吉林省长春市东北师大附中2019-2020数学大练习试卷(10)
2019-2020学年吉林东北师范大学附属中学高一下学期期末数学试卷(1)
又∵直线 过点
与线段 有交点，
∴直线 的倾斜角 的取值范围为
，
故答案为
．
15 、【答案】 【解析】 ∵所求直线方程与直线
∴设方程为
，
∵直线过点
，
∴
，
∴
，
∴所求直线方程为
，
故答案为：
．
垂直，
16 、【答案】 ;
【解析】 由题意用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，构成如图所示的四面体
中
平面
，
，
，
，
，
，其
，
，
．
对称圆的方程．
21、在四棱锥 ，
中，底面
是边长为 的菱形，
， 、 分别为 、 的中点．
，
平面
(1) 求证： (2) 求二面角
平面
． 的大小．
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22、已知点
，
， ， 分别为线段 ， 上的动点，且满足
．
(1) 若
，求直线 的方程．
(2) 证明：
的外接圆恒过定点（异于原点）．
且与直线
垂直，则直线 的方程为
．
16、如图，正方形
的边长为 ，点 ， 分别在边 ， 上，且
．将此
正方形沿 ， ， 切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，
则该三棱锥的内切球的体积为
，外接球的表面积为
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分）
17、已知命题 ：关于 的不等式 的定义域为 ．如果
，
解得交点坐标
，
又∵直线 过点 ，
显然斜率存在，
∴设直线 为
，
2019-2020学年长春市中考数学模拟试卷(有标准答案)(word版)
吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3.00分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣5 D．52．（3.00分）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010B．2.5×1010C．2.5×109D．25×1083．（3.00分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．4．（3.00分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3.00分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°6．（3.00分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺7．（3.00分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米8．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（）A．4 B．2C．2 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3.00分）比较大小：3．（填“＞”、“=”或“＜”）10．（3.00分）计算：a2•a3= ．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为．（写出一个即可）12．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为度．13．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y 轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6.00分）先化简，再求值：+，其中x=﹣1．16．（6.00分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）17．（6.00分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．18．（7.00分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．19．（7.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）20．（7.00分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．21．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为分钟．22．（9.00分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．23．（10.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．24．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3.00分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣5 D．5【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：||=，故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．2．（3.00分）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010B．2.5×1010C．2.5×109D．25×108【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2500000000用科学记数法表示为2.5×109．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3.00分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆柱的柱视图是矩形，故 B错误；C、圆台的主视图是梯形，故C错误；D、球的主视图是圆，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．4．（3.00分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：3x﹣6≥0，3x≥6，x≥2，在数轴上表示为，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．5．（3.00分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．【点评】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答．6．（3.00分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．7．（3.00分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（）A．4 B．2C．2 D．【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴BD=AD=CD=，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y=得k=×2=4．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3.00分）比较大小：＞3．（填“＞”、“=”或“＜”）【分析】先求出3=，再比较即可．【解答】解：∵32=9＜10，∴＞3，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．10．（3.00分）计算：a2•a3= a5．【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【解答】解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．【点评】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为 2 ．（写出一个即可）【分析】由直线y=2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．【解答】解：∵直线y=2x与线段AB有公共点，∴2n≥3，∴n≥．故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．12．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为37 度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案为：37．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．13．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEF D周长的最小值为20 ．【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．【解答】解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°．∴AE=3，BE=，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，故答案为：20【点评】此题考查平移的性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y 轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 3 ．【分析】解方程x2+mx=0得A（﹣m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（﹣1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．【解答】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3．故答案为3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6.00分）先化简，再求值：+，其中x=﹣1．【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：+====x+1，当x=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16．（6.00分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）【分析】列表得出所有等可能结果，然后根据概率公式列式计算即可得解【解答】解：列表如下：A 1A2BA 1（A1，A1）（A2，A1）（B，A1）A 2（A1，A2）（A2，A2）（B，A2）B（A1，B）（A2，B）（B，B）由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果，所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为．【点评】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6.00分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．【分析】利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义判断即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等三角形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．18．（7.00分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．【分析】（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据利润=销售收入﹣成本结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82．答：每套课桌椅的成本为82元．（2）60×（100﹣82）=1080（元）．答：商店获得的利润为1080元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据数量关系，列式计算．19．（7.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．20．（7.00分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18 ；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．【解答】解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×=100（名），答：该部门生产能手有100名工人．【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 1 立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为11 分钟．【分析】（1）体积变化量除以时间变化量求出注入速度；（2）根据题目数据利用待定系数法求解；（3）由（2）比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度，则输出速度为5﹣4=1，再根据总输出量为8求解即可．【解答】解：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟；（2）设y=kx+b（k≠0）把（3，15）（5.5，25）代入解得∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3（3）由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为5﹣4=1立方米；只打开输出口前，水泥输出量为 5.5﹣3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需需输出8﹣2.5=5.5立方米，用时5.5分钟∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟故答案为：1，11【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数的图象性质以及在实际问题中比例系数k代表的意义．22．（9.00分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 2 ．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为9 ．【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．【解答】解：感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA）；探究：（1）如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，在△PGF和△CBE中，，∴△PGF≌△CBE（ASA），∴BE=FG，（2）由（1）知，FG=BE，连接CM，∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，∴BE=2CM=2，∴FG=2，故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，∴ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6，∵BE⊥CG，∴S=CG×ME=×6×3=9，四边形CEGM故答案为9．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出CG=BE是解本题的关键．23．（10.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，∠A=30°，AB=4，∴AC=2，∵PD ⊥AC ，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt △ADP 中，AP=2t ，∴DP=t ，AD=APcosA=2t ×=t ， ∴CD=AC ﹣AD=2﹣t （0＜t ＜2）；（2）在Rt △PDQ 中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A ，∴PA=PQ ，∵PD ⊥AC ，∴AD=DQ ，∵点Q 和点C 重合，∴AD+DQ=AC ，∴2×t=2，∴t=1；（3）当0＜t ≤1时，S=S △PDQ =DQ ×DP=×t ×t=t 2； 当1＜t ＜2时，如图2，CQ=AQ ﹣AC=2AD ﹣AC=2t ﹣2=2（t ﹣1），在Rt △CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan∠CQE=2（t ﹣1）×=2（t ﹣1）， ∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ =×t ×t ﹣×2（t ﹣1）×2（t ﹣1）=﹣t 2+4t ﹣2， ∴S=；（4）当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t，∴AP+PF=2t+2t=2，∴t=；当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t，在Rt△NMQ中，NQ==t，∵AN+NQ=AQ，∴+t=2t，∴t=，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H，∴BH=BF=1，在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，∴AH=AP+PH=AB+BH，∴2t+2t=5，∴t=，即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．24．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．【分析】（1）求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；（2）利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；（3）由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题；（4）分两种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），B（1，1）把B（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1，∴m=．（2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m，∴AE=ED=2m，∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，∴AD=BC=4m，AB=CD=2，∴L=8m+4．（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，∴m2﹣1=1，∴m=2或﹣2（舍弃），∴L=8×2+4=20．（4）①当最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时，若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃），若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃），又∵m≤2，观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，②当（2，2m﹣1）是最高点时，，解得2≤m≤5，综上所述，1≤m≤5，∴12≤L≤44．【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．。
