简单线性规划第三课时
2017届高考数学大一轮 第六章 不等式与推理证明 第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理
1．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，
B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限
额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4
万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
A(吨) B(吨)
甲 乙 原料限额
32
12
12
8
B．16万元
C．17万元
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
1．(2015·高考湖南卷)若变量x，y满足约束条件
x2＋x－y≥y≤－11，， 则z＝3x－y的最小值为(
)
y≤1.
A．－7 C．1
B．－1 D．2
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝3x－
y可化为y＝3x－z，其斜率为3，纵截距为－z，平移直线y＝3x知
当直线y＝3x－z经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值．由
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组成的平面区域 (半平面) 不含 边界直线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平 面区域(半平面)含有边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有的点(x，y)，使得Ax
解析 当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第 二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此 m＜0.
2013高中数学 3-4 第3课时简单线性规划的应用同步导学案 北师大版必修5
第3课时简单线性规划的应用知能目标解读1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题.2.能利用简单线性规划知识解决实际问题.重点难点点拨重点：1.准确理解题意，由线性约束条件列出不等式，找出目标函数.2.数形结合找出最优解的存在位置，特别是整数最优解问题.难点：最优解存在位置的探求和整点最优解的找法.学习方法指导1.列线性规划问题中的线性约束条件不等式时，要准确理解题意，特别是“至多”、“至少”“不超过”等反映“不等关系”的词语.还要注意隐含的限制条件，如x、y是正数.x、y是正整数等等.有时候把约束条件用图示法或列表表示，便于准确的写出不等式组.2.线性规划的应用：线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出这些限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数.其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清.应用线性规划的方法，一般须具备下列条件：（1）一定要能够将目标表达为最大或最小化的问题；（2）一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同选择的可能性存在；（3）所求的目标函数是有约束（限制）条件的；（4）必须将约束条件用数字表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数表示为线性函数.线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.3.解线性规划应用题的步骤：（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题.求解过程：①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.②平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.（3）作答——就应用题提出的问题作出回答.4.可行域内最优解为整点的问题的处理用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精确度要求较高，平行直线系f(x,y)＝t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准.那么如何解决这一实际问题呢？确定最优整数解常按以下思路进行：(1)若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解（在包括边界的情况下）；(2)若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解.这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范.(3)采用优值调整法，此法的一般步骤为：①先求出非整点最优解及其相应的最优值；②调整最优值，代入约束条件，解不等式组；③根据不等式组的解筛选出整点最优解.知能自主梳理线性规划解决的常见问题有问题、问题、问题、问题、问题等.［答案］物资调配产品安排合理下料产品配方方案设计思路方法技巧命题方向求实际应用问题中的最大值［例1］某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？［分析］设出未知数，列出约束条件，作出可行域，确定最优解.［解析］设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元.由题意得x+y≤300500x+200y≤90000，目标函数为z=3000x+2000y.x≥0，y≥0x+y≤300二元一次不等式组等价于 5x+2y≤900 ，x≥0，y≥0作出可行域（如图所示），如上图，作直线l:3000x+2000y=0,当直线z=3000x+2000y过点M时，z最大.x+y=300由，得M（100，200）.5x+2y=900∴z max=3000×100×+2000×200=700 000(元).因此该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大值为70万元.