Excel计算欧式看涨期权的价格二叉树
运用EXCEL2007制作美式期权二叉树定价模型
全国中文核心期刊·财会月刊□期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日期之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利。
按期权执行时间，期权可分为欧式期权和美式期权。
欧式期权只能在期权到期日执行，而美式期权可以在到期日或到期日之前任何时间执行。
期权最先在金融领域出现，但它更广泛地被用于投资评价。
期权定价可基于复制原理或风险中性原理，两者比较，根据风险中性原理计算较为简易。
这里，笔者试图根据风险中性原理基于EXCEL2007平台，建立美式期权估价模型。
一、EXCEL2007的相关函数及工具介绍1.单元格绝对引用与相对引用。
例：在A4单元格内输入“=sum （$A1:A $3）”，复制A4单元格，并粘贴至B5单元格，B5格的公式为“=sum （$A2:B $3）”，前面加“$”的为绝对引用，不随移动复制位置的改变而改变。
2.if （Logical_test ，value_if_true ，value_if_false ），判断Logical_test 条件是否为真，为真则执行value_if_true ，为假则执行value_if_false 。
例如：A1单元格输入“50”，A2格内输入“=if （A1>60，”及格”，”不及格”）”，结果A2格内值为“不及格”。
3.sumproduct （array1，array2，array3，….），返回相应的数组或区域乘积的和。
例如：在A1：A3区域分别输入“1，2，3”，在B1：B3区域内输入“2，3，4”，在B4内输入“=sumproduct （A1:A3，B1:B3）”，B4格内的计算实质为“=A1*B1+A2*B2+A3*B3”，结果值为“20”。
4.OR （logical1，logical2，...），在其参数组中，任一参数值为TRUE ，即返回TRUE ；只有当所有参数值均为FALSE 时才返回FALSE 。
例如：在某单元格输入“=OR （D4=“”，D4=“入库”）”，如果D4单元格为空值或“入库”字样，结果为TRUE ；若为其他字符或公式，结果为FALSE 。
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
基于控制变量技术的美式看跌期权定价的EXCEL方法
基于控制变量技术的美式看跌期权定价的EXCEL方法金凌辉;郭丽莎;胡军浩【摘要】介绍了控制变量技术的基本理论,分析了该技术对美式看跌期权数值估值的作用,并给出了一种利用Excel为美式看跌期权估值的方法.【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(038)003【总页数】4页(P337-340)【关键词】美式看跌期权;控制变量技术;二叉树模型;Excel【作者】金凌辉;郭丽莎;胡军浩【作者单位】武汉科技大学城市学院公共课部,湖北武汉430083;中南民族大学数学与统计学院,湖北武汉430074;中南民族大学数学与统计学院,湖北武汉430074【正文语种】中文【中图分类】F224众所周知, 美式看跌期权无法用 Black-Scholes公式求出解析解, 因而只能通过数值方法为其定价, 其中二叉树方法无疑是最重要也是最常用的一种. 使用二叉树方法时, 对期权的有效期分割得越细, 即时间步越多, 所得到的结果就越精确. 一般而言, 当时间步大于30时便可以得到较精确的结果. 但30个时间步意味着最后有31个终端股票价格, 并且有 230即大约 10亿个可能的股票价格路径, 计算量将非常大. 然而, 利用控制变量技术,却能在减少时间步的情况下提高估值精度, 从而只需要借助最常用的办公软件Excel, 便可实现对美式看跌期权的定价.当希望对两种类似的期权A和B进行定价时, 可以使用控制变量技术. 控制变量技术的关键在于使用同样的数值方法对A和B进行估值, 并且要求知道B的精确价格. 当B能求出精确价格时, 对其使用数值方法估值看似是多于的, 但是, 如果用数值方法对A和B估值产生的估计误差是无偏的（或偏差相同）并且高度相关时,则可以提高对A估值的精确度. 为说明控制变量技术的应用, 定义如下记号:当所考虑的期权为美式看跌期权时, 与其最为类似的期权显然是欧式看跌期权. 由于欧式看跌期权可以用Black-Scholes公式计算出精确值, 故可以利用控制变量技术来为美式期权进行数值估值. 设用同一数值方法计算出来的美式期权和欧式期权的价值分别为 f A和 f E, 使用控制变量技术对美式期权的估值为 fA*, 用Black-Scholes公式计算出的欧式期权的价值为 f B S, 则由（1）式有为简单起见, 可虑一个不支付红利的股票美式看跌期权. 股票当前价格S40元, 期权的执行价格X35元, 无风险利率r0.0488, 期权有效期T=0.5833年, 股票年波动率0.2. 对于这个期权, 二叉树方法的创立者——Cox和Rubinstein曾用500个时间步的二叉树模型计算出其价值为0.433元. 现在用Excel来对其定价, 先建立一个5步二叉树, 即时间步n=5, 每个时间步长.1167年. 先用Excel生成二叉树模型所需参数的值, 其中首先在表格中的A2、B2、C2、D2和E2处直接输入S、X、r、和的值, 然后在F2处输入: =EXP(D2*SQRT(E2)), 回车后Excel自动计算出u的值并在F2中显示. 同理, 在G2处输入: =1/F2; 在H2处输入: =EXP(C2*E2); 在I2处输入:=(H2-G2)/(F2-G2)便可得到我们需要的数值(如表1).接下来生成股价二叉树. 在表单的空白单元格, 比如A10处输入: =A2, 回车后会发现该单元格中显示为40,即股票的当前价格. 接下来在A10的右上角即B9处输入: =A10*$F$2, 回车后B9中显示的将是股票在一个时间步后上涨的价格. 此处输入的公式中加入美元符号“$”的目的是为了使我们在后面复制粘贴该单元格的公式时不会改变其相应的运算规律. 接下来我们便将刚才输入的公式复制后依次粘贴到B9右上方的单元格C8、D7、E6和F5中, 你会发现这些单元格会自动计算并显示出需要的数值, 此时, 二叉树的一个分支已经生成好了. 同理, 在A10的右下角即B11处输入: = A10*$G$2, 回车后可得到一个步长后股价下降的价格, 然后将该单元格的公式复制并粘贴到二叉树剩下的节点处, 便可轻松的生成股价的二叉树(如表2).现在来为欧式看跌期权估值. 首先在F17处输入: =MAX($B$2-F5,0)并回车, Excel 自动计算出该节点出期权的价值并在该单元格显示. 然后复制该单元格的公式并依次粘贴到 F19、F21、F23、F25、F27处, 则可得树图末端各节点处期权的价格. 接下来在E18处输入: =EXP(-$C$2*$E$2)*($I$2*F17+(1-$I$2)*F19), Excel将自动计算出该节点出期权的价值并显示. 最后将 E18的公式复制粘贴到其余节点, 便可得到欧式看跌期权的价值二叉树(如表3), 树图最左端为期权价值0.4689元.用Excel为美式看跌期权估值的方法与欧式看跌期权类似. 只是在除树图的末端外的各节点处需要考虑是否应该提前执行, 但这在 Excel上实现起来也是很方便的. 首先按欧式期权的方法生成树图末端各节点处的期权价格. 然后在E30处输入:=MAX((EXP(-$C$2*$E$2)*($I$2*F29+(1-$I$2)*F31)),$B$2-E6), Excel便会自动算出该节点出期权的价值并显示. 接着将此公式复制粘贴到其他节点, 便可得到美式看跌期权的价值二叉树(如表4) , 树图最左端为期权价值0.4788元.欧式看跌期权的 Black-Scholes公式为:为均值为 0标准差为 1的标准正态分布变量的累计概率分布函数. 利用 Excel生成Black-Scholes公式的计算程序. 首先在K2处输入: =(LN(A2/B2)+(C2+D2*D2/2)*0.5833)/(D2*SQRT(0.5833)), 便可得到 d1的值, 紧接着在 L2处输入: =K2-D2*SQRT(0.5833)便可得到 d2的值. 接下来利用 Excel自带的函数NORMSDIST求d1和d2的标准正态分布函数值, 例如我们在M2处输入: =NORMSDIST(-K2)便可得到N(d1), 同理可求出N(d2). 最后在O2处输入: =B2*EXP(-C2*0.5833)*N2-A2*M2, 便可得到欧式看跌期权的价值fBS=0.4170元(如表5).在上述过程后, 利用(3)式, 便可得到利用控制变量技术对美式看跌期权估值的结果 f A*=0.4170+（0.4788-0.4689）=0.4269, 这一结果显然比fA更接近于期权的真实值.利用上述方法, 我们分别建立不同时间步的二叉树模型对期权进行了估值. 结果如下表, 其中n=时间步,步长.从表1可以看出, 当n较小时, fA*比 f A更接近于期权的真实价值. 并且随着n的增大, fA*趋于期权真实价值的速度也比 fA快. 这充分说明, 当二叉树模型的时间步较小时, 利用控制变量技术能显著提高估值的效率,这对于利用如Excel这样的简单工具估计期权价格是非常重要的.当然, 在现实的金融市场中, 所遇到的情况绝不会那么简单. 比如股票期权的标的物大多是支付红利的,且无风险利率也不一定是常数. 但在对二叉树模型作适当修改后仍然可以结合控制变量技术来为期权估值, 因此本文给出的方法具有一定的可借鉴性.【相关文献】[1] JOHN C COX, S ROSS. The valuation of option for alternative stochastic processes[J]. Journal of Financial Economics, 1976(2): 145-166.[2] JOHN C COX, ROSS S A, MARK RUBINSTEIN. Option Pricing: A Simplified Approach[J]. Journal of Financial Economics, 1979,7: 229-264.[3] JOHN C COX, MARK RUBINSTEIN. Options Market[M]. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1984.[4] J HULL, A WHITE. The Use of the Control Variate Technique in Option Pricing[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis,1988, 23(9): 237-251.[5] FISHER BLACK, MYRON SCHOLES. The pricing of option and corporate liabilities[J]. Journal of Politic Economic, 1973(81):637-659.[6] R MERTON. Theory of rational options pricing[J]. Bell Journal of Economics andManagement Science, 1973(2): 141-183.[7] JOHN C HULL. 期权、期货和其他衍生产品[M]. 张陶伟, 译. 北京: 华夏出版社, 2000.[8] JOSEPH STAMPFLI, VICTOR GOODMAN. 金融数学[M]. 蔡明超, 译. 北京: 机械工业出版社, 2004.[9] 姜礼尚. 期权定价的数学模型与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.。
欧式与美式期权二叉树定价及程序实现.doc
姓名：卢众专业：数学与应用数学学号： 08101116指导老师：许志军2011 年 6 月 3 日目录一、期权二叉树定价简介 (3)二、假设 (3)三、符号说明 (3)四、欧式二叉树模型 (4)1、一步二叉树模型 (4)2、风险中性定价原理 (5)3、两步二叉树模型 (6)4、多步二叉树模型 (6)五、美式二叉树模型 (7)1、单步二叉树 (7)2、多步二叉树 (8)六、对于其他标的资产的期权的定价 (9)1、支付连续股息收益率股票期权的定价 (9)2、股指期权期权的定价 (10)3、货币期权 (10)4、期货期权 (10)七、实例解析 (10)八、程序 (11)一、期权二叉树定价简介期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。
在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。
二、假设1、市场上无套利机会存在；2、所有的数据来源可靠；三、符号说明编号 符号 意义1 r 无风险利率2 u 股票上涨比率3 d 股票下跌比率4 0S股票初始价格 5 Λ,,,d u f f f 期权价值 6 t 时间步长 7 ∆ 股票数量8 p 股票上涨的概率 9 δ 股票的波动大小 10 1H 股票在初始时刻价格 112H期权的执行价格四、欧式二叉树模型100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.91生的分枝一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step ）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是0S ，基于该股票的欧式期权价格为f 。
二叉树定价模型
二项式期权定价模型1.实验名称：二项式期权定价模型2.实验目的：利用二叉树期权定价模型公式Excel 模板计算期权价格。
3.基本原理计算到期时资产价值的分布，求出资产的期望值，用适当的贴现率计算现值，得到资产的当前价值。
（1） 计算n 期中上升i 次的概率： ()(1)i i n ii n P n C p p -=-； （2） 计算在终期时的价格分布： ()0i n i ni S S u d -=（3） 计算期权的价值： ()0max(,0)i n i niCallS u d K -=-，()0max(,0)i n i niPutK S u d -=-；（4）计算终期时的期望值：0()nn ni i ECall P i Call==∑，()nn ni i EPut P i put ==∑；（5）计算期权在起初时刻的价值： ()00(1)max(,0)nRTRTi i n i i n i n i Call eECall eCp p S u d K ----===--∑()00(1)max(,0)nRTRTii n i i n i ni Put eEPut eCp p K S u d ----===--∑。
4. 实验数据域内容已知股票价格为50，执行价格为50，时间为半年，无风险利率为5%，波动率为20%，分为10个时间段，利用二叉树定价模型计算看涨看跌期权的价格。
5. 操作过程与结果（1）定义变量的符号在单元格B2—B14中分别输入S 、K 、T 、R 、VOL 、n 、dt 、u 、d 、G-factor 、D-factor 、p 分别表示股票价格、期权执行价格、期权有效期、无风险利率、股价波动率、时段数、时段、上升因子、下降因子、增长因子、贴现因子、风险中性概率。
如图：（2）输入变量数据输入响应变量的数据，如图：(3) 计算其余变量的值在B26—B33中依次输入dt、u、d、r、G-factor、D-factor、p、1-p，在C26—C33中依次输入=C20/C23、=EXP(C22*SQRT(C26))、=1/C27、=EXP(C21*C26)、=EXP(C21*C26)、=EXP(-C21*C26)、=(C29-C28)/(C27-C28)、=1-C32。
欧式看涨期权二叉树定价
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根欧式看涨期权二叉树定价（含matlab代码和结果图）实验概述本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。
19. 2 实验目的(1)了解二叉树的定价机理;(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法;(3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。
19. 3 实验工具MATLAB 7. 0。
19. 4 理论要点构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。
这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。
二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。
Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。
1)一个简单的例子假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。
4月份股票价格有两种可能:S=100元，S=25元。
有一份看涨期权合约，合约约定在4月份低高可以以50元价格买进一股股票。
现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
．培根阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——借期为一个月。
所示。
根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1 投资组合的到期收益分布表表19.1四月份三月份元S=100 S=25元高低-150 0 卖出3份看涨期权合约3C200 50 -100 买人两股股票-5040 -50 借人现金总计00 0这个例子说明，元，即为期权的价格。
由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20唯一需要做的是假设对投资者而言不存可以用一个相当简单的方法为期权定价，月份使得在4在套利机会。
二叉树和三叉树的期权定价方法
第七章期权定价的二叉树和三叉树方法在这一章中，我们利用二叉树和三叉树方法为期权定价。
在第2.1节中我们已经介绍了利用基础途径的二叉树方法解决期权价格不确定性的模型。
二叉树方法依赖于对相关随机过程的离散化并利用计算和内存的结合以满足易于管理的要求。
我们也在，我们必须把原来的单步格方法扩展到多步格方法，但是我们必须校对格使它能够反映出相关模型，且这个模型是连续时间、连续状态的随机微分方程。
然后我们就可以推广到多步的二叉树格和三叉树格。
在7.1节中，我们从如何利用在离散概率分布的时刻下随机价格波动校准简单的二叉树格。
从这点来看，弄清楚网格技术和蒙特卡洛模拟之间的联系是非常重要的，而利用时刻匹配技术缩减方差可以看作一种快捷的抽样排序。
然后我们讨论内存效率的实现是如何设计的，美式期权定价是7.2节的主题。
同时，还是要注重它和其他技术方法的联系。
现在我们要做的本质上是一个非常简单满足动态规划原则的程序，我们将在第10章程序中进一步拓展。
在7.3节中，我们把上述方法推广到双标的资产的情形，虽然这是一个最简单的情形，但是我们可以从这个情形中看出内存控制是这一情形的基础。
另一种一般化的代表是三叉树格方法，三叉树格方法可以作为一种更普遍的有限差分方法（具体将在，最后，我们在7.5节中具体讨论网格化方法的优势和劣势。
期权定价的二叉树和三叉树格方法图7.1单时期二叉树格7.1二叉树定价方法在，我们已经考虑过单步二叉树方法在无套利情况下的期权定价，这里我们为了方便直接利用图7.1。
其主要思想是复制两个资产，一个是无风险资产，另一个是相关股票。
利用这两项资产，我们可以通过它们的组合塑造任何收益率的资产。
如果我们令u和d为任意两个价格的角标，我们可以看到期权的价格应该为f则，f0=e-rδt[pf u+(1-p)f d]（7.1）在公式7.1中fu 和fd是标的资产在涨跌两种情况的期权价格，p是风险中性前提下相关资产升值的概率。
期权定价的二叉树模型说明
6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q ) n jm sa jd u n x j k ( ,0 )]
j oj ! ( n j)!
n
p e rT[
n ! q j(1 q )n jmk asx jd u n j(,0 )]
6 期权定价的二叉树模型
假设条件: (1)最基本的模型为不支付股利的欧式股票看有
效率的 (3)股票现货与期权合约的买卖,不涉及交易成本,而且也不
存在税收问题 (4)市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或
贷出资金,利率在期权有效期内保持不变,而且不存在信 用风险或违约风险
4
分析： 当前
股票价格（s）=$100 期权价值（c）=？
u=1.3 d=0.9
下一期
股票价格（su）=$130 期权价值（cu）=
max(su-k，0)=$20
股票价格（sd）=$90 期权价值（cd）=
max（sd-k,0)=0
5
资产组合的目前成本与未来价值
6
$130× δ -$20=$90× δ (风险中性假定） Δ=0.5 股票上涨：VT= $130× 0.5-$20=$45 股票下跌：VT=$90x0.5=$45 根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚
再令qerT d ud
CerT qcu (1q)cd
8
6.1.3 期权定价与无风险套利 均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率
9
假定价格为$5.00，在期权价格被低估的情况下
10
假定价格为$8.00，在期权价格被高估的情况下
11
欧式看涨期权二叉树定价
欧式看涨期权二叉树定价（含matlab代码和结果图）实验概述本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。
19. 2 实验目的(1)了解二叉树的定价机理;(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法;(3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。
19. 3 实验工具MATLAB 7. 0。
19. 4 理论要点构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。
这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。
二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。
Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。
1)一个简单的例子假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。
4月份股票价格有两种可能:S高=100元，S低=25元。
有一份看涨期权合约，合约约定在4月份可以以50元价格买进一股股票。
现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，借期为一个月。
根据上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1所示。
表19.1 投资组合的到期收益分布表四月份三月份S低=25元S高=100元卖出3份看涨期权合约3C 0 -150买人两股股票-100 50 200借人现金40 -50 -50总计0 0 0由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20元，即为期权的价格。
这个例子说明，可以用一个相当简单的方法为期权定价，唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。
我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合，使得在4月份该组合的价值是确定的。
于是我们可以说该组合无风险，它的收益率一定等于无风险收益率。
二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。
第八讲期权二叉树定价模型
如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则 在第二个时间步股票价格变动的Delta为：
3.2 0 0.7273 24.2 19.8
如果在第一个时间步之后，还有一个向下的运动，则 在第二个时间步股票价格变动的Delta为：
00 0 19.8 16
在图8-5中，第一个时间步的Delta为：
f d e rt [ pfud (1 p) f dd ] f e
r t
（9.6） （9.7）
[ pfu (1 p) f d ]
将式（9.5）和（9.6）代入式（9.7），得到：
f e2 rt [ p 2 fuu 2 p(1 p) fud (1 p)2 f dd ]
9.6 二叉树模型在实际中的应用
在实际中应用二叉树图方法时，通常将期权有效期分 成30或更多的时间步。在每一个时间步，就有一个二叉树 股票价格运动。30个时间步意味着最后有31个终端股票价
格(terminal stock prices)，并且230即大约10亿个可能的股
票价格路径。 从股票价格波动率，可以确定u和d的值。可以有许多 种不同的方式做到这一点。
在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风险利 率12％。则有：
22p+18(1-p)=20e0.12×0.25
即
得
4p=20e0.12×0.25-18
p=0.6523
在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率为0.6523，价值 为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为： 0.6523×1+0.3477×0=$0.6523 按无风险利率贴现得期权现在的价值：
式中，p2，2p(1-p)和(1-p)2是达到最后上、中、下三个
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
期权定价二叉树模型
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
(仅供参考)Excel VBA 金融工程 Section 2 - 期权定价
梦特卡罗期权价格计算欧洲看涨不派息股票期权我会将之前介绍到技巧应用在不派息的欧洲看涨期权上。
分别是控制変量方法CMcEuropeanCall()程序- 请参考源代码OP02，对偶変量法AMcEuropeanCall()程序-请参考源代码OP03及原模拟McEuropeanCall()程序- 请参考源代码OP04，。
当分别输入资料{S0, K, r, σ, T, n}，而经由读取程序readData() -请参考源代码OP01后。
而readData()程序会分别将资料放到以上三个不同方法的程序里，最后结果会输回其期权现价及标准误差到readData()程序。
在全部程序里，随机抽样数ɛ会由StdNormNum()函数产生，并由此根据(FOP.16)带出抽様的到期价格S T(ɛ)。
就对偶変量法，在相同的随机数上加上负数即可S T(-ɛ)。
相同的数值在不同函数，引用不同公式(FOP.18), (FOP.19) 及(FOP.21)里运作后评估。
根据(FOP.2),其均值及方差的现值可将每个抽祥数分别加起来及将其倍乘即可,其可以一个小回路程序由1到n项。
可以更简单的将(FOP.2)的方差计算用以下方式表达S2=1n+1∑gni=12(xi)-nn−1m2(FOP.25)此两个流程都可以在估算期权现价时得出其均值。
