全章热门考点整合应用()
2024年沪科版八年级上册物理第一章运动的世界全章热门考点整合应用
所示。在此过程中，以下说法中错误的是(
B
A. 以甲为参照物，乙向上运动
B. 以乙为参照物，树是静止的
C. 以树为参照物，甲和乙都向上运动
D. 以乙为参照物，甲和树都向下运动
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)
全章热门考点整合应用
考点2
速度
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全章热门考点整合应用
5. 甲、乙两同学沿平直公路从同一起点向西行走，他们运动
的路程随时间变化的规律如图所示，下列说法中正确的是
(
C
)
A. 0～8 s内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 0～8 s内，甲、乙同学都做匀速直线运动
C. 第4 s时，乙同学在甲同学的东面20 m处
沪科版 八年级上
第一章
运动的世界
全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用
名师点金
本章学习了以下内容：参照物、运动和静止的相对性；速
度、速度计算公式；匀速直线运动；长度与时间的测量；误
差与错误；测量平均速度。其中热门考点包括：能根据物体
的运动情况判断所选取的参照物，或根据选定的参照物判断
物体的运动情况；分析物体的运动图像；运用速度计算公式
柳叶湖畔骑自行车，如图所示是他们在某段路面上的速度
随时间变化的图像。下列分析中错误的是(
A
)
A. 0～10 s两人所通过的路程相等
2024年沪科版八年级上册物理第五章质量与密度全章热门考点整合应用
7.9
铁块2
158
20
7.9
铁块3
316
40
7.9
铝块1
27
10
2.7
铝块2
铝块3
54
20
108
40
2.7
2.7
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全章热门考点整合应用
(1)为探究同种物质质量与体积的关系，实验小组找来如
下的实验器材：三个体积不同的规则长方体铁块、三
个体积不同的规则长方体铝块、刻度尺和
天平
。
若实验小组找到的铁块和铝块形状不规则，需要将刻
)
(第6题)
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全章热门考点整合应用
①空烧杯的质量为15 g
②所测液体的密度为1 g/cm3
③所测液体的密度为0.85 g/cm3
④所测液体的密度随体积的增大而减小
A. 只有①和④
B. 只有②和④
C. 只有③和④
D. 只有①和③
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全章热门考点整合应用
【点拨】
设空烧杯的质量为m0，由图可知，当液体的体积为V1＝
析、实验的改进等。
全章热门考点整合应用
考点1
质量与密度的理解
1. 年幼的妹妹发现密封包装袋中的面包被压扁了很多，说面
包变小了，哥哥却说面包没变。以下选项最能准确表达哥
哥说的“没变”是面包的(
A. 体积
B. 形状
C. 质量
D. 密度
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C
2024八年级数学上册第十四章实数全章热门考点整合应用习题课件新版冀教版
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；(3)196.
【解】(2)
的平方根是±
(2)
＝± ；
的算术平方
＝ .
根是
(3)196的平方根是± ＝±14；
196的算术平方根是 ＝14.
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概念2 立方根
－2
∴3 a －1＝2 b －1.∴3 a ＝2 b .
又∵ b ≠0，∴ ＝ .
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性质3 实数的性质
8. 在0， ，－1， 这四个数中，最小的数是(
C
)
A. 0
B.
C. －1
D.
【点拨】
∵－1＜0＜ ＜
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，∴最小的数是－1.
【解】∵｜－ ｜＝ ，｜－ ｜＝ ， ＞ ，
∴－ ＜－ .
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(2)比较 和8的大小.
2024八年级数学上册第二章实数全章热门考点整合应用习题课件新版北师大版
ABCD . 若点 A 表示的数为1，正方形 ABCD 的面积为
7，则 B ， E 两点之间的距离是(
1
A. ＋2
B. －2
C. ＋1
D. －1
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A
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)
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思想2
整体思想
＋a
18
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20
【点拨】
A. 负数没有平方根，故原说法错误；
B. 100的平方根是±10，故原说法错误；
C. －16没有平方根，故原说法错误；
D. 0的算术平方根是0，故原说法正确.
【答案】 D
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2. 若 x ＝ − ，则 x ( x －5)－ x2的值为(
是(
C
A.
＝
)
.
C. . ＝
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B.
＝
D.
＝3
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考点5
第6章 全章热门考点整合应用
(2) x－3－ y－3＝ 1 .②
4
3 12
解： (1)由②，得x＝4＋y，③
将③代入①，得3(4＋y)＋4y＝19，
12＋3y＋4y＝19，y＝1.
将y＝1代入③，得x＝4＋1＝5.
所以原方程组的解为
x＝5， y＝1.
(2)由②×12，得3x－4y＝－2③，
由①＋③，得4x＝12，
解得x＝3.把x＝3代入①中，
票有y张． 由题意，得 x＋y＝67－(20＋7)，
x＋5 y＝200－(20 0.5＋10 7). 解得 x＝20，
y＝20. 经检验，方程组的解符合题意．
答：面值为1元的钞票有20张，面值为5元
的钞票有20张．
考点 4 一个技巧——换元法
2x＋1 + 4 y－3＝2，
14．解方程组： 3
2
3（2x＋1）－2（4y－3）＝5.
4
应用2 二元一次方程组与几何的综合应用
10．如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2
的3倍少10°.设∠1，∠2的大小分别为x，y，那
么下列可以求出这两个角的度数的方程组是( B )
A. x＋y＝180 ， x＝y－10
C. x＋y＝180 ， x＝3 y＋10
x＋y＝180 ， B. x＝3 y－10 D. 3 y＋x＝180 ，
15．已知(3a－b－4)2＋|4a＋b－3|＝0，求2a－3b的值．
解：由题意，得
3a－b－4＝0， 4a＋b－3＝0.
解得
a＝1， b＝－1.
所以2a－3b＝2×1－3×(－1)＝5.
思想2 整体思想
2x＋3y－2＝0，①
16．解方程组： 2x＋3 y＋5－2 y＝9.② 7
北师大版八上数学第1章勾股定理：全章热门考点整合应用课件
13．求下列图形中阴影部分的面积． (1)如图①，BA⊥CA，AB＝8，AC＝6；
解：因为AB＝8，AC＝6，BA⊥AC， 所以BC2＝AB2＋AC2＝100.所以BC＝10.所以BO＝5. 因为 S△ABC＝12AB×AC＝12×8×6＝24，S 半圆＝12π×52＝252π， 所以 S 阴影＝252π－24.
n2
3
4
5…
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b4
6
8
10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并说
明你的理由．
解：是直角三角形．理由如下：因为a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2
＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，所以a2＋b2＝c2.