［说明］解答线性规划应用题应注意以下几点：（1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；（2）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；（3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；（4）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；（5）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解.变式应用1 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？［解析］设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x+20y≤30000，5x+10y≤11000x，y∈N,3x+2y≤3000即x+2y≤2200，利润z=6x+8y.x,y∈N3x+2y=3000 x=400由，得 .x+2y=2200 y=900画图可知当直线6x+8y=z经过可行域内点A（400，900）时，z取最大值，z max=6×400+8×900=9600（百元）.答：当生产空调机400台，洗衣机900台时，可获最大利润96万元.命题方向求实际应用问题中的最小值［例2］某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C.一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？［分析］可以先设出未知数，列出约束条件和目标函数，再在可行域内找出最优解.［解析］设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z=2.5x+4y,且x,y满足x≥0，y≥0, x≥0，y≥012x+8y≥64 .即 3x+2y≥16 .6x+6y≥42 x+y≥76x+10y≥54 3x+5y≥27让目标函数表示的直线2.5x＋4y=z在可行域上平移.由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.(如图)因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.变式应用2 某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元.［答案］2300［分析］①甲、乙两种设备每天生产A类、B类产品件数已知；②甲、乙两种设备的租赁已知；③生产A类、B类产品数量已知.解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解.［解析］设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，5x+6y≥50由题意得 10x+20y≥140x,y≥0且x,y∈N,z=200x+300y.作出如图所示的可行域.令z =0,得l 0:2x +3y =0,平移l 0可知，当l 0过点A 时，z 有最小值. 5x +6y =50又由 ，得A 点坐标为（4，5）.10x +20y =140所以z max =4×200+5×300=2300.探索延拓创新命题方向 线性规划中的整点问题［例3］ 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少.［解析］ 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张. 2x+y ≥15可得 x +2y ≥18 ，且x,y 都是整数，2x +3y ≥27x ≥0,y ≥0求目标函数z=x+y 取最小值时的x,y . 作出可行域如图所示：平移直线z=x+y 可知直线经过点（518，539）时，z 取最小值.此时x+y =557，但518与539都不是整数，所以可行域内点（518，539）不是最优解.如何求整点最优解呢？ 法一：平移求解法：首先在可行域内打网格，其次找出A （539518，）附近的所有整点，接着平移直线l :x+y =0，会发现当移至B （3，9），C （4，8）时，直线与原点的距离最近，即z 的最小值为12.法二：特值验证法:由法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A 0（0，15），A 1（1，13），A 2（2，11），A 3（3，9），A 4（4，8），A 5（5，8），A 6（6，7），A 7（7，7），A 8（8，7），A 9（9，6），A 10（10，6），…A 27（27，0）.将这些点的坐标分别代入z=x+y ，求出各个对应值，经验证可知，在整点A 3（3，9）和A 4（4，8）处z 取得最小值.法三：调整优值法: 由非整点最优解（539518，）知，z =557, ∴z ≥12，令x+y =12,则y =12-x 代入约束条件整理，得3≤x ≤29, ∴x =3,x =4，这时最优整点为（3，9）和（4，8）.变式应用3 某人有楼房一幢,室内面积共计180 m 2，拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名旅客每天住宿费40 元；小房间每间面积为15 m 2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？［解析］ 设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元，则x,y 满足 18x +15y ≤180 6x +5y ≤60 1 000x +600y ≤8 000，即 5x +3y ≤40x ≥0，y ≥0， x ≥0，y ≥0 z =200x +150y .作出可行域，如图所示.当直线z =200x +150y 经过可行域上的点M 时，z 最大.6x +5y =60解方程组 ，得点M 的坐标为（760720，）， 5x +3y =40由于点B 的坐标不是整数，而最优解（x,y ）是整点，所以可行域内点M （760720，）不是最优解. 经验证：经过可行域内的整点，且使z =200x +150y 取得最大值，整点是（0，12）和（3，8），此时z max =1800元.答：应只隔出小房间12 间，或大房间3 间、小房间8 间，可以获得最大利润，最大利润为1800元.名师辨误做答［例4］已知一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在-2与-1之间，另一个根在1与2之间，如图示以a,b为坐标的点（a,b）的存在范围.