∠=∠,34∠=∠,求证：AC AD =.20.(本小题满分8分)已知关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根,求m 的值.21.(本小题满分9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球队各有多少支参赛？22.(本小题满分9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n 个白球,这些球除颜色外无其他差别. (1)当1n =时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性 (填“相同”或“不相同”)；(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n 的值是 ； (3)在一次摸球游戏中,所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率.23.(本小题满分10分)如图,Rt ABC △中,90C ∠=,AC 1tan 2B =,半径为2的C ,分别交AC ,BC 于点,,DE 得到DE .(1)求证：AB 为C 的切线； (2)求图中阴影部分的面积.数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）24.(本小题满分12分)定义：长宽比为(n 为正整数). 下面,矩形,如图1所示.操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠,使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处,折痕为BH .操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠,使点A ,点D 分别落在边,AB CD 上,折痕为EF ,则四边形BCEF.证明：设正方形ABCD 的边长为1,则BD =.由折叠性质可知1BG BC ==,90AFE BFE ∠=∠=,则四边形BCEF 为矩形.,,,BG BF A BFE EF AD BD AB ∴∠=∠∴∴=∥1BF=, :BF BC BF ∴=∴==，∴四边形BCEF. 阅读以上内容,回答下列问题：(1)在图1中,所有与CH 相等的线段是 ,tan HBC ∠的值是 ； (2)已知四边形BCEF矩形,模仿上述操作,得到四边形BCMN ,如图2,求证：四边形BCMN矩形；(3)将图2BCMN 沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个矩形”,则n 的值是 .25.(本小题满分13分)如图1,在锐角ABC △中,,D E 分别为,A B B C 的中点,F 为AC 上一点,且,AFE A DM EF ∠=∠∥交AC 于点M .(1)求证：DM DA =；(2)点G 在BE 上,且,BDG C ∠=∠如图2,求证：DEG ECF △∽△； (3)在图2中,取CE 上一点H ,使CFH B ∠=∠,若1BG =,求EH 的长.26.(本小题满分13分)如图,抛物线24y x x =-与x 轴交于,O A 两点,P 为抛物线上一点,过点P 的直线y x m =+与对称轴交于点Q .(1)这条抛物线的对称轴是 ,直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 ； (2)若两个三角形面积满足13POQ PAQ S S =△△,求m 的值； (3)当点P 在x 轴下方的抛物线上时,过点(2,2)C 的直线AC 与直线PQ 交于点D ,求：①PD DQ +的最大值； ②PDDQ 的最大值.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。
【精校】2015年福建省福州市中考真题数学
2015年福建省福州市中考真题数学一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. a的相反数是（）A. |a|B. 1aC.-a解析：a的相反数是-a．故选：C.答案：C2. 下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A.B.C.D.解析：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），故选B.答案：B3. 不等式组12x x ≥-⎧⎨⎩＜的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C.D. 解析：不等式组12x x ≥-⎧⎨⎩＜的解集是：-1≤x ＜2，∴不等式组12x x ≥-⎧⎨⎩＜的解集在数轴上表示为：故选A.答案：A4. 计算3.8×710-3.7×710，结果用科学记数法表示为（）A.0.1×710B.0.1×610C.1×710D.1×610解析：3.8×710-3.7×710=（3.8-3.7）×710=0.1×710=1×610故选：D答案：D5. 下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ）A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图解析：根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目. 在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图.故选：A答案：A6. 计算1a a -⋅的结果为（ ）A.-1B.0C.1D. a -解析：1a a -⋅=0a =1故选：C答案：C7. 如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A.A点B.B点C.C点D.D点解析：当以点B为原点时，A（-1，-1），C（1，-1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B答案：B8. 如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A.80°B.90°C.100°D.105°解析：如图，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B.答案：B9. 若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A.0B.2.5C.3D.5解析：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选C.答案：C10. 已知一个函数图象经过（1，-4），（2，-2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数解析：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，422 k bk b+=-⎧⎨+=-⎩，解得，26 kb=⎧⎨=-⎩，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：kyx =，由题意得，k=-4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D.答案：D二、填空题（共6小题，满分24分）11. 分解因式2a-9的结果是 .解析：直接运用平方差公式分解：2a-9=（a+3）（a-3）．答案：（a+3）（a-3）12. 计算（x-1）（x+2）的结果是 .解析：根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，则，（x-1）（x+2）=2x+2x-x-2=2x+x-2．答案：2x+x-213. 一个反比例函数图象过点A（-2，-3），则这个反比例函数的解析式是 .解析：设这个反比例函数解析式为kyx =，14. 一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是 .解析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2015，2015，2015，2015，2015，2015全部相等，没有波动，故其方差为0.答案：015. 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为3cm.126，半径为2的⊙C，分别交AC，BC 23. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，tanB=12于点D，E，得到.（2）求图中阴影部分的面积.（1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2解析：的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线；AC2考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
