第3讲圆的方程(教师用)

第3讲 圆的方程【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程． 2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程．2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为()．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C ．a ＞1或a ＜－1D ．a ＝±1解析 因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，∴－1＜a ＜1. 答案 A4．(2011·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )．A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B. 答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________． 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一 求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析 法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可． 设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝22＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝42＝22；圆心是直线x＋y＝0与这两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x－y－4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 法三作为选择题也可以验证解答，圆心在x＋y＝0上，排除选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可．答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．解析∵圆经过点A(5,2)，B(3,2)，∴圆心在x＝4上，又圆心在2x－y－3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2，又圆过B(3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r2，∴r2＝10，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.答案(x－4)2＋(y－5)2＝10考向二与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则y－1 x－2的最大值与最小值分别为________．[审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解．解析 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值． 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33. 答案 33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 【训练2】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三 圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解． 解 法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件： y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋(－6)2－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB→的坐标； (2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA→＝0，得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－8， 若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾， 所以⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB→＝(6,8)． (2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB→＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误. 【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 错因 计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，(3＋22)D ＋F ＋(3＋22)2＝0，(3－22)D ＋F ＋(3－22)2＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组： ⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3， 由⎩⎨⎧ y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)， ∴r ＝|BC |＝(3－2)2＋(0－1)2＝2， ∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。