平摆线、圆的渐开线 学案 2016-2017学年高中数学 苏教版 选修4-4
高中数学第二章参数方程2.4平摆线和渐开线备课资料北师大版选修4_4
4.1 平摆线4.2 渐开线教学建议对于本节内容,课标中定位为了解,高考中也很少涉及,因此在教学中要控制好教学深度,只要能够让学生通过实例,了解平摆线、渐开线的定义及形成过程,以及二者参数方程的形式,注意参数方程中字母和参数的含义即可,无需人为地设置一些综合性较强的题目.备选习题我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:方案一:等速螺线,如图①.图中画出的关于点O对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).方案二:圆的渐开线,如图②.图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线 (以下同).受方案二的启示,可得方案三:正方形的渐开线,如图③.请根据图①②③,写出图③对应曲线的方程.分析:本题是数学美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式.解:在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连接的,建立如题图中图③所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线的各段弧的方程如下(式中n∈N):(0≤x<1,≤y<0);x2+(y-1)2=2(4n-3)2〔4n-3≤x<(4n-3),-4n+4≤y<4n-2〕;(x+1)2+y2=2(4n-2)2〔-4n+1≤x<4n-3,4n-2≤y<(4n-2)〕;x2+(y+1)2=2(4n-1)2〔-(4n-1)≤x<-4n+1,-4n≤y<4n-2〕;(x-1)2+y2=2(4n)2(-4n+1≤x<4n+1,-4n≤y<-4n).。
苏教版高二数学选修4-4 4.4.4 平摆线与圆的渐开线学案
4．4.4 平摆线与圆的渐开线1．平摆线(1)半径为r 的圆所产生的摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (θ－sin θ)，y ＝r (1－cos θ)(θ为参数)．由上述参数方程所确定的曲线称为平摆线(或称旋轮线)． (2)平摆线的几何特性：①由无数个呈周期性排列的拱组成； ②每个拱的高为2r ；③拱的底为2πr ，即在x 轴上每隔2πr 拱将重复一次．2．圆的渐开线(1)半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos θ＋θsin θ)，y ＝r (sin θ－θcos θ)(θ为参数)．(2)渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．[例1] 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时刻平摆线的参数方程．[思路点拨] 将点(2,0)代入平摆线的参数方程中求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程．[精解详析] 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2 π( ∈ )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2 π－sin 2 π)．[对应学生用书P26][对应学生用书P27]又因为x ＝2，所以r (2 π－sin 2 π)＝2，即得 r ＝1k π( ∈ )． 又r >0，所以r ＝1k π( ∈N *)．易知，当 ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)．由圆的平摆线的参数方程的形式可知，只要确定了平摆线生成圆的半径，就能确定平摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将平摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．1．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l ：x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程； (3)求平摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数)． (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1. 所以φ＝2 π( ∈ )．代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12 π( ∈ )， 即圆的平摆线和x 轴的交点为(12 π，0)( ∈ )．2．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中，求参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离．解：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)． 把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎫3π2－3，3， ∴AB ＝ ⎝⎛⎭⎫3π2－3－3π22＋(3－2)2＝10.[例2] 当θ＝π4，π2时，求圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．[思路点拨] 把θ＝π4，π2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而求出两点间的距离．[精解详析] 把θ＝π4，π2分别代入参数方程得⎩⎨⎧x ＝22⎝⎛⎭⎫1＋π4，y ＝22⎝⎛⎭⎫1－π4，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1，即A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22⎝⎛⎭⎫1＋π4，22⎝⎛⎭⎫1－π4，⎝⎛⎭⎫π2，1，∴AB ＝⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1＋π4－π22＋⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1－π4－12 ＝14(5－22)π2－42π＋32－16 2.圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母θ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．3．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，求得到的曲线的焦点坐标．解：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝⎛⎭⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1.它表示焦点在x 轴上的椭圆，其中c ＝a 2－b 2＝144－36＝63， 故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．4．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．解：因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(cos φ＋φsin φ)，y ＝11(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．1．给出直径为6的圆，写出此圆的渐开线的参数方程．解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．因为的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．2．求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．解：当y ＝2时，有2(1－cos t )＝2， ∴t ＝π2或t ＝3π2.当t ＝π2时，x ＝π－2；当t ＝3π2时，x ＝3π＋2.[对应学生用书P28]∴平摆线与直线y ＝2的交点为 (π－2,2)，(3π＋2,2)．3．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积．解：由平摆线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)知圆的半径为4，故圆的面积为16π.4．已知圆的半径为1，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A ，B 的参数值分别为π3和π2，求A 与B 两点的距离． 解：圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)．