概率、参数方程复习题
参数方程大题及答案
参数方程大题及答案【篇一：高考极坐标参数方程含答案(经典39题)】p class=txt>a,b两点.（1）求圆c及直线l的普通方程.（224．已知直线lc（1）求圆心c的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆c引切线，求切线长的最小值．l，且ll分别交于b，c两点.在极坐标系（与直角坐标系5．在直角坐标系xoy 中，直线lxoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆c的方程为??4cos?. （Ⅰ）求圆c在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆c与直线l相切，求实数a的值.6．在极坐标系中，o为极点，已知圆c(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线l和直线l(Ⅱ)求|bc|的长.3．在极坐标系中，点m轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是?1（1）写出直线l的参数方程和曲线c的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线c相交于两点a、b，并求|ma|?|mb|的值．cr=1，p在圆c上运动。
（i）求圆c的极坐标方程；（ii）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点o为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若q为线段op的中点，求点q轨迹的直角坐标方程。
l的极坐7．在极坐标系中，极点为坐标原点o，已知圆c（1）求圆c的极坐标方程；（2）若圆c和直线l相交于a，b两点，求线段ab的长.9．在直角坐标平面内，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程是??4cos?，直线lt为参数）。
求极点在直线l上的射影点p的极坐标；若m、n分别为曲线c、直线l10．已知极坐标系下曲线c的方程为??2cos??4sin?，直线l?x?4cos??y?sin?8．平面直角坐标系中，将曲线?（?为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线c1 ．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线c2的方程为??4sin?，求c1和c2公共弦的长度．（Ⅰ）求直线l在相应直角坐标系下的参数方程;（Ⅱ）设l与曲线c相交于两点a、b，求点p到a、b两点的距离之积.11．在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为??x?4cos?(?为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正?y?3sin?14．已知椭圆cf1，f2为其左，右焦点，直线l的参数半轴为极轴的极坐标系中．曲线c2（１）分别把曲线c1与c2化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线．（２）在曲线c1上求一点q，使点q到曲线c2的距离最小，并求出最小距离．12．设点m,n分别是曲线??2sin??01）求直线l和曲线c的普通方程；（2）求点f1，f2到直线l的距离之和.?x?3cos?15．已知曲线c:?，直线l:?(cos??2sin?)?12．y?2sin??⑴将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点p在曲线c上，求p点到直线l距离的最小值．m,n间的最小距离.16．已知?o1的极坐标方程为??4cos?．点a的极坐标是(2,?).（Ⅰ）把?o1的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点a的极坐标化为直角坐标．（Ⅱ）点m（x0，y0）在?o1上运动，点p(x,y)是线段am的中点，求点p运动轨迹的直角坐标方程．求曲线c2上的点到直线l距离的最小值.19．在直接坐标系xoy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线c的参数方程为（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点p17．在直角坐标系xoy中，直线l为参数)，若以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为?长．18．已知曲线c1的极坐标方程为??4cos?，曲线c2p与直线l的位置关系；，求直线l被曲线c所截的弦（2）设点q 是曲线c上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．20l交曲线c：?比数列，求直线l的方程.?x?2cos?（?为参数）于a、b?y?2sin?的方程是4x?y?4, 直线l的参数方程22(t为参数）.（1）求曲线c1的直角坐标方程，直线l的普通方程；（2）21．已知曲线c1的极坐标方程是，曲线c2的参数方程是(1)写出曲线c和直线l的普通方程;(2)若|pm|,|mn|,|pn|成等比数列,求a的值.1）写出曲线c1的直角坐标方程和曲线c2的普通方程；（2）求t 的取值范围，使得c1，c2没有公共点．22．设椭圆e24．已知直线lc(1)设y?sin?,?为参数,求椭圆e的参数方程;(2)点p?x,y?是椭圆e 上的动点,求x?3y的取值范围.23．在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线a2c?s??,已知过点0p??2,?4?的直线l的参数方程为?oal与曲线c（i）求圆心c的直角坐标；(Ⅱ)由直线l上的点向圆c引切线，求切线长的最小值．25．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方弦长.?x?2cos?c的参数方程为?（?为对数），求曲线c截直线l所得的?y?sin? c:?si2n??分别交于m,n【篇二：2015高考理科数学《参数方程》练习题】lass=txt>一、选择题?x＝1＋3t，1．若直线的参数方程为?答案：d?x＝3t＋2，2．参数方程为?2?y＝t－1a．线段 c．圆弧2(t为参数)，则直线的倾斜角为( )y－2－3t3(0≤t≤5)的曲线为( )b．双曲线的一支 d．射线解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x ＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选a. 答案：a3．曲线?解析：曲线化为普通方程为答案：c4．若直线2x－y－3＋c＝0与曲线?x2b.3 d．2312＋y218＝1，∴c＝6，故焦距为26.b．6或－4-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----c．－2或8解析：将曲线?22d．4或－6|－3＋c|＝0与圆x＋y＝5相切，可知＝5，解得c＝－2或8.5答案：c5．已知曲线c：??x＝t，?y＝t＋b(t为参数，b为实数)，若曲线c上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝( )a.2 c．0解析：将曲线c和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要|b|使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到＝1，解得b＝答案：d?x＝4t，6．已知点p(3，m)在以点f为焦点的抛物线??y＝4ta．1 c．3b．2 d．42(t为参数)上，则|pf|＝( )解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点f(1,0)，准线方程为x＝－1，又p(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|pf|＝3－(－1)＝4.答案：d 二、填空题??x＝－2－2t，7．(2014年深圳模拟)直线??y＝3＋2t?坐标是________．??x＝－2－2t，1222??y＝3＋2t2222(t为参数)上与点a(－2,3)的距离等于2的点的(t-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案：(－3,4)或(－1,2)8．(2014年东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线c：?解析：曲线c化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝|2k|333解析：利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程． 1?21?2x－＋y＝将x＋y－x＝0配方，得?2?4?22所以圆的直径为1，设p(x，y)，?2210．已知曲线c的参数方程为?24??-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----(1)将曲线c的参数方程化为普通方程；解析：(1)由?2x2＋y＝1，x∈[－1,1]．4???x＋y＋2＝0，?2?x＋y＝1得x2－x－3＝0.解得x＝[－1,1]，故曲线c与曲线d无公共点．2?x＝2cos t，11．已知动点p、q都在曲线c：?(1)求m的轨迹的参数方程；m的轨迹的参数方程为?212．(能力提升)在直角坐标系xoy中，圆c1：x＋y＝4，圆c2：(x－2)＋y＝4.(1)在以o为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆c1，c2的极坐标方程，并求出圆c1，c2的交点坐标(用极坐标表示)；222-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----3(2)解法一由?得圆c1与c2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．?x＝1，故圆c1与c2的公共弦的参数方程为??y＝t，?x＝1，(或参数方程写成??y＝y，－3≤t≤3.－3 ≤ y ≤3)解法二将x＝1代入?于是圆c1与c2的公共弦的参数方程为 ?x＝1，?======*以上是由明师教育编辑整理======－-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----【篇三：坐标系与参数方程典型例题(含高考题----答案详细)】ass=txt>一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. ⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、基础知识归纳总结：?x????x,(??0),1．伸缩变换：设点p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?:?的作用下，?y???y,(??0).?点p(x,y)对应到点p?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
高考真题数学概率题及答案
高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。
在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。
题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。
题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。
解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。
题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。
解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。
通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。
希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。
概率论基础试题及答案
概率论基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机变量X服从标准正态分布，P(X≤0)的值为：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=10，p=0.3，则P(X=3)的值为：A. 0.0573B. 0.05734C. 0.05735D. 0.0574答案：A3. 若随机变量X与Y相互独立，则P(X>Y)的值为：A. P(X)P(Y)B. P(X) - P(X≤Y)C. 1 - P(X≤Y)D. 1 - P(X)P(Y)答案：C4. 随机变量X服从泊松分布，其期望值为λ，若λ=5，则P(X=3)的值为：A. 0.175467B. 0.175468C. 0.175469D. 0.17547答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为：A. f(x) = 1/(b-a), a≤x≤bB. f(x) = 1/(a-b), a≤x≤bC. f(x) = 1/(a+b), a≤x≤bD. f(x) = 1/(a-b), b≤x≤a答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = __________，其中μ为均值，σ^2为方差。
答案：1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))2. 已知随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中x≥0，则其期望值为E(X) = __________。
答案：1/λ3. 若随机变量X与Y相互独立，且P(X) = 0.6，P(Y) = 0.4，则P(X∩Y) = __________。
答案：0.244. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=5，p=0.2，则P(X≥3) = __________。
答案：0.031255. 随机变量X服从几何分布，其概率质量函数为P(X=k) = (1-p)^(k-1)p，其中k=1,2,3,...，则其方差Var(X) = __________。
概率初步试题及答案
概率初步试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 某事件的概率为0.5，那么它的对立事件的概率是（）。
A. 0.5B. 0C. 1D. 0.3答案：C2. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是（）。
A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A3. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，那么P(X=3)是（）。
