2017-2018学年黑龙江省孙吴县第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题
高二数学上学期期中试题理(4)word版本
2017— 2018 学年上学期高二年级期中考试理科数学本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 22 题，共 150 分，共四页 .第 I 卷一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.已知会合 A{ x | y x22x3}，会合B { 2,1,0,1,2} ，则A B（）A.{ 1,0, 2}B.{ 1,0,1,2}C.{2,1,0,1}D.{1,2}2.已知数列 { a n} 是等比数列（q 1 ），a1a620,a2a5 1 ，则a8（）A.16B.25C.25D.1654453.设函数f ()sin(3),x R，则以下结论正确的选项是() x x2A. f (x) 是最小正周期为的奇函数B. f(x) 是最小正周期为的偶函数C. f (x) 是最小正周期为2的奇函数3D. f (x) 是最小正周期为2的偶函数34. 平面向量与的夹角为2， a (2,0)， | a2b | 2 3 ，则 a b（）3A.23B. 2 3C.D.x y205. 对于设变量x, y知足拘束条件x y20 ，则目标函数 z x 2 y的最小值为（）y1A.B.C.D.6. 设p :1x 2 ， q : log 2 x 2 ，则是建立的（）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件7.若 a b0， c d0 ，则必定有（）a b a b a bD.a bA.d B.dC.c d cc c d8.若 tan3，则 cos22sin 2（）324816 B. C. 1 D.A.2525259.对于的不等式ax2 3 的解集为x |5x 1，则（）33A.3或B.C.3D.3 55510. 数列a n的前项和知足： S n S m S n m，且 a11，则 a10（）A.B.C.D.11. 在ABC 中，若 a2b22c2，则角的最大值为（）A. B. C. D.264330 时， f ( x)sin x ；当x12. 已知函数f ( x)的定义域为 . 当x时，f ( x) f ( x) ；当 x时， f ( x) f ( x) ，则 f (20（）)22233B. C.31A. D.222第II 卷二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分 .13.平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2y30 被圆 x2y24x 2 y 1 0 截得的弦长为 ______.14.已知 f ( x)ln x ，0 a b，若 p f (ab ) ， q f ( a b) ， r f (a) f (b) ，22则 p, q, r 的大小关系是____________.15. 在ABC 中，点 M , N 知足AM 2 MC ， BN NC ．若 MN x AB y AC，则x y _______.10 x, x 20,a 1) 的值域是 (8,) ，则实数的取值范围是16. 函数 f ( x)log a x, x （a7 2__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 5( , 317. （ 10 分）已知 sin( x), x)452 4（ 1）求 cos x 的值；（ 2）求 sin(2 x)的值．318.(12 分 ) 设函数 f (x) | 2x 1| | x4 |（ 1）求不等式 f ( x) 2 的解集；（ 2）若存在 x R 使得 f (x) m 建立，务实数的最小值 .19. （ 12 分）在 ABC 中， a 2 c 2 b 22ac .（ 1）求；（ 2）求2 sin A sin C 的取值范围．20. （ 12 分）设函数 f ( x) x1 x a (a 0)a（ 1）证明： f ( x) 2 ；（ 2）若 f (3)5 ，求的取值范围 .21.（12 分）已知正项数列 { a n } 的前项和知足 S n 2 ( n 2 n 1)S n ( n 2 n) 0 (nN ) ，（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；3，是数列 { b n } 的前项和，证明：对于随意n N3（ 2）设 b n都有T.a nan 1n422. （ 12 分）如图，ABC 和 BCD 所在平面相互垂直， 且 AB BCBD 2，E,F 分别为 AC , DC 的中点， ABC DBC 120 ．（ 1）求证： EFBC ；（ 2）求点到面 BEF 的距离．本试卷分第I 卷（选择题）和第理科数学II 卷（非选择题）两部分，共22 题，共 150 分，共四页 .第I卷一、选择题：此题共12 小题，每题5 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 已知会合 A{ x | yx 2 2 x 3} ，会合B { 2， 1,0,1,2} ，则 A B （ D ）A.1,0,2B.1,0,1,2 C.{ 2, 1,0,1}D.{1,2}2. 已知数列 { a n } 是等比数列（ q1 ）， a 1a 6 20,a2 a 5 1 ，则 a 8 （ B）16B.2525 D.16A.C.45543. 设函数 f ( x ) sin(3 ), x R，则以下结论正确的选项是( D )x2A. f (x) 是最小正周期为的奇函数B.f ( x) 是最小正周期为的偶函数C. f ( x) 是最小正周期为 2 的奇函数3D.f ( x) 是最小正周期为 2 的偶函数34. 平面向量与的夹角为2， a (2,0) ， | a 2b | 2 3 ，则 a b （ D ）3A.2 3B.2 3C.D.x y 2 05. 对于设变量x, y 知足拘束条件xy 2 0 ，则目标函数z x 2 y 的最小值为y 1（ A）A.B.C.D.6. 设 p :1x 2 ， q : log 2 x2 ，则是 建立的 （ A）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件7. 若 a b0， c d 0，则必定有（C）A.a b B.a bC.a b a bcdcddcD.cd8. 若 tan3 ，则 cos 22sin 2（ A）4A. 32 8C. 11625B.D.25259. 对于的不等式 ax23 的解集为 x |5 x 1 ，则（ B ）33A.3 或 B.C.3D.355510. 数列 a n 的前项和知足： S n S m S n m (m, n N ) ，且 a 1 1 ．则 a 10 （ D ） A.B.C.D.11. 在 ABC 中，若 a 2 b 2 2c 2 ，则角的最大值为（C ）A.B. C. D.26 43 312. 已知函数 f ( x) 的定义域为 . 当 x 0 时， f ( x) sin x ；当x时，f ( x)f ( x) ；当 x时， f ( x) f ( x ) ，则 f ( 20) （ C）22 23A.3B.C.312D.22第II 卷二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分 .13. 平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2y 30 被圆 x 2 y 2 4x 2 y 1 0 截得的弦长为 __2 55____.516. 已知 f ( x) ln x ， 0a b ，若 pf ( ab ) ， qf (ab) ， rf (a)f (b) ，22则 p, q, r 的大小关系是 ___ r p q .17. 在ABC 中，点 M,N 知足 AM2MC ， BNNC ．若 MNx ABy AC ，则x y___ 1____.316. 10 x, x 20,a 1) 的值域是 (8,) ，则实数的取值范围是函数 f ( x)log a x, x （a7 2___ (1,2) ____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （ 10 分）已知 sin( x) 2 5 x( 35, , )42 4 （ 1）求 cos x 的值； （ 2）求 sin(2 x) 的值．3解： （ 1） sin( x) 2 5(, 35 ， x) ， cos(x )452 445cosxcos[( x)]10 ———————— 5 分1044（ 2）cos x10 ， x ( , 3) ，sin x3 1010 2 4 10cos 2x4 ,sin 2x3 ，5 5sin(2 x) sin 2x cos 43 3 cos2 x sin10 ———— 10 分33318. （ 12 分）设函数 f ( x) | 2x 1| | x 4 |（3）求不等式 f ( x)2 的解集；（4）若存在 xR 使得 f (x) m 建立，务实数的最小值 .x5, x 121 解： （ 1） f (x)3x 3,4 ，x2x5, x 4x1 1 x 4 x 4f ( x) 22或2 或 2x 5 23x3 2x 5即 7 x1 1 5或x或 x223原不等式的解集为： { x | 7 x5} ———————— 6 分3（ 2）由（ 1）知，函数 f (x)minf ( 1)922存在 xR 使得 f ( x) m 建立f (x)min m9 mmin9 12 分m ，———————2219. （ 12 分）在ABC 中， a 2 c 2 b 22ac .（ 3）求； （ 2）求 2 sin A sin C 的取值范围．解： （1）a 2 c 2b 22ac ，由余弦定理可得 cosB2 ，2B(0, )3———————— 6 分B4（ 4） 2 sin A sin C2 sin( BC ) sin C2 sin3 C sin C cosC4C (0, )，cosC ( 2,1) ———————— 12 分4220. （ 12 分）设函数 f ( x)1 x a (a 0)xa（ 1）证明： f ( x) 2 ； （ 2）若 f (3) 5，求的取值范围 .解： （1）由绝对值三角不等式：f ( x)x1 x a( x1) (x a)1 aaaa等号建立(x1)( x a)ax 1aa由基本不等式，a 0,1 2 ，等号建立 a 1aaf (x)1a 2 ————————6分a（ 2）f (3)5313 a5 a13 a 531a 2 31a 0, 3 2 a 2 a即a a aa 231521521a1a ，a0 ，解得22 2a153a2a15521即：2a2因此的取值范围是(1 5 ,521) ———————12分2221．（ 12 分）已知正项数列{a n }的前项和知足S 2( n2n1)S( n2n) 0(n N )，n n（ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）设b n3{ b n} 的前项和，证明：对于随意n N都有 T n3，是数列. anan 14解：（ 1）解对于的方程S n2(n2n1)S n(n2n)0可得 S n n2n 或 S n 1 （舍去）n 1时, a12， n2时, a n SnSn 12n a n2n —————— 6 分（ 2）b n331)3 ( 1 1 )a n a n 14n(n4n n 1由裂项相消法可得 T n 3(11) ，n N ，T n3————— 12 分4n1422. （ 12分）如图，ABC 和BCD 所在平面相互垂直，且AB BC BD 2，ABC DBC120 ,E, F 分别为 AC , DC 的中点．（ 1）求证：EF BC ；（ 2）求点到面BEF 的距离．（ 1）证明：过点E作EH BC于点H，连结HF易证EHC FHC,EHC FHC90FH BC, 又EH BCFH EH =H BC平面 EFHEF平面 EFH，BC EF ———————— 6 分(2) 由（ 1）EH BC，EH平面 ABC ，平面 ABC平面 DBC 且交于BCEH平面 ABC解ABC 得AC2 3 ，EC 3 ，在Rt EHC 中，3FH EH2EF6BEF 可得S215，解BEF16 2由等体积法：V C V E EH SBFC 2 15BEF BFC h SBEF———— 12 分5。
精选2017-2018学年高二数学上学期期中试题理
哈师大青冈实验中学2017—2018学年度期中考试高二学年数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．42.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．14B ．－14C ．4D ．－4 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1D ．a ≤0或a >1 5．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的取值是( ) A ．209 B ．365C ．209或525 D ．209或3656．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3 7．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是( )A.22B ．－1C ．0 D ．－1－22 8.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若1F A ＝AB ，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C ．2x ±3y ＝0D ．3x ±2y ＝09.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π12 B ．1＋π12C ．13＋π4 D ．1＋π410.圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A ．2－1或－2－1B ．1或－3C ．1或－ 2D ． 211.设双曲线C 的中心为点O,若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πB ．32πC ．4πD ．34π 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“2,-+3>0x R x x ∀∈”的否定是14.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．15.已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为 16..平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ·ON ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形且∠DAB=60°，O 为AD 中点.（Ⅰ）若PA=PD ，求证：平面POB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M —BO —C 的大小为60°，如存在，求PCPM 的值，如不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M .(1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；(2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．21. （本小题满分12分） 设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．o22. （本小题满分12分）椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．高二期中考试数学（理）答案一，选择题：1---5 CCBAD 6-----10 BDABB 11—12 CA . 二，填空题：13.，2000R 30x x x ∃∈-+≤， 14.，13 15，9 16，3217答案.解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0，得a ＜x ＜3a ，即p 为真命题时，a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＞2或x ＜－4， 即2＜x ≤3，即q 为真命题时，2＜x ≤3.(1)a ＝1时，p ：1<x <3.由p ∧q 为真知p ，q 均为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＜x ＜3，2＜x ≤3，得2＜x ＜3，所以实数x 的取值范围为(2,3)．…………………………5分(2)设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}，由题意知p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ≤2，3a ＞3，∴1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．…………………………10分18题答案：解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.…………………………5分(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM ·ON ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k ＋k 1＋k 2＋8.…………………………10分 由题设可得4k ＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C (2,3)在直线l 上，所以|MN |＝2.…………………………12分 19答案 (1)∵PA=PD O 为AD 中点 ∴PO ⊥AD又∵ABCD 为菱形且∠DAB=60°∴OB ⊥AD∵PO ∩OB=O ∴AD ⊥面POB∵AD 面PAD ∴面POB ⊥面PAD …………………………4分(2)∵面PAD ⊥面ABCD 且面PAD ∩面ABCD=AD ∴PO ⊥面ABCD 以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系∴O(0,0,0)、P(0,0,)、B(0,,0)、C(-2,,0) 设=λ(0<λ<1) ∴M(-2λ,λ,(1-λ))∵平面CBO 的法向量为n 1=(0,0,)设平面MOB 的法向量为n 2=(x,y,z) ………………………………………………8分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n OM 取n 2=(λλ233-,0,) ∵二面角M —BO —C 的大小为60° ||||2121n n ⋅21 解得λ=31 ∴存在M 点使二面角M —BO —C 等于60°，且PC PM =31…………………………12分。
2017-2018学年高二数学上学期理科期中测试卷
2017-2018学年高二数学理科期中测试卷（考试范围：必修1～5,选修2－1）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合M ={ x ∈R ｜0≤x ≤2},集合N ={ x ∈R ｜x 2-x =0}，则正确表示集合M 和N 关系的韦恩（Venn ）图是2、在△ABC 中，A=45o ，B=30o ， b=2，则a 的值为（ ）A 、4 B 、22 C 、3 D 、 3 3.“a ≠0”是“函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有零点”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当1≥x 时，不等式042≥--ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、]4,(--∞ B 、]3,(--∞ C 、),4[+∞- D 、),3[+∞- 5.设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是A. 若m//α，m// n ，则n//αB. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若α⊥β， m ⊥α，m ⊥n ，则n//βD. 若α⊥β， m ⊥α，n//m ，n ⊄β，则n//β6.已知x ，y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，+，，则z =13y x -+的最大值A.3B.76C.13D.-237. 阅读右边的程序框图，若输出s 的值为7-，则判断框内可填写 （ ）．Ａ．3?i < Ｂ．4?i < Ｃ．5?i < Ｄ．6?i <8.若把函数sin y x x =-的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A.3π B.23π C.6π D.56π 9. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2, ……,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2, ……,270，并将整个编号依次分为10段 如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ②、③都不能为系统抽样 B ②、④都不能为分层抽样 C ①、④都可能为系统抽样 D ①、③都可能为分层抽样10. 对于定义在区间D 上的函数()f x ，若有两条平行直线11:l y kx m =+和22:l y kx m =+使得当x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，且1l 与2l 的距离取得最小值d 时，称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道。
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知椭圆2212516x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 7 【答案】D【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于2a ，所以到另一个焦点的距离为231037a -=-=. 【考点】椭圆定义．2．抛物线220x y =的焦点坐标为（ ）A. ()5,0-B. ()5,0C. ()05，D. ()0,5- 【答案】C【解析】由已知可得22052pp =⇒=⇒ 焦点为()05， ，故选C. 3．双曲线2244x y -=的渐近线方程是（ ） A. 2y x =± B. 12y x =± C. 4y x =± D. 14y x =± 【答案】B【解析】令2240x y -=⇒渐近线方程为12y x =±，故选B.4．已知双曲线222211x y a a-=- ()01a <<a 的值为（ ）A.12 B. C. 13 D. 【答案】B【解析】由已知可得()2222122a a e a a +-==⇒=，故选B. 5．已知P 是椭圆22184x y +=上一点， 1F 2,F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=，则12PF F ∆的面积为（ ）A. B. C.D.【答案】C【解析】由已知可得122012tan4tan3023PF F F PF S b ∆∠===，故选C. 6．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（）A. 1±B. 21±C ．33±D . 3±【答案】C 【解析】设直线l 的斜率为k,则直线l 的方程为y=k(x+2),因为直线l 与圆相切，所以1=,解之得k =. 7．已知抛物线C ： 22x y =，过点()0,2M 的直线交抛物线C 于,A B ,若O 为坐标原点，则直线,OA OB 的斜率之积为（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2- 【答案】A【解析】显然直线AB 的斜率存在，设其方程为2y k x =+ ，由222{2402y k x x k x x y=+⇒--== 22121212121212·224?14OA OBx x y y x x x x k k x x x x ⇒=-⇒====-，故选A. 8．如果满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 5-B. 52C. 103D. 5 【答案】C【解析】由上图可得作直线0:20l x y += ，将0l 移至A 点得最大值，由20{2x y y x+-==max 4210,333A z ⎛⎫⇒⇒= ⎪⎝⎭，故选C.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ， 1F 是另一焦点，若∠12PF Q π=，则双曲线的离心率等于（ ）A.B. 1C.D.2【答案】B 【解析】由已知可得22222220202101b c b ac c a ac e e e a=⇒-=⇒--=⇒--=⇒= ，故选B.10．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB CD 、，则11AB CD+=（ ） A. 2 B. 1 C. 12 D. 14【答案】D【解析】不妨设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,直线:AB y kx = ，由()24{ 1y xy k x =⇒=- 22k x - ()22212122224424024k k x k x x AB x x k k +++=⇒+=⇒=++=+，同理可得222111114444444CD k AB CD k k =+⇒+=+=++,故选D. 11．已知抛物线C ： 28y x =的焦点为F ，准线为l ， P 是l 上一点， Q 是直线PF与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A.83 B. 52C. 3D. 2 【答案】A 【解析】由3FP FQ = 可得直线PF 的倾斜角为))02260:2{8y x PF y x y x=-⇒=-⇒=212320123x x x ⇒-+⇒=或218623x QF x =⇒=+=，故选A. 12．已知抛物线C ： 210y x =，点P 为抛物线C 上任意一点，过点P 向圆22:12350D x y x +-+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形PADB 面积的最小值为（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】由圆()22:61D x y -+=⇒ 圆心()6,0D ，半径1r =，设2,10y P y PD ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭min min PD PA ===min min 122S PA r =⨯⨯= B.【点睛】解答本题的关键步骤是： 1.确定圆的标准方程；2.根据两点距离公式求出min PD = ； 3.根据直角三角形三边关系求出min PA =4..根据四边形面积公式求出min min S PA r =⨯=.二、填空题13．双曲线221416x y -=的实轴长为 ____________． 【答案】4【解析】由已知可得实轴长为24a = .14．已知双曲线： 22154x y -=，若直线l 交该双曲线于,P Q 两点，且线段PQ 的中点为点()1,1A ,则直线l 的斜率为 ____________． 【答案】45【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()()()2211121212122222154{ 054154x y x x x x y y y y x y-=-+-+⇒-=-= ()1225x x -⇒()12121224045y y y y k x x ---=⇒==-.【点睛】本题采用的是点差法求直线低斜率，即设出弦的两个端点的坐标，这两个端点的坐标满足双曲线方程，把这两个端点坐标代入到双曲线方程，将所得的两个式子作差.15．已知1F ， 2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=_______． 【答案】4【解析】设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>， 点P 为第一象限内的交点，令12,()PF m PF n m n ==>，则122{2m n a m n a +=-=，解得1212{ m a a n a a =+=-。
高二第一学期期中考试理科数学试卷含参考答案(共3套,word版)
设 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且满足 2c b
cosB ．
a cos A
（ 1）求角 A 的大小； [ 来源 : 学科网ZXXK]
（ 2）若 a 2 5 ，求 ABC 面积的最大值．
18. （本小题满分 12 分）如图，在
中， 边上的中线 长为 ，且
，
（ 1）求
15. 某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 ___________．
2
16. 对于数列 ，定义
为 的“优值”， 现在已知某数列 的“优
值”
，记数列
的前 项和为 ，若
对任意的 恒成立，则实数 的最大
值
为 ___________。
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）
F
A
B
（II ）求三 棱锥 C GBF 的体积．
E
4
22．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆
和圆
．
（ 1）若直线 l 过点 A（﹣ 1，0），且与圆 C1 相切，求直线 l 的方程；
（ 2）设 P 为直线 x
3 上的点，满足：过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1 和 l 2，它们分别
∴三角形的面积 S
1 bc sin A
5 3 ． ,,,,
．[
4 2, ]
C ． [0,6]
D ． [ 2,6]
3
3
2．在三角形 ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是（
）
A. b=7 ， c=3，C=300 B. b=5 ， c= ，B=450
C. a=6 ， b= ，B=600 D. a=20 ，b=30，A=300
2017-2018学年黑龙江省高三(上)期中数学试卷(理科)Word版(解析版)