当θ＝π3时，得x ＝3＋3π6，y ＝33－π6；当θ＝π2时，得x ＝π2，y ＝1，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16(13－63)π2－6π－363＋72.5．已知平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，求平摆线一个拱的宽度与高度．解：法一：由平摆线参数方程可知，产生平摆线的圆的半径r ＝2，又由平摆线的产生过程可知，平摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，平摆线的拱高等于圆的直径为4.法二：由于平摆线的一个拱的宽度等于平摆线与x 轴两个相邻交点的距离，令y ＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2 π( ∈ )，不妨分别取 ＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x 1＝0，x 2＝4π，所以平摆线与x 轴两个相邻交点的距离为4π，即平摆线一个拱的宽度等于4π； 又因为平摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x 1,0)，(x 2,0)的中点，此时φ＝φ1＋φ22＝π，所以平摆线一个拱的高度为|y |＝2(1－cos π)＝4.6．已知一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t >0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t )，求出圆对应的平摆线的参数方程．解：(1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t >0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2. (2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t (φ－sin φ)，y ＝t (1－cos φ)(φ为参数)． 7．有一个直径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 与轮子中点连线的中点P 的轨迹方程．解：以M 落在轨道上的某一位置为原点，轨道所在直线为x 轴，建立直角坐标系， 则x M ＝a (φ－sin φ)，y M ＝a (1－cos φ)． 设轮子中心为C ，则x c ＝aφ，y c ＝a . 而P 是CM 中点，则P 的轨迹方程是⎩⎨⎧x P ＝12a (2φ－sin φ)，y P＝12a (2－cos φ).(φ为参数)8.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平平摆线，取AQ ＝r 2或AQ ＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程．解：设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).当AQ ＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －rθ，y 0＝2y －r ， 代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r (θ－12sin θ)，y ＝r (1－12cos θ)(θ为参数)．当AQ ＝3r2时，有⎩⎨⎧x 0＝rθ＋2x 3，y 0＝r ＋2y3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).∴点Q 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝r ⎝⎛⎭⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝⎛⎭⎫1－32cos θ(θ为参数)．对应学生用书P29]考情分析从考试内容上来看，极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化是考查的重点，着重考查直线与圆的极坐标方程或参数方程的应用，难度中等．真题体验1．(江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝02．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则AB ＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3② ①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故AB ＝16. 答案：163．(广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 2 cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为______________．解析：曲线C 是圆x 2＋y 2＝2，点(1,1)处的切线l 为x ＋y ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. 答案：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2 4．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为(22，0)，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：225．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为______________________．解析：椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，设焦点坐标为(±c,0)．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m ，可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ， 即直线l 的普通方程为x ＋y －m ＝0，经过焦点(±c,0)，m ＝±c ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，直线与圆相切，|m |2＝b ，m 2＝2b 2，c 2＝2a 2－2c 2，c 2a 2＝23，e ＝63.答案：636．(上海高考)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.解析：在直线l 上任取点P (ρ，θ)，在△OPM 中， 由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，即2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 5π6， 化简得ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，故f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.答案：1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ 7．(辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为 ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.5．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________________．解析：椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，设焦点坐标为(±c,0)．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m ，可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ， 即直线l 的普通方程为x ＋y －m ＝0，经过焦点(±c,0)，m ＝±c ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，直线与圆相切，|m |2＝b ，m 2＝2b 2，c 2＝2a 2－2c 2，c 2a 2＝23，e ＝63.答案：638．(福建高考)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心为(1,0)，半径r ＝1， 以为圆心到直线的距离d ＝22<1， 所以直线与圆C 相交．对应学生用书P30]简单曲线的极坐标方程及应用1.线与圆的位置关系问题．2．极坐标与直角坐标的互化公式：ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx ，常用方法有代入法、平方法等，还会用到同乘以(或除以)ρ等技巧．