欧式看涨期权二叉树定价
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
欧式与美式期权二叉树定价及程序实现.doc
姓名：卢众专业：数学与应用数学学号： 08101116指导老师：许志军2011 年 6 月 3 日目录一、期权二叉树定价简介 (3)二、假设 (3)三、符号说明 (3)四、欧式二叉树模型 (4)1、一步二叉树模型 (4)2、风险中性定价原理 (5)3、两步二叉树模型 (6)4、多步二叉树模型 (6)五、美式二叉树模型 (7)1、单步二叉树 (7)2、多步二叉树 (8)六、对于其他标的资产的期权的定价 (9)1、支付连续股息收益率股票期权的定价 (9)2、股指期权期权的定价 (10)3、货币期权 (10)4、期货期权 (10)七、实例解析 (10)八、程序 (11)一、期权二叉树定价简介期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。
在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。
二、假设1、市场上无套利机会存在；2、所有的数据来源可靠；三、符号说明编号 符号 意义1 r 无风险利率2 u 股票上涨比率3 d 股票下跌比率4 0S股票初始价格 5 Λ,,,d u f f f 期权价值 6 t 时间步长 7 ∆ 股票数量8 p 股票上涨的概率 9 δ 股票的波动大小 10 1H 股票在初始时刻价格 112H期权的执行价格四、欧式二叉树模型100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.91生的分枝一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step ）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是0S ，基于该股票的欧式期权价格为f 。
欧式看涨期权二叉树定价
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根欧式看涨期权二叉树定价（含matlab代码和结果图）实验概述本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。
19. 2 实验目的(1)了解二叉树的定价机理;(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法;(3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。
19. 3 实验工具MATLAB 7. 0。
19. 4 理论要点构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。
这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。
二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。
Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。
1)一个简单的例子假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。
4月份股票价格有两种可能:S=100元，S=25元。
有一份看涨期权合约，合约约定在4月份低高可以以50元价格买进一股股票。
现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
．培根阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——借期为一个月。
所示。
根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1 投资组合的到期收益分布表表19.1四月份三月份元S=100 S=25元高低-150 0 卖出3份看涨期权合约3C200 50 -100 买人两股股票-5040 -50 借人现金总计00 0这个例子说明，元，即为期权的价格。
由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20唯一需要做的是假设对投资者而言不存可以用一个相当简单的方法为期权定价，月份使得在4在套利机会。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
二叉树期权定价模型概述
二叉树期权定价模型概述二叉树期权定价模型是一种基于二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是由美国学者Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的，也被称为CRR模型。
二叉树期权定价模型的核心思想是将时间分割成若干个小时间段，然后在每个时间段内构建一个二叉树，即"向上"和"向下"的可能价格路径。
通过从期权到期时的终点开始，逆向计算每个节点的价值，最终计算出期权的定价。
