高等数学无穷级数

第七章无穷级数
10常数项级数概念及性质
1、定义P264 ∑an=a1+a2+ +an+
n=1∞
an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和
例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n
1+2+3+ +n+
1-1+1-1+ +(-1)n-1+
2、定义Sn=∑uK
K=1n
an=Sn+1-Sn
如{Sn}收敛，则∑an收敛
n=1∞
3、几个重要极限
等比级数（几何）∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散；
n=0∞
P级数∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散；
∞1P=1当，∑ 又称调和级数。

n=1n
4、级数性质 P266
性质5是级数收敛的必要条件即∑an收敛→liman=0
n=1n→∞∞
例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1 3n
例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n
例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞
20正项级数判别法
∑un∞n=1un≥0
正项级数部分和数列{Sn}单调递增
∴正项级数收敛部分和数列有上界
1、比较判别法
设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛
n=1
∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散
n=1n=1
例、判别下列级数敛散性
∞（1）∑
n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于
∞14n2+n≥14n2+n2=11⋅ 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1
sin2
（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn
比较判别法的极限形式如limun=A 则有n→∞Vn
∞∞0<A<+∞时∑un，∑Vn，同时收敛，同时发散 n=1n=1
A=0 如∑Vn 收敛，则∑un收敛
n=1
∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1
判别下列级数敛散性例、∑lnn=1∞n+1 n
lnn+1
∞1=1 又∑发散，∴原级数发散 1n=1n
n limn→∞
1例、（1）∑ （2）∑(1-cos) nn=1n2+1+nn=1∞1∞ （3）∑lnn n=2n∞1
解：（1）由limn→∞nn2+n+n=lim=1 21n→∞n+n+nn
111-cos21（2）lim=lim= 1n→∞n→∞12
n2n2
∵ ∑∞1
2n=1n 收敛∴原级数收敛
lnn1（3）∵ >nn
∴∑
例、P271
2、比判别法∞(n≥3) ∵ ∑1 发散，nn=1∞lnn 发散 n=1n例7.7 7.8 设正项级数∑un的一般项满足
n=1∞
un+1lim=ρ n→∞un
则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定
3、根值法
设∑un为正项级数，如limun=ρ
n=1∞n→∞
则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定
正项级数判别其敛散性的步骤：
⎧≠0发散首先考察limun⎨ n→∞=0需进一步判别⎩
①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；
②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如un含形如nα（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察{Sn}n→∞是否有上界。

例、判别下列级数的敛散性
（1）∑∞2nn n!∞⎛n⎫
n （2）∑ ⎪（3）设a>0n=1nn=1⎝2n+1⎭
（4）∑∞6n
（5）
=17n-5
nnn∑∞=1n4+(-1)nn 6）∞
xn
（
n∑=11+x1+x2 ⎛
1+xn x>0为常数⎫
⎝⎪⎪⎭
ncos2nπ
（7）∑∞lnn（8）
=12nn
nn∑∞=14n
2n+1(n+1)!
解：（1）limun+1n+1
n→∞u=limn+1
nn→∞2nn!
nn
=lim2nn
n→∞n+1n
=lim2
n←∞⎛1⎫n
⎝1+n⎪⎭
=2
e<1 收敛（2）方法一：limn
n→∞un=nlim→∞2n+1=1
2 收敛∑∞1 n=11+an
⎛n⎫⎛n⎫⎛1⎫方法二：⎪< ⎪= ⎪⎝2n+1⎭⎝2n⎭⎝2⎭
⎛1⎫∵ ∑ ⎪收敛∴原级数收敛
n=1⎝2⎭∞nnnn
un+1(xn+11+x)1+x2 1+xnlim=lim⋅nn→∞un→∞1+x1+x2 1+xn+1xn()()
x =li n→∞1+xn+1
⎧x0<x<1⎪⎪1 =⎨x=1
⎪2
⎪0x>1⎩∴级数收敛 un+1ln(n+1)2nnlim=limn+1⋅ n→∞un→∞2n+1lnnn
=limln(n+1)n+11=<0 收敛n→∞2lnnn2
11=≠0 发散n→∞22
1=1≠0 发散n→∞1+an
11<1的等比级数为公比nn=1aa∑∞（3）当a=1limun=lim n→∞un=li
0<a<1limn→011< a>11+anan
∴收敛 6n
nn（4）∵ lim7-5
n→∞6n
7n7n=limn=1 n→∞7-5n
⎛6⎫∵ ∑ ⎪收敛， n=1⎝7⎭∞n
∴原级数收敛
（5）4+(-1)∞nnn⎧n⎪n=⎨3n⎪n⎩5n为奇数n为偶数∴ un≤n
n3un+1n+13n1n=limn+1⋅=<1 对∑n ∵ limn→∞n→∞3unn3n=13
∴ ∑
n 收敛，又由比较判别法知原级数收敛nn=13∞
ncos2
（6）un=nπ∞n<n ，由此值法知∑n收敛 nn=1444∴原级数收敛
3°交错级数的敛散性的判别法如un>0，则称∑(-1)n=1∞n-1un=u1-u2+u3-u4+⋯为交错级数。

莱伯尼兹判别法：
如交错级数∑(-1)
n=1∞n-1un满足：
n→∞( i ) un≥un+1 ( ii ) limun=0
则∑(-1)
n=18n-1un 收敛，且和s≤u1
例、判断下列级数的敛散性。

1 P274 例7.13
2 ∑(-1)n=1∞nn+1-n )
解：① limun=limn→∞n→∞n+1-n=lim)1n+1+n n→∞=0
② un=n+1-n
=11 >n+1+nn+2+n+1
=n+2-n+1 =un+1
∴收敛
3 n-1∑(-1)
n=1∞1 n-lnn
11解：①∵ limun=lim=limn→∞n→∞n-lnnn→∞n1=0 lnn1-n
② 1⎫[(n+1)-ln(n+1)]-[n-lnn]=1-ln⎛1+ ⎪>0⎝n⎭∴ 11> 即 un>un+1 n-lnnn+1-lnn+1 ∴收敛
4°绝对收敛与条件收敛
定义P275 ∑un为任意项级数
n=1∞
如∑un 收敛称∑un绝对收敛如∑un 发散∑un 收敛称∑un条件收敛
n=1n=1n=1n=1∞n=1∞∞∞∞
定理，如∑un 收敛→∑un 必收敛n=1n=1∞∞
例、P276 例7.17 7.18
例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛
( 1 ) ∑(-1)n=1∞n(n-1)2n∞n10nb b>0 ⋅n ( 2 ) ∑(-1)n=1n2
10un+1(n+1)2n11⎫⎛=lim⋅=lim1+解：( 1 )lim ⎪10
=1<1 n→∞unn→∞2n+1n102n→∞⎝n⎭
∴原级数收敛，且绝对收敛。

解：( 2 ) limun+1n+1
n→∞u=limb⋅n=blimn
n=6
nn→∞n+1bn→∞n+1
0<b<1 原级数绝对收敛 b>1 原级数发散①lim1
n→∞
b=1 原级数为∑∞(-1n1n=0
n 为交错级数 n=1)②un>un+1
而∑∞u∞1
n=∑ 发散
n=1n=1n
∴ b=1条件收敛
习题七， 8
2 收敛。