在控制变量法，一定要时刻记者将S0包括在均值估算上当为控制变量(FOP.20)的解决方法。
在评估过程里的标准误差可以根据在方差计算时的附加因子1/√n所找出。
Sub readData()Dim assetPrice As Double: assetPrice = Cells(2, 2)Dim strike As Double: strike = Cells(3, 2)Dim maturity As Double: maturity = Cells(4, 2)Dim riskFree As Double: riskFree = Cells(5, 2)Dim sigma As Double: sigma = Cells(6, 2)Dim nsample As Long: nsample = Cells(7, 2)Dim optionPrice As DoubleDim stdEr As Doubleseed = 5678Call McEuropeanCall(assetPrice, strike, riskFree, sigma, maturity, nsample, optionPrice, stdEr)Cells(9, 2) = optionPriceCells(10, 2) = stdErCall CMcEuropeanCall(assetPrice, strike, riskFree, sigma, maturity, nsample, optionPrice, stdEr)Cells(9, 3) = optionPriceCells(10, 3) = stdErCall AMcEuropeanCall(assetPrice, strike, riskFree, sigma, maturity, nsample, optionPrice, stdEr)Cells(9, 4) = optionPriceCells(10, 4) = stdErEnd Sub源代码OP01: 读取基本期权资料程序Sub CMcEuropeanCall(assetPrice As Double, strike As Double, riskFree As Double, sigma As Double, maturity As Double, nsample As Long, ByRef optionPrice As Double, ByRef stdEr As Double)Dim sum01 As Double, sum02 As Double, Vnum As DoubleDim mean As Double, Vd As Double, Vs As LongDim sT As Double, fT As Double, pV As Doublesum01 = 0sum02 = 0For Vs = 1 To nsampleVnum = StdNormNum()sT = assetPrice * Exp((riskFree - 0.5 * sigma ^ 2) * maturity + sigma * Sqr(maturity) * Vnum)fT = CallPayoff(strike, sT) - sTpV = Exp(-riskFree * maturity) * fTsum01 = sum01 + pVsum02 = sum02 + pV * pVNext Vsmean = sum01 / nsampleVd = Sqr(sum02 / (nsample - 1) - (nsample / (nsample - 1)) * mean ^ 2)optionPrice = assetPrice + meanstdEr = Vd / Sqr(nsample)End Sub源代码OP02: 欧州看涨期权控制変量法梦特卡罗模拟程序Sub AMcEuropeanCall(assetPrice As Double, strike As Double, riskFree As Double, sigma As Double, maturity As Double, nsample As Long, ByRef optionPrice As Double, ByRef stdEr As Double)Dim sum01 As Double, sum02 As Double, Vnum As DoubleDim mean As Double, Vd As Double, Vs As LongDim sT As Double, sTa As Double, fT As Double, pV As Doublesum01 = 0sum02 = 0For Vs = 1 To nsampleVnum = StdNormNum()sT = assetPrice * Exp((riskFree - 0.5 * sigma ^ 2) * maturity + sigma * Sqr(maturity) * Vnum)sTa = assetPrice * Exp((riskFree - 0.5 * sigma ^ 2) * maturity + sigma * Sqr(maturity) * (-Vnum))fT = (CallPayoff(strike, sT) + CallPayoff(strike, sTa)) / 2pV = Exp(-riskFree * maturity) * fTsum01 = sum01 + pVsum02 = sum02 + pV * pVNext Vsmean = sum01 / nsampleVd = Sqr(sum02 / (nsample - 1) - (nsample / (nsample - 1)) * mean ^ 2)optionPrice = meanstdEr = Vd / Sqr(nsample)End Sub源代码OP03: 欧州看涨期权对偶変量法梦特卡罗模拟程序Sub McEuropeanCall(assetPrice As Double, strike As Double, riskFree As Double, sigma As Double, maturity As Double, nsample As Long, ByRef optionPrice As Double, ByRef stdEr As Double)Dim sum01 As Double, sum02 As Double, Vnum As DoubleDim mean As Double, Vd As Double, Vs As LongDim sT As Double, fT As Double, pV As Doublesum01 = 0sum02 = 0For Vs = 1 To nsampleVnum = StdNormNum()sT = assetPrice * Exp((riskFree - 0.5 * sigma ^ 2) * maturity + sigma * Sqr(maturity) * Vnum)fT = CallPayoff(strike, sT)pV = Exp(-riskFree * maturity) * fTsum01 = sum01 + pVsum02 = sum02 + pV * pVNext Vsmean = sum01 / nsampleVd = Sqr(sum02 / (nsample - 1) - (nsample / (nsample - 1)) * mean ^ 2)optionPrice = meanstdEr = Vd / Sqr(nsample)End Sub源代码OP04: 欧州看涨期权原梦特卡罗模拟程序Public seed As LongFunction StdNormNum() As DoubleDim v1 As Double, v2 As Double, w As Double, fac As DoubleDim snnUse