模型中的二叉树由两个重要的参数组成：上涨幅度(u)和下跌幅度(d)。
这两个参数反映了标的资产价格在不同时间段内上涨或下跌的可能性。
根据这两个参数的取值，可以构建出一棵二叉树，每个节点表示标的资产在相应时间段内的价格。
在每个节点上，可以计算出无风险利率下的期权价格。
对于看涨期权而言，其在节点上的价格由其未来收益和风险中性概率相乘得到。
而看跌期权的价格则是在节点上的看涨期权价格减去标的资产价格与期权的行权价格差值。
通过从终点开始逆向计算每个节点的期权价格，最终可以得到期权在初始节点上的定价。
需要注意的是，为了确保模型的有效性和稳定性，构建二叉树需要满足一些条件，如无套利机会、欧式期权等。
二叉树期权定价模型很好地解决了离散时间下的期权定价问题，并且计算简单、直观。
然而，在实际应用中，它可能存在一些局限，如对标的资产价格的预测不准确、二叉树节点数较多导致计算过于复杂等。
因此，二叉树期权定价模型通常用于简单的期权合约和教学研究中。
在复杂的市场环境下，一般会采用更精细的定价模型，如Black-Scholes模型。
二叉树期权定价模型的应用广泛，特别适用于离散时间下的期权定价问题。
它可以用于定价欧式期权、美式期权、亚式期权等各种类型的期权合约。
同时，由于其简单直观的计算方式，二叉树模型也常被用作其他复杂期权定价模型的验证工具。
在二叉树期权定价模型中，最关键的是确定二叉树的参数，即上涨幅度(u)和下跌幅度(d)。
期权二叉树定价模型
84 美式期权估值8.4.1 方法 二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两者之中较大者： 1）由式（9.2）求出的值。 2）提前执行所得的收益。
8.2 风险中性估值8.2.1 风险中性估值原理 式（9.2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样， pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。
当两个价值相等时 即 （9.1） 该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。
最后股票的可能价格为$72、$48和$32。在这种情况下，fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式（9.8），得到看跌期权的价格 f=e-2×0.05×1(0.62822×0+ 2×0.6282×0.3718×4+0.37182×20)=4.1923 利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个结果。 实际上，如果股票价格的变化是二值的，那么任何基于该股票的衍生证券都可以运用二叉树模型进行估值。
u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在节点B的期权价格为： e-0.12×0.25(0.6523×3.2十0.3477×0)=2.0257 在节点C，期权价格为0。 在节点A的期权价格为：e-0.12×0.25(0.6523×2.0257十0.3477×0)=1.2823 在构造这个例子时，u和d(股票价格上升和下降的比率)在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长度是相等的。由式（9.3）可得风险中性的概率p，它在每个节点都是相同的。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
14.期权定价的二叉树
乐经良
有关数据
若将 T 分成五段,每段长度1个月, 则t ＝0.0833(年),利用已知数据可以求出
ue
0 .4 t
1.1224,
1 d 0.8909 u
a e 0.1 t 1.0084,
ad p 0.5076 ud
乐经良
用二叉树计算
79.35 0 62.99 0 50 2.66 39.69 10.31 31.50 18.50 89.07 0 70.70 0 56.12 0 44.55 5.45 35.36 14.64 28.07 22.93
乐经良
Su2 Su S Sd Sd2
S
计算期权的价格
期权的预期收益率也应该等于无风险利率, 故
Ve r t pVu (1 p )Vd
V e r t [ pVu (1 p )Vd ]
期权的计算将从树图 Vu V Vd
乐经良
的末端( T 时刻)开始向后 倒推进行.时刻T 的期权价 值是已知的,可倒推出前 一个时刻的期权价格
利用 Matlab
编制 m 文件后可以取t 充分小，例如取 t =1/360, 求得期权价格＝ $4.76
乐经良
美式期权的例子
股票现价S＝50(美元),该股票的年波动率 为 s=40% ,市场的无风险年利率 r =10%;敲定价 格 X =50(美元),美式看跌期权的有效期为五个 月,即 T =0.4167 (年)意味着期权持有者有权在 月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价 格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃 这种权利.那么这种期权的定价应为多少?