A. 0.3B. 0.03C. 0.09D. 0.33答案：C4. 某次考试，甲、乙、丙三人的成绩独立，甲通过的概率为0.7，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.5，那么三人都通过的概率是（）。
A. 0.21B. 0.35C. 0.105D. 0.05答案：C5. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ^2=1，那么P(-1<X<1)是（）。
A. 0.6826B. 0.95C. 0.8413D. 0.9772答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 概率的取值范围是（）。
答案：[0,1]2. 随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，则P(X=2)=（）。
答案：0.33. 某次实验中，事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∪B)=（）。
答案：0.44. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,3)，则E(X)=（）。
答案：1.5三、计算题（每题10分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.2)，求P(X≥3)。
答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C_5^3*0.2^3*0.8^2+C_5^4*0.2^4*0.8+0.2^5=0.0512+0.0128+0.00032=0.064322. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，求P(1<X<3)。
答案：P(1<X<3)=Φ((3-2)/2)-Φ((1-2)/2)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=0.6915-0.3585=0.333四、解答题（共40分）1. 某班有50名学生，其中有20名女生，30名男生。
概率基础测试题及答案解析
概率基础测试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X>0)等于多少？A. 0.5B. 0.6826C. 0.8413D. 0.5000答案：A解析：标准正态分布的均值为0，标准差为1，对称轴为X=0，因此P(X>0)等于0.5。
2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么E(X)等于多少？A. 1.5B. 3C. 2.7D. 0.3答案：B解析：二项分布的期望值E(X)=np，所以E(X)=10*0.3=3。
3. 一组数据的平均数是5，方差是4，那么这组数据的中位数是多少？A. 4B. 5C. 6D. 无法确定答案：B解析：平均数是所有数据的总和除以数据的个数，而中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的数。
在没有具体数据的情况下，无法确定中位数，但根据平均数的定义，可以推断中位数为5。
4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，那么P(X=1且Y=1)等于多少？A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.6答案：A解析：由于X和Y相互独立，所以P(X=1且Y=1)=P(X=1)*P(Y=1)=0.5*0.3=0.15。
5. 一组数据的样本容量为100，样本均值为50，样本方差为25，那么这组数据的标准差是多少？A. 5B. 10C. 20D. 25答案：A解析：标准差是方差的平方根，所以标准差=√25=5。
6. 已知随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，那么P(X=3)等于多少？A. 0.182B. 0.273C. 0.409D. 0.546答案：B解析：泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，代入λ=4和k=3，计算得到P(X=3)=e^(-4)4^3/3!=0.273。
7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,1)，那么P(0.5<X<0.6)等于多少？A. 0.1B. 0.05C. 0.15D. 0.2答案：B解析：均匀分布的概率等于区间长度，所以P(0.5<X<0.6)=0.6-0.5=0.1，但因为题目中区间长度为0.1，所以答案为0.05。
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案第7章参数估计--一点估计一、填空题XO,P,11、设总体服从二项分布〜〜X,X? X是其一个样本〜那么矩佔B(N, p)12nX A计量.p,NXXX,, 2、设总体〜其中未知参数，是的样本〜X"B(l,p)01,,pX12nnnlXl,Xii则的矩佔计为_〜样本的似然函数为—。
pXp(l, p),, ini, li, 1• • •22, XXX,,, 3、设是来自总体的样本〜则有关于及,X~N(,,,)12n12n, (X,,)il222,LXXX(,, 的似然函数—。
el2n,,, 2i, 1二、计算题,X,,,lfxxx(;)(l),01,,,, ,,1、设总体具有分布密度〜其中是未知参数〜X, X, ? X为一个样本〜试求参数的矩估计和极大似然估计.，12n11 a , la, la, 21a, ci lx I,,解：因E (X), x( a , l)xdx, ( a ,l)xdxO,, 00 a , 2a, 2A a , 12X, 1A E(X),X, ? a，令为的矩估计 / a , 21, X• • ••n, Lxxxxxx(,, ;) (1)(),,,,因似然函数1212nnnn, InLn? InL, nln( ci , 1), a lnX, , lnX, 0〜由得〜,,ii, a a , 1, 1, liirT的极大似量估计量为，a,, (1, )nXln, i, li,,x,,ex,O,XXX,X, ? X2、设总体服从指数分布〜是来自的样本〜,l,fx(),,12n0,其他，,,求未知参数的矩估计,，2,求的极大似然估计.561U1A,,,,,EX()X,解:，1,由于〜令，故的矩估计为,,,,XXn,, x, in, li (2)似然函数Lxxxe(,,,, 12n• • •nlnlnLnx,,,,, i, lin dLnnln,,,,, xO,, ind, 1,, ix, i, li1,故的极大似然估计仍为。
导数、概率、统计、解析几何、立体几何、参数方程-高中数学综合测试(有答案)
高中数列综合测试测试范围：导数、概率、统计、解析几何、立体几何、参数方程一、选择题（每题5分）1、下列结论不正确的是( )A ．若3,y =则0y '=B ．若y=则y '=C ．若y =则y '=D ．若,y x =则1y '=2、奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件3、从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为( )A.23B.37C.35D.174、函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x ( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点5、对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间上为三等品。
用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.456、已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '＝( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2 7、如图是把二进制数(2)11111转化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A. 4?i >B. 4?i ≤C. 5?i >D. 5?i ≤8、某同学5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数10，方差为2，则||x y -的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D . 7 9、已知实数a 满足下列两个条件：①关于x 的方程2310ax x ++=有解； ②代数式2log (3)a +有意义。
高三数学练习题：概率与统计
高三数学练习题：概率与统计
问题1：
某班有40名学生，其中有30名学生参加了一个数学竞赛。
现在我们从这些学生中随机抽取一名学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位参加了数学竞赛的学生；
b) 抽中一位未参加数学竞赛的学生。
问题2：
某班有50名学生，其中30人喜欢数学，20人喜欢英语，15人同时喜欢数学和英语。
现在我们从这些学生中随机选择一位学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位喜欢数学的学生；
b) 抽中一位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位同时喜欢数学和英语的学生。
问题3：
某地区的天气预报表明，星期一下雨的概率是0.3，星期二下雨的概率是0.4。
而星期一和星期二都下雨的概率是0.15。
现在，我们从这两个星期中随机选择一个天气预报，请计算以下概率：
a) 抽中星期一下雨；
b) 抽中星期二下雨；
c) 抽中星期一和星期二都下雨。
问题4：
某班有90名学生，其中40人喜欢数学，60人喜欢英语，20人同时喜欢数学和英语。
现在我们从这些学生中选择两个学生，请计算以下概率：
a) 抽中两位喜欢数学的学生；
b) 抽中两位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位喜欢数学的学生和一位喜欢英语的学生。
问题5：
某打印店收到100份订单，其中有20份订单有错误。
现在，我们从这些订单中随机抽取一份，请计算以下概率：
a) 抽中一份有错误的订单；
b) 抽中一份没有错误的订单。
2020高考参数方程必刷热点题型(含答案)
2020高考参数方程必刷热点题型1．（2020•长春二模）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．2．（2020春•漳州月考）已知曲线C 的参数方程为2cos ,(sin ,x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），P 是曲线C 上的点且对应的参数为β，02πβ<<．直线l 过点P 且倾斜角为πβ-．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程．（2）已知直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，求证：||||PA PB 为定值．3．（2020•重庆模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（1）求C 的普通方程，并判断直线l 与曲线C 的公共点的个数； （2）若曲线C 截直线l所得弦长为tan α的值．4．（2019秋•三门峡期末）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，[0θ∈，2))π，曲线2C的参数方程为(12x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的普通方程；（Ⅱ）若曲线1C 上一点P 到曲线2C的距离的最大值为a ．5．（2020•江西一模）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为24(31x t a t y t ⎧=+⎨=-⎩为参数），圆C 的参数方程为21||cos (2sin x a y a θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数）． （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m ．6．（2020•佛山一模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24(4x m m y m ⎧=⎨=⎩为参数）．（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，其中1l 与曲线C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点0(P x ，0)y ，求证：||||||||PA PB PM PN =．7．（2020•青羊区校级模拟）在直角坐标系xOy 中，直线cos :(sin x t l t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数）与曲线22:(2x m C my m ⎧=⎨=⎩为参数）相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）当4πα=时，求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若||||2||||||MA MB MA MB =-，其中M ，0)，求直线l 的倾斜角．8．（2020•乐山模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为()5x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于A ，B 两点，求||||MA MB +的值．9．（2020•阿拉善盟一模）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1(12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中．圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)． ()I 将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求||||PA PB +的值．10．（2020春•红岗区校级月考）已知直线112:(x t l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）． （1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大时，点P 的坐标．11．（2020•辽宁一模）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos (22sin x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），直线2C的方程为y =，以O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；（2）若直线1C 与曲线2C 交于P ，Q 两点，求||||OP OQ 的值．12．