解：如图，△PQC是直角三角形．理由如下： 由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5， 可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a， 因为△PBQ为等边三角形，所以PQ＝PB＝4a. 在△PQC中，因为CQ＝AP＝3a， 所以PQ2＋CQ2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2，所以△PQC是直角 三角形．
8．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线 AD＝12.求：
7．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC， 以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，且△PBQ是等边三 角形，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【点拨】说明一个三角形是直角三角形的方法较 多，但在已知三角形各边长度或各边长度之间的关 系时，利用直角三角形的判定方法判断这个三角形 是否为直角三角形，是比较常用且比较方便的方 法．
全章热门考点整合应用 (2)
全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习锐角三角函数的定义、锐角三角函数值、解直角三角形以及解直角三角形的实际应用．重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：两个概念，一个运算，两个应用，两个技巧．两个概念概念1 锐角三角函数1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的三个三角函数值．(第1题)概念2 解直角三角形2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．(第2题)一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算3．计算：(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°；(2)14tan 245°＋1sin 230°－3cos 230°＋tan 45°cos 60°－sin 40°cos 50°.【导学号：83182083】两个应用应用1 解直角三角形在学科内应用4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE ⊥AP ，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.(1)当点P 在线段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE 的长； (2)当a ＝3时，连接DF ，试判断四边形APFD 的形状，并说明理由； (3)当tan ∠PAE ＝12时，求a 的值．【导学号：83182084】(第4题)应用2解直角三角形的实际应用5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由．(2)求A，B间的距离(参考数据：cos 41°≈0.75)．【导学号：83182085】(第5题)6.【中考·泰州】如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)．(第6题)两个技巧技巧1“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝32，AC＝23，求AB的长．(第7题)技巧2“割补法”构造直角三角形求解的技巧8．如图，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC ＝503，求四边形ABCD的面积(要求：用分割法和补形法两种方法求解)．(第8题)答案1．解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°. ∴∠BCD ＝∠A.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10， ∴sin ∠BCD ＝sin A ＝BC AB ＝45，cos ∠BCD ＝cos A ＝AC AB ＝35，tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝43.点拨：运用三角函数的定义解题的关键：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的定义．本题也可利用相似求出BD ，DC ，再利用三角函数的定义直接求解．2．解：∵sin B ＝35，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35.设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k ， ∴CB ＝8k.∴AC ＝6k ，AB ＝10k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9.∴k ＝1. ∴DE ＝3，DB ＝5.∴BE ＝52－32＝4. 如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ， 则CF ∥DE. ∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，求得CF ＝245，BF ＝325. ∴EF ＝BF －BE ＝125.在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255. 点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．(第2题)3．解：(1)原式＝33×32＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫222×1＝12＋34－12＝34.(2)原式＝14×12＋1⎝⎛⎭⎫122－3×⎝⎛⎭⎫322＋112－1＝14＋4－3×34＋2－1＝3.4．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y.∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°.∴∠APB ＋∠CPE ＝90°.∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP. ∴△ABP ∽△PCE.∴BP CE ＝ABPC .∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD 是菱形．理由如下： 当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32.∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BF.∴△AED ∽△FEC. ∴AD FC ＝DECE.∴FC ＝3. ∵BP ＝3，BC ＝5，∴PC ＝BC －BP ＝2. ∴PF ＝PC ＋FC ＝2＋3＝5. ∴PF ＝AD.又∵AD ∥PF ， ∴四边形APFD 是平行四边形．在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°， ∴AP ＝5＝PF.∴四边形APFD 是菱形． (3)根据tan ∠PAE ＝12可得APPE ＝2.由(1)得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，∴a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或a ＝7.5．解：(1)相等．理由如下：由已知条件易知，∠BPQ ＝65.5°，∠PQB ＝49°， ∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°.∴∠PBQ ＝∠BPQ.∴BQ ＝PQ. (2)由(1)得BQ ＝PQ ＝1 200 m .由已知条件易知∠AQP ＝90°－49°＝41°.在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m )．又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°，∴在Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m )． ∴A ，B 间的距离约是2 000 m .6．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第6题)设铁塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m ，AB ＝(x ＋56) m . 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ， 则CF ＝AFtan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m )．在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ， 则BD ＝AB ＝(x ＋56)m .