课时25等腰三角形与直角三角形
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
第1讲等腰三角形与直角三角形-教案
第1讲等腰三角形与直角三角形-教案概述适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域北师版区域课时时长（分钟） 120知识点1.等腰三角形判定与性质2.直角三角形判定与性质1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．教学目标2.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性教学重点特殊三角形的灵活应用教学难点特殊三角形的灵活应用.【教学建议】本节的教学重点是使学生能熟练掌握特殊三角形的性质与判定，这一节在本册书乃至整个初中数学几何部分占据非常重要的地位，在中考中出题的频率和分值都比较高，所以教师在教学过程中要注意结合中考题型进行拓展。
学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：1. 等腰三角形及直角三角形的性质与判定。
2. 结合三角形全等的几何动点。
3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。
【知识导图】1等腰三角形与直角三角形等腰三角形判定与性质直角三角形判定与性质教学过程一、导入【教学建议】有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。
二、知识讲解知识点 1 等腰三角形判定与性质1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：（1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；（3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：（1）（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理2进行证明；（2）回忆全等三角形的性质。
2.等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形
课时26 等腰三角形与直角三角形课前热身1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．•则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°4．（06怀化）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA′等于（）A．25° B．50° C．60° D．130°（第2题图）（第3题图）（第4题图）知识整理1．等腰三角形的性质与判定：（1）等腰三角形的两底角__________；（2）等腰三角形底边上的高，底边上的________，顶角的_______，三线合一；（3）有两个角相等的三角形是_________．2．等边三角形的性质与判定：（1）等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；（2）三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．3．直角三角形的性质与判定：（1）直角三角形两锐角________；（2）直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．（3）直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______；（4）勾股定理：a2+b2=c2．（5）有一个角等于90°的三角形是直角三角形；（6）勾股定理的逆定理：若c2=a2+b2，则∠C=90°例题讲解例1．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例2．（06常德）如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例3．（06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．•一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O ”，•测得该车从北偏西60°的A 点行驶到北偏西30°的B 点，所用时间为1．5秒．（1）试求该车从A 点到B 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．（例1图） （例2图）P D C BA课堂练习1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB•的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为________米．2．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD=2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 处，则∠EAB=_________度．3．如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为（ ）A ．aB ．2aC ．32aD ．52a（第1题图） （第2题图） （第3题图）4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ．⑴若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；⑵若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．5．（选做题）已知如图△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E 使CE=CD ．•试判断DB 与DE 之间的大小关系，并说明理由．。
等腰三角形与直角三角形PPT课件
B组 2015—202X年全国中考题组
考点一 等腰三角形
1.(202X内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
答案
A
由根与系数的关系可得
a b ab
m
12, 2,
当a=4时,b=8;
当b=4时,a=8.
这两种情况都不能构成三角形,
∴a=b=6,∴m=34,故选A.
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(202X吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°, ∠C=36°,则∠DAC的度数是 ( )
中考数学
（安徽专用）
第四章 图形的认识
§ 4.(202X安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠ PBC.则线段CP长的最小值为 ( )
A. 3
2
C. 8 13
13
B.2 D.12 13
13
答案 B ∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.取AB的中点O,则P在以
AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,
∵OB= 1 AB=3,BC=4,∴OC= 32 42 =5,又OP= 1 AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.
A.70° B.44° C.34° D.24° 答案 C 由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故 选C.
中考专题-等腰三角形 直角三角形
教学内容：等腰三角形直角三角形【重点、难点、考点】重点：等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理。
难点：综合运用等腰三角形。
直角三角形和三角形的其他知识，进行有关的证明或计算。
考点：等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理及其逆定理的灵活运用，是近几年各地中考的热门考题，对这部分知识必须引起足够的重视。
【经典范例引路】例1 如图，在△MNP中，∠MNP＝45°，H是高MQ和高NR的交点，求证：HN＝PM，（2001年黄冈市中考题）证明：如图：∵MQ⊥PN，∠MNP＝45°，∴∠QMN＝45°，∴∠MNP＝∠QMN，∴QM＝QN。
∵∠1＝∠2，在Rt△HQN和Rt△PQM中。
∵∠2＝∠1，QN＝QM，∠HQN＝∠PQM．∴Rt△HQN≌Rt△PQM，∴HN＝PM．【解题技巧点拨】本题在证明过程中，综合运用了直角三角形的两锐角互余的关系，等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，有一定的综合性。
我们必须对“直角三角形”、“等腰三角形”这两类特殊的三角形的特殊性质引起足够的重视，由它们的特殊性质得到“相等的角”或“相等的边”，为证明三角形全等创造条件。
例2 如图BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，N是DE的中点，求证：MN⊥DE．证明：如图：连接ME、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=21BC，又NE＝ND，∴直线MN是线段DE的垂直平分线，∴NM⊥DE．【解题技巧点拨】∵N是DE的中点，∴要证MN⊥DE，也就要证MN是DE的垂直平分线，即证MD＝ME，而在Rt△BDC和Rt△BEC中，有MD=21BC＝ME．【综合能力训练】一、填空题1．等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角的度数为。
2.△ABC中，∠C＝25°，D是AC上一点，且AB＝BD＝DC，则△ABC最小的外角度数为。
中考复习课教案 课时25 等腰三角形与直角三角形
课时25．等腰三角形与直角三角形【课前热身】1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为_________.2. 在三角形中，有两边长为5和12，要使该三角形为直角三角形，则第三边为_________.3. 在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2cm，则AB=_____cm.4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____度.5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．•则∠A等于( ) A．30° B．36° C．45° D．72°(第4题) (第5题) (第6题) (第7题)6．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里7. 如图，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于( )A．130° B．60° C．50° D．25°【知识整理】1．等腰三角形的性质与判定：(1)等腰三角形的两底角_________；(2)等腰三角形底边上的________，底边上的________，顶角的________，三线合一；(3)有两个角相等的三角形是_____________.2．等边三角形的性质与判定：(1)等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；(2)三个角相等的三角形是_____________，三边相等的三角形是_____________，一个角等于60°的_____________三角形是等边三角形.3．直角三角形的性质与判定：(1)直角三角形两锐角________；(2)直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________；(3)直角三角形中，斜边的中线等于斜边的________；(4)勾股定理：__________________________________________________________________．(5)勾股定理的逆定理：__________________________________________________________．【例题讲题】例1 如图，以△ABC的各边为边，在BC的同侧作等边△ABD、△ACF、△BCE，求证：△BDE≌△EFC例2 如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ.例3 如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.【中考演练】1．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为_______度.2．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为______.3. 已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请添加一个条件，使图中存在全等三角形. 所添加的条件为____________，你得到的一对全等三角形是：△_________≌△________.(第3题) （第4题）4．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是_______.5. 如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=____度.（第5题）（第6题）（第7题）6. 如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：(1) 当OP=_____时，△AOP为等边三角形；(2) 当OP=_____时，△AOP为直角三角形；7. 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=61°，延长BC至E，使CE=AC，延长CB至D，使DB=AB，则∠DAE=_____.8. 如图的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的面积为_______.(第8题) （第9题）9. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四边形AEP F=S△ABC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的序号有____________.10. 如图所示，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.(第10题) （第11题）11. 小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( )A.4B.3C.2D.112. 在下列四个命题，①等腰三角形两腰上的中线相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.413. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE 平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是( )A.∠B=∠CAEB.∠DEA=∠CEAC.∠B=∠BAED. AC=2EC(第13题) （第14题）14.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《沟股圆方图》，它是由四个全等三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图. 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值是( )A.13B.19C.25D.16915. 等腰三角形一腰上的中线分原三角形周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为( )A．7 B. 11 C. 7或11 D.不能确定16. 已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数为( )A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°17. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则∠B 的度数为( )A. 65°B. 25°C. 65°或25°D. 50°或130°18. 如图，四边形ABCD是正方形，在平面内，满足△PAB，△PBC，△PCD，△PAD均为等腰三角形的点P的个数是( )A. 1个B. 4个C. 8个D. 9个19．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．(1)若∠BAC=30°，求证：AD=BD；(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.20. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，•以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3. 在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图1所示. 请你在图2、图3中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.。
中考一轮复习--第16讲 等腰、等边与直角三角形
又AD⊥BC,∴△AEF是等腰三角形.∴∠E=∠F;
∵AB=BE,∴∠ABC=2∠E;
同理,得∠ACB=2∠F;∴∠ABC=∠ACB,
即AB=AC,△ABC是等腰三角形;
④在△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得
AB2-BD2=AC2-CD2,
即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD);
. 35°
解析:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,∴BD是中
线,∴AD=BD=CD,∴∠DBC=∠C=55°,∴∠ABD=90°-55°=35°.
考法1
考法2
等腰(边)三角形的性质与判定
例2(2019·重庆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.
分析:(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD,根据三角形
的内角和即可得到∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°;(2)根据等腰三角形
的性质得到∠BAD=∠CAD,根据平行线的性质得到∠F=∠CAD,等量
代换得到∠BAD=∠F,于是得到结论.
∵∠D=90°,∴CD2+DF2=FC2,
∴CD2+12=32,∴CD=2 2 .
方法总结勾股定理是直角三角形中的一个重要性质,可以由角的
关系得到三角形的边的关系,常用的方法是已知直角三角形的两边
求第三边,或者是已知直角三角形三边之间的关系,列方程求出某
些边长.
考法1
考法2
对应练1(2019·安徽萧县期末)如图,在△ABC
2020年中考数学考点一遍过考点15等腰三角形与直角三角形含解析
考点15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 （2020·四川省武胜县万善初级中学初二月考）等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为 A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°；②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 （2019·延安市实验中学初二期末）如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．（2020·自贡市田家炳中学初二期中）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 （2019·山东初二期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC 于E，若BE=1，则AC的长为__________．【答案】4【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2， ∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．（2020·山东初二期中）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 （2020·云南初二月考）直角三角形的两条直角边长分别为2cm 和6cm ，则这个直角三角形的周长为__________. 【答案】32+6cm【解析】∵直角边长为:2cm 和6cm ，∴斜边=()()2226=22+（cm ），∴周长=2+6+22=32+6（cm ）. 故答案为:32+6cm【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．（2020·浙江初二月考）直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．（2020·山东初二期中）如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．（2019·吉林初二期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．（2019·河南初二期中）如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 5．（2020·北京北理工附中初二期中）如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A．8个B．9个C．10个D．11个9．如图，Rt△ABC中，∠B=90〬，AB=9，BC=6，，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于A．5 B．6 C．4 D．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A．6 B．32C．42D．62 11．（2019·四川初二期中）三角形的三边a，b，c满足a-b+（b﹣c）2=0；则三角形是_____三角形.12．（2019·山西初三期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，△ABC的面积=________．13．（2020·北京北理工附中初二期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________.14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG =CD ，DF =DE ，则∠EFD =__________°．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =7，点E 是AD 上的一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA 1的长为__________．18．（2019·湖北初二期末）如图，在Rt △ABC 中，点E 在AB 上，把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合.（1）求证：△ACE 为等腰三角形； （2）若AB =6，求AE 的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．（2019·辽宁初二月考）ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD =62米．（1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．（2019•滨州）如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．（2019•兰州）在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．（2019•成都）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE的长为__________．4．（2019•威海）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．（2019•通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________． 7．（2019•南通）如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．（2019•苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ． （1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．（2019•重庆）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．（2019•无锡）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．（2019•重庆A 卷）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．（2019•枣庄）在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM+=．1．【答案】4cm或5cm【解析】当长是4cm的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5，三边长为4cm，4.5cm，4.5cm，等腰三角形成立；当长是4cm的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm，等腰三角形成立．故底边长是：4cm或5cm．故答案是：4cm或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB<5+2，即：3<AB<7，∵AB为奇数，∴AB=5，∴△ABC的周长为5+5+2=12．（2）∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形．3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE∠=∠=，得ABD CBE∠=∠，由,AB BC BD BE==，变式拓展得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5． 6．【答案】（1）BD =2，13AD =；（2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=， ∴13AD =．（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE∆中，222BE BD DE+=，即()22232x x-+=，解得：136x=，∴136AE=，∴135366BE=-=．