高中数学人教A版选修4-4 1.4 柱坐标系与球坐标系简介 课后检测 (3)

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人教A版数学【选修4-4】ppt课件:1-4第一讲-坐标系

人教A版数学【选修4-4】ppt课件:1-4第一讲-坐标系

3.点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),球 坐标为(r,φ,θ),则 空间直角坐标(x,y,z) x= y= z= x= y= z= 转换公式 , ,
柱坐标(ρ,θ,z)
球坐标(r,φ,θ)
, ,
1.(ρ,θ,z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中,方程 ρ=ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点,半径为 ρ0 的圆,方程 θ=θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线.而在空间的柱坐标系中,方程 ρ=ρ0 表示中心轴为 z 轴,底 半径为 ρ0 的圆柱面, 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的. 方 程 θ=θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面.方程 z=z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面. 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面.
π π 2,6,4,则点 M 的柱坐
)
π π 2,4, 6 B. 2,4, 6 π π 2,6,2 2 D. 2,6, 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2,6,4,即 r=2 2,φ= , 6
π θ= ,故点 M 的直角坐标为 4 π π x=rsinφcosθ=2 2sin cos =1, 6 4 π π y=rsinφsinθ=2 2sin sin =1, 6 4 π z=rcosφ=2 2cos = 6. 6
2.球坐标系与球坐标
一般地,如图所示,建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点,连接 OP,记|OP|=r,OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q,Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示.这样空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做 P 的________,记作 P(r,φ,θ), 其中 r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.

人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件

人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题,应该在课堂上标出来,下课时,在老师还未离开教室的时候,要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室,也可以向同学请教,及时消除疑难问题。做到当堂知识,当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时,如果有些东西没有记下来,不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容,可以在笔记本上留下一定的空间。下课后,再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ 之间的变换关系为:____x_2_+__y2_+__z_2=__r_2,___.
x=rsin φcos θ , y=rsin φsin θ , z=rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1.设
P







2,π4,1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________.
2.设点 M 的球坐标为2,34π,34π,它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______.
(-1,1,- 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3,AD=6,AA1=12,以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴, 立空间直角坐标系,求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标.
变式 训练
1.建立如下图所示的柱坐标系,写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标.
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M




人教A版高中数学教材目录(必修+选修)

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人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.2对数函数2.3幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1函数与方程3.2函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1随机抽样阅读与思考一个着名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2古典概型3.3几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质1.5函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.6三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3实习作业小结复习参考题第二章数列2.1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2.2双曲线2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1-2??第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1流程图4.2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2.3双曲线探究与发现2.4抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ,σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”2.“边角边”3.“角边角”4.“角角角”思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵(一)几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换(二)变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质(一)线性变换的基本性质(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Anα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险(平均损失)2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。

2019高中数学选修4-4人教版课件:第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

2019高中数学选修4-4人教版课件:第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)点 M 的直角坐标为(1,- 3,4),则点 M 的柱坐
5π 标为2, 3 ,4.(
) N 的直角坐
(2)点 N
7π 的柱坐标为2, 6 ,-1,则点
标为(- 3,-1,-1).(
)
(3) 点 S 的 直 角 坐 标 (1 , 0 , - 1) 化 为 球 坐 标 为
ρ= x2+y2, r= x2+y2+z2, 得 及 y z tan θ= (x≠0) cos φ= . x r r= 3, ρ= 2, 所以 及 3 tan θ = 1 cos φ = . 3 π 3 结合图得 θ= ,由 cos φ= 得 tan φ= 2. 4 3
解析:如图所示, x2+y2 5 tan φ= = , z 3 y tan θ=x=2. 答案: 5 3 2
类型 1 柱坐标、球坐标的确定(自主研析) [典例 1] 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,
如右图所示, 建立空间直角坐标系 Axyz, 以 Ax 为极轴. 求 点 C1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标.
A.(2,1,0) C.(0,1,1)
解析: 因为 x=ρcos θ=2cos θ=2, y=ρsin θ=2sin
θ=0,
z=1, 所以直角坐标为(2,0,1). 答案:B
4.已知点 A 坐标为( )
π 的球坐标为3, 2
π , ,则点 A 的直角 2
A.(3,0,0) C.(0,0,3)
B.(0,3,0) D.(3,3,0)
π π 解析:因为 x=3×sin ×cos =0, 2 2 π π y=3×sin ×sin =3, 2 2

