2.3_变量间的相关关系课件2

根据有关数学原理推导，a，b的值由下列公式给出
b
x x y
n i 1 i n i 1 i
i
y
2
x y nx y
n
x x

i 1 n
i
i
x
i 1
2
i
nx
2
a y bx
问题 2： 为了了解全球金融危机对市民生活的影 响，对某地的某社区的 10 户家庭进行调查，这 10 户 家庭的年收入和年饮食支出统计资料如表：
• 若根据资料判断两个变量y与x具有线性相 关关系， • (1)求y关于x的回归方程； • (2)求x关于y的回归方程； • (3)预测当x＝18时，其数学成绩是多少？
• [分析] 两个变量y与x具有线性相关关系① 求变量y关于x的回归方程；②求变量x关于 y的回归方程；③根据求回归方程的步骤求 参数；④用于数学学习的时间x＝18时对其 数学成绩进行预测．
(2)函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可 以相互转化．而对于具有线性相关关系的两个变量来说， 当求得其回归直线方程后，又可以用一种确定性的关系对 这两个变量间的取值进行估计． (3)相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数 关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般 的情况．因此研究相关关系，不仅可以用来处理更为广泛 的数学应用问题，还可以将对函数关系的认识上升到一个 新的高度．
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问题5 有一个同学家开了一个小卖部，他为了 研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一 个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：
摄氏温 度(℃） 热饮杯 数 15 116 -5 156 0 150 4 132 7 128 12 130
19 104
23 89
27 93
31 76
36 54
摄氏温 度(℃）
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线。
复习：
1．在平面直角坐标系中，将两个变量的关系用点 的形式描述出来叫做 散点图． 2．在散点图中，点的分布从左下角到右上角，则 两个变量之间为 正相关 关系． 3．在散点图中，点的分布从左上角到右下角，则 两个变量之间为 负相关 关系．
4．相关关系与函数关系的区别与联系 (1)函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，相关 关系是一种非确定性的关系．线性相关关系是相关关 系的一种特殊情况，它也是一种不确定的关系．
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^
4．已知回归直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝ 11.69 25时，y的估计值为________．
5．5 个学生的数学和物理成绩如下表： A 数学 物理 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
解：以数学成绩表示横轴，物理成绩表示纵轴，可 得相应的散点图，如图所示：
10
≈0.17，
x2－10 x 2 i
i＝1
10
a ＝ y －b x ＝0.81， ∴y ＝0.17x＋0.81. ∴所求的回归方程为y ＝0.17x＋0.81.
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问题 3： 某校高三(2)班的学生每周用于学习数学 的时间 x(单位：h)与数学成绩 y(单位：分)之间有如表 数据： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59
2．试从四个图中点在散点图上的分布状态，直观 上初步判断两个量之间有线性相关关系的是( C )
3．(2010· 湖南高考)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( A ) A．y＝－10x＋200 C．y＝－10x－200
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B．y＝10x＋200 D．y＝10x－200
这样的方法叫做最小二乘法.
这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即 点到直线 y bx a 的“整体距离”最小.
Q y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
2 2
2
这样通过求此式的最小值而得到回归直线的方 法，即使得一半数据的点到回归直线的距离的平方 和最小的方法叫做最小二乘法.
热饮杯 数 15
-5
156 19
0
150 23
4
132 27
7
128 31
12
130 36
116
104
89
93
76
54
（1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮杯数之 间关系 的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热 饮杯数.
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -10 0 10 20 30 y = -2.3517x + 147.77 40 温度
[解]
(1)设 y 关于 x 的回归方程是y ＝b x＋a .
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^
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列表计算：
i xi yi xiyi
1 24 92
2 15 79

3 23 97
4 19 89
5 16 64
6 11 47
7 20 83
8 16 68
9 17 71
10 13 59 767
2208 1185 2231 1691 1024 517 1660 1088 1207 x ＝17.4， y ＝74.9，
回归直线 ，使得 样本数据的点到它的距离的平方和最小
的方法叫做 最小二乘法．
4．回归方程 y^＝bx＋a 中，
其中 b 是回归方程的 斜率 ，a 是 截距．
5.利用回归直线方程对总体进行估计：利用回归 直线方程，可以进行预测，并对总体进行估计． 若回归直线方程为y＝a＋bx， x＝x0 处的估计值 则 为y＝a＋bx0，这个值只是估计值，不是精确值．尽管 利用回归直线方程所得到的值仅是一个估计值，具有 随机性，但它是根据统计规律得到的，因而所得结论 正确的概率是最大的，故可以放心大胆的利用回归直 线方程进行预测．
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图
我们还可以找到 更多的方法，但 这些方法都可行 吗?科学吗？ 准确吗？怎样的 方法是最好的？ 我们把由一个变量的变化 去推测另一个变量的方法 称为回归方法。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
40 35
如图 ：
30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
• .方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
由散点图可见，两者之间具有相关关系．
6.
对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，
10) ， 得 散 点 图 如 图 4. 由 这 个 散 点 图 可 以 判 断 ( ) 变量x与y负相关
问题1：观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本 数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需 要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体 内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我 们从理论上作些研究.
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与 x线性相关．
5.两个变量的线性相关 ①散点图的特点形象地体现了各对数据的密 切程度，因此可以根据散点图来判断两个 变量有没有线性关系． ②从散点图上可以看出，如果变量之间存在 着某种关系，这些点会有一个集中的大致 趋势．
练习：
1．下列有关线性回归的说法，不正确的是( D ) A．相关关系的两个变量不一定是因果关系 B．散点图能直观地反映数据的相关程度 C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间 的关系 D．任一组数据都有回归直线方程
热饮杯数
当x=2时，y=143.063.
小结
1、求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
第一步，计算平均数 第二步，求和 , x
y
n 2 i
xi yi ,
i 1 n
n
x
i 1
第三步，计算
b
( x x )( y y ) x y nx y
i 1 i i
n
( xi x )2
(2)由散点图可知，年收入越高，年饮食支出越 高， 图中点的趋势表明两个变量间也确实存在着线性 相关关系． 依题意可计算得： x ＝6， y ＝1.83， x 2＝36， x y ＝10.98，
xiyi＝117.7，
i＝1
10
xi2＝406，
i＝1
10
xiyi－10 x y
b ＝
^ i＝1
那么，我们该 怎样来求出 这个回归方 程？ 请同学们展开 讨论，能得 出哪些具体 的方案？
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
. .方案1、先画出一条直线，测量出各点与它 的距离，再移动直线，到达一个使距离的 和最小时，测出它的斜率和截距，得回归 方程。 脂肪含量
年收入 2 x(万元) 年饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 y(万元) 2.3 4 4 6 6 6 7 7 8 10