[例1] (新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.[例2] (江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． [解] 在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径 PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的．对于曲线的普通方程转化为参数方程，一定要看清以谁为参数，然后利用普通方程中x ，y 的关系求得参数方程．同样，转化前后要注意参数的范围．[例3] 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0,4)的直线的斜率 为参数． [解] (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到 4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ， ∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 的任意一点，则y －4x ＝ (x ≠0)，将y ＝ x ＋4代入方程，得x [(4＋ 2)x ＋8 ]＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2( ≠0)，∵曲线上还有一点A (0,4)，∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2( ≠0)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2( 为参数)．[例4] 分别在下列两种情况下，把曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )cos θ，y ＝12(e t－e－t)sin θ，化为普通方程，并指出方程表示什么曲线．(1)θ为参数，t 为非零常数； (2)t 为参数，θ(θ≠k π2， ∈ )为常数．[解] (1)∵t ≠0时，∴cos θ＝x12(e t ＋e －t )，sin θ＝y12(e t －e －t )，消去θ得x 214(e t ＋e －t )2＋y 214(e t －e －t )2＝1.∵(e t ＋e －t )2>(e t －e －t )2.∴方程表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆．(2)∵θ≠k π2( ∈ )，∴⎩⎨⎧e t ＋e －t＝2x cos θ，e t－e－t ＝2y sin θ，平方后相减得4＝4x 2cos 2θ－4y 2sin 2θ，即x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1. 方程表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线.过定点(x 0，y 0)，倾斜角为θ的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，其中|t |表示直线上任意一点到定点的距离，其应用十分广泛，解决问题要注意判断直线的参数式是否符合标准形式，否则t 无几何意义．[例5] (湖南高考改编)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，求a 的值．[解] 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝⎛⎭⎫舍去－32. [例6] (江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．[解] 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.位置关系，这是综合应用考查的重点．解决此类问题时要注意数形结合思想的运用．[例7] (辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1 (t ∈R 为参数)．求a ，b 的值．[解] (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2.解得a ＝－1，b ＝2.[例8] (新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由已知可得 A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)， C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。
高三数学选修4-4-平摆线
线方程的获得过程，体会坐标系和参数方程的作用和意 义，渗透数形结合的数学思想.
通过自主探索、合作交流，学生历经先想一想，再实 际操作，最后追究其道理，完善认知结构.
通过在直观的基础上分析、抽象、论证、推导，层层 深入，培养学生的创新思维和发散思维的能力，体会参 数对研究平摆线、渐开线的作用.
２、教学内容
• 本节课的主要教学内容是借助教具和计算 机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点 的轨迹（平摆线），了解平摆线的生成过 程，并能推导出它们的参数方程。通过 “阅读”，了解其他摆线的生成过程，了 解摆线在实际中的应用实例。
3、教学目标
• 知识技能目标 了解平摆线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。
4、教学重点，难点
• 本节课的教学重点是了解平摆线的生成 过程，并推导出它的参数方程。难点是 摆线参数方程的推导。
二、教法分析：探究发现教学法.
遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现 代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线， 始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过 学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教 师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实， 于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通 过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主 动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分 的发挥。
3、教学目标
• 情感、态度与价值观目标 通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感 受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与 严谨，逐步养成质疑的科学精神。
了解摆线在实际中的应用实例，展现人文数学精 神，体现数学文化价值及其在社会进步、人类文 明发展中的重要作用。
苏教版高中数学选修4-4 4.4.4平摆线和圆的渐开线_学案(无答案)
平摆线与圆的渐开线【学习目标】1．知识目标：了解圆的渐开线的参数方程2．能力目标：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤3．德育目标：学习用数学的眼光来欣赏曲线【学习重难点】了解摆线的生成过程及它的参数方程【学习指导】了解摆线生成过程，欣赏曲线形成过程【学习过程】一、自主学习探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程我们把笔尖画出的曲线叫做：相应的定圆叫做：合作学习：渐开线的参数方程：A摆线的定义：摆线的参数方程为：思考：圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？圆的摆线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【达标检测】1．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的两点A 、B 对应的参数分别是3π和2π，求A 、B 两点的距离2．当3=22ππϕ，，求渐开线cos sin sin cos {x y ϕϕϕϕϕϕ=+=-，上的对应点A 、B ，并求出A 、B 的距离3．已知一个圆的摆线过一定点（2，0），请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程及对应的圆的渐开线的参数方程4．已知一个圆的摆线方程是44sin44cos{xyϕϕϕ=-=-ϕ为参数，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程【学习拓展】曲线的参数方程【学习小结】1．圆的渐开线参数方程：2．圆的摆线的参数方程：【学后反思】B M Oϕx。
北师大版高中数学选修4-4 2.4平摆线和渐开线_学案设计(无答案)
平摆线和渐开线
【学习目标】