并求a+b的取值范围.［误解］令f（x）=x2+ax+b.由题设f（-2）＞0 2a-b-4＜0f（-1）＜0 ，∴a-b-1＞0 ，f（1）＜0 a+b+1＜0f（2）＞0 2a+b+4＞0作出平面区域如图.令t=a+b，则t是直线b=-a+t的纵截距，显然当直线b=-a+t与直线a+b+1=0重合时，t最大，t max=-1.当直线b=-a+t经过点（0，-4）时.t最小，∴t min=-4，∴-4≤t≤-1.［辨析］误解中忽视了点（a,b）的存在范围不包含边界.［正解］令f（x）=x2+ax+b.由题设f（-2）＞0 2a-b-4＜0f（-1）＜0，∴a-b-1＞0f（1）＜0 a+b+1＜0f（2）＞0 2a+b+4＞0 ,作出平面区域如图.令t=a+b，则t是直线b=-a+t的纵截距，显然当直线b=-a+t与直线a+b+1=0重合时，t最大，t max=-1.当直线b=-a+t经过点（0，-4）时.t最小，∴t min=-4，又∵点（a,b）的范围是如图阴影部分且不含边界，∴-4<t<-1.课堂巩固训练一、选择题1.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元［答案］ D［解析］设生产甲产品x吨，乙产品y吨时，则获得的利润为z＝5x+3y.x≥0由题意，得y≥0 ，3x+y≤132x+3y≤18可行域如图阴影所示.由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3,y=4, z=5×3+3×4＝27（万元）.2.有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，设需载重6吨的汽车有x辆，载重4吨的汽车y辆，则完成这项运输任务的线性目标函数为（）A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y［答案］ A3.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ） A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 ［答案］ B［解析］ 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知x+y ≤7010x +6y ≤480，x ≥0 y ≥0甲、乙两车间每天总获利为z =280x +200y . 画出可行域如图所示.点M （15，55）为直线x+y =70和直线10x +6y =480的交点，由图像知在点M （15，55）处z 取得最大值. 二、填空题4.(2010·陕西)铁矿石A 和B 的含铁率为a ,冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c ，如下表：某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO 2的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（百万元）.［答案］ 15［解析］ 设购买A,B 两种矿石分别为x 万吨、y 万吨,购买铁矿石的费用为z 百万元，则z =3x +6y . 由题意可得约束条件为y x 10721 ≥1.9x +21y ≤2 ， x ≥0 y ≥0作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z =3x +6y 在点A （1，2）处取得最小值,z min =3×1+6×2=15.课后强化作业一、选择题1.在△ABC 中，三顶点分别为A （2，4），B （-1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 内部及其边界上运动，则m=y-x 的取值范围为（ ） A.［1，3］B.［-3，1］C.［-1，3］D.［-3，-1］［答案］ C［解析］ ∵直线m=y-x ,斜率k 1=1＞k AB =32，∴经过C 时m 最小为-1，经过B 时m 最大为3. -3≥02.设z=x-y ，式中变量x 和y 满足条件 ，则z 的最小值为（ ）x -2y ≥0A.1B.-1C.3D.-3［答案］ A［解析］ 作出可行域如图中阴影部分.直线z=x-y 即y=x-z .经过点A （2，1）时，纵截距最大，∴z 最小. z min =1.3.(2011·安徽理，4)设变量x,y 满足|x |+|y |≤1,则x +2y 的最大值和最小值分别为（ ） A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1［答案］ B［解析］ 本题主要考查线性规划问题.不等式|x |+|y |≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z=x +2y 过点(0,-1),(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x +2y 的最大值 和最小值分别为2,-2,故选B.4.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（ ）A.4，1B.3，2C.1，4D.2，4［答案］ A5x -11y ≥-225.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件 2x +3y ≥9 ，则z =10x +10y2x ≤11的最大值是（ ） A.80B.85C.90D.95［答案］ C5x -11y ≥-22［解析］ 画出不等式组 2x +3y ≥9 表示的平面2x ≤11区域，如右图所示.x =211由 ，解得A (29,211) 5x -11y =-22而由题意知x 和y 必须是正整数，直线y=-x +10z向下平移经过的第一个整点为（5，4）.z =10x +10y 取得最大值90，故选C.x+y -1≤06.已知 x-y +1≥0, z =x 2+y 2-4x -4y +8，则z 的最小值为（ ）y ≤1A.223 B.29 C.22 D.21 ［答案］ B［解析］ 画出可行域如图所示.z =(x -2) 2+(y -2) 2为可行域内的点到定点（2，2）的距离的平方，∴z min = (2211|122|+-+)2=29. 7.某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种用品应各买的件数为（ ） A.2件，4件B.3件，3件C.4件，2件D.