高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介学案 新人教A版选修4-4

高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介学案 新人教A版选修4-4

四 柱坐标系与球坐标系简介1.借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法. 2.与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较,体会它们的区别与联系.1.柱坐标系(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz ,设P 是空间任意一点,它在Oxy 平面上的射影为Q ,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组________(z ∈R )表示,这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z )之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z )叫做点P 的柱坐标,记作________,其中________________________.(2)空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为__________ 【做一做1-1】 设点P 的直角坐标为(1,1,3),则它的柱坐标是__________. 【做一做1-2】 柱坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是________. 2.球坐标系(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz ,设P 是空间任意一点,连接OP ,记|OP |=r ,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ,设P 在Oxy 平面上的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ.这样点P 的位置就可以用有序数组________表示.这样,空间的点与有序数组(r ,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r ,φ,θ)叫做点P 的球坐标,记作__________,其中______________________.(2)空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,φ,θ)之间的变换关系为______________在测量实践中,球坐标中的角θ称为被测点P (r ,φ,θ)的方位角,π2-φ称为高低角.【做一做2】 已知点M 的球坐标为(4,π4,3π4),则它的直角坐标是______,它的柱坐标是______.答案:1.(1)(ρ,θ,z ) P (ρ,θ,z ) ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z <+∞(2)⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z .【做一做1-1】 (2,π4,3) 【做一做1-2】 以Oz 轴所在直线为轴,且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面 2.(1)(r ,φ,θ) P (r ,φ,θ) r ≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π(2)⎩⎪⎨⎪⎧x =r sin φcos θ,y =r sin φsin θ,z =r cos φ.【做一做2】 (-2,2,22) (22,3π4,22)1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析:它们都是三维的坐标,球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的. 在直角坐标中,我们需要三个长度x ,y ,z ,而在柱坐标与球坐标中,我们需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置,需要ρ,θ,z 或者r ,φ,θ.空间直角坐标:设点M 为空间一已知点.我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴,它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ,Q ,R ,这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ,y ,z .于是空间的一点M 就惟一地确定了一个有序数组x ,y ,z .这组数x ,y ,z 就叫做点M 的坐标,并依次称x ,y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示).坐标为(x ,y ,z )的点M 通常记为M (x ,y ,z ).这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ,y ,z )之间的一一对应关系.如果点M 在yOz 平面上,则x =0;同样,zOx 面上的点,y =0;如果点M 在x 轴上,则y =z =0;如果M 是原点,则x =y =z =0等.几种三维坐标互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.2.建立空间坐标系的方法剖析:我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点,在实际应用时,我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系,借助坐标系方便、简捷地研究问题.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系. 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是图形中有一定的对称关系(如:正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等),我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的平面,我们可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,建立空间坐标系.题型一 直角坐标与柱坐标的互化【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,1),求它在柱坐标系中的坐标.分析:把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标,利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z ,求出ρ,θ即可.反思:由直角坐标求柱坐标,可以先设出点M 的柱坐标为(ρ,θ,z ),代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z求ρ;也可以利用ρ2=x 2+y 2求ρ,利用tan θ=yx求θ,在求θ时,要特别注意角θ所在的象限,从而确定θ的取值.题型二 直角坐标与球坐标的互化【例2】 已知点M 的球坐标为(2,3π4,3π4),求它的直角坐标.分析:利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x =r sin φcos θ,y =r sin φsin θ,z =r cos φ求解,其中r =x 2+y 2+z 2,cos φ=z r ,tan θ=yx. 反思:由直角坐标求球坐标时,可先设点M 的球坐标为(r ,φ,θ),利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x =r sin φcos θ,y =r sin φsin θ,z =r cos φ求出r ,φ,θ即可;也可以利用r 2=x 2+y 2+z 2,tan θ=y x,cos φ=zr来求.需要特别注意的是在求φ和θ时,要先弄清楚点M 所在的位置. 题型三 求空间一点的坐标【例3】 一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,…,十六区,我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ,每相邻两排的间距为1 m ,每层看台的高度为0.7 m ,现在需要确定第九区第四排正中的位置A ,请建立适当的坐标系,把点A 的坐标求出来.反思:找空间中一点的柱坐标,与找平面极坐标是类似的,需要确定极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度.题型四 柱坐标系、球坐标系的应用【例4】 已知点P 1的球坐标是P 1(23,π3,π4),P 2的柱坐标是P 2(6,π6,1),求|P 1P 2|.分析:可把两点坐标均化为空间直角坐标,再用空间两点间的距离公式求距离.反思:柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决. 题型五 易错辨析【例5】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 错解:点M 的球坐标为(2,2,2).答案:【例1】 解:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z ), 则有⎩⎪⎨⎪⎧1=ρcos θ,1=ρsin θ,z =1,解之得ρ=2,θ=π4.因此,点M 的柱坐标为(2,π4,1).【例2】 解:设点M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则有⎩⎪⎨⎪⎧x =2sin3π4cos 3π4=2×22-22=-1,y =2sin 3π4sin 3π4=2×22×22=1,z =2cos 3π4=-22=- 2.∴点M 的直角坐标为(-1,1,-2).【例3】 解:以圆形体育场中心O 为极点,选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ,极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16,就是OA 在地平面上的射影,A 距地面的高度为2.8 m ,因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.∴点A 的柱坐标为(203,17π16,2.8).【例4】 解:设P 1的直角坐标为P 1(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1=23sin π3cos π4=322,y 1=23sin π3sin π4=322,z 1=23cos π3=3,∴P 1的直角坐标为(322,322,3).设P 2的直角坐标为P 2(x 2,y 2,z 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 2=6cos π6=322,y 2=6sin π6=62,z 2=1,∴P 2的直角坐标为(322,62,1).∴|P 1P 2|=0+322-622+3-2=30-102. 【例5】 错因分析:球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆,错用公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z .正解:∵r =x 2+y 2+z 2=12+12+22=2,z =r cos φ=2,∴cos φ=22.∴φ=π4. 又∵tan θ=y x =1,∴θ=π4.∴点M 的球坐标为(2,π4,π4).1在空间直角坐标系Oxyz 中,方程x =1表示( ).A .点B .直线C .平面D .以上都不对 2在空间球坐标系中,方程r =2(0≤φ≤2π,0≤θ<2π)表示(). A .圆 B .半圆 C .球面 D .半球面 3点M 的直角坐标为1,-2),则它的球坐标为( ).A.3,)46ππ B.,)46ππ C.,)43ππ D .3,)43ππ4空间点P 的柱坐标为(6,3π,4),则点P 关于z 轴的对称点为________. 5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来.(1)(2,0,-2);(2)(π,π,π)6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来. (1)(2,,63ππ);(2)(2,7,44ππ).答案:1.C 由空间点的直角坐标的定义知,方程x =1表示与x 轴垂直且到原点的距离为1的平面.2.D 由空间点的球坐标的定义可知,方程r =2(0≤φ≤2π,0≤θ<2π)表示半球面. 3.A 设M 的球坐标为(r ,φ,θ),则sin cos ,1sin sin ,2cos ,r r r ϕθϕθϕ==⎨⎪-=⎩解得3,4.6r πϕπθ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4.(6,43π,4) 5.解:设点的直角坐标为(x ,y ,z ). (1)∵(ρ,θ,z )=(2,0,-2),∴2cos 02,sin 00,2,x y z ==⎧⎪==⎨⎪=-⎩∴(2,0,-2)为所求点的直角坐标. (2)∵(ρ,θ,z )=(π,π,π),∴cos ,sin 0,,x y z ππππππ==-⎧⎪==⎨⎪=⎩∴(-π,0,π)为所求点的直角坐标. 6.解:设点的直角坐标为(x ,y ,z ).(1)∵(r ,φ,θ)=(2,,63ππ),∴1sin cos 2sin cos ,632sin 2sin sin 63cos 2cos 6x r y r z r ππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪===⎪⎩∴1(2为所求点的直角坐标.(2)∵(r,φ,θ)=(2,7,44ππ),∴7sin cos2sin cos1,447sin sin2sin sin1,44cos2cos4x ry rz rππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===-⎨⎪⎪===⎪⎩∴(1,-1为所求点的直角坐标.。

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.4 柱坐标系与球坐标系简介

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.4 柱坐标系与球坐标系简介
栏 目 链 接

空间点 P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)
2 2 2 2 x + y + z = r , 之间的变换关系为:__________________.
x=rsin φcos θ , y=rsin φsin θ , z=rcos φ
栏 目 链 接
栏 目 链 接ຫໍສະໝຸດ 根据球坐标与直角坐标的互化公式,得

y= z=
π π x= 2sin cos =0, 4 2 π π 2sin sin =1, 2 4 π 2cos =1. 4
栏 目 链 接
∴点 N 的直角坐标为(0,1,1).
1 ∴MN 的中点坐标为2,1,2.
栏 目 链 接

基础 梳理
空间点 P 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的
x=ρcos θ , 变换关系为:________________. y=ρsin θ , z=z
栏 目 链 接

2.球坐标系. 建立空间直角坐标系 Oxyz,设 P 是空间任意一点,连接 OP,记|OP|=r,OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ,P 在 Oxy 平面上的射影为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过 的最小正角为 θ, 点 P 的位置可以用有序数组(r, φ, θ)表示. 我 们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系 (或空间极坐标 系 ). 有序数组(r, φ, θ)叫作点 P 的球坐标, 其中 r≥0, 0≤φ≤π, 0≤θ<2π.

预习 思考
π 1 . 设 P 点 柱 坐 标 为 2,4,1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
(1,1,1) ____________ .