吉林长春市北师大附属中学2019-2020学年七年级下学期阶段学习检测数学试卷(PDF版,无答案)
3.某纸品长要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒。该厂利用边角料裁出了长 方形和正方形纸片，其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等。现用70张正方形纸 片和180张长方形纸片制作这两种小盒。试问可以做成两种小 盒各多少个？
三、解下列方程（每小题4分，共24分）
(1)18- 6 ×（ 1 - 1 ）÷ 1 (2) 4(2x－1)－3(5x+2)=3(2－x) (3) y y 1 2 y 2
7 63 7
2
6
2x 3y 4,
3x 2 y 5x 2
(4) 4x 4 y 3; （5） 2(3x 2 y) 2x 8
5.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
x y 4
A．
2
x
3
y
7
2a 3b 11
x2 9
B. 5b
4c
6
C.
y
2x
x y 8
D. x
2
y
4
6．二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解
D．有且只有两解
7．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
x 3
A．
y
2
x 3
B.
y
4
x 3
C.
y
2
x 3
D.
y
2
ax y 0
x 1
8.方程 x by 1
的解是
y
1
，则a，b为（
）
a 0 A、 b 1
吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试题
吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}1,2,3,4U =，{}1,2M =，{}2,3N =，则集合()UN M ⋃等于（ ）A ．{}3B ．{}4,5C ．{}1,2,3D ．{}2,3,42．已知某班有48名同学，现用系统抽样的方法，抽取容量为4的一个样本．已知学号为8，32，44的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的学号为（ ） A ．16B ．20C ．24D ．363．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4326S a =+，47a =，则5a =（ ） A ．5B ．7C ．9D ．114．已知lg 7a =，lg11b =，0.2log 3c =，则下列不等式正确的是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．若a ，b 为单位向量，()2a b a -⊥，则向量a ，b 的夹角为（ ） A ．60°B ．30°C ．90°D ．120°6．若圆()22200x y ax a +-=>的半径为2，则实数a 的值为（ ）A ．12a =B ．1a =C ．2a =D ．a =7．如图所示程序框图，若输入的值a ，b 分别为4，2，则输出的n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．为了估计圆周率π的值，向个正方形内撒M 粒豆子，若有N 粒豆子落在该正方形的内切圆内，则π的估计值为（ ） A ．4NMB ．4MNC ．N MD ．M N9．函数()232ln f x x x =-的单调递减区间是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎫∞⎪⎪⎝⎭D ．(10．近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为1r ，第2月的口罩月消耗量增长率为2r ，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为r ，则以下关系正确的是（ ）A ．212r r r =B ．212r r r ≤C ．122r r r =+D ．122r r r ≤+11．若函数()f x 的定义域为R ，满足() 02f =，x R ∀∈，都有()() 1f x f x '+>，则关于x 的不等式()e 1xf x ->+的解集为（ ）A ．{}0x x > B ．{}e x x >C ．{}1x x <D ．{}0e x x <<二、多选题12．将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()g x 的周期为π B ．π162g ⎛⎫=⎪⎝⎭ C ．函数()g x 是奇函数 D ．直线πx =是函数()g x 的一条对称轴三、填空题13．函数()2ln f x x x =+在点()1,1处的切线的方程为______．14．若从1，3，5，7中任取2个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值大于3的概率为______．15．若一个底面是正三角形的三棱锥的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．16．已知()ln ,0e ,0x xx xf x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x af x ++=⎡⎤⎣⎦有四个不等实根，则实数a 的取值范围为______．四、解答题17．直线l 经过点()2,3P ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，若AOB 的面积为12，求直线l 的方程．18．已知数列[{}n a 的前n 项和为n S ，()*21n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log 5n n b a =-，求数列{}n b 的前10项和10T ．19．已知ABC 中，a ，b ，c 分别为内的A ，B ，C 的对边，满足5cos cos 3c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）若1sin 5C =，求bc；（2）若1b =，求ABC 的面积的最大值．20．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90CDA ∠=︒，2AD CD ==，4AB =．FD ⊥平面ABCD ，//EC FD ，M 是AB 的中点．（1）求证：DM ⊥平面ACE ；（2）若3EC =，4FD =，求多面体ABCDEF 的体积．21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，经过点F 的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程； （2）求OA OB ⋅的最小值．22．已知函数()()222e 23xf x x ax a a =-+-+∈R ，其导数为fx ．（1）求函数f x 单调区间；（2）若()00f '<，且对0x ∀≥，都有()0f x ≥恒成立．（ⅰ）求证：存在()00,x ∈+∞，对于0x ∀>，都有()()0f x f x ≥； （ⅱ）求（ⅰ）中0x 的取值范围．参考答案1．D 【分析】利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】 由已知可得{}3,4UM =，因此，(){}2,3,4U N M ⋃=.故选：D. 2．B 【分析】根据系统抽样的定义，把学生按每12人分面4组，每组抽取1人．注意学号成等差数列即可． 【详解】由题意48名学生，按学号1到12一组，13到24一组，25到36一组，37到48一组，因此第二组的812+=20号是被抽取的对象， 故选：B ． 3．C 【分析】利用等差数列前n 项和公式与通项公式建立方程组求出首项和公差，再求解即可. 【详解】 由题意知：4326S a =+，47a =故()1114622637a d a d a d ⎧+=++⎨+=⎩ 即11337a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩5141249a a d =+=+⨯=故选：C.4．D 【分析】根据对数函数性质比较． 【详解】因为lg y x =是增函数，所以0lg 7lg11<<，0.2log y x =是减函数，0.20.2log 3log 10<=， 所以c a b <<． 故选：D ． 5．A 【分析】由垂直的数量积表示求得a b ⋅，再根据数量积的定义可得向量夹角． 【详解】因为a ，b 为单位向量，()2a b a -⊥，所以()222120a b a a a b a b -⋅=-⋅=-⋅=，12a b ⋅=， 1cos ,2a b a b a b⋅<>==，而,a b <>在0︒到180︒之间（含0︒和180︒）， 所以,60a b <>=︒． 故选：A ． 6．C 【分析】先由()22200x y ax a +-=>化为标准方程，再利用半径为2列方程可求出实数a 的值【详解】解：由()22200x y ax a +-=>，得()222(0)x a y a a -+=>，因为圆()22200x y ax a +-=>的半径为2，所以2a =， 故选：C 7．B 【分析】根据输入的值，依次进入循环系统，计算输出的值. 【详解】4,2a b ==进行循环系统后，426a =+=，4b =，a b ≤否，2n =，第二次进行循环系统，639a =+=，8b =，a b ≤否， 3n =，第三次进入循环系统，927922a =+=，16b =，a b ≤是， 退出循环系统，输出3n =. 故选：B 8．A 【分析】设圆的半径为r ，计算出正方形和圆的面积，利用几何概型公式可求得选项. 【详解】设圆的半径为r ，则正方形的面积为24r ，圆的面积为2r π，根据几何概型得224rM N rπ=，则4NMπ=， 故选：A ． 9．B 【分析】求出导函数，在定义域内确定()0f x '<的解集即得． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，222(31)()6x f x x x x -'=-=，由()0f x '<且0x >得0x <<．所以减区间⎛ ⎝⎭． 故选：B ． 10．D 【分析】求出12,,r r r 的关系，再根据基本不等式判断． 【详解】由题意212(1)(1)(1)r r r ++=+，212122r r r r r r +=++，12r r =时，212r r r =，122r r r =+，12r r ≠时，12r r +>，121112r r r ++++=<，122r r r <+，因此212r r r >，综上122r r r ≤+，212r r r ≥．故选：D ． 11．A 【分析】构造函数()()1x xg x e f x e =--，利用导数可判断函数()g x 的单调性，由已知条件可得函数()g x 的零点，由此可解得不等式． 【详解】解：令()()1x x g x e f x e =--，则'''()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x =+-=+-，()()1f x f x +'>，'()()10f x f x ∴+->，'()0g x ∴>，即()g x 在R 上单调递增，又(0)2f =，00(0)(0)12110g e f e ∴=--=--=，故当0x >时，()(0)g x g >，即()10x x e f x e -->，整理得()1x xe f x e >+，()1x f x e -∴>+的解集为{}|0x x >，故选：A ． 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数分析函数单调性的性质及其应用, 并求解抽象不等式，综合性较强，关键在于根据题意构造合适的函数，求所构造的函数的导函数，研究构造的函数的单调性，运用其单调性求解不等式． 12．ABD 【分析】由三角函数图象变换写出()g x 的解析式，然后余弦函数性质判断各选项．【详解】由题意()sin 2()sin(2)cos 2662g x x x x πππ⎡⎤=++=+=⎢⎥⎣⎦， 最小正周期是22T ππ==，A 正确； 1cos 632g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，B 正确；()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，()g x 是偶函数，C 错误；()cos 21g ππ==为最大值，x π=是()g x 的一条对称轴，D 正确．故选：ABD ． 13．320x y --= 【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果. 【详解】因为()2ln f x x x =+，所以()11=f ，()1'2f x x x=+，()'1213f =+=，所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=. 故答案为：320x y --=. 14．12【分析】由已知列举出所有的事件，再得出满足条件的事件，运用古典概率公式可得答案. 【详解】由题意知：从1，3，5，7中任取2个不同的数所包含的基本事件为：()()()()()()131517353757，，，，，，，，，，，共6个，取出的两个数之差的绝对值大于3的事件有()()()151737，，，，，，共3个，所以所求的概率为3162P ==，故答案为：12. 15．283π【分析】根据三视图作出图示，由正三角形的性质以及勾股定理可求得外接球的半径，从而可求得外接球的表面积. 【详解】作出图示如下图所示：设点1O 是正三角形的外接圆的圆心，点O 是三棱锥S ABC -的外接球的球心，R 为外接球的半径，1OO h =，过点O 作OD SB ⊥于D ，连接SO ，OB ，则1223O B OD ===，SO OB R ==，所以点D 是SB 的中点，所以112SD SB ==，22222713SD D R O =+=+=⎝⎭， 所以该球的表面积为27284433R πππ=⨯=， 故答案为：283π．16．1e e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭, 【分析】分段对函数()f x 求导函数，分析导函数的符号，得出函数()f x 的单调性，作出图象，利用数形结合和二次函数的性质建立方程组，进行求解即可． 【详解】当0x>时，()ln x f x x =，()'21ln x f x x-=，令'0f x ，得x e =，当0x e <<时，()'>0f x ，当>x e 时，()'0f x <，所以当0x>时，()ln xf x x=在()0e ，上单调递增，在()e +∞，上单调递减， ()ln1101f ==，()ln 1e f e e e ==，x →+∞时，()0f x →， 当0x <时，()e x f x x =-，()()'21>0x e x f x x-=-，所以当0x <时，()e x f x x =-在()0-∞，上单调递增， 当0x <时，()e >0xf x x=-，0x →时，()f x →+∞，x →-∞时，()0f x →，故()f x 的大致图像如下：令()f x m =，则关于x 的方程()()210f x af x ++=⎡⎤⎣⎦有四个不等实根，转化为关于m 的方程210m am ++=有2个不等实根，且两个根满足110m e <<，21>m e， 所以224>0110a ae e⎧-⎪⎨⎛⎫++<⎪ ⎪⎝⎭⎩ ，解得1a e e <--，则实数a 的取值范围为1e e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭,， 故答案为：1e e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭,. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 17．64240x y +-=. 【分析】设出,A B 两点的坐标，进而设出直线l 的截距式，根据条件即可解得. 【详解】设()()(),0,0,0,0A a B b a b >>，直线1x y l a b：，由题意可知：231461122a ab b ab ⎧+=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，所以直线l 的方程为：16424046xyx y .18．（1）12n n a -=（2）25 【分析】（1）当1n =时，利用21n n S a =-得到1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-得到12n n a a -=， 借助等比定义得到数列{}n a 的通项公式；（2）分类去掉绝对值，利用等差数列前n 项和公式得到答案. 【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-， ∴11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---， ∴12n n a a -=，即12nn a a -=，∴{}n a 是等比数列，首项11a =，公比为2， ∴12n n a -=， 综上所述，12n n a -=；（2）由（1）可知，2log 56n n b a n =-=- 当16n ≤≤ 时，6n b n =-；7n ≥ 时，6n b n =-．则数列{}n b 的前10项和105432101234T =+++++++++25=．19．（1）4b c=；（2）12. 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式求出cos B ，进而求出sin B ，再由正弦定理可求得答案；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得54ac ≤，再运用三角形的面积公式可求得其最小值．【详解】解：（1）因为5cos cos 3c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以由正弦定理得5sin cos si sin n cos 3C A B B A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即()5sin cos sin cos sin cos sin 3C B A B B A A B =+=+，因为在ABC 中A B C π++=，所以()5si s n in co in 3s s C C C B π=-=．