学探诊勾股定理全章测试
(完整版)勾股定理单元测试题及答案
勾股定理单元测试题及答案、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A: 4, 5, 6 B : 1, 1 , V2 C : 6, 8, 11 D : 5, 12, 232、在Rt△ ABC中，/ C= 90° , a = 12, b = 16,贝U c 的长为（）A 26B : 18C : 20D : 213、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3,4），则OP的长为（）A: 3 B : 4 C : 5 D :行4、在Rt △ ABC中，/ C= 90° , / B= 45° ,c = 10,则a 的长为（）A: 5 B 而 C : 5盘 D :医5、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（）A 4 焰B 、焰C 、2 焰D 、36、若等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则底边上的高为（）A 6B 、7C 、8D 、97、已知，如图长方形ABCg, AB=3cmAD=9cm将此长方形折叠，使点B与点D重合,折痕为EF,则^ ABE的面积为（）A、3cmB、4cm G 6cm D、12cm8、若^ ABC中，AB13cm, AC 15cm，高AD=12,则BC的长为（A、14 B 、4 C、14或4 1.下列说法正确的是（）A. 若a、b、c 是/\ ABC 的三边，贝U a2 + b2= c2;B. 若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，贝U a2 + b2= c2;C. 若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，A 90，贝U a2 + b2= c2;D. 若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，C 90，贝U a2 + b2= c2.2. Rt △ ABC勺三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A. a b cB. a b cC. a b cD. a2b2c23. 如果Rt△的两直角边长分别为k2—1, 2k （k>1 ）,那么它的斜边长是（）A 、2kB 、k+14. 已知a, b, c 为乙ABC 三边， 它的形状为()A.直角三角形 C.等腰直角三角形5. 直角三角形中一直角边的长为 三角形的周长为( ) A. 121 B . 120G k 2— 1 A k 2+1且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2— c 2) = 0,则B.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 9,另两边为连续白然数，则直角D.不能确定)C . 42 或 32D . 37 或 33 斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长6.△ AB 湃,AA 15, AO 13,高 AE> 12,则/\ABC 勺周长为( A . 42 B . 327. 直角三角形的面积为 为()(A) , d —S 2d (C) 2、d=S 2d8. 在平面直角坐标系中， S, (B) d 2 S d (D) 2「d 2—S d已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 勺长为()A: 3 B : 4 C : 5 D :卢9.若/\ ABC 中，AB=25cmAC=26cmft AD=24,则 BC 的长为( A. 17B.3D 、以上都不对C.17 或3D. 以上都不对二、填空题 1、若一个三角形的三边满足2 2一 .、. . ，一a b ,则这个三角形是2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面。
勾股定理-单元测试题(含答案)
勾股定理单元测试题一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A ：4，5，6B ：1，1：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：213、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：74、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：55、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A、、、36、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 28、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 二、填空题1、若一个三角形的三边满足222c a b -=，则这个三角形是 。
2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。
（填“合格”或“不合格” ）3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
D CBA4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的 面积的和为 。
5、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落 在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。
勾股定理专题(附答案-全面、精选)
勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、a²+b²= c²（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB²2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。
（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。
（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。
（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）A、6B、8C、10D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。
【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理 a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边），可得斜边 c ＝√（5²＋ 12²) ＝√（25 ＋ 144) ＝√169 ＝ 13 厘米。
2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，13²＝169，所以能组成直角三角形；选项 C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；选项 D，2²＋ 3²＝4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。
3、一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是（）A 斜边长为 25B 三角形的周长为 12C 斜边长为 5D 三角形的面积为 6答案：C解析：根据勾股定理，斜边长为√（3²＋ 4²) ＝√25 ＝ 5，选项 A 错误，选项 C 正确；三角形的周长为 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12，选项 B 错误；三角形的面积为 1/2 × 3 × 4 ＝ 6，选项 D 正确。
4、若直角三角形的三边长分别为 2，4，x，则 x 的值可能有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 无数个答案：B解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 4²) ＝√20 ＝2√5；当 4 为斜边时，x ＝√（4² 2²) ＝√12 ＝2√3。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案1. 计算下列直角三角形的斜边长度：a. 直角边长度分别为 3cm 和 4cmb. 直角边长度分别为 5cm 和 12cmc. 斜边长度为 10cm，直角边长度分别为 6cm 和 xcm2. 判断以下三角形是否为直角三角形，并说明理由：a. 三边长度分别为 3cm, 4cm, 5cmb. 三边长度分别为 8cm, 15cm, 17cmc. 三边长度分别为 7cm, 24cm, 25cm3. 已知一个直角三角形的斜边长度为 13cm，一条直角边长度为 5cm，求另一条直角边的长度。
4. 一个直角三角形的斜边和一条直角边的长度之比为 5:2，如果斜边长度为 20cm，求另一条直角边的长度。
答案1.a. 根据勾股定理，斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。
因此，√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
b. 同样地，斜边长度为√(5² + 12²) = √(25 + 144) =√169 = 13cm。
c. 设另一条直角边长度为 y，则√(x² + 6²) = 10，解得 x²= 100 - 36 = 64，所以 x = 8cm。
2.a. 3² + 4² = 9 + 16 = 25，等于 5²，所以这是一个直角三角形。
b. 8² + 15² = 64 + 225 = 289，等于 17²，所以这也是一个直角三角形。
c. 7² + 24² = 49 + 576 = 625，不等于 25²，所以这不是一个直角三角形。
3. 设另一条直角边长度为 y，则根据勾股定理，5² + y² = 13²，解得 y² = 169 - 25 = 144，所以 y = 12cm。
勾股定理检测卷及答案(共4套)
数学：第18章勾股定理综合检测题检测试题（1）（总分：120分，时间：90分钟）一、认真选一选，你一定很棒！（每题3分，共30分）1，分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（）组 A.2B.3C.4D.52，已知△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则它的三条边之比为（ ）A.1∶1B.1∶2 C.1D.1∶4∶13，已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ） A.52B.34，如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A.12米 B.13米 C.14米 D.15米5，放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定6，如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）A.L 1C.L 3D.L 47，（2006年山西吕梁课改）如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定（ ）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，109，如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（ ）A.1D.210，直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ） A.182 B.183 C.184 D.185 二、仔细填一填，你一定很准！（每题3分，共24分）11，根据下图中的数据，确定A ＝_______，B ＝_______，x ＝_______.12，直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______. 13，直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________.14，如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米. 15，如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________. 16，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝15cm ，要使∠B ＝90°，则AC 的长必为______cm.17，[2008年河北省]如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．18，甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，•两船相距＿＿＿海里. ABCABC图2图1BCED 图3图5图419，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据.20，从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？21，如图7，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？22，（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm ，宽为2cm 的纸片，如图9，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：先在图9中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）23，清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S ，则第一步：6S＝mk ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长”.（1）当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； （2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程.24，学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统.