2014年人教A版选修4-4课件 4.柱坐标系与球坐标系简介

2014年人教A版选修4-4课件 4.柱坐标系与球坐标系简介
柱坐标与直角坐标的 变换公式 B O y x = r cosq , q r A Q y = r sinq , x z = z. 柱坐标系又称半极坐标系, 它是由平面极坐标系 及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
如: 一个圆形体育场, 自正东方向起, 按逆时针 方向等分为 12 个扇形区域, 项次记为一区, 二区, …, 十二区. 设圆形体育场的第一排与体育场中心 O 相距 300 m, 每相邻两排的间距为 1 m, 每层看台的高度为 0.6 m. 如何确定第九区第三排正中 A 的位置? 以正东方向为极轴, 以极轴为始边, 第九 O x 区的正中位置为终边 9区 17p . A 的角为 12 从中心到第三排的 水平距离为 300+2=302(m). 第三排的高度为 0.63=1.8(m). 所以点 A 的柱坐标为 A(302, 17p , 1.8). 12
P(r, j, q) r j y
j
O x = r sinj cosq , q A y = r sinj sinq , Q z = r cosj . x 在测量中, q 称为被测点的方位角, 90-j 称为高低角.
x
1. 柱坐标系 问题1. 在空间直角坐标系中, 一个点的位置是由 哪几个坐标组成? 若将空间直角坐标系的 y 轴取消, 将 xOy 平面用极坐标表示, 请你设计一下, 空间一个 点 P 的位置怎标表示? z x, y P(r q,, z z) ) 如图, 在空间直角坐标系中, 点 P 的位置由坐标 P(x, y, z) 确定. PQ⊥平面xOy, QA⊥Ox, B O y QB⊥Oy. q r A OA=x, OB=y, QP=z. Q 在 xOy 平面内, 以 x 轴为 x 极轴, 去掉 y 轴, 建立极坐标系. 则点 Q 的坐标为 Q(r, q ). 于是点 P 的位置可用坐标 P(r, q, z) 确定.

1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)

1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)

【解析】选D.由于点P的柱坐标为(ρ,θ,z)= (2, , 3) ,故 点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为 cos = 3 ,结合
6
图形,得P到直线Oy的距离为 ( 3)2 +( 3)2 = 6.
5.已知点M的球坐标为 (2 2, , ) ,则点M的柱坐为(
6 4
)
≨PN⊥直线Oy.
答案:3
6
三、解答题(共40分) 10.(12分)在球坐标系中,方程r=1表示空间中的什么曲 面?方程φ = 表示空间中的什么曲面?
4
【解析】方程r=1表示球心在原点且半径为1的球面;
方程φ= 表示顶点在原点,半顶角为 的上半个圆锥面,中
4 4
心轴为z轴.
11.(14分)已知球坐标系Oxyz中, M(6, , ),N(6, 2 , ),
3 3 3 3
求|MN|. 【解析】方法一:由题意知, |OM|=|ON|=6,∠MON= ,
3
≨△MON为等边三角形,≨|MN|=6.
=1 12.(14分)在柱坐标系中,求满足 0 2 的动点M 0 z 2
(ρ ,θ ,z)围成的几何体的体积. 【解析】根据柱坐标系与点的柱坐 标的意义可知,满足ρ=1,0≤θ
【解析】
6.球坐标系中,满足θ =
P(r,φ ,θ )的轨迹为( (A)点 (C)半平面
,r∈[0,+∞), φ ∈[0,π ]的动点 4
)
(B)直线 (D)半球面
【解析】选C.由于球坐标系中,θ=
φ∈[0,π],故射线OM平分∠xOy,由球坐标系的意义,动点 P(r,φ,θ)的轨迹为二面角x-OP-y的平分面,这是半平面, 如图.

高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4

高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4

将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1, 3,5),求它的柱坐标. [思路点拨] 由公式求出 ρ,再由 tan θ=xy求 θ.
已知点的直角坐标,确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ,尤其是θ,要注意求出tan θ后,还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π)).
1.点A的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标.

柱坐标系与球坐标系简介
1.柱坐标系
柱坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系 Oxyz,设 P 是空间任意一点,它在 Oxy 平面上的射影为 Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标,这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ,θ,z) (z∈R)表示.这 样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点 P 的柱坐标,记作 P(ρ,θ,z) ,其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_<__2_π_,__z_∈__R_.
解:ρ2=x2+y2=12+12=2,∴ρ= 2, 又tan θ=1,x>0,y>0,点在第一象限.
∴θ=π4,
∴点A的柱坐标为
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2,π4,1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4,π3,8,求它的直角坐标. [思路点拨] 直接利用公式求解.
已知柱坐标,求直角坐标,利用变换公式
x=ρcos θ, y=ρsin θ, z=z
即可.
3.点N的柱坐标为2,π2,3,求它的直角坐标.
x=ρcos θ, 解:由变换公式y=ρsin θ, 得
z=z, x=ρcos θ=2cosπ2=0,y=ρsin θ=2·sinπ2=2, 故点 N 的直角坐标为(0,2,3).

2019版三维方案数学同步人教A版选修4-4 第一讲 四 柱坐标系与球坐标系简介

2019版三维方案数学同步人教A版选修4-4 第一讲  四  柱坐标系与球坐标系简介



柱坐标系与球坐标系简介
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1.柱坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一 点,它在 Oxy 平面上的射影为 Q,用 (ρ, θ)(ρ≥0,0≤ θ< 2π) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标, 这时点 P 的位置可用有序 数组 (ρ,θ,z) (z∈ R)表示,这样,我们建立了空间的点与 有序数组(ρ, θ, z)之间的一种对应关系,把建立上述对应关 系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点 P 的柱 坐标,记作 P(ρ,θ,z) ,其中
即 ρ2= 12+( 3)2= 4,∴ ρ= 2. y tan θ= = 3,又 x> 0, y> 0. x
π π ∴ θ= ,∴点 A 的柱坐标为2, , 5. 3 3
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x= ρcos θ, (2)由变换公式y= ρsin θ, z= z π π 得 x= 4cos = 2, y= 4sin = 2 3, z= 8. 3 3 ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3, 8).


柱坐标与直角坐标的互相转化
[例 1] (1)设点 A 的直角坐标为(1, 3,5),求它的柱坐标.
π 的柱坐标为4, ,8,求它的直角坐标. 3
(2)已知点 P
[思路点拨]
直接利用变换公式求解.
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[ 解]
x= ρcos θ, 2 2 2 y = ρ sin θ ,得 ρ = x + y , (1)由变换公式 z= z,

人教版高中数学选修四目录

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人教版高中数学选修四目录相似三角形的判定及相关性质、直线与圆的位置关系、平面与圆柱面的交线、平面与圆锥面的交线、简单曲线的极坐标方程、简单曲线的极坐标方程是人教版高中数学选修课的四个知识。

人教版高中数学选修目录人教版数学选修4-1第一讲、相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四、直角三角形的射影定理第二讲、直线与圆的位置关系一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段第三讲、圆锥曲线性质的探讨一、平行射影二、平面与圆柱面的截线三、平面与圆锥面的截线人教版选修4-4目录第一讲、坐标系一、平面直角坐标系二、极坐标系三、简单曲线的极坐标方程四、柱坐标系与球坐标系简介第二讲、参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程四、渐开线与摆线高中数学选修4-5目录第一讲、不等式和绝对值不等式一、不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲、讲明不等式的基本方法一、比较法二、综合法与分析法三、反证法与放缩法第三讲、柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式第四讲、数学归纳法证明不等式一、数学归纳法二、用数学归纳法证明不等式必修、选修什么意思人教版必修1、2、3、4、5为所有学生必修,不分文理,将作为学业水平考试的考试内容和高考的必考内容。