（2020•大武口区校级一模）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (42sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数）．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知(2,0)A ，(0,2)B ，圆C 上任意一点(,)M x y ，求ABM ∆面积的最大值．13．（2020•南充模拟）在平面直角坐标系x Oy 中，直线l的参数方程为3(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求||||PA PB +的值．14．（2019秋•青羊区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 参数方程为6cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，得到曲线2C ．（1）求曲线2C 的普通方程；（2）过点(1,1)P 且倾斜角为α的直线l 与曲线2C 交于A ，B 两点，求||AB 取得最小值时α的值．15．（2019秋•11月份月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线112:(x t l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线1:(sin x C y θθθ⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求||AB ；（2）若Q 是曲线2cos :(3sin x C y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）上的一个动点，设点P 是曲线1C 上的一个动点，求||PQ 的最大值．16．（2019春•双流区校级月考）在直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，将曲线1C 经过伸缩变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩得到曲线2C ；以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 分别是曲线2C 上的两点，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．17．（2019秋•市中区校级月考）在直角坐标系xOy 中，曲线cos 1:(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），直线1:(2x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数）．()I 判断直线l 与曲线C 的位置关系：（2）点P 是曲线C 上的一个动点，求P 到直线l 的距离的最大值．18．（2019•福建模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程是2cos (12sin x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2sin()3m m R ρπθ=∈-．（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）设A ，B 分别在曲线1C ，2C 上运动，若||AB 的最小值是1，求m 的值．19．（2019•河南模拟）已知直线1cos,:(sinx tl ty tαα=-+⎧⎨=⎩为参数，α为l的倾斜角，且0)απ<<与曲线2cos,:(xCyθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）相交于A，B两点，点F的坐标为(1,0)，点E的坐标为(1,0)-．（1）求曲线C的普通方程和ABF∆的周长；（2）若点E恰为线段AB的三等分点，求ABF∆的面积．20．（2019•怀化三模）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为22cos30([0,])ρρθθπ--=∈，将曲线1C向左平移1个单位再经过伸缩变换：232x xy y'=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C．（Ⅰ）求1C的普通方程与2C的参数方程；（Ⅱ）若直线1cos:(sinx tl ty tαα=+⎧⎨=⎩为参数）与1C，2C分别相交于A，B两点，求当||2AB=时直线l的普通方程．21．（2019春•香坊区校级月考）已知曲线11cos:(23sinxCyααα⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），曲线2:sin()4Cπρθ+=，将1C的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的13得到曲线3C．（1）求曲线3C的普通方程，曲线2C的直角坐标方程；（2）若点P为曲线3C上的任意一点，Q为曲线2C上的任意一点，求线段||PQ的最小值，并求此时的Q的坐标；（3）过（2）中求出的点Q做一直线l，交曲线3C于A，B两点，求AOB∆面积的最大值(O为直角坐标系的坐标原点），并求出此时直线l的方程．22．（2019春•桃城区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），曲线C 的参数方程为cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），点P 的坐标为(2,0)-． （1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值； （2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．23．（2019秋•中原区校级月考）在直角坐标系xOy中，曲线1,:(2x C y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 3C ρρθ=-． （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点(0,)P l -，求||||PM AB 的值．24．（2019春•玉山县校级期中）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4(3x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22(3sin )12ρθ+=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且设定点(2,1)P ，求11||||PA PB +的值．25．（2019春•龙凤区校级期中）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩是参数）．（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB =l 的倾斜角α的值．26．（2019•双流区校级一模）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为0(ρ，0)θ，0(,)26ππθ∈-，射线OB 绕O 点逆时针旋转3π，得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求||||OA OB +的最大值．27．（2019春•渝中区校级期中）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数），以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为28cos sin θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线与曲线C 交于A ，B 两点，点(1,2)P ，求||||||PA PB -的值．28．（2019•双流区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB +的值．29．（2019•淄博三模）在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为cos ,(2sin ,x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ．（1）若6πα=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若||OP 为||PA 与||PB的等比中项，其中P ，求直线l 的斜率．30．（2019•安徽二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），在以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为2cos ρθ=- （1）写出直线的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点A 的直角坐标为(0,2)-，P 为圆C 上动点，求PA 在直线l 上的投影长的最小值参考答案与试题解析1．（2020•长春二模）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值． 【分析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程；化38cos 43sin4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆1C 的极坐标方程与直线2C 的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，可得8|||cos sin |||4|cos |ON OM ααα+=，整理后利用三角函数求最值． 【解答】解：（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程为22(2)4x y -+=；由38cos 4(3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得82x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程为8x y +=；（Ⅱ）如图，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2C 的极坐标方程为cos sin 8ρθρθ+=， 即8cos sin ρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin |||4|cos ||sin cos ||sin 2cos 21|)1|4ON OM cos ααπααααααα+====+++++．42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴)1|[1,14πα++∈，则||||ON OM 1)=-．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题．2．（2020春•漳州月考）已知曲线C 的参数方程为2cos ,(sin ,x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），P 是曲线C 上的点且对应的参数为β，02πβ<<．直线l 过点P 且倾斜角为πβ-．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程．（2）已知直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，求证：||||PA PB 为定值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用直线与x 轴和y 轴的交点的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为2cos ,(sin ,x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为2214x y +=，P 是曲线C 上的点且对应的参数为β，02πβ<<．直线l 过点P 且倾斜角为πβ-．所以直线的参数方程为：2cos cos (sin sin x t t y t ββββ=-⎧⎨=+⎩为参数）．（2）证明：由于，02πβ<<．所以sin 0β≠，cos 0β≠，由sin sin 0y t ββ=+=，解得1t =-． 即点A 对应的参数1A t =-，由2cos cos 0x t ββ=-=，解得B 对应的参数2B t =， 所以：||||||2A B PA PB t t ==为定值．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 3．（2020•重庆模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（1）求C 的普通方程，并判断直线l 与曲线C 的公共点的个数；（2）若曲线C 截直线l 所得弦长为tan α的值．【分析】（1）由22cos sin 1θθ+=可得曲线C 的普通方程，由直线l 所过定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系，从而得交点个数；（2）把直线l 的方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算圆的弦长可求得直线的斜率k ，即tan α．【解答】解：（1）22:4C x y +=，l 经过点P ，而点P 在圆C 的内部，l ∴与C 有两个交点．（2）:(1l y k x =+，设O 到l 的距离为d ，l 与C 交于点A ，B ，AB 中点为M ， 224AM d +=，1d ∴=，∴10d k ==⇒=或tan 0α∴=或【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化和直线与圆相交弦长问题，考查了转化思想，属中档题． 4．（2019秋•三门峡期末）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，[0θ∈，2))π，曲线2C的参数方程为(12x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的普通方程；（Ⅱ）若曲线1C 上一点P 到曲线2C的距离的最大值为a ．【分析】（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，[0θ∈，2))π，利用平方关系可得1C 普通方程．由曲线2C的参数方程为(12x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．消去参数可得2C 的普通方程． （Ⅱ）设点(3cos ,sin )P θθ，利用点到直线的距离公式可得：点P 到2C 的距离|)|32a d πθ---==，对a 分类讨论，利用三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，[0θ∈，2))π，利用平方关系可得：22:19x C y +=． 