Black-Scholes市场下欧式一篮子期权定价
开关式Hurst指数分形Black—Scholes市场中的欧式期权定价
２ １ 年 ０ １
经 济 Βιβλιοθήκη 数 学 Ｖｏ ． ８ Ｎｏ １ １２ ， ．
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３ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＵＡＮＴＩ ＴＡＴＩ ＯＮＯＭ Ｉ ＶＥ ＥＣ ＣＳ
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Ｅｕ ｏ ｅ ｎ Ｏｐ ｉ ｎ Ｐｒ ｃ ｎ ｎ ａ Ｆｒ ｃ ｉ ｎａ ｒ ｐ ａ ｔｏ ｉ ｉ ｇ ｉ ａ ｔｏ ｌ Ｒｅ ｉ ｅＩｗｉｃ ｉ ｇ Ｍ ｏ ｅ ｇｍ ’ Ｓ ｔｈ ｎ ｄ ｌ
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基于Black-Scholes模型的欧式期权定价研究
基于Black-Scholes模型的欧式期权定价研究摘要：期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。
期权定价是金融衍生工具理论研究和实际应用的核心问题。
本文介绍了金融衍生品概况，利用随机过程的知识，系统研究了基于Black-Scholes模型的欧式期权定价问题。
文章推导出了标的资产的价格过程，进而应用风险中性法详细解析了Black-Scholes模型。
关键词：期权定价，伊藤过程，Black-Scholes模型，风险中性。
1 金融衍生品概论1.1 金融衍生品及其市场期权是最基本的金融衍生品之一。
金融衍生工具（derivative instruments）又称金融衍生品（derivatives）或金融证券（derivative securities），是一种金融工具，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产（underlying asset）的价格。
这就是说金融衍生品的价值是由其标的资产价值衍生（derived）而得到的。
其中，用来作为标的资产的可以是债券、股票、货币等基础金融工具，也可以是其它实物资产，或者是金融衍生品本身。
从金融工程学角度看，远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生品。
市场上还存在的的其它衍生品，如掉期（swaps）、按揭抵押债券（mortgage-backed securities）、结构化债券（structured securities）等都可以看作上述三种基本衍生工具及债券、股票的基础金融工具不同组合的产物。
金融衍生品市场是一个非常巨大的市场，表1和表2分别列出了5年前交易所内外交易的金融衍生产品市值。
目前全球每年的交易额超过100万亿美元，而全世界所有国家的当年GDP总和也不过30万亿美元。
这个市场发展极其迅猛，也对全世界的经济走势产生了极其深远的影响。
从原理上来讲，金融衍生品市场首先是规避风险的工具，通过交易使得风险从风险厌恶者手中转移到风险喜好者手中。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
理解Black-Scholes-Merton模型
理解Black-Scholes-Merton模型Black-Scholes-Merton模型是衍⽣品定价中⼀个⾮常基本的模型，它给出了对欧式期权的定价。
理解它对于理解量化⾦融⾮常重要。
这⾥仅介绍⼀种简单理解，因此本⽂中的所有数学细节都不严谨，仅供参考。
⼀、⾦融基础：期货（Futures）⾸先我们看wikipedia上对远期和期货的定义：In finance, a forward contract or simply a forward is a non-standardized contract between two parties to buy or to sell an asset at a specified future time at a price agreed upon today, making it a type of derivative instrument.In finance, a futures contract (more colloquially, futures) is a standardized forward contract which can be easily traded between parties other than the two initial parties to the contract.远期协议是⼀个买卖双⽅在未来以某价格交易某种资产的⼀个协议，⽽期货是⼀种标准化的远期协议，更容易来交易。
所以我们可以看到期货的⼏个要素：⼀个标的资产，⼀个价格，买卖双⽅，交割⽇。
当然，因为⼀般我们要⽤保证⾦来保证协议在未来能够被履⾏，所以还有⼀个要素是保证⾦。
例如股指期货，它的标的资产就是股票指数，⽐如沪深300指数（对沪市和深市2800只个股按照⽇均成交额和⽇均总市值进⾏综合排序，选前300名的股票作为样本，以2004年12⽉31⽇这300只成份股的市值做为基点1000点，实时计算的⼀种股票价格指数）。