因为0C π<<，所以sin 0C >，所以3cos 5B =． 由3cos 5B =，22cos sin 1B B +=，解得4sin 5B =或4sin 5B =-，因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5B =， 因为1sin 5C =，所以sin 4sin b B c C ==．所以4b c=； （2）由余弦定理得2222213cos 225a cb ac B ac ac +-+-===，所以226+1+25a c ac ac =≥，解得54ac ≤， 又1154122s 4in 52B S ac =≤⨯⨯=，当且仅当a c =时取等号， 所以ABC 的面积的最大值为12． 20．（1）证明见解析；（2）263． 【分析】（1）在梯形ABCD 中证明DM 与,AC CE 垂直后可证得线面垂直；（2）把多面体拆成四棱锥A CDFE -和三棱锥E ABC -，由棱锥体积公式可得． 【详解】（1）因为//AB CD ，2AD CD ==，4AB =，M 是AB 的中点．所以//CD MA 且CD MA =，所以CDAM 是平行四边形，而AD DC =，90CDA ∠=︒， 所以CDAM 是正方形，所以DM AC ⊥，又FD ⊥平面ABCD ，//EC FD ，所以EC ⊥平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，所以EC DM ⊥，EC AC C ⋂=，,EC AC ⊂平面ACE ，所以DM ⊥平面ACE ；（2）//FD EC ，所以,FD EC 共面，由FD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，得FD AD ⊥，又AD DC ⊥，FD DC D =，,FD DC ⊂平面CDFE ，所以AD ⊥平面CDFE ，同理由FD ⊥平面ABCD ，得FD DC ⊥， 所以1133ABCDEF A CDFE E ABC CDFE ABC V V V S AD S EC --=+=⋅+⋅△ 111126(34)2242332323=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． 21．（1）28y x =；（2）20． 【分析】（1）由焦点F 到其准线的距离可得焦参数p ，从而得抛物线方程；（2）设直线l 方程为2x my =+，代入抛物线方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，应用韦达定理得1212,y y y y +，计算OA OB ⋅，再由函数性质得最小值． 【详解】（1）由题意4p =，所以抛物线方程为28y x =；（2）由（1）得焦点为(2,0)F ，直线l 的斜率不为0，设l 方程为2x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由282y x x my ⎧=⎨=+⎩得28160y my --=，所以12128,16y y m y y +==-，OA OB ===0m =时，OA OB 20=．22．（1）f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞，（2）证明见解析【分析】（1）先对函数求导得'()2()x f x e x a =-+，构造函数()2()xh x e x a =-+，则'()2(1)x h x e =-，然后通过讨论导数的正负来求出f x 单调区间；（2）（ⅰ）令'()()2()x h x f x e x a ==-+，则'()2(1)xh x e =-，利用导数可得'()2()x f x e x a =-+在[)0,+∞上单调递增，由于()00f '<，所以[)00,∃∈+∞x ，使'0()0f x =，从而可得()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，进而可证得结论；（ⅱ）由()0f x ≥可得()()0min0f x f x ⎡⎤=≥⎣⎦，即可得()02230x x e e --≤，从而可求出0x 的取值范围 【详解】解：（1）由()()222e 23x f x x ax a a =-+-+∈R ，得'()2()xf x e x a =-+，令()'()2()x h x f x e x a ==-+，则'()2(1)xh x e =-， 当0x <时，'()0h x <，当0x >时，'()0h x >， 所以()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以fx 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞（2）（ⅰ）证明：[)0,x ∈+∞，'()2()x f x e x a =-+， 令()2()x h x e x a =-+ ，则'()2(1)xh x e =-，因为[)0,x ∈+∞，所以'()0h x ≥，所以()2()x h x e x a =-+在[)0,+∞上单调递增， 所以'()2()xf x e x a =-+在[)0,+∞上单调递增，因为()00f '<，所以[)00,∃∈+∞x ，使'0()0f x =， 则当00x x <<时，'()0f x <，当0x x >时，'()0f x >，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()0min f x f x ⎡⎤=⎣⎦，即对于0x ∀>，都有()()0f x f x ≥（ⅱ）解：由'0()0f x =，得0'00()2()0xf x e x a =-+=，即00xa x e =-，因为()0f x ≥，所以()()0min 0f x f x ⎡⎤=≥⎣⎦， 所以()()0200230xf x e x a =--+≥，所以()200230x x e x x e--++≥，即()02230x x ee --≤，解得013x e -≤≤，因为00x e >，所以003x e <≤，所以0ln 3x ≤， 因为00x ≥，所以00ln 3x ≤≤，因为()00f '<，所以()2(1)00f a =+'<，得1a <-，所以00x ≠，所以00ln 3x <≤，所以0x 的取值范围为(0,ln 3] 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题的关键是令'()()2()xh x f x e x a ==-+，利用导数可得()h x 在[)0,+∞上单调递增，由于()00f '<，即()0h x <，所以[)00,∃∈+∞x ，使'0()0f x =，从而可得()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，进而可求出其最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题。
吉林省长春市东北师大附中实验学校2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷解析版
吉林省长春市东北师大附中实验学校2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若关于x的方程是ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a≥0C．a＝1D．a≠02．（3分）方程x（x+2）＝0的根是（）A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝23．（3分）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，配方后的方程是（）A．（x+3）2＝10B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x﹣3）2＝84．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+5的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝15．（3分）抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝2（x﹣2）2+1B．y＝2（x﹣1）2﹣2C．y＝2（x+2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2﹣16．（3分）已知点A（﹣2，a），B（，b），C（，c）都在二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，那么a、b、c的大小是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）A．B．C ．D ．8．（3分）如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交CD 于点F ．设BE ＝x ，FC ＝y ，则点E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）若抛物线y ＝（2﹣a ）x 2+3x ﹣2有最大值，则a 的取值范围是 ．10．（3分）抛物线y ＝2（x ﹣1）2+8的顶点坐标是 ．11．（3分）二次函数y ＝2x 2+mx +8的图象顶点在x 轴上，则m 的值是 ．12．（3分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度DO 是4米时，这时水面宽度AB 为 米．13．（3分）若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x ＝﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是 ．14．（3分）如图，菱形ABCD 的三个顶点在二次函数y ＝ax 2﹣2ax +（a ＜0）的图象上，点A 、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．16．（6分）某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年投入资金2880万元，则从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？17．（6分）如图，已知二次函数的顶点为（2，﹣1），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．（1）求该函数的解析式；（2）连结AB、AC，求△ABC面积．18．（7分）某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为1m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示．根据设计图纸已知：在图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+2x+1．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？19．（7分）长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长AB＝152米，主塔处桥面距地面CD＝7.9米，试求出主塔高BD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60）20．（7分）如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A（3，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．（1）求a的值；（2）求点F的坐标．21．（8分）甲、乙两名学生在同一小区居住，一天早晨，甲、乙两人同时从家出发去同一所学校上学．甲骑自行车匀速行驶．乙步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿公路匀速行驶，公交车的速度分别是甲骑自行车速度和乙步行速度的2倍和5倍，下车后跑步赶到学校，两人同时到达学校（上、下车时间忽略不计）．两人各自距家的路程y（m）与所用的时间x（min）之间的函数图象如图所示．（1）求a、b的值；（2）当乙学生乘公交车时，求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如果乙学生到学校与甲学生相差1分钟，直接写出他跑步的速度．22．（9分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2cm，点M（不与A、B重合）从点A出发沿AB方向以cm/s的速度向终点B运动．在运动过程中，过点M作MN⊥AB，交射线BC于点N，以线段MN为直角边作等腰直角三角形MNQ，且∠MNQ＝90°（点B、Q位于MN两侧）．设△MNQ与△ABC重叠部分图形面积为S（cm2），点M的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段MN的长，MN＝．（2）当点N与点C重合时，t＝．（3）求S与t之间的函数关系式．24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B 点在A点的右侧），与y轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．解：由x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，得a≠0．故选：D．2．解：x（x+2）＝0，⇒x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．3．解：x2+6x﹣1＝0，移项得x2+6x＝1，方程两边同加上9得x2+6x+9＝10，配方得（x+3）2＝10，故选：A．4．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，故选：D．5．解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移2个单位所得抛物线是y＝2（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝2（x﹣2）2向下平移1个单位所得抛物线是y＝2（x﹣2）2﹣1．故选：D．6．解：当x＝﹣2时，a＝﹣x2+2x+3＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5；当x＝时，b＝﹣x2+2x+3＝﹣（）2+2×+3＝；当x＝时，c＝﹣x2+2x+3＝﹣（）2+2×+3＝﹣；所以a＜c＜b．故选：C．7．解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＜0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y＝ax+b的图象经过第一三象限，且与y轴的负半轴相交，反比例函数y＝图象在第一三象限，只有B选项图象符合．故选：B．8．解：∵BC＝4，BE＝x，∴CE＝4﹣x．∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠AEB＝∠CFE．又∵∠B＝∠C＝90°，∴Rt△AEB∽Rt△EFC，∴，即，整理得：y＝（4x﹣x2）＝﹣（x﹣2）2+∴y与x的函数关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x＝2．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）9．解：∵抛物线y＝（2﹣a）x2+3x﹣2有最大值，∵2﹣a＜0，∴a＞2，故答案为a＞2．10．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+8的顶点坐标是（1，8），故答案为：（1，8）．11．解：∵二次函数y＝2x2+mx+8的图象顶点在x轴上，∴＝0，解得：m＝±8，故答案为：±8．12．解：当y＝﹣4时，﹣4＝﹣，解得，x1＝﹣10，x2＝10，∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为：10﹣（﹣10）＝20（米），故答案为：20．13．解：如图所示：∵图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣4，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是：﹣4＜x＜2．故答案为：﹣4＜x＜2．14．解：∵y＝ax2﹣2ax+的对称轴是x＝1，与y轴的交点坐标是（0，）∴点B的坐标是（0，）∵菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2﹣2ax+（a＜0）的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，∴点B与点D关于直线x＝1对称，∴点D的坐标为（2，）．故答案为：（2，）．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．解：2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9+8＝17，∴x＝，x1＝，x2＝．16．解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1280（1+x）2＝2880，解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合题意，应舍去），答：该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．17．解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．∵顶点为（2，﹣1），∴y＝a（x﹣2）2﹣1．又∵图象经过A（0，3）∴a（0﹣2）2﹣1＝3，即a＝1，∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；（2）当y＝0时，（x﹣2）2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴C（3，0），B（1，0），∴BC＝3﹣1＝2，＝BC•OA＝×2×3＝3．∴S△ABC18．解：（1）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，y＝2，最大答：最大高度是2米；（2）当y＝0时，﹣（x﹣1）2+2＝0，解得x1＝+1，x2＝﹣+1，∴B（+1，0）答：那么水池的半径至少为+1时，才能使喷出的水流都落在水池内．19．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝152×sin31°＝152×0.52＝79.04，∴BD＝BC+CD＝79.04+7.9＝86.94≈86.9（米）答：主塔BD的高约为86.9米．20．解：（1）把A（3，0）代入y＝ax2﹣x﹣中，得a＝；（2）∵A（3，0）∴OA＝3∵四边形OABC是正方形∴OC＝OA＝3当y＝3时，，即x2﹣2x﹣9＝0解得x1＝1+，x2＝1﹣＜0（舍去）∴CD＝1+在正方形OABC中，AB＝CB同理BD＝BF∴AF＝CD＝1+∴点F的坐标为（3，1+）．21．解：（1）∵甲骑自行车的速度为1000÷5＝200m/min．∴公交车的速度为400m/min，乙步行的速度为80 m/min．∴a＝5×80＝400，b＝（10﹣5）×400+400＝2400；（2）当乙学生乘公交车时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b．，解得，当乙学生乘公交车时，y与x之间的函数关系式是y＝400x﹣1600；（3）当乙先到达学校时，乙跑步速度为：（3000﹣2400）÷（3000÷200﹣10﹣1）＝150m/min，当甲先到达学校时，乙跑步速度为：（3000﹣2400）÷（3000÷200﹣10+1）＝100m/min，答：乙跑步的速度为100 m/min或150 m/min．22．解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400＝﹣（x﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．23．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵CA＝CB＝2cm，∠ACB＝90°，∴AB＝2cm，∠B＝45°，∵AM＝t，∴BM＝2﹣t，∵MN⊥AB，∴△NMB是等腰直角三角形，∴MN＝BM＝2﹣t．故答案为2﹣t．（2）如图1中，作CH ⊥AB 于H ，则AH ＝BH ，当点N 与C 重合时，AM ＝AH ＝，∴t ＝， ∴t ＝1s 时，点N 与点C 重合．故答案为1．（3）①如图2中，当0＜t ≤1时，重叠部分是△EFK ．S ＝•EF •KM ＝t 2．②如图3中，当1＜t ≤时，重叠部分是四边形MNFK ．S ＝S △MNQ ﹣S △FQK ＝（2﹣t ）2﹣•（4﹣2t ﹣t ）2＝﹣t 2+8t ﹣4．③如图4中，当＜t ＜2时，重叠部分是△MNQS＝（2﹣t）2＝t2﹣4t+4．综上所述，S＝．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．故答案为（﹣2，0），（8，0）．（2）当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．故答案为y＝﹣x+4．（3）假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∴S△PBC∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（4）如图，当AC为平行四边形的边时，点N的纵坐标的绝对值为4，可得N1（N2）（6，4），M2（4，0），N3（3﹣，﹣4），N4（3+，﹣4），可得M3（5﹣，0），M4（5+，0），当AC为对角线时，可得M1（﹣8，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．。