在对系统进行测试中，如图10，小明从路口A 处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A 处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号.若小明步行速度为39米／分，小华步行速度为52米／分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰.（1）你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰为界限） （2）通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法.小河图7北A图10图6数学：第18章勾股定理综合检测题检测试题（1）参考答案：一、1，B ；2，B ；3，D ；4，A ；5，C .点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角；6，B .点拨：在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ，设AD ＝x ，由AD 2+CD 2＝AC 2，即x 2+52＝(2x )2，x，所以2x ＝5.7736；7，A ；8，D .点拨：设斜边为13x ，则一直角边长为5x，另一直角边为12x ，所以 13x +5x +12x ＝60，x ＝2，即三角形分别为10、24、26；9，D .点拨：AE＝2；10，A .二、11，15、144、40；12，1360；13，6、8、10；14，24；15，16；16，17；17，：76；18，30.三、19，设相邻两个结点的距离为m ，则此三角形三边的长分别为3m 、4m 、5m ，有(3m )2+(4m )2＝(5m )2，所以以3m 、4m 、5m 为边长的三角形是直角三角形.20，15m.21，如图，作出A 点关于MN 的对称点A ′，连接A ′B 交MN 于点P ，则A ′B 就是最短路线.在Rt △A ′DB 中，由勾股定理求得A ′B ＝17km.22，（1）设直角三角形的两条边分别为a 、b （a ＞b ），则依题意有22513a b a b +=⎧⎨+=⎩由此得ab＝6，(a －b )2＝(a+b)2－4ab ＝1，所以a －b ＝1，故小正方形的面积为1.（2）如图：23，（1）当S ＝150时，k==5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k 倍，则三边为3k ，4k ，5k ，•而三角形为直角三角形且3k 、4k 为直角边.其面积S ＝12(3k )·(4k )＝6k 2，所以k 2＝6S，k正值），即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数.24，（1）利用勾股定理求出半径为1950米；（2）小明所走的路程为39×30＝3×13×30，小华所走的路程为52×30＝4×13×30，根据前面的探索，可知勾股数3、4、5的倍数仍能构成一组勾股数，故所求半径为5×13×30=1950（米）.数学：第18章勾股定理综合检测题检测试题（2）一﹑选择题(每小题3分, 共30分)1. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为 （ ）A . 4B . 8C . 10D . 122.小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( ) A. 小丰认为指的是屏幕的长度 B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度 C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长 D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度3.如图1，中字母A 所代表的正方形的面积为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 644. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形5. 一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是49cm , 则斜边的长( ) A. 18cm B. 20 cm C. 24 cm D. 25cm6. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450;③∠A=320, ∠B=580;④;25,24,7===c b a⑤.4,2,2===c b aA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 7. 在⊿ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则⊿ABC 是（ ）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 9.已知，如图2，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 210．已知，如图3，，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里二﹑填空题 (每小题3分, 共24分)11. (2008年湖州市)利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．12.如图5， 等腰△ABC 的底边BC 为16, 底边上的高AD 为6, 则腰长AB 的长为____________. 13.如图6，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为_________ m.14. 小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9米到A 点，小红向东走了12米到了B 点，则________=AB 米．15. 一个三角形三边满足(a+b)2-c 2＝2ab, 则这个三角形是 三角形.16. 木工做一个长方形桌面, 量得桌面的长为60cm, 宽为32cm, 对角线为68cm, 这个桌面(填”合格”或”不合格”).17. 直角三角形一直角边为cm 12，斜边长为cm 13，则它的面积为 ．（图4） （ 图5）AB C200m520mDCBA（图6）D CBAO北南 A东（图3）18. 如图7，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 . 三、 解答题 (共66分)19. (8分) 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）20. (8分)如图, 在△ABC 中, AD ⊥BC 于D, AB=3, BD=2, DC=1, 求AC 2的值. A21. (10分) “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？22. (10分)小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅23．(10分)印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.24．(10分)如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？四、创新探索题（10分）一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm.观测点小汽车E AB八年级勾股定理单元检测题参考答案（2）一1.C 2.D 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.A 10.D 二11、勾股定理，222a b c +=；12、10；13、480； 14、15；15、直角；16、合格；17、30；18、25. 三19、13米 20、AC 2＝6 21、20=v米/秒＝72千米/时＞70千米/时，超速。
勾股定理单元测试卷(含答案)
勾股定理单元测试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 勾股定理中的两个直角边的平方和等于斜边的平方，斜边被称为：A. 勾B. 股C. 斜边D. 高3. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 勾股定理的发现者是谁？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 哥白尼A. a² + b² = c²B. c² = a² + b²C. a² b² = c²D. c² a² = b²二、填空题（每题2分，共10分）6. 勾股定理的公式是：__________。
7. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为5和12，则斜边的长度是__________。
8. 勾股定理在中国被称为__________。
9. 勾股定理的发现时间大约在公元前__________年。
10. 勾股定理的发现者毕达哥拉斯是__________国人。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知直角三角形的两个直角边长度分别为8和15，求斜边的长度。
12. 在直角三角形中，若斜边的长度为17，且一个直角边的长度为8，求另一个直角边的长度。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，请简述其中一种证明方法。
14. 请举例说明勾股定理在实际生活中的应用。
答案部分一、选择题答案1. B2. C3. A4. A5. C二、填空题答案6. a² + b² = c²7. 138. 勾三股四弦五9. 50010. 希腊三、解答题答案11. 斜边长度为17。
12. 另一个直角边的长度为15。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，其中一种是通过面积证明。
将直角三角形分为两个小直角三角形和一个矩形，分别计算它们的面积，然后通过面积关系推导出勾股定理。
勾股定理单元测试题
勾股定理单元测试题正文：一、填空题1. 已知直角三角形的直角边长分别为a = 3，b = 4，求斜边c的长度。
解：根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值计算得 c² = 3² + 4² = 9 +16 = 25，因此c = √25 = 5。
2. 已知直角三角形的斜边长为c = 17，一条直角边的长度为a = 8，求另一条直角边的长度b。
解：根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值计算得 17² = 8² + b²，289 = 64 + b²，b² = 289 - 64 = 225，因此b = √225 = 15。
3. 已知直角三角形的斜边长为c = 10，一条直角边的长度为a = 6，求另一条直角边的长度b。
解：根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值计算得 10² = 6² + b²，100 = 36 + b²，b² = 100 - 36 = 64，因此b = √64 = 8。
二、选择题1. 已知直角三角形的直角边长分别为a = 5，b = 12，下列哪个斜边长度是可能的？A. 6B. 7C. 13D. 20解：根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值计算得 c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，因此c = √169 = 13。
所以选C。
2. 下列直角三角形中，哪个边长组合不可能构成直角三角形？A. a = 7, b = 24, c = 25B. a = 9, b = 40, c = 41C. a = 12, b = 35, c = 37D. a = 13, b = 84, c = 85解：判断直角三角形是否成立，只需验证是否满足勾股定理。
勾股定理单元测试及答案
勾股定理单元测试及答案勾股定理单元测试及答案一、选择题1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A ．121B ．110C ．100D ．903．如图，在Rt ABC 中，90BAC ?∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．9 4．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（）A ．3B 3C 5D 355．一个直角三角形两边长分别是12和5，则第三边的长是（） A ．13B ．13或15C ．13119D ．156．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（）A ．6B ．42C ．8D ．108．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（）A ．10B ．5C ．4D ．39．如图，点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A 和点B 为圆心，线段AB 的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C ．再以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M ，则点M 对应的数为（）A ．3．5B ．3C 13D 3610．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（）A ．217B ．25C ．42D ．7二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．14．如图，Rt ABC 中，90A ∠=?，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________15．如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90o，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．16．在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，且a+b=35，c=5，则ab的值为______．17．