1-1,1-2是选修一系列,文科生必学内容,高考的必考内容。

另外还有两个系列的选修课,理科生必修,高考必修。

考三四系列是选修系列,要根据各省情况选择学习。

高考的时候,你选的每一本书都会有一个问题,你可以从中选择一本。

必修系列和选修系列的区别在于,只有学业水平考试是必修的,而高考是全部。

人教A版高中数学选修4—4《坐标系与参数方程》简析

人教A版高中数学选修4—4《坐标系与参数方程》简析

烧 全鱼” ,是 解 析 几 何 教 学 中 必须 予 以 充 分 重 视 的 问 题。 教科 书在 这 方 面 作 出 了 努 力 , 如 , 出 问题 背 景 例 给
球 坐 标 系 简 介 , 中 以极 坐 标 系 为 重 点 ; 二讲 《 数 其 第 参
方程 》 内容 包 括 : , 曲线 的 参 数 方程 、 圆锥 曲线 的参 数 方 程 、 线 的参 数 方程 和 渐 开 线 与摆 线 , 中 以参 数 方程 直 其
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人教A 高中数学选修4 4 版 —
《 坐标系与参数方程》 简析
人 民教 育 出版社 中学数 学室 章建跃 郭慧清
一பைடு நூலகம்

内容安排与说明
二、 编写时 考虑的几个主要问题
1突 出 坐 标 法 的 核 心 概 念 地 位 , 调 数 形 结 合 。 . 强
坐 标 法 是 解 析 几 何 的 核 心 , 本 专 题 的 主 要 目 的 是
通 过 认 识 不 同 的坐 标 系的 特 点和 在 刻 画 几何 图形 或 描 述 自然 现 象 中 的 作 用 , 促 使 学 生 学 习 如 何 根 据 问 题 的
需要 建 立 适 当 的坐 标 系、 引 入适 当的 参 变量 来 表 示 曲 线 上点 的坐 标 及 其 方程 , 从而 更 深 入地 体 会 坐 标 法 。 因
为 重 点 。 专 题 中 , 形 结合 、 动 变化 、 对 与 绝 对 、 本 数 运 相
程 的 对 应 关 系 , 一 步 体 会 数 形 结 合 的 思 想 。 3) 为 解 进 ( 做
析 几 何 初 步 、 面 向量 、 角 函 数 等 内 容 的 综 合 与 深 化 , 平 三

人教版数学选修4-4课后练 1.4 柱坐标系与球坐标系简介 课后 含答案

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第一讲 1.4一、选择题1.空间直角坐标系Oxyz 中,下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( A ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫1,π2,2 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3,0 C .⎝⎛⎭⎪⎫3,π4,π6 D .⎝⎛⎭⎪⎫3,π6,π2 解析:由x =ρcos θ=0得到θ=π2,故选A .2.设点M 的直角坐标为(-2,-23,6),则它的柱坐标是( A ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,43π,6B .⎝ ⎛⎭⎪⎫4,π3,6 C .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,53π,6D .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,23π,6解析:∵ρ=(-2)2+(-23)2=4,θ=43π,z =6. ∴M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,43π,6.故选A .3.设点M 的直角坐标为(-2,2,22),则它的球坐标为( B ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,π4,54πB .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,π4,34πC .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,34π,34πD .⎝⎛⎭⎪⎪⎫4,π4,74π解析:由变换公式r =(-2)2+22+(22)2=4,cos φ=z r =22,∴φ=π4.∵tan θ=y x =-1,∴θ=34π.∴M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫4,π4,34π.故选B .4.点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,π3,56π,则它的直角坐标为( A )A .(-3,3,2)B .(3,3,4)C .(-3,-3,2)D .(-3,3,-2)解析:由x =4sin π3cos 5π6=-3,y =4sin π3sin 5π6=3,z =4cosπ3=2,得点M 的直角坐标为(-3,3,2).故选A .5.点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2,π3,233,则它的球坐标为( A ) A .⎝⎛⎭⎪⎪⎫433,π3,π3B .⎝⎛⎭⎪⎪⎫433,π3,2π3C .⎝⎛⎭⎪⎪⎫433,π6,π3D .⎝⎛⎭⎪⎪⎫433,π3,π6解析:设点M 的直角坐标为(x ,y ,z),则x =ρcos θ=2cos π3=1,y =ρsin θ=2sin π3=3,故点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1,3,233.设点M 的球坐标为(r ,φ,θ),则r =12+(3)2+⎝⎛⎭⎪⎪⎫2332=433,cos φ=z r =12,所以φ=π3.又θ=π3,故选A .6.已知球坐标系中,M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6,π3,π3,N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫6,23π,π3,则||MN 的长度为 ( D )A .3B .4C .5D .6解析:∵|OM|=|ON|=6,∠MON =π3.∴△MON 为等边三角形,∴|MN|=6.故选D . 二、填空题7.设点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2,π2,23π,则点M解析:x =rsin φcos θ=2×sin π2×cos 23π=-1,y =rsin φsin θ=2×sin π2×sin 23π=3,z =rcos φ=2×cos π2=0,所以M(-1,3,0).8.设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3,5,则点M解析:由x =ρcos θ=2cos π3=1,y =ρsin θ=2sin π3=3,z =5,得点M 的直角坐标为(1,3,5).9.已知柱坐标系中,点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4,43π,2,且点M 在数轴Oy 上的射影为N ,则|OM||MN|解析:设点M 的直角坐标为(x ,y ,z),则x =ρcos θ=4×cos 43π=-2,y =ρsin θ=4×sin 43π=-23,z =2,故点M 的直角坐标为(-2,-23,2).。

新课标人教A版高中数学选修4-4知识点

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高中数学选修4­4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1.平面直角坐标系(1)数轴:规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系.(2)平面直角坐标系:①定义:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系;②数轴的正方向:两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向;③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴,竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴,x 轴或y 轴统称为坐标轴;④坐标原点:它们的公共原点称为直角坐标系的原点;⑤对应关系:平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ,y )之间可以建立一一对应关系.(3)距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),线段P 1P 2的中点为P2.微信公众号:学设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.二极坐标系(1)定义:在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标系的四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.(3)图示2.极坐标(1)极坐标的定义:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标,记作M (ρ,θ).(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系:在极坐标系中,极点O 的极坐标是(0,θ),(θ∈R ),若点M 的极坐标是M (ρ,θ),则点M 的极坐标也可写成M (ρ,θ+2k π),(k ∈Z ).若规定ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ,θ)之间才是一一对应关系.3.极坐标与直角坐标的互化公式如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ,y ),(ρ,θ).(1)极坐标化直角坐标=ρcos θ,=ρsin θW.(2)直角坐标化极坐标2=x 2+y 2,θ=yx(x ≠0).三简单曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f (ρ,θ)=0的点都在曲线C 上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C 的极坐标方程.2.圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表:微信公众号:学圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0)ρ=r (0≤θ<2π)圆心在点(r ,0)ρ=2r cos_θ(-π2≤θ<π2)圆心在点(r ,π2)ρ=2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ,π)ρ=-2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ,3π2)ρ=-2r sin_θ(-π<θ≤0)(2)一般情形:设圆心C (ρ0,θ0),半径为r ,M (ρ,θ)为圆上任意一点,则|CM |=r ,∠COM =|θ-θ0|,根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r 2=0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3.直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).微信公众号:学四柱坐标系与球坐标系简介(了解)1.柱坐标系(1)定义:一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点,它在Oxy 平面上的射影为Q ,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标,这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z )(z ∈R )表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z )之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z )叫做点P 的柱坐标,记作P (ρ,θ,z ),其中ρ≥0,0≤θ<2π,z ∈R .(2)空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )x =ρcos θy =ρsin θz =z2.球坐标系(1)定义:一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点,连接OP ,记|OP |=r ,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ,设P 在Oxy 平面上的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ,这样点P 的位置就可以用有序数组(r ,φ,θ)表示,这样,空间的点与有序数组(r ,φ,θ)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r ,φ,θ),叫做点P 的球坐标,记作P (r ,φ,θ),其中r ≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,φ,θ)之间x=r sin φcos θy =r sin φsin θz =r cos φ.微信公众号:学第二讲:一曲线的参数方程1.参数方程的概念1.参数方程的概念(1)定义:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t的函数:=f (t )=g (t )①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.(2)参数的意义:参数是联系变数x ,y 的桥梁,可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.2.参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别:普通方程F (x ,y )=0,直接给出了曲线上点的坐标x ,y 之间的关系,它含有x ,y=f (t )=g (t )(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ,y 之间的关系,它含有三个变量t ,x ,y ,其中x 和y 都是参数t 的函数.(2)联系:普通方程中自变量有一个,而且给定其中任意一个变量的值,可以确定另一个变量的值;参数方程中自变量也只有一个,而且给定参数t 的一个值,就可以求出唯一对应的x ,y 的值.这两种方程之间可以进行互化,通过消去参数可以把参数方程化为普通方程,而通过引入参数,也可把普通方程化为参数方程.2.圆的参数方程1.圆心在坐标原点,半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ,0).(1)设M (x ,y )为圆O 上任一点,以OM 为终边的角设为θ,则以θ为参数的圆O 的参数微信公众号:学其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度.(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动,角速度为ω,则OM 0经过时间t 转过的角θ=ωt ,则以t 为参数的圆O其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间.2.圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ,b ),半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点,半径为r 的圆通过坐3.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式,两种方程是等价的可以互相转化.(2)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型.参数方程通过消去参数就可得到普通方程.(3)普通方程化参数方程,首先确定变数x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如x =f (t ),其次将x =f (t )代入普通方程解出y =g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x ,y 的取值范围保持一致.二圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0)φ是参数),规定参数φ的取值范围是[0,2π).(2)中心在原点,焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)φ是参数),规定参数φ的取值范围是[0,2π).(3)中心在(h ,k )的椭圆普通方程为(x -h )2a 2+(y -k )2b 2=1,则其参数方程为φ是参数).2.双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1.双曲线的参数方程(1)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b 2=1规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.微信公众号:学(2)中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x 2b 2=12.抛物线的参数方程(1)抛物线y 2=2px(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.三直线的参数方程1.直线的参数方程经过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线lt 为参数).2.直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离.(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时,t 取正数.当M 0M →与e 反向时,t 取负数,当M 与M 0重合时,t =0.3.直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程,选取的参数不同,会得到不同的参数方程.我们把过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线,选取参数t =M 0M =x 0+t cos α=y 0+t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式,此时的参数t 有明确的几何意义.一般地,过点M 0(x 0,y 0),斜率k =ba (a ,b 为常数)=x 0+at =y 0+bt(t 为参数),称为直线参数方程的一般形式,此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义.四渐开线与摆线(了解)1.渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点,直线OA 为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设基圆的半径为r ,绳子外端M 的坐标为(x ,y )φ是参数).这就是圆的渐开线的参数方程.2.摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内,一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹,叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线.微信公众号:学(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数).微信公众号:学。

2017-2018学年人教A版高中数学选修4-4练习:第1讲坐标

2017-2018学年人教A版高中数学选修4-4练习:第1讲坐标

四 柱坐标系与球坐标系简介一、基础达标1.在空间直角坐标系中,点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π4,3,P 在xOy 平面上的射影为Q ,则Q点的坐标为( ) A.(2,0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π4,0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π4,3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π4,0 解析 由点的空间柱坐标的意义可知,选B. 答案 B2.空间直角坐标系Oxyz 中,下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,π2,2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3,0C.⎝⎛⎭⎪⎫3,π4,π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫3,π6,π2 解析 由P (ρ,θ,z ),当θ=π2时,点P 在平面yOz 内.答案 A3.设点M 的直角坐标为(2,0,2),则点M 的柱坐标为( ) A.(2,0,2) B.(2,π,2) C.(2,0,2)D.(2,π,2)解析 设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z ),∴ρ=x 2+y 2=2,tan θ=y x=0, ∴θ=0,z =2.∴点M 的柱坐标为(2,0,2). 答案 A4.若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8,π3,56π,则它的直角坐标为( )A.(-6,23,4)B.(6,23,4)C.(-6,-23,4)D.(-6,23,-4)解析 由x =8sin π3cos 5π6=-6,y =8sin π3sin 5π6=23,z =8cos π3=4,得点M 的直角坐标为(-6,23,4). 答案 A5.已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4,π4,3π4,则点M 到Oz 轴的距离为________.解析 设M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则由(r ,φ,θ)=⎝ ⎛⎭⎪⎫4,π4,34π,知x =4sin π4cos34π=-2,y =4sin π4sin 34π=2,z =r cos φ=4cos π4=2 2.∴点M 的直角坐标为(-2,2,22). 故点M 到Oz 轴的距离(-2)2+22=2 2. 答案 2 26.已知点P 1的球坐标是P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4,π2,5π3,P 2的柱坐标是P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π6,1,则|P 1P 2|=________. 解析 点P 1的直角坐标为(2,-23,0)点P 2的直角坐标为(3,1,1),由两点距离公式得|P 1P 2|=21. 答案217.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4,5π6,-3,点B 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8,π3,π4,求这两个点的直角坐标.解 设点P 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x =4cos 5π6=4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=-23,y =4sin 5π6=4×12=2,z =- 3. 设点B 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x =8sin π3cos π4=8×32×22=26,y =8sin π3sinπ4=8×32×22=26,z =8cos π3=8×12=4. 所以点P 的直角坐标为(-23,2,-3),点B 的直角坐标为(26,26,4). 二、能力提升8.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π4,5,点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6,π3,π6,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5,1,1),B 点⎝⎛⎭⎪⎫364,324,62B.P 点(1,1,5),B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364,324,62C.P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364,324,62,B 点(1,1,5)D.P 点(1,1,5),B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫62,364,324解析 设P 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =2·cos π4=2·22=1,y =2·sin π4=1,z =5.设B 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =6·sin π3·cos π6=6·32·32=364, y =6·sin π3·sin π6=6·32·12=324, z =6·cos π3=6·12=62. 所以,点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364,324,62.答案 B9.在球坐标系中,方程r =1表示____________,方程φ=π4表示空间的____________.答案 球心在原点,半径为1的球面 顶点在原点,中心轴为z 轴,轴截面顶角为π2的上半个圆锥面10.已知柱坐标系Oxyz 中,若点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3,5,则|OM |=________.解析 ∵(ρ,θ,z )=⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3,5,设M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x 2+y 2=ρ2=4,∴|OM |=x 2+y 2+z 2=4+(5)2=3. 答案 311.在球坐标系中,求两点P ⎝⎛⎭⎪⎫3,π6,π4,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,π6,3π4的距离. 解 设P ,Q 两点球坐标转化为直角坐标.设点P 的直角坐标为(x ,y ,z ),x =3sin π6cos π4=342,x =3sin π6sin π4=342,z =3cos π6=3×32=323. ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫324,324,332.设点Q 的直角坐标为(x 1,y 1,z 1),x 1=3sin π6cos 3π4=-324,y 1=3sin π6sin 3π4=324,z 1=3cos π6=323.∴点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-324,324,332.∴|PQ |=⎝ ⎛⎭⎪⎫324+3242+⎝ ⎛⎭⎪⎫324-3242+⎝ ⎛⎭⎪⎫332-3322=322.即P ,Q 两点间的距离为322.12.在柱坐标系中,求满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ=10≤θ<2π0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )的围成的几何体的体积.解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )的轨迹如图所示,是以直线Oz 为轴,轴截面为正方形的圆柱,圆柱的底面半径r =1,h =2,∴V =Sh =πr 2h =2π. 三、探究与创新13.在赤道平面上,我们选取地球球心O 为极点,以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立坐标系.有A 、B 两个城市,它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ,π4,π6、B ⎝⎛⎭⎪⎫R ,π4,2π3,飞机从A 到B 应该走怎样的航线最快?所走的路程有多远?解 如图所示,∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ,π4,π6、B ⎝⎛⎭⎪⎫R ,π4,2π3,∴∠AOO 1=∠BOO 1=π4.设赤道面上与A 、B 经度相同的点分别为C 、D ,x 轴与赤道大圆的交点为E ,则∠EOC =π6,∠EOD =2π3,∴∠COD =2π3-π6=π2.∴∠AO 1B =∠COD =π2.在Rt △OO 1B 中,∠O 1BO =π4,OB =R ,∴O 1B =22R ,同理O 1A =22R .∵∠AO 1B =π2,∴AB=R .在△AOB 中,AB =OB =OA =R ,∴∠AOB =π3.则经过A 、B 两地的球面距离为π3R .答:走经过A 、B 两地的大圆,飞机航线最短,其距离为π3R .。

2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4习题:1.4柱坐标系与球坐标系简介

2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4习题:1.4柱坐标系与球坐标系简介

四 柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A 组1.已知点A 的球坐标为(3,π2,π2),则点A 的直角坐标为( )A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)A 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x=3×sin π2×cos π2=0,y=3×sin π2×sin π2=3,z=2×cos π2=0,所以直角坐标为(0,3,0).2.若点M 的直角坐标为(-1,-√3,3),则它的柱坐标是( )A.(2,π3,3)B.(2,2π3,3) C.(2,4π3,3)D.(2,5π3,3)M 的柱坐标为(ρ,θ,z ),则ρ=√(-1)2+(-√3)2=2,θ=4π3,z=3,所以点M 的柱坐标为(2,4π3,3),故选C.3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的( ) A.以x 轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面 B.以y 轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面 C.以z 轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面 D.以原点为球心,半径为3的球面4.导学号73574021已知点M 的球坐标为(4,π4,3π4),则点M 到Oz 轴的距离为( )A.2√2B.√2C.2D.4M 的直角坐标为(x ,y ,z ),因为(r ,φ,θ)=(4,π4,3π4), 所以{x =rsinφcosθ=4sin π4cos 3π4=-2,y =rsinφsinθ=4sin π4sin 3π4=2,z =rcosφ=4cos π4=2√2,即M (-2,2,2√2).故点M 到Oz 轴的距离为√(-2)2+22=2√2.5.在空间直角坐标系Oxyz 中,下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A .(1,π2,2)B .(2,π3,0)C .(3,π4,π6)D .(3,π6,π2)P 的柱坐标(ρ,θ,z )知,当θ=π2时,点P 在平面yOz 内,故选A .6.若点P 的直角坐标为(√2,√6,3),则它的柱坐标是 .√2,π3,3)7.已知在柱坐标系Oxyz 中,点M 的柱坐标为(2,π3,√5),则|OM|= .M 的直角坐标为(x ,y ,z ),且x 2+y 2=ρ2=4,故|OM|=√x 2+y 2+z 2=√4+5=3.8.若点M 的球坐标为(2,π3,5π4),O 为原点,则点M 到原点的距离为 ,OM 与平面xOy 所成的角为 .π69.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.O 为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.则有O (0,0,0),A (1,π2,0),B (√2,π2,π4), C (1,π2,π2),D (1,0,0),E (√2,π4,0), F (√3,φ,π4)(φ∈[0,π2],且cosφ=√33),G (√2,π4,π2).10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标: P (√5,π6,√3),Q (4,2π3,-3). (2)将下列各点的球坐标化为直角坐标: A (4,π2,5π3),B (8,3π4,π),C (0,π6,π5).设点P 的直角坐标为(x 1,y 1,z 1),则x 1=ρcos θ=√5cos π6=√5×√32=√152,y 1=ρsin θ=√5sin π6=√5×12=√52,z 1=√3,故点P 的直角坐标为(√152,√52,√3).设点Q 的直角坐标为(x 2,y 2,z 2),则x 2=4cos 2π3=-2,y 2=4sin 2π3=2√3,z 2=-3, 故点Q 的直角坐标为(-2,2√3,-3).(2)设点A 的直角坐标为(x 1,y 1,z 1),则x 1=r sin φcos θ=4sin π2×cos5π3=4×1×12=2,y 1=r sin φsin θ=4sin π2sin 5π3=4×1×(-√32)=-2√3,z 1=r cos φ=4×cos π2=0,故点A 的直角坐标为(2,-2√3,0).设点B 的直角坐标为(x 2,y 2,z 2),则x 2=8sin3π4cos π=8×√22×(-1)=-4√2,y 2=8sin 3π4sin π=0,z 2=8cos 3π4=8×(-√22)=-4√2.故点B 的直角坐标为(-4√2,0,-4√2).设点C 的直角坐标为(x 3,y 3,z 3),因为r=0,所以x 3=0,y 3=0,z 3=0,即点C 的直角坐标为(0,0,0). 11.导学号73574022在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA 1|=2,M 是线段A 1B 1的中点.建立适当的坐标系,求点M 的直角坐标和柱坐标.,过点M 作底面xCy 的垂线MN.因为ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以点N 在线段AB 上.过点N 分别作x 轴、y 轴的垂线NE ,NF ,根据已知,可得△ABC 是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=12. 故点M 的直角坐标为(12,12,2).由于点M 在平面xCy 上的射影为点N ,连接CN ,|CN|=√22,∠ECN=π4,故点M 的柱坐标为(√22,π4,2). B 组1.在柱坐标系中,方程z=C (C 为常数)表示( ) A .圆B .与xOy 平面垂直的平面C .球面D .与xOy 平面平行的平面2.已知在空间直角坐标系Oxyz 中,点M 在平面yOz 内,若M 的球坐标为(r ,φ,θ),则应有( )A .φ=π2B .θ=π2C .φ=π2或3π2D .θ=π2或3π2M 向平面xOy 作垂线,垂足N 一定在直线Oy 上,由极坐标系的意义知θ=π2或3π2.3.在柱坐标系中,满足{ρ=1,0≤θ<2π,0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )围成的几何体的体积为 .ρ=1,0≤θ<2π,0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )的轨迹是以直线Oz 为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=πr 2h=2π.π4.导学号73574023在柱坐标系中,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个顶点在原点,另两个顶点的坐标分别为A 1(8,0,10),C 1(6,π2,10),则该长方体外接球的体积为 .8,6,10,则其外接球的半径为5√2.故其外接球的体积为4π3×(5√2)3=1000√2π3.5.如图,点P 为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P 的柱坐标为(6,π4,5),求该圆柱的体积.P 作PP'垂直于底面,垂足为P',因为P (6,π4,5),所以点P'的柱坐标为(6,π4,0). 因此圆柱的底面半径为6,高为5. 故圆柱的体积为V=π×62×5=180π.6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区……十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A ,请建立适当的柱坐标系,把点A 的柱坐标求出来.O 为极点,选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203m,极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16,就是OA 在地平面上的射影,A 距地面的高度为2.8m,因此我们可以用柱坐标(203,17π16,2.8)来表示点A 的准确位置. 所以点A 的柱坐标为(203,17π16,2.8).7.导学号73574024建立适当的柱坐标系,表示棱长为3的正四面体(棱长都相等的三棱锥)的各个顶点的坐标.,找到相应坐标.B 为极点O ,选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴,过点O 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴,建立如图所示的柱坐标系.过点A 作AA'垂直于平面BCD ,垂足为A',连接BA', 则|BA'|=3×√32×23=√3, |AA'|=√32-(√3)2=√6,∠A'Bx=π2−π6=π3,则A (√3,π3,√6),B (0,0,0),C (3,π6,0),D (3,π2,0).莘莘学子,最重要的就是不要去看远方模糊的,而要做手边清楚的事。