不确定［答案］ B［解析］ 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则x ≥1y ≥1 ，100x +160y ≤800求z =800-100x -160y 取得最小值时的整数解（x,y ），用图解法求得整数解为（3，3）.8.(2011·四川理，9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=（ ） A.4650元B.4700元C.4900元D.5000元［答案］ C［解析］ 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得2x+y≤19x+y≤1210x+6y≥720≤x≤8 .0≤y≤7x,y∈N设每天的利润为z元，则z＝450x+350y.画出可行域如图阴影部分所示．x+y=12由图可知z=450x+350y=50(9x+7y),经过点A时取得最大值，又由得2x+y=19 x=7．即A(7，5)．y=5∴当x=7,y=5时，z取到最大值，z max=450×7＋350×5＝4900（元）.故选C.二、填空题x+y≤19.设x、y满足约束条件y≤x ，则z=2x+y的最大值是.y≥0［答案］2［解析］可行域如图,当直线z=2x+y即y=-2x+z经过点A（1，0）时，z max=2.y≥x,10.(2011·湖南文，14)设m >1,在约束条件 y ≤mx ，下，目标函数z=x +5y 的最大值为4， x+y ≤1 则m 的值为.［答案］ 3［解析］ 本题是线性规划问题.先画出可行域，再利用最大值为4求m .由m >1可画出可行域如图所示，则当直线z =x +5y 过点A 时z 有 最大值.由y=mx得A (1,11++m m m ),代入得1511+++m m m =4, x+y =1即解得m =3.11.某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180t 支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车和4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车为320元，B 型卡车为504元.每天调配A 型卡车辆，B 型卡车辆，可使公司所花的成本费用最低.［答案］ 5 2［解析］ 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，x ≤8y ≤4 0≤x ≤8 x+y ≤10 0≤y ≤4依题意有 4x ·6+3y ·10≥180⇒ x+y ≤10 .x ≥0,y ≥0 4x+5y ≥30 x,y ∈N x,y ∈N目标函数z =320x +504y (其中x,y ∈N ).作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示，即可行域.由图易知，直线z =320x +504y 在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z ＝320x +504y 取得最小值，z 最小值＝320·5＋504·2＝2608（元）.12.购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有10元钱，共有种买法．［答案］12［解析］设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则0.8x+2y≤10 2x+5y≤25x,y∈N ，即x≥2 .x≥2,y≥2 y≥2x,y∈N∴2≤x≤12，2≤y≤5，当y=2时，2x≤15，∴2≤x≤7，有6种；当y=3时，2x≤10，∴2≤x≤5，有4种；当y=4时，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x=2有一种；当y=5时，由2x≤0及x≥0知x=0，故有一种.综上可知，不同买法有：6+4+1+1=12种.三、解答题13.制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11 g、C药品6 g.已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g.甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.［解析］设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则3x+2y≤1204x+11y≤4004x+6y≤240 ，作出可行域如图所示.x≥0y≥0目标函数为：z=2x+y.作直线l：2x+y=0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A且与原点的距离最大.此时z=2x+y取最大值. 解方程组4x+6y-240=0 x=24得 .3x+2y-120=0 y=24故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大.14.（2012·开封高二检测）某人承包一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？［解析］ 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌（x +2y ）个，绘画标牌（2x+y ）个.2x+y ≥5由题意可得： x +2y ≥4所用原料的总面积为z =3x +2y ,作出可行域如图.x ≥0y ≥0在一组平行直线3x +2y =t 中，经过可行域内的点且到原点距离最 近的直线过直线2x+y =5和直线x +2y =4的交点（2,1）, ∴最优解为：x =2,y =1∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面 积最小.15.电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间（含广告时间）. （1）问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多？（2）在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a 和b （万元）的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S =a 1+b1为效益调和指数，求效益调和指数的最小值.(取2＝1.41)［解析］ （1）设片集甲、乙分别播放x 、y 集，则有x+y ≥621x +11y ≤86，x,y ∈N要使收视观众最多，则只要z =60x +20y 最大即可. 如图作出可行域，易知满足题意的最优解为（2，4），z max =60·2+20·4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多.（2）由题意得：2a +4b =1,S =a 1+b 1=(a 1+b 1)·(2a +4b )=6+b a 2+ab 4≥6+42＝11.64（万元）. 所以效益调和指数的最小值为11.64万元.。