2017-2018学年黑龙江省高三（上）期中理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．2．（5分）已知全集为R，集合M={x|≤0}，N={x|（ln2）1﹣x＜1}，则集合M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，1）C．[1，2] D．[1，2）3．（5分）如果幂函数y=（m2﹣3m+3）x的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=14．（5分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣16．（5分）已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣ B．﹣5 C．5 D．7．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．28．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．10．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的表面积是（）A．B．C．D．11．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，P为BM的中点，Q在线段CA1上，A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）|x2﹣1|dx= ．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+，则= ．15．（4分）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．16．（4分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．18．（12分）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．20．（12分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MAC的体积．21．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立．求实数λ的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年黑龙江省高三（上）期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015秋•嘉峪关校级期末）若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：满足，∴﹣i•（﹣i），∴z=，∴=i．则z的共轭复数的虚部是．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）（2015秋•香坊区校级期中）已知全集为R，集合M={x|≤0}，N={x|（ln2）1﹣x＜1}，则集合M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，1）C．[1，2] D．[1，2）【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M与N，根据全集R及N求出N的补集，找出M与N 补集的交集即可．【解答】解：∵≤0，即（x+1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，解得﹣≤x＜2，∴集合M=[﹣1，2），∵（ln2）1﹣x＜1=（ln2）0，∴1﹣x＞0，解得x＜1，即N=（﹣∞，1]，∴∁R N=[1，+∞），∴M∩（∁R N）=[1，2），故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）（2014秋•红塔区校级期末）如果幂函数y=（m2﹣3m+3）x的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=1【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．【解答】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1或2，符合题意．故选B．【点评】本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．4．（5分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义．5．（5分）（2016•焦作二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【分析】由向量的坐标运算结合已知求得的坐标，进一步得到2+的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求x的值．【解答】解：由=（1，2），﹣=（3，1），得=（1，2）﹣（3，1）=（﹣2，1），则，∴2+=（2，4）+（﹣4，2）=（﹣2，6），，又（2+）∥，∴6x+6=0，得x=﹣1．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了向量共线的条件，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0．该题是中低档题．6．（5分）（2013•新余二模）已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣ B．﹣5 C．5 D．【分析】数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），可得a n+1=3a n＞0，数列{a n}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），∴a n+1=3a n＞0，∴数列{a n}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，∴=a5+a7+a9=33×9=35，则log（a5+a7+a9）==﹣5．故选；B．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016•德阳模拟）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）（2014•新课标I）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2016•漳州二模）数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂项相消法求得答案．【解答】解：∵a1=1，∴由a n+1=a1+a n+n，得a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…a n﹣a n﹣1=n（n≥2）．累加得：a n=a1+2+3+…+n=（n≥2）．当n=1时，上式成立，∴．则．∴=2=．故选：B．【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．10．（5分）（2015•银川模拟）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的表面积是（）A．B．C．D．【分析】由三视图作直观图，从而结合三视图中的数据求各面的面积即可．【解答】解：由三视图可知，其直观图如右图，S△ABC==1，S△ABE=×2×2=2，S△ACD=×1×=，可知AD⊥DE，AD==，DE=，S△ADE=××=，S梯形BCDE=×（1+2）×1=；故其表面积为S=1+2+++=；故选A．【点评】本题考查了三视图的识图与计算，属于基础题．11．（5分）（2015秋•香坊区校级期中）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，P为BM的中点，Q在线段CA1上，A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由条件即可分别以CA，CB，CC1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据条件即可求出图中一些点的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出cos，这样便可求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解答】解：根据条件知，CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：C（0，0，0），A（4，0，0），B（），A1（4，0，4），M（4，0，2），，Q（1，0，1）；∴，；∴；∴；∴sin=；即异面直线PQ与AC所成角的正弦值为．故选C．【点评】考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决几何问题的方法，能求空间上点的坐标，中点坐标公式，根据点的坐标能求向量坐标，向量夹角的余弦公式．12．（5分）（2015•银川模拟）对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决．【解答】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（﹣3，1）点时恰有三个交点，此时m=±，故选A．【点评】本题考查的是函数的性质的综合应用，利用数形结合快速得解．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）（2015秋•香坊区校级期中）|x2﹣1|dx= ．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题．14．（4分）（2016•包头校级二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+，则=．【分析】由已知等式可得c2=4a2﹣4b2，又由余弦定理可得cosB=，代入所求化简即可得解．【解答】解：∵a2=b2+，∴解得：c2=4a2﹣4b2，又∵由余弦定理可得：cosB=，∴=====．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．（4分）（2015•唐山一模）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为[4，12] ．【分析】x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．∴y=sinθ，x=，∴z=x2+4y2==+6=2×（1﹣cos2θ）﹣+6=，∵∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故答案为：[4，12]．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（4分）（2016•贵阳二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于8π．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴=∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=设△ABC外接圆的半径为R，则，∴R=1∴外接球的半径为=∴球的表面积等于4π×=8π故答案为：8π【点评】本题考查球的表面积，考查棱柱的体积，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016•漳州二模）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．18．（12分）（2009•江西）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B﹣A）=cosC可求出答案．（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，所以sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin（B﹣A）=cosC=，所以B﹣A=30°或B﹣A=150°（舍），所以A=45°，C=60°．（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsinB==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．19．（12分）（2015秋•香坊区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．【分析】（1）利用数列的通项公式与前n项和的关系求出数列的通项公式，然后化简已知条件求出数列{b n}的通项公式．（2）利用错位相减法求出Tn，然后构造函数利用函数的单调性讨论怎么见过即可．【解答】解：（1）当n=1时，S1=2（a1﹣1），所以a1=2，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），∴a n=2a n﹣1，a2=4=2a1，数列{a n}是等比数列，a n=2n，a1b1=（1﹣1）•22+2=2，b1=1，当n≥2时，a n b n=a1b1+a2b2+…+a n b n﹣（a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1）=[（n﹣1）•2n+1+2]﹣[（n﹣2）•2n+2]=n•2n．验证首项满足，于是b n=n．数列{b n}的通项公式：b n=n．（2）证明：T n==，所以=，错位相减得=，所以T n=2﹣，即|2﹣T n|=，下证：当n≥6时，，令f（n）=，f（n+1）﹣f（n）=﹣=当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＜0，即当n≥2时，f（n）单调减，又f（6）＜1，所以当n≥6时，f（n）＜1，即＜1，即当当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．【点评】本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意对n=1的检验不要漏掉，还要注意等比数列的通项公式的应用．考查分析问题解决问题的能力．20．（12分）（2007•四川）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MAC的体积．【分析】法一（Ⅰ）通过证明PC⊥平面ABC，证明平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角，解三角形求二面角M﹣AC﹣B的大小；（Ⅲ）三棱锥P﹣MAC的体积，转化V P﹣MAC=V A﹣PCM=V A﹣MNC=V M﹣ACN，求出底面ACN的面积，求出高MN即可．法二（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出平面MAC的一个法向量为，平面ABC的法向量取为=（{0，0，1}）利用，解答即可．（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为=（{1，0，0}），则点A到平面PCM的距离，求出体积即可．【解答】解法一：（Ⅰ）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，∵PM CN，∴MN PC，从而MN⊥平面ABC作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，从而∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角直线AM与直线PC所成的角为600∴∠AMN=60°在△ACN中，由余弦定理得AN=；在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN==1；在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×；在△MNH中，MN=tan∠MHN=；故二面角M﹣AC﹣B的平面角大小为arctan．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形∴V P﹣MAC=V A﹣PCM=V A﹣MNC=V M﹣ACN=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）由题意有，设P（0，0，z0）（z0＞0），则M（0，1，z0），由直线AM与直线PC所成的解为60°，得，即z02=，解得z0=1∴，设平面MAC的一个法向量为，则，取x1=1，得，平面ABC的法向量取为，设与所成的角为θ，则cosθ=，显然，二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，故二面角M﹣AC﹣B的平面角大小为arccos．（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为，则点A到平面PCM的距离h=，∵|=1，∴V P﹣MAC=V A﹣PCM═．【点评】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．21．（12分）（2015•武汉校级模拟）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立．求实数λ的取值范围．