∵CF ＝BD ，∴x ＋56＝43x ＋1163，解得x ＝52.即该铁塔的高AE 约为52 m .7．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.(第7题)在Rt △ACD 中，∵AC ＝23，∠A ＝30°， ∴CD ＝12AC ＝3，AD ＝AC·cos 30°＝23×32＝3. 在Rt △BCD 中，CD DB ＝tan B ＝32，∴DB ＝2CD 3＝233＝2.∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋2＝5., 方法总结)：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数值、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，作辅助线的技巧是解此类题目的关键．8．解：方法一：如图①，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴EF ＝AB ，AF ＝BE.∵∠ABC ＝120°，∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°. 在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC·tan ∠CBE ＝503×tan 30°＝503×33＝50. 在Rt △DEF 中， DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130. ∴S四边形ABCD＝S梯形ABED＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB ＋12BC·EC ＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.(第8题)方法二：如图②，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90， BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3.∴CE＝BE＋BC＝603＋503＝110 3.在Rt△DCE中，DC＝CE·tan 30°＝1103×33＝110.∴S四边形ABCD＝S△DCE－S△ABE＝12DC·CE－12AB·AE＝12×110×1103－12×303×90＝4700 3.点拨：不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补形，把不规则四边形化为直角三角形．。
全章热门考点整合应用(50)
全章热门考点整合应用名师点金：本章内容在中考中主要考查二次根式及其性质，二次根式的计算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查，二次根式的内容是中考热点之一．其主要考点可概括为：三个概念→四个性质→一个运算→两个技巧．三个概念二次根式1．下列各式一定是二次根式的是( )2．已知x，y为实数，且满足－(y－1)＝0，那么x2 016－y2 017的值是多少？代数式3．下列式子中属于代数式的有( )①0；②a；③x＋y＝2；④x－5；⑤2a；⑥；⑦a≠1；⑧x≤3.A．7个B．6个C．5个D．4个4．农民张大伯因病住院，手术费为a元，其他费用为b元，由于参加农村合作医疗，手术费报销85%，其他费用报销60%，则张大伯此次住院共报销元(用代数式表示)．最简二次根式5．二次根式4，，，，(其中a，b均大于或等于0)中，是最简二次根式的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个四个性质()2＝a(a≥0)6．下列计算正确的是( )A．－()2＝－7 B．()2＝25C．()2＝±9 D．－＝7．在实数范围内分解因式：x4－9＝．8．要使等式()2＝x－8成立，则x＝．＝a(a≥0)9．实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则＋化简后为( )(第9题)A．7 B．－7C．2a－15 D．无法确定10．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：－.11．先化简再求值：当a＝5时，求a＋的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a＋＝a＋(1－a)＝1；乙的解答为：原式＝a＋＝a＋(a－1)＝2a－1＝9.请问谁的解答正确？请说明理由．积的算术平方根12．化简的结果是( )A．4 B．2 C．6 D．813．能使得＝·成立的所有整数a的和是．商的算术平方根14．化简下列二次根式：(1)；(2)(a＜0，b＞0)．.一个运算——二次根式的运算15．计算：(1)(3＋)×(－4)；(2)【中考·临沂】(＋－1)(－＋1)；(3)÷×＋.两个技巧比较大小16．比较－与－的大小．整体代入求值17．已知x＝－1，y＝＋1，求＋的值．18．已知x＋y＝－8，＝8，求＋的值．19．已知a－b＝＋，b－c＝－，求2(a2＋b2＋c2－－－)的值．答案1．D2．解：由已知可得＋(1－y)＝0.∵1－y≥0，∴(1－y)≥0，由非负数的性质得1＋x＝0且1－y＝0，∴x＝－1，y＝1，∴x2 016－y2 017＝0.3．C点拨：①②④⑤⑥是代数式．4．(85＋60)5．C点拨：根据最简二次根式的定义可知，只有4，这两个二次根式是最简二次根式．故选C.6．A7．(x2＋3)(x＋)(x－)8．8 910．解：根据题意得2<c<8，∴－＝－＝c－2－＝c－6.11．解：乙的解答是正确的，理由如下：∵＝|1－，且a＝5.∴1－a<0.∴|1－＝a－1.甲在去绝对值符号时忽略了1与a的大小关系，导致错误．12．B13．5 点拨：由题意，得解得又∵a是整数，∴a可以取－1，0，1，2，3.∴它们的和是－1＋0＋1＋2＋3＝5.14．解：(1)＝＝＝.(2)＝＝.15．解：(1)(方法1：先将根号外的因数移到根号内，再计算)原式＝(＋)×(－)＝(＋)×(－)＝27－32＝－5.(方法2：先化简，再计算)原式＝(3＋4)×(3－4)＝(3)2－(4)2＝27－32＝－5.(2)原式＝[＋(－1)][－(－1)]＝()2－(－1)2＝3－(3－2)＝2.(3)原式＝××＋＝－××2×＋＝－＋＝－5＋.16．思路导引：因为－>0，－>0，所以可以先比较－与－的倒数的大小，再来比较它们的大小．解：＝＝＝＋，＝＝＝＋，而＋>＋，∴>.又∵－>0，－>0，∴－<－.点拨：一般地，已知a>0，b>0，如果>，那么a<b；如果<，那么a>b.17．思路导引：先将＋变形为，然后将x＋y和的值整体代入计算即可．解：因为x＋y＝(－1)＋(＋1)＝2，＝(－1)×(＋1)＝1，所以＋＝＝＝＝6.点拨：若将x，y的值直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．通过观察已知条件和欲求值的式子可以发现x＋y，的值是一个常数，故将x＋y，作为一个整体代入求值．18．解：∵x＋y＝－8，＝8，∴x<0，y<0，∴－x>0，－y>0.∴原式＝＋＝＋＝－－＝－＝－×＝－12.19．解：∵a－b＝＋，b－c＝－，∴(a－b)＋(b－c)＝(＋)＋(－)，即a－c＝2.∴2(a2＋b2＋c2－－－)＝(a2－2＋b2)＋(b2－2＋c2)＋(a2－2＋c2)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝(＋)2＋(－)2＋(2)2＝5＋2＋5－2＋12＝22.。
全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用名师点金：本章学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形中主要学习了与三角形有关的线段和三角形内角、外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和与外角和，一般考查的题型包括三角形的计数，三角形的三边关系，三角形的中线、高、角平分线，三角形内角和及外角性质，多边形的内角和与外角和等．两个概念与三角形有关的概念(第1题)1．如图，在△中， D是边上一点，E是边上一点．(1)以为边的三角形共有个，它们是；(2)∠1是△和△的内角；(3)在△中，∠的对边是．与多边形有关的概念2．下列说法正确的是( )A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线三种线段三角形的高3．如图，D为△中边上一点，＝1，＝2，＝4，E是上一点，且△的面积等于△面积的一半，求的长．(第3题)三角形的中线(第4题)4．如图，在△中，E是边上一点，＝2，点D是的中点．连接，交于点F.已知S△＝12，则S△－S△＝( )A．1 B．2C．3 D．4三角形的角平分线5．如图，在△中，是中线，是角平分线，是高，∠＝90°，＝6，则根据图形填空：(1)＝，＝；(2)∠＝°，∠＝°；(3)∠＝°，∠＝°.(第5题)(第6题)三个关系三角形的三边关系6．已知：如图，四边形是任意四边形，与交于点O.试说明：＋＞(＋＋＋)．解：在△中有＋＞，在△中有，在△中有，在△中有，∴＋＋＋＋＋＋＋＞＋＋＋，即．∴＋＞(＋＋＋)．三角形内角、外角的关系7．已知：如图，在△中，∠C＞∠B，，分别是△的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠的度数；(2)∠与∠C－∠B有何关系？