线段垂直平分线导学案
13.5.2线段垂直平分线导学案
A 13.5.2 线段垂直平分线导学案一、学习目标：1、掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理，并能能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。
2、能够运用线段垂直平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
3、进一步发展推理意识及能力。
二、学习重难点重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理。
难点：利用线段垂直平分线的性质定理、判定定理的应用。
三、预习导学：1、我们学过哪些互逆定理？举例说明。
2、什么是线段垂直平分线？并且 一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。
3、线段垂直平分线有哪些性质？（结合图形）性质1：线段是 图形。
A 、中心对称；B 、轴对称性质2： ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线（已知）∴ ， （定义）四、新课探究 探究一：在公路的同侧有张村、李庄两个村庄，现要在公路上建一车站，使车站距两村的距离相等，如何确定车站的位置？ 探究二：实践： 1、在一张纸上任意画一线段AB 。
2、作出这条线段的垂直平分线MN3、沿直线MN 对折，你有什么发现？4、在直线MN 上任意取一点P ，连结PA 、PB5（1）（2）（3）、写一写：几何语言：（如上图）∵ 点P 在直线MN 上，直线MN 垂直平分线段AB ∴ =探究三：1、写一写：写出线段垂直平分线性质定理的逆命题：。
2、想一想：以上的命题是 命题（“真”或“假” ）3、证一证：已知：如图13.5.2（课本95页），QA=QB李庄A B 求证：点Q 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：为了证明点Q 在线段AB 的垂直平分线上，可以先经过点Q 作线段AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段AB.证明：过点Q 作QC ⊥AB 于C∵QC ⊥AB 于C ∴∠ =∠ = ° ∴△ 和△ 是 三角形在Rt △ 和Rt △ 中 ⎩⎨⎧∴Rt △ ≌Rt △ （ ）∴ =∴点Q 在线段AB 的垂直平分线上（也可以先平分线段AB ，设线段AB 的中点为点C ，然后证明QC 垂直于线段AB ，想一想用这种方法怎么证明？）4、概括：因此得到线段的垂直平分线的判定定理：到线段的 距离相等的点，在这条线段的 。
13.1.2线段垂直平分线的性质(2)导学案
， 作出连接它们的
的
线，
图（1）
1 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C 和 D 两点； 2
子曰：“敏而好学，不耻下问，是以谓之„文‟也。” 《论语· 公冶长》
2、思考： （1）在上述作法中，为什么要以“大于
1 AB 的长”为半径作弧？ 2
（2）在上面作法的基础上，连接 AB， 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线吗？并说明理由．
马 家 砭 中 学 导 学 稿
科 目 数学 韩伟 课题 课型 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （2） 授 课 时 间
新授
2013-10-15
Байду номын сангаас
设计人 学 习 目 标 教师寄语 学法指导
班 级
姓
名
1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴； 2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。
4、如图（6） ，与图形 A 成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．
图（5）
图（6）
子曰：“敏而好学，不耻下问，是以谓之„文‟也。” 《论语· 公冶长》
子曰：“敏而好学，不耻下问，是以谓之„文‟也。” 《论语· 公冶长》
光有知识是不够的，还应当应用；光有愿望是不够的，还应当行动！！ ！
启发引导
课前热身、 自主预习 1、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 的 线.
所连
3、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
上。
课堂展示、 合作学习 【问题】 1、 如果我们感觉两个图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证？ 2、 两个成轴对称的图形，不经过折叠，你有什么方法画出它的对称轴？
八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线导学案(新版)北师大版
1.3线段的垂直平分线（1）第 1 课时（二）学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
（三）重点、难点：重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。
难点：垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
（四）教学过程【导入环节】（约2分钟）教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”【目标出示】（约1分钟）1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．【自学环节】探究一：性质探索与证明1.自学指导（约1分钟）让学生看书第22页的内容2.自主学习（约2分钟）学生按要求进行自学，教师要注意学生的学习动向，对于疑难问题及时进行提示，注意发现学生所存在的问题，以便在导学中有的放矢，重点解决。
3.教师导学（约5分钟）教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：（教师用多媒体完整演示证明过程）．探究二：逆向思维，探索判定NAPBCM1.自主学习（约2分钟）你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”2.教师导学（约12分钟） 写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 引导学生分析证明过程，有如下几种证法：已知：线段AB ，点P 是平面内一点且PA=PB ．求证：P 点在AB 的垂直平分线上．证法一：证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC,PA=PB ，PC=PC ，∴Rt △PAC ≌Rt △PBC(HL 定理)．∴AC=BC ，即P 点在AB 的垂直平分线上．证法二：取AB 的中点C ，过PC 作直线． 证法三：过P 点作∠APB 的角平分线．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．3.巩固应用（约5分钟）例题：已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。
青岛版八年级数学 上册导学案《线段的垂直平分线》