线性规划教案
线性规划教案一、引言线性规划是运筹学中的一种优化问题求解方法，它可以用来解决多种实际问题，如生产计划、资源分配、投资决策等。
本教案旨在介绍线性规划的基本概念、求解方法和应用案例，帮助学生理解和掌握线性规划的原理和应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行解等。
2. 掌握线性规划的求解方法，包括图形法、单纯形法等。
3. 能够应用线性规划解决实际问题，如生产计划、资源分配等。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
1.2 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
1.3 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
2. 线性规划的图形法2.1 二元线性规划的图形解法：通过绘制目标函数和约束条件的图形，确定最优解的方法。
2.2 三元或多元线性规划的图形解法：通过绘制等高线图，确定最优解的方法。
3. 线性规划的单纯形法3.1 单纯形表格法：通过构造单纯形表格，通过迭代计算找到最优解的方法。
3.2 单纯形法的基本步骤：初始化、选择主元、计算新的单纯形表格、迭代计算等。
4. 线性规划的应用案例4.1 生产计划问题：如何安排生产计划，使得利润最大化。
4.2 资源分配问题：如何合理分配资源，满足各项需求。
4.3 投资决策问题：如何选择最佳投资组合，最大化收益。
（可以根据实际情况增加或修改案例内容）四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性规划的基本概念和求解方法，帮助学生理解和掌握知识点。
2. 实例演示法：通过具体的应用案例，演示线性规划的解题过程，培养学生的应用能力。
3. 讨论互动法：引导学生参与讨论，思考问题，提高学生的思维能力和合作能力。
4. 练习和作业：布置练习和作业，巩固学生的知识和技能。
五、教学评估1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度和表达能力。
高考数学第一轮知识点 第3课时 二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时复习课件 理
作出可行域如图，让目标函数表示的直线 2.5x＋4y＝z 在可行域上平移，由此可知 z ＝2.5x＋4y 在 B(4,3)处取得最小值． 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和
3 个单位的晚餐，就可满足要求．
【变式训练】 3.某家具厂有方木料 90 m3，五合 板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生 产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生 产每个书橱需要方木料 0.2 m3、五合板 1 m2，出 售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利 润 120 元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
.D
恰为
AC
的中点，直线
y＝x＋2
将△
ABC 的面积平分．故选 A.
答案： A
【变式训练】 1.(2011·吉林延边州一模)若不
x－y＋5≥0，
等式组y≥a， 0≤x≤3
表示的平面区域是一
个三角形，则 a 的取值范围是( )
A．a＜5
B．a≥8
C．a＜5 或 a≥8
D．5≤a＜8
解析： 作出如图所示的可行域，要使该平面 区域表示三角形，需满足 5≤a＜8.
答案： D
求目标函数的最值 1．求目标函数的最值，必须先准确地作出线 性可行域再作出目标函数对应的直线，据题 意确定取得最优解的点，进而求出目标函数 的最值． 2．线性目标函数 z＝ax＋by 取最大值时的最 优解与 b 的正负有关，当 b>0 时，最优解是将 直线 ax＋by＝0 在 2y－1＝0
得 D(1,0)，
∴kCD＝0，kCA＝1212－＋01＝13，∴z 的范围是0，31；
(3)z＝
3.32简单的线性规划问题课件人教新课标
-1 B
x-y+1=0
9 17 A (8, 8 )
x-5y-3=0 C
3
x
5x+3y-15=0
课堂练习
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足
y ≤ x,
束缚条件 x + y ≤ 1,
y ≥ -1.
解：用图形表示出不等式组表示的平面区域；
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.
答：公司派出4辆A型卡车、4 辆B型卡车时 每天所支出的费用最少.
x 0,
y 0.
利用图解法可求出最大值.此时，x
y
=
1000 29
34.4
=
360 29
12.4
课堂小结
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义—在y轴上的截 距或其相反数.
3、解线性计划问题的步骤： 画、移、求、答.
x + 2y ≤ 8
4x ≤ 16 4y ≤ 12
x≥0
y ≥ 0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如上图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 的点）就代表所有可能的日生产安排；
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生 产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
C
3
x
5x+3y-15=0
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式 组所表示的公共区域内的点时，以经过点（2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点 (9 , 17 ) 的直线所对应的t最大.