1．掌握平摆线和渐开线的定义。
2．熟练运用平摆线和渐开线解决问题。
3．亲历平摆线和渐开线性质的探索过程，体验分析归纳得出平摆线和渐开线性质结论的过程，发展探究、交流能力。
【学习重难点】
重点：掌握平摆线和渐开线的定义。
难点：平摆线和渐开线性质的实际应用。
【学习过程】
一、新课学习
知识点一：平摆线
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫做平摆线。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．平摆线的定义是什么？
2.平摆线有什么作用？
2．知识点二：渐开线
在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹叫做渐开线。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．什么是渐开线？
2．渐开线有什么作用？
三、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？
四、习题检测
1．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为32mm，求齿廓线的渐开线的参数方程。
2．平面直角坐标系中，若圆的摆线过点（1,0），求这条摆线的参数方程。
平摆线与圆的渐开线 学案 2016-2017学年高中数学 苏教版 选修4-4
4.4.4 平摆线与圆的渐开线1．平摆线的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞＜α＜＋∞)．预习交流1圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．圆的渐开线的参数方程半径为r 的圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r(sin φ－φcos φ)(其中φ为参数)．预习交流2圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB 相对于Ox 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．一、求平摆线的参数方程已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．思路分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)．已知一个圆的摆线过点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．解：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，可得cos φ＝1，解得φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，可得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因圆的摆线过点(1,0)，所以r (2k π－sin 2k π)＝1，解得r ＝12k π(k ∈Z )．又r ＞0，所以k ＞0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.故所求摆线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝12k π(φ－sin φ)，y ＝12k π(1－cos φ)(φ为参数，k ∈N ＋)．要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义．二、圆的渐开线的参数方程当φ＝π4，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．思路分析：把φ＝π4，π2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而求出两点间的距离．解：把φ＝π4，π2分别代入参数方程得⎩⎨⎧x ＝22⎝⎛⎭⎫1＋π4，y ＝22⎝⎛⎭⎫1－π4和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1，即A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22⎝⎛⎭⎫1＋π4，22⎝⎛⎭⎫1－π4，⎝⎛⎭⎫π2，1， ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1＋π4－π22＋⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1－π4－12＝14(5－22)π2－42π＋32－16 2.给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______；当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是______．答案：3 ⎝⎛⎭⎫3π2，3解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)，所以基圆半径r ＝3.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎨⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝3⎝⎛⎭⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3.所以当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是⎝⎛⎭⎫3π2，3. 圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．半径为4的圆的摆线方程为__________． 答案：4(sin )()4(1cos )x y ϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝－，为参数＝－解析：把r ＝4代入摆线参数方程即可．2．半径为2的圆的渐开线方程为__________． 答案：2(cos sin )()2(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝＋，为参数＝－3．面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)解析：S ＝36π，∴r ＝6.∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)．4．面积为64π的圆的渐开线的参数方程为__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(cos φ＋φsin φ)，y ＝8(sin φ－φcos φ)(φ为参数)解析：S ＝64π，∴r ＝8.∴渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(cos φ＋φsin φ)，y ＝8(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．5．已知圆C 的参数方程是16cos ()26sin x y ααα⎧⎨⎩＝＋，为参数＝－＋，直线l 对应的普通方程是x－y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系； (2)写出平移后圆的平摆线方程；(3)求平移后圆的平摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平移后圆的平摆线的参数方程是6(sin )()6(1cos )x y ϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝－，为参数＝－ (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即平移后圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。
2016-2017学年高中数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
第二十页，编辑于星期五：十六点 四十七分。
2．圆的渐开线
x＝ y＝
2cos φ＋φsin φ， 2sin φ－φcos φ
(φ为参数)上与φ＝
π 4
对应点的直角
坐标为( )
A.1＋π4，1－π4
B.1－π4，1＋π4
C.－1－π4，1－π4 【答案】 A
D.1＋π4，－1－π4
第十九页，编辑于星期五：十六点 四十七分。
【解析】 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开 线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不 论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只 是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.