如图，在△ABC中，AB AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．18．四边形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝52，四边形ABCD的面积是_______．19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，底边BC上的高AD＝6cm，腰AC上的高BE＝4m，则△ABC的面积为_____cm2．三、解答题21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．22．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC＝9时，求DE 的长．23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ?=-（1）在ABC ?中，若90ACB ∠=?，81AB AC ?=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ?中，12AB AC ==，120BAC ∠=?，求AB AC ?，BA BC ?的值．（3）如图3，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ?=，8AC =，64AB AC ?=-，求BC 和AB 的长．24．已知ABC ?中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求ADAB的值.25．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ?的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.26．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．27．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．28．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD ()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，分三种情况分析：AP BP =、AB BP =、AB AP =；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，即可得到答案．【详解】根据题意，使得ABP △成为等腰三角形，分AP BP =、AB BP =、AB AP =三种情况分析：当AP BP =时，点P 位置再分两种情况分析：第1种：点P 在点O 右侧，AO BC ⊥于点O∴22172AO AB BC ??=-=设OP x =∴2227AP AO OP x =+=+∵4AB AC ==∴132BO BC == ∴3BP BO OP x =+=+∴27=3x x ++ ∴2x =-，不符合题意；第2种：点P 在点O 左侧，AO BC ⊥于点O设OP x = ∴2227AP AO OP x ++∴3BP BO OP x =-=- 273x x +=-∴2x =，点P 存在，即1BP =；当AB BP =时，4BP AB ==，点P 存在；当AB AP =时，4AP AB ==，即点P 和点C 重合，不符合题意；∴符合题意的点P 共有：2个故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的性质，从而完成求解．2．B解析：B 【分析】延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形．90CBF ∠=?，90ABC OBF ∴∠+∠=?，又直角ABC ?中，90ABC ACB ∠+∠=?，OBF ACB ∴∠=∠，在OBF ?和ACB ?中，BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠??∠=∠??=?，()OBF ACB AAS ∴，AC OB =∴，同理：ACB PGC ，PC AB ∴=，OA AP ∴=，所以，矩形AOLP 是正方形，边长347AO AB AC =+=+=，所以，3710KL =+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110?=，故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．3．B解析：B 【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积. 【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，由题意得'A BC 的面积=13102a a ?=，'AB C △的面积=1342b ?= ∴24033a =21633b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2，∴c 2=a 2-b 24016338333=∴'ABC △的面积=2133224c c c ??==38364= 故此题选B 【点睛】此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积4．D解析：D 【解析】当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；当两直角边长为1和2时，第三边==；故选：D ．5．C解析：C 【分析】记第三边为c ，然后分c 为直角三角形的斜边和直角边两种情况，利用勾股定理求解即可．【详解】解：记第三边为c ，若c 为直角三角形的斜边，则2212513c =+=；若c 为直角三角形的直角边，则22125119c -= 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，属于基本题目，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．B解析：B 【分析】根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中利用勾股定理解决．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB 22AC BC +2268+＝10，△ADE是由△ACD 翻折，∴AC ＝AE ＝6，EB ＝AB?AE ＝10?6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中，∵222DE EB DB +=，∴()22248x x +=-，∴x ＝3，∴CD ＝3．故答案为：B ．【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．7．A解析：A 【分析】设CF=x ，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x ，再由AB 2+AC 2=BC 2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．【详解】设CF=x ，则AC=x+2，∵正方形ADOF 的边长是2，BD=4，△BDO ≌△BEO ，△CEO ≌△CFO ，∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF=2，∴AB=6，BC=6+x ，∵∠A=90°，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴62+（x+2）2=（x+4）2，解得：x=6，即CF=6，故选：A ．【点睛】考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x ，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．8．B解析：B 【分析】根据“在Rt △ABC 中”和“沿BD 进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC=2286+=10，根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD ，∴A′C=10-6=4．设CD=x ，则A′D=8-x ，根据勾股定理可得x 2-（8-x ）2=42，解得x=5，故CD=5．故答案为：B ．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．9．B解析：B 【分析】如图，作CD ⊥AB 于点D ，由题意可得△ABC 是等边三角形，从而可得BD 、OD 的长，然后根据勾股定理即可求出CD 与OC 的长，进而可得OM 的长，于是可得答案．【详解】解：∵点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，∴OB=2，OA=4，如图，作CD ⊥AB 于点D ，则由题意得：CA=CB=AB=2，∴△ABC 是等边三角形，∴BD=AD=112AB =，∴OD=OB+BD=3，223CD BC BD =-=，∴()22223323OC OD CD =+=+=，∴OM=OC=23，∴点M 对应的数为23．故选：B ．【点睛】本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．10．A解析：A【解析】试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，{BAD CBE AB BCADB BEC∠=∠=∠=∠，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=25+9=34，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=342=217.故选A．考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．二、填空题11．8【解析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M 点与N 点的位置是解题的关键． 12．3 【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ?是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=?，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值. 【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=?，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=?，∴260C DBC ∠=∠=?，∴2212BC CD ==?=，∴123AD BC +=+=. 故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键． 13．15厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A 和C 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB =39π=厘米，矩形的宽BC =12厘米．∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB=+=+=厘米．故答案为：15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．14．53或203 【分析】根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论．【详解】解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示∵Rt ABC 中，90A ∠=?，8AC =，6AB =，根据勾股定理可得2210AB AC +=∵13CD BC =，13CE AC =，∴13CD BC ==103，13CE AC ==83∵DE AC ⊥根据勾股定理可得DE=222CD CE-=由折叠的性质可得：DH=CD=103，CP=PH∴EH=DH－DE=4 3设CP=PH=x，则EP=CE－CP=83－x在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2即（83－x）2＋（43）2=x2解得：x=5 3即此时CP=53；②当折叠后点C的对应点H在AC的上方时，如下图所示根据折叠的性质可得DH=CD=103，CP=PH∴EH=DH＋DE=16 3设CP=PH=y，则EP= CP－CE =y－8 3在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2即（y－83）2＋（163）2=y2解得：y=20 3即此时CP=203．综上所述：CP=53或203．故答案为：53或203．【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．15．71-【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3 如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71 【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索. 16．10 【分析】先根据勾股定理得出a 2+b 2＝c 2，利用完全平方公式得到（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，再将a +b ＝5c ＝5代入即可求出ab 的值．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，∴a 2+b 2＝c 2，∴（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，∵a +b ＝5c ＝5，。
(完整版)勾股定理测试题及参考答案
勾股定理测试题一、选择题(每小题4分，共40分）1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( ）A ．567，，B ．1084，，C ．91517，，D ．72425，，2． 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长( ）(A ）4 cm （B ）8 cm (C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（ ） （A)25（B ）14 （C ）7 （D ）7或254.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0,则它的形状为（ )A 。