吉林省长春市东北师大附中(新城校区)2019-2020学年八年级下学期第二次月考(期中)数学试题
（A） x 5 ．
（B） x = 5 ．
（C） x 5 ．
（D） x 5 ．
2．华为 Mate20 手机搭载了全球首款 7 纳米制程芯片，7 纳米就是 0.000000007 米．数据 0.000000007
用科学记数法表示为
（）
（A） 7 10−7 ．
（B） 0.7 10−8 ． （C） 7 10−8 ．
∴PB=8-2t． 在 Rt△BCP 中，∠B=90°，
DQ
由勾股定理，得 CP2 = BP2 + BC2 ．
∴ (2t)2 = (8 − 2t)2 + 62 ．
A
解得 t = 25 ． 8
BE
F C
∴∠ACF＝∠B＝60°．
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．
∴∠BAE＝∠CAF．
∴△ABE≌△ACF．
∴BE＝CF．
（9 分） （2 分）
D
9 / 10
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴CE+CF＝BC＝2．
【应用】 6 3 ． 24．（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
8 / 10
（6 分）
（2 分）
（4 分） （5 分） （6 分）
（4 分） （5 分） （6 分） （7 分）
（1 分） （2 分） （3 分） （5 分） （6 分） （7 分）
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
20．（1）72.5
（2 分）
（2）甲
（4 分）
理由为甲这名学生的成绩为 74 分，大于甲校样本数据的中位数 72.5 分，小于乙校样本数据
（D）120°．
师大附中2019-2020学年七年级(下)第一次测验数学试卷(含答案解析)
师大附中2019-2020学年七年级(下)第一次测验数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体个数是()A. 3B. 4C. 5D. 62.某世界级大气田，储量达6000亿立方米，6000亿立方米用科学记数法表示为()A. 6×102亿立方米B. 6×103亿立方米C. 6×104亿立方米D. 0.6×104亿立方米3.计算(−2)100+(−2)99的结果是()A. 2B. −2C. −299D. 299x2y的次数是4.单项式−43A. 1B. 2C. 3D. −435.下列说法错误的是()A. 直线没有端点B. 两点之间的所有连线中，线段最短C. 0.5°等于30′D. 角的两边越长，角就越大6.在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是()A. 14B. 72C. 33D. 697.一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为360元，则每件服装的进价是()A. 168元B. 300元C. 60元D. 400元8.某学校学生来自甲、乙、丙三个地区，如图是甲、乙、丙三个地区学生人数的扇形统计图，已知来自甲地区的学生有180人，则下列说法不正确的是()A. 甲所对应的扇形的圆心角为72°B. 学生的总人数是900C. 甲地区的学生比丙地区的学生少180人D. 丙地区的学生比乙地区的学生多180人9.若(x−2)(x+3)=x2−ax+b，则a、b的值是()A. a=5，b=6B. a=1，b=−6C. a=−1，b=−6D. a=5，b=−610.一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是()A. 37B. 41C. 55D. 71二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.|−2012|的相反数是______．12.若−3a m b3与4a2b n是同类项，则3m−2n=______ ．13.如图，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，AB=8cm，BC=6cm，则线段MN=_____________cm．14.纽约与北京的时差是−13小时，如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是______ ．15.如果方程(m−1)x|m|+2=0是表示关于x的一元一次方程，那么m的取值是______．16.现在是1点40分，钟面上的时针与分针的夹角是________17.若m+1m =3，则m2+1m2=_____．18.人民路有甲乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场8.8折．乙超市购物①不超过200元，不给予优惠；②超过200元而不超过600元，打9折；③超过600元，其中的600元仍打9折，超过600元的部分打8折．(假设两家超市相同商品的标价都一样)当标价总额是___________元时，甲、乙两家超市实付款一样．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.解方程(1)5x+2=3(x+2)(2)x6−30−x4=5．四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）20.计算：(1)−12016−(π−3)0(2)a5⋅a4+(−2a3)3(3)2x⋅(x−3y)2(4)(x−y−3)(x+y−3)21.已知|2m−1|+(n−3)2=0，化简代数式后求值：[(2m+n)2−(2m−n)(2m+n)−8n]÷2n．22.甲、乙两人相距40km，甲先出发1.5ℎ后乙再出发，甲在后，乙在前，两人同向而行，甲的速度是8km/ℎ，乙的速度是6km/ℎ，问甲出发几小时后追上乙？23.(1)已知x+1x =3，求x2+1x2和x4+1x4的值．(2)已知多项式x2+ax+b与x2−2x−3的乘积中不含x2与x3的项，求a、b的值．24.如图，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，求∠DOE的度数．25.在数轴上，点A表示的数为−2.1，点B表示的数为−7.2，求A、B两点之间的距离．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而由三视图判断几何体，即可得出小正方体的个数．解：由几何体的三视图可画出几何体的直观图如图所示，由直观图可知此几何体由5个小正方体组成．故选C．2.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解：6000亿立方米=6×103亿立方米．故选B．3.答案：D解析：本题考查了乘方，注意负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．根据乘方的定义，负数的奇数次幂是负数，再进行加减可得答案．解：原式=2100−299=2×299−299=299故选D．4.答案：C解析：本题考查了单项式，根据单项式次数的定义来求解，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．x2y的次数是2+1=3，解：单项式−43故选C．5.答案：D解析：本题考查的是两点之间线段最短有关知识，根据直线的特点，线段的性质公理，度分秒是60进制，以及角的大小与边的长度无关，只与角的开口大小有关对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、直线向两方无限延伸，没有端点，正确；B、两点之间的所有连线中，线段最短，是公理，正确；C、∵0.5×60=30，0.5°等于30分，正确；D、角的大小与边长无关，与角的开口有关，故本选项错误．故选D．6.答案：A解析：此题主要考查了列代数式，解决此题的关键是找出三数的关系，然后根据三数之和与选项对照求解．因为挂历上同一列的数都相对于前一个数相差7，所以设第一个数为x，则第二个数、第三个数分别为x+7、x+14，求出三数之和，发现其和为3的倍数，对照四选项即可求解．解：设圈出的第一个数为x，则第二数为x+7，第三个数为x+14，∴三个数的和为：x+(x+7)+(x+14)=3(x+7)，∴三个数的和为3的倍数，由四个选项可知只有A不是3的倍数，故选A．7.答案：B解析：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．首先设每件服装进价为x元，由题意得等量关系(1+50%)×进价×打折=售价，根据等量关系列出方程，解得x的值，从而求解．解：设每件服装进价为x元，由题意得：(1+50%)x×80%=360，解得：x=300．故每件服装的进价是300元．故选B．8.答案：C解析：此题主要考查了扇形图的应用，先求出总体的人数，再分别乘以各部分所占的比例，即可求出各部分的具体人数是解题关键．首先根据扇形统计图求得来自甲地区的人数所占的百分比，则总人数即可求得，即可求出三个地区的总人数，进而求出丙地区的学生人数，分别判断即可．解：A.来自甲地区的人所占的百分比是1−50%−30%=20%，则扇形甲的圆心角是20%×360°=72°，故此选项正确，不符合题意；B.学生的总人数是：180÷20%=900人，故此选项正确，不符合题意；C.甲地区的人数比丙地区的人数少900×50%−180=270人，故此选项错误，符合题意；D.丙地区的人数为：900×50%=450，乙地区的人数为：900×30%=270，则丙地区的人数比乙地区的人数多450−270=180人，不符合题意；故选C．9.答案：C解析：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．解：根据题意得：(x−2)(x+3)=x2+x−6=x2−ax+b，则a=−1，b=−6，故选C．10.答案：C解析：本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第n个数为n(n+1)−1．根据题意得出已知数组的规律，得到第n个数的表示方法，从而得出结果．解：1=1×2−1，5=2×3−1，11=3×4−1，19=4×5−1，…第n个数为n(n+1)−1，则第7个数是：55．故选：C．11.答案：−2012解析：解：∵|−2012|=2012，∴|−2012|的相反数是−2012．故答案为：−2012．根据绝对值的含义和求法，求出|−2012|的值是多少，即可判断出它的相反数是多少．此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a 的绝对值是零．12.答案：0解析：解：∵单项式−2a2b m与单项式3a n b是同类项，∴m=2，n=3．∴3m−2n=3×2−2×3=0故答案为：0．根据同类项的定义直接可得到m、n的值．本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．13.答案：7解析：[分析]本题考查了两点间的距离和线段中点的性质．注意“数形结合”的数学思想在本题中的应用．由线段中点的定义知AM=MB=12AB=4cm，BN=NC=12BC=3cm.然后结合图示中的“MN=MB+BN”来求线段MN的长度．[解答]解：∵M是线段AB的中点，AB=8cm，∴MB=12AB=4cm；∵N是线段BC的中点，BC=6cm，∴BN =NC =12BC =3cm ；∴MN =MB +BN =4+3=7cm ．故答案为7．14.答案：9月11日2时解析：解：由题意，得15+(−13)=2，现在的纽约时间是9月11日2时，故答案为：9月11日2时．根据有理数的加法，可得答案．本题考查了有理数的加法与减法，利用有理数的加法是解题关键．15.答案：−1解析：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax +b =0(a,b 是常数且a ≠0)，高于一次的项系数是0.据此可得出关于m 的方程，继而可求出m 的值．解：由一元一次方程的特点得{m −1≠0|m|=1， 解得m =−1．故答案为−1．16.答案：170°解析：本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数．根据钟面平均分成12份，可得每份是30°，1点40分时，时针分针相差(5+4060)格，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．解：1点40分时，时针与分针的夹角的度数是30°×(5+4060)=170°，故答案为170°．17.答案：7解析：此题考查的知识点是完全平方公式，关键是已知等式两边平方，运用完全平方公式计算.首先由m+ 1m=3，两边平方，运用完全平方公式计算即得答案．解：∵m+1m=3，∴(m+1m)2=9，∴m2+2m⋅1m +1m2=9，则m2+1m=7．故答案为7．18.答案：750解析：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程．设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据两超市的促销方案结合两超市实付款相等，得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．当一次性购物标价总额恰好是600元时，甲超市实付款=600×0.88=528(元)，乙超市实付款= 600×0.9=540(元)．∵528<540，∴x>600．根据题意得：0.88x=600×0.9+0.8(x−600)解得：x=750．故答案为：750．19.答案：解：(1)去括号，得5x+2=3x+6，移项，得5x−3x=6−2，合并同类项，得2x=4，系数化为1，得x=2，所以原方程的解为x=2；(2)去分母，得2x−3(30−x)=60，去括号，得2x−90+3x=60，移项，得2x+3x=60+90，合并同类项，得5x=150，系数化为1，得x=30，所以原方程的解为x=30．解析：(1)方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时各项都乘以各分母的最小公倍数．20.答案：解：(1)原式=−1−1=−2；(2)原式=a9+(−8a9)=−7a9；(3)原式=2x⋅(x2−6xy+9y2)=2x3−12x2y+18xy2；(4)原式=(x−3)2−y2=x2−6x+9−y2．解析：(1)根据乘方运算法则、零次幂计算可得；(2)根据同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方分别计算乘法和乘方，再合并可得；(3)先根据公式计算完全平方式，再用乘法分配律去括号即可；(4)先运用平方差公式、再运用完全平方公式计算即可．本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和平方差公式、完全平方公式是解题根本和关键．21.答案：解：原式=[4m2+4mn+n2−4m2+n2−8n]÷2n=[4mn+2n2−8n]÷2n=2m+n−4，∵|2m−1|+(n−3)2=0，∴2m−1=0，n−3=0，∴m =12，n =3，当m =12，n =3时，原式=2×12+3−4=0．解析：先算乘法，再合并同类项，算除法，求出m 、n 的值代入即可求出答案．本题考查了偶次方和绝对值的非负性和整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．22.答案：解：设甲出发x 小时后追上乙，由题意得：8x −6(x −1.5)=40，解得x =15.5，答：甲出发15.5小时后追上乙．解析：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．设甲出发x 小时后追上乙，由题意得等量关系：甲的速度×甲的时间−乙的速度×乙的时间=40km ，根据等量关系列出方程，再解方程即可．23.答案：解：(1)∵x +1x =3，∴(x +1x )2=x 2+1x 2+2=9，∴x 2+1x 2=7，∴x 4+1x 4=(x 2+1x 2)2−2=47；(2)∵(x 2+ax +b)(x 2−2x −3)=x 4−2x 3−3x 2+ax 3−2ax 2−3ax +bx 2−2bx −3b ， =x 4+(−2+a)x 3+(−3−2a +b)x 2+(−3a −2b)x −3b ，∴要使多项式x 2+ax +b 与x 2−2x −3的乘积中不含x 3与x 2项，则有{−2+a =0−3−2a +b =0， 解得{a =2b =7．解析：(1)两边平方后移项得结论；(2)把两个多项式相乘，合并同类项后使结果的x 3与x 2项的系数为0，求解即可．本题主要考查了多项式乘多项式的运算，由不含x3与x2项，让这两项的系数等于0，列方程组是解题的关键．24.答案：解：∵AB是直线，∴∠AOB=180°．∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，∴∠AOC+∠BOC=180°．又∵OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∴∠DOC=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，∴∠DOC+∠COE=12∠AOC+ 12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12 ×180°=90°．又∵∠DOE=∠DOC+∠COE，∴∠DOE=90°．解析：本题主要考查角的计算及角平分线的定义，可根据角平分线的定义结合平角的定义可求∠DOC+∠COE=90°，即可求解∠DOE的度数．25.答案：解：由题意可得，|(−2.1)−(−7.2)|=|(−2.1)+7.2|=5.1解析：本题考查了数轴，主要是数轴上表示两个数之间的距离的求法，是基础题，明确数轴上两点间的距离计算公式，熟练进行有理数的减法运算是解题的关键．。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析
吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则（）....参考答案：B略2. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，若弦AB中点的横坐标为4，则|AB|=（）A、12B、10C、8 D、6参考答案：B略3. 函数的极值点的个数是（）A.2B.1C.0D.由a确定参考答案：C4. 圆x2＋y2－4x－2y－5＝0的圆心坐标是：A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,-2)参考答案：B5. 二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是 ( )A． B． C． D．参考答案：C略6. 设集合，，则下列关系中正确的是（）A. B. C. D.参考答案：B略7. 一个正三棱柱恰好有一个内切球（即恰好与两底面和三个侧面都相切）和一外接球（即恰好经过三棱柱的6个顶点），此内切球与外接球的表面积之比为（）A．1∶ B．1∶3C．1∶ D．1∶5参考答案：D略8. 用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z=2+3i的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．推理没有问题，结论正确参考答案：A【考点】演绎推理的基本方法．【分析】复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【解答】解：复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选：A．9. 极坐标系内曲线上的动点P与定点的最近距离等于（）A. B. C. 1 D.参考答案：A10. 下列四个命题中，正确的是 ( )A、“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；B、“若”的逆命题；C、若“m>2,”D、“正方形是菱形”的否命题；参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为____.参考答案：试题分析：总的数对有，满足条件的数对有3个，故概率为考点：等可能事件的概率．点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式12. 曲线在点处的切线方程为．参考答案：13. 函数的定义域是．参考答案：14. 若直线与双曲线始终有公共点，则取值范围是。
2019-2020学年吉林省长春市东北师大附中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设集合A ={x|x 2≤2x}，B ={x|1<x ≤4}，则A ∪B =( )A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞)2. 下列四组函数中，表示同一函数的是( )A. f(x)=x 2−1x−1，g(x)=x +1 B. f(x)=x ，g(x)=x 2xC. f(x)=x ，g(x)=√x 2D. f(x)=|x|，g(x)=√x 23. 函数f(x)=2√x−2+log 3(8−2x)的定义域为( )A. RB. (2,4]C. (−∞,−2)∪(2,4)D. (2,4) 4. 函数y =2−x2+2x的单调递减区间为( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. [0,2]D. [−1,+∞)5. 函数f(x)=(3−x 2)⋅ln|x|的大致图象为( )A.B.C.D.6. 设a =ln 13，b =20.3，c =(13)2，则( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c7. 已知1弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的扇形的面积为______ ．A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5F. 68. 若x 0是函数f(x)=log 2x −1x 的零点，则( )A. −1<x 0<0B. 0<x 0<1C. 1<x 0<2D. 2<x 0<49. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 是定义在[2b −5,2b −3]上的奇函数，则f(12)的值为( )A. 13B. 98C. 1D. 无法确定10. 已知f(x)={log a (x +a −1),(x >1)(2a −1)x −a,(x ≤1)满足对于任意的实数x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2>0成立，则实数a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (1,2)C. (1,2]D. (2,+∞)11. 函数f( x)=( x >0)的反函数f −1( x)=( )．A. (x >0)B. (x ≠0)C. 2 x −1(x ∈R)D. 2 x −1(x >0)12. 已知函数f(x)={1x+1−1 x ∈(−1,0]2x−1x ∈(0,1]，且g(x)=f(x)−mx +2m 在(−1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,−14] B. (−∞,−1]∪(−14,+∞) C. [−1,−14)D. (−∞,−1)∪[−14,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共26.0分）13. 已知函数f(x)={x 2−3x +4,x ≥1log 2(1−x),x <1，则f(f(−1))等于______．14. 已知函数f(x)=22x −52⋅2x+1−6(x ∈[0,3])的值域为______ ．15. 若x 2−2ax +a +2≥0对任意x ∈[0,2]恒成立，则实数a 的取值范围为______． 16. 已知函数f(x)=2x −12x +1+1，若f(2m −1)+f(4−m 2)>2，则实数m 的取值范围是__________． 17. 设函数f(x)={|x −1|(0<x <2)2−|x −1|(x ≤0或x ≥2)则函数y =f(x)与y =12的交点个数是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分） 18. 计算下列各式的值：(1)0.064 −13−(−78)0+160.75+0.01 12； (2)2log 32−log 3329+log 38−25log 53．19. 已知集合A ={x|x 2−(a −1)x −a <0,a ∈R}，集合B ={x|2x+12−x<0}．(1)当a =3时，求A ∩B ；(2)若A ∪B =R ，求实数a 的取值范围．20.某公司将进一批单价为7元的商品，若按10元/个销售，每天可卖出100个；若销售价每上涨1元/个，每天的销售量就减少10个．(1)设商品的销售价上涨x元/个(0≤x≤10，x∈N)，每天的利润为y元，试表示函数y=f(x)；(2)求销售价为13元/个时每天的销售利润；(3)当销售价上涨多少元/个时，利润最多，为多少元？21.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对任意的x，y∈(0,+∞)，都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，已知f(4)=5．(Ⅰ)求f(2)的值；(Ⅱ)解不等式f(m−2)≤2．22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+a是奇函数．2x+1(1)求实数a的值；(2)判断并用定义证明该函数在定义域R上的单调性；(3)若方程f(4x−b)+f(−2x+1)=0在(−3,log23)内有解，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A ={x|x 2≤2x}={x|0≤x ≤2}， B ={x|1<x ≤4}，∴A ∪B ={x|0≤x <4}=[0,4]． 故选：B ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析： 【分析】由题意，判断定义域与对应关系是否相同即可． 【解答】解：选项A ：不同，定义域，f(x)的是{x|x ≠1}，g(x)的是R ；选项B ：不同，定义域，f(x)的是R ，g(x)的是{x|x ≠0}；选项C ：不同，对应关系，f(x)=x ，g(x)=|x|； 选项D ：定义域与对应关系都相同，故相同； 故选D ．本题考查了函数相等，判断定义域与对应关系是否相同即可．3.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数的定义域的求解． 【解答】解：要使函数f(x)=2√x−2log 3(8−2x)有意义，只需{x −2>08−2x >0，解得2<x <4，则函数的定义域为(2,4)． 故选D ．4.答案：B解析：【分析】确定指数对应函数的单调性，再利用指数函数的单调性，即可求得结论．本题考查复合函数的单调性，正确运用指数函数，二次函数的单调性是关键．【解答】解：令t=−x2+2x=−(x−1)2+1，∴函数在(−∞,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减又y=2t在R上为增函数∴函数y=2−x2+2x的单调递减区间为[1,+∞)故选B．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性及函数图象．【解答】解：函数f(x)=(3−x2)⋅ln|x|是偶函数，排除A，D选项，令(3−x2)⋅ln|x|=0，则当x>0时，解得x=1，或x=√3，所以x=1和x=√3是函数f(x)=(3−x2)⋅ln|x|在x>0时的两个零点，当x=1e (0<1e<1)时，f(1e)=[3−(1e)2]⋅ln|1e|=1e2−3<0，可得选项B错误，故选C．6.答案：A解析：【分析】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用指数函数、对数函数的性质直接求解． 【解答】解：∵a =ln 13<ln1=0， b =20.3>20=1， 0<c =(13)2<(13)0=1， ∴a <c <b ． 故选：A ．7.答案：B解析：解：由弧度定义得α=lr ， 所以r =2，所以S =12lr =12·2·2=2． 故答案为：B ．本题考查扇形的弧长公式和面积公式，由弧度的定义可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可．8.答案：C解析： 【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可． 本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查． 【解答】解：f(x)=log 2x −1x ，函数在x >0时，是增函数， 可得：f(1)=−1<0，f(2)=1−12>0， 所以f(1)f(2)<0，∴函数的零点所在区间为：(1,2)． 故选：C ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题．根据奇函数的定义域关于原点对称，从而得到b =2，则f(x)为定义在[−1,1]上的奇函数，f (0)=c =0，且f (−1)=−f (1)，便可得出a =0，从而得出f (x )=x 3+2x ，再计算f(12)的值即可． 【解答】解：∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴2b −5=−(2b −3)，解得b =2， ∴f(x)为定义在[−1,1]上的奇函数， ∴f (0)=c =0，∴f (−1)=−f (1)，即−1+a −2=−(1+a +2)，解得a =0， ∴f (x )=x 3+2x ， ∴f(12)=18+1=98．故选B ．10.答案：C解析：解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，∴函数f(x)在定义域上为增函数， 则满足{a >12a −1>02a −1−a ≤log a (1+a −1)，解得1<a ≤2， 故选：C ．由任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，得函数为增函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．本题主要考查分段函数单调性的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键．11.答案：A解析： 【分析】本题考查反函数的求法，考查对数运算，属基础题． 依题意，1+1x =2y ，x =12y −1( y >0)，从而求得反函数． 【解答】解：由题意知1+1x =2y ， x =12y −1( y >0)，因此f −1( x)=12x −1( x >0)．故选A．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属于中档题．g(x)=f(x)−mx+2m在(−1,1]内有且仅有两个不同的零点，即函数f(x)和ℎ(x)=m(x−2)的图象在(−1,1]内有两个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意，函数f(x)={1x+1−1 x∈(−1,0]2x−1x∈(0,1],g(x)=f(x)−mx+2m在(−1,1]内有且仅有两个不同的零点，即函数f(x)和ℎ(x)=m(x−2)的图象在(−1,1]内有两个交点，分别作出函数f(x)和ℎ(x)=m(x−2)的图象，如图所示：由图象可知f(1)=1，ℎ(x)表示过定点P(2,0)的直线，当ℎ(x)过(1,1)时，m=−1，此时两个函数有两个交点，当ℎ(x)=m(x−2)经过B(0,12)时，有1个交点，此时m=−14，所以要使函数f(x)和ℎ(x)=m(x−2)的图象在(−1,1]内有两个交点，则m∈[−1,−14)，故选：C．13.答案：2解析：解：∵函数f(x)={x 2−3x +4,x ≥1log 2(1−x),x <1，∴f(−1)=log 2(1+1)=1， f(f(−1))=f(1)=1−3+4=2． 故答案为：2．利用分段函数的性质先求出f(−1)的值，再计算f(f(−1))．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14.答案：[−494,18]解析： 【分析】本题考查了二次函数在区间上的值域，考查了换元法思想，属于基础题．利用换元法，将原函数转化为一元二次函数在区间上的值域，利用二次函数的图象求出函数的值域，得到本题结论． 【解答】解：设2x =t ，t ∈[1,8]， 则g(t)=t 2−5t −6=(t −52)2−494，∴g(52)≤g(t)≤g(8)． 即g(t)∈[−494,18]．∴函数f(x)=22x −52⋅2x+1−6(x ∈[0,3])的值域为[−494,18]．故答案为[−494,18]．15.答案：[−2,2]解析： 【分析】本题考查了二次函数在区间上的恒成立问题，涉及到分类讨论思想、转化思想，属于中档题． 由题意可得，函数f(x)=x 2−2ax +a +2的最小值对任意x ∈[0,2]恒大于等于0，按二次函数的对称轴分类求出最值即可． 【解答】解：若命题“任意x ∈[0,2]，x 2−2ax +a +2≥0”恒成立，则函数f(x)=x 2−2ax +a +2在x ∈[0,2]时的最小值恒大于等于0，二次函数f(x)=x 2−2ax +a +2的对称轴为x =a ， 当a ≥2时，函数f(x)在[0,2]上递减，f(x)min =f(2)=6−3a ≥0⇒a ≤2，故a =2； 当a ≤0时，函数f(x)在[0,2]上递增，f(x)min =f(0)=2+a ≥0⇒−2≤a ≤0；当0<a <2时，函数f(x)在[0,a]上递减，在[a,2]上递增，f(x)min =f(a)=−a 2+a +2≥0⇒−1≤a ≤2，故0<a <2．综上，实数a 的取值范围为：[−2,2]故答案为：[−2,2]．16.答案：(−1,3)解析：【分析】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．构造函数g(x)=f(x)−1，然后根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵f(x)=2x −12x +1+1， 令g(x)=f(x)−1=2x −12x +1， 则g(−x)=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−g(x)，故g(x)为奇函数，∵g(x)=2x −12x +1=1−22x +1在R 上单调递增，∵f(2m −1)+f(4−m 2)>2，∴g(2m −1)+1+g(4−m 2)+1>2，∴g(2m −1)+g(4−m 2)>0，g(2m −1)>−g(4−m 2)=g(−4+m 2)，∴2m −1>−4+m 2，解可得，−1<m <3则实数m 的取值范围是(−1,3)．故答案为：(−1,3) 17.答案：4解析：解：在同一坐标系中作出函数y =f(x)={|x −1|(0<x <2)x +1(x ≤0)3−x(x ≥2)的图象与函数y =12的图象，如下图所示，由图知两函数y =f(x)与y =12的交点个数是4．故答案为：4．在同一坐标系中，作出函数y=f(x)={|x−1|(0<x<2)2−|x−1|(x≤0或x≥2)={|x−1|(0<x<2)x+1(x≤0)3−x(x≥2)与y=12x的图象，数形结合即可知二曲线交点的个数．本题考查根的存在性及根的个数判断，考查作图与识图能力，属于中档题．18.答案：解：(1)原式=(0.43)−13−1+1634+110=52−1+8+110=485；-----------(6分)(2)原式=log34−log3329+log38−25log259=log3(4×932×8)−9=log39−9=2−9=−7.----(6分)解析：(1)自己利用指数的运算法则，求出表达式的值即可．(2)利用对数的运算法则求解即可．本题考查有理指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．19.答案：解：(1)当a=3时，A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={x|2x+12−x<0}={x|x>2或x<−12}.