第六页，编辑于星期五：十六点 四十七分。
[小组合作型]
圆的渐开线的参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B 对应的参数分别是π3和π2，求A，B两点的距离.
【导学号：91060027】 【思路探究】 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数代入 参数方程可得对应的A，B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A，B 之间的距离．
阶
阶
段
段
一
三
四 渐开线与摆线
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
第一页，编辑于星期五：十六点 四十七分。
1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆 线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生 成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)
2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内 摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)
苏教版高二数学选修4-4 平摆线与圆的渐开线 学案
4.4.4 平摆线与圆的渐开线1．平摆线的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞＜α＜＋∞)．预习交流1圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．圆的渐开线的参数方程半径为r 的圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r(sin φ－φcos φ)(其中φ为参数)．预习交流2圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB 相对于Ox 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．一、求平摆线的参数方程已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．思路分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)．已知一个圆的摆线过点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．解：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，可得cos φ＝1，解得φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，可得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因圆的摆线过点(1,0)，所以r (2k π－sin 2k π)＝1，解得r ＝12k π(k ∈Z )．又r ＞0，所以k ＞0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.故所求摆线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝12k π(φ－sin φ)，y ＝12k π(1－cos φ)(φ为参数，k ∈N ＋)．要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义．二、圆的渐开线的参数方程当φ＝π4，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．思路分析：把φ＝π4，π2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而求出两点间的距离．解：把φ＝π4，π2分别代入参数方程得⎩⎨⎧x ＝22⎝⎛⎭⎫1＋π4，y ＝22⎝⎛⎭⎫1－π4和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1，即A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22⎝⎛⎭⎫1＋π4，22⎝⎛⎭⎫1－π4，⎝⎛⎭⎫π2，1， ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1＋π4－π22＋⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1－π4－12＝14(5－22)π2－42π＋32－16 2.给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______；当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是______．答案：3 ⎝⎛⎭⎫3π2，3解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)，所以基圆半径r ＝3.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎨⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝3⎝⎛⎭⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3.所以当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是⎝⎛⎭⎫3π2，3. 圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．半径为4的圆的摆线方程为__________． 答案：4(sin )()4(1cos )x y ϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝－，为参数＝－解析：把r ＝4代入摆线参数方程即可．2．半径为2的圆的渐开线方程为__________． 答案：2(cos sin )()2(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝＋，为参数＝－3．面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)解析：S ＝36π，∴r ＝6.∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)．4．面积为64π的圆的渐开线的参数方程为__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(cos φ＋φsin φ)，y ＝8(sin φ－φcos φ)(φ为参数)解析：S ＝64π，∴r ＝8.∴渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(cos φ＋φsin φ)，y ＝8(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．5．已知圆C 的参数方程是16cos ()26sin x y ααα⎧⎨⎩＝＋，为参数＝－＋，直线l 对应的普通方程是x－y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系； (2)写出平移后圆的平摆线方程；(3)求平移后圆的平摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平移后圆的平摆线的参数方程是6(sin )()6(1cos )x y ϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝－，为参数＝－ (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即平移后圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。
(江苏专用版)2018-2019学年高中数学4.4.4平摆线与圆的渐开线学案苏