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2015年福建省福州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）a的相反数是（ ）A．|a|B．C．﹣a D．2．（3分）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．4．（3分）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×1065．（3分）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图6．（3分）计算a•a﹣1的结果为（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣a7．（3分）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）A．A点 B．B点C．C点D．D点8．（3分）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ）A．80°B．90°C．100°D．105°9．（3分）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（ ）A．0 B．2.5 C．3 D．510．（3分）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）分解因式a2﹣9的结果是 ．12．（4分）计算（x﹣1）（x+2）的结果是 ．13．（4分）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是 ．14．（4分）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是 ．15．（4分）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 cm3．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．18．（7分）化简：﹣．19．（8分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．20．（8分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 ；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．24．（12分）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 ，tan∠HBC的值是 ；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 ．25．（13分）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．26．（13分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 ；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．2015年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•福州）a的相反数是（ ）A．|a|B．C．﹣a D．【考点】实数的性质．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：a的相反数是﹣a．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．一个数的相反数就是在这个数前面添上一个“﹣”号．2．（3分）（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）A．B．C．D．【考点】平行线的判定．【专题】计算题．【分析】利用平行线的判定方法判断即可．【解答】解：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3．（3分）（2015•福州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】首先根据解一元一次不等式组的方法，可得不等式组的解集是﹣1≤x＜2；然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：不等式组的解集是：﹣1≤x＜2，∴不等式组的解集在数轴上表示为：．故选：A．【点评】（1）此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．（2）此题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．4．（3分）（2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×106【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】直接根据乘法分配律即可求解．【解答】解：3.8×107﹣3.7×107=（3.8﹣3.7）×107=0.1×107=1×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．5．（3分）（2015•福州）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图【考点】统计图的选择．【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．【解答】解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图；故选：A．【点评】本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．6．（3分）（2015•福州）计算a•a﹣1的结果为（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣a【考点】分式的乘除法；负整数指数幂．【分析】利用同底数幂的乘法，零指数幂的计算法则计算即可得到结果．【解答】解：a•a﹣1=a0=1．故选：C．【点评】此题考查了同底数幂的乘法，零指数幂运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（3分）（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）A．A点 B．B点C．C点D．D点【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．【解答】解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．8．（3分）（2015•福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ）A．80°B．90°C．100°D．105°【考点】等腰三角形的性质；作图—基本作图．【分析】根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．【解答】解：如图，，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选：B．【点评】（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°． 9．（3分）（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（ ）A．0 B．2.5 C．3 D．5【考点】中位数；算术平均数．【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．【解答】解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选C．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数10．（3分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【专题】压轴题．【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．【解答】解：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：y=，由题意得，k=﹣4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D．【点评】本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．二、填空题（共6小题，满分24分）11．（4分）（2015•福州）分解因式a2﹣9的结果是 （a+3）（a﹣3） ．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接运用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．12．（4分）（2015•福州）计算（x﹣1）（x+2）的结果是 x2+x﹣2 ．【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：（x﹣1）（x+2）=x2+2x﹣x﹣2=x2+x﹣2．故答案为：x2+x﹣2．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．13．（4分）（2015•福州）一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是 ．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出k值，即可得到解析式．【解答】解：设这个反比例函数解析式为y=，∴=﹣3，解得k=6，∴这个反比例函数的解析式是y=．