【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边226810+=，∴斜边上的中线=12×10=5，故选D．【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．2．【答案】A【解析】Q ABC△是等边三角形，AC AB BC∴==，又Q BC BD=，AB BD∴=，∴20BAD BDA∠=∠=︒180CBD BAD BDA ABC∴∠=-∠-∠-∠00000180********=---=，Q BC BD=，∴11(180)(18080)5022BCD CBD∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键.3．【答案】B考点冲关【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m．故选B ．【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ，在△MDN 和△EDN 中，DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702??=?，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=22AB BD-=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH ⊥CH ，在Rt△ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt△ABC 中，AB =22226662AC BC +=+=．故选D ．11．【答案】等边【解析】Q 三角形的三边a ，b ，c 满足2()0a b b c -+-=，由算术平方根的非负性、平方数的非负性可得：20,()0a b b c -=-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD =22135-=12（cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15． 17．【答案】3242【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，∴设CM=A1M=x，则BM=7-x．又由折叠的性质知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中，CA1=2A1M，∴CA1=32或42．故答案为：32或42．18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合，∴CD=CB，∠CDE=∠B=90°，AD=CD，在△ADE和△CDE中，90AD CDADE CDEED ED=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴EA=EC，∴△ACE为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：∠BEC=∠DEC，∵△ADE≌△CDE，∴∠AED=∠DEC，∴∠AED=∠DEC=∠BEC=60°，∴∠BCE=30°，∴12BE CE=，又∵EA=EC，∴11223BE AE AB===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO =222.50.7-=2.4 m ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m-0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠，∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=， ∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒， ∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）．答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD∠=∠=°，在OCG△和ODH△中，OCA ODBOGC OHDOC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH△≌△，∴OG OH=，∴MO 平分BMC∠，④正确，正确的个数有3个，故选B．2．【答案】70°【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=12（180°-40°）=70°．故答案为：70°．3．【答案】9【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD和△CAE中，BAD CAEAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE=9，故答案为：9．4．【答案】105【解析】作DE AB⊥于E，CF AB⊥于F，如图所示，则DE CF=，∵CF AB⊥，90ACB∠=︒，AC BC=，∴12CF AF BF AB===，∵AB BD=，∴1122DE CF AB BD===，BAD BDA∠=∠，∴30ABD∠=︒，∴75BAD BDA∠=∠=︒，∵AB CD∥，∴180ADC BAD∠+∠=︒，∴105ADC∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或255【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25； ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC =∴此时底边长为56或55【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt△ABE 和Rt△CBF 中，AB CBAE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt△ABE ≌Rt△CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ， ∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CEDBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒， 则2AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =， ∴2AB AN AB BE AE AM +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
等腰三角形与直角三角形讲义
等腰三角形与直角三角形讲义1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=_55°_____2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为_30_____度3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ C ）A．30° B．150° C．30°或150° D．120°【知识梳理】1、等腰三角形及其性质（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．（2）性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．2、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC．（1）直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或.（2）定理：直角三角形的两个锐角互余．推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）．说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法．（3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．(4）定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°．【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．分析：这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．解：（1）①③，①④，②③，②④．（2）选择①④来证明结论成立．已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．∴△ABC为等腰三角形．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC．求证：AO⊥BC．证明：延长AO交BC于D．在△ABO与△ACO中，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，∴AO⊥BC．考点二：利用等腰三角形求度数例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．