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a1=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；（2）运用裂项相消求和，求得T n，再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由已知得即为，即，由d≠0，即有，故a n=2+n﹣1=n+1；（2）==﹣∴=﹣=，∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，∴存在n∈N*，使得﹣λ（n+2）≥0成立，即λ≤有解，即有λ≤[]max，而=≤=，n=2时取等号∴．【点评】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，运用参数分离和基本不等式是解题的关键．22．（14分）（2015秋•香坊区校级期中）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间；（Ⅲ）分别求出函数f（x）的最大值和最小值，从而得到|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3），根据（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣+4，令f′（x）=0，解得：x=，x=﹣（舍），故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（）=4，无极大值；（Ⅱ）由题意得函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0，得：0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0，得﹣＜x＜，当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0，得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0，得＜x＜﹣，当a=﹣2时，f′（x）=＜0，综上所述，当a＜﹣2时，f（x）的递减区间为（0，﹣）和（，+∞）单调区间为（﹣，），当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减，当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为：（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当x∈（﹣3，﹣2]时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取得最大值，当x=3时，f（x）取得最小值，|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1﹣2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵|f（x1）﹣f（x2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3，整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．【点评】本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，考察分类讨论思想，是一道综合题．。
黑龙江省哈尔滨市高二数学上学期期中试题理
2017-2018学年度上学期期中考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 已知命题:p x R ∀∈,210x x ++>，那么p ⌝是（ ）A. 20,10x R x x ∃∈++>B. 20,10x R x x ∀∈++≤ C. 20,10x R x x ∃∈++≤ D.20,10x R x x ∀∈++<2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，则它的渐近线方程为 ( )A. y =B. y =C.x y 22±= D. y x =± 3. 在命题“若m n >-，则22m n >”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0 个 4. 下列几何体中轴截面是圆面的是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台 5.下列命题正确的个数是（ ）①梯形的四个顶点在同一平面内 ②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合 ④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面D 1DC BA A 1B 1C 1 MNA. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个6.已知一个三棱柱高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱柱的体积为（ ） A. 2 B. 62 C. 13D. 327. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的侧视图是（ ）8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为BC 、1C C 的中点，那么异面直线MN 与AC 所成角的大小为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 909.短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧ 是真命题，则选拔赛的结果为（ ）A. 甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B. 甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C. 甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D. 甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名10.若“01x ≤≤”是“[]((2)0x a x a --+<）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0][1,)-∞+∞（，B. [1,0]-C. (1,0)-D.(,1)(0,)-∞-+∞11. 如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、分别在抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围（ ）A. (4,6)B. []4,6C. (2,4)D. []2,412. 过双曲线22221x y a b-=右焦点F 作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是A. 2)B. 5,10)C. 2,10)D. 21)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13.已知两个球的表面积之比为4:25，则这两个球的半径之比为14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 15. 已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 16． 给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线； ②有三个不同公共点的两个平面重合； ③没有公共点的两条直线是异面直线； ④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面． 其中正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm ）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积。
2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)科试卷(word版附答案)
A 2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）科试卷1、考试时间：120分钟2、满分：150分3、考试范围：命题，圆锥曲线，空间几何一,选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1.命题：“0x R ∃∈，020x≤”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，020x >B ．不存在0x R ∈，020x> C ．x R ∀∈，20x >D ． x R ∀∈，20x ≤2.抛物线22x y =的焦点坐标是( ) A.)0,1(B. )0,21(C. )81,0(D. 41,0(3.x y 2=，则该双曲线的离心率为( )AB ．2CD 4.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点， 若B A =11，,,111c A A b D A ==则下列向量中与M B 1相等的是（ ）A ．+--2121B ．++2121C ．+-2121D ．++-21215.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”， 命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.“|x|<2”是“x 2-x-6<0”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD =60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）A B ．8．空间四边形OABC 中，OA=6,AB=4,AC=3,BC=6，∠OAC ＝∠OAB ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A.21B.22C ．121D ．619.已知椭圆)20(14222<<=+b b y x 的左，右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，若22AF BF +的最大值为5，则b 的值是( ) A. 1 B.2 C.23D.310.已知命题:p 椭圆2241+=x y 上存在点M 到直线:20+-=l x y 的距离为1，命题:q 椭圆2222754+=x y 与双曲线22916144-=x y 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ． ()∧⌝p qB ．()⌝∧p q C. ()()⌝∧⌝p q D ．∧p q 11. 如图，过抛物线x y 42=焦点的直线依次交抛物线和圆1)1(22=+-y x 于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )A ．4B ．2C ．1 D.1212.已知A,B,P 是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积32=∙PB PA K K ，则该双曲线的离心率为（ ） A.315B.25C. 210D.2二、填空题（每小题5分，共25分）13. 若双曲线22116y x m-=的离心率e=2，则m= 。
高二年级第一学期期中考试数学(理)试题2017.10.31
试卷代码 高二理数12017—2018学年度第一学期期中考试高二数学（理）试题考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则从中抽取的男运动员的人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．32 3．已知命题:p x A B ∈⋃，则p ⌝是（ ）A ．x AB ∉⋂ B ．x A ∉且x B ∉C ．x A ∉或x B ∉D ．x A B ∈⋂4．2014年5月12日，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图来判断以下说法错误的是（ ）A ．2013年农民工人均月收入的增长率是10%B ．2011年农民工人均月收入是2205元C ．小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”D ．2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高5．已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程为ˆ 2.10.85y x =+，则m 的值为（ ）A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.56．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且ˆ 2.347 6.423yx =-； ②y 与x 负相关且ˆ 3.476 5.648yx =-+； ③y 与x 正相关且ˆ 5.4378.493yx =+； ④y 与x 正相关且ˆ 4.326 4.578yx =--． 其中一定不正确的结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k 值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78. 关于右面两个程序框图，说法正确的是（ ）A ．（1）和（2）都是顺序结构B ．（1）和（2）都是条件分支结构C ．（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构D ．（1）是直到型循环结构，（2）是当型循环结构9．方程221xy x y +=所表示的曲线（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称10．已知椭圆221102x y m m +=--长轴在x 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．811．若椭圆13422=+y x 的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. 0734=-+y x B.0743=-+y x C. 0134=--y x D ．0123=--y x12．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，F 1，F 2分别是其左右焦点，P 是椭圆上一点，若|PF 1|=2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．1[,1)3C ．1(0,)3D ．1(0,]3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上。
2017-2018学年高二第一学期期中考试数学(理)试题