2.4线段的垂直平分线 导学案学习目标：1.理解线段垂直平分线的概念, 掌握线段垂直平分线的性质定理.2.能运用线段的垂直平分线的性质定理解决简单的实际问题.3.能够利用直尺和圆规作线段的垂直平分线. 学习过程：一、情境思考：如下图, 公路AB 附近有两个村庄C,D, 要在公路边建一个车站, 为了方便起见, 要求这个车站到两个村庄的距离相等, 你能找出这个车站吗？AB二、学习新知〔一〕探究知识一1、活动1：学生自主学习课本第45页：实验与探究, 第46页交流与发现2、成果交流, 归纳提升A:(1) 于线段, 并且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.线段是图形, 它的一条对称轴是B : 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的任意一点到的距离. 应用：如图1： MN 是线段AB 的垂直平分线, E 是MN 上一点, 那么EA 与EB 有什么关系？为什么？ 答：因为 所以 变式练习：〔1〕.如图2:在直角三角形中∠C=900, DE 是斜边AB 的垂直平分线, 那么DA=________为什么？如果CD=1cm,BD=2cm,那么AC=_____cm.〔2〕如图3：线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点N, M 为直线l 上任一点, 假设AB=2cm,△MAB 的周长为10cm,那么MA=_________cm(二)探究二：能够利用直尺和圆规作线段的垂直平分线我们能用折叠的方法作出线段的垂直平分线, 直平分线, 怎么做呢？请你自学第九页例题并尝试做一做. ：线段AB求作：线段AB 的垂直平分线 作法：〔1〕﹒C﹒D〔2〕你能用折叠的方法验证上面尺规作图的正确吗？ 稳固练习：课本P50练习第1、2题 课本P50习题四．课堂小结：五、稳固与拓展练习根底知识：1、 如图4:AD 是线段BC 的垂直平分线, EF 是线段AB 的垂直平分线,点E 在AC 上, 且BE+CE=20cm,那么AB=2.如图5所示, 公路AB 附近有两个村庄C,D, 要在公路边建一个车站, 为了方便起见, 要求这个车站到两个村庄的距离相等, 请你能在图中找出这个车站的位置？ 拓展应用:3.在平面直角坐标系中, 点A 坐标为(0,4),B 坐标为(6,0).那么线段OA 与OB 垂直平分线的交点P 的坐标为〔 〕PA PB 四.课堂小结 ：本节课你学到了哪些知识, 最大的收获是什么？并与同学交流. 五 课堂检测: A ：夯实根底：1.线段的垂直平分线〔中垂线〕：垂直并且一条 的直线, 称为这条的垂直平分线, 线段垂直平分线上的到这条线段两个的距离. B ：能力提高2.如图7, 在△ABC 中, AB=AC=16cm,AB 的垂直平分线交AC 于D,如果,BC=10cm, 那么△BCD 的周长是cm教学反思：第四单元第1课函数一、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x 和y , 并且对于变量x 的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y 是x 的________, 其中________是自变量． 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和 y , 其中y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长A BC D FEA B C DB ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 二、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表： 信件质量x /g 0＜x ≤2020＜x ≤4040＜x ≤60邮资y /元(1)y 是x 的函数吗？为什么？(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表： 品种 价格(单位：元/棵)成活率 劳务费(单位：元/棵)A 15 95% 3 B2099%4设购置A 种树苗x 棵, 造这片树林的总费用为y 元, 解答以下问题： (1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？第26章 反比例函数实际问题与反比例函数2一、根底稳固1.某工厂现有原材料100吨, 每天平均用去x 吨, 这批原材料能用y 天, 那么y 与x 之间的函数表达式为〔 〕 A ．y ＝100x B ．y ＝C ．y ＝+100D ．y ＝100﹣x2.如图, 市煤气公司方案在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室, 那么储存室的底面积S〔单位：m2〕与其深度d〔单位：m〕的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．3.甲、乙两地相距s〔单位：km〕, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 那么汽车行驶的时间y〔单位：h〕关于行驶速度x〔单位：km/h〕的函数图象是〔〕A．B．C．D．4.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热每分钟上升10℃, 加热到100℃, 停止加热, 水温开始下降, 此时水温〔℃〕与开机后用时〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．水温y〔℃〕和时间x〔min〕的关系如图．某天张老师在水温为30℃时, 接通了电源, 为了在上午课间时〔8：45〕能喝到不超过50℃的水, 那么接通电源的时间可以是当天上午的〔〕A．7：50B．7：45C．7：30D．7：205.在温度不变的条件下, 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压, 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强, 如下表：那么可以反映y与x之间的关系的式子是〔〕体积x〔mL〕100 80 60 40 20压强y〔kPa〕60 75 100 150 300A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝D．y＝6.随着私家车的增加, 交通也越来越拥挤, 通常情况下, 某段公路上车辆的行驶速度〔千米/时〕与路上每百米拥有车的数量x〔辆〕的关系如下图, 当x≥8时, y与x成反比例函数关系, 当车速度低于20千米/时, 交通就会拥堵, 为防止出现交通拥堵, 公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是〔〕A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥327.如图, 在平面直角坐标系中, 函数y＝〔k＞0, x＞0〕的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M, N, 且OM＝2MA, 假设AB＝3, 那么点N的横坐标为〔〕A．B．C．4D．68.如图, 反比例函数y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕中, 作直线x＝10, 分别交x轴, y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕于点P, 点A, 点B, 假设＝3, 那么＝〔〕A．B．3C．﹣3D．9.直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A, B点, 与y＝〔x＜0〕的图象交于C、D两点, E是点C关于点A的中心对称点, EF⊥OA于F, 假设△AOD的面积与△AEF的面积之和为时, 那么k＝〔〕A．3B．﹣2C．﹣3D．﹣10.如图, 点A、B在双曲线〔x＜0〕上, 连接OA、AB, 以OA、AB为边作▱OABC．假设点C恰落在双曲线〔x＞0〕上, 此时▱OABC的面积为〔〕A．B．C．D．411.某物体对地面的压强P〔Pa〕与物体和地面的接触面积S〔m2m2时, 该物体对地面的压强是Pa．12.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示, 售价是销量的反比例函数〔统计数据见下表〕．该运动鞋的进价为180元/双, 要使该款运动鞋每天的销售利润到达2400元, 那么其售价应定为元．售价x〔元/双〕200 240 250 400销售量y〔双〕30 25 24 1513.小刚同学家里要用1500W的空调, 家里保险丝通过的最大电流是10A, 额定电压为220V,那么他家最多还可以有只50W的灯泡与空调同时使用．14.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体, 当改变容器的体积时, 气体的密度也会随之改变, 密度ρ〔单位：kg/m3〕与体积v〔单位：m3〕满足函数关系式〔k为常数, k≠0〕其图象如下图过点〔6, 1.5〕, 那么k的值为．15.