4.4.4 平摆线与圆的渐开线1．了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程．2．在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位．3．体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性．[基础·初探]1．平摆线(1)如图4-4-7所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P，开始时位于O处，圆(半径为r)在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过θ(弧度)角后，圆与直线相切于B，线段OB的长等于的长，即OB＝rθ.这就是圆周上的定点P在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件．我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．图4-4-7(2)以定直线为x轴，点O为原点建立直角坐标系，则定点P(x，y)的参数方程为x＝rθ－sin θ，(θ为参数)．y＝r－cos θ2．圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为r的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．[思考·探究]1．用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参．其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置)，则可以用曲线的参数方程作为答案．2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB相对于Ox转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P由参数φ惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________摆线已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．【自主解答】根据圆的摆线的参数方程的表达式x＝rφ－sin φ，y＝r－cos φ(φ为参数)可知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式．令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1.所以r＝12kπ.又根据实际情况可知r是圆的半径，故r>0. 所以，应有k>0且k∈Z，即k∈N＋.所以，所求摆线的参数方程是。
苏教版数学高一苏教版选修4-4教案 4.4.7《圆的渐开线与摆线》
54321-1-2-3-4-6-4-2246jDO'OBC第七课时 圆的渐开线与摆线一、教学目标：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系， 设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。
⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）（三）、例题与训练题：例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。
变式训练2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3： 求摆线⎩⎨⎧-=-=ty tt x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。
高中数学 4.4.4 平摆线与圆的渐开线课件 苏教版选修4-4
准双曲面齿轮
第二十页，编辑于星期五：十点 三十八分。
小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
第二十一页，编辑于星期五：十点 三十八分。
• 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，假设两圆 外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
第五页，编辑于星期五：十点 三十八分。
4、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
第十四页，编辑于星期五：十点 三十八分。
曲齿
第十五页，编辑于星期五：十点 三十八分。
人字齿
第十六页，编辑于星期五：十点 三十八分。
相交轴齿轮传动机构〔圆锥齿轮传动机构〕
直齿
第十七页，编辑于星期五：十点 三十八分。
斜齿
第十八页，编辑于星期五：十点 三十八分。
曲线齿
第十九页，编辑于星期五：十点 三十八分。
动点〔笔尖〕满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
当 外 端 展 开 到 点 M 时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 A B ，
展 开 后 成 为 切 线 ， 所 以 切 线 B M 的 长 就 是 A B 的 长 ，
这 是 动 点 （ 笔 尖 ） 满 足 的 几 何 条 件 。
平摆线与圆的渐开线
第一页，编辑于星期五：十点 三十八分。
1、摆线的定义
思考：P51 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直
的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
摆线在它与定直线的两个相邻交点
2016年秋高中人教版数学选修4-4课件：2.4平摆线与圆的渐开线
5、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r
y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
设 从 设开 点 点O始 MM的分时D 坐别定标做点A为AMB(在，x,原xy轴)点 ,取的，垂为圆线参滚，数动垂，了足xy根分角据别后rr点((是与1MCxE满轴，c足s相xDoi。的ns切几于))何点., (条A，件为圆，参心有在数点)B。
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
第十八页，编辑于星期五：二十二点 五分。6、摆线的参数方程源自MByO A
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：
x y
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
思考：
在摆线的参数方程中，参数
摆线在它与定直线的两个相邻
上述问题抽象成数学问题就是：当交一点个之间圆的沿部分着叫一做一条个定拱。直 线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这 个动点满足的几何条件。
线段OA的长等于MA的长，即OA r
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
所以BM (r)e2,即
BM (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
苏教版数学高二- 选修4-4试题 4.4.4平摆线与圆的渐开线
4.4.4 平摆线与圆的渐开线1．求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标． 【解】 由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0，∴sin t ＝1，∴t ＝2kπ＋π2(k ∈Z)， 又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1. ∴交点的直角坐标为(π2－1,1)． 2．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos φ＋φsin φ，y ＝r sin φ－φcos φ(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．【解】 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝r cos φ＋φsin φ，0＝r sin φ－φcos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ＝0，r ＝3.所以基圆的面积S ＝πr 2＝π×32＝9π. 3．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．【解】 因为摆线的生成圆的半径r ＝40 mm ，所以此摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝40t －sin t ，y ＝401－cos t .它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．4．抛物线y 2－2x －6ysin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，求顶点的轨迹的普通方程．