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
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▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
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13.4 几何布朗运动与对数正态分布
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wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
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B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
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Black—Scholes模型及其在新型期权定价中的应用
Black—Scholes模型及其在新型期权定价中的应用作者：苏旻旸来源：《时代金融》2013年第36期【摘要】虽然Black-Scholes模型成功解决了在有效市场下的期权定价问题，但由于它是在一定的假设条件下建立的，在实际的交易实施中，投资者会在得到一定的股票红利同时忽视了交易成本。
Black-Scholes模型是近年来在期权定价方面应用的重要模型之一，极大推动了期权市场的革命性变化。
本文围绕着Black-Scholes模型的期权定价，对其在新型期权定价中的应用进行了分析，并给出了一些自己的看法和建议。
【关键词】Black-Scholes模型期权定价期权市场欧式期权美式期权一、Black-Scholes模型基本原理期权是为了套期保值而创造出来的一种金融衍生工具，在Black-Scholes模型中，理论上只要人们通过合理的手段选择手中持有的证券和其衍生工具，就可以获得套期保值并无风险收益。
在Black-Scholes模型中，主要基于资产价格的运动服务产品组合从而消除了模型中的随机变量，获得了风险条件下的期权定价模型。
在该模型下，主要存在以下几个假设：第一，无风险利率r为常数，且对于任何到期日均为相同；第二，标的资产价格S服从对数正态分布；第三，在期权有效期内，无红利支付；第四，在套期保值中无交易成本；第五，无套利机会，标的资产可以实现连续交易。
由于标的资产的价格&=µS dt+σSdZ，由此可以得出S和t的函数G遵循测过程为：在此S和G都受到同一个不确定性来源dz的影响。
对此过程应用于标的资产价格的对数变化。
同时，由于期权都是其对应的标的资产和时间的代表函数，假设f是基于某种看涨期权或其他衍生的价格，那么，变量f一定是S和t的函数。
因此，根据Ito引理就有：在构造标的资产和对应期权的证券组合以期望消除在上述过程中的不确定性为d，根据以上公式，我们可以选择证券组合为：卖空一份期和买入标的资产，并由此定义组合证券价值为：则有：，次方程就消除随机项目，又因风险中性假设为前提，使得证券组合的收益和它的短期无风险收益率相同。
基于Black-Scholes模型的期权定价新方法
基于Black-Scholes模型的期权定价新方法沈玉波;张待见;宋立新【摘要】考虑到实际金融市场的不完备性以及收益率分布的厚尾性,基于经典Black-Scholes模型并运用函数的下凸性,期权定价公式H（a）=E[（X-a）2]被推广为Hk（a）=E[（X-a）2k].通过DJSH（道琼斯上海）指数收益率的GARCH模型,并使用随机模拟的方法对这两个公式进行定价比较.结果表明这种方法有效提高了定价,从而降低了风险.%Actual financial markets are incompleted and distributions of yield rate are fat-tailed,so based on the classical Black-Scholes model and using downward convex property of function,option pricing formula H（a）=E[（X-a）2] is generalized to Hk（a）=E[（X-a）2k].With the GARCH model of DJSH rate and by using the method of stochastic simulation,effects of the two pricing formulas are compared.The results show that the new formula of option pricing effectively increases the price and reduces the risk.【期刊名称】《大连理工大学学报》【年(卷),期】2011(051)004【总页数】4页(P621-624)【关键词】Black-Scholes公式;GARCH模型;Girsanov定理【作者】沈玉波;张待见;宋立新【作者单位】大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024;大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024;大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024【正文语种】中文【中图分类】O212.90 引言次贷危机的蝴蝶效应引发全球经济的动荡不堪.