小丁在课余时间找了几副度数不同的老花镜, 让镜片正对太阳光, 上下移动镜片, 直到地上的光斑最小, 此时他测量了镜片与光斑的距离, 得到如下数据：老花镜的度数x/度…100 125 200 250 …镜片与光斑的距离y/m… 1 …m, 那么这副老花镜为度．16.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞, 药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与燃烧时间x〔分钟〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃烧完, 此时教室内每立方米空气含药量为6mgmg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 至少需要经过分钟后, 学生才能回到教室．二、拓展提升17.近似眼镜片的度数y〔度〕是镜片焦距x〔cm〕〔x＞0〕的反比例函数, 调查数据如表：眼镜片度数y〔度〕400 625 800 1000 (1250)镜片焦距x〔cm〕25 16 10 (8)〔1〕求y与x的函数表达式；〔2〕假设近视眼镜镜片的度数为500度, 求该镜片的焦距．18.y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕成正比例；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x成反比例．根据图中提供的信息, 解答以下问题：〔1〕写出一般成人喝半斤低度白酒后, y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；〔2〕按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞, 不能驾车上路．参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．19.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热时每分钟上升10℃, 加热到100℃停止加热, 水温开始下降, 此时水温y〔℃〕与开机后用时x〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机, 饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．假设在水温为30℃时接通电源, 水温y〔℃〕与时间x〔min〕的关系如下图：〔1〕分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；〔2〕怡萱同学想喝高于50℃的水, 请问她最多需要等待多长时间？20.某地建设一项水利工程, 工程需要运送的土石方总量为360万米3．〔1〕写出运输公司完成任务所需的时间y〔单位：天〕与平均每天的工作量x〔单位：万米3〕之间的函数关系式；〔2〕当运输公司平均每天的工作量15万米3, 完成任务所需的时间是多少？〔3〕为了能在150天内完成任务, 平均每天的工作量至少是多少万米3？21.蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时, 电流Ⅰ〔单位：A〕与电阻R〔单位：Ω〕是反比例函数关系, 它的图象如下图．〔1〕求这个反比例函数的表达式；〔2〕如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A, 那么该用电器的可变电阻至少是多少？22.某公司用100万元研发一种市场急需电子产品, 已于当年投入生产并销售, 生产这种电子产品的本钱为4元/件, 在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x 〔元/件〕的关系如下图, 其中AB为反比例函数图象的一局部, 设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕的函数表达式；〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕的函数表达式, 并求出第一年年利润的最大值．23.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞．药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与药物在空气中的持续时间x〔m〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃完, 此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答以下问题：〔1〕分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式mg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？mg的持续时间超过20分钟, 才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效, 并说明理由．第四单元第1课函数二、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且对于变量x的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y是x的________, 其中________是自变量．2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y, 其中y不是．．x的函数的是()A．y：正方形的面积, x：这个正方形的周长B．y：等边三角形的周长, x：这个等边三角形的边长C．y：圆的面积, x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根, x：这个正数3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( ) A ．7B ．－3C ．－3或7 D ．±3或7三、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？。
《第1课时 线段的垂直平分线》导学案 2022年最新word版
1.3 线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．(重难点〕2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.合作探究探究一：线段的垂直平分线的性质定理性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS) ；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．定理运用时的数学语言：∵∴探究二：线段的垂直平分线的判定定理你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，那么需证明它；如果假，那么需用反例说明。
例题：：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB = OC.求证：直线AO 垂直平分线段BC。
．证明：∵ AB = AC，∴点 A 在线段BC 的垂直平分线上〔到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上〕.同理，点O 在线段BC 的垂直平分线上.∴直线AO 是线段BC 的垂直平分线〔两点确定一条直线〕.学生是第一次证明一条直线是线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
三.当堂检测1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线，那么〔1〕BD = ；〔2〕假设∠B = 40°，那么∠BAC = °，∠DAB = °，∠DAC = °。
〔3〕假设AC= 4，BC = 5，那么DA + DC = ，△ACD的周长为。
第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。
八年级数学下册1.3 线段的垂直平分线导学案1(新版)北师大版