故答案为：y=．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法是解题的关键，本题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解．14．（4分）（2015•福州）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是 0 ．【考点】方差．【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据2015，2015，2015，2015，2015，2015全部相等，没有波动，故其方差为0．【解答】解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故它的方差为0．故答案为：0．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．（4分）（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 2 cm3．【考点】圆柱的计算．【分析】作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．【解答】解：该几何体的俯视图如图：∵圆柱底面周长为2πcm，∴OA=OB=1cm，∵∠AOB=90°，∴AB=OA=，∴该正方体的体积为（）3=2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．16．（4分）（2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 +1 ．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（共10小题，满分96分）17．（7分）（2015•福州）计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．【分析】运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．【解答】解：原式=﹣1++4﹣3=．【点评】该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．18．（7分）（2015•福州）化简：﹣．【考点】分式的加减法．【分析】根据同分母分式的减法法则计算，再根据完全平方公式展开，合并同类项后约分计算即可求解．【解答】解：﹣===1．【点评】考查了同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；完全平方公式，合并同类项．19．（8分）（2015•福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（8分）（2015•福州）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．【考点】根的判别式．【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．【解答】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，解得m=﹣或m=．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．21．（9分）（2015•福州）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛．问：篮球、排球队各有多少支？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设篮球队有x支，排球队有y支，根据共有48支队，520名运动员建立方程组求出其解即可．【解答】解：设篮球队有x支，排球队有y支，由题意，得，解得：．答：篮球队有28支，排球队有20支．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键．22．（9分）（2015•福州）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 2 ；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式；利用频率估计概率．【分析】（1）因为红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同；（2）根据摸到绿球的频率稳定于0.25，即可求出n的值；（3）根据树状图即可求出两次摸出的球颜色不同的概率．【解答】解：（1）当n=1时，红球和白球的个数一样，所以被摸到的可能性相同，故答案为：相同；（2）∵摸到绿球的频率稳定于0.25，∴，∴n=2，故答案为：2；（3）由树状图可知，共有12种结果，其中两次摸出的球颜色不同的10种，所以其概率=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（10分）（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定；勾股定理；扇形面积的计算．【专题】证明题．【分析】（1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出CH=2，则可判断CH为⊙C的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线；（2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE进行计算即可．【解答】（1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∵tanB==，∴BC=2AC=2，∴AB===5，∵CH•AB=AC•BC，∴CH==2，∵⊙C的半径为2，∴CH为⊙C的半径，而CH⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）解：S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE=×2×5﹣=5﹣π．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．24．（12分）（2015•福州）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD==．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴=，即=．∴BF=．∴BC：BF=1：=：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 GH、DG ，tan∠HBC的值是 ﹣1 ；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 6 ．【考点】几何变换综合题；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；平行线分线段成比例．【专题】阅读型；新定义．【分析】（1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH=x，根据DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后运用三角函数的定义即可求出tan∠HBC的值；（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为矩形”的方法就可解决问题；（3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此就可得到n的值．【解答】解：（1）由折叠可得：DG=HG，GH=CH，∴DG=GH=CH．设HC=x，则DG=GH=x．∵∠DGH=90°，∴DH=x，∴DC=DH+CH=x+x=1，解得x=．∴tan∠HBC===．故答案为：GH、DG，；（2）∵BC=1，EC=BF=，∴BE==．由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，∴MN∥EF，∴=，即BP•BF=BE•BN，∴1×=BN，∴BN=，∴BC：BN=1：=：1，∴四边形BCMN是的矩形；（3）同理可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．【点评】本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．25．（13分）（2015•福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．【解答】（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA；（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是 2 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 45° ；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD ⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．【解答】方法一：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．。