乐经良
如何定价的思路
基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而 采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套 利者卖出一份股票期权,价格为V ,再以价格S 买进 a 份这种股票,那么该组合的价格为
期权定价的二叉树模型介绍
6.1 单期模型
Su
Cu
S Sd
C Cd
由于这个图形犹如一根叉开的树枝，所以被称为“二叉树”，
模型中，每一个数值被称作是一个节点，每一条通往各节
点的线称作路径。
3
第一节 单期模型
[例8-1] 设股票的现价(S)为 $100,3月看涨期权的执行价 格(K)为$110。在U=1.3和 d=0.9情况下，期权价值？
[例6-5] 有一种执行价格为$110，期限为6个月（每3个月算 一期，共两期）的欧式看跌股票期权，作为其基础资产 的股票价格每隔3个月变动一次，或上涨30%，或下跌 10%，且u和d在期权的有效期内保持不变，求期权期初 价值。
16
6.2.3 无风险资产组合的套期保值率
[例6-6]设某公司股票的现价为$80，在3期（每6个月为1期， 180月）二杈树模型中，假定u=1.5,d=0.5,敲定价格$80, 无风险利率为20%。计算模型各节点的股价、期权价、 假概率、δ值
12
将q和1-q解释成股票价格上涨和下跌的假 概率，实际上默认了定价中风险中立估价 原则假定。推导如下： E(ST)=qSu+(1-q)Sd E(ST)=qS(u-d)+Sd 再将q=(erT-d)/(u-d)代入 得：E(ST)=SerT
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6.1.5二项式期权定价中的u和d
二叉树期权定价模型中u和d与 基础资产价格的波动性是有联系的， 即u和d的数值取决于σ的大小及∆t 的长短。推导如下：
4
分析： 当前
股票价格（s）=$100 期权价值（c）=？
u=1.3 d=0.9
下一期
股票价格（su）=$130 期权价值（cu）=
max(su-k，0)=$20
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
Black-Scholes期权定价公式与希腊值
内）看跌期权的Delta趋近-1，平值看跌期权的 Delta为-0.5，深虚值（价外）看跌 期权的Delta趋近于0。
Delta又称为每轮对冲值或对冲比率。它表示的是期权价格变化对标的价格变化 的敏感度，也就是说，当标的价格变动1元时理论上期权价格的变动量。比如 说，一个期权的Delta值如果是0.5，那么正股每上涨一元，期权的价格理论上会 上涨0.5元。 Delta（及其他希腊字母）具有可加性。（用仓位加权优于用权重加权）如果投 资者持有以下投资组合：表2 投资组合的delta值可以将所有部位的Delta值相加 即：1+2×0.47-3×0.53=0.35。可见，该交易者的总体持仓的Delta值为0.35，也就 是说这是一个偏多头的持仓，（在delta上看）相当于持有0.35的现货。
标的资产不同或到期期限不同则隐含波动率不同。 那么不同的期权，只要标的资产一样，到期期限一样，那么隐含波动率应该一样， 与行权价格k无关。但是实际情况下货币市场有波动率微笑（K很大和很小的隐含波 动率更高）和股票市场的波动率倾斜（K很小的情况下隐含波动率更大）。 “波动率微笑”即具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，其执行价格偏 离标的资产现货价格越远，隐含波动率越大。在实证研究中，通过传统BS期权定价 模型计算出来的隐含波动率呈现出一种被称为“波动率微笑”的现象。即价外期权和 价内期权（out of money和 in the money）的隐含波动率高于在价期权（at the money）的隐含波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，也 就是微笑的嘴形，叫波动率微笑。
3，可见期权价格只受以上五个变量的影响。 其中σ不可直接观测，称之为“隐含波动率”，即其他参数给定，结合当前期权价 格，使用BS formula反推出来的波动率参数值。
第八章 期权及其二叉树模型
8. 叠做期权（Straps）： 购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。
9. 逆叠做期权（Strip）： 购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价 和到期日。 10. 三明治买卖（sandwich ）期权：买两份执行价格为 中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即
t 期债券价格:
pBdt 1 1 p But 1 票息 Bt rt 1 2
例 [8-8] 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概 率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债 券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利10, 而 每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券 的价格。如图 8-47
二、以债券为标的资产的期权定价 设以例[8-8]中的债券 为标的资产、执行价X=100的
看涨期权, 在t时期市场上价格为Ct，它的收益如下：
图 8-48
Cd ,1 max( Bd ,1 票息-X,0) =13.77
？
Cu ,1 max( Bu ,1 票息-X,0) =15.22