八年级数学下册1.3 线段的垂直平分线导学案1（新版）北师大版1、3、1 线段的垂直平分线（第1 课时）【学习目标】课标要求：1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论目标达成：1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论学习流程：【课前展示】线段垂直平分线的定义【创境激趣】如何用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等【自学导航】1、线段垂直平分线的性质2、写出证明过程【合作探究】1、线段垂直平分线的性质2、写出证明过程应先让学生自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表。
这一思想方法应让学生理解。
1）符号语言∵ P在线段AB的垂直平分线CD上∴ PA = PB2）定理解释：P为CD上的任意一点，只要P在CD上，总有PA = PB。
3）此定理应用于证明两条线段相等【展示提升】典例分析知识迁移1）如图，已知直线AD是线段AB的垂直平分线，则AB = 。
2）如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB =5，BD =4，则AC = ，CD = ，AD = 。
3）如图，在△ABC中，AB = AC，∠AED =50，则∠B的度数为。
自主探究：线段垂直平分线的逆定理困为这个命题不是“如果……那么……”的形式，所以学生说出或写出它的逆命题时可能会有一定的困难帮助学生分析它的条件和结论，再写出其逆命题，最后应要求学生按证明的格式将证明过程书写出来。
1）猜想：我们说“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，那么，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上有什么性质？引导学生自主发现线段垂直平分线的判定。
1.3 线段的垂直平分线 第二课时 导学案
1.3 线段的垂直平分线（二）一、学习准备：1、作出线段AB 的垂直平分线：2、在△ABC 中,AB=AC, ∠B=580,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC= . 二、学习目标：1、知道三角形三边的垂直平分线交于一点。
2、能根据所给定的条件作出正确的三角形。
三、学习提示：阅读P24~25完成下列任务： 1，自主探究：分别画出锐角三角形、直角三角形、吨叫三角形三边的垂直平分线、并观察它们交点的位置。
得到定理。
结论：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在 外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在 ；2. 合作探究：例：求证：三角形三条边的垂直平分线相较于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
3、合作探究：例：已知一个等腰三角形的底边及底边的高，作出这个三角形。
已知：线段a 、h求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h 。
4、教师讲解过一点作已知直线的垂线；5、练习：B A aABC1、P26随堂练习2、如图，有A 、B 、C 三个工厂，现要建一个供水站， 使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要 求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）四、学习小结：你有哪些收获 五、夯实基础：1、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ） A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点； C 、三角形三条中线的交点； D 、三角形三条高的交点。
2、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定3、等腰 Rt △ABC 中，AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O ，则点O 到三角形三个顶点的距离是 。
4、已知线段a ，求作以a 为底，以a 21为高的等腰三角形。
六、能力提升1.已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900, ∠BAC=600,DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，点F 在DE 的延长线上，且AF=CE ，试探究图中相等的线段。
八年级数学上册《1.2 线段的垂直平分线》导学案
八年级数学上册《1.2 线段的垂直平分线》导学案1、2 线段的垂直平分线学习目标：1、理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质。
2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
3、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
重难点：重点：1、掌握线段垂直平分线性质。
2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
难点：1、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
学习过程：1、生活中问题政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心。
试问：该购物中心应建于何处，才使得它到三个小区的距离相等？2、刚才用折叠的方法作出了线段的垂直平分线，还可以用尺规作图的方法作线段的垂直平分线。
（同学之间交流做法）3、任意画一个三角形，用圆规和直尺作出它的三条边的垂直平分线，你有什么发现？一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、不能确定2、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A、AB、BC两边高线的交点处B、AC、BC两边中线的交点处C、AC、BC两边垂直平分线的交点处D、∠A、∠B的平分线交点处3、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0、EDABC4、锐角△ABC中，∠A=60，AB，AC两边的垂直平分线交于点O，则∠BOC的度数是__________。
5、在△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线交AC于F，若AB=12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是 w3、如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长、 BAEDC。
线段的垂直平分线的性质的导学案及校本作业
