新2019高中数学 第二章2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数及其性质的应用学案 1

第2课时 对数函数及其性质的应用学习目标：1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2.通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)[合 作 探 究·攻 重 难]比较对数值的大小比较下列各组值的大小． (1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152； (3)log 23与log 54.【导学号：37102296】[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215.又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54.同底数的利用对数函数的单调性同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化底数和真数都不同，找中间量提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或的大小[跟踪训练]1．比较下列各组值的大小： (1)log 230.5，log 230.6.(2)log 1.51.6，log 1.51.4. (3)log 0.57，log 0.67. (4)log 3π，log 20.8.[解] (1)因为函数y ＝log 23x 是减函数，且0.5<0.6，所以log 230.5>log 230.6.(2)因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4，所以log 1.51.6>log 1.51.4. (3)因为0>log 70.6>log 70.5， 所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57.(4)因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8.解对数不等式已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域； (2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．思路探究：(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合； (2)分a ＞1和0＜a ＜1求解不等式得答案．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，6－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，73； 当0＜a ＜1，不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，3.形如＞1与0形如性求解；形如[跟踪训练]2．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围.【导学号：37102297】[解] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， 所以由log 0.72x <log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．对数函数性质的综合应用 [探究问题]1．函数f (x )＝log 12(2x －1)的单调性如何？求出其单调区间．提示：函数f (x )＝log 12(2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，因为函数y ＝log 12x 是减函数，函数y ＝2x －1是增函数，所以f (x )＝log 12(2x －1)是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的减函数，其单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.2．如何求形如y ＝log a f (x )的值域？提示：先求y ＝f (x )的值域，注意f (x )>0，在此基础上，分a >1和0<a <1两种情况，借助y ＝log a x的单调性求函数y ＝log a f (x )的值域．(1)已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )【导学号：37102298】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(2)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．思路探究：(1)结合对数函数及y ＝2－ax 的单调性，构造关于a 的不等式组，解不等式组可得． (2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＞f ，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＞log a －a ，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2.(2)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．]．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．[当 堂 达 标·固 双 基]1．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >bD [a ＝log 32<log 33＝1；c ＝log 23>log 22＝1，由对数函数的性质可知log 52<log 32，∴b <a <c ，故选D.]2．函数y ＝log 12(2x＋1)的值域为________.【导学号：37102299】(－∞，0) [∵2x＋1>1，函数y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12(2x＋1)<log 121＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．]3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(0，＋∞) [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ×0＋1>0，解得a >0.]4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是______．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.]5．已知a ＞0且满足不等式22a ＋1＞25a －2.(1)求实数a 的取值范围；(2)求不等式log a (3x ＋1)<log a (7－5x )的解集；(3)若函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a 的值.【导学号：37102300】[解] (1)∵22a ＋1＞25a －2，∴2a ＋1＞5a －2，即3a ＜3，∴a ＜1，即0＜a ＜1.(2)由(1)得，0＜a ＜1，∵log a (3x ＋1)<log a (7－5x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，7－5x >0，3x ＋1>7－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－13，x <75，x >34，解得34<x <75.即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，75.(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝log a(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即log a5＝－2，∴a－2＝1a2＝5，解得a＝5 5.。