哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学2014届下学期高三年级第二次联合模拟考试数学试卷(理科,有答案)

哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学2014届下学期高三第二次联合模拟考试数学试卷（理科，有答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若}7,6,5{}3,2,1{}8,7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，，，则（U A ）∩（U B ）= A. {4,8}B. {2,4,,6,8}C. {1,3,5,7}D. {1,2,3,5,6,7}2. 已知复数i z 2321+-=，则=+||z z A. i 2321--B. i 2321+-C.i 2321+ D.i 2321- 3. 设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)(c P >ξ=)2(-<c P ξ，则c 的值是 A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 A. ),2[+∞B. ),2(+∞C. ),1[+∞D. ]1,(--∞5. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且BC Aa cbc sin sin sin +=--，则B=A.6π B.4π C.3π D.43π 6. 已知函数)1ln()(2+=x x f 的值域为}2,1,0{，则满足这样条件的函数的个数为 A. 8B. 9C. 26D. 277. 已知△ABC 16·10-==，，D 为边BC 等于 A. 6B. 5C. 4D. 38. 函数)42sin(2)(π+=x x h 的图象与函数)(x f 的图象关于点)1,0(对称，则函数)(x f 可由)(x h 经过 的变换得到A. 向上平移2个单位，向右平移4π个单位 B. 向上平移2个单位，向左平移4π的单位 C. 向下平移2个单位，向右平移4π个单位 D. 向下平移2个单位，向左平移4π的单位 9. 一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记。

该运动员在练习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为c （a ，b ，c ∈)1,0[），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当ba 9110+取最小值时，c 的值为 A.111B.112 C.115 D. 010. 已知某算法的流程图如图所示，输入的数x 和y 为自然数，若已知输出的有序数对为)14,13(，则开始输入的有序数对),(y x 可能为A. )7,6(B. )6,7(C. ()5,4D. )4,5(11. 已知双曲线12222=-by a x )00(>>b a ，的焦点)0,(1c F -、)0)(0,(2>c c F ，过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点。

设m F F =+11，n F F =+11，则下列各式成立的是A. ||||n m >B. ||||n m <C. 0||=-n mD. 0||>-n m12. 已知方程k xx =|cos |在),0(+∞上有两个不同的解α、β)(βα<，则下列的四个命题正确的是A. sin2α=2αcos 2αB. cos2α=2αsin 2αC. sin2β=-2βsin 2βD. cos2β=-2βsina 2β第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 观察下列等式：2311=，233321=+，23336321=++，23333104321=+++，…，根据上述规律，第n 个等式为14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为15. 在区间]2,0[和]1,0[分别取一个数，记为x 、y ，则x x y 22+-≤的概率为 。

16. P 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1对角线BD 1上的一点，且BP=λBD 1（)1,0(∈λ）。

下面结论：①A 1D ⊥C 1P ；②若BD 1⊥平面PAC ，则31=λ； ③若△PAC 为钝角三角形，则)21,0(∈λ； ④若)1,32(∈λ，则△PAC 为锐角三角形。

其中正确的结论为 。

（写出所有正确结论的序号）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17. （本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n =5S n +1成立。

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设||log 4n n a b =，求数列}·1{2+n n b b 前n 项和T n 。

18. （本小题满分12分）某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分。

上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示。

（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品。

①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X 个产品被购买，求X 的分布列和数学期望。

19. （本小题满分12分）已知四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形，AC ∩BD=O ，AA 1=23，BD ⊥A 1A ，∠BAD=∠A 1AC=60°，点M 是棱AA 1的中点。

（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面BMD ； （Ⅱ）求证：A 1O ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值。

20. （本小题满分1 2分）已知圆1)2(:22=-+y x M ，直线1:-=y l ，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切。

设动圆圆心P 的轨迹为E 。

（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）定点A （4，2），B ，C 为E 上的两个动点，若直线AB 与直线AC 垂直，求证：直线BC 恒过定点。

21. （本小题满分12分） 已知函数)0(1)(2>++=a x bax x f （Ⅰ）求证：)(x f 必有两个极值点，一个是极大值点，—个是极小值点；（Ⅱ）设)(x f 的极小值点为α，极大值点为β，1)(1)(=-=βαf f ，，求a 、b 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设)()(x e f x g =，若对于任意实数x ，222)(mxx g +≤恒成立，求实数m 的取值范围。

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B ，C 两点，D 是圆上一点，且AB ∥CD ，DC 的延长线交PQ 于点Q 。

（Ⅰ）求证：AC 2=CQ ·AB ；（Ⅱ）若AQ=2AP ，AB=3，BP=2，求QD 。

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 1的极坐标方程为θρ22sin 12+=，直线l 的极坐标方程为θθρcos sin 24+=。

（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知1,,222=++∈c b a R c b a ，。

（Ⅰ）求证：3||≤++c b a ；（Ⅱ）若不等式2)(|1||1|c b a x x +-≥++-对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围。