厦门二中2014-2015学年数学导学案课题:§13.1.2线段的垂直平分线的性质（9月23日）姓名:班级:座号:【学习目标】：1.知道线段的垂直平分线的性质及判定并能简单应用.2.会用尺规作图的方法过直线外一点画这条直线的垂线.3.重点:线段垂直平分线的性质和判定.【问题探究】：问题探究线段垂直平分线的性质和判定阅读教材P61的内容,解决下列问题:1.测量教材P61“图13.1-6”中的线段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B,可以发现有结果P1AP1B、P2AP2B、P3AP3B(填“=”、“>”或“<”).2.如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=BC,点P在l上,试补全以下证明:证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=.又AC=CB,,∴△PCA≌△(SAS).∴PA=.3.将上述问题中的已知和结论进行交换,即如果PA=PB,求证点P在线段AB的垂直平分线上.试完成如下证明:证明:取AB的中点C,连PC.∵AC=BC,P A=,PC=,∴△PCA≌(SSS).∴∠PCA=∠PCB=.即l垂直并且通过AB的中点C,所以P点在线段AB的垂直平分线上.【归纳总结】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.与一条线段两个端点距离的点,在这条线段的上.线段的垂直平分线可以看作是的所有点的集合.【预习自测】如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于 ()A.80°B.70°C.60°D.50°知识梳理过直线外一点画直线的垂线阅读教材P62“例1”的内容,解决下列问题:过直线AB外一点C作直线AB的垂线,作法如下:(1)任取一点K,使点K和点C在AB的;(2)以C为圆心,CK为半径作弧,交于点D和E;(3)分别以D和E为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点F;(4)作直线CF,直线CF就是所求的垂线.【讨论】若点在直线上,如何过该点作直线的垂线?【预习自测】在过直线外一点作直线的垂线的画法中,连接CD、CE、DF、EF,则能说明△CDF≌△CEF的根据是()A.SASB.SSSC.ASAD.AAS互动探究1:如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是()A.ED=CDB.∠DAC=∠BC.∠C＞2∠BD.∠B+∠ADE=90°互动探究2:如图所示,DE是△ABC的AB边的垂直平分线,分别交AB、BC于D、E,AE平分∠BAC,若∠B=30°,则∠C的度数为.[变式训练]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.ED是AB的垂直平分线,交AB于点D,交BC于点E,已知∠CAE=30°,则∠B的度数为.互动探究3:如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线DE交AC于E,若△ABC的周长为28 cm,BC=8 cm,求△BCE的周长.【方法归纳交流】证明一条直线是一条线段的垂直平分线时,必须同时证明这条直线上的两点都在线段的上,才能说明这条直线就是.互动探究4:已知:如右图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D.求证:(1)OC=OD.(2)OP是CD的垂直平分线.（第2题） 第1题) 课题:§13.1.2线段的垂直平分线的性质校本作业（9月23日）姓名:班级:座号:1．如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，那么AC ＝_________.2．如图，在 ABC 中，AB 、BC 的垂直平分线相交于三角形内一点P ，下列结论中，错误的是（）A ．PA=PB B ．PA=PC C ．PB=PCD ．点P 到AB 、BC 、CA 的距离相等3．如图，已知AE ＝CE ，BD ⊥AC ．求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC ．4．如图，在△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，(1)请写出相等的线段 _____________________________________________;(2)若BC ＝10cm ，AC ＝6cm ，求△ADC 的周长.5．如图所示，已知在△ABC 中，AB 与AC 的垂直平分线分别交AB 于D ，交AC 于E ， 它们相交于F ，求证：BF=FC ．第1题 第2题6．如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABC 的周长为22，AE=5，求△ABD 的周长.☆7．如图，点P 在AOB 内，点M 、N 分别为点P 关于直线AO 、BO 的对称点，M 、N的连线与AO 、BO 交于E 、F ．若△PEF 的周长为20cm ，求线段MN 的长．F E M P NA B。
线段的垂直平分线 3同步练习导学案
1．3 线段的垂直平分线同步练习导学案班级_______ 姓名_______ 学号____ 完成日期2019年__月__日一、选择题1．如图，已知三角形ABC，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于D，连接CD，CD＝()A．3 B．4 C．4.8 D．52＝BDA．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ADB3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为()A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B5.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的错误！未找到引用源。
AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、206.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、3二、填空题1、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．2垂直平分A=30则∠3ABC°， AC 于D ，则∠CBD 的度数为 ．4、如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于 点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段 DE 的长为 ．5、如图，AB=AC ，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么 ∠ADC= 度．6、如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是 度．三、证明题1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．2、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．。
北师大版九年级数学上册1.3线段的垂直平分线(第二课时)导学案
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AP，BP，CP．
∵点P在线段AB的垂直平分线上.
∴PA=PB(
)．
同理，PB=PC．
∴PA=PC( )．
∴P点在AC的垂直平分线上(
)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于一点P.
即学即用：
如图，在△ABC中.
3、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力.
学习重点、难点：
能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.
能够利用尺规作已知底边及底边上的高作出等腰三角形.
知识链接：
垂直平分线的性质定理及判定定理.
证明的一般步骤及书写格式.
学法指导：
1、先阅读并思考P29—P31页教材内容，思考怎样证明三条直线相交于一点；
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑.
自主学习：
1、垂直平分线的性质定理：
；
2、垂直平分线的判定定理：
.
自我评价：
小组长评价：
合作探究：
活动一：
请你利用折叠或尺规作出三角形三条边的垂直平分线.再观察这三条垂直平分线，你发现了什么?
结论：.
你能证明这个结论吗？
思考：要想证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的在另一条直线上即可.
4、(15分)在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=____cm.
5、(40分)如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：AO⊥BC.
课后作业：
课本第31页，习题1.7，知识技能，1.
