圆的切线证明

C

E

A

B

O

P

圆的切线证明

1(2011中考)、如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足

为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E,(1)

求证:PB为⊙O的切线;

2 已知⊙O中,AB就是直径,过B点作⊙O的切线,连结CO,若AD∥OC交

⊙O于D,求证:CD就是⊙O的切线。

3 如图,AB=AC,AB就是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M求证:DM与⊙O相切、4(2008年厦门市)已知:如图,

D

中,,以

为直径的交

于点

,于点.

(1)求

证:就是

的切线;

5已知:如图⊙O就是△ABC的外接圆,P为圆外一点,PA∥BC,且A为劣弧的中点,割线PBD过圆心,交⊙0于另一点D,连结CD.

(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系,并证明您的结论.

(2)当AB=13,BC=24时,求⊙O的半径及CD的长.

6如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.(1)求证:AC就是⊙O的切线;(2)求弦BD的长;(3)求图中阴影部分的面积.

7、(2010北京中考) 已知:如图,在△ABC中,D就是AB边上一点,圆O过D、B、C

三点,∠DOC=2∠ACD=90︒。

(1) 求证:直线AC就是圆O的切线;

(2) 如果∠ACB=75︒,圆O的半径为2,求BD的长。

8、(2011•北京)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、

E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.(1)求证:直线BF就是⊙O的切线;

9 已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP 于C,求证:PC＝CD。

10 (2013年广东省9分)如图,⊙O就是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC

交DC的延长线于点E、

(1)求证:∠BCA=∠BAD;(3)求证:BE就是⊙O的切线。

11(7分)(2013•珠海)如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A

(1)求证:BC为⊙O的切线;

(2)求∠B的度数.

细说如何证明圆的切线

1、证切线---------------90°(垂直)

2、有90°------------------证全等

C

E

A

B

O

P

3、有⊥------------------证∥,错过来

4、利用角+角=90°

关注:等腰(等边)三线合一;中位线;直角三角形

1(2011中考)、如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足

为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E,(1)

求证:PB为⊙O的切线;

2 已知⊙O中,AB就是直径,过B点作⊙O的切线,连结CO,若AD∥OC

交⊙O于D,求证:CD就是⊙O的切线。

点悟:要证CD就是⊙O的切线,须证CD垂直于过切点D的半径,由此想到连结OD。

证明:连结OD。

∵AD∥OC,

∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA

∵OA＝OD,∴∠ODA＝∠OAD

∴∠COB＝∠COD

∵CO为公用边,OD＝OB

∴△COB≌△COD,即∠B＝∠ODC

∵BC就是切线,AB就是直径,

∴∠B＝90°,∠ODC＝90°,

∴CD就是⊙O的切线。

点拨:辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形,先用切线的性质定理,后用判定定理。

3 如图,AB=AC,AB就是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M

求证:DM与⊙O相切、

D

3(2008年厦门市)已知:如图,

中,,以

为直径的交

于点,于点.

(1)求证:就是

的切线;

(2)若,求

的值.

(1)证明:,

又,

又于

,,

就是

的切线

4已知:如图⊙O就是△ABC的外接圆,P为圆外一点,PA∥BC,且A为劣弧的中点,割线PBD过圆心,交⊙0于另一点D,连结CD.

(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系,并证明您的结论.

(2)当AB=13,BC=24时,求⊙O的半径及CD的长.

如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.

(1)求证:AC就是⊙O的切线;

(2)求弦BD的长;

(3)求图中阴影部分的面积.

5、(2010北京中考) 已知:如图,在△ABC中,D就是AB边上一点,圆O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90︒。

(1) 求证:直线AC就是圆O的切线;

(2) 如果∠ACB=75︒,圆O的半径为2,求BD的长。

6、(2011•北京)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点

D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.

(1)求证:直线BF就是⊙O的切线;

例6、已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE 交OP于C,求证:PC＝CD。

点悟:要证PC＝CD,可证它们所对的角等,即证∠P＝∠CDP,又OA⊥OB,故可利用同角(或等角)的余角相等证题。

证明:连结OD,则OD⊥CE。

∴∠EDA＋∠ODA＝90°

∵OA⊥OB

∴∠A＋∠P＝90°,

又∵OA＝OD,

∴∠ODA＝∠A,∠P＝∠EDA

∵∠EDA＝∠CDP,

∴∠P＝∠CDP,∴PC＝CD

点拨:在证题时,有切线可连结切点的半径,利用切线性质定理得到垂直关系。

7(2013年广东省9分)如图,⊙O就是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC