期权定价二叉树多步推导
期权定价二叉树多步推导
相应的期权价格为 .这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。 我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。 为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设， 即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合 （portfolio），组合中有 股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到 ，则该组合在期权到期日的价值为 ；如果该股票价格下降到 ，则该组合在期权到期日的价值为 。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相 等，即有
在期权到期日， 当时，该看涨权的价值为fu6=max(Su6-X,0)=14.43 当时，该看涨权的价值为fu5d=7.99
当时，该看涨权的价值为2.72 当时，该看涨权的价值为0 当时，该看涨权的价值为0 当时，该看涨权的价值为0 当时，该看涨权的价值为0 根据公式： fu5==0.995*[0.5251*14.43+0.4749*7.99]=11.375 同理：fu4d=0.995*[0.5251*7.99+0.4749*2.72]=5.46 fu3d2=0.995*[0.5251*2.72+0.4749*0]=1.421 fu2d3=0
fud4=0 fd5=0 所以：fu4=0.995*[0.5251*11.375+0.4749*5.46]=8.523
fu3d=0.995*[0.5251*5.46+0.4749*1.421]=3.524 fu2d2=0.995*[0.5251*1.421+0.4749*0]=0.742
fud3=0 fd4=0 所以： fu3=0.995*[0.5251*8.523+0.4749*3.524]=6.118
期权定价二叉树模型精讲共41页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
期权定价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叉树模型精讲
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
2014年注会考试《财务成本管理》知识点：二叉树期权定价模型
2014年注会考试《财务成本管理》知识点：二叉树期权定价模型知识点：二叉树期权定价模型
一、单期二叉树模型
关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。
以风险中性原理为例：
上行概率×上行时到期日价值Cu＋下行概率×下行时到期日价值Cd
根据前面推导的结果：
代入（1）式有：
二、两期二叉树模型
如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。
由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
三、多期二叉树模型。
第五讲期权定价理论I二叉树模型
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
10.3二叉树看跌期权定价与平价原理
第10章二叉树法期权定价及其Python应用本章精粹蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题，但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。
本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。
二叉树的基本原理是：假设变量运动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。
将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并由后向前以倒推的形式走过所有结点，同时用贴现法得到在0时刻的价格。
如果存在提前行权的问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利，然后重复上述过程。
10.1 二叉树法的单期欧式看涨期权定价假设：(1) 市场为无摩擦的完美市场，即市场投资没有交易成本。
这意味着不支付税负，没有买卖价差(Bid-Ask Spread)、没有经纪商佣金(Brokerage Commission)、信息对称等。
(2) 投资者是价格的接受者，投资者的交易行为不能显著地影响价格。
(3) 允许以无风险利率借入和贷出资金。
(4) 允许完全使用卖空所得款项。
(5) 未来股票的价格将是两种可能值中的一种。
为了建立好二叉树期权定价模型，我们先假定存在一个时期，在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。
下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。
1. 单一时期内的买权定价假设股票今天(t =0)的价格是100美元，一年后(t =1)将分别以120美元或90美元出售，就是1年后股价上升20%或下降10%。
期权的执行价格为110美元。
年无风险利率为8%，投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。
如图10-1所示。
今天 1年后t =0 t =1u S 0=120 上升20% 1000=Sd S 0=90 下降10%u 0max(u ,0)max(120110,0)10C S X =-=-=?0=Cd 0max(d ,0)max(90110,0)0C S X =-=-=图10-1 买权价格图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
期权定价的二叉树模型说明
6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q ) n jm sa jd u n x j k ( ,0 )]
j oj ! ( n j)!