华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案：13.5 2 线段垂直平分线【含答案】
华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案13.5 逆命题与互逆定理2.线段垂直平分线学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法；（重点）2.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）自主学习一、知识链接1.经过线段________并且______于这条线段的________，叫做这条线段的垂直平分线.2.线段是轴对称图形，它的对称轴是它的线.二、新知预习操作：如图，已知线段AB，作直线MN的垂直平分线段AB.问题：（1）设两弧线的一个交点为P，量出AP，PB的长度，它们有什么关系？（2）用学过的方法证明AP与BP的关系．合作探究一、探究过程探究点1：线段垂直平分线的性质问题通过上述“操作”，你认为线段的垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离，有什么特点？【要点归纳】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离________.例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D.若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例2 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.【要点归纳】三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离_______. 【变式题】某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？在图中作出购物中心的位置．例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.若BE⊥AE，求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【方法总结】证明线段相等的常用方法：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.探究点2：线段垂直平分线的判定问题写出垂直平分线性质定理的逆命题，你认为它是真命题还是假命题？【要点归纳】到线段两端距离________的点在这条线段的______________上.例4如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.二、课堂小结当堂检测1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离______.证明线段相等第1题图第2题图第3题图2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是.3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC= °.4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE＝AC．5.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，若AB+BD＝DC，求证：点E在线段AC的垂直平分线上．6.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O．（1）找出图中相等的线段；（2）OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的距离，试说明它们的大小有什么关系?参考答案自主学习 一、知识链接1.中点 垂直 直线2.垂直平分 二、新知预习 操作：如图所示：问题：（1）AP=BP ． （2）由作图知MN 垂直平分AB ，设MN 与AB 相交于点C ，所以AC=BC ，∠ACP=∠BCP ，又因为CP=CP ，所以△ACP ≌△BCP .所以AP=BP . 合作探究 一、探究过程 探究点1： 【要点归纳】相等 例1 C例2 证明：∵点P 是边AB ，BC 的垂直平分线的交点，∴PA=PB ，PB=PC ，∴PA=PB=PC ． 【要点归纳】相等【变式题】解：如图，连接AB ，分别以A 、B 为圆心，大于21AB 长为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即得AB 的垂直平分线；同理连接BC ，作出BC 的垂直平分线，两条直线交于点P ，则点P 就是购物中心的位置.例3 证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADC=∠ECF.∵E 是CD 的中点，∴DE=EC ．∵在△ADE 与△FCE中，⎪⎩⎪⎨⎧CEF,AED EC,DE ECF,ADC ＝∠∠＝＝∠∠∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴FC=AD ．（2）∵△ADE ≌△FCE ，∴AE=EF ，AD=CF ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF ，∵AD=CF ，∴AB=BC+AD ．探究点2：【要点归纳】相等 垂直平分线例4 证明：∵O E 平分∠AOB ，∴∠COE=∠DOE ．∵EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°.在△OCE 和△ODE 中，COE DOE,OCE ODE,EO EO,∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△OCE ≌△ODE （AAS ），∴OC=OD ，又∵OE 是∠AOB 的平分线，∴OE 是CD 的垂直平分线．二、课堂小结 相等 当堂检测 1. B2.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.1004.证明：∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵ED ⊥AB ，BE 平分∠ABC ，∴CE ＝DE ，∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∵AC ＝AE +CE ，∴BE +DE ＝AC ．5.证明：∵AD 是高，∴AD ⊥BC ，又∵BD ＝DE ，∴AD 所在的直线是线段BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∴AB +BD ＝AE +DE ，又∵AB +BD ＝DC ，∴DC ＝AE +DE ，∴DE +EC ＝AE +DE.∴EC ＝AE ，∴点E 在线段AC 的垂直平分线上．6.解：AD 垂直平分EF.理由如下：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠FAD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＝∠AFD ．在△AED 和△AFD 中，，∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE ＝AF，DE＝DF，∴AD为EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF．7.解：（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD.（2）OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，，∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠CAO＝∠DAO，又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴∠AEO=∠AFO，又∵AO=AO，∴△AOE≌△AOF（AAS），∴OE＝OF．。