直角三角形B.等腰三角形C 。
等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20,24，25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6.如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下落了（ ）米EA BCDA ．0.5B ．1C ．1.5D ．2DCBA5米3米7．一只蚂蚁沿如图所示折线从A点爬到D点，共爬行了（)（图中方格边长为1cm）A．12cm B．10cmC．14cm D．以上答案都不对8．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a元计算,那么共需要资金（）.(A）50a元（B)600a元（C）1200a元（D）1500a元9．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米,两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）米A．8米B．10米C．12米D．14米10.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，B C/交AD于E，AD=8,AB=4，则DE的长为（）．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题4分,共16分)11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米，计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC中,斜边AB=2，则222AB AC BC++=______。
勾股单元测试题及答案
勾股单元测试题及答案一、选择题1. 勾股定理描述的是直角三角形中哪两个边的关系？A. 两条直角边B. 斜边和一条直角边C. 斜边和两条直角边D. 三条边2. 如果直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 以下哪个选项不是勾股数？A. 3, 4, 5B. 5, 12, 13C. 7, 24, 25D. 8, 15, 17二、填空题4. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，根据勾股定理，斜边的长度是________。
5. 如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，其中c是斜边，那么勾股定理可以用公式表示为________。
6. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。
7. 已知直角三角形的两条直角边长分别为x和y，且x^2 + y^2 = 49，如果x=3，求y的值。
四、解答题8. 某建筑物的高为20米，从地面到建筑物顶端的直线距离为26米，求从地面到建筑物底部的水平距离。
9. 一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边的长度，并说明这个三角形是否为勾股数。
答案一、选择题1. C2. A3. D二、填空题4. 105. a^2 + b^2 = c^2三、计算题6. 另一条直角边的长度为8。
7. y = √(49 - 3^2) = √(49 - 9) = √40 = 2√108. 水平距离为24米。
9. 另一条直角边的长度为12，这个三角形是勾股数，因为5^2 + 12^2 = 13^2。
初中勾股定理练习题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第一章《勾股定理》练习题一、选择题（8×3′=24′） 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是（ ） A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
其中正确的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此△为（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或3607、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（ ） A 、4 B 、3 C 、5 D 、4.58、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 二、填空题（12×3′=36′）9、在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________。
北京市西城区学探诊八年级数学下册第18章勾股定理(无答案)
第十八章勾股定理测试1 勾股定理(1)一、填空题：1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么________＝c2；这一定理在我国被称为________．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．①若a＝5，b＝12，则c＝________；②若c＝41，a＝40，则b＝________；③若∠A＝30°，a＝1，则c＝________，b＝________；④若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为________，斜边上的高为________．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为________．二、选择题：6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算三、解答题：9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，C＝24，求C边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是_________．12．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_________．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．图①图②图③测试2 勾股定理(2)一、填空题：1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为__________．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距________km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________米路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞________米．二、选择题：5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )．(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )．(A)212 (B)310 (C)56 (D)58三、解答题：7．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A 和B 的距离．8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求这里的水深是多少m ．一、填空题：9．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为________米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为________(π取3)二、解答题：11．如图所示，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时梯子顶端A 到墙底端O 的距离为2m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m ，那么梯足在地面上滑出的距离BB ’的长度是多少？(精确到0.1m)12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米，每平方米地毯30元，那么这块地毯需花多少元？13．如图，两个村子A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1千米，BD ＝3千米，CD ＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W ．测试3 勾股定理(3)一、填空题：1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则 AB ＝________，AB 边上的高CE ＝________．2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝________，AC 边上的高BE ＝_____．3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝________，AB 边上的高CD ＝________．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为________．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝________，AB ＝________，BC 边上的高AE ＝________．二、选择题：6．已知直角三角形的周长为,62+斜边为2，则该三角形的面积是( )． (A)41 (B)43 (C)21 (D)1 三、解答题：7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，,102=BE 求AB 的长．8．在数轴上画出表示10-及13的点．9．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．11．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC 的长．12．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．13．已知：如图，△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D、E分别为斜边AB上的点，且∠DCE＝45°．求证：DE2＝AD2＋BE2．14．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……，已知正方形AB－CD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，……，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝________，S n＝__________．测试4 勾股定理的逆定理一、填空题：1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为_________；②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为_________；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为_________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝_________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是________三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为________．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为________，此三角形为二、选择题：9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a(C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a 10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形(C)是直角三角形 (D)形状无法确定(二)综合运用诊断12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且,41CB CE求证：AF ⊥FE ．15．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)两直线平行，同位角相等． (2)若a ＞b ，则a 2＞b ．(3)若a 2＝b 2，则a ＝b ．(4)如果△ABC ≌△A 'B 'C '，那么BC ＝B 'C '，AC ＝A 'C '，∠B ＝∠B '．(5)全等三角形的三组对应角相等．16．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由．17．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．全章测试一、填空题：1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为________．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为________．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm 2，则其中最大的正方形的边长为________cm ．4．如图，B 、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．5．已知直角三角形的三边长分别为a ＋1、a ＋2、a ＋3，则a ＝________．6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝________．7．△ABC 中，AB ＝AC ＝13，若AB 边上的高CD ＝5，则BC ＝________．8．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为________．二、选择题：9．下列三角形中，是直角三角形的是( )．(A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3(C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，4110．直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高长为h ，则下列各式中总能成立的是( )．(A)ab ＝h 2 (B)a 2＋b 2＝2h 2 (C)h b a 111=+ (D)222111hb a =+ 11．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于( )(A)5 (B)135(C)1313 (D)59三、解答题：12．已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长．13．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．14．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2－AC2＝BC(BD－DC)．15．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．16．如图所示，有一个长方体，其长、宽、高分别为4cm、4cm、6cm，在点A处有一只蚂蚁，它想拖走B处的食物，回到A处，那么它需要爬行的最短路程应为多少？17．图①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；(2)用这个图形证明勾股定理；(3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一组能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．图①图②18．在大小为4×4的正方形方格中，三个顶点都在单位小正方形的顶点上的直角三角形共有多少个？(全等的三角形只算一个)。