为了应付金融危机，全球性大规模联手救市展开，降息成为全球救市最直接的手段.尽管金融危机最主要的原因不是金融衍生品的定价不足，但是若整个金融市场的衍生品定价提高，则会对金融危机有所缓解，特别是应对全球金融风暴这样的突发高风险事件.为了期权卖出者将来不再因为突发高风险事件而破产，用新的定价方法来提高价格是有必要采取的手段，为此本文延续Black－Scholes模型简单易操作且结果精确的优点，并且考虑到金融风险分布的厚尾特性，引入H k（a）＝E［（X－a）2k］（k≥1）来放大高风险突发事件在定价中的作用.1 经典Black－Scholes模型经典Black－Scholes模型的主要假设有［1～4］（1）标的资产的价格服从对数正态分布，μ和σ为常数；（2）标的资产允许卖空；（3）不存在无风险套利机会；（4）资产交易是连续的；（5）没有交易费用或税收，所有资产高度可分；（6）资产在有效期内无红利支付；（7）无风险利率r为常数，且对所有到期日都相同.在以上假设下，完备的概率空间（Ω，F，P）上，资产价格St模型定义如下：基于资产价格St的欧式看涨期权定价公式如下：下面给出一个很重要的定理，主要用于计算过程中的测度变换.定理1（Girsanov Theorem）［5］在完备的概率空间（Ω，F，P）上，假设在测度P下是一个鞅，W t是（Ω，F，P）上的一个D维布朗运动，X t是D维可测适应过程且定义测度Q使得则对每一个固定的T∈［0，＋∞），W t是（Ω，F，Q）上一个D维布朗运动.2 基于经典Black－Scholes模型的新定价方法2.1 新方法的提出及证明下面从数学的角度来分析一下经典的Black－Scholes模型定价公式，以欧式看涨期权为例，用X代表（ST－K）＋，E［（ST－K）＋］事实上就是函数的极小值点.将式（4）一般化，利用的最小值点ak作为期权的定价，由下凸函数的性质可以肯定这样的定价要比原定价高，但尚需通过股票指数DJSH（道琼斯上海）收益率的GARCH模型随机模拟，分别应用两个公式进行定价比较.下面仍给市场以经典模型的假设，资产价格服从对数正态过程，分析H k（a）＝E ［（X－a）2k］（k＝1，2，…）的函数性态，有（1）H（a）＝E［｜X－a｜］时，最小值点α是X的中位数，此时尾部对α没有影响；（2）H1（a）＝E［（X－a）2］时，最小值点β是EX，尾部对β产生影响；（3）H k（a）＝E［（X－a）2k］，a≥0，k＝1，2，…时，假设EX2k＜＋∞，由控制收敛定理［6、7］可推得H k（a）＝E［（X－a）2k］关于a可导，由可知H k（a）＝E［（X－a）2k］在正半轴上有唯一的最小值点ak.换个角度来说ak为方程H′k（a）＝－2kE［（X－a）2k－1］＝0的实根，即E［（X－a）2k－1］＝0的实根.由以上判断可知：正半轴上根是唯一的，当a＜0时，H′k（a）＝－2kE［（X－a）2k－1］＜0恒成立，所以方程无负实根.综上H′k（a）＝0有唯一的正实根ak.这样就可以用ak作为期权的定价.资产价格服从模型仍是这样就可以得到其导数的表达式，但是比较复杂，下面具体就k＝2时进行分析.H2（a）的导数为三次多项式，由三次方程的公式解可得卡尔丹公式x3＋px＋q＝0的解为从而看跌期权的定价为2.2 新方法下看涨－看跌期权平价关系对于两个相同有效期T－t，相同敲定价格K的欧式看涨和看跌期权有平价公式新定价的欧式看涨－看跌期权平价关系为3 随机模拟对于定价新公式，可以选择不同的k，随着k的增大，突发事件的放大作用也增大，这正是所想要的结果.本文以k＝2为例，采用随机模拟的方法［8］，以两年期的DJSH指数的欧式看涨期权为例，分别使用Black－Scholes公式和基于Black－Scholes模型的新定价公式为它定价并进行比较.GARCH模型一定程度地反映现实市场的不完备性，并且运用计量经济软件Eviews可以很方便地得到，因此采用DJSH（2006～2009）的数据，用GARCH （1，1）模型对DJSH指数的对数日收益率建模.用估计好的对数日收益率的GARCH（1，1）模型模拟出DJSH指数的1 000个日价格，然后对基于该指数的两年期欧式看涨期权进行定价.设定常用的无风险年收益率r＝0.05，T＝720 d，即2 a，选择两个执行价格K1＝276.00，K2＝278.00，分别用式（5）和经典Black－Scholes模型进行定价，计算得到定价的平均价格和价格的标准差，为了明确比较，列成表1.表1 定价的平均价格和价格标准差Tab.1 Mean price and its standard deviation of option pricing应用公式K1＝276.00 K2＝278.00平均价格标准差平均价格标准差Black－Scholes公式 27.372 201 81 1.743 521 67225.562 526 97 1.751 301 921新定价公式 27.818 447 18 0.620 262 322 25.818 447 18 0.623 029 379从表1中可以看出，新公式下期权平均定价有所提高，而且标准差减少了很多，这正是期望得到的.4 结语本文对Black－Scholes定价公式进行了推广得到了新定价公式.