分析：本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．解：设∠A=x．∵AD=DE=EB∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，∴∠EBD=∠EDB=．∴BDC=∠A＋∠ABD=．∵BD=BC，AB=AC，∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=．在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，即，∴x=45°，即∠A=45°．例4、已知：AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC．求∠ABC的度数．（1）当H是AD与BE的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠4=∠3=∠5=90°，∴∠1＋∠C=∠2＋∠C=90°，∴∠2=∠1．又∵BH=AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD=AD，∴∠DBA=∠6．又∵∠6＋∠DBA=90°，∴∠DBA=45°，即∠ABC=45°．（2）当H是AD、EB延长线的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠3=∠2=90°，∠4=90°，∴∠1＋∠H=90°，∴∠CAD＋∠H=90°，∴∠1=∠CAD．又∵BH=AC，∴△DBH≌△DAC，∴DB=DA，∴∠5=∠6．又∵∠5＋∠6=90°，∴∠6=45°，∴∠ABC=180°－45°=135°．故∠ABC的度数为45°或135°．考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．例6、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB＋BD．（你可以用不同的方法证明吗）方法一：（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．因为∠3=∠C＋∠4，所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，所以DE=CE．所以CE=BD．所以AC=AE＋EC=AB＋DB．方法二：（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），所以AC=AE．因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．例7、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．方法一：解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．方法二：接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．方法四：小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．方法五：小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．方法六：大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．例8、如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：CD⊥AC．证明：取AB的中点E，连结DE．∵AD=BD，∴DE⊥AB，∴∠3=90°．又∵AB=2AC，AB=2AE，∴AE=AC．又∵∠1=∠2，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠3=∠ACD，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC．例9、如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F．求证：DF=EF．过E作EG//AB交BC的延长线于G，则∠G=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠1=∠ECG，∴∠G=∠ECG，∴CE=GE．又∵BD=CE，∴BD=GE．又∵∠BFD=∠GFE，∴△BDF≌△GEF，∴DF=EF．知识点二：直角三角形考点一：30°所对的直角边等于斜边的一半例1（将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．点评：此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．例2.如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。
中考数学一轮总复习 第25课时 三角形(一)(无答案) 苏科版
第25课时：三角形（一）【知识梳理】（一）三角形的相关概念：1．三角形按角分为 ， ， ． 2．三角形按边分为 .3．三角形中任意两边之和 第三边，两边之差 第三边4．三角形的内角和为 °，外角与内角的关系： ． 5． 叫三角形的中位线．6．中位线的性质： ． 7．三角形的中线、高线、角平分线都是 ．(线段、射线、直线) （二）等腰三角形的性质与判定： （三）直角三角形的性质与判定： 【课前预习】1 三角形的两个内角分别是40°和60°，则第三个内角等于______.2 已知△ABC 中，AB=6，AC=8，则BC 边的取值范围为__________.3 如图，AC∥BD，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1=64°，则∠2=_____．4 如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC 的度数为_______．5 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为_______；若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为_______cm ．6 如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为_______. 【解题指导】例1如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60例2 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分別是△ABC 两个外角的平分线． （1）求证：AC=AD ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．例3 已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC. （1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由。
等腰三角形与直角三角形 PPT课件 人教版
温馨提示： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三 角形三个顶点的距离相等. 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点， 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
考点一 等腰三角形的性质 例 1(2014·南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD，
∴△BOE≌△COD.
∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三 等边三角形的性质与判定 例 3(2014·温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
答案： C
5．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系 式 c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC 是等腰直角三角 形．
解析：∵ c2－a2－b2＋|a－b|＝0， c2－a2－b2 ≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等 腰直角三角形．
6．如图，△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC.如果 AD＝2， BD＝6，那么△ADC 的周长为 .
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F. ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴CD＝CE＝2. ∴DF＝2CE＝4.
方法总结： 等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三 个角都等于60°，中线、高、角平分线三线合一.根据 以上性质可以进行相关的计算与证明.
