三角形的外心内心垂心重心

三角形的“四心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三
角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心． 一、外心
【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心．ABC ∆的重心一般用字母O 表示. 【性质】
1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边,即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.
3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=
∠2
1
,21,21.
二、内心
【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心.ABC ∆的内心一般用字母I 表示. 【性质】
1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角.
２.三角形的面积=⨯2
1
三角形的周长⨯内切圆的半径.
3.CE CD BD BF AF AE ===,,；
=++CD BF AE 三角形的周长的一半.
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2
1
90 ,C AIB ∠+=∠2190 ．
三、垂心
【定义】三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 表示. 【性质】
1.顶点与垂心连线必垂直对边, 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,．
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的 垂心为A ，△ACH 的垂心为B .
四、重心
【定义】三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 表示. 【性质】
１.顶点与重心G 的连线必平分对边.
2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍. 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===
3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3
,3C
B A
G C B A G y y y y x x x x ++=++=
. 4.向量性质：（1）=++;
(2）)(31
PC PB PA PG ++=，
５.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31
．
三角形“四心”的向量形式:
结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足⋅=⋅=⋅， 则点O 为ABC ∆的垂心.
结论2：若点O 为△A ＢC 所在的平面内一点，满足
2
22222+=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.
结论３：若点G 满足=++,则点G 为ABC ∆的重心.
结论４:若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(3
1
OC OB OA OG ++=，
则点G 为ABC ∆的重心.
结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a
（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△AB Ｃ的内心. 结论6:若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足
AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心．
结论7：设()+∞∈,0λ，则向量|
|||(
AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的
内心.
向量和“心”
一、“重心”的向量风采
【命题１】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=,则G 是
ABC △的重心.如图⑴.
A'
A
【命题2】 已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,(0)λ∈+∞，,则P 的轨迹一定通过ABC △的重心. 【解析】 由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时,由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图
⑵.
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是
ABC △的垂心.
【解析】 由PA PB PB PC ⋅=⋅,得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以
PB CA ⊥.同理可证PC AB ⊥,PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．
【命题4】 已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 图⑴
图⑵
图⑶
图⑷
A
O
满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．
【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫
⎪=+ ⎪⎝⎭
，由于 0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫
⎪+
⋅= ⎪⎝⎭，即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C ⋅⋅+=-=，所以AP 表示垂直于BC 的向量,即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上,所以动点P 的
轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点,且AB c =,AC b =，BC a = .若
0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心.
【解析】 ∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得
()0a b c IA bAB c AC ++++=,
∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫
⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭, ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭
．∵AB AB 与AC AC
分别为AB 和AC 方向
上的单位向量，
∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠.
图⑸ 图⑹
B
同理可证:BI 平分ABC ∠,CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸. 【命题6】 已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点
P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心.
【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫
⎪=+ ⎪⎝⎭
,∴当(0)λ∈+∞，时,AP 表示BAC ∠的
平分线所在直线方向的向量,故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心,如图⑹．
四、“外心”的向量风采
【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==,则O 是
ABC △的外心.
【解析】 若222
OA OB OC ==，则222OA OB OC ==,∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心,如图⑺.
【命题７】 已知O 是平面上的一定点,A
B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足2
cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=
++ ⎪⎝⎭
,(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心. 【解析】 由于
2
OB OC
+过BC 的中点,当(0)λ∈+∞，
时,cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫
⎪+ ⎪⎝⎭
表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线图⑺
图⑻
上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻.
练习：
1.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++,若实数
λ满足:λ=+，则λ的值为( ）
A.2 Ｂ.
2
3
C ．３ D.6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O,半径为1，=++,则=⋅( ) A.
21 B ．０ C.1 D ．2
1- ３.点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ,则ABC ∆面积与凹四边形
ABOC 面积之比是( )
A.０
B.23 Ｃ．45 D ．3
4
4.ABC ∆的外接圆的圆心为O,若OC OB OA OH ++=,则H 是ABC ∆的（ ） A.外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
５．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点,若2
2
2
=+
2
22AB OC CA +=+,则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心 B.内心 C ．重心 Ｄ.垂心
6.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H ，
)(m ++=，
则实数m ＝
7.(06陕西)已知非零向量错误!与错误!满足(错误!+错误!)·错误!=0且错误!·错误!=１
2 , 则△ABC 为（ )
A.三边均不相等的三角形 Ｂ.直角三角形
C ．等腰非等边三角形 D.等边三角形 8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、,若⋅+⋅+⋅=2
,则
ABC ∆为（ )
A ．等腰三角形 Ｂ.等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案:Ｃ、Ｄ、Ｃ、D 、D 、1、D 、Ｃ。