八年级数学线段的垂直平分线的性质导学案
P3 P2 P1 A O
C
．学生动手操 作，通过实践、
B
自主探索、交 流，获得新知，
线段垂直平分线性质定理: 几何语言： ∵ ∴ 跟踪训练： 如右图所示，直线 MN 和 DE 分别是线段 AB、BC 的垂直平分
线，它们交于 P 点，请问 PA 和 PC 相等吗?为什么? 探
探究点二 ：
线段垂直平分线判定定理
学生模仿上面 的研究方法，在 教师的引导下 完成操作过程， 通过交流，归纳 得出结论。 A B
你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？
小帅同学为验证逆命题已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整： 已知： _______=_______ 求证：_____在 AB 的______________线上
P
八年级上册数学导学案
课型：新授课 班级： 小组： 设计：熊伟林 姓名： 审核： 审批： 使用时间：____月____日 星期__ 第____1__课时 学习过程 流程及学习内容
一、解读目标（2 分钟） 学习目标： 1、掌握线段垂直平分线的性质 2、掌握线段垂直平分线的判定 3、运用线段垂直平分线的性质解决问题 二、夯实基础（10 分钟） （1）A、B、C、D 的对称点分别是 分别是 ，线段 AD、AB 的对应线段 在教师引导下 回忆前面知识， 为探究新知识 （2）连接 AE、BF，AE 与 BF 平行吗？为什么？ （3）对称轴 MN 与线段 AE 的关系？ 作好准备
判定定理： 几何语言： ∵ ∴ 四．过关检测
1.点 P 是△ABC 中边 AB 的垂直平分线上的点，则一定有（ ） A． PB=PC B. PA=PC C. PA=PB D. 点 P 到∠ABC 的两边距离相等 2．下列说法错误的是（ ） A. D.E 是线段 AB 的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BE B． 若 AD=BD，AE=BE，则线段 DE 是线段 AB 的垂直平分线 C． 若 PA=PB，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 D. 若 PA=PB,则过点 P 的直线是线段 AB 的垂直平分线 3.如图，AD⊥BC，BD =DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB， AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD 与 DE 有什么关系？
人教版八年级数学上册第十三章《线段的垂直平分线的性质》第1-3课时学习任务单(导学案)及作业设计
人教版八年级数学上册第十三章《线段的垂直平分线的性质》学习任务单及作业设计第一课时【学习目标】1.理解并掌握线段垂直平分线的性质；2.会用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题．【课前学习任务】准备直尺，三角板等工具．复习回顾线段的垂直平分线的定义．【课上学习任务】学习任务一：1.回顾线段垂直平分线的定义符号语言：2.探究：学习任务二：猜想：学习任务三：例如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上．（1）AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？（2）若AE=6, △ABC的周长是 13，求△ABE的周长．练习：如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC=10，则 AB= ．例已知，如图，AM是△ABC的角平分线，MF是线段BC的垂直平分线，MD⊥AB 于 D，ME⊥AE于E，求证：BD=CE．【作业设计】1．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点 M，交BC于点N，若AB=3，BC=13．那么△ABN的周长是．2．如图，线段AB,BC的垂直平分线l1, l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC= ．【参考答案】1. 162. 78°第二课时【学习目标】1.理解并掌握定理“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”.2.会用这个定理解决简单的数学问题．【课前学习任务】1.准备直尺，三角板等工具．2.复习回顾角平分线的性质的两个定理，以及线段的垂直平分线的性质，并填写在学习任务一的相应位置上．【课上学习任务】学习任务一：图示性质定理角平分线线段的垂直平分线学习任务二：猜想：学习任务三：例如图，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD是EF的垂直平分线．【作业设计】1.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE 垂直平分BD．2.下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：△ABC.求作：△ABC的边BC上的高AD.作法：如图，（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，BA,CA 为半径作弧，两弧相交于点 E；（2）作直线 AE 交 BC 边于点 D.所以线段 AD 就是所求作的高.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，AC=_______，∴点 B, C 都在线段 AE 的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴直线 BC 是线段AE的垂直平分线（）（填推理的依据）．∴AD⊥BC，即AD是△ABC 的边BC上的高．【参考答案】1.证明：∵在ΔAOB 和ΔCOD 中,∴点 O 在线段 BD 的垂直平分线上.∵BE=DE,∴点 E 在线段 BD 的垂直平分线上.∴OE 垂直平分 BD.2.BE；CE；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．第三课时【学习目标】1.会用尺规作图作一条线段的垂直平分线，及过一点作一条直线的垂线；2.能用线段的垂直平分线的尺规作图方法解决简单的作图问题．【课前学习任务】1.准备直尺，三角板，圆规等工具．2.复习回顾线段的垂直平分线的性质（第二课时）的作业第 2 题以及学过的尺规作图．【课上学习任务】学习任务一：回顾作业：下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：△ABC.求作：△ABC 的边 BC 上的高 AD.作法：如图，（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，BA,CA 为半径作弧，两弧相交于点 E；（2）作直线 AE 交 BC 边于点 D.所以线段 AD 就是所求作的高.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，AC=_______，∴点 B, C 都在线段 AE 的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴直线 BC 是线段 AE 的垂直平分线（）（填推理的依据）．∴AD⊥BC，即 AD 是△ABC 的边 BC 上的高．学习任务二：例已知：如图，线段 AB．求作：线段 AB 的垂直平分线 MN．练习尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．过直线上一点作这条直线的垂线该如何作呢？学习任务三：例作出下列图形的一条对称轴．（1）（2）例如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所学校P，要使学校P到三个村庄的距离相等，请你利用尺规作图确定学校的位置．例如图，电信部门要在C处修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条高速公路 l1和 l2的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）【作业设计】1.如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？2.如图，某地由于居民增多，要在公路 l 上增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，请你利用尺规作图确定这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？【参考答案】1. d2. 如图所示，点 P 即为所求．。