(第7题)(第8题)多边形内角、外角的关系8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形的四个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝．两种计算三角形中的边角计算9．【2015·资阳)等腰三角形的两边长a，b满足－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．多边形中的边角计算10．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63.求(n－m)t的值．两个技巧巧用面积法解决问题11．如图，在△中，⊥于点E，⊥于点D，且＝3，＝6，则与有怎样的数量关系？(第11题)(第12题)巧用整体法解决问题12．如图，∠＋∠B＋∠C＋∠＋∠E＋∠F＋∠＋∠H＋∠K＝．四种思想转化思想13．如图所示的模板按规定，的延长线相交成80°的角，因交点不在板上，不便测量，但工人师傅测得∠＝122°，∠＝155°，此时，，的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？(第13题)分类讨论思想14．阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28 ，其中一边长为8 ，则这个三角形另外两边的长分别是多少？李明说应这样解：设腰长为x ，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三角形的另外两边的长均为10 .张钢说应这样解：设底边长为x ，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8 ，12 .试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．方程思想15．在△中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数．从特殊到一般的思想16．三角形没有对角线，四边形有2条对角线和(如图①)，五边形有5条对角线，，，，(如图②)．想一想：六边形(如图③)有几条对角线？n边形有几条对角线？(第16题)答案1．(1)3；△，△，△(2)；(3)2．C3．解：如图，过点E作⊥于点F，则＝＝＝.过点C作⊥于点G，则＝＝＝.∴·＝×，即＝.又∵＝，∴＝，∴＝3，∴＝－＝1，即的长为1.(第3题)点拨：同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比．4．B点拨：连接.设S△＝x，因为＝2，点D是的中点，所以S△＝S△，S△＝S△＝S△＝6，S△＝2S△＝2x，所以S△＝S△＝3x.S△＝S△＝6－3x.由图形，得S△＝2S△，即2x＋(6－3x)＋(6－3x)＝2(x＋3x)，解得x＝1，所以6－3x＝6－3×1＝3，所以S△－S△＝2.故选B.5．(1)6；12 (2)45；45 (3)90；906．＋＞；＋＞；；＋＞；2(＋)＞＋＋＋7．解：(1)∵∠B＋∠C＋∠＝180°，∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠＝180°－30°－50°＝100°.又∵是△的角平分线，∴∠＝∠＝50°.∵∠为△的外角，∴∠＝∠B＋∠＝30°＋50°＝80°.∵是△的高，∴∠＝90°.∴∠＝90°－∠＝90°－80°＝10°.(2)由(1)知，∠＝90°－∠＝90°－.又∵∠＝180°－∠B－∠C.∴∠＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝(∠C－∠B)．8．300°9．解：∵－4|＋(b－9)2＝0，∴－4|＝0，(b－9)2＝0.∴a＝4，b＝9.若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形．若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形，∴这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.10．解：由题意知n＝4＋3＝7，m＝6＋2＝8，t＝63÷7＝9，所以(n－m)t＝(7－8)9＝(－1)9＝－1.11．解：根据△的面积＝·＝·，得×3·＝×6·，所以＝2.12．540°点拨：连接，.在△与△中，∵∠＋∠＋∠＝180°，∠H＋∠K＋∠＝180°，∠＝∠，∴∠＋∠＝∠H＋∠K.同理，∠＋∠＝∠E＋∠F.∴∠＋∠B＋∠C＋∠＋∠＋∠E＋∠F＋∠H＋∠K＝∠＋∠＋∠＋∠＋∠＋∠＋∠＋∠C＋∠B＝∠＋∠＋∠＋∠C＋∠B＝540°.13．解：不符合规定，理由如下：延长，相交于G，∵多边形为五边形，∴∠G＝540°－90°－90°－122°－155°＝83°≠80°，∴不符合规定．(第13题)14．解：李明、张钢两人的解法均不全面. 正确的解答过程如下：当该等腰三角形的底边长为8 时，腰长为(28－8)×＝10()．当该等腰三角形的腰长为8 时，底边长为28－2×8＝12()．根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立．所以这个三角形的另外两边的长是10 ，10 或8 ，12 .点拨：本题中没有明确8 是等腰三角形的底边长还是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形的三边关系进行验证．15．解：∠C＝∠B－10°＝20°＋∠A－10°＝10°＋∠A，所以∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋20°＋∠A＋10°＋∠A＝3∠A＋30°＝180°，所以∠A＝50°.16．解：六边形有9条对角线，由四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，推断n边形有条对角线．。
全章热门考点整合应用(11)
全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．.3个概念概念1成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是()A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，6 cm，1.8 dmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两条边的实际长度都是________m.概念2相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．(第3题)概念3位似图形4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．(第4题)2个性质性质1 平行线分线段成比例的性质5．【2017·杭州】如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( )(第5题)A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝126．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6.若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y.(1)求出y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，△BDE 的面积有最大值，最大值为多少？(第6题)性质2 相似三角形的性质7．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．(第7题)1个判定——相似三角形的判定8．【2017·怀化】如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB＝AD，AC＝CD.(1)求证：△ACD∽△BAD；(2)求证：AD是⊙O的切线．(第8题)9．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过点C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为点E.设P 是AC ︵上异于点A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G .(1)求证：△PAC ∽△PDF ；(2)若AB ＝5，AP ︵＝BP ︵，求PD 的长．(第9题)2个应用应用1 测高的应用10．如图，在离某建筑物CE 4 m 处有一棵树AB ，在某时刻，1.2 m 的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH 长为2 m ，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为2 m ，那么这棵树的高度是多少？(第10题)应用2测宽的应用11．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．(第11题)1个作图——作一个图形的位似图形12．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．(第12题)1个技巧——证明四条线段成比例的技巧13．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.(1)求∠PAQ的度数；(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.(第13题)答案1．C 2．203．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠ADC ＝∠A′D′C′，∠C ＝∠C′，∠ABC ＝∠A′B′C′，∠A ＝∠A′，且AB A′B′＝BC B′C′＝CD C′D′＝DA D′A′＝43，所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．4．解：如图，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点B′作B′N ⊥x 轴于点N ，则△CBM ∽△CB′N.所以＝＝又由已知条件知NC ＝a ＋1，B′N ＝－b ，＝，所以(a ＋1)＝(－b)＝所以MC ＝12(a ＋1)，BM ＝－b 2.所以MO ＝12(a ＋1)＋1＝a ＋32.所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a ＋32，－b2.(第4题)5．B6．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC ，∴8－2x 8＝y 6，∴y ＝－32x ＋6(0≤x ≤4)．(2)∵S △BDE ＝12·BD·AE ＝12·2x·y ＝12·2x·⎝⎛⎭⎫6－32x ＝－32(x －2)2＋6，∴当x ＝2时，S △BDE 有最大值，最大值为6.7．(1)证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1. 又∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠2. ∴△ABC ∽△FCD.(2)解：如图，过点A 作AM ⊥CB 于点M. ∵D 是BC 边上的中点，∴BC ＝2CD. 由(1)知△ABC ∽△FCD ，∴S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝41.又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20.∵S △ABC ＝12BC·AM ，∴AM ＝2S △ABC BC ＝2×2010＝4.∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ， ∴△BDE ∽△BMA.∴DE AM ＝BDBM. 由AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知DM ＝12CD ＝14BC ＝52.∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83. 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．(第7题)8．证明：(1)∵AB ＝AD ， ∴∠B ＝∠D. ∵AC ＝CD ， ∴∠CAD ＝∠D. ∴∠CAD ＝∠B. 又∵∠D ＝∠D ， ∴△ACD ∽△BAD. (2)如图，连接OA.(第8题)∵OA ＝OB ， ∴∠B ＝∠OAB. ∴∠OAB ＝∠CAD.∴∠OAB ＋∠OAC ＝∠CAD ＋∠OAC ， 即∠BAC ＝∠OAD. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°.∴∠OAD ＝90°，即OA ⊥AD. ∴AD 是⊙O 的切线．9．(1)证明：由四边形APCB 内接于圆O ，得∠FPC ＝∠B.又∠B ＝∠ACE ＝90°－∠BCE ，∠ACE ＝∠APD ，所以∠APD ＝∠FPC ，所以∠APD ＋∠DPC ＝∠FPC ＋∠DPC ， 即∠APC ＝∠DPF. 又∠PAC ＝∠PDF ， 所以△PAC ∽△PDF.(2)解：由(1)知△PAC ∽△PDF ，所以∠PCA ＝∠PFD. 又∠PAC ＝∠CAF ，所以△PAC ∽△CAF ，所以△CAF ∽△PDF ， 所以PD AC ＝DFAF，则PD·AF ＝AC·DF.由AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ACB ＝90°，知BC ＝5，AC ＝2 5. 由OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知CB 2＝BE·AB ，CE ＝DE. 所以BE ＝CB 2AB ＝55＝1.所以AE ＝4，CE ＝CB 2－BE 2＝5－1＝2， 所以DE ＝2.又AP ︵＝BP ︵，∠AFD ＝∠PCA ，所以∠AFD ＝∠PCA ＝45°. 所以FE ＝AE ＝4，AF ＝42，所以PD ＝AC·DF AF ＝25×（4＋2）42＝3102.10．解：(方法一：作延长线)延长AD ，与地面交于点M ，如图①. 由AM ∥FH 知∠AMB ＝∠FHG . 又因为AB ⊥BG ，FG ⊥BG ，DC ⊥BG ， 所以△ABM ∽△DCM ∽△FGH ，所以AB BM ＝CD CM ＝FGGH. 因为CD ＝2 m ，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ，(第10题)所以2CM ＝1.22，解得CM ＝103m .因为BC ＝4 m ，所以BM ＝BC ＋CM ＝4＋103＝223(m )．所以AB 223＝1.22，解得AB ＝4.4 m .故这棵树的高度是4.4 m .(方法二：作垂线)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，如图②. 所以AM DM ＝FG GH.而DM ＝BC ＝4 m ，AM ＝AB －CD ＝AB －2(m )， FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ，所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4 m .故这棵树的高度是4.4 m .11．解：如图，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，并延长交BC 于点G. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∵AF ⊥DE ，DE ∥BC ，∴AG ⊥BC ，∴AF AG ＝DE BC ，∴30AG ＝2460.解得AG ＝75 m ，∴FG ＝AG －AF ＝75－30＝45(m )． 即河的宽度为45 m .(第11题)(第12题)12．思路导引：本题位似中心为O ，先连接CO ，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C′O ＝12CO ，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及相似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．13．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD 为平角直接可得．(2)由于线段PM ，CM ，BM 在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM ＝AM ，从而证明△ACM 与△ABM 相似即可．(1)解：∵AP 平分∠BAC ，∴∠PAC ＝12∠BAC. 又∵AQ 平分∠CAD ，∴∠CAQ ＝12∠CAD. ∴∠PAC ＋∠CAQ ＝12∠BAC ＋12∠CAD ＝12(∠BAC ＋∠CAD)． 又∵∠BAC ＋∠CAD ＝180°，∴∠PAC ＋∠CAQ ＝90°，即∠PAQ ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ ＝90°，又∵M 是线段PQ 的中点，∴PM ＝AM ，∴∠APM ＝∠PAM.∵∠APM ＝∠B ＋∠BAP ，∠PAM ＝∠CAM ＋∠PAC ，∠BAP ＝∠PAC ，∴∠B ＝∠CAM.又∵∠AMC ＝∠BMA ，∴△ACM ∽△BAM.∴CM AM ＝AM BM，∴AM 2＝CM·BM ，即PM 2＝CM·BM. 点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。
全章热门考点整合应用(新北师大版七年级下册数学).docx
全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容是三角形及相关概念，三角形的分类，全等三角形的判定与性质，题型涉及选择题、填空题、解答题，更多的是渗透到其他内容之中，是各类考试命题的重要内容；本章的考点可概括为：四个概念，一个关系，一个性质，三个判定，两个技巧, 两种思想.9XS四个概念概念1与三角形有关概念1.如图，(1)图中共有儿个三角形？请分别表示出来.(2)以ZAEC为内角的三角形有哪些？(3)以ZADC为内角的三角形有哪些？⑷以BD为边的三角形有哪些？概念2三角形中重要线段2・如图，在AABC 中，ZBAC = 80°, AD丄BC 于点D, AE 平分ZDAC, ZB = 60°, 求ZDAE的度数.(第2题)概念3全等图形3.下列图形中，是全等图形的有（）在 AB, AC 边上，AM=2MB, AN = 2NC,试说明：DM = DN.Kifi 一个关系——三角形的三边关系5. A, B, C, D 四个工艺品厂的位置如图所示，四个点分别表示四个厂的位置，准备 修建一个公共展厅来展销这四个厂家的产品，展厅建在何处，才能使四个工艺品厂到公共展 厅的距离之和最短，并说明理由.■CD ・ （第5题）⑫ （第3题）A. 2 组B. 3 组C.概念4全等三角形4.【中考•杭州】如在AABC 中，已知AB = AC, AD 平分ZBAC ，点M, N 分别① ② ⑤ ⑦ 4组 D. 5组 ⑨ ⑩ O⑥iBll 一个性质——全等三角形的性质6•如图，在RtAABC 中，ZACB=90°,且AC = BC=4cm.已知ZXBCD竺Z\ACE,求四边形AECD的面积.（第6题）三个判定判定1 sss7.如图，已知AB = DC, AD = BC, 0是DB的屮点，过点O的直线分別交DA和BC 的延长线于点E, F.试说明：ZE=ZF.I)（第7题）判定2 ASA（或AAS）8・【中考•西安】如图，在厶ABC中，AB = AC,作AD1AB交BC的延长线于点D, 作AE〃BD, CE1AC,且AE, CE相交于点E.试说明：AD=CE.判定3 SAS9.如图，公园有一条字形道路，其中AB〃CD,在E, M, F处各有一个小石凳,RBE=CF, M为BC的中点，三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由.（第9题）两个技巧技巧1说明线段或角相等的方法10.如图，在RtAABC 屮，ZBAC=90°, AB=AC, ZABC 的平分线交AC 于点D, 过点C 作BD的垂线交BD的延长线于点E,交BA的延长线于点F.试说明：（1）BF=BC；⑵ BD=2CE.（第10题）技巧2添加辅助线的方法11.如图，AB = DC, ZA=ZD.试说明：ZABC=ZDCB.思想1方程思想12.如图，在AABC中，ZBAC=4ZABC=4ZC, BD丄AC交CA的延长线于点D, 求ZABD的度数.思想2转化思想13.农科所有一块五边形的试验出如图所示，已知在五边形ABCDE屮，ZABC=ZAED = 90。
鲁教版七年级下册数学课件第8章全章热门考点整合应用.ppt
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13．如图，将△ AB′C 沿着 DE 翻折，点 B′落在点 B 处．若∠1
＋∠2＝80°，则∠B＝
．
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【点拨】由折叠的特点，知∠BED＝∠B′ED，∠BDE＝∠B′DE，
所以∠BED＋∠B′ED＝2∠BED＝180°－∠1，∠BDE＋∠B′DE
＝2∠BDE＝180°－∠2.所以∠BED＋∠BDE＝12(180 °－∠1)＋12 (180°－∠2)＝90°－12∠1＋90°－12∠2＝180°－12(∠1＋∠2)＝ 180°－12×80° ＝140°. 在△ BDE 中，∠B＝180°－(∠BED＋∠BDE)＝180°－140°＝40°.
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2．下列句子属于命题的是( D ) A．画线段AB B．任何一个角都有余角吗 C．画角的平分线 D．两点之间线段最短
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3．请给假命题“两个锐角的和是钝角”举出一个反例： __∠__α_＝__2_0_°__，__∠__β_＝__3_0_°__，__∠__α_＋__∠__β_＜__9_0_°______.
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10．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则 AB 与 CD 平行吗？请说明理由．
【点拨】本题利用现有条件无法直接判断 AB 与 CD 是否平行， 我们可考虑作一条辅助线，架起 AB 与 CD 之间的桥梁．
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解：AB∥CD.理由如下： 如图，延长 BE 交 CD 于点 F，则直线 CD，AB 被直线 BF 所截． ∵∠BEC＝95°，∴∠CEF＝180°－95°＝85°. 又∵∠DCE＝35°，∴∠BFC＝180°－∠DCE －∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.又∵∠ABE＝120°， ∴∠ABE＋∠BFC＝180°. ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
全章热门考点整合应用(16)
全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与其他知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想．一个定理——三角形的中位线定理1．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．求证：(1)四边形EFGH是矩形；(2)四边形EQGP是菱形．(第1题)一个性质——直角三角形斜边上的中线性质2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)∠DHF＝∠DEF.(第2题)四个图形3．【中考·凉山州】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD 及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.(1)求证：AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．(第3题)图形2矩形4．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．(第4题)图形3菱形5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？图形4正方形6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(第6题)判定与性质1平行四边形7．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．(第7题)判定与性质2矩形8．【中考·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：(1)△ADE≌△CBF；(2)四边形DEBF为矩形．(第8题)判定与性质3菱形9．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC 交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．判定与性质4正方形10．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H 为GE的中点．求证：FB⊥BH.(第10题)四个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．(第11题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第12题)技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法)13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O 是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．(第13题)技巧4解中点四边形的技巧14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．(1)求证：四边形DEFG是矩形；(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．(第14题)两种思想思想1转化思想15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：P A＝EF.(第15题)思想2 数形结合思想16．[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.[运用](1)如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON ，OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M 的坐标为________；(2)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D 与点A ，B ，C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．(第16题)答案1．证明：(1)∵点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点， ∴EF ∥AC 且EF ＝12AC ，GH ∥AC 且GH ＝12AC ，EH ∥BD ，∴EF ∥GH 且EF ＝GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH .∴▱EFGH 是矩形．