由曲线2C的参数方程为(12x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），消去参数可得：:0C x a --=． （Ⅱ）设点(3cos ,sin )P θθ，点P 到2C的距离|)|32a d πθ---==， 当0a 时，有sin()13πθ-=时，max d ==∴a =； 当0a <时，有sin()13πθ-=-时，max d =∴a =-综上，a =a =-【点评】本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、分类讨论、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2020•江西一模）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为24(31x t a t y t ⎧=+⎨=-⎩为参数），圆C 的参数方程为21||cos (2sin x a y a θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数）． （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m ． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果． 【解答】解：（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为24(31x t a t y t ⎧=+⎨=-⎩为参数），转换为为41(31x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），圆C 的参数方程为1cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=， 消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=． （2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '， 即37()44y x m =+-，即34370x y m -+-=．因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为1，所以(1,2)C -到l '的距离为2， 即|3837|25m ++-=，解得142(03m m ==-<舍去）． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 6．（2020•佛山一模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24(4x m m y m ⎧=⎨=⎩为参数）．（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，其中1l 与曲线C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点0(P x ，0)y ，求证：||||||||PA PB PM PN =．【分析】（1）由4y m =，得4ym =，代入24x m =，求出C 的普通方程为24y x =，表示开口向右，焦点为(1,0)F 的抛物线．（2）设直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为πα-，直线1l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数），与24y x =联立，得222000sin (2sin 4cos )40t y t y x ααα+-+-=，由此能证明||||||||PA PB PM PN =． 【解答】解：（1）解：由4y m =，得4ym =， 代入24x m =，得24y x =，∴曲线C 的普通方程为24y x =，C ∴的普通方程为24y x =，表示开口向右，焦点为(1,0)F 的抛物线．（2）证明：设直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为πα-， ∴直线1l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数），与24y x =联立，得222000sin (2sin 4cos )40t y t y x ααα+-+-=， 设方程的两个解为1t ，2t ，则2001224y x t t sin α-=，2001224||||||||||y x PA PB t t sin α-∴==，2200002244||||||||()y x y x PM PN sin sin παα--==-，||||||||PA PB PM PN ∴=．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．（2020•青羊区校级模拟）在直角坐标系xOy 中，直线cos :(sin x t l t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数）与曲线22:(2x m C m y m ⎧=⎨=⎩为参数）相交于不同的两点A ，B． （Ⅰ）当4πα=时，求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若||||2||||||MA MB MA MB =-，其中M ，0)，求直线l 的倾斜角．【分析】（Ⅰ）当4πα=时，直线cos :(sin x t l t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）化为x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得直线l的普通方程；直接把曲线C 的参数方程消去参数m ，可得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）将直线cos :(sin x t l t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）代入22y x =，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cos |α=，则直线l 的倾斜角可求． 【解答】解：（Ⅰ）当4πα=时，直线cos :(sin x t l t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）化为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得直线l的普通方程为y x =-由曲线22:(2x m C m y m⎧=⎨=⎩为参数），消去参数m ，可得曲线C 的普通方程为22y x =；（Ⅱ）将直线cos :(sin x t l t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）代入22y x =， 得222cos 230sin t t αα--=． 1222cos tt sin αα+=，12t t 由||||2||||||MA MB MA MB =-，得1212||2||t t tt =+， 即22cos |2||sin αα=，解得|cos |α=． ∴直线l 的倾斜角为6π或56π．【点评】本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．8．（2020•乐山模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为()5x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于A ，B 两点，求||||MA MB +的值．【分析】（1）由曲线1C 的参数方程消去参数ϕ，得曲线1C 的普通方程．把4cos ρθ=两边同时乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线2C 的普通方程．联立两圆的普通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程；（2）由sin()4πρθ+=l 的直角坐标方程，求得(0,4)M ，写出直线l 的参数方程，代入曲线221(5)10C x y -+=，再由参数t 的几何意义求解．【解答】解：（1）由5(x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数ϕ，得曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=． 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，得曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=．由两圆心的距离32)d =∈，得两圆相交，∴两方程相减可得交线为6205x -+=，即52x =． ∴直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=； （2）由sin()4πρθ+=sin cos ρθθ=∴直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ．直线l的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入曲线221(5)10C x y -+=，得2310t ++=．设A ，B 两点的参数为1t ，2t ，∴12t t +=-，1231t t =，则1t ，2t 同号．∴1212||||||||||MA MB t t t t +=+=+=【点评】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t 的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题． 9．（2020•阿拉善盟一模）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1(1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中．圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)．()I 将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求||||PA PB +的值．【分析】（Ⅰ）根据已知中直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程，可得直线和圆的普通方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的直角坐标系，根据根与系数关系求出两实根的关系式，再有t 的几何意义求解．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为1(1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， 可得：直线l 的普通方程为：2x y +=，即20x y +-=由26cos 50ρρθ-+=，得22650x y x +-+=，即22(3)4x y -+=； （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(13)(1)422+-+-=．即210t -+=，由于△2(4140=--=>， 故可设1t ，2t 是上述方程的两实根，所以12t t +=121t t =， 又直线l 过点(1,1)P ， 故由上式及t 的几何意义得：1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【点评】本题主要考查坐标系与参数方程的关系，考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．10．（2020春•红岗区校级月考）已知直线112:(x t l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）． （1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大时，点P 的坐标．【分析】（1）联立方程求得交点坐标，然后求解弦长即可；（2）由题意得到距离函数，然后讨论距离的最大值和点的坐标即可． 【解答】解：（1）l的普通方程1)y x =-，1C 的普通方程221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩解得l 与1C 的交点为(1,0)A，1(,2B -，则||AB =（2）2C的参数方程为1cos 2(x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），故点P的坐标是1(cos )2θθ，从而点P 到直线l的距离是13|cos sin 1|)1|22222θθθϕ---+=，由此当sin()1θϕ-=时，d12+． 此时，点P坐标为(． 【点评】本题考查极坐标方程及其应用，点到直线距离公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．11．（2020•辽宁一模）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos (22sin x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），直线2C的方程为y =，以O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；（2）若直线1C 与曲线2C 交于P ，Q 两点，求||||OP OQ 的值．【分析】（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程．（2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果．【解答】解：（1）曲线1C的参数方程为2cos (22sin x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），转化为普通方程：22((2)4x y -+-=，即22430x y y +--+=，则1C 的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=，⋯（3分）直线2C 的方程为y x =， ∴直线2C 的极坐标方程()6R πθρ=∈．⋯（5分）（2）设1(P ρ，1)θ，2(Q ρ，2)θ，将()6R πθρ=∈代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=，得：2530ρρ-+=， 123ρρ∴=，12||||3OP OQ ρρ∴==．⋯（10分）【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程与的应用，属于基础题型．12．（2020•大武口区校级一模）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (42sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数）．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知(2,0)A ，(0,2)B ，圆C 上任意一点(,)M x y ，求ABM ∆面积的最大值．