则A∩B={x|−1<x<−12或2<x<3}．(2)A={x|x2−(a−1)x−a<0}={x|(x+1)(x−a)<0}，B={x|x>2或x<−12}.若A∪B=R，则a≥2，即实数a的取值范围是[2,+∞)．解析：(1)结合不等式的解法，求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．(2)结合A∪B=R，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合不等式的解法求出集合的等价条件是解决本题的关键．20.答案：解：(1)销售价上涨x元，则销售量为100−10x，利润为y=(x+10−7)(100−10x)，即y=10(x+3)(10−x)=−10x2+70x+300,0≤x≤10,x∈N；(2)销售价为13时，x=3，y=420；(3)y=−10x2+70x+300,0≤x≤10,x∈N，对称轴为x=3.5当销售价上涨3元/个或上涨4元/个，销售利润最大，最大为y=420元．解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)销售价上涨x元，则销售量为100−10x，可得利润函数；(2)由题意得，x=3，y=420；(3)x=3或者x=4时，10(x+3)(10−x)=420，即可得出结论．21.答案：解：(Ⅰ)∵对任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f(x +y)=f(x)+f(y)−1，∴令x =y =2，则f(4)=2f(2)−1，∵f(4)=5，∴f(2)=3；(Ⅱ)令x =y =1，则f(2)=2f(1)−1，∴f(1)=2，不等式f(m −2)≤2即为f(m −2)≤f(1)，∵函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，∴m −2>0，且m −2≤1，∴2<m ≤3．∴不等式的解集为(2,3]．解析：本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于基础题．(Ⅰ)由条件令x =y =2，由f(4)=5，即可得到f(2)；(Ⅱ)不等式f(m −2)≤2即为f(m −2)≤f(1)，由函数的单调性即可得到m −2>0，且m −2≤1，解出即可．22.答案：解：(1)根据题意，定义域为R 的函数f(x)=−2x +a 2x +1是奇函数， 则有f(0)=−1+a 2=0，解可得a =1，此时f(x)=−2x −12x +1，有f(−x)=2x −12x +1=−f(x)，为奇函数，符合题意，故a =1； (2)f(x)在R 上为减函数，证明如下：设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−2x 1−12x 1+1)−(−2x 2−12x 2+1)=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)，又由x 1<x 2，则(2x 1−2x 2)<0，(2x 1+1)>0，(2x 2+1)>0，则f(x)在R 上为减函数，(3)根据题意，f(x)为奇函数，若方程f(4x −b)+f(−2x+1)=0，则有f(4x −b)=−f(−2x+1)，即f(4x −b)=f(2x+1)， 又由函数f(x)为单调递减函数，则有4x −b =2x+1，变形可得b =4x −2x+1，设g(x)=4x −2x+1，x ∈(−3,log 23)，则有g(x)=4x −2×2x =(2x −1)2−1，,3)，则有−1≤g(x)<3，又由x∈(−3,log23)，则2x∈(18若b=4x−2x+1，则b的取值范围为[−1,3)．=0，解可得a=1，将a=1代入f(x)的解析解析：(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=−1+a2式，验证其奇偶性即可得答案；(2)根据题意，设x1<x2，由作差法分析可得结论；(3)根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得若方程f(4x−b)+f(−2x+1)=0，则有4x−b= 2x+1，变形可得b=4x−2x+1，设g(x)=4x−2x+1，x∈(−3,log23)，求出函数g(x)的值域，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数与方程的关系，属于综合题．。
2019-2020学年吉林省长春市吉林大学附属中学高二数学文月考试题含解析
2019-2020学年吉林省长春市吉林大学附属中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列类比推理中，得到的结论正确的是A. 把与类比，则有B. 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于其长宽高的平方和C. 把与类比，则有D. 向量，的数量积运算与实数的运算类比，则有参考答案：B2. 给出下列结论：①命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．【解答】解：对于①，命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；对于③，数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“a n+1=3a n”，数列不是等比数列，所以③不正确；故选：A．3. 命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．4. 若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A 时z最大，得到关于k的不等式，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B．5. 已知函数处有极值，则的值是A．-4或3 B．3 C．-4 D．-1参考答案：C6. 与是定义在R上的两个可导函数，若、满足，则与满足（）A． B．为常函数C． D．为常函数参考答案：B略7. 下列在曲线上的点是（）A、 B． C． D．参考答案：D略8. 函数是上的偶函数，则的值是（）A． B． C. D.参考答案：C9. 函数在点处的切线方程是( ) (第7题图)A. B. C. D.参考答案：C略10. 已知函数f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）=xsinx B．f（x）=xcosx﹣sinxC．f（x）=xcosx D．f（x）=xcosx+sinx参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的图象的奇偶性排除选项，通过特殊点的函数值的判断即可．【解答】解：由题意可知函数是奇函数，可知A不正确；f（x）=xcosx，f（x）=xcosx+sinx，当x∈（0，）时，两个函数值都是正数，与函数的图象不符，故选：B．【点评】本题考查函数的图象与函数的解析式的对应关系，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将二进制101 11（2）化为十进制为；再将该数化为八进制数为．参考答案：23（10），27（8）．【考点】进位制．【分析】利用二进制数化为“十进制”的方法可得10111（2）=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23，再利用“除8取余法”即可得出．【解答】解：二进制数10111（2）=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23．23÷8=2 (7)2÷8=0 (2)可得：23（10）=27（8）故答案为：23（10），27（8）．12. 在下列命题中，所有正确命题的序号是．①三点确定一个平面；②两个不同的平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；③过高的中点且平行于底面的平面截一棱锥，把棱锥分成上下两部分的体积之比为1：7；④平行圆锥轴的截面是一个等腰三角形．参考答案：③13. 设m、n、t为整数，集合中的数由小到大组成数列{a n}： 13，31，37，39，L，则a21= .参考答案：73314. 已知椭圆=1的两个焦点是F1, F2, 点P在该椭圆上．若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是______参考答案：略15. （1）已知直线,则该直线过定点；（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为．参考答案：（-2,1）；；16. 已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n∈N*），则它的通项公式a n= ．参考答案：【分析】判断数列的项的符号，利用平方关系转化求解它的通项公式a n即可．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a n=（n∈N*），可知a n＞0，可得：，所以数列{a n2}是等差数列，公差为1，可得a n2=n，解得：a n=．故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．17. 若实数x满足不等式|x﹣3|≥1，则x的取值范围为．参考答案：x≥4或x≤2【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的意义进行转化，即可求出x的取值范围．【解答】解：∵|x﹣3|≥1，∴x﹣3≥1或x﹣3≤﹣1，∴x≥4或x≤2．故答案为：x≥4或x≤2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
吉林省长春市南关区东北师大附中新城校区2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷 (含解析)
2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥32．下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．下列各式中，正确的是（）A．＝﹣5 B．﹣＝﹣5 C．＝±5 D．＝±5 4．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣35．方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．只有一个实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：AC＝1：4，DE＝2，则DF的长为（）A．2 B．4 C．6 D．87．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是边CD的中点，连接OE．若平行四边形ABCD的周长为24，BD＝8，则△DOE的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．168．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．若△ADE和△BCE的面积分别为S1和S2，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：＝．10．若x＝，则代数式x2﹣8的值为．11．将一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x+5）﹣4化为一般形式为．12．我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为．13．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为m．14．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，连结AE，过点B作BF⊥AE于F．若AB ＝10，BC＝12，则BF的长为．二、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：3．16．解方程：x2﹣6x+1＝0．17．已知，求x的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，图中小正方形的边长均为1．请画出△ABC以原点O为位似中心，放大到原来的2倍的在x轴上方的位似图形，并写出放大后的三角形三个顶点的坐标．19．2016年某县投入200万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2018年该县计划投入“扶贫工程”338万元．（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率．（2）从2016年到2018年，该县三年共投入“扶贫工程”多少万元？20．已知代数式x2﹣4x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？21．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AG⊥BC于G，AF⊥DE于F，∠DAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ACB．（2）若AE＝6，AB＝10，求的值．22．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）．【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．（1）求证：△DAP～△PBC．（2）若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的长．【应用】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E．当CE＝3EB时，求AP的长．23．阅读理解：解方程：x3﹣x＝0．解：方程左边分解因式，得x（x+1）（x﹣1）＝0，解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣1．问题解决：（1）解方程：4x3﹣12x2﹣x＝0．（2）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0．（3）方程（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0的解为．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点P是线段CB上任意一点，过点P 作PE∥AB交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G．设线段CP的长为x（0＜x＜2）．（1）用含x的代数式表示线段PG的长．（2）当四边形PEFB为菱形时，求x的值．（3）设△CEP与矩形CEFG重叠部分图形的面积为y，求y与x之间的函数关系式．（4）连结PF、EG，当PF与EG垂直或平行时，直接写出x的值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥3【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得，x≥﹣3．故选：B．2．下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，可得答案．【解答】解：A、被开方数含开得尽的因数或因式，故A不符合题意；B、被开方数含开得尽的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，故C符合题意；D、被开方数含开得尽的因数或因式，故D不符合题意；故选：C．3．下列各式中，正确的是（）A．＝﹣5 B．﹣＝﹣5 C．＝±5 D．＝±5 【分析】根据二次根式的性质，化简即可解答．【解答】解：A、＝5，故错误；B、＝﹣5，正确；C、＝5，故错误；D、＝5，故错误；故选：B．4．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣3【分析】把x＝2代入x2+mx+2＝0得4+2m+2＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝2代入x2+mx+2＝0得4+2m+2＝0，解得m＝﹣3．故选：D．5．方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．只有一个实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：B．6．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：AC＝1：4，DE＝2，则DF的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，∵AB：AC＝1：4，∴＝，∴DF＝8；故选：D．7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是边CD的中点，连接OE．若平行四边形ABCD的周长为24，BD＝8，则△DOE的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】根据平行四边形的性质可知BC+CD＝12，以及OD＝BD＝4，再根据中位线性质可知OE与BC关系，从而可求OE+DE整体值，最后加上OD即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为24，∴BC+CD＝12．∵O是BD中点，E是CD中点，∴OE＝BC，DE＝CD，OD＝BD＝4∴△DOE周长＝OE+DE+OD＝6+4＝10．故选：A．8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．若△ADE和△BCE的面积分别为S1和S2，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由DE∥BC证明△ADE∽ABC，得，，因平行线间的距离相等，即△BDE和△BCE底边DE和BC上的高相等，面积比等于底边比求出，即的值为．【解答】解：设S△ABC的面积为S，如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽ABC，∴，又∵，AB＝AD+BD，∴，又∵S△ADE＝S1，∴＝，∴，∵．S△BCE＝S2，∴，∵又∵S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE＝，∴，解得：，∴，故选：C．二．填空题（共6小题）9．计算：＝ 4 ．【分析】根据二次根式的乘法法则求解．【解答】解：原式＝＝＝4．故答案为：4．10．若x＝，则代数式x2﹣8的值为﹣2 ．【分析】将x＝，代入代数式x2﹣8计算即可．【解答】解：将x＝，代入代数式x2﹣8，x2﹣8＝（）2﹣8＝6﹣8＝﹣211．将一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x+5）﹣4化为一般形式为3x2﹣5x﹣6＝0 ．【分析】根据一元二次方程一般式的定义即可求出答案【解答】解：原方程化为：3x2﹣5x﹣6＝0，故答案为：3x2﹣5x﹣6＝012．我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为x（x+12）＝864 ．