为了达到期权定价 u mCu m 1 r
将m的值代入时,有 (m称为套期保值率hedge ratio)
1 r d u (1 r ) Cu u d Cd u d C 1 r
u,t+1
Bdt 1 But 1 m= Cdt 1 Cut 1
由于是无风险债券组合，故有 （Bt- mCt ）（1+rt/2）= Bd
t+1
+票息- mCdt+1
期权定价的二叉树模型学习笔记（II）
期权定价的二叉树模型学习笔记（II）编者按:二叉树模型的第二部分学习笔记中涉及到欧式看涨看跌期权的定价公式和所谓的平价公式,从形式上来看,该公式还不算特别复杂的.由于欧式期权是在到期日时实施期权,因此它相比美式期权(在到期日之前皆可实施)来说还是较为简单的.关于欧式看涨和看跌期权的平价公式,其刻画了两个期权之间的等量关系,往后所要学习到的美式期权则没有类似的平价公式.因此可以说,平价公式是欧式期权所独有的,这也是欧式期权相比美式期权多的一个差异点.笔记后半部分涉及到的鞍和鞍测度等概念,严格来说其实涉及到测度论的知识,因此首先需要了解的是测度的基本概念.引进鞍的一大目的是为了阐述这样一个核心结论:在二叉树模型下,市场的无套利性质与鞍测度之间具有等价性(if and noly if).尽管我们假设市场是无套利的(动态的无套利),然而要想从数学这个视角精细地刻画这点就不得不寻找等价条件.毫无疑问的是,资产定价基本定理为我们揭示了鞍测度与市场无套利之间的微妙联系.二叉树模型的期权价计算Denote .,We consider possible values of option at :.Question:If are given, how can we determineIn particular,Answer:We can determine by us-ing backward induction in the one period and two-state model.Notice that.Meanwhile, we can calculateThen we want to find二叉树模型欧式期权定价公式Define a risk-neural measure :Then,we will getSo that for any ,When ,=0.折现价二叉树模型的平价公式Denote Then the European call option valuation formula isEspecially,when ,,For the binomial tree method,the call-put parity(in discrete form) becomes鞅（Martingale）的概念the bet at game,the next bet.If under the condition that complete information of all previous game are available,the expectation of equals the previous stake i.e.then we say the gamble is fair.In Mathematics, is called -algebra in stochastic theory.Definition1(Martingale):The best sequence that satisfies conditionas a discrete random process,is called a Martingale.Remark:Martingle is often used to refer to a fair gamble.Then，we give mathematical definition of Martingale.Definition1'(Martingale ):A sequence is a Martingale with respect to sequence if for all :••鞅测度Under the risk-neutral measure ,the discount prices of an underlying asset ,as a discrete random process,satisfy the equation:Remark:Hence the discount price sequence of an underlying asset is a martingale.Definition2(Martingale measure):The risk-neutral measure is called the martingale measure.概率测度等价定义Definition3(Equivvalent measure):Probability measure and Probability measure are said to be equivalent if and only if for any probability event (set) there isi.e. the Probability measure and have the same null set.The European option valuation formula under the sense of equivalent Martingale measure ,can be written asEspecially,鞅测度和无套利等价性;用倒向归纳法证明期权不等式Theorem1(The fundamental theorem of asset pricing):If an underlying asset price moves as a binomial tree, there exists