【分析】（1）圆C 的参数方程为32cos (42sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数）．利用平方关系可得：22(3)(4)4x y -++=．展开可得：2268210x y x y +-++=．把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得圆C 的极坐标方程．（2）直线AB 的方程为：122x y+=，即20x y +-=．圆心(3,4)C -到直线AB 的距离2d >，可得直线AB 与AB 相离．可得圆C 上任意一点(,)M x y 直线AB 的距离的最大值，可得ABM ∆面积的最大值1||()2AB d r =+． 【解答】解：（1）圆C 的参数方程为32cos (42sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数）．利用平方关系可得：22(3)(4)4x y -++=．展开可得：2268210x y x y +-++=．把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得圆C 的极坐标方程：26cos 8sin 210ρρθρθ-++=． （2）直线AB 的方程为：122x y+=，即20x y +-=．圆心(3,4)C -到直线AB的距离2d ==>，可得直线AB 与AB 相离． ∴圆C 上任意一点(,)M x y 直线AB的距离的最大值2d r =+=+， ABM ∴∆面积的最大值11||()2)322AB d r =+=⨯+=+ 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2020•南充模拟）在平面直角坐标系x Oy 中，直线l的参数方程为3(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求||||PA PB +的值．【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得圆C 的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求||||PA PB +的值． 【解答】解：（Ⅰ）由3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l的普通方程为302x y +-=--------分又由ρθ=得2sin ρθ=，化为直角坐标方程为22(5x y +=；5---------分 （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(3))5+=，即240t -+= 设1t ，2t 是上述方程的两实数根，所以12t t +=又直线l过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，所以1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．10------------------分．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．14．（2019秋•青羊区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 参数方程为6cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，得到曲线2C ．（1）求曲线2C 的普通方程；（2）过点(1,1)P 且倾斜角为α的直线l 与曲线2C 交于A ，B 两点，求||AB 取得最小值时α的值．【分析】（1）根据题意得到曲线C 的直角坐标方程为2213616x y +=，然后由伸缩变换规则求得答案；（2）把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程可得：22(cos sin )20t t αα++-=，记A ，B 对于的参数分别为1t ，2t ，12122(cos sin )2t t t t αα+=-+⎧⎨=-⎩，12||||AB t t =-=数的最值求得答案．【解答】解：（1）将曲线1C 参数方程6cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）的参数消去，得到直角坐标方程为2213616x y +=，设1C 上任意一点为0(x ，0)y ，经过伸缩变换后的坐标为(,)x y ''， 由题意得：0000133212x x x x y y y y⎧'=⎪'=⎧⎪⇒⎨⎨'=⎩⎪'=⎪⎩，故2C 的直角坐标方程224x y +=；（2）过点(1,1)P 倾斜角为α的直线l 的参数方程为：1cos (1sin x t y t ααα=+⎧⎨=+⎩为参数），代入2C 的方程224x y +=得：22(cos sin )20t t αα++-=，记A ，B 对于的参数分别为1t ，2t ，12122(cos sin )2t t t t αα+=-+⎧⎨=-⎩，12||||AB t t =-=故当34πα=时，||min AB = 【点评】本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2019秋•11月份月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线112:(x t l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线1:(sin x C y θθθ⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求||AB ；（2）若Q 是曲线2cos :(3sin x C y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）上的一个动点，设点P 是曲线1C 上的一个动点，求||PQ 的最大值．【分析】（1）化曲线1C 的参数方程为普通方程，把直线的参数方程代入，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及此时t 的几何意义求解；（2）点(,)P x y 是曲线1C 上的一个动点，化曲线2C 的参数方程为普通方程，由两点间的距离公式写出2||PC ，利用二次函数求其最大值，进一步得到||PQ 的最大值．【解答】解：（1）由曲线1:(sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得普通方程为2212x y +=．把直线l 的参数方程代入为2212x y +=，得27440t t +-=．则1247t t +=-，1247t t =-．12||||7AB t t ∴=-==（2）设点(,)P x y 是曲线1C 上的一个动点，化曲线2cos :(3sin x C y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）为22(3)1x y +-=．2||PC ∴=，11y -，2||PC ∴的最大值为4，则||PQ 的最大值为5．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了圆与椭圆位置关系的应用，是中档题．16．（2019春•双流区校级月考）在直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，将曲线1C 经过伸缩变换。
高考数学大题每日一题规范练(第四周)
高考数学大题每日一题规范练【题目1】 (本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，m cos x )，b ＝(3，－1). (1)若a ∥b ，且m ＝1，求2sin 2x －3cos 2x 的值；(2)若函数f (x )＝a ·b 的图象关于直线x ＝2π3对称，求函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域.解 (1)当m ＝1时，a ＝(sin x ，cos x )，又b ＝(3，－1)， 且a ∥b .∴－sin x －3cos x ＝0，即tan x ＝－3，∵2sin 2x －3cos 2x ＝2sin 2x －3cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x －3tan 2x ＋1＝2×（－3）2－3（－3）2＋1＝32，∴2sin 2x －3cos 2x ＝32.(2)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x －m cos x 的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6， 即3＝32＋32m ，得m ＝3，则f (x )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (2x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π6，∴当x ＝π3时，f (2x )取最大值为23；当x ＝2π3时，f (2x )取最小值为－ 3. 即函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域为[－3，23].星期二 (概率统计) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：(1)从5600的概率；(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^：并预测当特征量x 为570时特征量y 的值.(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为解 (1)从5次特征量y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有C 25＝10种方法，都小于600，有C 23＝3种方法，∴至少有一个大于600的概率P ＝1－C 23C 25＝1－310＝710.－1×1＋3×5＋（－5）×（－3）＋7×（－1）＋（－4）×（－2）（－1）2＋32＋（－5）2＋72＋（－4）2＝0.3，a ^＝y－b ^x ＝600－0.3×556＝433.2， 线性回归方程为y ^＝0.3x ＋433.2，当x ＝570时，y ^＝0.3×570＋433.2＝604.2. 即当特征量x 为570时特征量y 的估计值为604.2.星期三 (数列) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋a 2n (n ∈N *)，求数列{2nb n }的前n 项和S n .解 (1)∵2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32，∴11＋a n ＋1＝11＋a n＋12，即11＋a n ＋1－11＋a n ＝12，设c n ＝1a n ＋1，由a 1＝1得c 1＝12，则数列{c n }是一个首项和公差均为12的等差数列， ∴c n ＝12＋12(n －1)＝n 2，则a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝1＋a 2n ＝22n ＝12n －1，所以2nb n ＝2n2n －1，则S n ＝2×1＋4×12＋6×122＋…＋2n ×12n －1①，∴12S n ＝2×12＋4×122＋6×123＋…＋2n ×12n ②， ①－②得12S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2n ×12n ，即12S n ＝4－2n ＋42n .得S n ＝8－n ＋22n －2⎝⎛⎭⎪⎫或8－4n ＋82n .星期四 (立体几何) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值. (1)证明 连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ， 故MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 由A 1A ⊥平面ABC 且CC 1∥A 1A ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1.又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ，以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC 1＝2λ(λ>0).则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，∴CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1). 取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由CM→·m ＝0，MN →·m ＝0. 得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ).同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ)， ∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0，解得λ＝22，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，322，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66.所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66.星期五 (解析几何) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0<r <b )，若圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点.(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； (2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足1a 2＋1b 2＝1r 2，并说明理由.解 (1)依题意原点O 到切线l ：y ＝－12x ＋m 的距离为半径1，∴|m |1＋14＝1，解之得m ＝±52，又点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，则m >0， ∴切线l ：y ＝－12x ＋52，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，52，B (5，0)，∴B 为椭圆的右顶点，A 为椭圆的上顶点，则a ＝5，b ＝52， ∴椭圆E 的方程为：x 25＋y 254＝1.(2)a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1r 2成立，理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，则|m |1＋k 2＝r ，即m 2＝r 2(1＋k 2)，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2，AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则∠AOB ＝90°， 则OA→·OB →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2＋b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＝（a 2＋b 2）m 2－a 2b 2（1＋k 2）b 2＋a 2k 2＝0.