【解】 抛物线方程可化为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，所以其顶点的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，普通方程为x 216＋y 29＝1. 5．已知椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不在x 轴上的一点，求△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【解】 F 1(－3,0)、F 2(3,0)，设P(5cos θ，4sin θ)、G(x ，y)，所以G 的轨迹方程为⎩⎨⎧x＝5cos θ3，y＝4sin θ3(θ为参数，sin θ≠0)．图4－4－86．如图4－4－8，已知半圆x2＋y2＝1(y≥0)，定点A(－2,0)，设B为圆上一动点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心，求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线．【解】设轨迹上任意一点为P(x，y)，又设D(x0，y0)，∠xOB＝θ(0≤θ≤π)，则B(cos θ，sin θ)，AB→＝(cos θ＋2，sin θ)，AD→＝(x0＋2，y0)．由AB→⊥AD→且|AB→|＝|AD→|，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋2x0＋2＋y0sin θ＝0，cos θ＋22＋sin2θ＝x0＋22＋y20.解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－sin θ－2，y0＝cos θ＋2.因为P是BD的中点，所以⎩⎨⎧x＝cos θ－sin θ－22＝22cosθ＋π4－1，y＝cos θ＋sin θ＋22＝22sinθ＋π4＋1(0≤θ≤π)．消去θ，得点P的轨迹方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝12(－2＋22≤x≤－12，12≤y≤2＋22)，它表示以(－1,1)为圆心，22为半径的半圆的一部分．7．如图4－4－9所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数．求半径为2的圆的摆线的参数方程．图4－4－9【解】当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB →＝(2α，2)，向量MB →＝(2sin α，2cos α)，BM →＝(－2sin α，－2cos α)，因此OM →＝OB →＋BM →＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点M 的坐标为(x ，y)，向量OM →＝(x ，y)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2α－sin α，y ＝21－cos α.这就是所求摆线的参数方程．教师备选8．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．【解】 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x ，y)，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则AM ＝＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM →＝(x ，y)，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ＋θsin θ，y ＝4sin θ－θcos θ.这就是所求圆的渐开线的参数方程．。
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线学案(含解析)4-4
四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线,又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1）圆的渐开线方程：错误!（φ为参数）．(2)摆线的参数方程：错误!（φ为参数)．求圆的渐开线的参数方程求半径为4的圆的渐开线的参数方程．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0―→的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y）,绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，弧错误!的长和线段AM的长相等,记错误!和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则｜AM｜＝错误!＝4θ。
作AB垂直于x轴,过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得错误!＝（4cos θ，4sin θ）．由几何知识知∠MAB＝θ，错误!＝（4θsin θ，－4θcos θ），得错误!＝错误!＋错误!＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ）＝（4（cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又错误!＝(x,y）,因此有错误!(θ是参数）．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤（1)建立合适的坐标系,设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．（2）取定点运动中产生的某一角度为参数．(3）用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到错误!的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线错误!(t是参数)上与t＝错误!对应的点的直角坐标为（)A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5。
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4.4.4 参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线
自主整理
1.平摆线的参数方程为______________（θ是参数）.
答案:⎩⎨⎧-=-=)
cos 1()sin (θθθr y r x 2.平摆线是由无数个呈______________排列的拱组成，每个拱的高为______________，拱的底为______________，即在x 轴上每隔______________拱将重复一次.
答案:周期性 2r 2πr 2πr
3.圆的渐开线的参数方程为______________（θ是参数，其中r 为基圆的半径）.
答案: ⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos θθθθθθr y r x 高手笔记
1.平摆线的形成原理
设想自行车外胎上粘了一块口香糖，车轮在平地上向前沿直线滚动时，口香糖就在空中描绘出一条曲线，这条曲线就是平摆线，也称旋轮线（如图所示）.
原理：当一动圆沿一条线作纯滚动时，动圆上任意点的轨迹称为摆线．引导动圆滚动的线称为导线．当动圆沿直导线滚动时形成平摆线；当导线为圆，动圆在导圆上作外切滚动时形成外摆线，作内切滚动时形成内摆线．
2.圆的渐开线的形成原理
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘上，铅笔系在绳的外端，把绳拉直，然后绕圆盘逐渐展开，保持细绳始终与圆相切，笔所画出的曲线，即细绳端点的轨迹，叫做圆的渐开线，圆盘就叫渐开线的基圆（如图所示）.
名师解惑
1.我们知道圆、椭圆、直线的参数方程中，参数都具有相应的几何意义，根据其几何意义可以给我们研究问题带来很多方便．那么，圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数θ是否也具有一定的几何意义呢？
剖析：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数θ是指绳子外端运动时绳子上的定点P 相对于圆心的张角.如下图，其中的∠AOB 即是角θ.显然点P 由参数θ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数θ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.