第一学期期中考试 高二数学（理科）试卷题考试时间：120分钟 试卷总分150分第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，2450x x ++>B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤C ．x ∀∈R ，2450x x ++>D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤ 2.抛物线y x 82-=的准线方程是 ().A. 321=x B. 2=y C. 321=y D. 2-=y 3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布 直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ） A ．20辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆4.双曲线22145x y -=的渐近线方程为（ ） A．4y x =± B．2y x =± C．5y x =± D．5y x =± 5．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D.136．如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A.34m << B. 72m >C. 742m <<D. 732m << 7. 已知抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）A.210x y -+=B.210x y --=C.230x y +-=D.230x y +-=8. 已知动圆C 与圆221:(2)9C x y +-=和圆222:(2)25C x y ++=都外切,则动圆圆心C 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一支 9. M 为抛物线x y 42=上一动点，Ｆ是焦点，P(5,4) 是定点，则当MF MP +取最小值时点M 的横坐标是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 810.已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 、为边作正三角形12MF F ，若1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. 4+11 D.12第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
黑龙江省高二上学期期中数学试卷(理科)
黑龙江省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·南充模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·河北月考) 命题“ ，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分） (2020高三上·永寿开学考) 函数f(x)= 的零点所在的一个区间是（）A . （-2，-1）B . （-1,0）C . （0,1）D . （1,2）4. （2分） (2020高一下·吉林期中) 设为三角形三内角，且方程有两相等的实根，那么角（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高二上·梅河口期末) 长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，分别是四边形和正方形的中心，则向量与的夹角的余弦值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·定州期中) 设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分） (2019高二上·集宁月考) 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一下·深圳期中) 在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（）A .B .C .D .10. （2分）已知点M（x, y）在不等式组，所表示的平面区域内，则的值域为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·菏泽月考) 已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（）A .B .C .D .12. （2分）已知互为反函数，若恒成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 在数列中，已知且数列是等比数列，则 ________.14. （1分） (2018高二上·拉萨月考) 已知直线上有两个点和 , 且为一元二次方程的两个根, 则过点且和直线相切的圆的方程为________.15. （1分） (2019高一下·桦甸期末) 当，时，执行完如图所示的一段程序后，x=________.16. （2分） (2018高二上·浙江月考) 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，则的中点到轴的距离的最小值为________，此时中点的坐标为________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2017高二下·襄阳期中) 命题p：方程 + =1表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：直线y=x+m与抛物线y2=4x有公共点．若“p∨q”为真，求实数m的取值范围．18. （10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面AA1C1C，BC=CA=AA1=2，∠CAA1=60°．（1）求证：AC1⊥A1B；（2）求直线A1B与平面BAC1所成角的正弦值．19. （10分） (2016高三上·宁波期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2+sinA= ．（1）若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；（2）当△ABC的周长取最大值时，求b的值．20. （10分） (2019高三上·鹤岗月考) 已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．21. （5分） (2018高一上·北京期中) 某工厂计划出售一种产品，经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格，而是通过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查，通过调查确定了关系式P=-750x+15000，其中P为零售商进货的数量（单位：件），x为零售商支付的每件产品价格（单位：元）．现估计生产这种产品每件的材料和劳动生产费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元（固定成本是除材料和劳动费用以外的其他费用），为获得最大利润，工厂应对零售商每件收取多少元？并求此时的最大利润．22. （5分）(2017·兰州模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣，若动点P满足，试探究，是否存在两个定点F1 ， F2 ，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1 ， F2的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
2017-2018年黑龙江省黑河市孙吴一中高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年黑龙江省黑河市孙吴一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C．D．2．（5分）若椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．83．（5分）已知中心在原点的双曲线C的上焦点为F（0，3），离心率为，则C 的方程是（）A．B．C．D．4．（5分）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．5．（5分）已知实数p＞0，曲线为参数，）上的点A（2，m），圆为参数）的圆心为点B，若A、B两点间的距离等于圆C2的半径，则p=（）A．4 B．6 C．8 D．106．（5分）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，则在椭圆C上满足的点P的个数有（）A．0 B．2 C．3 D．47．（5分）已知P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到直线l1：4x﹣3y﹣7=0和l2：y+2=0的距离之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2上有且仅有两个点到直线4x+3y﹣11=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．r＞1 B．r＜3 C．1＜r＜3 D．1＜r＜29．（5分）若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．，B．C． D．10．（5分）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（）A．B．C．D．11．（5分）直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，且OA⊥OB，则直线l过定点（）A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）12．（5分）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB⊥AC，且AA1=AB=AC，则异面直线AB1与BC1所成角为．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的圆心为，半径为5，直线被圆截得的弦长为8，则α=．15．（5分）已知点P（1，3）为圆x2+y2+x﹣6y+m=0外一点，则实数m的取值范围为．16．（5分）已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程．18．（12分）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．19．（12分）已知椭圆的离心率为，直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求该椭圆方程．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．21．（12分）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动．（Ⅰ）求证：D1E⊥A1D；（Ⅱ）在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC成的角为？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由．22．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q满足：（O为坐标原点）．求实数λ的取值范围．2017-2018学年黑龙江省黑河市孙吴一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C．D．【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C．2．（5分）若椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵椭圆的方程为，∴该椭圆的焦点在y轴上，a2=25且b2=16，可得a=5、b=4．根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=10∵椭圆上一点P到焦点F1的距离|PF1|=6，∴点P到另一个焦点F2的距离|PF2|=2a﹣|PF1|=10﹣6=4．故选：B．3．（5分）已知中心在原点的双曲线C的上焦点为F（0，3），离心率为，则C的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线C的上焦点为F（0，3），则双曲线的焦点在y 轴上，且c=3，又由双曲线的离心率为，则有e==，解可得a=2，则b2=c2﹣a2=5，则双曲线的方程为：﹣=1；故选：B．4．（5分）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：由圆，化为，∴，化为=，∴圆心为，半径r=．∵tanα=，取极角，∴圆的圆心的极坐标为．故选：A．5．（5分）已知实数p＞0，曲线为参数，）上的点A（2，m），圆为参数）的圆心为点B，若A、B两点间的距离等于圆C2的半径，则p=（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：由曲线为参数，）化为y2=2px，∴m2=4p．由圆为参数）消去参数θ化为，得到圆心B．半径r=6由题意|AB|=r，可得=6，即，化为p2+8p﹣128=0，又P＞0，解得P=8．故选：C．6．（5分）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，则在椭圆C上满足的点P的个数有（）A．0 B．2 C．3 D．4【解答】解：设椭圆C：上的点P坐标为（m，n），∵a2=16，b2=12，∴c==2，可得焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），由此可得=（﹣2﹣m，﹣n），=（2﹣m，﹣n），设，得（﹣2﹣m）（2﹣m）+n2=0，化简得n2=4﹣m2，…①又∵点P（m，n）在椭圆C上，∴，化简得3m2+4n2=48，再代入①得3m2+4（4﹣m2）=48，解之得m2=﹣32，与m2≥0 矛盾．因此不存在满足的点P．故选：A．7．（5分）已知P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到直线l1：4x﹣3y﹣7=0和l2：y+2=0的距离之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由P是抛物线x2=4y上的动点，设点P的坐标为（a，a2），∴点P到直线l1：4x﹣3y﹣7=0的距离d1==，点P到直线l2：y+2=0的距离d2=a2+2．由此可得两个距离之和为d1+d2=+a2+2=（a2﹣4a+7）+a2+2=a2﹣a+=（a﹣2）2+3，∴当a=2时，d1+d2的最小值是3，即所求两个距离之和的最小值是3．故选：C．8．（5分）圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2上有且仅有两个点到直线4x+3y﹣11=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．r＞1 B．r＜3 C．1＜r＜3 D．1＜r＜2【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2的圆心坐标（1，﹣1），圆心到直线的距离为：=2，又圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，满足|r﹣|＜1，即：|r﹣2|＜1，解得1＜r＜3．故半径R的取值范围是1＜r＜3，（如图）故选：C．9．（5分）若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．，B．C． D．【解答】解：渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2，∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，∴，∴k＜0，∴故选：D．10．（5分）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣x+（）=﹣x﹣，又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴﹣x﹣=1，解得x=，故选：A．11．（5分）直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，且OA⊥OB，则直线l过定点（）A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）【解答】解：设直线l：x=my+b，代入抛物线y2=2x，可得y2﹣2my﹣2b=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b，∴x1x2=（my1+b）（my2+b）=b2，∵OA⊥OB，∴b2﹣2b=0，∵b≠0，∴b=2，∴直线l：x=my+2，∴直线l过定点（2，0）．