则(a 2＋b 2)m 2＝a 2b 2(1＋k 2)，②将①代入②，得a 2＋b 2a 2b 2＝1r 2， ∴1a 2＋1b 2＝1r 2.星期六 (函数与导数) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a >0)的最小值是1. (1)求a ；(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x ＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝2x －ax ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2x(x >0).所以，当0<x <a2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >a2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增. 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2， 由题意可得：a 2－a 2ln a 2＝1，即a 2－a 2ln a2－1＝0， 记g (a )＝a 2－a 2ln a2－1(a >0)，则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a2＝1的根； 由于g ′(a )＝－12ln a2，故a ＝2时，g ′(2)＝0， 且0<a <2时，g ′(a )>0；a >2时，g ′(a )<0， 所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点， 所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0， 所以a ＝2.(2)由条件可得f 2(x )e 2x －6mf (x )e x ＋9m ＝0， 令g (x )＝f (x )e x ＝(x 2－2ln x )e x ， 则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x －2x －2ln x e x ，令r (x )＝x 2＋2x －2x －2ln x (x ≥1)，则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x >2x －2x ＝2（x 2－1）x≥0，r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e ；所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解， 当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件. 当Δ>0时可得m <0或m >1， 所以e 2－6m e ＋9m ≤0， 解之得m ≥e 26e －9，综上，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9.星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】 在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m 为常数).(1)若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； (2)若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程：4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ， 由⎩⎨⎧4x ＋3y －m ＝0，y 2＝4x可得y 2＋3y －m ＝0， ∵直线l 和曲线C 恰好有一个公共点， ∴Δ＝9＋4m ＝0，∴m ＝－94.(2)当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1，0)，由⎩⎨⎧4x ＋3y －4＝0，y 2＝4x可得4x 2－17x ＋4＝0，设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝174， 故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝254. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增； ∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2， 由于m >0，n >0， 则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号.∴1m ＋1n 的最小值为2 2.。
概率学高考试题及答案
概率学高考试题及答案概率学是高中数学课程中的一个重要分支，它研究随机事件的规律性。
以下是一套概率学高考试题及答案，供考生练习。
一、选择题（每题3分，共15分）1. 某班有30名学生，其中男生20人，女生10人。
从这30名学生中随机抽取一人，抽到男生的概率是多少？A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/5答案：B2. 一个袋子里装有3个红球和2个蓝球，随机取出2个球，至少有一个红球的概率是多少？A. 1/3B. 3/5C. 2/3D. 4/5答案：C3. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.7B. 0.6C. 0.5D. 0.4答案：B4. 抛一枚硬币两次，出现正面朝上的次数X服从什么分布？A. 正态分布B. 二项分布C. 泊松分布D. 几何分布答案：B5. 一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于多少？A. λ^k * e^(-λ) / k!B. k * λ^(k-1) * e^(-λ)C. λ * e^(-λ) / kD. e^(-λ) * (λ/k)答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个盒子里有5个白球和3个黑球，随机取出2个球，两个都是白球的概率是______。
答案：5/147. 某次考试的及格率为70%，如果随机抽取10名学生，至少有7名学生及格的概率是______。
答案：[计算略]8. 一个骰子连续掷两次，点数之和为7的概率是______。
答案：5/369. 某工厂生产的产品中有2%是次品，如果随机抽取100件产品，期望的次品数是______。
答案：210. 一个随机变量X服从标准正态分布，那么P(-1 < X < 1) ≈______。
答案：0.6827三、解答题（共25分）11. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求以下事件的概率：- 事件A：取出的3个球都是红球。
概率与数理统计第7章参数估计习题与答案
第7章参数估计----点估计一、填空题1、设总体X服从二项分布B(N,p)，0P1，X1,X2X n是其一个样本，那么矩估计量p?XN.2、设总体X~B(1,p)，其中未知参数0p1,X1,X2,X n是X的样本，则p的矩估计为_ 1n in1X i _，样本的似然函数为_in1X i(1p)1Xp__。
i3、设X1,X2,,X n是来自总体X~N(,2)的样本，则有关于及2的似然函数2L(X,X,X n;,)_12 in112e12(X) i22__。
二、计算题1、设总体X具有分布密度f(x;)(1)x,0x1，其中1是未知参数，X1,X2,X为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.n解：因E(X ) 1x1a()α1(α1)xdx1x dxαα112a2|xααα12令E(X)X?α?α122X1α?为的矩估计1Xn因似然函数L(x1,x2,x;)(1)(x1x2x)nnnlnLnln(α1)lnX，由αii1 l nLαnα 1inlnX0得，i1n ?的极大似量估计量为(1)αnln Xii12、设总体X服从指数分布f(x)xe,x00,其他，X1,X2,X n是来自X的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.56解：（1）由于1 E(X)，令11 X X，故的矩估计为? 1 X（2）似然函数nL(x,x,,x )e12ni nx i 1nlnLnlnxii1 ndlnLnnx0 indi1x ii1故的极大似然估计仍为1 X 。
3、设总体 2 X~N0,， X 1,X 2,,X n 为取自X 的一组简单随机样本，求 2 的极大似然估计；[解](1)似然函数n1 Le i122 x i 2 22n 22en 2x i 2 i 12于是n2nnx2i lnLln2ln2222i1 dlnLn1d224 22n i1 2x i，令 d lnL 2d 2 0，得的极大似然估计：n 122X ini1. 4、设总体X 服从泊松分布P(),X 1,X 2,,X n 为取自X 的一组简单随机样本,（1）求 未知参数估计；（2）求大似然估计. 解：（1）令E(X )X?X ，此为估计。
2023高考数学概率知识点练习及答案
2023高考数学概率知识点练习及答案高考数学概率知识点练习及答案一、选择题1.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A.0.852B.0.819 2C.0.8D.0.75答案：D 命题立意：本题主要考查随机模拟法，考查考生的逻辑思维能力.解题思路：因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0.75，故选D.2.在菱形ABCD中，ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD内任取一点，则该点到四个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. 1/2B.2C. -1D.1答案：D 命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查考生的运算求解能力.解题思路：如图，以菱形的四个顶点为圆心作半径为1的圆，图中阴影部分即为到四个顶点的距离均不小于1的区域，由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P==.3.设集合A={1,2}，B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5，nN) ，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为( )A.3B.4C.2和5D.3和4答案：D 解题思路：分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a+b=2的有1种情况，a+b=3的有2种情况，a+b=4的有2种情况，a+b=5的有1种情况，所以可知若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为3和4，故选D.4.记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为( )A. 3/4B.1/2C. 1/3D.1/4答案：B 解题思路：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0，因此满足此条件的基本事件有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9个，故所求的概率为=.5.在区间内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A.1-B.1-C.1-D.1-答案：B 解题思路：函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点，需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2成立.而a，b[-π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2+b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P===1-，故选B.6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.5/6B.11/12C. 1/2D.3/4答案：B 解题思路：将同色小球编号，从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而为一白一黑的共有6个基本事件，所以所求概率P==.故选B.二、填空题7.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为________.答案：命题立意：本题考查线性规划知识以及几何概型的概率求解，正确作出点对应的平面区域是解答本题的关键，难度中等.解题思路：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，满足条件x2+y2≤2的点分布在以为半径的四分之一圆面内，以面积作为事件的几何度量，由几何概型可得所求概率为=.8.从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查古典概型，意在考查考生分析问题的能力.解题思路：设5名学生分别为a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，从5名学生中选2名的选法有(a1，a2)，(a1，a3) ，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3种，故所求概率为.9.已知函数f(x)=kx+1，其中实数k随机选自区间，则对x∈[-1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查数形结合思想.解题思路：f(x)=kx+1过定点(0,1)，数形结合可知，当且仅当k[-1,1]时满足f(x)≥0在x[-1，1]上恒成立，而区间[-1,1]，[-2,1]的区间长度分别是2,3，故所求的概率为.10.若实数m，n{-2，-1,1,2,3}，且m≠n，则方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是________.解题思路：实数m，n满足m≠n的基本事件有20种，如下表所示.-2 -1 1 2 3 -2 (-2，-1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1，-2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1，-2) (1，-1) (1,2) (1,3) 2 (2，-2) (2，-1) (2,1) (2,3) 3 (3，-2) (3，-1) (3,1) (3,2) 其中表示焦点在y轴上的双曲线的事件有(-2,1)，(-2,2)，(-2,3)，(-1,1)，(-1,2)，(-1,3)，共6种，因此方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为P==.