简单线性规划
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
1
无以成江海 欢迎收藏●▂●
例1：画出不等式组
y x x y 1 y 1
表示的平面区域
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
2
无以成江海 欢迎收藏●▂●
例2：设z 2x y，且x，y满足下列条件
y x x y 1 y 1 求z的最大值
(2)求z的最小值
不积蹞步，无以致千里；不积小流， 无以成江海 欢迎收藏●▂●
画板3
线性规划
问题：
目标函数 （线性目标函数）
线性约 束条件
设z=2x+y，式中变量x，y满足下列条件：
y x x y 1 y 1
y
x+y-1=0
y=-2x
x-y=0
可行域
x
y=-1
求z的最大值
不目积蹞标步，函无数以致线千里；不积小流，
无以成江海 欢迎收藏●▂●
4
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组
成的集合叫做可行域；
y
x+y-1=0
最优解 ：使目标函数
y=-2x
x-y=0
取得最大或最小值的 可行解叫线性规划
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
6
无以成江海 欢迎收藏●▂●
变式练习1：设x, y满足约束条件
x y 1 y x y 0 求z x 2 y的最大值和最小值
不积蹞步，无以致千里；不积小流， 无以成江海 欢迎收藏●▂●
画板 7
变式练习2：设x, y满足约束条件
简单的线性规划问题(4课时)PPT课件
12 5
.
3
x-4y+3=0
B
2
1C
3x+5y-25=0
0 1 234567 X
13
y
例2 已知x、y满足： x
y
求z＝2x＋y的最大值. y
2x＋y＝0
最优解（3，3），
最大值9.
O
x y2 3x 6
y＝x
M
x
y＝3x－6
x＋y＝2
14
小结作业
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
19
20
探究（一）：营养配置问题 t
p
1 2
5730
【背景材料】营养学家指出，成人良好
的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳
水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的
脂肪.已知1kg食物A含有0.105kg碳水化
合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花
费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水
（3）线性规划问题： 在线性约束条件下，求线性目标函数
的最大值或最小值问题，统称为线性规 划问题．
（4）可行解： 满足线性约束条件的解（x，y）叫
做可行解．
10
（5）可行域： 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
（6）最优解： 使目标函数取得最大或最小值的可行
解叫做最优解．
11
理论迁移
例1 设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
1
问题提出
t
p
1 2
省级优课数学《简单线性规划》上课课件
练习2：在约束条件
x y 3 x y 1 x 0 y 0
可行域如图所示
y
B
下，则目标函数z ＝ x - 2y（ C ）
A (1,2)
A 有最小值-3，最大值3； B 有最小值-3，没有最大值； C 有最大值-3，没有最小值； D 以上说法都不对。
0
x-y= -1
x
x+y=3
请同学们相互讨论交流： 1．本节课你学习到了哪些知识？ 2．本节课渗透了些什么数学思想方法？
甲
80
1
3
乙
40
1
1
(1)设电视台每周应播映连续剧甲x次，连续剧乙y次， 列出变量x，y满足的不等式组;
(2)如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套
连续剧各多少次，才能使得收视观众最多？
y
解:(2)设收视观众为z百万人，8
则：z 3x y
7
6
2x y 8
5
满足
x x
y 0
6
4 3
y 0
C
x+2=0
简单线性规划问题的方法步骤：
方法：图解法（数形结合法）
步骤：
（1）作 ——作出可行域和直线 l0 ：ax+by=0 ；
（2）找 ——平行移动直线l0 ，在可行域内确定
最优解的位置；
（3）求 ——解有关方程组求出最优解，将最优 解代入目标函数求最值；
练习1：在约束条件
x 2y 4 x y 1 x 2 0
练习1：在约束条件
x 2y 4 x y 1 x 2 0
可行域如图所示
y
（-2，3）A
-2x+y=0 x-y=1
下，求目标函数z ＝ -2x＋y 的最大值和最小值。
简单线性规划3 人教课标版精品公开PPT课件
3x+5y=25 C
k l = -a
∴ -a = 3 5
∴ a=3
5
x-4y=-3 B
o
x=1
Ａ
x
练习4：满足线性约束条件 多少个整数解。
3x +２y≤10
x+4y≤11 x>0
的可行域中共有
y>0
解：由题意得可行域如图:
y
由图知满足约束条件的 5
可行域中的整点为(1,1)、
4
(1,2)、(2,1)、(2,2)
问题4：z几何意义是:
斜率为-2的直线在y轴上的截距
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x
当直线过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l直线过点A(5,2)时,z最大,即zmax＝2×5+2＝ 12
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
1．线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤; 3. 求可行域中的整点可行解； 4. 应用举例。
同学们，再见！
2020/5/9
应用举例
【优化条件】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
4
M ( 4 ,2 )
2
2
4
6
8
zy2x2x3yz
33
2020/5/9
应用举例
练习5： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两
种原料。生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产乙种产品1
3
简单线性规划优秀课件3
某工厂用A、B两种配件生 产甲、乙两种产品，每生 产一件甲产品使用4个A配 件并耗时1h，每生产一件 乙产品使用4个B配件并耗 时2h，该厂每天最多可从 配件厂获得16个A配件和 12个B配件，按每天工作 8h计算，该厂所有可能的 日生产安排是什么？
4
2
2
4
6
8
2019/4/2
应用举例
4
【优化条件】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
（h）