第1讲 等腰三角形与直角三角形-教案
（2）回忆全等三角形的性质。
2.等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。
【知识导图】
【教学建议】
有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。
1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选C．
2.（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
故答案为：130°．
4.如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法 ，保留作图痕迹）；
（2）求证：BM=EM．
【答案】见解析
【解析】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作等腰△ABD和等腰△ACE，且顶角∠BAD＝∠CAE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？请说明理由；
中考数学专题特训 等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【赵老师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【赵老师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433；故答案为：433或43或4。
等腰三角形、直角三角形
等腰三角形、直角三角形重点：1、等腰三角形的性质和判定方法。
2、直角三角形的性质与判定，锐角三角函数及解直角三角形。
难点：数学思想的渗透及知识的综合运用能力的提升。
考点一：等腰三角形 1．性质（1）⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩两腰相等两底角相等（等边对等角）等腰三角形三线合一轴对称图形（2）等边三角形 → 三边相等，三角相等，有三条对称轴 2.判定⎫⇒⎬⎭两边相等的三角形等腰三角形两角相等的三角形 ⎫⎪⇒⎬⎪︒⎭三边相等的三角形三角相等的三角形等边三角形有一个角是60的等腰三角形例1：如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ，BF ⊥AE 于点F.求证:BP=2PF【随堂练习】1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A ．80° B ．50° C ．40°D ．20°2.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A ．25 B ．25或32 C ．32 D ．193.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94.如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上， 且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为（ ） A ．60° B ．45° C ．40° D ．30°E第4题5.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边 形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A ．180° B ．220° C ．240° D ．3006.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（ ）A 、70°B 、55°或70°C 、40°或70°D 、40°7.等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___. 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．9.如图，△ABC 是等边三角形，AD 是△ABC 的角平分线，延长AC 到E ，使得CE=CD ． 求证：AD=ED ．10. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.⑴上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ⑵选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形AEBCO D第5题11.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．12.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.⑴写出点O 到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系，并说明理由.⑵若点M、N分别是AB、AC上的点，且BM=AN，试判断△OMN形状，并证明你的猜想.考点二：直角三角形 1．性质（1）R t △的两个锐角互余。
专题复习等腰(边)三角形与直角三角形
专题复习:等腰(边)三角形与直角三角形专题等腰（边）三角形与直角三角形☞解读考点☞2年中考【2019年题组】1．（2019来宾）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1【答案】D．【解析】试题分析：A．1+2≠3，不能组成直角三角形，故错误；2222+3≠4B．，不能组成直角三角形，故错误； 222C．4+5≠6，不能组成直角三角形，故错误；D．1+=，能够组成直角三角形，故正确．故选D．考点：勾股定理的逆定理．2．（2019南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）222222A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A．考点：等腰三角形的性质．3．（2019来宾）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80° B．60° C．50° D．40°【答案】D．【解析】试题分析：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，故选D．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．4．（2019内江）如图，在△ABC中， AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°【答案】A．【解析】试题分析：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．5．（2019荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12【答案】C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（2019广州）已知2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个2根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B．【解析】2试题分析：∵2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，∴2-4m+3m=0，m=4，2∴x-8x+12=0，解得x=2或x=6．①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．7．（2019丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）2A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【答案】A．考点：等腰三角形的性质．8．（2019龙岩）如图，ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）ABCD．1【答案】D．【解析】1试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=2∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠=1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．9．（2019乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）ABCD【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．10．（2019资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm【答案】A．B．cm Ccm D．cm考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．11．（2019德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】C．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，1∴△ACE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=2∠CED=30°．故选C．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质．12．（2019眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=l，则AC的长是（）A．23 B．2 C．43 D．4【答案】A．考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．13．（2019荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）11A．3 B1 C．2 D．4【答案】A．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，AC，又1∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=2AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE1AC，∴tan∠DBC=BE==3．故选A．考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．14．（2019襄阳）如图，在△A BC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）AB．1 CD．2【答案】B．考点：1．含30度角的直角三角形；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．15．（2019北京市）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km【答案】D．【解析】1试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=2AB=AM=1.2km．故选D．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．应用题．16．（2019天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，，3点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为2，则点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A．