As DoubleStatic flagSave As Integer: If IsEmpty(flagSave) Then flagSave = 0Static snnSave As DoubleIf (flagSave = 0) ThenNewTrial:v1 = 2# * ran0() - 1#v2 = 2# * ran0() - 1#w = v1 ^ 2 + v2 ^ 2If (w >= 1#) Then GoTo NewTrialfac = Sqr(-2# * Log(w) / w)snnSave = fac * v1snnUse = fac * v2flagSave = 1ElsesnnUse = snnSaveflagSave = 0End IfStdNormNum = snnUseEnd FunctionFunction ran0() As DoubleDim IA As Long: IA = 16807Dim IM As Long: IM = 2147483647Dim IQ As Long: IQ = 127773Dim IR As Long: IR = 2836Dim MASK As Long: MASK = 123459876Dim AM As Double: AM = 1# / IMDim k As Longseed = seed Xor MASKk = seed / IQseed = IA * (seed - k * IQ) - IR * kIf (seed < 0) Then seed = seed + IMran0 = AM * seedseed = seed Xor MASKEnd FunctionFunction CallPayoff(strike As Double, assetPrice As Double) As DoubleCallPayoff = Max(assetPrice - strike, 0)End FunctionFunction Max(x As Double, y As Double) As DoubleIf x > y Then Max = x Else Max = yEnd Function源代码OP05: 随机抽样数函数产生器及看涨期权净值函数m=12n ∑gni=1(x i) and S2=1n+1∑(gni=1(x i)- m)2(FOP.2)S T=S0exp((r-1/2σ2)T+σ√Tɛ(0,1)) (FOP.16) n r(ɛ)=max{S T(ɛ)-K, 0} (FOP.18) ńr(ɛ)=max{S T(ɛ)-K, 0} - S T(ɛ) (FOP.19)n0=S0+Ê(e-rTńr |S0) (FOP.20) ňr(ɛ)=1/2[max{S T(ɛ)-K, 0} +max{S T(-ɛ)-K, 0}] (FOP,21)欧洲看涨派息股票期权现在考虑欧洲看涨派息股票期权的计算方法，假知它支付的股息是{D1, … , D n}而支付时间为{t1, … , t n=T}。
期权二叉树的excel实现总表
股息发放日将未来 的股息折现到该时 点，再将该折现值 复利到直到下一个 股息发放日之间的 每一步，并将该值 加到对应步数的无 红利股价上，得到
有红利的总股价。
3
4
0.002953767 0.003938356
5 0.004922945
6
7
8
9
0.005908 0.006892 0.0078767 0.008861
77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
12.44518 12.62595 12.809356 12.99542
12.26699 12.445176 12.62595
12.091349 12.26699
11.91823
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0.009846 0.01083 0.011815 0.0128 0.013784 0.014769 0.015753 0.016738 0.017723
185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238
股票期权二叉树定价-excel-VBA程序
Sub 期权定价()Dim i As Long'将输入的参数的值赋给相应的变量s0 = Worksheets(1).Cells(1, 2)x = Worksheets(1).Cells(2, 2)r = Worksheets(1).Cells(3, 2)s = Worksheets(1).Cells(4, 2)t = Worksheets(1).Cells(5, 2)n = Worksheets(1).Cells(6, 2)'生成表格Worksheets(1).Cells(1, 4) = "期数" Worksheets(1).Cells(2, 4) = "时间（年）" Worksheets(1).Cells(3, 4) = "上行乘数" Worksheets(1).Cells(4, 4) = "下行乘数" Worksheets(1).Cells(5, 4) = "股票价格" Worksheets(1).Cells(n + 6, 4) = "执行价格" Worksheets(1).Cells(n + 7, 4) = "上行概率" Worksheets(1).Cells(n + 8, 4) = "下行概率" Worksheets(1).Cells(n + 9, 4) = "买入期权价格"'合并相应单元格Set rr1 = Range("D5")For i = 1 To nSet rr1 = Union(Range("D" & (5 + i)), rr1) Nextrr1.SelectWith Selection.HorizontalAlignment = xlGeneral.VerticalAlignment = xlBottom.WrapT ext = False.Orientation = 0.AddIndent = False.IndentLevel = 0.ShrinkToFit = False.ReadingOrder = xlContext.MergeCells = TrueEnd With'设置格式居中With Selection.HorizontalAlignment = xlCenter.VerticalAlignment = xlCenter.WrapT ext = False.Orientation = 0.AddIndent = False.IndentLevel = 0.ShrinkToFit = False.ReadingOrder = xlContext.MergeCells = TrueEnd With'合并相应单元格Set rr2 = Range("D" & (n + 9))For i = 1 To nSet rr2 = Union(Range("D" & (n + 9 + i)), rr2) Nextrr2.SelectWith Selection.HorizontalAlignment = xlGeneral.VerticalAlignment = xlBottom.WrapT ext = False.Orientation = 0.AddIndent = False.IndentLevel = 0.ShrinkToFit = False.ReadingOrder = xlContext.MergeCells = TrueEnd With'设置格式居中With Selection.HorizontalAlignment = xlCenter.VerticalAlignment = xlCenter.WrapT ext = False.Orientation = 0.AddIndent = False.IndentLevel = 0.ShrinkToFit = False.ReadingOrder = xlContext.MergeCells = TrueEnd With'计算表格相应内容'期数Worksheets(1).Cells(1, 5) = 0For i = 1 To nWorksheets(1).Cells(1, 5 + i) = iNext'时间（年）Worksheets(1).Cells(2, 5) = 0For i = 1 To nWorksheets(1).Cells(2, 5 + i) = t / (12 * n) * iNext'上行乘数u = Exp(s * (t / (12 * n)) ^ 0.5)Worksheets(1).Cells(3, 5) = u'下行乘数d = 1 / uWorksheets(1).Cells(4, 5) = d'股票价格For i = 1 To n + 1Worksheets(1).Cells(4 + i, 4 + i) = 50 * d ^ (i - 1)NextFor i = 1 To nFor j = i To nWorksheets(1).Cells(4 + i, 5 + j) = Worksheets(1).Cells(4 + i, 4 + j) * u NextNext'执行价格Worksheets(1).Cells(n + 6, 5 + n) = x'上行概率、下行概率p = ((r * t) / (12 * n) + 1 - d) / (u - d)Worksheets(1).Cells(n + 7, 5 + n) = pWorksheets(1).Cells(n + 8, 5 + n) = 1 - p'买入期权价格'最后一期的期权价值For i = 1 To n + 1q = Worksheets(1).Cells(4 + i, 5 + n) - xIf q > 0 ThenWorksheets(1).Cells(n + 8 + i, 5 + n) = qElseWorksheets(1).Cells(n + 8 + i, 5 + n) = 0End IfNext'由后往前推各期的价值For ii = n To 1 Step -1 '列For jj = 1 To ii '行If Worksheets(1).Cells(n + 8 + jj, 4 + ii + 1) > 0 Or Worksheets(1).Cells(n + 8 + jj + 1,4 + ii + 1) > 0 ThenWorksheets(1).Cells(n + 8 + jj, 4 + ii) = (p * Worksheets(1).Cells(n + 8 + jj, 4 + ii + 1) + (1 - p) * Worksheets(1).Cells(n + 8 + jj + 1, 4 + ii + 1)) / (1 + (r / 12) * (t / n)) ElseWorksheets(1).Cells(n + 8 + jj, 4 + ii) = 0End IfNextNextEnd Sub效果如下：。
期权定价的二叉树模型学习笔记（II）
期权定价的二叉树模型学习笔记（II）编者按:二叉树模型的第二部分学习笔记中涉及到欧式看涨看跌期权的定价公式和所谓的平价公式,从形式上来看,该公式还不算特别复杂的.由于欧式期权是在到期日时实施期权,因此它相比美式期权(在到期日之前皆可实施)来说还是较为简单的.关于欧式看涨和看跌期权的平价公式,其刻画了两个期权之间的等量关系,往后所要学习到的美式期权则没有类似的平价公式.因此可以说,平价公式是欧式期权所独有的,这也是欧式期权相比美式期权多的一个差异点.笔记后半部分涉及到的鞍和鞍测度等概念,严格来说其实涉及到测度论的知识,因此首先需要了解的是测度的基本概念.引进鞍的一大目的是为了阐述这样一个核心结论:在二叉树模型下,市场的无套利性质与鞍测度之间具有等价性(if and noly if).尽管我们假设市场是无套利的(动态的无套利),然而要想从数学这个视角精细地刻画这点就不得不寻找等价条件.毫无疑问的是,资产定价基本定理为我们揭示了鞍测度与市场无套利之间的微妙联系.二叉树模型的期权价计算Denote .,We consider possible values of option at :.Question:If are given, how can we determineIn particular,Answer:We can determine by us-ing backward induction in the one period and two-state model.Notice that.Meanwhile, we can calculateThen we want to find二叉树模型欧式期权定价公式Define a risk-neural measure :Then,we will getSo that for any ,When ,=0.折现价二叉树模型的平价公式Denote Then the European call option valuation formula isEspecially,when ,,For the binomial tree method,the call-put parity(in discrete form) becomes鞅（Martingale）的概念the bet at game,the next bet.If under the condition that complete information of all previous game are available,the expectation of equals the previous stake i.e.then we say the gamble is fair.In Mathematics, is called -algebra in stochastic theory.Definition1(Martingale):The best sequence that satisfies conditionas a discrete random process,is called a Martingale.Remark:Martingle is often used to refer to a fair gamble.Then，we give mathematical definition of Martingale.Definition1'(Martingale ):A sequence is a Martingale with respect to sequence if for all :••鞅测度Under the risk-neutral measure ,the discount prices of an underlying asset ,as a discrete random process,satisfy the equation:Remark:Hence the discount price sequence of an underlying asset is a martingale.Definition2(Martingale measure):The risk-neutral measure is called the martingale measure.