故选：B．12．（5分）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点∴双曲线的顶点是，焦点是（±a，0）设双曲线方程为∴双曲线的渐近线方程为∵∴n=b∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形∴双曲线的渐近线方程为y=±x∴m=n∴a2﹣b2=b2∴c2=a2﹣c2∴a2=2c2∴∴故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB⊥AC，且AA1=AB=AC，则异面直线AB1与BC1所成角为．【解答】解：连结A1B，∵AA1⊥面ABC，平面A1B1C1∥面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，∵△ABC与△A1B1C1是全等三角形，AB⊥AC，∴A1B1⊥A1C1，∵A1B1∩AA1=A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1，∵矩形AA1B1B中，AA1=AB，∴四边形AA1B1B为正方形，可得A1B⊥AB1，∵A1B∩A1C1=A1，∴AB1⊥平面A1BC1，结合BC1⊂平面A1BC1，可得AB1⊥BC1，即异面直线AB1与BC1所成角为．故答案为：14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的圆心为，半径为5，直线被圆截得的弦长为8，则α=．．【解答】解：设圆C上任一点坐标为P（ρ，θ），圆心C（6，），圆的半径r=5，所以|PC|==5，化简得：ρ2﹣12ρsinθ+11=0，即为圆C的极坐标方程，把直线θ=α代入圆C的方程得：ρ2﹣12ρsinα+11=0，设直线与圆交于（ρ1，α1）（ρ2，α2），根据韦达定理得：ρ1+ρ2=12sinα，ρ1ρ2=11，所以直线被圆截得的弦长m=|ρ1﹣ρ2|===8，即（12sinα）2=64+44，化简得：sin2α=，解得sinα=，又α∈（），则α=．故答案为：．15．（5分）已知点P（1，3）为圆x2+y2+x﹣6y+m=0外一点，则实数m的取值范围为．【解答】解：因为点P（1，3）为圆x2+y2+x﹣6y+m=0外一点，所以1+9+1﹣18+m＞0，解得m＞7，二次方程表示圆，∴1+36﹣4m＞0，解得m，综上：m．故答案为：．16．（5分）已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为（，1）．【解答】解：由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）可得∠B1PA等于向量与的夹角，∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F2（c，0）∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），∵∠B1PA为钝角，∴与的夹角大于，由此可得•＜0，即﹣ac+b2＜0，将b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，不等式两边都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，解之得e＜或e＞，结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程．【解答】解：∵，∴由t2≥0，可得0＜x≤2，将参数方程中的两式相除，可得得，将代入，化简可得x2+y2﹣2x=0（x＞0）…①，表示以（1，0）为圆心，半径r=1的圆．又∵极坐标中x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴将（ρcosθ，ρsinθ）代入①，得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρcosθ=0，化简得ρ=2cosθ（ρ＞0），即为曲线C的极坐标方程．18．（12分）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC，而AE⊂PAC，∴BC⊥AE，又PA=AC，点E是PC的中点，∴AE⊥PC，又AE⊥BC，BC∩PC=C，∴AE⊥面PBC，而PB⊂面PBC，AE⊥PB，又EF⊥PB，AE ⊥BP，AE∩EF=E，∴PB⊥平面AEF；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PA=AC=BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0）．，．设平面PAB的一个法向量为，则由，得，取y1=﹣1，得x1=1，z1=0，∴．再设平面PBC的一个法向量为，则由，得，取z2=1，得y2=1，∴．∴=．∴二面角A﹣PB﹣C的大小为60°．19．（12分）已知椭圆的离心率为，直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求该椭圆方程．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵，∴，∴，∴a2=4b2．设椭圆方程，联立消y得5x2+8x+4﹣4b2=0，∵直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，∴△=64﹣4×5×（4﹣4b2）＞0，化为5b3＞1．∴（*）∵OP⊥OQ，∴，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0．∴2x1x2+x1+x2+1=0，把（*）代入可得2+（）+1=0，解得，∴．满足△＞0．∴．∴．∴椭圆方程为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【解答】解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+60t ﹣125=0设A，B对应的参数分别为t1，t2，则．∴．（2）由P的极坐标为，可得x p==﹣2，=2．∴点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为．∴由t的几何意义可得点P到M的距离为．21．（12分）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动．（Ⅰ）求证：D1E⊥A1D；（Ⅱ）在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC成的角为？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由．【解答】（本题满分12分）证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊂平面AA1DD1，∴AE⊥A1D，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，∴A1D⊥AD1，∵AE∩AD1=A，∴A1D⊥平面AED1，∵D1E⊂平面AED1，∴A1D⊥D1E．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设棱AB上存在点E（1，t，0），（0≤t≤2），使得AD1与平面D1EC成的角为，A（1，0，0），D1（0，0，1），C（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（0，﹣2，1），=（1，t﹣2，0），设平面D1EC的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（t﹣1，1，2），∴sin==，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t=5﹣或t=5+（舍），∴在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC成的角为，AE=5﹣．22．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q满足：（O为坐标原点）．求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，，解得所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）当λ=0时由知，，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立．当λ≠0时，，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，得m2＜1+2k2…（*），∴，∴由，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0）x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，∴，代入到得代入（*）式，由1+2k2＞0得﹣2＜λ＜2且λ≠0．∴综上λ∈（﹣2，2）．。
2017_2018学年高二数学上学期期中试题理(1)(2)
所以 ，圆 的方程为 ．……………4分
（Ⅱ）若直线 的斜率不存在，方程为 ，此时直线 截圆所得弦长为 ，符合题意；
若直线 的斜率存在，设方程为 ，即 ．
由条件知，圆心到直线的距离
直线 的方程为 ．
综上，所求方程为 或 ．……………10分
18.不妨设 ，则 ，
（Ⅰ）因为 是 中点，所以 ,从而 ，故 ，
所以所求的椭圆方程为 ．……………4分
（Ⅱ）由（1）知， ， ．由题意可设 ，
因为 ，所以 ．……………6分
由 整理得 ，因为 ，
所以 ，……………8分
所以 ， ，……………10分
所以 ．
即 为定值 ．……………12分
22.解: (Ⅰ)因为 的面积为 ,所以 ，……………2分
代入椭圆方程得 ，抛物线的方程是： ……………4分
（Ⅱ）过 点作直线 交 于 、 两点，射线 、 分别交 于 、 两点，记 和 的面积分别为 和 ，问是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
数学答案（理科）
一．选择题
1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB
二．填空题
13.4 14. 15.4 16.16
三．解答题
2．抛物线 的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
3.双曲线 的渐近线方程是（）
A. B. C. D.
4.已知双曲线 的离心率为 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
5.已知 是椭圆 上一点， 是其左、右焦点，若 ，则 的面积为（）
A. B. C. D.
6．设直线 过点 ，且与圆 相切，则 的斜率是（）
EF//平面PAD……4分
黑龙江省孙吴县第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试历史试题
孙吴县第一中学高二上学期期中测试题历史试卷（时间90分钟总分100分）一、单项选择题（每题只有一个正确答案，共32题，每题1.5分，共48分）1.提出“恭而无礼则老，慎而无礼则葸（胆怯），勇而无礼则乱，直而无礼则绞（说话尖刻）”的先秦思想家是A.孔子B.老子C.墨子D.韩非子2.有学者在评价中国某位先哲的思想时说“强调万物存在意义上的齐一性，而不排斥实在意义上的个别差异。
”这一先哲思想当为A．老子的“无为”思想 B．荀子的“天行有常”思想C．庄子的“齐物”思想 D．墨子的“尚同”思想3.《史记·曹相国世家》曰：“参代何为汉相国，举事无所变更，一遵萧何约束。
”此语体现了汉初遵循的诸子思想是A.儒家思想B.道家思想C.墨家思想D.、法家思想4.董仲舒在《深察名号》中认为“天生民性，有善质而未能善，于是为之立王以善之，此天意也”。
以下对这一思想理解最准确的是A．主张“罢黜百家，独尊儒术” B．感叹人性本恶，呼唤王道C．建议以礼入法，以礼入俗 D．认为民性本善，君权天授5.冯天瑜等著的《中华文化史》对董仲舒学说的评价有这样一段描述，“……董仲舒学说的消极影响也是严重的……我们民族性格中的封闭自我，盲目自足，因循守旧，不思进取等劣根性，都与之直接相关。
”以下哪一学说对上述的影响最大A．“大一统” B．“罢黜百家，独尊儒术”C．“三纲五常” D．“天人感应”、“天人合一”6.有人说：“董仲舒……开启了儒学神学化，儒家宗教化，孔子教主化的进程。
”提出这一观点的依据是因为董仲舒提出A.“罢黜百家，独尊儒术”B.“存天理、灭人欲”C.“君为臣纲、父为子纲、夫为妻纲”D.“天人感应”“君权神授”7.宋代理学家张载提出：“为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。
”对这句话的理解不正确．．．的是A.反映了当时学者匡世济世的理想追求B.体现了理学家们关注国计民生的价值取向C.说明张载反对理学束缚人性D.说明理学在当时有利于维护社会政局的稳定8.有人称：北宋到明清，在“附庸风雅”的贵族文化之外，一种新文化形态在崛起——植根于熙熙攘攘的商业生活、人头攒动的瓦舍勾栏中的市民文化。
高二数学上学期期中试题理35(精品文档)
2017—2018学年度高二上学期期中考试数学试题（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线2y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值为 （ ）A.4B.14 C.2 D.122.在极坐标系中，若点3,,3,36A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AOB ∆的面积为 （ ） 33 C.94 D.93.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN 等于 （ ） A.121232a b c -+ B.211322a b c -++ C.111222a b c +- D.221332a b c +-4.设点()()0,5,0,5M N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为（ ）A.()2210169144x y y +=≠B.()2210169144y x x +=≠C.()221016925x y y +=≠D.()221016925y x x +=≠ 5.已知双曲线2219x y m-=的一条渐近线方程为23y x =，则双曲线的焦距为 （ ）1310 C.13256.若动点(),x y 在曲线2214x y +=上运动，则2x y +的最大值为 （ ）A. C.2 D.47.设1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，则有 （ ）A.21AB C A a ⋅=B.2112AB AC a ⋅= C.21BC A D a ⋅= D.211AB C A a⋅= 8.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为 （ ）A.2214536x y +=B.2213627x y +=C.2212718x y +=D.221189x y += 9.已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.(1,1B.()1+∞C.(1+D.)110.已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 （ ） A.1 B.1或3 C.2 D.2或611.已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，12,F F 分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是 （ ） A.1 B.2a C.2b D.2c12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）11 C.12D.12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.