考点：1．等腰直角三角形；2．点到直线的距离．17．（2019龙岩）如图，的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）ABCD．1【答案】D．考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．18．（2019龙东）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【答案】A．【解析】试题分析：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，1111∴△ABF中，=3，∴2×8×3=2×5×PD+2×5×PE，12=2×5×（PD+PE），PD+PE=4.8．故选A．考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．动点型．19．（2019安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）33232A． B． C．3 D．6【答案】A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理．20．（2019滨州）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【答案】B．【解析】11试题分析：连接OC、OC′，如图，∵∠AOB=90°，C为AB中点，∴OC=2AB=2A′B′=OC′，∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选B．考点：1．轨迹；2．直角三角形斜边上的中线．21．（2019烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2019的值为（）2019112019()2019()2019A． B． C．2 D．2【答案】C．考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 22．（2019烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或10 【答案】B．【解析】试题分析：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况：①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x-6x+n-1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x-6x+n-1=0得，4﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意；2②当a=b时，方程x-6x+n-1=0有两个相等的实数根，∴△=(-6)﹣4（n﹣1）=0，222解得：n=10，故选B．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论． 23．（2019崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）A．160 B．161 C．162 D．163 【答案】B．考点：1．规律型；2．综合题． 24．（2019宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．【答案】5．考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线． 25．（2019常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．【答案】（400，800）．【解析】试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用． 26．（2019南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．【答案】52．考点：等腰三角形的性质． 27．（2019苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．【答案】27．【解析】试题分析：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG1是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=2AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△1ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=2BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质；3．轴对称的性质． 28．（2019西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．【答案】110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论． 29．（2019南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质． 30．（2019攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题． 31．（2019昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题． 32．（2019淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．【答案】120，150．【解析】试题分析：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°，在△AB D与△ACD中，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD=30°，∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°，故答案为：120，150．考点：1．等腰直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的性质；4．综合题． 33．（2019黄冈）在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为__________cm．【答案】126或66．2考点：1．勾股定理；2．分类讨论；3．综合题． 34．（2019庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）【答案】【解析】试题分析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，cm．故答案为：BC=3cm，由勾股定理得：AC===考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．35．（2019朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1=1.41=1.73）．【答案】2.9．考点：勾股定理的应用． 36．（2019辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．【答案】8．【解析】试题分析：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt△ABD中，．故答案为：8．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．勾股定理． 37．（2019柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长．【答案】（1）3；（2）6．考点：1．勾股定理；2．三角形中位线定理． 38．（2019柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？110【答案】（1）4；（2）t=6或13．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．勾股定理的逆定理；3．直角梯形；4．动点型；5．分类讨论；6．综合题．【2019年题组】 1．（2019²江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】D．【解析】试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180︒-40︒2=70°．故选D．考点：等腰三角形的性质．2.（2019²桂林）下列命题中，是真命题的是（） A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似 C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似【答案】B．【解析】试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60°，从而都相似．故选B．考点：1．命题和定理；2.相似三角形的判定；3．等边三角形的性质. 3.（2019湖南省湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（）1A．4【答案】C．1B．2C． 1 D． 2考点：等腰直角三角形．4.（2019贵州安顺市）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A． 7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10 【答案】A．【解析】试题分析：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，⎧2a-3b+5=0⎧2a+3b-13=0，∴⎧⎧a=2⎧b=3，解得⎧当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选A．考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质：偶次方；3.非负数的性质：算术平方根；4.解二元一次方程组；5.三角形三边关系．5.（2019张家界）如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=60︒，DE是斜边AC的中垂线分别交AB、AC于D、E两点，若BD=2，则AC的长是（）A．4B C .8D. 【答案】B．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理． 6.（2019吉林）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（）A．【答案】DB． 2C．D．考点：1、等腰直角三角形；2、等腰三角形的判定与性质．7.（2019吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．【答案】（﹣1，2）【解析】试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴y=0时，2x+4=0，解得x=﹣2，∴B （0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1．故C′的坐标为（﹣1，2）．考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、等边三角形的性质. 8.（2019毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．3【答案】2．考点：1．折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用☞考点归纳归纳 1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