an equivalent Martingale measure if and only if the market is arbitrage-free.Dividend-Paying(股息支付):An underlying asset pays dividends in t-wo ways:•Pay dividends discretely at certain times in a year;•Pay dividends continuously at a certain rate.We only consider the continuous model. For studying the continuous Model, there are two reasons.Meanwhile,we meet the example:A company needs to buy Euro at time to pay a German company. To avoid any loss if Euro goes up, the company buys a call option of Euro with Expiration date at rate .How much premium should the company pay?[上文链接]: 期权定价的二叉树模型学习笔记（I）预知后事如何,请听下回分解......。
欧式看涨期权二叉树定价说课讲解
欧式看涨期权二叉树定价（含matlab代码和结果图）实验概述本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。
19. 2 实验目的(1)了解二叉树的定价机理;(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法;(3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。
19. 3 实验工具MATLAB 7. 0。
19. 4 理论要点构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。
这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。
二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。
Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。
1)一个简单的例子假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。
4月份股票价格有两种可能:S高=100元，S低=25元。
有一份看涨期权合约，合约约定在4月份可以以50元价格买进一股股票。
现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，借期为一个月。
根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1所示。
表19.1 投资组合的到期收益分布表四月份三月份S低=25元S高=100元卖出3份看涨期权合约3C 0 -150买人两股股票-100 50 200借人现金40 -50 -50总计0 0 0由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20元，即为期权的价格。
这个例子说明，可以用一个相当简单的方法为期权定价，唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。
我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合，使得在4月份该组合的价值是确定的。
于是我们可以说该组合无风险，它的收益率一定等于无风险收益率。
二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。
基于二叉树模型的期权定价
精品文档目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章绪论 (3)1.1 背景介绍 (3)1.2 本文的主题 (4)第二章预备知识 (5)2.1 期权 (5)2.2二叉树方法 (6)2.2.1 方法概述 (6)2.2.2 二叉树方法的优点和缺点 (8)2.2.3 风险中性定价 (9)2.3 Black-Scholes 期权定价模型 (10)2.3.1模型来源 (10)2.3.2风险中性定价 (11)2.3.3模型假设 (11)可编辑精品文档2.3.4Black-Scholes期权定价公式 (12)第三章本论 (14)3.1期权定价的二叉树模型 (14)3.1.1参数确定 (14)3.1.2资产价格树形 (16)3.1.3通过树形倒推 (17)3.1.4代数表达式 (18)3.2 例子模拟计算和结果分析 (18)3.3 模型改进——三叉树 (22)第四章结论 (25)谢辞及参考文献 (28)谢辞 (28)参考文献 (29)附录 (32)计算过程中涉及算法 (32)可编辑精品文档摘要Black-Scholes 期权定价模型为期权定价尤其是欧式期权定价提供了良好的解析结果，而Black-Scholes 公式是此模型的核心，但是此公式并不能很好地求解出在很多衍生模型例如亚式期权以及美式期权中的解析解。
二叉树方法作为一种数值方法，同时也是图论中一种重要方法，应用于期权定价问题中，它有了更特别的演变。
本文利用二叉树方法计算期权定价的数值解，用二叉树方法迭代多次，求出较为准确的期权价格。
通过B-S公式得出的结果与二叉树方法得到的结论对比，分析二叉树方法模拟的优点和缺点。