【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．【解答】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．13．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为8 m．【分析】由条件可证明△OCD∽△OAB，利用相似三角形的性质可求得答案．【解答】解：∵OD＝4m，BD＝14m，∴OB＝OD+BD＝18m，由题意可知∠ODC＝∠OBA，且∠O为公共角，∴△OCD∽△OAB，∴＝，即＝，解得AB＝8，即旗杆AB的高为8m．故答案为：8．14．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，连结AE，过点B作BF⊥AE于F．若AB＝10，BC＝12，则BF的长为．【分析】根据S△ABE＝S矩形ABCD＝×10×12＝60＝•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．【解答】解：如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，∠D＝90°，在Rt△ADE中，AE＝＝＝13，∵S△ABE＝S矩形ABCD＝×10×12＝60＝•AE•BF，∴BF＝，故答案为．三．解答题（共10小题）15．计算：3．【分析】首先化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝6﹣9+4＝．16．解方程：x2﹣6x+1＝0．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x2﹣6x＝﹣1，∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，则x﹣3＝，∴x＝3．17．已知，求x的取值范围．【分析】直接利用二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而得出答案．【解答】解：∵＝•，∴，解得：4≤x≤5．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，图中小正方形的边长均为1．请画出△ABC以原点O为位似中心，放大到原来的2倍的在x轴上方的位似图形，并写出放大后的三角形三个顶点的坐标．【分析】由图可求得△ACB各点的坐标，又由画出△ACB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，根据位似的性质，求得变化后三角形各点的坐标，继而画出图形．【解答】解：如图所示：A'（﹣4，6），B'（6，0），C'（4，10）．19．2016年某县投入200万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2018年该县计划投入“扶贫工程”338万元．（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率．（2）从2016年到2018年，该县三年共投入“扶贫工程”多少万元？【分析】（1）等量关系为：2016年的投资×（1+x）2＝2018年的投资，列出方程即可解决问题；（2）求出3年投资之和即可解决问题．【解答】解：（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x．由题意：200（1+x）2＝338，解得x＝0.3或﹣2.3（舍弃），∴x＝0.3＝30%，答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为30%．（2）由题意可得：200+200（1+30%）+338＝798（万元），答：从2016年到2018年，该县三年共投入“扶贫工程”798万元．20．已知代数式x2﹣4x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？【分析】首先将原式变形为（x﹣2）2+3，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值为M，就有M＝x2﹣4x+7，根据二次函数的意义化为顶点式就可以求出最值．【解答】解：由题意，得x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+3≥3，∴（x﹣2）2+3＞0∴这个代数式的值总是正数．设代数式的值为M，则有M＝x2﹣4x+7，∴M＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，这个代数式的值最小为3．21．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AG⊥BC于G，AF⊥DE于F，∠DAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ACB．（2）若AE＝6，AB＝10，求的值．【分析】（1）根据等角的余角相等证明△ADE∽△ACB，即可解决问题；（2）由△ADE∽△ACB，推出＝，再证明∴△DAF∽△CAG，可得．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFD＝∠AGC＝90°，∵∠DAF＝∠GAC，∴∠ADE＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB．（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，∵AE＝6，AB＝10，＝，由（1）可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC，∴△DAF∽△CAG．22．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）．【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．（1）求证：△DAP～△PBC．（2）若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的长．【应用】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E．当CE＝3EB时，求AP的长．【分析】【探究】（1）根据外角的性质得到∠DPB＝∠A+∠ADP，等量代换得到∠ADP＝∠CPB，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论；【应用】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据相似三角形的性质得到AC•BE＝AP•BP，代入数据即可得到结论．【解答】解：【探究】（1）∵∠DPB＝∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP，∵∠A＝∠DPC，∴∠ADP＝∠CPB，∵∠A＝∠B，∴△DAP∽△PBC；（2）∵△DAP∽△PBC，∴，∴，∴AP＝4.5；【应用】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CPE＝∠A，∴∠A＝∠CPE＝∠B，由探究得△CAP∽△PBE，∴＝，∴AC•BE＝AP•BP，∵BC＝4，CE＝3EB，∴BE＝1，∵AC＝4，BP＝AB﹣AP＝6﹣AP，∴AP（6﹣AP）＝4，∴AP＝3+或AP＝3﹣．23．阅读理解：解方程：x3﹣x＝0．解：方程左边分解因式，得x（x+1）（x﹣1）＝0，解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣1．问题解决：（1）解方程：4x3﹣12x2﹣x＝0．（2）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0．（3）方程（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0的解为x1＝，x2＝．【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）4x3﹣12x2﹣x＝0，x（4x2﹣12x﹣1）＝0，x＝0，4x2﹣12x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝，x3＝；（2）（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0，（x2﹣x）（x2﹣x﹣3）＝0，x2﹣x＝0，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝1，x3＝，x4＝；（3）（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0，整理得：（2x2﹣x）2＝4，开方得：2x2﹣x＝±2，2x2﹣x﹣2＝0，2x2﹣x+2＝0，解方程2x2﹣x﹣2＝0得：x1＝，x2＝；方程2x2﹣x+2＝0中△＝﹣15＜0，此方程无解，所以原方程的解为：x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，点P是线段CB上任意一点，过点P 作PE∥AB交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G．设线段CP的长为x（0＜x＜2）．（1）用含x的代数式表示线段PG的长．（2）当四边形PEFB为菱形时，求x的值．（3）设△CEP与矩形CEFG重叠部分图形的面积为y，求y与x之间的函数关系式．（4）连结PF、EG，当PF与EG垂直或平行时，直接写出x的值．【分析】（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：＝＝，所以表示CE＝2x，AE＝4﹣2x，同理得EF的长，证明四边形CEFG为矩形，可得CG＝EF＝2﹣x，分P在G 的左侧和右侧分别计算PG的长；（2）先根据两组对边分别平行可得四边形EPBF是平行四边形，当EF＝EP时，列方程解出即可；（3）先计算当P与G重合时，EF＝CP，x＝1，分两种情况：①当0＜x≤1时，②当1＜x＜2时，分别根据三角形面积公式可得结论；（4）当PF⊥EG时，△PFG∽△EGC，列比例式得方程解出即可；当PF∥EG时，四边形GEFP是平行四边形，根据EF＝GP，列方程解出即可．【解答】解：（1）如图1，∵EP∥AB，∴，∵BC＝2，AC＝4，∴＝＝，∵CP＝x，∴CE＝2x，∴AE＝4﹣2x，∵EF∥BC，∴，即，∴EF＝2﹣x，∵∠C＝90°，EF∥BC，∴∠CEF＝90°，∵∠CGF＝90°，∴四边形CEFG为矩形，∴CG＝EF＝2﹣x，∴PG＝CG﹣CP＝2﹣x﹣x＝2﹣2x或PG＝CP﹣CG＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2；（2）∵EF∥BP，EP∥AB，∴四边形PEFB是平行四边形，当EF＝EP时，即2﹣x＝x，x＝；（3）当P与G重合时，如图2，EF＝CP，即2﹣x＝x，x＝1，分两种情况：①当0＜x≤1时，如图1，y＝＝＝x2；②当1＜x＜2时，如图3，EP交FG于M，∴PG＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，∵MG∥EC，∴tan∠B＝tan∠MPG＝＝2，∴MG＝2PG＝4x﹣4，∴y＝＝﹣3x2+8x﹣4；（4）当PF⊥EG时，如图4，∵∠PGF＝∠ECG＝90°，∠FPG＝∠CEG，∴△PFG∽△EGC，∴，即，解得：x1＝，x2＝（舍），当PF∥EG时，四边形GEFP是平行四边形，∴EF＝GP，即2﹣x＝2x﹣2，x＝．综上，x的值是或．。
2019-2020学年长春市东北师大附中高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年长春市东北师大附中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）1.等差数列中，和是方程的两根，则该数列的前项和A. B. C. D.2.等比数列前项和为，，则A. B. C. D.3.下列命题中，真命题是()A. 存在B. 是的充分条件C. 任意D. 的充要条件是4.下列命题中，真命题是()A. 若a⃗与b⃗ 互为负向量，则a⃗+b⃗ =0B. 若a⃗⋅b⃗ =0，则a⃗=0⃗或b⃗ =0⃗C. 若a⃗，b⃗ 都是单位向量，则a⃗⋅b⃗ =1D. 若k为实数且k a⃗=0⃗，则k=0或a⃗=0⃗5.在△ABC中，若sinAcosB<0，则此三角形必是()A. 锐角三角形B. 任意三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形6.(非八高学生做)已知正数x，y满足x+1x =2y−4y，则y的最大值为()A. √55B. 12C. 1D. 27.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A. B. C. D.8.给出下列数阵第1列第2列第3列第4列…第1行1第2行23第3行456第4行78910……设第i行第j列的数字为a i,j，则2016为A. a32,33B. a2016,1C. a63,32D. a63,639.已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)=1，则不等式f(x)<e x的解集为()A. (−∞,e4)B. (e4,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)10.在△ABC中，若a=7，b=8，cosC=1314，则c=()A. 1B. 2C. 3D. 411.为了测得某塔的高度，在地面A处测得塔尖的仰角为30∘，前进200米后，到达B处，测得塔尖的仰角为60∘，则塔高为()A. 4003m B. 2003m C. 200√3m D. 100√3m12.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}，若=8，且成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是()A. 13，12B. 13，13C. 12，13D. 13，14二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.下面四个命题：①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象;②函数的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则是f(x)的单调递增区间;③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3;④“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件。
【新】2019-2020东北师范大学附属中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年东北师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线33y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
【20套精选试卷合集】东北师范大学附属中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷二模文数答案一、选择题：BABBD ADCCC BC二、填空题：13.2 14. 2 15. 3 16.316017.解：（1）∵{}n a 等比数列，∴324352=⋅=⋅a a a a ，又1243=+a a故43,a a 是方程032122=+-x x 的两根，且43a a <解得8,443==a a ，则公比1,223134====qa a a a q 1112--==n n n q a a ，所以12log log 122-===-n a b n n n （2）∵121-+=+-n b a n n n1222)11(1212)()(22121-+=-++--=+++++++=n n n b b b a a a S nn n n n ΛΛ 18.（1）喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合 计男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050（2）828.103.825252030)5101520(50))()()(()(222<=⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 故没有9.99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关 （3）设“1A 和1B 至少一个被选中”为事件A从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学的结果有：),(),,(),,(),,(),,(),,(231322122111B A B A B A B A B A B A ,共6种其中1A 和1B 至少一个被选中的结果有：),(),,(),,(),,(13122111B A B A B A B A 所以3264)(==A P 19.（1）证明：连结11,AC BC ，显然1AC 过点N∵N M ,分别是C A AB 1,的中点, ∴MN ∥1BC又⊄MN 平面11B BCC ,⊂1BC 平面11B BCC ∴MN ∥平面11BCC B （2）证明：∵三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，1BB BC = ∴四边形11B BCC 是正方形 ∴C B BC 11⊥, 由（1）知MN ∥1BC ∴MN ⊥C B 1连结CM M A ,1,由11,AA BB BC MB AM ===知BMC AMA ∆≅∆1 ∴CM M A =1，又易知N 是C A 1的中点, ∴C A MN 1⊥, ∴MN ⊥平面11A B C(3)因为AB ∥11B A ,所以三棱锥C B A M 11-与三棱锥C B A B 11-的体积相等, 故34111111===---B CB A C B A B C B A M V V V 20. （Ⅰ）解：由题意，得(1,0)M ，直线l 的方程为1y x =-.由⎩⎨⎧=-=xy x y 412, 得2610x x -+=, 设A, B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点P 的坐标为00(,)P x y , 则121122322,322,1222,1222x x y x y x =+=-=-=+=-=-, 故点(322,222),(322,222),A B ++-- 所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)P , 直径221212||()()8AB x x y y =-+-=,所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；（Ⅱ）解：设A, B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , (0)MB AM λλ=>u u u r u u u u r.则1122(,),(,)AM m x y MB x m y =--=-u u u u r u u u r, 所以 2121()x m m x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩ ①因为点A, B 在抛物线C 上,所以2211224,4y x y x ==, ②由○1○2，消去212,,x y y 得1x m λ=.若此直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，则2||||||OM MB AM =⋅， 即2||||||OM AM AM λ=⋅，所以22211[()]m x m y λ=-+， 因为2114y x =，1x m λ=，所以22111[()4]mm x m x x =-+， 整理得2211(34)0x m x m --+=， ③ 因为存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，所以关于x 1的方程○3有正根，因为方程○3的两根之积为m 2>0, 所以只可能有两个正根，所以2223400(34)40m m m m ->⎧⎪>⎨⎪∆=--≥⎩，解得4m ≥.故当4m ≥时，存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列.21.（1）解：xa x x x a x a x a x a x x f ))(2(2)2()2(2)(2+-=--+=-+-=' ),0(+∞∈x （1）当02≤<-a 时，由0)(>'x f 得a x -<<0或2>x ，由0)(<'x f 得2<<-x a ；（2）当2-=a 时，0)(≥'x f 恒成立；（3）当2-<a 时，由0)(>'x f 得20<<x 或a x ->，由0)(<'x f 得a x -<<2； 综上，当02≤<-a 时，)(x f 在),0(a -和),2(+∞上单调递增；在)2,(a -上单调递减； 当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增；当2-<a 时，)(x f 在)2,0(和),(+∞-a 上单调递增；在),2(a -上单调递减。