在极坐标系中，以点1,22π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆的极坐标方程是14.如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ''===∠=∠ 60DAA '=∠=，则AC '的长为15.已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆()()22:151C x y ++-=上，则MA MF +的最小值是16.若等轴双曲线C 的左、右顶点,A B 分别为椭圆()222101x y a a +=>+的左、右焦点，点P是双曲线上异于,A B 的点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅= 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，,M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点. （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求,M N 的极坐标； （Ⅱ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是22222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为42cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，试求11PA PB+的值.19.（本小题满分12分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//,90,3,1AD BC BAD AB BC ∠===，13AD AA ==.（Ⅰ）证明：1AC B D ⊥；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三 角形且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是矩形，E 是AB 的中点，PC 与平面ABCD 所成的角为30.（Ⅰ）求二面角P CE D --的大小； （Ⅱ）当AD 为多长时，点D 到平面PCE 的 距离为2？21.（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程.22.（本小题满分12分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>3以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y +=相切.A 、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设G 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，作GH x ⊥轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG GQ =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.齐齐哈尔市实验中学2017～2018学年度高二上学期期中考试数学试题评分标准（理） 本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.） 13. sin ρθ= 14.根号下11 15. 5 16. 1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为20x -= ……3分 当0θ=时，2ρ=，所以()2,0M ……4分当2πθ=时，3ρ=，所以2N π⎫⎪⎪⎝⎭……5分（Ⅱ）点,M N 的直角坐标分别为()2,0,M N ⎛ ⎝⎭∴点P 的直角坐标为⎛ ⎝⎭ 则P 点的极坐标为6π⎫⎪⎪⎝⎭∴直线OP 的极坐标方程为()6R πθρ=∈ ……10分18.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为4cos 4sin ρθθ=-，即24cos 4sin ρρθρθ=-∴圆C 的直角坐标方程为22440x y x y +-+= ……4分（Ⅱ）把直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，可得：240t +-= ……6分设点A 、B 对应的参数分别为12,t t ，则12124t t t t +=-=- ……8分()21212121212124111162t t t t t t PA PB t t t t t t +--∴+=+===……12分19.（本小题满分12分）解析：以1,,AB AD AA 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 则()))())()1110,0,0,3,1,0,3,0,3,0,3,0,3,1,3,0,3,3A C B D C D（Ⅰ）()()13,1,0,3,3,3AC B D ∴==--10AC B D ∴⋅= 1AC B D ∴⊥ ……4分（Ⅱ）设平面1ACD 的法向量为(),,m x y z =()3,1,0AC =，()10,3,3AD =则30330x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ (1,3,3m ∴=- ……8分 设直线11B C 与平面1ACD 所成角为θ()110,1,0B C =111121sin 7B C m B C mθ⋅∴==∴直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为217……12分20.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接PO.PAD ∆是正三角形 PO AD ∴⊥又面PAD ⊥面ABCD PO ∴⊥面ABCD . ……1分以O 为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接OC ，则PCO ∠为PC 与面ABCD 所成的角，30PCO ∴∠=.设AD a =，则33,,222PO a OC a CD a =∴=∴= ……2分 312,2,,0,,,02222a P a C a a E ⎛⎫⎛⎫⎫∴- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭231,,,2,,22a PE a a PC a a⎛⎫⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭ 设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =则02222a a y az a y --=⎪⎪⎨+=21,22n ⎛∴=- ⎝⎭ ……5分连接DE ，易知平面DEC 的一个法向量为0,0,2OP a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ……6分2cos ,2OP n OP n OP n⋅∴==⋅ ∴二面角P CE D --的大小为45 ……8分（Ⅱ）0,,02a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(),0,0CD =- D ∴到面PCE 的距离6CD n d a n⋅==2=，即a =26AD OD == 所以当AD =D 到平面PCE 的距离为2. ……12分21.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>由题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩解得2241,33a b == 故椭圆C 的方程为2214133x y += ……4分 （2）由题意知椭圆C 的方程为2212x y +=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； ……5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-= ……7分 设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++ ()()1111221,,1,F P x y FQ x y ∴=+=+ 11110F P FQ F P FQ ⊥∴⋅= 即()()()()()22221212121227111111021k x x y y k x x k x x k k -+++=+--+++==+解得：217k =，即7k =± ……11分 故直线l的方程为10x -=或10x --= ……12分22.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意：O到直线0x y ++=的距离为b ，则1b =2342e a =∴= ∴椭圆C 的标准方程为2214x y += ……4分（Ⅱ）设()00,G x y ，则()00,2Q x y()2,0A -∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++ ……6分 与2x =联立得：0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 0042,2y N x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭则直线QN 的方程为()0000042222y y x y y x x x -+-=-- ……8分即()200002480x y x x y y ---=220014x y += ∴方程可化为00240x x y y +-= ……10分 ()0,0∴到直线QN 2=故直线QN与以AB为直径的圆O相切. ……12分。
黑龙江省哈尔滨市高二数学上学期期中试题理(1)(2021学年)
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黑龙江省哈尔滨市２017－20１８学年高二数学上学期期中试题理考试说明:（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题)两部分, 满分150分．考试时间为12０分钟；(２）第Ｉ卷，第ＩI卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡．第I卷(选择题, 共60分)一、选择题（本大题共１2小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．两条异面直线所成角的范围是B.(0,]πCD.(0,)π2．若,x y满足约束条件203x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为A．0 B.4 C．5 D.63．如图，ABＣD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是A. BＤ∥平面CB１D1Ｂ. ＡＣ1⊥B１D1Ｃ. ＡＣ１⊥平面ＣB１D1D．异面直线AD与CＢ1成角为60°4．一个三角形水平放置的直观图,是一个以O B''A O B''',且2O B''=(如图）,则原三角形AOB的面积是B.15．双曲线221416x y-+=的两条渐近线为A BD C1A1B1D1CA ．14y x =± B.4y x =± C.12y x =± D ．2y x =±6． 如图，一个空间几何体的主视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为A.4π B ．54π C ．π D ．32π7． 抛物线24y x =上两点A 、B ,弦AB 的中点为(2,1)P ，则直线AB 的斜率为A ．2B ．2或2-C ．2或12D.2-8． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB ＝90°，ＡA 1＝2，AC ＝ＢＣ＝1,则异面直线A 1B与A Ｃ所成角的余弦值是 A ．66 C ． 6 Ｄ．69． 已知点P 在抛物线x y 42=上,点()3,5A ,F 为该抛物线的焦点，则PAF ∆周长的最小值为A ．９ ﻩ B.1０ ﻩ ﻩC ．11 D ．1210．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦距为210，且双曲线的一条渐近线与直线2y x=垂直，则双曲线的方程为Ａ.22182x y -= B ．22128x y -= C ．221328x y -= D ．221832x y -=11．如图(1）所示，已知正方体一个面的对角线长为ａ，沿阴影将它切割成两块,拼成如图(２）所示的几何体，那么此几何体的全面积为正视图 侧视图俯视图A ．2(122)a + B.2(22)a +C ．2(322)a - Ｄ．2(42)a +12．已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>）的右支上一点P ,过P 点分别做双曲线的两条渐近线的平行线PQ 、PR ，分别交渐近线于Q 、R ，则平行四边形PQOR 的面积 Ａ．为定值2ab B.有最大值2ab ，无最小值 Ｃ．有最小值2ab,无最大值 D.无法确定第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知抛物线方程是24y x =-,则它准线方程为 .14．设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线,给出下列四个命题:①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则; 其中正确命题的序号为 .15．将一个半圆形纸片没有重叠的卷成一个圆锥(如图),则圆锥的母线与底面所成的角为 .16．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．(本题10分)斜率为1的直线过抛物线x y 42=的焦点,与抛物线交于两点A 、B ,Ｍ为抛物线上的点． (I)求AB ;(ＩI)若24=∆ABM S ,求点M 的坐标．18．（本题12分)正视图俯视图如图,正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为AB 、BC 中点．(I)当点P 在棱1DD 上运动时,是否都有//MN 平面11AC P ,证明你的结论； （II)若P 是1DD 的中点,求异面直线1A P 与1B N 所成的角的余弦值.19．(本题1２分)如图,四面体ABCD 中,AB AD CB CD ====AC =1BD =． (I)求二面角B AC D --的大小； （II)求四面体ABCD 的体积．20．（本题12分）ABDC1A1B1D1CP MNABDC已知双曲线221x y -=与直线:1l y kx =-有两个不同的交点,A B ． （I ）求实数k 的取值范围;(II)若0OA OB ⋅>,求实数k 的取值范围．21．(本题12分）矩形纸板ABCD 中,将ABD ∆沿BD 折起到A BD '∆,使二面角A BD C '--为60︒, （Ｉ)求异面直线A C '与BD 所成角的余弦; (ＩI)求A C '与平面BCD 成角的正切.ﻬ22．（本题12分）已知抛物线Ｌ:()022>=p px y 的焦点为F ,直线24=y 与y 轴的交点为P ，与L 的交点为Q ，若QF PQ 32=. (I)求L 的方程；(ＩＩ)过Q 作抛物线Ｌ的切线与x 轴相交于N 点,N 点关于原点的对称点为M 点,过点M的直线交抛物线L 于B A ,两点,交椭圆()01342222>=+m my m x 于D C ,两点,使得DM BM CM AM =成立,A B CDA 'BCDﻬ高二学年第一模块数学(理)试卷答案一、选择题CDDDD C ＡＤCA BA 二、填空题13。
孙吴县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