n
p e rT[
n ! q j(1 q )n jmk asx jd u n j(,0 )]
6 期权定价的二叉树模型
假设条件: (1)最基本的模型为不支付股利的欧式股票看有
效率的 (3)股票现货与期权合约的买卖,不涉及交易成本,而且也不
存在税收问题 (4)市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或
贷出资金,利率在期权有效期内保持不变,而且不存在信 用风险或违约风险
4
分析： 当前
股票价格（s）=$100 期权价值（c）=？
u=1.3 d=0.9
下一期
股票价格（su）=$130 期权价值（cu）=
max(su-k，0)=$20
股票价格（sd）=$90 期权价值（cd）=
max（sd-k,0)=0
5
资产组合的目前成本与未来价值
6
$130× δ -$20=$90× δ (风险中性假定） Δ=0.5 股票上涨：VT= $130× 0.5-$20=$45 股票下跌：VT=$90x0.5=$45 根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚
再令qerT d ud
CerT qcu (1q)cd
8
6.1.3 期权定价与无风险套利 均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率
9
假定价格为$5.00，在期权价格被低估的情况下
10
假定价格为$8.00，在期权价格被高估的情况下
11
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
二叉树期权定价方法的原理
二叉树期权定价方法的原理二叉树期权定价方法是一种常用的金融工具定价方法，它基于二叉树模型，通过离散化时间和价格，将连续时间和连续价格的金融问题转化为离散时间和离散价格的问题，从而简化了计算过程。
该方法的原理主要包括二叉树模型的构建、风险中性概率的计算和期权价格的计算。
首先，二叉树模型的构建是二叉树期权定价方法的基础。
二叉树模型是一种树状结构，每个节点表示某个时间点的价格，根节点表示初始价格，叶子节点表示到期价格。
在构建二叉树模型时，需要确定二叉树的层数和每个节点的价格。
一般情况下，层数越多，模型越精确，但计算复杂度也会增加。
节点的价格可以通过离散化连续价格的方法得到，例如使用二项式模型或几何布朗运动模型。
其次，风险中性概率的计算是二叉树期权定价方法的关键。
风险中性概率是指在无套利条件下，市场上不存在风险，投资者对未来价格的预期与实际发生的概率相等。
在二叉树模型中，每个节点的风险中性概率可以通过反推法计算得到。
具体而言，从期权到期日开始，逐层向上计算每个节点的风险中性概率。
对于每个节点，假设其上涨和下跌的概率分别为p和1-p，根据无套利条件，可以得到期权价格的期望值等于节点价格的折现值。
通过解方程组，可以得到p的值。
最后，期权价格的计算是二叉树期权定价方法的核心。
在二叉树模型中，期权价格可以通过逐层向下计算得到。
从根节点开始，逐层向下计算每个节点的期权价格。
对于每个节点，可以通过期权价格的期望值等于节点价格的折现值来计算期权价格。
具体而言，假设节点上涨和下跌后的价格分别为Cu和Cd，期权价格的期望值为E，节点价格为C，折现因子为r，可以得到以下公式：E = (p * Cu + (1-p) * Cd) / (1 + r)通过逐层向下计算，可以得到所有节点的期权价格。
最后，根据期权类型和期权的执行价格，可以确定期权的实际价格。
总结起来，二叉树期权定价方法的原理是通过构建二叉树模型，计算风险中性概率和期权价格，将连续时间和连续价格的金融问题转化为离散时间和离散价格的问题。
期权定价二叉树模型
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
第八章 期权定价二叉树模型
S0u2d S0ud2 S0d3
其中，0<d<1<u
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则 • 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为： • S0 d f d
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
t t
其中，a e r t
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价 • 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来 的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
=5.0894
• 3、例2 • 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利 年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期 权协议价格为50元，求该期权的价值。
4、倒推定价法总结
5、有红利资产期权的定价
• 课后自行阅读
6、构造树图的其他方法和思路
• 不作要求
72 47
f
4
9.4636
20
• 对于1.4147点，提前执行受益为-8，提前执行 不合算。但对9.4636，提前执行受益却为12， 所以要提前执行。故该点应为12。即
0
1.4147
f
4
12
20
• 这样，该美式看跌期权价值为：
f=e
0.051
（0.6282 1.4147+0.3718 12）
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
5-2_期权定价的二叉树模型
2021/5/15
40
100
t 0
144
172.8
120
129.6
108
90
97.2
81 72.9
1
2
3
图4-21 回望期权的股价二叉树
2021/5/15
41
表3-1 路径、概率及最高价
路径
uuu uud udu duu dud
ddu udd ddd
p1
则：
2
u d 1 t
2
u d 2 t
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50
用样本估计值来代替
u 1 t t
d
1
t
t
1 t t
1 t t
d
1 t
u
图4-23 Hull-White模型的解
2021/5/15
51
用样本均值、样本方差分别代替总体均值和方差。
若：
S1 X1S0
Sk 1 X k 1Sk
0 0 0
2.53 1
2.53
14.12 19 19
图4-17 完整的美式看跌期权二叉树图
0 0 10.9 27.1
障碍期权(barrier option)
一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。
敲出期权：
当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。
敲入期权：
敲出期权
向上敲出 向下敲出
敲入期权
向上敲入 向下敲入
dS0
图4-22 股票价格二叉树
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第六节 实证数据下二叉树模型分析
漂移率 ：单位时间内股价的平均变化幅度。
二叉树期权定价模型
支付已知红利率资产的期权定价
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su j d i j , j 0,1,, i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
2、保持不变，仍为 S ；
3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
一些相关参数：
u e 3t
d1 u
pm
2 3
pd
t 12 2
r
q
2 2
1 6
t
2 1
pu
12 2
r q
2
6
控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公
的波动率，mˆ i 为 i 在风险中性世界中的期望增长率， ik为 i 和 k 之间的瞬间相关系数）
常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：
.
f erT Eˆ fT
其中， Eˆ 表示风险中性世界中的期望。
利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）： f Eˆ erT fT
j 0,1, ,i
注意：由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。