实例模拟表明：新的期权定价公式放大了突发高风险事件的作用，有效提高了定价，并且这种定价没有因为高风险突发事件增大定价的标准差，从而降低了风险.从公式的得出过程来看，新定价公式不仅适用于基于股票的期权定价，且由于金融衍生品定价的前提和市场环境都是相似的，可以将新方法推广应用于各种金融衍生产品.【相关文献】［1］朱浩民.衍生性金融商品［M］.北京：中国人民大学出版社，2005［2］姜礼尚.金融衍生产品定价的数学模型与案例分析［M］.北京：高等教育出版社，2004 ［3］HULL J C，ZAGRODNY D.Option，Futures，and Other Derivatives［M］.5thed.Beijing：Huaxia Publishing House，2000［4］BHLMANN H.Mathematical Methods in Risk Theory［M］.New York：Springer，1970［5］胡必锦，朱自清.鞅分析及其应用［M］.武汉：华中科技大学出版社，1988［6］程士宏.测度论与概率论基础［M］.北京：北京大学出版社，2006［7］汪嘉冈.现代概率论基础［M］.上海：复旦大学出版社，1988［8］邓留宝，刘柏年，杨桂元.Matlab与金融模型分析［M］.合肥：合肥工业大学出版社，2007。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
Black-Scholes期权定价模型
2023/11/21
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百分比收益率与连续复利收益率
百分比收益率： 连续复利收益率:
S 或 ST S0
S
S0
ln ST ln S0
百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：
有限责任原则：
金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投 资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在－1和＋∞ 之间变化， 不符合正态分布假定。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。
2023/11/21
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随机过程
随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。
随机过程的分类
离散时间、离散变量 离散时间、连续变量 连续时间、离散变量 连续时间、连续变量
2023/11/21
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几种随机过程
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的值相互独立。
特征的理解
特征1： z N 0, t ;方差为t。
特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关， 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测 无关。
2023/11/21
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标准布朗运动（续）
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：
为何定义为：
z t而非z t
当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的
正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这 样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。
相应的一个结果就是：标准差的单位变为 年
连续时间的标准布朗运动：
当Δt 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动 dz dt
Black-Scholes期权定价公式与希腊值
内）看跌期权的Delta趋近-1，平值看跌期权的 Delta为-0.5，深虚值（价外）看跌 期权的Delta趋近于0。
Delta又称为每轮对冲值或对冲比率。它表示的是期权价格变化对标的价格变化 的敏感度，也就是说，当标的价格变动1元时理论上期权价格的变动量。比如 说，一个期权的Delta值如果是0.5，那么正股每上涨一元，期权的价格理论上会 上涨0.5元。 Delta（及其他希腊字母）具有可加性。（用仓位加权优于用权重加权）如果投 资者持有以下投资组合：表2 投资组合的delta值可以将所有部位的Delta值相加 即：1+2×0.47-3×0.53=0.35。可见，该交易者的总体持仓的Delta值为0.35，也就 是说这是一个偏多头的持仓，（在delta上看）相当于持有0.35的现货。