探索勾股定理 同步测试 北师大版八年级数学上册 (含答案)
1.1探索勾股定理同步测试一．选择题1.如图，带阴影的长方形的面积是（）A. 9 cm2B.24 cm2C. 45 cm2D.51 cm22．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．645．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为( )A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.无法计算6．若直角三角形的三条边长为三个连续的整数，那么以这三边为边长的三个正方形的面积分别为（）A．3，4，5 B．9，16，25 C．6，8，10 D．8，12，247．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD为（）A．5 B．13 C．17 D．188．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S29．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．10．如图，阴影部分的面积为（）A．3 B．9 C．81 D．10011．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50 B．16 C．25 D．4112．2002年在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．25 B．19 C．13 D．169二．填空题13．在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．14．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A，B的面积分别是9和4，则最大正方形C的面积是．15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为．16．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为．17．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．18．已知直角三角形的两直角边分别是3cm、4cm，则第三边的高是．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．20．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．23．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m（即BC＝140m），其结果是他在水中实际游了500m，求河宽为多少米？24．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝1.5，BD ＝2.5，求AC的长．25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．26．如图,是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c)，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理答案提示一．选择题1．如图，带阴影的长方形的面积是（）选：C．A. 9 cm2B.24 cm2C. 45 cm2D.51 cm22．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）选：A．A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )选：B．A.1个B.2个C.3个D.4个4．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）选：D．A．4 B．8 C．16 D．645．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为( )选：C．A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.无法计算6．若直角三角形的三条边长为三个连续的整数，那么以这三边为边长的三个正方形的面积分别为（）选：B．A．3，4，5 B．9，16，25 C．6，8，10 D．8，12，247．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD为（）选：B．A．5 B．13 C．17 D．188．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）选：C．A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C．9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）选：D．A．B．C．D．解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．10．如图，阴影部分的面积为（）选：C．A．3 B．9 C．81 D．10011．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）选：A．A．50 B．16 C．25 D．41解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，∴CD2+BD2＝BC2＝25，∴阴影部分的面积＝25+25＝50，故选：A．12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）选：A．A．25 B．19 C．13 D．169解：由条件可得：，解之得：．所以（a+b）2＝25，故选：A．二．填空题13．在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．5；14．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A，B的面积分别是9和4，则最大正方形C的面积是13．15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为4．解：直角三角形直角边的较短边为＝6，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．故答案为：4．16．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为．6.5cm17．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．100cm2；cm 18．已知直角三角形的两直角边分别是3cm、4cm，则第三边的高是．125 19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．3；21．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．4．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．解：(1)a＝45cm．b＝60cm；(2)540；(3)a＝30，c＝34；(4)12．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．23．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m（即BC＝140m），其结果是他在水中实际游了500m，求河宽为多少米？解：AB＝320m24．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝1.5，BD ＝2.5，求AC的长．解：AC＝325．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．26．如图,是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c)，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.解：(1)(答案不唯一)如图.(2)验证:∵大正方形的面积可表示为(a ＋b)2,又大正方形的面积也可表示为2142c ab +⨯,()22142a b c ab ∴+=+⨯,即a 2＋b 2＋2ab ＝c 2＋2ab,∴a 2＋b 2＝c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.。
探索勾股定理测试卷(附答案解析)
探索勾股定理测试卷(附答案解析）选择题（每题6分）1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________ A56 B48 C40 D3212、如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n>1），那么它的斜边长是____________A2n Bn+1 Cn 2－1 Dn 2+1 3、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________A6cm 2 B8cm 2 C10cm 2 D12cm 24、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________ A25海里 B30海里 C35海里 D40海里 填空题（每题6分） 5、在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
7、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。
8、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。
北京市西城区数学学习_探究_诊断(八年级下册)第十八章勾股定理全章测试.docx
第十八章勾股定理全章测试一、填空题1.若一个三角形的三边长分别为6, 8, 10,则这个三角形中最短边上的高为_________2.若等边三角形的边长为2,则它的面积为_______ .3.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的而积的和是10cm2,则其中最大的正方形的边长为______ c m.3题图4.如图，B, C是河岸边两点，昇是对岸岸边一点，测得ZABC= 45° , ZJ6^=45°, BC=60米，则点A到岸边％的距离是______ 米.AB C4题图5.已知：如图，△初C中，Zr=90°，点0为△初C的三条角平分线的交点，ODLBC, 0ELAQ OF LAB,点、D, E,尸分别是垂足，只砂8cm, 6^=6cm,则点0到三边昇〃，AC和％的距离分别等于 _____ cm.5题图6.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直介边ABK,駁=8,将直也边畀〃折叠使它落在斜边化上，折痕为初，则妇 ________ .6题图7.厶ABC中,AB=AC=\Z,若/〃边上的高CD=5,则仇匕.8.如图，AB=5,化=3,兀边上的中线AD=2,则的血积为_________________10. 某市在旧城改造中，计划在帀内一•块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，Q 知这种草应每平方米售价臼元，则购买这种草皮至少需要().10题图(A)450日元(B)225& 元 (0150 日元(D)300w 元11. 如图，四边形血d 中，AB= BC, ZABC= ZCDA=90° , BEL AD 于点、E,且四边形血砂 的而积为8,则血=().(A)2 (C) 2迈12.如图，Rt △肋C 、屮，Zr=90° , CD LAB 于点 D,肋=13, CD=£,则 AC+BC 等于( ).⑻ 5V13(D) 9厉三、解答题二、选择题9. 下列三角形中,是直角三角形的是((A) 三角形的三边满足关系a+ b=c)(B) 三角形的三边比为1 ： 2 ：3(D) 2V3(013V13A C8题图13.已知：如图，中，ZQ〃=120°,皿=4, /1C=2, ADLBC,〃是垂足，求初的长.14.如图，已知一块四边形草地ABCD,其中Z弭=45° , ZAZZ?=90° , ^=20m, CD= 10m,求这块草地的面积.15.中，AB=AC=^点户在肚边上运动，猜想AP+PB・％的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想.16.已知：△/!%中，AZ?=15,应?=13,虑边上的高人D=\2,求BC・17.