(2)∵点E ，P ，G ，Q 分别为AB ，AC ，DC ，DB 的中点， ∴EP ＝12BC ，PG ＝12AD ，GQ ＝12BC ，QE ＝12AD .∵AD ＝BC ，∴EP ＝PG ＝GQ ＝QE ，∴四边形EQGP 是菱形．点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系． 2．证明：(1)∵点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE ∥AC .同理可得EF ∥AB . ∴四边形ADEF 是平行四边形．(2)由(1)知四边形ADEF 是平行四边形， ∴∠DAF ＝∠DEF .∴DH ＝12AB ＝AD ，∴∠DAH ＝∠DHA . 同理可得HF ＝12AC ＝AF ，∴∠F AH ＝∠FHA .∴∠DAH ＋∠F AH ＝∠DHA ＋∠FHA . ∴∠DAF ＝∠DHF . ∴∠DHF ＝∠DEF .3．证明：(1)∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC . ∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ， ∴AE ＝AB ，AB ＝2AF ，∴AF ＝BC . 在Rt △BCA 和Rt △AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AF ，BA ＝AE ， ∴Rt △BCA ≌Rt △AFE (HL )， ∴AC ＝EF .(2)∵△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD ，∴∠DAB ＝∠DAC ＋∠BAC ＝90°. 又∵EF ⊥AB ，∴∠EF A ＝90°＝∠DAB .∴EF ∥AD . ∵AC ＝EF ，AC ＝AD ，∴EF ＝AD . ∴四边形ADFE 是平行四边形．4．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD ， ∴∠AEO ＝∠CFO .在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEO ＝∠CFO ，∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC.∴△AOE ≌△COF (AAS )．(2)解：当AC ＝EF 时，四边形AECF 是矩形． 理由如下：由(1)知△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF . ∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．5．(1)证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC . 又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形．(2)解：当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形． 理由：∵D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB .∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝12BC .又∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE .又∵四边形DBFE 是平行四边形， ∴四边形DBFE 是菱形．6．(1)解：DE ⊥FG .理由如下：由题意，得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°， ∴∠EDB ＋∠BED ＝90°. ∴∠GFE ＋∠BED ＝90°， ∴∠FHE ＝90°，即DE ⊥FG .(2)证明：∵△ABC 沿射线AB 平移至△FEG . ∴CB ∥GE ，CB ＝GE .∴四边形CBEG 是平行四边形． ∵∠ABC ＝∠GEF ＝90°， ∴四边形CBEG 是矩形． ∵BC ＝BE ，∴四边形CBEG 是正方形．7．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C . ∵AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF (SAS )．(2)解：四边形MFNE 是平行四边形．证明如下： ∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB ＝∠CFD ，BE ＝DF .又∵M ，N 分别是BE ，DF 的中点， ∴ME ＝FN .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，∴∠AEB ＝∠FBE . ∴∠CFD ＝∠FBE .∴EB ∥DF ，即ME ∥FN .∴四边形MFNE 是平行四边形．规律总结：本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形．8．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝CB .又∵DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，∴∠DEA ＝∠BFC ＝90°.∴△ADE ≌△CBF .(2)∵△ADE ≌△CBF ，∴AE ＝CF . ∵CD ＝AB ，∴DF ＝BE . 又∵CD ∥AB ，∴四边形DEBF 为平行四边形． 又∵∠DEB ＝90°，∴四边形DEBF 为矩形．(第9题)9．证明：如图，连接CE ，交AD 于点O .∵AC ＝AE ，∴△ACE 为等腰三角形．∵AO 平分∠CAE ，∴AO ⊥CE ，且OC ＝OE .∵EF ∥CD ，∴∠2＝∠1.又∵∠DOC ＝∠FOE ，∴△DOC ≌△FOE (ASA )．∴OD ＝OF .即CE 与DF 互相垂直且平分，∴四边形CDEF 是菱形．10．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝CB ，∠DCF ＝∠BCF ＝45°，DC ∥AE ，∠CBE ＝90°，∴∠CDF ＝∠E .又∵CF ＝CF ，∴△DCF ≌△BCF .∴∠CDF ＝∠CBF .∴∠CBF ＝∠E .∵H 为GE 的中点，∴HB ＝HG ＝12GE . ∴∠HGB ＝∠HBG .∵∠CDG ＋∠CGD ＝90°，∠CGD ＝∠HGB ＝∠HBG ，∴∠FBG ＋∠HBG ＝90°，即∠FBH ＝90°，∴FB ⊥BH .11．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，∴CD ＝AB ＝10，AD ＝BC ＝5.又∵将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，∴根据轴对称的性质可得A 1E ＝AE ，A 1D 1＝AD ，D 1F ＝DF .设线段D 1F 与线段AB 交于点M ，则阴影部分的周长为(A 1E ＋EM ＋MD 1＋A 1D 1)＋(MB ＋MF ＋FC ＋CB )＝AE ＋EM ＋MD 1＋AD ＋MB ＋MF ＋FC ＋CB＝(AE ＋EM ＋MB )＋(MD 1＋MF ＋FC )＋AD ＋CB＝AB ＋(FD 1＋FC )＋10＝AB ＋(FD ＋FC )＋10＝10＋10＋10＝30.12．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°.∵四边形A ′B ′C ′O 是正方形，∴∠EOF ＝90°.∴∠EOF ＝∠BOC .∴∠EOF －∠BOF ＝∠BOC －∠BOF ，即∠BOE ＝∠COF .∴△BOE ≌△COF .∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC .∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14. ∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 13．解：(1)在菱形ABCD 中，AG ＝CG ，AC ⊥BD ，BG ＝12BD ＝12×16＝8， 由勾股定理得AG ＝AB 2－BG 2＝102－82＝6，所以AC ＝2AG ＝2×6＝12.所以菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×12×16＝96. (2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ，所以12BD ·AG ＝12AB ·OE ＋12AD ·OF ， 即12×16×6＝12×10·OE ＋12×10·OF . 解得OE ＋OF ＝9.6，是定值，不变．(第13题)(3)发生变化．如图②，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO －S △AOD ，所以12BD ·AG ＝12AB ·OE －12AD ·OF . 即12×16×6＝12×10·OE －12×10·OF . 解得OE －OF ＝9.6，是定值，不变．所以OE ＋OF 的值发生变化，OE ，OF 之间的数量关系为OE －OF ＝9.6.14．(1)证明：如图，连接AO 并延长交BC 于H ，∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AH 是BC 的中垂线，即AH ⊥BC .