2.我们知道，圆锥曲线可以用普通方程表示，也可以用参数方程表示，还可以用极坐标方程表示，那么对于渐开线的参数方程是否也可以化为普通方程表示？
剖析：用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接、简便．有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义．如圆的渐开线普通方程，可以根据其参数方程⎩⎨⎧-=+=)
cos (sin ),sin (cos θθθθθθr y r x （θ为参数），消去参数θ可得到普通方程,
但根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x 、y 间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难．而对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观.所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程．
3．根据建立曲线的参数方程的过程，总结应用向量方法建立运动轨迹的参数方程的基本思路和步骤.
剖析：（1）建立合适的坐标系；（2）取定某个角度（以弧度为单位）为参数；（3）用三角知识写出相关向量的坐标表达式；（4）用向量运算得到OM 的坐标表达式，得到曲线的参数方程.
讲练互动
【例题1】给出圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧+=+=θ
θθθθθcos 3sin 3,sin 3cos 3y x （θ为参数）.根据参数方程
可以看出该渐开线的基圆半径是___________，当参数θ取2
π时,对应的曲线上的点的坐标是____________.
解析：本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程⎩⎨⎧-=+=)
cos (sin ),sin (cos θθθθθθr y r x （θ为参数）进行对照可求r 的值，然后把θ＝2π分别代入x 和y ，即得对应的点的坐标. 所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎨
⎧-=+=),cos (sin 3),sin (cos 3θθθθθθy x 所以基圆半径r ＝3.然后把θ＝
2π分别代入x 和y ，可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=),2cos 22(sin 3),2sin 22(cos 3ππππππy x 即⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23y x π 所以当参数θ取
2π时,对应的曲线上的点的坐标是（23π，3）. 答案：3 （2
3π，3） 绿色通道
解答此类题目，一定要记住圆的渐开线的参数方程的形式，并且要知道每个字母的意义. 变式训练
1.写出半径为２的基圆的渐开线方程．
思路分析：直接利用圆的渐开线的参数方程公式．
解：方程为⎩⎨⎧-=+=)
cos (sin 2),sin (cos 2θθθθθθy x （θ是参数）.
2．已知圆的直径为2，其渐开线上两点A 、B 对应的参数分别是3π和2
π，求A 、B 两点的距离．
思路分析：首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的参数方程，再根据A 、B 对应的参数值代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A 、B 之间的距离．
解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线的参数方程是⎩⎨
⎧-=+=θθθθθθcos sin ,sin cos y x （θ为参数），分别把θ＝3π和θ＝2
π代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A()6
32,633(ππ-+)，B(2π,1).那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB|＝22)1633()2633(
--+-+πππ＝723366)3613(612+---ππ，即点A 、B 之间的距离为723366)3613(6
12+---ππ. 【例题2】已知一个圆的摆线过点（1，0），请写出该摆线的参数方程.
思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩
⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (θθθr y r x （θ为参数）,可知只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点（1，0）代入参数方程求出r 的值，再把求出的r 的值代入参数方程即可.
解：圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=)
cos 1(),sin (θθθr y r x （θ为参数），令r(1-cosθ)＝0，可得cosθ=1，
解得θ=2kπ(k ∈Z ).代入x=r(θ-sinθ),可得x=r(2kπ-sin2kπ).又因圆的摆线过点（1，0），所以r(2kπ-sin2kπ)＝1.解得r=π
k 21（k ∈Z ）.又根据实际情况可知r 是圆的半径,故r ＞0．所以，应有k ＞０且k ∈Z ，即k ∈N +. 故所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(21),sin (21θθθkx y kx x （θ为参数，其中k ∈N +）. 黑色陷阱
本题易错点是误把点（1，0）中的1或0当成θ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cosθ=1时，直接得出θ=0，从而导致答案不全面．
变式训练
3．已知一个圆的摆线过一定点（2，0），请写出当该圆的半径最大时，该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
思路分析：根据圆的摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)
cos 1(),sin (θθθr y r x （θ为参数）,只需把点（2，0）代
入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可.
解：令y ＝0，可得r(1-cosθ)＝0，即得cosθ=1.所以θ=2kπ(k ∈Z ).
代入x=r(θ-sinθ),得x=r(2kπ-sin2kπ).又因为x=2,所以r=
πk 1(k ∈Z ). 又由实际可知r ＞0,所以r ＝πk 1（k ∈N +）.易知，当k ＝1时，r 取得最大值π
1． 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1θθθπθθθπy x （θ为参数）； 圆的渐开线的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1θθθπθθθπy x （θ为参数）.。