同时，我们还要研究二叉树模拟的步数与预测结果和精度间的关系，从而更加深入了解二叉树方法。
然而，我们在模型中设立了许多条件，这些都使模型离真实情况越来越远，我们必须不断发展模型，完善模型。
三叉树方法正是二叉树方法的合适补充。
关键词：二叉树方法，Black-Scholes 模型，风险中性定价可编辑精品文档ABSTRACTBlack-Scholes Formula is the core of Black-Scholes Option Pricing Model which provides a practical method for option pricing. It has analytical solutions with good properties in some special situations, for instance, European options. However, the analytical solution is difficult to find in many derivative models like Asian options and American option. As a sort of typical statistical simulation method,Binomial tree plays very important roles in Graph Theory and other significant academic fields. W h e n i t a p p l i e s t o t h e o p t i o n p r i c e,b i n o m i a l t r e e m e t h o d h a s m u c h m o r e s p e c i a l u s e.The main idea is that we put the binomial tree into effect,reapply this method and get numerical results of option price.By comparing the results of Black-Scholes formula with the results of binomial tree method,we come to the advantages and disadvantages of both method. Meanwhile,the study of the steps of binomial tree method is also included to get its relationship with the method’s results and accuracy,which leads us to understand this method deeply and rightly.However,we set many extra conditions,which pushes the situation further away from the real situation.The simple binomial tree method is supposed to be improved constantly in case the可编辑精品文档finance market changes ceaselessly. Ternary tree is a good supplement for the binomial tree.Key words: B i n o m i a l t r e e method, Black-Scholes option pricing model,Risk-neutral valuation第一章绪论1.1 背景介绍金融数学这门学科是随着金融市场崛起后产生的一门衍生学科，作为为金融学和数学的交叉学科，它的主要想法就是收集大量金融市场中的实际数据，建立适当的数学模型并不断进行优化，利用一系列的现代数学工具（例如概率论、随机分析以及程序辅助）研究风险资产如金融衍生产品的定价，同时尽可能规避投资风险以及选择最优的消费投资策略。
二叉树期权定价模型
两步二叉树模型
24.2 22 20 18 16.2 • 每步长为3个月
2012-1-4 陕西科技大学理学院 14
19.8
欧式看涨期权的估值
D
22 20 1.2823
A
B
24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0
2.0257 18 0.0
C
E
• 在节点 B的价值 = e–0.12´0.25(0.6523´3.2 + 0.3477´0) = 2.0257 • 在节点 A的价值 = e–0.12´0.25(0.6523´2.0257 + 0.3477´0) = 1.2823
1.二叉树期权定价模型 二叉树期权定价模型
把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ∆t 并假设在每一个时间间隔 内证券 ∆t 价格只有两种运动的可能： 价格只有两种运动的可能：
，
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su 2、下降到原先的 d 倍，即 Sd 。 如图5.1所示。 5.1所示 其中 u > 1 d < 1.如图5.1所示。价格上升的概率假设为 1− p 。
ƒu − fd ∆ = Su − Sd
2012-1-4 陕西科技大学理学院 8
推广到一般情形
(continued)
• 组合在时刻 T的价值为 Su ∆ – ƒu • 组合在时刻0的价值为 (Su ∆ – ƒu )e–rT • 组合在时刻0 的价值又可以表达 为S∆–f • 从而 ƒ = S ∆ – (Su ∆ – ƒu )e–rT