三、解答题11.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2-6n+12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出1个球，求其重量大于其编号的概率;(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率.命题立意：本题主要考查古典概型的基础知识，考查考生的计算能力.解析：(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2-6n+12>n，即n2-7n+12>0.解得n<3或n>4.所以n=1,2,5,6.所以从袋中任意取出1个球，其重量大于其编号的概率P==.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.共有15种可能的情形.设编号分别为m与n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)的球的重量相等，则有m2-6m+12=n2-6n+12，即有(m-n)(m+n-6)=0.所以m=n(舍去)或m+n=6.满足m+n=6的情形为1,5;2,4，共2种情形.故所求事件的概率为.12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率.命题立意：(1)不放回抽球，列举基本事件的个数时，注意不要出现重复的号码;(2)有放回抽球，列举基本事件的个数时，可以出现重复的号码，然后找出其中随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的公式进行计算.解析：(1)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a>0，b>0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.以下第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A发生的概率为P(A)==.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.落在区域内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P落在区域内的概率为.13.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.命题立意：本题以频率分布直方图为载体，考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法.解析：(1)由已知，得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2，这2人分别记为A，B;成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个.所以所求概率为P(M)=.14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车，包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等，其废气排放量比较低，为了配合我国“节能减排”战略，某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车，每类轿车均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：燃料电池轿车混合动力轿车氢能源动力轿车标准型 100 150 y 豪华型 300 450 600 按能源类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中燃料电池轿车有10辆.(1)求y的值;(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆轿车，求至少有1辆标准型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测，经检测它们的得分如下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把这10辆轿车的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率.命题立意：本题主要考查概率与统计的相关知识，考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.对于第(1)问，设该厂这个月生产轿车n辆，根据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有燃料电池轿车10辆，列出关系式，得到n的值，进而得到y值;对于第(2)问，由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果;对于第(3)问，首先求出样本的平均数，求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果.解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意，得=，n=2 000，y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车，由题意得a=2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆标准型轿车，3辆豪华型轿车，用A1，A2表示2辆标准型轿车，用B1，B2，B3表示3辆豪华型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆轿车，其中至少有1辆标准型轿车”，则总的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故所求概率为P(E)=.(3)样本平均数=×(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4”，则总的基本事件有10个，事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0，共6个.所求概率为P(D)==.。
概率与参数方程
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.3名老师随机从3男3女共6人中各带2名学生进行实验，其中每名老师各带1名男生和1名女生的概率为（ ）A.52 B.53 C.54 D.1092.某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ） A.52 B.53 C.101 D.2013. 一批产品中，有n 件正品和m 件次品，对产品逐个进行检测，如果已检测到前k （k ＜n )次均为正品，则第k +1次检测的产品仍为正品的概率是（ ）A.km n kn -+-B.m n k ++1 C.11--+--k m n k n D.km n k -++14. 有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶5.在一块并排10垄的土地上，选择2垄分别种植A 、B 两种植物，每种植物种植1垄，为有利于植物生长，则A 、B 两种植物的间隔不小于6垄的概率为（ ）A.301 B.154 C.152 D.3016.某机械零件加工由2道工序组成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（ ）A.ab －a －b +1B.1－a －bC.1－abD.1－2ab7.有n 个相同的电子元件并联在电路中，每个电子元件能正常工作的概率为0.5，要使整个线路正常工作的概率不小于0.95，n 至少为（ ）A.3B.4C.5D.68.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是（ ）A.31 B.32 C.41 D.529.5)3||1|(|++x x 的展开式中的2x 的系数是（ ） A.275 B.270 C.540D.54510.有一道竞赛题，甲解出它的概率为21，乙解出它的概率为31，丙解出它的概率为41，则甲、乙、丙三人独立解答此题，只有1人解出此题的概率是（ ）A.241B.2411 C.2417D.114．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得 使用同一颜色，现有4种颜色可 供选择，则不同的着色方法共有 种15．若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在直线x +y =5下方的概率是________16．在编号为1，2，3，…，n 的n 张奖卷中，采取不放回方式抽奖，若1号为获奖号码，则在第k 次（1≤k ≤n ）抽签时抽到1号奖卷的概率为________三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设m ，n ∈Z +，m 、n ≥1，f （x ）=（1+x ）m +（1+x ）n 的展开式中，x 的系数为19（1）求f （x ）展开式中x 2的系数的最大、小值；（2）对于使f （x ）中x 2的系数取最小值时的m 、n 的值，求x 7的系数18．（本小题满分12分）从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率： （1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的； （2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的19．（本小题满分12分）有8位游客乘坐一辆旅游车随机到3个景点中的一个景点参观，如果某景点无人下车，该车就不停车，求恰好有2次停车的概率20．（本小题满分12分）已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项21．（本小题满分12分）有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：（1）事件A ：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间中各有1人； （3）事件C ：指定的某个房间中有两人；（4）事件D ：第1号房间有1人，第2号房间有3人7．在7)y 31x 2(-展开式中，x 5y 2的系数是 8．=++++nn n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C9. 203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第 项10．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是11．1032)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项是12．0.9915精确到0.01的近似值是 13．求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数16．若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？7、过点,0)P 作倾斜角为α的直线与曲线1222=+y x 相交于,M N 两点，求PM PN ⋅的最小值及相应的α值.8．直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=0100sin 3100cos 4t y t x （t 为参数）的倾斜角是_______________.9．椭圆⎩⎨⎧==θθsin 5cos 3y x （θ为参数）的焦点坐标是 .10．抛物线⎩⎨⎧==t y t x 882（t 为参数）的准线方程是 .11．曲线⎩⎨⎧-=+=3412t y t x （t 为参数）与x 轴交点的坐标是_______________.12．直线⎩⎨⎧=+=ty t x 32（t 为参数）被双曲线122=-y x 截得的弦长为_______________.13．过点P （1，-2）作直线与曲线⎩⎨⎧==θθsin 2cos 22y x （θ为参数）相交于A 、B 两点，且32=⋅PB PA ，则该直线的倾斜角为 . 14．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-==112t y t x （t 为参数）与x 轴的交点坐标是_______________. 15．参数方程⎩⎨⎧=-=θθθ2sin sin cos y x （θ为参数）的普通方程是_______________.16．直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）与直线02=+y x 的交点到点（-2，3）的距离为_______________.17．直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）被圆1622=+y x 截得的弦的中点坐标是 .18．求椭圆1822=+y x 上的点到直线04=+-y x 的距离的最大值.19．（2002年天津高考题）曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值为（ ）A ．12 B C ．1 D 20．（2007年广州市水平测试题）把参数方程sin cos sin 2x y θθθ=-⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是 .21． （2007年广东高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3()3x t t y t =+⎧∈⎨=-⎩R 参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ． 22．（2007年揭阳市二模试题）已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）上，则yx的取值范围为 ． 23．（2007年茂名市一模试题）已知F 是曲线⎩⎨⎧+==θθ2cos 1cos 2y x （R ∈θ）的焦点，)0,1(A ，则AF 的值是 .24．（2006年江门市四校联考试题）已知点P 为椭圆1322=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 . 一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 7．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ） A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 二、填空题8．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
高斯数学 练习题
高斯数学练习题1. 问题描述高斯数学是数学中的一个重要分支，以其深奥的理论和独特的解题方法而闻名。
本文将为您提供一系列高斯数学的练习题，旨在帮助您更好地理解和掌握该学科。
请按照要求完成各题，并在纸上写出详细的解题过程。