标的资产不同或到期期限不同则隐含波动率不同。 那么不同的期权，只要标的资产一样，到期期限一样，那么隐含波动率应该一样， 与行权价格k无关。但是实际情况下货币市场有波动率微笑（K很大和很小的隐含波 动率更高）和股票市场的波动率倾斜（K很小的情况下隐含波动率更大）。 “波动率微笑”即具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，其执行价格偏 离标的资产现货价格越远，隐含波动率越大。在实证研究中，通过传统BS期权定价 模型计算出来的隐含波动率呈现出一种被称为“波动率微笑”的现象。即价外期权和 价内期权（out of money和 in the money）的隐含波动率高于在价期权（at the money）的隐含波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，也 就是微笑的嘴形，叫波动率微笑。
3，可见期权价格只受以上五个变量的影响。 其中σ不可直接观测，称之为“隐含波动率”，即其他参数给定，结合当前期权价 格，使用BS formula反推出来的波动率参数值。
修正的Black-Scholes模型下的欧式期权定价
早 已被Ｃ ｍｐ ｅ ￣ Ｇｌ ｔｎ引 Ｂ ａ ｄ ＳＫａ ｇ９ ａ ｂ ｌ ｌ ｏ ｅ ［， ｒｎ ｔＦ ｎ ［等人分别解出． ｌ ｓ ｌ 】
本文将这些模 型更一般化， 股票的期望收益率描述 为股票价格 的连续 函数， 将 波动率描述
为股票价格的几阶可导函数 ， 运用求解偏微分方程 的方法得 到了欧式期权 的解析表达公式． 文中 所得结论涵盖了上述文献的结果．
（ ）其中 分别表示持有无风险债券， ，｝， ， 股票的数量． 因此， 由无套利定价的自 融资投资策
略定义可知： 存在投资策 略 使得
ｖ ｔ ｔ＝ （Ｓ ，）
＋ ， ｄ （Ｓ） ￣Ｍ￣ Ｏｄｔ Ｖｔ ｔ＝Ｏｄ ＋ ￣Ｓ ，
定理 ２１ 未 定权益９ｓ ） ． （Ｔ 在ｔ时刻 的无套利价格应满足如下的偏微分方程
＋ 。 ＯＶ
—
ｒ ＝ＯｘＣＲ ∈（， ， Ｖ ， ０ ）
其倒 向初值条件 为
Ｖ（ ） （） Ｔ， ＝９ ． 证 由Ｉ 公式及式（） ｔ ｏ １可得
毗
ｓ Ｏ Ｖ¨
：
ｄ ｔ＋ Ｓ
ｔ
ｍ
ｏｖ ｄ ＋ ） Ｖ＆ｄ ＋ａＳ ｔ （ Ｏ ｔ （
） ＋盯ｔ ０ ￣ 丢（ ｔＶ ｘ 。） ２ ｄ Ｓ Ｓ
高校 应用数学学报
２ １ ， ７１： ３３ ０ ２ ２ （） ２ —２
修 正 的ＢａｋＳｈ ｌ 模 型 下 的欧式 期权 定 价 ｌ —ｃｏ ｓ ｃ ｅ
孙 玉 东， 师义 民
（ 西北工业 大学 应 用数学 系，陕西西安 ７ ０ ２ ） １ １ ９
摘
要 ：通 常情况 下， 期权 定价研 究都假 定股 票价格 的波动率和期 望收益 率 为常数 ．
基于MATLAB的Black—Scholes—Merton欧式期权定价模型的计算研究
碑意义的 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｅ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ（ 布 莱 克一 斯 克 尔斯 ）期 权
学者 努力 的方 向。李 晓雷等 人 （ ２ ０ ０ ７ ）对 有红 利支
定价模型，为包括股票 、 债券 、货币、商品在内的
新 兴衍 生金融 市场 的各种 以市 价价格 变 动定价 的衍 生 金 融 工 具 的合 理 定 价 奠 定 了基 础 。 与此 同时 ， Ｍｅ ｒ ｔ ｏ ｎ 也发 现 了同样 的公式 及许 多其 他有 关期 权 的 有 用 结 论 。默 顿 扩 展 了原 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 模 型 的 内
２ ０ １ ３ 年６ 月
经 济 论 坛
Ｅｃ ｏ ｎ ｏ ｍｉ ｃ Ｆｏ ｒ ｕ ｍ
Ｊ ｕ ｎ．２ ０ １ ３
Ｇｃ ｎ． ５ｌ ５ Ｎｏ ． ０ ６
总第 ５ １ ５ 期
第０ ６ 期
欧 式 期 权 定 价 模 型的 计 算 研 究
文／ 吕喜 明 韩 － Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ — Ｍｅ ｒ ｔ ｏ ｎ 期 权 定价公 式 为研 究对 象 ，利 用 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ的求 导功 能求得 了
方 向 ：人 力 资 源 管理 。
一
、
引言
由于 欧式 期权 定 价 的 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 模 型是 在 ７
个条件 （ Ｆ ｉ ｓ ｈ ｅ ｒ Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ 、Ｍ ｙ ｒ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ ，１ ９ ７ ３ ；Ｊ ｏ ｈ ｎ
连续分 红 的股票衍 生证券 的定 价模 型 。
涵 ，剔除了原模型中标的物在期权有效期 内不支付
红利 的假设 ，提 出了支 付连 续复 利红利 的资 产 的欧 式 期 权 定 价 模 型— — Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ — Ｍｅ ￣ ｏ ｎ（ 布 莱 克一 斯 克 尔斯 一 默顿 ）其 权 定 价模 型 。瑞 士 皇 家科