概率测度等价定义Definition3(Equivvalent measure):Probability measure and Probability measure are said to be equivalent if and only if for any probability event (set) there isi.e. the Probability measure and have the same null set.The European option valuation formula under the sense of equivalent Martingale measure ,can be written asEspecially,鞅测度和无套利等价性;用倒向归纳法证明期权不等式Theorem1(The fundamental theorem of asset pricing):If an underlying asset price moves as a binomial tree, there exists an equivalent Martingale measure if and only if the market is arbitrage-free.Dividend-Paying(股息支付):An underlying asset pays dividends in t-wo ways:•Pay dividends discretely at certain times in a year;•Pay dividends continuously at a certain rate.We only consider the continuous model. For studying the continuous Model, there are two reasons.Meanwhile,we meet the example:A company needs to buy Euro at time to pay a German company. To avoid any loss if Euro goes up, the company buys a call option of Euro with Expiration date at rate .How much premium should the company pay?[上文链接]: 期权定价的二叉树模型学习笔记（I）预知后事如何,请听下回分解......。
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中 国的证券 市 场 ．欧式 看涨 期权 作为 基本 的衍生 证 券 Ｋ ２中键 入 公 式 “ Ｊ ＊ Ａ ８ ． ＝ Ｉ ￥ ￥ ” 然后 选 择 Ｉ 元 格 的 左 ２单 也 进入 中国的 证券 市场 ．欧式看 涨期 权 的定 价 主要 由 下对 角单元 格 复制 Ｉ ２中公 式 即可 ． 到 Ｅ 在 Ｋ 直 ６ ２右 标 的 的股 票决 定 的 ， 】 票 的二叉 树 、 式 看涨 期 权二 下单元 格 中复制 Ｋ 【股 － 欧 ２公式 直到 Ｑ ，依次类 推填 满所需 ６ 叉 树是 其 中重 要 的一种 分析方 法 ． 文 利用 ｅ ｃｌ 本 ｘｅ 工具 要 的单 元格 ． 从而 得到 股票 的二又 树
ｔ— Ｏ １
股票 价格二 叉树图
期 权 ＝ 叉 树 图
应 用 【 式法 则计 算欧式 看涨 期权 二： ｌ 链 疋树 三、 利用 ｅ ｃ ｌ 算 欧式看 涨期权 ｘｅ计
“
五 期欧 氏看 涨期 权 二叉树 的顶点 为 Ｊ １所 以欧 氏 １．
看涨期权的最后一期在第 ｌ ６行 Ｋ ６键 入 公 式 １ 打 开 ｅｃｌ Ｊ 单 元格 为 顶 点建 立 股 票 的二 叉 树 ＝ Ｘ（ ６ ￥ ２Ｏ， 此 公 式 复 制 到 Ｅ 。６Ｉ，６ ｘｅ 以 １ ＭＡ Ｋ１一 Ａ￥ ，）把 ６Ｇ ， Ｍ ， ６ 模 型 ，１ 为顶 点 建立 欧 氏看 涨期 权 的二叉 树模 型 。Ａｌ ０ Ｊ１ ６利 用 链 式 法 则 在 Ｊ ５处 键 入 公 式 “ Ａ￥ １ ｆＡ １ ￥ １ 半￥ 键 入 １ ０． １键 入 股价 ． ０ Ｂ Ｂ列 键 人 为解 释 Ａ列 数 值 代 ￥ ３ Ｉ６ ￥ ￥ ２： ６ ，复 制此 公式 到 欧氏看 涨期权 的 ｌ １＋ Ａ ｌ ： １ ｌ Ｋｌ 表 的意 义 ， 以下 同理 。 ２单元 格键 入 １ ５ Ｂ Ａ ０ ， ２键入 执 行 所 有节 点 。 算 出欧 氏看涨 期权 的二叉 树 。 该表单 建 计 价 格 ， ３单 元 格 键 入 ５ Ｂ Ａ ，３键 入期 数 ， ７键 入 ０９ Ｂ 立 后 只需 改 变参 数 值 ｕｄｒ 股票 的二 叉 树 和欧 氏看 Ａ ．． ７ ，．则 键 人 ｄ值 ， Ａ８键 入 １１Ｂ ．，８键 入 Ｕ值 ， １键 入 ０９ ， 涨 期权 二叉树 都会 生成 新 的二 叉树 ．可以作 为计算 欧 Ａ１ ．５
２１ ０ １年第 ｌ ０期
福 建 电
脑
１９ ６
Ｅ ｃｌ ｘｅ计算 欧式看涨期权 的价格二叉树
鲍 世 杰
（ 水 学 院 数 学与计 算机 学 院 河北 衡 水 ０ ３ ０ 衡 ５ ０ ０）
【 摘
要 】 欧式看涨期权是基 于标的股 票的衍 生证券 ，可以利用股票的二叉树模型通过链锁法求解欧式 ：
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竞 争压力 会 较大 ． 然后 依据 长尾 效 应 ． 以 围绕 所选 择 是 希望 搜索 引擎在 检索 结果 中展示 的摘要 信息 ：网页 可 的 核心关 键 词来 进行 扩展 生成 更 多 的关 键 词 网页 中 描 述 内容与 网页标 题 内容有 高度 相关 性 ：网页描述 内 放 置 关 键 词 的 地 方 包 括 ：ｉｅ标 题 、 ｔ Ｔｔ ｌ Ｍｅａ标 签 、 ｅ 容 与 网页主体 内容 有高 度相关 性 。 Ｄ． ｓｆ ｔ ｎ Ｈ Ａ 网 页正 文 、 Ｌ ｃ ｐｉ 、 Ｅ Ｄ、 ｉ ｏ Ａ Ｔ标 签 等 等 关 键 词 密
密 度和 关键 词 的分布 情 况。 先 ． 键词 的选 择应 该站 文标 点 符号 ）隔开 。ＭＥ Ａ标 签 中网 页描 述 （ｅｃｉ— 首 关 Ｔ ｄ ｓｒ ｐ 在 浏览 者 的角度 来思 考 。 而不 是 站在 网站 的角 度 思考 ： ｔ ｎ 的设 计 要 点为 ： 页描 述 为 自然 语 言而 不是 罗列 ｉ ） ０ 网 其 次 ． 定 网站 的核心 关键 词 ． 心关键 词 可 以选 择 一 关 键 词 （ ｋ ｙ ｏｄ 设 计正 好 相 反 ） 尽 可 能准 确地 描 确 核 与 ｅｗ ｒｓ ；
看 涨期权 的初 始 价格 ， 文 主要 采 用 ｅ ｃｌ 过股 票 的二 叉树 计 算 欧式 看 涨期 权 的初始 价格 ． 本 ｘｅ通 并且 可 以把
其 中的参数 设 为 变量 ， 单建 立后 只 需修 改参 数值 就 可 以重新 计 算欧 式看 涨期 权 的价格 ， 表 因此 具有很 大的
Ｂ １键 人 ， ２键 人 ０７ ６ Ｂ１ １ ＡＩ ． ４， ２键 入 ｑ Ａ ３键 人 氏看涨期 权 的模版 表单 ５ 。１
ｆ 下转第 １７页１ ５
２ １ 年第 １ ０ １ Ｏ期
福 建 电
脑
１７ ５
索 词 ， 键词 优 化主要 体 现为 关键 词 的选 择 、 关 关键 词 的 现在 ｄ ｓｒ ｔ ｎ内容 中 ； 同的关 键 词之 间用 逗 号（ ｅｃｉ ｉ ｐｏ 不 英
实用性 。
【 关键 词 】 ：欧式 看涨期 权 ； 生证 券 ； 衍 二叉树
一
、
引言 ：
０ ４ ６ Ｂ ３键 入 １ ｑ ． ３ ．１ ２ －
随 着金 融 市 场 的不 断 发展衍 生 证券Ａｌ ， ＝ ”Ｉ ２中键 入 “Ｊ Ａ￥ ” 在 ＝ １￥ ７ ，
计算 欧 式看 涨期 权
二 、 票二 叉树 、 股 期权 二 叉树
【欧 氏看涨 期权 ： 购期权 ｆ ｌ是一 种合 约 。合约 ｚ ｌ 认 ｃｌ ａ１ 持有 者 有权利 却 无义 务在 规定 的 时间或 之 前按 指定 的
价格 买 入特定 数 量 的某 种标 的资 产
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