人教A版高中数学选修4-4 1.4 柱坐标系与球坐标系简介 测试(教师版)

人教A版高中数学选修4-4 1.4 柱坐标系与球坐标系简介 测试(教师版)

1.4 柱坐标系和球坐标系简介(检测教师版)时间:50分钟总分:80分班级:姓名:一、选择题(共6小题,每题5分,共30分)1.设点的柱坐标为,则它的球坐标为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设点的直角坐标为,则故点的球坐标为,则,由知,又,故,故点的球坐标为.故选B。

2. 柱坐标转换为直角坐标为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由公式得即点的直角坐标为。

故选B。

3、若点的柱坐标为,则到直线的距离为( )A.1 B .2 C. D.【答案】D【解析】由于点的柱坐标为,故点在平面内的射影到直线的距离为,结合图形,得到直线的距离为.故选D 。

4.设点M 的直角坐标为(-1,-1,2),则它的球坐标为( ).A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π4,π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2,π4,5π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2,5π4,π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2,3π4,π4 【答案】B【解析】由变换公式r =x 2+y 2+z 2=2,cos φ=zr =22,∴φ=π4. ∵tan θ=y x =1,∴θ=54π.∴M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,π4,54π。

故选B 。

5、已知一个点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,3π4,π4,则它的高低角为( )A .-π4B.3π4C.π2D.π3【答案】 A【解析】 ∵φ=3π4,∴它的高低角为π2-φ=-π4.故选A 。

6、 已知点的球坐标为,的柱坐标为,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设点的直角坐标为,则得故,设点的直角坐标为,故得故.则.故选A 。

二、 填空题(共4小题,每题5分,共20分)7. 已知柱坐标系中,点的柱坐标为,则__________【答案】3 【解析】因为,设的直角坐标为,则,所以.8、在球坐标系中,方程r =1表示______________________,方程φ=π4表示空间的________________________. 【答案】见解析【解析】球心在原点,半径为1的球面 顶点在原点,轴截面顶角为π2的圆锥面9.已知柱坐标系中,点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,2π3,5,且点M 在数轴Oy 上的射影为N ,则|OM |=________,|MN |=________. 【答案】36【解析】设点M 在平面Oxy 上的射影为P ,连结PN ,则PN 为线段MN 在平面Oxy 上的射影.∵MN ⊥直线Oy ,MP ⊥平面xOy ,∴PN ⊥直线Oy .∴|OP |=ρ=2,|PN |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪ρcos 2π3=1 ∴|OM |=ρ2+z 2=22+(5)2=3.在Rt △MNP 中,∠MPN =90°,∴|MN |=|PM |2+|PN |2=(5)2+12= 6. 10、(2015·广东高考)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=2,点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,7π4,则点A 到直线l 的距离为________.【答案】522【解析】 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=2,得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ-22cos θ=2,∴y -x =1. 由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,7π4得点A 的直角坐标为(2,-2),∴d =|2+2+1|2=522. 三、解答题(共3小题,每题10分,共30分)11、用两平行面去截球,如图,在两个截面圆上有两个点,它们的球坐标分别为,,求出这两个截面间的距离.【答案】【解析】由已知,,∴在中,.在中,,∴,则.,即两个截面间的距离为.12、在柱坐标系中,求满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ=10≤θ<2π0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )围成的几何体的体积.【答案】2π【解析】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )的轨迹如图所示,是以直线Oz 为轴,轴截面为正方形的圆柱,圆柱的底面半径r =1,h =2,∴V =Sh =πr 2h =2π.13、经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测,并通过数据汇总,计算出一个航天器在某一时刻的位置,离地面2 384千米,地球半径为6 371千米,此时经度为80°,纬度为75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器点P 的坐标.【答案】⎝⎛⎭⎪⎫8 755,π12,4π9.【解析】 在赤道平面上,选取地球球心为极点,以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴,建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°,可知θ=80°=4π9.由航天器位于纬度75°,可知,φ=90°-75°=15°=π12,由航天器离地面2 384千米,地球半径为6 371千米,可知r =2 384+6 371=8 755千米,所以点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8 755,π12,4π9.。