(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK—SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model)，1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会（The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B—S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二）荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C-期权初始合理价格 L —期权交割价格 S —所交易金融资产现价 T —期权有效期r -连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N （）—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
39
Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
blacksholes方程 满足的一些定律
随着金融市场的发展和复杂化，金融工程和衍生品交易变得日益重要和复杂。
在金融数学领域，Black-Scholes方程是一个非常重要的定价模型，广泛应用于期权定价和衍生品交易。
这个方程满足着一些重要的定律，它们对于我们更深入地理解金融市场的运作和衍生品交易的风险管理至关重要。
让我们深入探讨一下Black-Scholes方程。
这个方程最初由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出，是一个偏微分方程，用于描述欧式期权的价格随时间和标的资产价格的变化。
它是基于对股票价格的随机漫步和对冲策略的构建，通过假设标的资产价格的变化服从几何布朗运动，推导出了欧式期权的定价公式。
这个方程在金融市场上具有重要的意义，能够对期权的价格进行有效的定价，也为衍生品的交易和风险管理提供了重要的理论基础。
根据Black-Scholes方程，我们可以看到它满足着一些重要的定律。
它满足无套利定律。
这意味着在一个没有套利的市场上，不存在通过买卖期权和标的资产来获取无风险收益的机会。
这个定律反映了Black-Scholes模型中对市场的基本假设，即市场是有效的，并且不存在无风险套利的机会。
根据Black-Scholes方程，我们可以看到它满足对数正态分布定律。
这意味着在这个模型中，标的资产价格的变化服从对数正态分布，这对于理解市场价格的波动和风险的分布至关重要。
这个定律也为我们提供了一种重要的工具，用于对市场风险的评估和定价。
另外，Black-Scholes方程还满足着动态对冲定律。
这意味着通过构建对冲组合，可以实现对标的资产价格变化的风险对冲，从而达到无风险套利的目的。
这个定律为期权交易提供了重要的交易策略和风险管理工具，也为市场参与者提供了一种重要的交易方式。
Black-Scholes方程作为金融衍生品定价模型，满足着一些重要的定律。
这些定律对于我们理解金融市场的运作和衍生品交易的风险管理具有重要的意义。
5.3.8--Black-Scholes期权定价公式
金融工程概论期权的风险中性定价Black-Scholes期权定价公式Black-Scholes期权定价公式C t=e−r(T−t)E Q(max(S T−X,0))其中，r为无风险利率。
当给定了S T的分布，就可以确定上述欧式看涨期权的价格。
E Q为风险中性概率计算过程在风险中性测度下：C t=e−r(T−t)E Q(max(S T−X,0))由dS t=(rS t dt+σS t dW t)可以得到：其中，S T=S t exp r−σ2(T−t)+σW T−t2二. B-S 公式的推导则有：max(S T −X,0)=(S T −X)IA 1．引入示性函数：I A =ቊ1,S T >X0,S T ≤X计算过程在风险中性测度下：C t=e−r(T−t)E Q max S T−X,0=e−r(T−t)E Q S T−X I A=e−r(T−t)×E Q S T I A−e−r(T−t)×E Q XI A =e−r(T−t)×E Q S T I A−e−r(T−t)×X×E Q I A命题1:如果记d 2=1σT −t ln S t X +r −σ22(T −t)则我们有：I A =ቊ1,Z >−d 20,Z ≤−d 2其中，Z 为标准正态分布。
命题1:等价于：S t exp r −σ22T −t +σZ T −t >XZ >1σT −t ln X S t −r −σ22T −t =−d 2命题2：E Q I A=N(d2)命题3：e−r T−t E Q S T I A=S t N(d1)其中d1=d2+σT−tN为标准正态分布的累积分布函数。
由此得到：Black-Scholes期权定价公式c t=S t N d1−Xe−r T−t N d2p t=Xe−r T−t N−d2−S t N−d1d1=1σT−tlnS tX+r+σ22T−t d2=d1−σT−t其中，应用例子某公司股价的有关数据如下:•S=74.625•K=100•T−t=1.646年•r=0.05•σ＝0.375•d1=−0.207，d2=−0.688，•N d1=0.39358，N(d2)= 0.2451•C=$8.37。
实验三Black-Scholes 期权定价方法
实验三Black-Scholes 期权定价方法一、实验概述本试验用Matlab7.0 工具绘制期权到期收益图，在此基础上进一步了解欧式期权的特征。