线段垂直平分线的性质和判定
黄陂区塔耳中学数学导学案主备人：方小红 审核人：詹建明 班级：八（3）、八（4）班 姓名： 课题：线段垂直平分线的性质与判定 【学习目标】：1 理解并掌握线段垂直平分线的性质与判定，并能运用线段垂直平分线的性质与判定解决有关的问题；2 经历运用线段垂直平分线的性质与判定解决有关问题的过程，培养学生分析与解决问题的能力；3 通过对线段垂直平分线的性质与判定进行探究的过程，增强学生学习数学的兴趣，并让学生感受“观察——猜想——验证”在探究新知识的过程中的必要性。
【学习重点】：线段垂直平分线的性质与判定的理解与运用。
【学习难点】：线段垂直平分线的性质与判定的理解与综合运用。
【易错点】：线段垂直平分线的证明。
一 课前导学1 相关知识的链接（1）下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它有几条对称轴。
（2）如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？（3）如图，已知点A,B 关于直线MN 对称,直线MN 交线段AB 于O 。
则AO= ，∠AOM=∠BOM= ，直线MN 是线段AB 的 。
A ·B ·MNO2 自学教材P 61～P 62的有关内容，对相关知识进行初步的理解。
探究（1）① 作出线段AB ，过AB 中点C 作AB 的垂直平分线l ，在l 上取P 1、P 2、P 3…，连结AP 1、 AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…② 作好图后，用直尺量出AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…的长度，讨论发现什么样的规 律。
猜想： ③ 你能运用三角形的全等证明这个结论吗？如图，直线l AB ⊥于C ，且C 为线段AB 的中点，点P 在l 上。
求证： PA PB =④ 引导与归纳（ⅰ）线段垂直平分线的性质： （ⅱ）几何表达式：∵ AC=BC PC ⊥AB∴ PA=PB探究(2)① 作线段AB 和线段AB 外一点P ，连接PA ，PB 。
若PA=PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上吗？② 再取一些点，判断当这些点到A ，B 的距离相等时，它们是否也在线段AB 的垂直平分线上？③ 猜想： ④ 你能证明这个结论吗？试试看。
《线段的垂直平分线的有关作图》教案、导学案、同步练习
《第2课时线段的垂直平分线的有关作图》教案教学目标①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．②探索并理解线段垂直平分线的两个性质．③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法．④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．教学重点与难点重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述．教学过程Ⅰ、情境导入1．下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴．2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC 和△A'B'C'关于直线MN对称)3．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系?Ⅱ、自主探究探究1：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为图点A 和点A'，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A 和点A'关于直线MN 对称．连结点 A ，A'，交直线MN 于点P ．观察图形，线段AA'与直线MN 有怎样的位置关系?你能说明理由吗? 类似地，点B 与点B'，点C 与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?探究2：如图，木条MN 与AB 钉在一起，MN 垂直平分AB ，P1，P2， P3，……是MN 上的点，分别量一下点P1，P2，P3，……到A 与B 的距离，你有什么发现吗？你能说明理由吗?探究3:反过来PA=PB,那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？为什么？Ⅲ、交流归纳通过探究1首先知道垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线学生归纳出图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(
第2题）E D
C B A 线段垂直平分线导学案
一、学习目标：
1、掌握线段垂直平分线的性质定理，并能够证明线段垂直平分线的性质定理
2、能够初步运用线段垂直平分线的性质解决几何问题。
二、学习重难点
重点：线段垂直平分线的性质定理。
难点：利用线段垂直平分线的性质解决几何实际问题。
三、新课导学： 1、线段垂直平分线： 并且 一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。
2、线段垂直平分线（结合图形）回答下列问题 ①：线段是 图形。
A 、中心对称；
B 、轴对称②： ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线（已知）
∴ = ， ∠ =∠
3、证一证： 已知：如图，MN ⊥AB 于C,AC=BC ，点P 是直线MN 上任意一点
求证：PA=PB 证明：
4、写一写：几何语言：（如上图） ∵ 点P 在直线MN 上，直线MN 垂直平分线段AB
∴ = ∠ =∠ =
归纳：线段垂直平分线的性质定理：①
②
四：新课练习
1、 如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，那么AC ＝_________.
（第3题） （第4题）
2、如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于点E ，若BE=2则A 、E 两点的距离是（ ）.
A.4
B.2
C.3
D.12
3、如图，AB 垂直平分CD ，若AC=1cm ，BC=2cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）cm.
(第1题)
A.3
B.7 C 4 D 6
4、如图，NM 是线段AB 的中垂线,下列说法正确的有： .
①AB ⊥MN,②AD=DB ， ③MN ⊥AB ， ④MD=DN ，⑤AB 是MN 的垂直平分线.
5、如右图，△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点.
（1）当AE=13cm 时，BE= cm ；
（2）当△BEC 的周长为26cm 时，则BC= cm ；
五：巩固练习
1、如图，已知：AD 是ABC ∆的垂直平分线.，E 为AD 上一点， 求证：△ABE ≌△ACE
2、如图，已知：︒=∠90C ，DE 是AB 的垂直平分线，D 为垂足，交BC 于E ，AC AB 2=. 求证：DE CE =.
3、如图，已知在ABC ∆中，∠B=∠ACB=2∠A ，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求:∠BCD 的度数。