∵D ，E ，F ，G 分别是AB ，OB ，OC ，AC 的中点，(第14题)∴DG ∥EF ∥BC ，DE ∥AH ∥GF .∴四边形DEFG 是平行四边形．∵EF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AH ⊥EF .又∵DE ∥AH ，∴EF ⊥DE ，∴四边形DEFG 是矩形．(2)解：∵D ，E ，F 分别是AB ，OB ，OC 的中点，∴AO ＝2DE ＝4，BC ＝2EF ＝6.∵△BOC 是等腰直角三角形，∴OH ＝12BC ＝3. ∴AH ＝OA ＋OH ＝4＋3＝7.∴S △ABC ＝12×6×7＝21.(第15题)15．证明：如图，连接PC .∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠ECF ＝90°，∴∠PEC ＝∠PFC ＝∠ECF ＝90°.∴四边形PECF 是矩形．∴PC ＝EF .在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )．∴P A ＝PC .∴P A ＝EF .点拨：本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等．16．解：(1)(2，1.5)(2)设点D 的坐标为(x ，y )．若以点A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形是平行四边形，①当AB 为对角线时，∵A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)，∴－1＋32＝1＋x 2，2＋12＝4＋y 2. ∴x ＝1，y ＝－1.∴点D 的坐标为(1，－1)．②当BC 为对角线时，∵A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)，∴3＋12＝－1＋x 2，1＋42＝2＋y 2. ∴x ＝5，y ＝3.∴点D 的坐标为(5，3)．③当AC 为对角线时，∵A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)，∴－1＋12＝3＋x 2，2＋42＝1＋y 2. ∴x ＝－3，y ＝5.∴点D 的坐标为(－3，5)．综上所述，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．。
2024年沪科版八年级上册物理第三章光的世界全章热门考点整合应用
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8. [2023·丹阳二模]小明操纵无人机悬停在湖面上方5 m处， 已知湖水深2 m，则无人机与它在水中的像之间的距离 为 10 m，该像是 虚 (填“实”或“虚”)像；若此 时无人机竖直下降2 m，它在水中像的大小将 不变 (填 “变大”“变小”或“不变”)。
示。下列叙述正确的是( C )
A. 实验时用的茶色玻璃要厚一点
B. 点燃A侧的蜡烛后，在B侧成等大的实像
C. 如果茶色玻璃与水平面不垂直，蜡烛也
能成像 D. 蜡烛以4 cm/s的速度靠近茶色玻璃，其像
(第7题)
以相同速度远离茶色玻璃
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【点拨】 分别作出物体两个端点A和B发出的经过孔MN上下边
缘的两条光线，这两条光线之间是人眼能够看到相应端点 的范围，两个范围的交叉部分即为眼睛的位置。
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【点拨】 日食形成的原因是光沿直线传播，由图可知，在A区
域时，太阳射向地球的光全部被月球挡住，人们看到的是 日全食。
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3. [2023·成都武侯区校级模拟]如图，在墙壁上有一孔MN， 室外有物体AB。小明想通过孔MN在室内看到物体的全部 情况，请你作图画出小明眼睛的大致位置。 【解】如图所示。
的夹角增大20° C. 将纸板NOF向后折叠，则反射光线会消
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名师点金：分析数据主要是根据数据的特征，恰当选择平均数、中位数、众数作出符合实际需要的分析，善于利用样本的数据估算总体的数据．本章主要考点可概括为：四个概念、三个应用．
四个概念
概念1平均数
1．【中考·无锡】某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表：
则售出蔬菜的平均单价为________．
2．【中考·防城港】学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘成了条形统计图(如图)，则30名学生参加活动的平均次数是()
(第2题)
A．2 B．2.8 C．3 D．3.3
概念2中位数
3．【中考·抚顺】学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年级一班学生捐款情况如下表：
则学生捐款金额的中位数是()
A．13元B．12元C．10元D．20元
概念3众数
4．【中考·铁岭】2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石
联赛100 m 男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10 s 大关的黄种人．下表是苏炳添近五次大赛参赛情况：
则苏炳添这五次比赛成绩的众数和平均数分别为( ) A ．10.06 s ，10.06 s B ．10.10 s ，10.06 s C ．10.06 s ，10.08 s D ．10.08 s ，
10.06 s
概念4 方差
5．在一次数学测试中，某小组五名同学的成绩(单位：分)如下表(有两个数据被遮盖)．
那么被遮盖的两个数据依次是( )
A ．80，2
B ．80，10
C ．78，2
D ．78，10
6．【中考·莆田】在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是( )
A ．平均数是5
B ．中位数是6
C ．众数是4
D ．方差是3.2
三个应用
应用1 平均数、中位数、众数的应用
7．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数：
(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数．
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件个数定为260，你认为这个定额是否合理？为什么？
应用2方差的应用
8．【中考·贵港】某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：
(第8题)
乙校成绩统计表
(1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为________；
(2)请你将图②补充完整；
(3)求乙校成绩的平均分；
(4)经计算知s甲2＝135，s乙2＝175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．【导学号：83182014】
应用3用样本估计总体的应用
9．随着某市社会经济的发展和交通状况的改善，该市的旅游业得到了高速发展．某旅游公司对该市一企业个人旅游年消费情况进行问卷调查，随机抽查部分员工，记录每个人年消费金额，并将调查数据适当整理，绘制成尚不完整的统计表和统计图(如图)．
根据以上信息解答下列问题：
(1)a＝________，b＝________，并将条形统计图补充完整；
(2)在这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在________组；
(3)若这个企业有3 000名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数．
(第9题)
答案
1．4.4元/kg 2．C
3．D 点拨：因为10＋13＋12＋15＝50(人)，按照从小到大顺序排列的第25个和第26个数据都是20元，所以中位数为20＋20
2
＝20(元)．
4．C 5.C 6.B
7．解：(1)平均数是260个，中位数是240个，众数是240个．
(2)不合理．因为表中数据显示，每月能完成260个的人数一共有4人，还有11人不能达到此定额，尽管260个是平均数，但不利于调动多数员工的积极性，而240个既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240个较为合理．
8．解：(1)54°
(2)补全条形统计图如图所示：
(第8题)
(3)乙校成绩中80分的人数为20－1－7－8＝4(人)，所以乙校成绩的平均分是70×7＋80×4＋90×1＋100×8
20
＝85(分)．
(4)因为s 甲
2
<s
乙
2
，所以甲校20名同学的成绩相对乙校较整齐．(说法不唯一，意思正
确即可)
9．解：(1)36；30
补全条形统计图如图所示：
(第9题)
(2)C
(3)因为24120＝0.2，12
120＝0.1，所以估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数为3
000×(0.10＋0.20)＝900(人)．。