（个） （个） 4 x 16 4 甲产品 1 ,且 0 x, y 满足约束条件为 x, y N 4 y 12 乙产品 2 0y 0 4 x , 日生产 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示 12 16 8 满足
2019/4/2
应用举例
【引例】：
2 x 3 y 12 0 x y3 x0 y0
y
求z的最值
0
xy 3
x
2 x 3 y 12 0
2019/4/2
l0:2x+y=0
练习2：求函数z=7x+y最
大值， 式中x, y满足下列条件
y
2 x 5 y 15 x y0 6 x8
0 6 x-y=o X=6 X=8
故有四个整点可行解.
x +4y=11
0
1
2
3
3x +２y=10
4
5
x
应用举例
【引例】： 某工厂用A、B两种配 件生产甲、乙两种产 品，每生产一件甲产 品使用4个A配件并耗 时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件并 耗时2h，该厂每天最 多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件， 按每天工作8h计算， 该厂所有可能的日生 产安排是什么？ 如果若干年后的你成为某 数据分析表： 工厂的厂长，你将会面对 设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件， 生产安排、资源利用、人 A配件 B配件 每件耗时 力调配的问题 …… x 2 y 8
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.3.2简单线性规划第三课时
用图解法求最优解的步骤
(1)画．在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移．平行移动直线________，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求．求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；
收益最大问题(利润、收入、产量等)
某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都
需要两种原料．生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原
料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg.
现有A种原料1 200kg，B种原料800kg.如果生产甲产品每工时
的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，
问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大
利润是多少？
某厂计划生产甲、乙两种产品，甲产品售价50千元/件，
乙产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，
生产甲产品需要A种原料4t/件，B种原料2t/件，生产乙产品
需要A种原料3t/件，B种原料1t/件，该厂能获得A种原料120t，
B种原料50t.问生产甲、乙两种产品各多少件时，能使销售总
收入最大？最大总收入为多少？
耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题
某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，
甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设
备每天能生产A类产品6件与B类产品20件．已知设备甲每
天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公
司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最
少为________元．
某公司的仓库A存有货物12t，仓库B存有货物8t.现按7t、8t和5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
整数最优解不是边界点的问题
某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名旅客每天住宿费40 元；小房间每间面积为15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
规格类型钢管类型A规
格
B规
格
C规
格
甲种钢管214
乙种钢管231
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少．
作业
1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
2．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为()
A．2件，4件B．3件，3件
C．4件，2件D．不确定
3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()
A．2 000元B．2 200元
C．2 400元D．2 800元
4．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件
⎩⎨⎧
5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，
则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．
5．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：
a b (万吨) c (百万元)
A 50% 1 3 B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
6．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m 3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m 3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m 3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．
7．某工厂用两种不同的原料均可生产同一种产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90 kg ，若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可得产品100 kg.如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么工厂每月最多可生产多少产品？
8．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养需要、又使费用最省？。