2019-2020学年吉林省东北师范大学附属中学高一上学期数学模块检测试题解析
绝密★启用前2019-2020学年吉林省东北师范大学附属中学高一上学期数学模块检测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．将正方体的棱长扩大2倍，它的体积扩大到原来的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．4倍 D ．8倍答案：D根据正方体体积的计算公式，即可容易求得. 解：设棱长为a 的正方体的体积为V ，则3V a =；则棱长为2a 的正方体的体积为318V a =，故可得18V V=. 故选：D. 点评：本题考查正方体体积的计算公式，属基础题.2，斜率为1的直线方程为（ ）A ．1010x y x y ++=+-=或B ．00x y x y ++=+=或C ．1010x y x y -+=--=或D ．00x y x y -+=-=或答案：C 解： 解析过程略3．若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ）A ．0或4B ．1或3C ．2-或6D ．1-答案：A试题分析：：∵圆22()4x a y -+=∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：22ad-=∵222222d r⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭解得a=4，或a=0【考点】直线与圆相交的性质4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．B．C．D．答案：B试题分析：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形,且边长为20，那么利用体积公式可知,故选B.【考点】本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．5．平行四边形的两邻边的长为a和b，当它分别饶边a和b旋转一周后，所形成的几何体的体积之比为（）．A ．a b B ．b a C ．2()a b D ．2()b a答案：B试题分析：不妨把平行四边形特定为矩形（特殊化思想），则2212:():()bV V b a a b aππ==． 【考点】几何体的体积6．直线//a 平面α，直线b a ⊥，则b 与α的关系是（ ） A ．b α⊥或b 与α相交 B ．b α⊥ C ．//b α或b α⊂ D ．不能确定答案：D根据空间中直线与平面，直线与直线的位置关系，即可容易判断. 解：直线//a 平面α，直线b a ⊥，显然直线b 与平面α之间的关系是任意的. 如下图所示：故选：D. 点评：本题考查直线与平面之间的位置关系，属基础题. 7．如果22212a b c +=，那么直线0ax by c ++=与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．相交或相切答案：C计算圆心到直线的距离，结合已知条件，即可容易求得. 解： 因为22212a b c +=222c a b=+ 又圆心()0,0到直线0ax by c ++=的距离2221c d a b==>+，故直线与圆相离.点评：本题考查直线与圆位置关系的判定，属基础题.8．两直线2370x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A．13B．13C．39D．39答案：D根据两直线平行，即可求得m ，再用平行线之间的距离公式即可求得. 解：因为2370x y +-=与610x my ++=平行， 故可得33m=，解得9m =， 故两直线可整理为12370,2303x y x y +-=++=，则两直线之间的距离d ==39.故选：D. 点评：本题考查由直线平行求参数值，以及平行线之间的距离公式，属综合基础题.9．圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．36 B ．18C．D．答案：C判断直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径； 相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求． 解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为， 圆心到到直线x +y ﹣14＝0=故圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝故选：C ．本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，是基础题． 10．关于空间直角坐标系O xyz -中的一点(1,2,3)P ，有下列说法：①点P ②OP 的中点坐标为13(,1,)22；③点P 关于x 轴对称的点的坐标为()1,2,3---； ④点P 关于坐标原点对称的点的坐标为()1,2,3-； ⑤点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为()1,2,3-. 其中正确的个数是 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：A由空间直角坐标系O ﹣xyz 中的一点P （1，2，3），知：在①中，点P 到坐标原点的距离为=在②中，由中点坐标公式得，OP 的中点坐标为13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，故②正确；在③中，由对称的性质得与点P 关于x 轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），故③不正确；在④中，由对称的性质得与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），故④错误；在⑤中，由对称的性质得与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为（1，2，﹣3），故⑤正确． 故选：A ．11．已知ABC V 中，(4,6)A ，(2,0)B -，(0,2)C -，若圆222x y r +=上的所有点都在ABC V 内（包括边界），则圆222x y r +=的面积的最大值是（ ）A ．2πB ．45πCD ．5答案：B根据题意，先求出三条直线的方程，再利用点到直线的距离公式求得最大距离，即可求得结果.根据题意，作图如下：容易知，直线AB 方程为：2y x =+，原点到AB 距离222d ==直线BC 方程为：2y x =--，原点到直线BC 距离22d == 直线AC 方程为：22y x =-，原点到直线AC 距离5d =容易知O 到三角形三边的距离中，到AC 边的距离最大， 所以当圆O 以这个距离为半径时，圆的面积最大. 故圆的最大面积为245d ππ=. 故选：B. 点评：本题考查点到直线的距离公式，以及直线方程的求解，属综合基础题.12．已知点(1,2)P -，点M 在直线23y x =+上运动，Q 是线段MP 延长线上一点，且||||MP PQ =，则Q 点的轨迹方程是（ ） A ．210x y ++= B ．250x y --=C ．210x y --=D ．250x y -+=答案：D设出点Q 的坐标，根据中点坐标公式，用相关点法即可求得轨迹方程. 解：设点Q 的坐标为(),x y ，M 点坐标为()00,x y ， 容易知0023y x =+，因为P 是MQ 的中点，故可得001,222x x y y ++-==， 解得002,4x x y y =--=-，代入0023y x =+， 可得()4223y x -=--+， 整理得250x y -+=. 故选：D. 点评：本题考查轨迹方程的求解，涉及中点坐标公式，属综合中档题.二、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为1，AP ⊥平面ABCD ，且2AP =，则PC =__________．答案：6由题意画出图形，利用勾股定理求出PC 的长．解：根据题意画出图形，因为ABCD 是正方形，PA 垂直底面ABCD ，所以PA ⊥AC ， AC=6 PC=故答案为14．现有边长为3，4，5的两个三角形纸板和边长为4，5，41的两个三角形纸板，如图，用这四个纸板围成一个四面体，则这个四面体的体积是______.答案：8根据题意，画出四面体，得到其几何性质，即可容易求得体积.解：这个四面体如图所示，其中PA AB ⊥，AB BC ⊥，PB BC ⊥， 且4PA =，5PB =，41PC =，3AB =，4BC =，5AC =，故四面体的体积为1113448332PAB S BC ⎛⎫⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 故答案为：8. 点评：本题考查几何体的还原，以及三棱锥体积的求解，属综合中档题.15．已知圆22:(1)(2)1C x y ++-=，若直线l 经过点(2,0)-且与圆C 相切，则直线l的方程为______.答案：20x +=或3460x y -+=考虑直线斜率存在和直线斜率不存在的情况，若斜率存在，则利用点到直线的距离公式求得斜率k 即可. 解：圆心为(1,2)-，半径为1，作出图象如下，依图可知直线有两条，一条斜率不存在，为2x =-；另一条设斜率为k，则直线为(2)y k x =+. 由点到直线距离等于半径，22211k k k --+=+可求得34k =.则可得其方程为3460x y -+=.综上所述，切线方程为：20x +=或3460x y -+=. 故答案为：20x +=或3460x y -+=. 点评：本题考查圆的切线方程的求解，属基础题；需要注意切线斜率不存在的情况. 16．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCDV -=，则球O 的表面积是______.答案：16π根据题意，PD 的长度即为球半径，结合体积即可求得；再用球体的表面积计算公式即可得到结果. 解：因为P ABCD -是正四棱锥，2r ，高为r ， 故1116222333P ABCD V Sh r r r r -==⨯=⇒=， 所以球O 的表面积244416S r πππ==⨯=. 故答案为：16π. 点评：本题考查球体表面积的求解，涉及正棱锥的几何性质，属综合基础题.三、解答题17．已知平面α和β相交于直线b ，直线a 不在,αβ内，且//a α，//a β，求证：//a b . 答案：证明见解析作出过直线a 的平面，由线面平行的性质，即可证明. 解：证明：如图，过a 作平面γ交α于m ，交β于n .因为//a α，所以//a m . 同理//a n ，所以//m n . 又m β⊄，所以//m β. 因为过m 的平面α交β于b ， 所以//m b .所以a //b . 点评：本题考查线面平行的性质，属基础题.18．如图，已知ABC ∆是正三角形，EA CD 、都垂直于平面ABC ，且2,,EA AB a DC a F ===是BE 的中点，求证：（1）//FD 平面ABC ； （2）AF ⊥平面EDB . 答案：(1)见解析；（2）见解析 解：（1） 取AB 的中点M,连FM,MC ， ∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点，∴ FM ∥EA, FM ＝12EA ， ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴ CD ∥EA ∴ CD ∥FM 又 DC ＝a ，∴ FM ＝DC∴ 四边形FMCD 是平行四边形，∴ FD ∥MC ，∴ FD ∥平面ABC ．（2）∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，∴CM ⊥AB ，又CM ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，∴CM ⊥面EAB ，CM ⊥AF ，FD ⊥AF ，∵F 是BE 的中点, EA ＝AB ，∴AF ⊥EB ，∴AF ⊥平面EDB ．19．求垂直于直线347x y -=且适合下列条件之一的直线方程：（1）与两坐标轴所构成的三角形的周长为10个单位长度；（2）与原点的距离为4个单位长度；（3）被两轴截得线段的中点是(3,4).答案：（1）43100x y +±=；（2）43200x y +±=；（3）43240x y +-=. 根据两直线垂直，即可设出所求直线的含参方程；（1）根据题意，用参数表达出,x y 轴上的截距，利用勾股定理解方程即可求得；（2）利用点到直线的距离公式解方程即可求得；（3）根据中点坐标公式，即可容易求得.解：设垂直于直线347x y -=的直线为430x y c ++=，（1）令直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则4c a =-，3c b =-，依题意1043c c -+-+=， 解得10c =±，故所求直线为43100x y +±=.（24=，解得20c =±， 故所求直线为43200x y +±=.（3）依题意10324c ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，10423c ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 解得24c =-，故所求直线为43240x y +-=.点评：本题考查直线方程的求解，涉及直线垂直的斜率关系，点到直线的距离公式以及中点坐标公式，属综合基础题.20．已知一个圆与y 轴相切，在直线y x =上截得弦长为，且圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程.答案：22(3)(1)9x y -+-=，22(3)(1)9x y +++=解：试题分析：设圆的方程为：222()()x a y b r -+-=，则：||a r =， 30a b -=，= 所以313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或313a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，因此圆的方程为：22(3)(1)9x y -+-=，22(3)(1)9x y +++=.【考点】本小题主要考查直线与圆相交、弦长问题和圆的标准方程的求解，考查学生的运算求解能力.点评：直线与圆相交时，圆心到直线的距离、半径和半弦长组成一个直角三角形，灵活应用这个直角三角形可以简化计算.21．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，APD 90︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且1,2,,AB AD E F ==分别为,PC BD的中点．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）求三棱锥E ABD -的体积．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. （1）在平面PAD 中找EF 的平行线；（2）转化为CD ⊥平面PAD ；（3）以四边形ABCD 为底面，P 与AD 中点的连线为高求体积.解：（1）证明：取PD 的中点G ，连结,AG GE ，∵PAD ∆中，,G E 分别为,PD PC 的中点，∴//GE CD ，12GE CD =， ∵,E F 分别为,PC AB 的中点，∴ //AF CD ，12AF CD =， ∴ //AF GE ，AF GE =，∴ AEFG 为平行四边形，∴ //EF GA ，∵ EF ⊂平面PAD ，PA ⊄平面PAD ，∴ //EF 平面PAD ；（2）证明：∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴ CD ⊥平面PAD ，∵ CD ⊂平面PDC∴平面PDC ⊥平面PAD（3）取AD 中点O ，连结PO ，∵平面PAD ⊥平面ABCD 及PAD ∆为等腰直角三角形，∴PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为四棱锥P ABCD -的高，∵2AD =，∴1PO =，∴1233V PO AB AD =⨯⨯⨯=. 点评：本题考查线面平行和面面垂直的证明；以及锥体体积的计算.22．设有半径为3km 的圆形村落，A B 、两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A B 、两人速度一定，其速度比为3:1，问两人在何处相遇？答案：,A B 相遇点在离村中心正北334千米处 试题分析： 由题意建立平面直角坐标系，结合点的坐标和行进的速度可得,A B 相遇点在离村中心正北334千米处.试题解析： 如图建立平面直角坐标系，由题意可设,A B 两人速度分别为3v 千米/小时， v 千米/小时，再设出发0x 小时，在点P 改变方向，又经过0y 小时，在点Q 处与B 相遇.则P Q 、两点坐标为()()0003,0,0,vx vx vy +.由222||||OP OQ PQ +=知， ()()()222000033vx vx vy vy ++=， 即()()0000540x y x y +-=.∵000x y +>， ∴0054x y = ①将①代入0003PQ x y k x +=-，得34PQ k =-. 又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线3+4y x b =-与圆22:9O x y +=相切， 则有224334b =+， ∴154b =. 答：,A B 相遇点在离村中心正北334千米处。