如图,长方体的底面边长分别为lcm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点昇开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？3cm18.如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其小--种纸片的两条直角边长都为3,另一种纸片的两条直角边长分別为1和3.图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.图1 图2 图3(1) 请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直 角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸 片全部用上，互不匣叠口不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、 图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸屮的小正方形顶点重合；画图 时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；(2) 三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值;若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的而积各是多少；(3) 三种方法所拼得的'卜行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值; 若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少.19. 有一块直角三角形的绿地，最得两直角边长分别为6m, 8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为-肓介边的肓角三角形，求扩充麻等腰三角形绿地的周1111卜.j ■•卜■■”丿aiaa r T T 1 :■ 卜・十专・」 1 Fit sailb ■ ■ ■ •• ■■ ■ ■ ■ ■ 1 I 11 •11-•--4 •・■91 ♦ II■ "T"* + • ■ ■b11 1 -« —— 1 1L B■ 33■ •■ ・Tri•44• Bl• ■ ■・4・亠长.参考答案第十八章勾股定理全章测试1. 8.2. 73. 3. V10.4. 30.5. 2.6. 3.提示：设点〃落在化上的£点处，设BD=x,则DE= BD= x, AE= AB= 6, CE=4, CD=R—x,在R仏CDE中根据勾股定理列方程.7.岳或5極.8. 6.提示：延长畀〃到E,使DE= AD,连绪BE,可得△昇朋为RtA.9. D. 10. C 11. C. 12. BH __13.-V21. 提示：作CEIAB于厂可得CE = ^,BE = 5,由勾股定理得BC = 2“，由三角7形面积公式计算畀〃长.14.150m2.提示：延长况；AD交于E.15.提示：过力作/〃丄优•于〃A哄PB・/乞=加+旳+ (BH— P小(防+/%=加+旳+胡一旳=Aff+BH=AR=\6.16.14 或4.17.10；2j9 + C.18.⑴略；(2)定值，12； (3)不是定值，8 + 6V2, 8 + 2VlO, 6^2 + 2V10.19.在Rt△昇力中，Z//6^=90° , AC=S f况=6由勾股定理得：加=10,扩充部分为Rt△应"扩充成等腰应分以下三种情况.①如图1,当AB=AD=\^时，可求CD=CB=^得△血矽的周长为32m.②如图2,当AB=BD=\0时，可求〃=4图2山勾股定理得：AD = 4y[5 f得△血炒的周长为(20 + 4V5)m..③如图3,当〃〃为底时，设AD=BD=x,则CD=x_d由勾股定理得:。
北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 章节测试卷 (含解析)
第1章《勾股定理》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（ ）A．4m2−1B．4m2+1C．m2−1D．m2+12．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D 的面积之和为（）A．11B．14C．17D．203．观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每个方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）A．2B．52C．5D．2546．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（）A．13B．12C．11D．107．图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C．D．8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（）A．3B．−2+3C．−1+3D．−39．如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（）A．12cm B．13cm C．25cm D．26cm10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI 的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．12．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使CD=13，则AD 的长为 km．13．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，则S10的值为．14．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有（填写序号）．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=，△APE的面积等于12．16．已知△ABC中，AC=8，AB=41，BC边上的高AG=5，D为线段AC上的动点，在BC上截取CE=AD，连接AE，BD，则AE+BD的最小值为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=3，AC=5，AD=2，求证：AD⊥AB．18．（6分）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？19．（8分）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．20．（8分）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1) 求线段BG的长；(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)如图（1），把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求BE的长；(2)如图（2），把△ABC沿直线AF折叠，使点C落在AB边上G点处，请直接写出BF的长．22．（8分）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．（1）你能在3×3方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．23．（8分）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论 ．拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n 上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是 ．答案解析一．选择题1．D【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2−1，∴弦是a+2=m2−1+2=m2+1，故选：D．2．C【分析】如图：由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AAC=CE，再根据全等三角形和勾股定理可得S B=S C+S A=5+3=8，同理可得S D=S C+ S E=5+4=9，最后求正方形B、D的面积之和即可．【详解】解：如图：由题意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AC=CEA∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠DCE，∴△ABC≅△CDE,∴DE=BC,∵∠ABC=90°，∴AC2=BC2+AB2，∴AC2=DE2+AB2,即S B=S C+S A=5+3=8,同理：S=S C+S E=5+4=9;D∴S+S B=8+9=17．D故选C．3．C【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长，根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解．【详解】解：A. 阴影部分面积为4，则正方形的边长为2，故能拼成正方形，不符合题意；B.阴影部分面积为10，则正方形的边长为10，∵12+32=10，故能拼成正方形，不符合题意；C.阴影部分面积为11，则正方形的边长为11，根据网格的特点不能构造出11的边，故不能拼成正方形，符合题意D. 阴影部分面积为13，则正方形的边长为13，∵22+32=13，故能拼成正方形，不符合题意；故选C．4．A【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.【详解】如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2∴AB2=0.72+ 2.42= 6.25在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，BD2+A'D2=A'B2∴BD2+22= 6.25∴BD2= 2.25∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的宽度为2.2米，故答案选A5．B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=AC2−A B2=52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．6．A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，{AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=AB2−A F2=3，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴S△ADE =12AD⋅EF=12DG⋅h+12EG⋅h，即S△ADG +S△AEG=12AD⋅EF，∵S△AEG =12⋅GE⋅h=92，S△ADG=S△AEG，∴S△ADG +S△AEG=92+92=9，∴9=12AD⋅3，∴AD=6，∴FD=AD−AF=6−4=2，在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，∴BD2=BF2+FD2=32+22=13，故选：A．7．A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2+b2=c2，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式(a+b)2=4×12ab+c2，可得a2+b2 =c2；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(a+b)22=2×12ab+12c2，可得a2+b2=c2；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab，可得a2+b2=c2．故选：A．8．B【详解】根据勾股定理得：AB=2，AD=3，∴AE=3，∴OE=2−3，∴点E表示的数为−2+3．故答案为：B．9．B【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=242=12 cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.【详解】如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=242=12cm，∴蚂蚁爬行的最短路线AB=AC2+BC2=52+122=13cm，故选：B.10．D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得AC2−B C2=AK2−B K2，然后计算S12+S42−(S22+S32)=0，即可判断④．【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正确；∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，∴S1：S△ACD=2：1，故②正确；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正确；∵ S1-S4=S3-S2，∴S12+S42−2S1S4=S22+S32−2S2S3，∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，∴S12+S42=AC4+AB2BK2，S22+S32=BC4+AK2AB2，∵AB2=AC2+ BC2，AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2，∴AC2−A K2=BC2−B K2，即AC2−B C2=AK2−B K2，∴S12+S42−(S22+S32)=AC4+AB2BK2−(BC4+AK2AB2)=AC4−B C4+AB2(BK2−A K2)=(AC2+BC2)(AC2−B C2)−A B2(AC2−B C2) =AB2(AC2−B C2)−AB2(AC2−B C2)=0，∴S1•S4=S2•S3，故④正确，二．填空题11．c2+ab a2+b2+ab【详解】解：如图所示：S1=c2+12ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab．故答案为c2+ab，a2+b2+ab．12． 20 13【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．