2. 乘法计算（1）计算下列两个复数的乘积：a = 3 + 4ib = 2 - i（2）计算下列两个复数的乘积：c = 5id = -2 + i（3）计算下列两个复数的乘积：e = 2 - 3if = -4 + i请在纸上写出计算步骤及最终结果。
3. 矩阵运算（1）已知矩阵 A = [1, 2; 3, 4]，B = [2, 3; 1, 5]，计算 A+B。
（2）已知矩阵 C = [2, 1; -1, 3]，D = [4, -2; 0, 1]，计算 C-D。
（3）已知矩阵 E = [3, 2; -1, 4]，F = [2, -4; 3, 1]，计算 E*F。
请在纸上写出计算步骤及最终结果。
4. 多项式求解已知多项式 P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2，求该多项式的根。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
5. 参数方程已知参数方程：x = t^2y = 2t + 1求出 t = 2 时，对应的坐标 (x, y)。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
6. 图形问题给定平面上的三个点 A(1, 2)，B(3, 5)，C(4, 1)，求出△ABC的周长和面积。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
7. 几何问题已知三角形 ABC 的边长分别为 a = 5，b = 7，c = 8，求解该三角形的内角 A、B、C 的大小。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
8. 概率问题设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) = 2x, 0<x<1，求 X 的期望值E(X)。
请在纸上写出求解步骤及最终结果。
9. 极限计算求极限 lim(x->0) [(2x^2 + 3x - 4)/(4x^2 - x + 3)]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率，极坐标、参数方程复习1、某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1) 如果把10万元投资甲项目，用X 表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X 的概率分布列及数学期望E(X)；(2) 若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．解：(1) 依题意，X 的可能取值为1，0，－1，(2分) X 的分布列为(4分)E(X)＝1×12－1×14＝14.(5分)(2) 设Y 表示10万元投资乙项目的收益，则Y 的分布列为(8分)E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥14，∴ 916≤α≤1.(10分)2、某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．(1) 求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；(2) 已知某同学所选修3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是45，通过自然科学课程的概率都是34，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．解：(1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A ，则P(A)＝1－C 34C 38＝1－114＝1314，(2分)所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为1314.(3分)(2) 随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3.(4分)因为P(ξ＝0)＝15×⎝⎛⎭⎫142＝180，P(ξ＝1)＝45×⎝⎛⎭⎫142＋15×C 12×14×34＝18， P(ξ＝2)＝45×C 12×14×34＋15×⎝⎛⎭⎫342＝3380，P(ξ＝3)＝45×⎝⎛⎭⎫342＝920，(8分)所以ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×180＋1×1080＋2×3380＋3×3680＝2.3.(10分)3、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1) 分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；(2) 若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X 的分布列及数学期望解：(1) 记甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜分别为事件A ，B ，C.由题意得P(A)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P(B)＝C 23⎝⎛⎭⎫232·13·23＝827，P(C)＝C 24·⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·12＝427.(5分) (2) X 的可能取值为0，1，2，3. P(X ＝3)＝P(A)＋P(B)＝1627，P(X ＝2)＝P(C)＝427，P(X ＝1)＝C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·12＝427，P(X ＝0)＝1－P(1≤X ≤3)＝19.所以X从而E(X)＝0×19＋1×427＋2×427＋3×1627＝209.答：甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率分别为827，827，427.甲队得分X 的数学期望为209.(10分) 4、已知某人投篮投中的概率为13，该人四次投篮实验，且每次投篮相互独立，设ξ表示四次实验结束时投中次数与没有投中次数之差的绝对值．(1) 求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；(2) 记“函数f(x)＝x 2－ξx －1在区间(2，3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P(A)．解：(1) 由题意知：ξ的可能取值为0，2，4.(1分) ∵ “ξ＝0”指的是实验成功2次，失败2次， ∴P(ξ＝0)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－132＝6×19×49＝2481.(2分)∵ “ξ＝2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次， ∴P(ξ＝2)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫1－13＋C 14⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫1－133＝4×127×23＋4×13×827＝4081.(3分) ∵ “ξ＝4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次， ∴P(ξ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫134＋C 04⎝⎛⎭⎫1－134＝181＋1681＝1781.(4分)∴ E ξ＝0×2481＋2×4081＋4×1781＝14881.(5分)答： 随机变量ξ的数学期望Eξ为14881.(6分)(2) 由题意知f(2)f(3)＝(3－2ξ)(8－3ξ)＜0，故32＜ξ＜83.(7分)∴ P(A)＝P ⎝⎛⎭⎫32＜ξ＜83＝P(ξ＝2)＝4081，(9分) 故事件A 发生的概率P(A)＝4081.(10分)5、已知半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，α∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2.(1) 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C 的极坐标方程；(2) 在(1)的条件下，设T 是半圆C 上一点，且OT ＝3，试写出T 点的极坐标．解：(1) 根据半圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，α为参数，α∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得圆的普通方程：x 2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤1)，(3分)所以，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(5分)(2) 依题意可知半圆C 的直径为2，设半圆C 的直径为OA ， 所以sin ∠TAO ＝32.(8分) 因为∠TAO ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以∠TAO ＝π3.因为∠TAO ＝∠TOX ，所以∠TOX ＝π3，所以点T 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π3.(10分)6、已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝6，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)． (1) 请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；(2) 求直线l 被圆截得的弦长．解：(1) 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝6，得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝6，∴ y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0.(4分)圆C 的方程为x 2＋y 2＝100.(6分)(2) ∵ d ＝6，r ＝10，弦长l ＝2100－36＝16.(10分)7、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝3 2.(1) 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 已知P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上任一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝32，则22ρsin θ－22ρcos θ＝32，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(5分)(2) P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，设P(4cos α，3sin α)，其中α∈[)0，2π，则P 到直线l 的距离d ＝|4cos α－3sin α＋6|2＝|5cos （α＋φ）＋6|2，其中cos φ＝45，sin φ＝35，∴ 当cos(α＋φ)＝－1时，d 的最小值为22. 8、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t ＋1(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝asin θ(a>0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点，若点P 到直线l 的距离的最大值为55＋1，求a 的值． 解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t ＋1，消去参数t ，得l 的普通方程为y ＝2x ＋1.(3分)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝asin θ(a>0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.(6分) 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝55，(8分) 故依题意，得55＋a ＝55＋1，解得a ＝1. (10分)9、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝s 2(s 为参数)，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋110t ，y ＝4＋310t(t 为参数)．设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求线段AB 的长度．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝s 2消去s 得曲线C 的普通方程为y ＝x 2； 由⎩⎨⎧x ＝2＋110t ，y ＝4＋310t 消去t 得直线l 的普通方程为y ＝3x －2.(5分)联立直线方程与曲线C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x －2，解得交点的坐标分别为(1，1)，(2，4)．所以线段AB 的长度为（2－1）2＋（4－1）2＝1010、在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A 、B 两点，求线段AB 中点的极坐标．将直线θ＝π3化为普通方程，得y ＝3x ，将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为普通方程，得x 2＋y 2－10x ＋4＝0，(4分)联立⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋y 2－10x ＋4＝0并消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，所以AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝54，纵坐标为523，(8分)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫52，π3.(10分)(解法2)联立直线l 与曲线C 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ2－10ρcos θ＋4＝0，(2分) 消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4，(6分) 所以线段AB 中点的极坐标为⎝⎛⎭⎫ρ1＋ρ22，π3，即⎝⎛⎭⎫52，π3.(10分) (注：将线段AB 中点的极坐标写成⎝⎛⎭⎫52，π3＋2k π(k ∈Z )的不扣分)。