进一步利用Black-Scholes 期权定价对看涨期权进行定价过程。
二、实验目的1.理解欧式期权的形态特征2.掌握欧式期权的参数估计方法3.利用国泰安和锐思数据库对股票的收益率进行参数估计。
4.培养学生利用数据库和相关软件进行金融计算的能力。
三、实验工具天琪期货据库和锐思数据库，MATLAB7.0软件。
四、实验原理4.1 欧式看涨期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，看涨期权到期收益为max{(),0}S T K -。
4.2欧式看跌期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，看涨期权到期收益为max{(),0}K S T -。
4.3 二元期权和备兑认购期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，二元期权到期收益为1,()1,()if S T K if S T K>⎧⎨-≤⎩。
备兑认购期权的到期收益()max{(),0}S T K S T +-4.4 Black-Scholes 股票期权定价股票价格服从对数正态分布；●在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；● 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；● 股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；● 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施;● 金融市场不存在无风险套利机会；● 金融资产的交易可以是连续进行的；● 可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。
股票的价格为 ()20exp /2t t S S z t σμσ⎡⎤=+-⎣⎦对上述方程两边取自然对数可得，20ln 2t t S z t S σσμ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中右边的表达式是一个均值为 2(/2)t μσ-，方差为t 2σ的正态随机变量，波动率是σ，漂浮率是μ。
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文献标志码 ：Ａ
文章编号 ：１ ６ ７ １ — ５ ３ ６ ５ （ ２ ｆ ） １ ７ ） ０ ６ — ０ Ｏ ７ ４ — ０ ６
引用 格式 ： 邱虹 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 市场下欧式一篮子期权 定价 Ｕ 】 ｌ 宜宾学 院学报， ２ ０ １ ７ ， １ ７ （ ６ ） ： ７ ４ — ７ ９ Ｃ ｉ ｔ ｅ ｉ ｔ ａ ｓ ： ＱＩ Ｕ Ｈ． Ｅ ｕ ｒ ｏ ｐ ｅ ａ ｎ Ｓ ｔ ｙ ｌ ｅ Ｂ ａ ｓ ｋ ｅ ｔ ｏ ｆ Ｏｐ ｔ ｉ ｏ ｎＰ ｒ ｉ ｃ ｉ ｎ ｇｉ ｎ Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ Ｍａ ｒ ｋ ｅ ｔ ［ １ ］ ． Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙｉ ｂ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｙ， ｔ ２ ０ １ ７ ， １ ７ （ ６ ） ： ７ ４ — ７ ９
ｎ ｅ ｅ ｄ ｅ ｄ ． Ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｂｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ ｍａ ｒ ｋ ｅ ｔ ， ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ Ｅ ｕ ｒ ｏ ｐ ｅ ａ ｎ ｓ ｔ ｙ ｌ ｅ ｂ ａ ｓ ｋ ｅ ｔ ｏ ｆ ｏ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｉ ｃ ｉ ｎ ｇ（ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ —
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｈ ｉ ｇ ｈ —ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ａ ｓ ｅ ， ａ ｂ ａ ｓ ｋ ｅ ｔ ｏ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｄ ｉ ｉｃ ｆ ｕ ｌ ｔ ｔ ｏ ｐ ｉ ｒ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｈ ｅ ｄ ｇ ｅ ， ａ ｓ ｕ ｉ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｐ ｉ ｒ ｃ ｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ
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（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ Ｅ ｃ ｏ ｎ ｏ ｍ ｙ ａ ｎ ｄ Ｍａ ｎ ａ ｇ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ． Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ８ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ． Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ３ ０ ０ ２ ２ ２ ． Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
邱 虹
（ 天津科技大学 经济与管理学 院，天津 ３ ０ ０ ２ ２ ２ ）
摘
要 ：在 高维情况 下， 一篮子期权很 难进行定价和 对冲 ， 需要 寻找一 个合 适的定价 方法 ． 在Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ － Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 市场 下， 对 欧式 一
篮子期权 的解析 逼近法（ 包括 矩 匹配法 、 两步骤 分段 逼近法 、 基于 同单调理论 法 、 无模型约 束法 、 多项 式逼近 、 特征 函数法 ） 进
第１ ７ 卷第６ 期
Ｖ０ １ ． １ ７ ． ＮＯ ． ６
宜 宾 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙｉ ｂ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
２ ０ １ ７年 ６月 Ｊ ｕ ｎ ｅ ， ２ ０ １ ７
Ｂ Ｉ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ０ ｌ ｅ ｓ 市 场 下 欧 式 一 篮 子 期 权 定 价
ｍａ ｒ ｋ ｅ ｔ ｗｉ ｔ ｈ ｊ ｕ ｍｐ ｗａ ｓ ｔ ａ ｋ ｅ ｎ ｉ ｎ ｔ ｏ ａ ｃ ｃ ｏ ｕ ｎ ｔ ．
Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ ｍａ ｒ ｋ ｅ ｔ ； Ｅ ｕ ｒ ｏ ｐ ｅ ａ ｎ ｓ ｙｌ ｔ ｅ ｂ ａ ｓ ｋ ｅ ｔ ｏ ｆ ｏ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｉ ｒ ｃ ｉ ｎ ｇ ； ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
ａ ｌ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ， ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ １ ） ｗａ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ． Ｏｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ， ｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｔ ｕ ｒ ｅ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｐ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ａ ｂ ａ ｓ ｋ ｅ ｔ ｏ ｆ
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行研 究 ， 在 此基础 上指 明一篮子期 权定价 未来发展 方向 ， 通过 引进 Ｌ ∈ ｗ 过程 来描 述标 的资产 ， 考虑带跳的金融 市场 ．
关 键 词 ：Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ － Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 市场 ； 欧式 一 篮 子 期 权 定 价 ； 解 析 逼 近 法
中图分类号 ：Ｆ ２ ２ ４ ； Ｆ ８ ３ ０ ． ９
ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ —ｍ ａ ｔ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ，ｔ Ｗ Ｏ—ｓ ｔ ｅ ｐ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ，ｃ ｏ ｍｏ ｎｏ ｔ ｏ ｎ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ ， ｍ ｏｄ ｅ ｌ —ｆ ｒ ｅ ｅ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ， ｐ ｏ ｌ ｙｎ ｏ ｍｉ －