【详解】（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得AB=12−（−8）=20故答案为：20（2）如图：设AD=a，根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE=1−（−17）=18由ΔADE是直角三角形，得：（CE−CD）2+AE2=a2∴52+122=a2故答案为：13 13．102【分析】利用勾股定理依次计算出OA2=2，OA3=3，OA4=4=2，.. OA n=n，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得S10即可．【详解】由题意得：OA2=OA12+A1A22=12+12=2，OA3=OA22+A2A32=12+(2)2=3，OA4=OA32+A3A42=12+(3)2=4=2,∴OAn=n，∴OA10=10，∴S10=12OA10⋅A10A11=12×10×1=102，故答案为：102．14．①③【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为5，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为5的正方形即可．【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为5的正方形，符合题意；如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为5的正方形，符合题意；按照②中剪法，无法拼接成边长为5的正方形，不符合题意；故选①③．故答案为：①③．15．3或18或22【分析】分当点P在线段AB上运动时，当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．【详解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm，AC＝12cm，∴AB=AC2+BC2=162+122=20，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE=12BC＝8cm，S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12×12×12×16=48cm2．当点P在线段AC上运动时，∵△APE的面积等于12，即S△APE =14S△ACE，∴AP=14AC=3，∴t=3÷1=3秒；当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，同理可知BP=14BE=2cm，∴t=(12+8+2)÷1=22秒；当点P在线段BC上运动且在点E的左边时，如图3所示，同理可知CP=12CE=2cm，∴t=(12+8−2)÷1=18秒；故答案为∶3或18或22．16．13【分析】通过过点A 作GC 的平行线AN ，并在AN 上截取AH =AC ，构造全等三角形，得到当B ，D ，H 三点共线时，可求得AE +BD 的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】如图，过点A 作GC 的平行线AF ，并在AF 上截取AH =AC ，连接DH ，BH ．则∠HAD =∠C ．在△ADH 和△CEA 中，{AD =CE ，∠HAD =∠C ，AH =CA ，∴△ADH≌△CEA(SAS)，∴DH =AE ，∴AE +BD =DH +BD ，∴当B ，D ，H 三点共线时，DH +BD 的值最小，即AE +BD 的值最小，为BH 的长．∵AG ⊥BG ，AB =41，AG =5，∴在Rt △ABG 中，由勾股定理，得BG =AB 2−A G 2=(41)2−52=4．如图，过点H 作HM ⊥GC ，交GC 的延长线于点M ，则四边形AGMH 为长方形，∴HM =AG =5，GM =AH =AC =8，∴在Rt △BMH 中，由勾股定理，得BH =BM 2+HM 2=(4+8)2+52=13．∴AE+BD的最小值为13．故答案为：13．三．解答题17．证明：如图，延长AD至点E，使得AD=DE，连接CE，∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC，又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=EC=3，∠BAD=∠E，又∵AE=2AD=4,AC=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°∴∠BAD=∠E=90°∴AD⊥AB．18．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=x m，则OC=（8-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，．∴32+（8-x）2=x2，解得x=7316∴机器人行走的路程BC为73m．1619．（1）解：第一组勾股数的第一个数为3=2×1+1，第二个数为4=2×1×(1+1)，第三个数为4=2×(1+1)+1，第二组勾股数的第一个数为5=2×2+1，第二个数为12=2×2×(2+1)，第三个数为12=2×2×(2+1)+1，第三组勾股数的第一个数为7=2×3+1，第二个数为24=2×3×(3+1)，第三个数为25=2×3×(3+1)+1，所以第四组勾股数组的第一个数为2×4+1=9，第二个数为2×4×(4+1)=40，第三个数为2×4×(4+1)+1=41，∴第四组勾股数组为(9,40,41)；（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)，证明：∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n+1)2=(2n2+2n+1)(2n2+2n+1)=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)220．解：（1）如图，连接BG．在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），即线段BG的长度为5dm；（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137②把ABEF展开，如图此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55③如图所示，把BCFGF展开，此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．21．（1）解：∵直线DE是对称轴，∴AE=BE，∵AC=6,BC=8，设AE=BE=x，则CE=8−x在Rt△ACE中，∠C=90°，∴AC2+CE2=AE2，∴62+(8−x)2=x2，，解得x=254∴BE=254（2）解：∵直线AF是对称轴，∴AC=AG，CF=CG，∵AC=6,BC=8，设CF=CG=x，则BF=8−x，∴在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=AC2+BC2=62+82=10，∴BG=AB−AG=4，在Rt△BGF中，∠BGF=90°，∴GF2+BG2=BF2，∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，∴BF=8−3=5．22．解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（3）如图所示，在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，DM、FM即为裁剪线，将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG 重合，得到正方形DMFH，∴剪出的块数最少为5块，故答案为：5．23．如图：∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°，∴四边形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）•CC′÷2＝(a+b)22S △ACB ＝12AC ⋅BC =12ab ，S △BC ′B ′＝12ab ，S △ABB ′＝12c 2，所以(a +b)22=12ab +12ab +12c 2，a 2+2ab+b 2＝ab+ab+c 2，∴a 2+b 2＝c 2；拓展1．过A 作AP ⊥BC 于点P ，如图2，则∠BMF ＝∠APB ＝90°，∵∠ABF ＝90°，∴∠BFM+∠MBF ＝∠MBF+∠ABP ，∴∠BFM ＝∠ABP ，在△BMF 和△ABP 中，{∠BFM =∠ABP ∠BMF =∠APB =900BF =AB，∴△BMF ≌△ABP （AAS ），∴FM ＝BP ，同理，EN ＝CP ，∴FM+EN ＝BP+CP ，即FM+EN ＝BC ，故答案为FM+EN ＝BC ；拓展2．过点D 作PQ ⊥m ，分别交m 于点P ，交n 于点Q ，如图3，则∠APD ＝∠ADC ＝∠CQD ＝90°，∴∠ADP+∠DAP ＝∠ADP+∠CDQ ＝90°，∴∠DAP ＝∠CDQ ，在△APD 和△DQC 中，{∠DAP =∠CDQ ∠APD =∠DQC AD =DC，∴△APD ≌△DQC （AAS ），∴AP ＝DQ ＝2，∵PD ＝1，∴AD 2＝22+12＝5，∴正方形的面积为 5，故答案为5．。
勾股定理检测试题及答案(WORD版)
第十七单元勾股定理检测试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列各组数中，是勾股数的是（）A．1、2、3B．3、4、5C．12、15、18D．1、、32．如果3，a，5是勾股数，则a的值是（）A．4B．C．4或D．4或343．如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．34．在△ABC中，∠B＝90°，若BC＝3，AC＝5，则AB等于（）A．2B．3C．4D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）A．4B．4πC．8πD．86．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝2，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．2.2B．C．D．7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．8．已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a：b：c＝1：1：B．a：b：c＝1：1：C．a：b：c＝2：2：3D．a：b：c＝：2：9．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A．3B．5C．4.2D．410．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设这个人的身高是5尺，秋千的绳索始终拉的很直，则绳索长为（）A ．12.5尺B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC 是格点三角形（顶点都在格点上），则点C 到AB 的距离为 ．12．若CD 是△ABC 的高，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，则CD 的长为 ．13．有两根木棒，分别长6cm 、5cm ，要再在7cm 的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是 ．14．勾股定理a 2+b 2＝c 2本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，满足这个方程的正整数解（a ，b ，c ）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 ．三、解答题（本大题共9小题，满分90分,其中第15,16,17,18题每题8分，19,20题每题10分，21,22题每题12分，23题14分）15．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝2，CD ＝1，求AD 的长．16．某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝26m，AD＝24m．求四边形ABCD空地的面积．17．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：（1）在网格中画出长为的线段AB．（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．18．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，（1）如图△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．19．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．20．如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；（3）如果m表示大于1的整数，且a＝4m，b＝4m2﹣1，c＝4m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．21．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．22．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为﹣1，试求M、N两点的距离为；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标及PD+PF的最短长度．23．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；B、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故正确；C、122+152≠192，不能构成直角三角形，故错误；D、不是整数，此选项错误；故选：B．2．解：∵3，a，5是勾股数，∴a＝4，故选：A．3．解：由题意：AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵，2，3都是无理数，故选：D．4．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，∴AB＝＝＝4，故选：C．5．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）＝4，故选：A．6．解：∵AB＝1，BC＝2，BC⊥AB，∴AC＝AD＝＝，∴点D表示的数为：．故选：D．7．