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课时25．等腰三角形与直角三角形【课前热身】1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为_________.2. 在三角形中，有两边长为5和12，要使该三角形为直角三角形，则第三边为_________.3. 在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2cm，则AB=_____cm.4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____度.5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．•则∠A等于( ) A．30° B．36° C．45° D．72°(第4题) (第5题) (第6题) (第7题)6．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里7. 如图，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于( )A．130° B．60° C．50° D．25°【知识整理】1．等腰三角形的性质与判定：(1)等腰三角形的两底角_________；(2)等腰三角形底边上的________，底边上的________，顶角的________，三线合一；(3)有两个角相等的三角形是_____________.2．等边三角形的性质与判定：(1)等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；(2)三个角相等的三角形是_____________，三边相等的三角形是_____________，一个角等于60°的_____________三角形是等边三角形.3．直角三角形的性质与判定：(1)直角三角形两锐角________；(2)直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________；(3)直角三角形中，斜边的中线等于斜边的________；(4)勾股定理：__________________________________________________________________．(5)勾股定理的逆定理：__________________________________________________________．【例题讲题】例1 如图，以△ABC的各边为边，在BC的同侧作等边△ABD、△ACF、△BCE，求证：△BDE≌△EFC例2 如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ.例3 如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.【中考演练】1．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为_______度.2．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为______.3. 已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请添加一个条件，使图中存在全等三角形. 所添加的条件为____________，你得到的一对全等三角形是：△_________≌△________.(第3题) （第4题）4．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是_______.5. 如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=____度.（第5题）（第6题）（第7题）6. 如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：(1) 当OP=_____时，△AOP为等边三角形；(2) 当OP=_____时，△AOP为直角三角形；7. 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=61°，延长BC至E，使CE=AC，延长CB至D，使DB=AB，则∠DAE=_____.8. 如图的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的面积为_______.(第8题) （第9题）9. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四边形AEP F=S△ABC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的序号有____________.10. 如图所示，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.(第10题) （第11题）11. 小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( )A.4B.3C.2D.112. 在下列四个命题，①等腰三角形两腰上的中线相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.413. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE 平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是( )A.∠B=∠CAEB.∠DEA=∠CEAC.∠B=∠BAED. AC=2EC(第13题) （第14题）14.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《沟股圆方图》，它是由四个全等三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图. 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值是( )A.13B.19C.25D.16915. 等腰三角形一腰上的中线分原三角形周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为( )A．7 B. 11 C. 7或11 D.不能确定16. 已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数为( )A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°17. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则∠B 的度数为( )A. 65°B. 25°C. 65°或25°D. 50°或130°18. 如图，四边形ABCD是正方形，在平面内，满足△PAB，△PBC，△PCD，△PAD均为等腰三角形的点P的个数是( )A. 1个B. 4个C. 8个D. 9个19．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．(1)若∠BAC=30°，求证：AD=BD；(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.20. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，•以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．21. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3. 在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图1所示. 请你在图2、图3中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.2011年中考题精选1.（2011浙江省舟山）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）362.（2011四川凉山州）如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于（ ）A ．1013B ．1513C ．6013D ．75133.（2011贵州毕节）如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝ 36，AB 的中垂线MN 交AC 于点D 、交AB 于点M . 下列结论：①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ；④△AMD ≌△BCD ，正确的有( )个.A ．4B ．3C ．2D ．1A BC DE4.（2011黑龙江绥化）如图在R t △ABC 中，AB=CB ，BO ⊥AC ，把△ABC 折叠，使AB 落在AC 上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F ，连接DE 、EF.下列结论：①tan ∠ADB=2 ②图中有4对全等三角形③将△DEF 沿EF 折叠，则点D 不一定落在AC 上④BD=BF ⑤S 四边形DFOE =S △AOF ，上述结论中正确的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5.（2011年铜仁地区）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）Ａ.等腰三角形两底角相等B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C.等腰三角形是中心对称图形D.等腰三角形是轴对称图形6.（2011内蒙古赤峰）如图，在△ABC 中，AB =20㎝，AC =12㎝，点P 从点B 出发以每秒3㎝的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2㎝的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是等腰三角形时，运动的时间是（ ）A ． 2.5B ．3秒C ．3.5秒D ．4秒7．（2011广西百色）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①∆BCD ≌∆CBE;②∆BAD ≌∆BCD;③∆BDA ≌∆CEA;④∆BOE ≌∆COD;⑤ ∆ACE ≌∆BCE;上述结论一定正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ①③④8.（2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）A2m B.3mC.6mD.9m9.（2011贵州贵阳）如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）710. （2011河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将 △ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．21B ．2C ．3D ．411. （2011湖北十堰）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。