江苏省连云港市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(选修历史)试题-含答案

2017～2018学年第二学期期末考试高二数学（选修历史） 第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上） 1.已知集合{}1,2,3A =-，{}23B x x =-<<，则AB = ．2.命题“x R ∃∈，210x x ++≤”的否定是 ．3.复数31ii-+（其中i 为虚数单位）的虚部为 ． 4.某高中共1800人，其中高一、高二、高三年级学生人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级学生被抽取的人数为 ． 5.已知一组数据：5.7，5.8，6.1，6.4，6.5，则该数据的方差是 ． 6.为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是 ． 7.函数()f x =的定义域是 ．8.求值：31log 233242log log 3327+--= ． 9.记函数()f x =D .在区间[]1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()223f x x x =--，则0x <时，()f x = ．11.已知实数x ，y 满足1,3,10,x y x y ≥-⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩则22z x y =+的最小值为 ．12.设函数()193xxf x x -=-，则不等式()()212250f x f x -+-<的解集为 ． 13.已知M ，N 是双曲线2212x y -=上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上的任意一点.若直线PM ，PN 的斜率都存在，则PM PN k k ⋅的值为定值.试类比上述双曲线的性质，得到椭圆2212x y +=的一个类似性质为：设M ，N 是椭圆2212x y +=上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点.若直线PM ，PN 的斜率都存在，则PM PN k k ⋅的值为定值，该定值为 ．14.已知函数()121x f x -=-，若a b <，且()()f a f b =，则2a b +的最大值为 ．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知集合{}3327xA x =≤≤，{}2560B x x x =--≥. （1）求R AB ð；（2） 已知集合(){}21,C x x m m R =-≤∈，若C A ⊆，求实数m 的取值范围.16. 已知函数()32f x x ax =-，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数，且()11f '=.（1）求()f x 在区间[]2,2-上的值域； （2）求过点()0,0的曲线()f x 的切线方程.17.如图（1）是一直角墙角，90AOB ∠=，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直.ABCD 是一块长AB 为6米，宽BC 为2米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物. （1）若按如图（1）放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？（2）由于墙面使用受限，OA 面只能使用2米，OB 面只能使用4米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图（2），如何折叠板材才能使这个空间最大？18.（1）已知0x >，0y >，22log log 2x y +=，求21x y+的最小值；（2）已知0x >，0y >，244x y +=，求21x y+的最小值. 19.已知()22f x x ax b =-+，,a b R ∈.（1）若()f x 在区间[]1,2上的值域也是[]1,2，求a ，b 的值； （2）若对于任意x 都有()()2f x f x -=-，且()()y f f x =有且只有两个零点，求实数b的取值范围.20.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x ，()g x 的解析式；（2）若对于任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()()23af x g x f x ≤+恒成立，求a 的取值范围.试卷答案一、填空题1． {12}-，；2． 2,10x R x x ∀∈++>；3． 2-；4． 16；5． 0.1；6． 25；7． (]2,3；8． 5-；9． 13；10．223x x --+；11． 12； 12． ()7,2-；13． 12-；14． 283log 3-. 二、解答题15.解：（1）3327x ≤≤，13x ∴≤≤，[]1,3A ∴=，2560x x --≥1x x ∴≤-≥6或[)(]6,,1B ∴=+∞⋃-∞-()1,6R C B ∴=- []1,3R A C B ∴⋂=（2）2()1x m -≤，11m x m ∴-+≤≤[]1,1C m m ∴=-+C A ⊆，1113m m -⎧∴⎨+≥⎩≤解得2m =实数m 的取值范围为{}|2m m = 16. 解：（1）'2'()32,(1)1f x x ax f =-='(1)321f a ∴=-= 1a ∴=32()f x x x ∴=-，'2()32(32)f x x x x x =-=-令'()0f x =解得203x =或()f x ∴在[]2,2-上的值域为[]12,4-（2）①若(0,0)是切点，又'(0)0f =，故切线方程为0y =； ②若(0,0)不是切点，设切点为320000(,)(0)x x x x -≠，则切线斜率为32200000x x x x x -=- 又根据导数的几何意义，切线的斜率为'2000()32f x x x =- 故22000032x x x x -=-解得012x =， 切线方程为40x y += 综上，所求切线方程为0y =和40x y +=.17．解：（1）设,,,(0,6)OA x OB y x y ==∈，且2236x y += 因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大90AOB ∠=︒221924AOBx y S xy ∆+∴==≤，当且仅当x y ==.即板材放置时，使得板材与墙面OA 成45°角.（2）解法1：因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又AOB S ∆的面积为定值，只需寻找APB S ∆面积的最大值.又在APB ∆中AB =AB 边上高的最大值即可. 如图：作PHAB ⊥设,,PA x PH y ==则6,PB x =-22222(6))PH x y x y =-=--34x ∴=PH ==当y =PH 最大,此时3x =即板材放置时，沿中间折叠，使得PA=PB.解法2：因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又AOB S ∆的面积为定值，只需寻找APB S ∆面积的最大值，PABH由题意，2,4,6OA OB AB PA PB ===+=>所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分， 当PA=PB 时，APB S ∆面积最大.即板材放置时，沿中间折叠，使得PA=PB. 18．解：（1）22log log 2,4x y xy +=∴=0x >，0y >21x y ∴+≥ 当且仅当x y ==时取等号， 即21x y+ （2）0x >，0y >，2242422x y x y +∴=+≥=⋅即22x y +≤，当且仅当2x y =时取等号，212142()(2)()4448y x x y x y x y x y ∴+≥++=++≥+=，214x y∴+≥ 当且仅当2x y =时取等号， 即21x y+的最小值为4. 19．解：（1）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-①当1a ≤时()f x 在[]1,2上单调递增，(1)1(2)2f f =⎧⎨=⎩；即242b a a b =⎧⎨-=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩②当12a <<时，()1(2)2f a f =⎧⎨=⎩或()1(1)2f a f =⎧⎨=⎩，所求解均不满足12a <<；③当2a ≥时()f x 在[]1,2上单调递减，(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩；即2143a b a b -=-⎧⎨-=⎩解得25a b =⎧⎨=⎩综上满足条件的值为12a b =⎧⎨=⎩或25a b =⎧⎨=⎩.（2）因为任意都有()(2)f x f x =-得到1x =-为函数的对称轴2()(1)1f x x b ∴=++- (())y f f x =有且只有两个零点，设()=f x t ，记()=0f t 的两个根为1212,,1t t t b t <-<且22(1)(11)110f b b b b b ∴-=-++-=+-<解得1122b ---+<<20．解： （1）因为()()2x f x g x +=，又()f x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数， 所以()()2x f x g x --+-=，即()()2x f x g x --+=.由()()2,()()2xxf xg x f x g x -⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得22()2x x f x --=，22()2x x g x -+=.（2）令2()22x x t f x -==-，由()f x 在R 上是增函数，1[,2]2x ∈，得15[]24t ∈.所以222221(2)(2)22x x g x t -+==+，332221(3)(3)22x x f x t t --==+，由对于任意1[,2]2x ∈，不等式()2()(3)af x g x f x +≤恒成立，即对于15[]24t ∈，2423a t t t +++≤恒成立.令24()23h t t t t=+++，则'24()22h t t t =+-在15[]24t ∈是增函数，1t =时，'()0h t =.所以t ∈时，'()0h t <，15(1,]4t ∈时，'()0h t >.所以min ()(1)10h t h ==， 所以10a ≤.。