参考答案二模理科数学参考答案4315．23 16．①②④17．（Ⅰ）解：当1=n 时，111151,4=+∴=-a S a ………2分 又1151,51++=+=+ n n n n a S a S 115,n n n a a a ++∴-= ………4分 114n n a a +=-即∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列，∴1()4=-nn a ………6分（Ⅱ）n b nn -=-=)41(log 4， ………8分所以211111(2)22n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭………10分 1111111111(1)()()1232422212n T n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=+--⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦………12分 18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，所以甲乙两产品同时被选中的概率为1283301145C P C == ………7分②第四组共有X 个产品被购买，所以X 的取值为0,1,21233266(0)15C C P X C +===；111322268(1)15C C C P X C +===；22261(2)15C P X C ===；所以X 的分布列为01228151515XP………10分 812215153EX =+⨯= ………12分 19．（Ⅰ）证明:连结MO1111////A M MA MO AC AO OC MO BMD AC BMD AC BMD =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 ………3分（Ⅱ）11BD AA BD AC BD A AC ⊥⊥⊥,得面于是1BD A O ⊥AC BD O ⋂=1111116022cos 60ABCD BAD AO AC AB AA AO AC AO ABCD A AC AO BD ⎫⎫⎫⎪⎪∠=⇒==⎬⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪∠=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⊥⎪⎭平面 ………7分(Ⅲ)如图建立直角坐标系，1(0,0,3)((0,1,0)(0,1,0)A A C B D -111((AC AC C ==-⇒-33()()2222M MB =--1(0,2,0)(1,3)DB BC ==--设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =11200300y n DB n DB n y z n BC n BC ⎧⎧=⎧⊥⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩………9分cos ,BM n <>= ………11分 所以，直线BM 与平面1BC D………12分 20．（Ⅰ）设(,)P x y2(1)18y x y =++⇒= ………4分（Ⅱ）设直线BC ：y kx b =+，1122(,),(,)B x y C x y将直线BC 代入到28x y =中得2880x kx b --=，所以12128,8x x k x x b +==-………5分又因为1122(4,2),(4,2)AB x y AC x y =--=--所以12121212221212(4)(4)(2)(2)(4)(4)(2)(2)(1)[(2)4]()(2)160AB AC x x y y x x kx b kx b k x x k b x x b ⋅=--+--=--++-+-=++--++-+=228(1)8[(2)4](2)160b k k k b b ⇔-++--+-+=2222121632200(6)16(1)0b b k k b k ⇔---+=⇔--+=………8分410b k ⇒=+或42b k ⇒=-+ ………10分所以恒过定点(4,10)- ………12分 21． （Ⅰ）()()()()22'2222122()11a x x ax b ax bx af x xx+-++-==-++令'2()020f x ax bx a =⇒+-=224()0b a ∆=+> ………2分'()0f x ∴=有两实根不妨记为,αβ点 ………4分（Ⅱ）220ax bx a +-=，由韦达定理得2b aαβ+=-()()()()()2222110200110f a b a b f a b ααααβαβαβαββββ=-⎫⎧+++=⎪⇒⇒-+++=⇒+-=⎬⎨=--+=⎪⎩⎭ ……6分00,1,1b αβαβ∴+=⇒==-=，所以2a = ………7分(Ⅲ)因为22()01xxe g x e =>+，所以0m ≥ ………8分 又因为当0x =时，不等式恒成立所以，原问题22x x e e m x -+-⇔≤对一切()(),00,x ∈-∞+∞ 恒成立 法一、设22()x x e e u x x-+-=（()(),00,x ∈-∞+∞ ） ()()()()2'432222()xx x x xx x x ee x x e e e e x e e u x xx------+---+-==设()()()22x x x x h x e e x e e --=--+-，()()'()x x x x h x e e x e e --=+--，()''()x x h x e e x -=-当0x >时，xxe e->，所以''()0h x >，当0x <时，x xe e-<，所以''()0h x >，所以'()h x 在R 上单调递增，又因为'(0)0h = 所以当0x >时， '()0h x <，当0x <时， '()0h x >所以()h x 在(),0-∞上递减，()0,+∞递增，所以()(0)0h x h >= ………10分所以当0x >时， '()0u x <，当0x <时， '()0u x >所以()u x 在(),0-∞上递减，()0,+∞递增，所以0()lim ()1x h x h x →>=所以01m ≤≤ ………12分 法二不妨设0x >()2()2x x h x e e mx -=+--()'()2x x h x e e mx -=--，()''()2x x h x e e m -=+-当1m ≤时，()22x xe em -+≥≥，''()0h x ≥，所以'()h x 在()0,+∞上单调递增，''()(0)0h x h >=所以11 ()h x 在()0,+∞上单调递增， ()(0)0h x h >=，所以当1m ≤时成立………10分当1m >时''()0h x =得0ln(ln(x m x m ==+令当()x 0∈0，x 时''()0h x ≤所以'()h x 在()00，x 上单调递减，''()(0)0h x h <=所以 ()h x 在()00，x 上单调递减，()(0)0h x h <=，与条件矛盾，同理0x <时亦如此 综上01m ≤≤ 12分 22．（Ⅰ）2//~AB CD PAB AQCAQC ACB ACB CQAPA O PAB ACB AQ O QAC CBA AC AB AC AB CQ CQ AC⇒∠=∠⎫⎫⇒∠=∠⎬⎪⇒∆∆⇒∠=∠⎬⎭⎪⇒∠=∠⎭⇒=⇒=⋅为圆切线为圆切线 ………5分（Ⅱ）//113622,AB CD BP AP AB AP PC PQ QC QC PC AQ BP AB ⎫⎫⎪⎪⇒===⎬⎪=⇒==⎬⎪⎭⎪⎪==⎭AP 为圆O切线212AP PB PC QA ⇒=⋅=⇒=又因为AQ 为圆O切线2AQ QC QD QD ⇒=⋅⇒=………10分23．（Ⅰ）221:22C x y +=，4l x += ………5分（Ⅱ）设),sin Q θθ，则点Q 到直线l 的距离d ==≥ ………8分 当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时取等 ………10分24．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=∴a b c ≤++≤ 所以a b c ++的取值范围是[ (5)12 分（Ⅱ）同理，2222222()[111]()3a b c a b c -+≤+-+++=（） ………7分 若不等式2|1|1()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分。