二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例 二叉树方法的一般定价过程－
2012-1-4
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欧式看涨期权二叉树定价（含ｍａｔlab代码和结果图)实验概述本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础,然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MAＴLAB7.0实现的过程。
19. 2 实验目的（1)了解二叉树的定价机理;(2）掌握用MＡTLAB７. ０生成股票价格的二叉树格子方法;(3）掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。
19．３实验工具ＭＡTLAＢ7. ０。
19. 4理论要点构造二叉树图(Biｎｏmial Tree）是期权定价方法中最为常见的一种。
这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。
二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。
Cox,Rosｓ＆Ｒubｉnstein（19７9)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价,在此基础上他们给出了二叉树定价方法。
1)一个简单的例子假设当前（３月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。
4月份股票价格有两种可能:S高=10０元,S低=25元。
有一份看涨期权合约,合约约定在4月份可以以50元价格买进一股股票。
现在考虑一个投资组合,进行几项操作：以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入２股股票;以２5%的月利率借人40元现金，借期为一个月。
根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19.1所示。
表１9.1投资组合的到期收益分布表四月份三月份=25元S低=100元Ｓ高卖出3份看涨期权合约3C 0 －150 买人两股股票-10０50 200借人现金40 -50 －5０总计0 ０0 由一价定律３Ｃ-10０+40=0,可得C=20元，即为期权的价格。
这个例子说明,可以用一个相当简单的方法为期权定价，唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。
我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合，使得在4月份该组合的价值是确定的。
于是我们可以说该组合无风险,它的收益率一定等于无风险收益率。
二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。
２)二叉树模型考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。
我们把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt。
假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格S以概率p 上升到Su,以概率1-p下降到Ｓd,其中,u>1,Ｏ<d<ｌ。
也就是说在任何一个时期，股票都有两个可能的价值,如图19. １所示。
Su4SｕＳu３pＳｕ2 Su2Ｓu S ｕS S S SＳｄ Ｓd１-p S ｄ２Sd 2SdS ｄ3Sd 4图19. 1股票价值变化的可能性 图１９. ２ 二叉树模型例如，我们假定将期权的有效期分成4个时期,在任何一个时期，股票都有两种可能的价值，即每个时间段都假定是一个两状态过程。
当N=4时,我们有以下结点图１9. 2。
在风险中性概率Q 下,P=du de t r --∆-且有,f 0=t r e ∆-[pf u +（1-p ）f ｄ］其中fu 和fd 是在△t 期后的期权可能的价格分布，分别为期权价格高点和低点。
令u=1/ｄ，根据股票回报率的方差t ∆2σ,我们有u=te ∆σ和ｄ=te ∆-σ若每个股票价格路径的样本点个数为Ｎ+1,那么欧式看涨期权的到期收益的样本路径为:fN ， = ｍax [0，Ｓu j ｄN-j－X], j=0,1,…,N向后递归可得：f ij =te ∆-σ[p ｆi+1，ｊ+１+（1－p)f i+1，j ］相应欧式看跌期权的到期收益表示:ｆN,j =max[0,X-Su j d N －j ], ｊ=０,1，…,N美式看涨期权的到期收益与欧式看涨期权是一致的，因此我们下面仅考虑美式看跌期权的格子(Ｌa ｔtice)： f Ｎ,j =max ［0,X-Su ｊd N-j ］, j=０，1，…，N向后递归可得: max{X-Su j dｉ－j，te ∆-σ[pf ｉ+1,j ＋1+（1-p)ｆi ＋1，j ]}。
ｉ=N-１,N-2,...,0；j=０，1, (i)19． 5 实验过程我们首先给出欧式期权的二叉树定价的MA ＴＬAB 代码,然后给出美式期权的二叉树定价的代码。