高中数学人教A版选修4-4课后训练:1.4柱坐标系与球坐标系简介

高中数学人教A版选修4-4课后训练:1.4柱坐标系与球坐标系简介

课后训练1.设点M的直角坐标为(-1,,3),则它的柱坐标是( ).A.B.C.D.2.设点M的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为( ).A.B.C.D.3.点P的柱坐标为,则其直角坐标为( ).A.(5,8,) B.(8,,5)C.(,8,5) D.(4,,5)4.点M的球坐标为(r,φ,θ)(φ,θ∈(0,π)),则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( ).A.(-r,-φ,-θ) B.(r,π-φ,π-θ)C.(r,π+φ,θ) D.(r,π-φ,π+θ)5.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ).A.P(5,1,1),B.P(1,1,5),C.,B(1,1,5)D.P(1,1,5),6.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标是______,它的柱坐标是______.7.设点M的球坐标为,O为原点,则M到原点的距离为________,OM与x Oy平面所成的角为________.8.在柱坐标系中,方程ρ=1表示空间中什么曲面?方程z=-1表示什么曲面?9.在球坐标系中,求两点,的距离.10.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的边长为|AB|=3,|AD|=3,|AA1|=,以这个长方体的顶点A为坐标原点,以射线AB,AD,AA1分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标.11.在赤道平面上,我们选取地球的球心O为极点,以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立坐标系.有A,B两个城市,它们的球坐标分别为,,其中R为球半径.从A到B,飞机应该走怎样的航线最短,其最短航程为多少?参考答案1.答案:C解析:∵,,z=3,∴点M的柱坐标为.2.答案:B解析:由坐标变换公式,得,,∴.∵,∴.∴点M的球坐标为.3.答案:B解析:∵ρ=16,,z=5,∴x=ρcos θ=8,y=ρsin θ=,z=5,∴点P的直角坐标为(8,,5).4.答案:D解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),则点M关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(-x,-y,-z),设M′的球坐标为(r′,φ′,θ′),因为所以⎩⎪⎨⎪⎧r′sin φ′cos θ′=-rsin φcos θ,r′sin φ′sin θ′=-rsin φsin θ,r′cos φ′=-rcos φ,可得即M ′的球坐标为(r ,π-φ,π+θ). 5. 答案:B解析:此题考查空间直角坐标与空间柱坐标、球坐标的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P 点的直角坐标为(x ,y ,z ), 则,,z =5.设B 点的直角坐标为(x ′,y ′,z ′), 则,,.所以点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为.6. 答案:(-2,2,)7. 答案:28. 解:方程ρ=1表示以z 轴为中心轴,以1为底面半径的圆柱面;方程z =-1表示与xOy 坐标面平行的平面,且此平面与xOy 面的距离为1,并且在此平面的下方.9. 解:将P ,Q 两点的球坐标转化为直角坐标:, ,,∴点P 的直角坐标为.,,,∴点Q的直角坐标为.∴|PQ|==,即P,Q的距离为.10.解:如图,C1(x,y,z)的坐标分别对应着|CD|,|BC|,|CC1|;C1(ρ,θ,z)的坐标分别对应着|CA|,∠BAC,|CC1|;C1(r,φ,θ)的坐标分别对应着|AC1|,∠A1AC1,∠BAC.故C1点的空间直角坐标为(3,3,),C1点的柱坐标为,C1点的球坐标为.11.解:设点C的坐标为,点D的坐标为.如图所示,因为,,可知∠AOO1=∠BOO1=.又∠xOC=,∠xOD=,∴∠COD=.∴∠AO1B=∠COD=.在Rt△OO1B中,∠O1OB=,|OB|=R,∴|O1B|=.同理,|O1A|=.∵∠AO1B=,∴|AB|=R.在△AOB中,|AB|=|OB|=|OA|=R,∴∠AOB=.则经过A,B两地的球面距离为.即走经过A,B两地的大圆,飞机航线最短,其最短航程为.。

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(时间40分钟,满分60分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()
A.(1,π
2,2)B.(2,
π
3,0) C.(3,
π
4,
π
6) D.(3,
π
6,
π
2)
【解析】由P(ρ,θ,z),当θ=π
2时,点P在平面yOz内.
【答案】 A
2.设点M的直角坐标为(2,0,2),则点M的柱坐标为() A.(2,0,2) B.(2,π,2) C.(2,0,2) D.(2,π,2) 【解析】设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),
∴ρ=x2+y2=2,tan θ=y
x=0,
∴θ=0,z=2.
∴点M的柱坐标为(2,0,2).【答案】 A
3.在空间球坐标系中,方程r=2(0≤φ≤π
2,0≤θ<2π)表示()
A.圆B.半圆C.球面D.半球面
【解析】设动点M的球坐标为(r,φ,θ),由于r=2,0≤φ≤π
2,0≤θ<2π.
动点M的轨迹是球心在点O,半径为2的上半球面.
【答案】 D
4.已知点M的直角坐标为(0,0,1),则点M的球坐标可以是() A.(1,0,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(1,π,0)
【解析】设M的球坐标为(r,φ,θ),
则r=x2+y2+z2=1,θ=0,
又cos φ=z
r=1,∴φ=0.
故点M 的球坐标为(1,0,0).
【答案】 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知点M 的球坐标为(4,π4,3π4),则点M 到Oz 轴的距离为________.
【解析】 设M 的直角坐标为(x ,y ,z ),
则由(r ,φ,θ)=(4,π4,34π),
知x =4sin π4cos 34π=-2,
y =4sin π4sin 34π=2,
z =r cos φ=4cos π4=2 2.
∴点M 的直角坐标为(-2,2,22).
故点M 到OZ 轴的距离(-2)2+22=2 2.
【答案】 2 2
6.已知点M 的球坐标为(4,π4,3π4
),则它的直角坐标是________,它的柱坐标是________.
【解析】 设M 的直角坐标为(x ,y ,z ),柱坐标为(ρ,θ,z ).
则x =r sin φcos θ=4×sin π4×cos 3π4=-2,
y =r sin φsin θ=4×sin π4×sin 3π4=2,
z =r cos φ=4×cos π4=2 2.
∴点M 的直角坐标为(-2,2,22).
又⎩⎨⎧ -2=ρcos θ
z =ρsin θ,
z =22,解之得ρ=22,θ=3π4,z =2 2.
∴点M 的柱坐标为(22,3π4,22).
【答案】 (-2,2,22) (22,3π4,22)
三、解答题(每小题10分,共30分)
7.已知点P 的柱坐标为(2,π4,5),点B 的球坐标为(6,π3,π6),求这两
个点的直角坐标.
【解】 设点P 的直角坐标为(x ,y ,z ),
则x =2cos π4=2×22=1, y =2sin π4=1,z =5.
设点B 的直角坐标为(x ,y ,z ),
则x =6sin π3cos π6=6×32×32=364,
y =6sin π3sin π6=6×32×12=324,
z =6cos π3=6×12=62.
所以点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为(364,324,62).
8.在柱坐标系中,求满足⎩⎨⎧ ρ=1
0≤θ<2π
0≤z ≤2
的动点M (ρ,θ,z )围成的几何体的体
积.
【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )的轨迹如图所示,是以直线Oz 为轴,轴截面为正方形的圆柱.圆柱的底面半径r =1,h =2,
∴V =Sh =πr 2h =2π.
9.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测,并通过数据汇总,计算
出一个航天器在某一时刻的位置,离地面2 384千米,地球半径为6 371千米,此时经度为80°,纬度为75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器点P 的坐标.
【解】 在赤道平面上,选取地球球心为极点,以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴,建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°,可知θ
=80°=49π.
由航天器位于纬度75°,可知,φ=90°-75°=15°=π12,由航天器离地面2 384
千米,地球半径为6 371千米,可知r =2 384+6 371=8 755千米.所以点P 的
球坐标为(8 755,π12,4π9).
教师备选
10.已知在球坐标系Oxyz 中,M (6,π3,π3),N (6,2π3,π3),求|MN |.
【解】 法一 由题意知,
|OM |=|ON |=6,∠MON =π3,
∴△MON 为等边三角形,∴|MN |=6.
法二 设M 点的直角坐标为(x ,y ,z )
则⎩⎪⎨⎪⎧ x =6sin π3cos π3=332,y =6sin π3sin π3=92,z =6cos π3=3.
故点M 的直角坐标为(332,92
,3), 同理得点N 的直角坐标为(332,92,-3),
∴|MN |=(323-323)2+(92-92)2+(3+3)2
=0+0+62=6.。

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