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．8．解：A、设a＝x，则b＝x，c＝x，∵（x）2+（x）2≠（x）2，∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B、设a＝x，则b＝x，c＝x，∵（x）2+（x）2＝（x）2，∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意；C、设a＝2x，则b＝2x，c＝3x，∵（2x）2+（2x）2≠（3x）2，∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D、设a＝x，则b＝2x，c＝x，∵（x）2+（2x）2≠（x）2，∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．9．解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．故选：C．10．解：设绳索长为x尺，则102+（x﹣5+1）2＝x2，解得：x＝14.5．故绳索长14.5尺．故选：C．二．填空题（共4小题）11．解：设点C到AB的距离为h，∵AB＝＝5，＝×2×3＝×5×h，∴S△ABC∴h＝1.2，故答案为：1.2．12．解：∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴•AB•CD＝•AC•BC，∴CD＝＝4.8，故答案为4.8．13．解：①6cm是直角边，第三根木棒要取的长度是＝cm（舍去）；②6cm是斜边，第三根木棒要取的长度是＝cm．故答案为：cm．14．解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），故答案为：（11，60，61）．三．解答题（共9小题）15．解：连接AC ，∵∠B ＝90°∴AC 2＝AB 2+BC 2．∵AB ＝BC ＝2∴AC 2＝8．∵∠D ＝90°∴AD 2＝AC 2﹣CD 2．∵CD ＝1，∴AD 2＝7．∴．16．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2+BC 2＝62+82＝102，∴AC ＝10．在△DAC 中，CD 2＝262，AD 2＝242，而242+102＝262，即AC 2+AD 2＝CD 2，∴∠DCA ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △BAC +S △DAC ＝•BC •AB +DC •AC ，＝×8×6+×24×10＝144（m ）2，答：四边形ABCD空地的面积是144m2．17．解：（1）如图所示：线段AB即为所求；（2）△DEF即为所求．18．（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝1，由勾股定理得，AD＝＝2，∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，BC＝＝3，当BC边上的中线AE等于BC时，AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（2）2，解得，BC＝4，综上所述，BC＝3或BC＝4．19．解：公路AB需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，所以根据勾股定理有AB＝500米．＝AB•CD＝BC•AC因为S△ABC所以CD＝＝＝240米．由于240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．20．解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42＝52，∴3、4、5是一组勾股数；（2）∵122+162＝202，且12，16，20都是正整数，∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；故答案为12，16，20（3）∵m表示大于1的整数，∴由a＝4m，b＝4m2﹣1，c＝4m2+1得到a、b、c均为正整数；又∵a2+b2＝（4m）2+（4m2﹣1）2＝16m2+16m4﹣8m2+1＝16m4+8m2+1，而c2＝（4m2+1）2＝16m4+8m2+1，∴a 2+b 2＝c 2，∴a 、b 、c 为勾股数．21．定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．证明：∵S 四边形ABCD ＝S △ABE +S △AED +S △CDE ，＝×2+，又∵S 四边形ABCD ＝＝，∴＝×2+， ∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+2ab +b 2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．22．解：（1）AB ＝＝13，故答案为：13；（2）MN ＝4﹣（﹣1）＝5；故答案为：5；（3）△ABC 为等腰三角形．理由如下：∵DE＝5，EF ＝4﹣（﹣2）＝6，DF ＝＝5， ∴DE ＝DF ，∴△DEF 为等腰三角形；（4）如图，作F 关于x 轴的对称点F ′，连接FF ′交x 轴于P ， 则此时，PD +PF 的长度最短，∵F （4，2），∴F ′（4，﹣2），设直线PF′的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PF′的解析式为：y＝﹣x+，当y＝0时，x＝，∴P（，0），∴PD+PF的最短长度＝＝．23．解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：AM+BM＝A′B＝＝，∵6＜，∴方案1更合适；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，CQ1＝CQ4＝＝2，∴QG＝2+2（舍去）或2﹣2（舍去）；②AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，DQ＝＝3，∴QG＝3+2＝5或3﹣2＝1（舍去），③G为CD中点时，当AQ3＝BQ3时，（GQ3+2）2+11＝（2﹣GQ3）2+42，解得：GQ3＝，故当GQ＝5或时，△ABQ为等腰三角形．。
华师大八年级数学上 第14章 勾股定理同步调查测试题(含答案)
第14章勾股定理勾股定理同步调查测试一。
选择（3分×8=24分）1。
要登上12m高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5m，则梯子的长度至少为（）A。
12m B。
13m C。
14m D。
15m2。
若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（）A。
2倍B。
3倍C。
4倍D。
5倍3。
有六根小木棒，长度分别为：2，4，6，8，10，12，从中取出三根，首尾顺次连结能够搭成直角三角形，则这三根木棒的长度可以是（）A。
2，4，8B。
4，8，10C。
6，8，10D。
8，10，124。
如果直角三角形的三边长分别为3，4，m，则m的取值可以有（）A。
0个B。
1个C。
2个D。
3个5。
如果一个等腰直角三角形的面积为2，则斜边长为（）A。
2B。
4C。
22D。
426。
如图，∆ABC中，∠C=90︒，∠B=22.5︒，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于点D，BD=162，则AC的长为（）A。
83B。
8C。
16D。
1237。
一旗杆在其13的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（）A。
5米B。
25米C。
10米D。
53米8。
直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，则面积为（）A。
12cm2B。
6cm2C。
8cm2D。
10cm2二。
填空（3分×10=30分）△9。
在ABC中，∠C=90︒:(1)若a=6,b=8,则c=;(2)若a=5,c=5,则b=;(3)若a：c=3：5，且b=8,则a=。
10。
Rt∆ABC中，∠C=90︒，AB=2，则AB2+BC2+CA2=。
11。
一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为。
12。
一等边三角形的边长为1，则它的高为，面积为。
13。
如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A，B，C，D的面积的和为。
14。
已知：正方形ABCD的对角线长为22，以AB为斜边向外作等腰直角三角ABE，则这个等腰直角三角形的直角边长为。
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勾股定理全章测试
一、填空题
1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．
3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．
3题图
4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC ＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．
4题图
5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．
5题图
6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．
6题图
7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．
8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．
8题图
二、选择题
9．下列三角形中，是直角三角形的是( ) (A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3 (C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，41
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已
知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( )．
10题图
(A)450a 元 (B)225a 元 (C)150a 元 (D)300a 元
11．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边
形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )．
(A)2 (B)3 (C)22
(D)32
12．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于
( )．
(A)5 (B)135 (C)1313
(D)59
三、解答题
13．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD 的长．
14．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD ＝10m，求这块草地的面积．
15．△ABC中，AB＝AC＝4，点P在BC边上运动，猜想AP2＋PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．
16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．
17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
图1 图2 图3
(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直
角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；
(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；
若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；
(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；
若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．
19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
参考答案
勾股定理全章测试
1．8． 2．.3 3．.10 4．30． 5．2．
6．3．提示：设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6， CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程． 7．26或.265
8．6．提示：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt △． 9．D ． 10．C 11．C ． 12．B 13．
.217
2
提示：作CE ⊥AB 于E 可得,5,3==BE CE 由勾股定理得,72=BC 由三角形面积公式计算AD 长．
14．150m 2．提示：延长BC ，AD 交于E ． 15．提示：过A 作AH ⊥BC 于H
AP 2＋PB ·PC ＝AH 2＋PH 2＋(BH －PH )(CH ＋PH ) ＝AH 2＋PH 2＋BH 2－PH 2 ＝AH 2＋BH 2＝AB 2＝16． 16．14或4．
17．10； .16922n +
18．(1)略； (2)定值， 12；(3)不是定值，.10226,1028,268+++
19．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6
由勾股定理得：AB ＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况．
①如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求CD ＝CB ＝6得△ABD 的周长为32m ．
图1
②如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求CD ＝4
图2
由勾股定理得：54=AD ，得△ABD 的周长为.m )5420(+．
③如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，
图3
由勾股定理得：325
x ，得△ABD 的周长为
.m 3
80。