19. ５. １ 欧式看涨期权1）欧式看涨期权的二叉树定价下面的函数ＬａtticeEur Ｃａll （ ）给出了利用二叉树的方法给欧式看涨期权定％欧式看涨期权的二叉树定价价:％Lat ｔic ｅEu ｒC ａｌl.mｆｕｎct ｉon ［p ｒｉce, ｌat ｔｉc ｅ]=LattceEu ｒCal ｌ(SO ，E,r,Ｔ,ｓigｍa，Ｎ)%S0:股票现价,E：执行价格,r:利率,T:期权的有效期限,sｉｇma：波动率,N：结点数dｅlｔaT=T／Ｎ；%日期步长u=exｐ（sigma*sqrt（deltaT）；d=1／u;p＝(exｐ(r*deltaT)／(u-d); %凤险中性概率lａtｔiｃe=ｚeｒos(N+ 1, N＋1）ｆor ｊ=0,Nlattiｃe(N＋1,j＋1)=ｍａx(0，Ｓ0*(ｕ^j)＊（d＾（Ｎ-ｊ））-E);ｅndfoｒi=Ｎ－1:-1:0ｆorｊ=０：ilaｔｔice(i+1,j+1）=ｅxp(-r＊deltaＴ)*…（p* latticｅ(i+2,j＋2)+(１-p)*latticｅ(i+2,j+1)）;endendｐｒice= lattice1,１）;假设存在有效期为1年的欧式看涨期权，股票初始价格为５0，利率为0. ０3，波动率为0. 2,执行价格为40,且令结点数N为１0,在命令窗口中输人: [price, lａttiｃe］=LaｔticeEurCall（50，40，0. ０3，1,0．２，10)就可以得到一个以下三角矩阵表示二叉树的格子以及欧式看涨期权的价格１1. 614 5,如图１9. 3所示。
2）欧式看涨期权的二叉树的收敛性质Gox, Ros ｓ & Rub ｉn ｓtein （１979)证明了二叉树收敛于Black-Ｓchol ｅs 期权定价公式。
取当前时刻为t 一△t,在给定参数p, u 和d 的条件下将二叉树公式：f(Ｓ,t 一△t)=［p ｆ(Su,t)+(１-ｐ)f(Sd,ｔ)]t r e ∆-在(S, t)处进行泰勒展开,可以得到:0)(),(21),(),(2222=∆+∂∂+∂∂+∂∂t t S Sf S t S S f rS t S t f οσ 当△ｔ→0时,二叉树模型收敛于Ｂｌack-Ｓch ｏles 偏微分方程。
下面给出一个二叉树收敛的直观结果,给出代码ＣompLa ｔti ｃeBls. m 。
%二叉树期权定价的收敛性质%ComｐLatｔｉceBlｓ．mS０=50;Ｅ=５０; %执行价格r＝0.１; %年利率sigma＝0.4;%波动率T＝5/１2; %有效期限为5个月Ｎ=50；BｌasＣ=blｓprｉce（S０,E,r，Ｔ,sigma);LatｔiｃeC=zeros)１,N);fｏｒi＝1:NLattｉｃｅC(i)=LａtｔｉcｅEｕrCａll(S0,E,r，T,sigｍａ，i); enｄplot(1:N，ones(1,N)*BlsC);hoｌｄon;ploｔ(1:Ｎ，LattiｃｅＣ)；xlabeｌ（'N')yｌａｂel('二叉树价格'）运行ComｐLａｔticeBls.m，可以得到图1９. 4。
从图19．４可以看出,随着区间长度的缩小,二叉树定价收敛于B一S公式确定的价格。
１9．５． 2 欧式看跌期权与欧式看涨期权类似，我们只需将欧式看涨期权的代码稍做改动即可。
%欧式看跌期权的二叉树定价％LａttｉｃeEurPut.mｆｕｎction［priｃe,ｌattice]=LatｔｉｃeEurＰut（Ｓ0,E,r,T,ｓigｍa,Ｎ）:股票现价,E:执行价格,ｒ:年率,T：期权的有效期限，siｇｍａ:波动％Ｓ０率,N：结点数deltaＴ=T/N; %日期步长u=exｐ(ｓiｇma*sｑｒt(ｄｅlｔaT));d＝1／u;p=(eｘp（ｒ＊deｌtaＴ)－d)/(u-d)；Lａtｔice=ｚeros（N+1,N+1)；ｆoｒj=０:Nlａttｉｃe(N+1,j＋1）＝ｍaｘ(0,E-S０*(u^j)*(d＾（N-j)));endfor i=Ｎ-１:-1：０for j ＝0：iｌattice(i+1,j+1)=ｅxp(－r*ｄelｔaT)*…(p*ｌattｉce(i＋2,j+２)+(1-p)*latｔice（i＋２,ｊ+１));endeｎｄpｒice=ｌatｔicｅ（1,1);１９. 5. 3 美式看跌期权的二叉树定价根据美式看跌期权的递归公式:fｉj = max{X-Su j dｉ-ｊ,t re∆-[pｆi+1，j+１＋(1-p）f i＋1,j]｝i＝Ｎ-1,N-2，…,0;j=0，1,…,i可以编写一下代码:%美式看跌期权的二叉树定价%ＬatticeＡmPut.mＦunctｉon［pｒice,lattice］=LatｔicｅＡmPuｔ（S0，E,ｒ,T,ｓｉgma,Ｎ0 ％S0股票现价，E:执行价格,ｒ:利率期权的有效期限,sｉｇｍａ:波动率，N:结点数deltaＴ=Ｔ/N；％日期步长u=ｅxp(sｉｇｍa＊sqｒt（deｌｔaT));d=1/u;p=(exp(ｒ*dｅlｔaＴ)－d)／（u-d);latticｅ＝zｅros(Ｎ+1，N+1);ｆoｒj= ０;Ｎ;Latｔice(N+1,j＋１)= mａｘ(０,Ｅ-S0*u^j)＊（d^(N－j)))；eｎｄｆｏr i=N-1：－1：０for j =0:ilaｔtice(i＋1,j+1)=mａx(E-S０＊u＾j＊d^（i－j),exp(-r＊deltaT)*…(ｐ＊lattice（i+２，j＋２)＋(1-p)＊latticｅ(ｉ+2,j+１));eｎｄeｎｄPriｃｅ=latticｅ(1,１);假设存在有效期为1年的美式看跌期权,股票初始价格为5０,利率为0. 03，波动率为０.２,执行价格为６0，且令结点数N为１0０，在命令窗口中输人: ＬaｔticeＡｍPuｔ( 50，60,0. 03,1,0.2，１００），得到美式看跌期权的价格为10. 30５6。
比较标准Bｌack-Schｏles欧式期权定价公式的结果9. 610 0，显然美式期权的价格要大。
此外，ＭATLAB7.０金融工具箱还提供了为美式期权二叉树定价的bｉnprice()函数:[Stockpriｃe, Ｏptioｎｐrｉce］=bｉnｐriｃe(S0，E, ｒ, T, dｔ,sigｍa，ＦLAＧ，q)其中，ＦLＡG取1时为看涨期权,取0时为看跌期权。
q为红利率,可缺省。
运行binpｒice，返回的是股票和期权在每个节点的价值的矩阵。