孙吴县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=2． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（ ）A ．7B ．9C ．11D ．133． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．4． 若a=ln2，b=5，c=xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB B ．b ＜a ＜cC C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a 5． 下列式子表示正确的是（ ）A 、{}00,2,3⊆B 、{}{}22,3∈C 、{}1,2φ∈D 、{}0φ⊆ 6． 设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是“”的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件7． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）ABD8． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆ ）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．9． 已知函数f （x ）=，则的值为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．310．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案11．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，]C ．（0，）D ．[，1）12．设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37二、填空题13．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．14．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．15．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，a ≠1）；②g （x ）≠0；③f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ）；若，则a= ．16．已知两个单位向量,a b 满足：12a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= . 17．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则222sin sin sin αβγ++= ．18．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．三、解答题19．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AA 1=AB=AC=1，E ，F 分别是CC 1、BC 的中点，AE ⊥ A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点． （1）证明：DF ⊥AE ；（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．20．已知双曲线过点P （﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x ．（1）求双曲线的标准方程；（2）设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1||PF 2|=41，求∠F 1PF 2的余弦值．21．（本小题满分12分）设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.（1）当a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）当[]01x ∈，时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）已知圆()()22:1225C x y -+-=,直线()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2=a 2+bc ． （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a 的值．24．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？孙吴县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴4πα=，选A ．2． 【答案】A【解析】解：∵x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2=（x+x ﹣1）2﹣2=32﹣2=7．故选：A ．【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3． 【答案】C 【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C ．【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．4． 【答案】C【解析】解：∵ a=ln2＜lne 即，b=5=，c=xdx=，∴a ，b ，c 的大小关系为：b ＜c ＜a ． 故选：C ．【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．5． 【答案】D 【解析】试题分析：空集是任意集合的子集。
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孙吴县第一中学高二上学期期中考试数学试题（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）Ａ．（１，０） Ｂ．（２，０） Ｃ．（10,8） Ｄ．（10,16） ２． 若椭圆2211625x y +=上一点到焦点1F 的距离为６，则点Ｐ到另一个焦点2F 的距离为（ ）Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ３．已知中心在原点的双曲线Ｃ的上焦点为Ｆ（０，３），离心率为32，则Ｃ的方程是（ ） Ａ．22145x y -= Ｂ．22145y x -=Ｃ．2214x =Ｄ．2214y = 4．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23π- B ． 1(,)23π C ．(1,)3π- D ． (1,)3π5．已知实数0p >，曲线212:(2x pt C t y pt ⎧=⎨=⎩为参数，）上的点A （2，m ），圆26cos :(26sin p x C y ⎧=+θ⎪θ⎨⎪=θ⎩为参数）的圆心为点B ，若A 、B 两点间的距离等于圆2C 的半径，则p =（ ）A ．4B ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０６．已知椭圆Ｃ：2211612x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，则在椭圆Ｃ上满足120PF PF =的点Ｐ的个数有（ ）Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４７．已知Ｐ是抛物线24x y =上的一个动点，则点Ｐ到直线1:4370l x y --=和2:20l y +=的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4８．圆()()22211x y r -++=上有且仅有两个点到直线43110x y +-=的距离等于１，则半径r 的取值范围是（ ）Ａ．1r > Ｂ．3r < Ｃ．13r << Ｄ．12r <<９．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ）Ａ．⎛ ⎝⎭ Ｂ．⎛ ⎝⎭ Ｃ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ Ｄ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭10．已知Ｐ为空间中任意一点，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA PB xPC DB =-+，则实数x 的值为（ ） Ａ．13 Ｂ．13- Ｃ．12 Ｄ．12-11．直线l 交抛物线22y x =于Ａ、Ｂ两点，且OA OB ⊥，则直线l 过定点（ ）Ａ．（１，０） Ｂ．（２，０） Ｃ．（３，０） Ｄ．（４，０）12．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）Ａ．13 Ｂ．12 Ｃ．3 Ｄ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，AB AC ⊥，且1AA AB AC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角为_____________．14．已知在极坐标系中，圆C 的圆心为(6，π2)，半径为5，直线θ＝α (π2≤α≤π，ρ∈R )被圆截得的弦长为8，则α＝________.15．已知点Ｐ（１，３）为圆2260x y x y m ++-+=外一点，则实数m 的取值范围为___________．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为2B 、1B 、A 、F ，延长1B F 与2AB 交于点P ，若1B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满10分）已知：在直角坐标系xOy 中，曲线Ｃ的参数方程为：2221(21x t t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数），以原点Ｏ为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线Ｃ的极坐标方程．18．（本题满分12分）已知在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥面ＡＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ，且ＰＡ＝ＡＣ＝ＢＣ＝１，点Ｅ是ＰＣ的中点，作ＥＦ⊥ＰＢ交ＰＢ于点Ｆ．（Ⅰ）求证：ＰＢ ⊥平面ＡＥＦ； （Ⅱ）求二面角Ａ－ＰＢ－Ｃ的大小．19．（本题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =直线10x y ++=与椭圆交于Ｐ、Ｑ两点，且OP OQ ⊥，求该椭圆方程．ＡＰＥＦＢ20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：32,542.5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，它与曲线1)2(:22=--x y C 交于A ，B 两点．(Ⅰ) 求AB 的长；(Ⅱ) 在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛43,22π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．21．（本题满分12分）已知在长方体1111ABCD A BC D -中，11AD AA ==，2AB =，点Ｅ在棱AB上移动．（Ⅰ）求证：11D E A D ⊥；（Ⅱ）在棱ＡＢ上是否存在点Ｅ使得1AD 与平面1D EC 成的角为6π？若存在，求出AE 的长，若不存在，说明理由．22．（本题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为2，过点1F 且垂直于x:l y kx m =+与椭圆交于不ＡＢＣＤＥ1A1B1C 1D同的Ａ，Ｂ两点．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；（Ⅱ）若在椭圆Ｃ上存在点Ｑ满足：OA OB OQ +=λ（Ｏ为坐标原点）．求实数λ的取值范围．孙吴县第一中学高二上学期期中考试数学试题（理科）答案一．选择题：１．D ２．B ３．B 4．A 5．C ６．A ７．C ８．C ９．D 10．A 11．B 12．D二．填空题： 13．2π 14． 23π15． 377,4⎛⎫⎪⎝⎭16．⎫⎪⎪⎝⎭三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17． （本题满分1０分）解：由222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，得0,02t x ≥∴<≤，两式相除，得y t x =代入221x t=+得 22:20(0)C x y x x +-=>，:2cos (0)C ρ=θρ>18．（本题满分12分）z（Ⅰ）略（Ⅱ）由（Ⅰ）知PB AF ⊥，且ＥＦ⊥ＰＢ，故EFA ∠为二面角Ａ－ＰＢ－Ｃ的平面角 可求EFA ∠＝60︒19．（本题满分12分）解：设11(,)P x y ，22(,)Q x y，222234,43c e a c a b a =∴=== 设椭圆方程222214x y b b +=，22221014x y x y b b++=⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2258440x x b ++-=有两根为12,x x 2210515b b ∴∆>∴>∴>，且有1221285445x x bx x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩0OP OQ OP OQ ⊥∴⋅=12120x x y y ∴+=即1212210x x x x +++=即２2445b -＋（85-）＋１＝０解得225582b a =∴=椭圆方程为2215528x y +=． 20．（本题满分12分）解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得27601250t t +-=设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 121260125,77t t t t+=-=-． 所以127AB t t =-=． (Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为123027t t +=-．所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为123027t t PM +==．21．（本题满分12分） （Ⅰ）略（Ⅱ）存在，2AE =22．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得2c e a ==，22b a =解得1,1a b c === 所以椭圆Ｃ的方程为2212x y +=． （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)Q x y当0λ=时由OA OB OQ +=λ知，0OA OB +=，Ａ与Ｂ关于原点对称，存在Ｑ满足题意0∴λ=成立．当0λ≠时，2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x kmx m +++-=()()()2224412220km k m ∆=-+->得2212m k <+……（＊）2121222422,1212km m x x x x k k --+==++， 121222()212m y y k x x m k +=++=+ 由OA OB OQ +=λ，得()()121200,,x x y y x y ++=λλ120120,x x x y y y +=λ+=λ，01220122114()12,112()12km x x x k my y y k -⎧=+=⋅⎪⎪λλ+∴⎨⎪=+=⋅⎪λλ+⎩代入到2212x y +=得 222(12)4m k λ=+代入（＊）式222(12)124k k λ+<+，由2120k +>得22-<λ<且0λ≠．∴综上()2,2λ∈-．。