第十章应力状态分析强度理论-精品
应力状态与强度理论
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时的断裂破坏。
3、最大剪应力理论（第三强度理论）：
理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要 因素，只要最大剪应力τmax达到与材料性质 有关的某一极限值，材料就发生屈服。
单向拉伸下，当与轴线成45。的斜截面上的
τmax= s/2时
任意应力状态下
莫尔强度条件为：
1
Байду номын сангаас
t c
3
t
对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、 岩石和土体等，在以压为主的应力状态下， 该理论与试验结果符合的较好。
综合以上强度理论所建立的强度条件， 可以写出统一的形式： σr≤[σ]
σr称为相当应力
r1 1
r2 1 2 3
r3 1 3
r4
1 2
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。
2、最大伸长线应变理论(第二强度理论)：
理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。
拉断时伸长线应变的极限值为
断裂准则为：
1
1 E
1
2
11
b
E
3
1 2 3 b
第二强度理论的强度条件：
1 2 3
max
1 3
2
屈服准则： 1 3 s
2
2
1 3 s
第三强度理论建立的强度条件为：
1 3
在机械和钢结构设计中常用此理论。
4、形状改变比能理论(第四强度理论)：
第四强度理论认为： 形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。
单向拉伸时，
1
3E
s
2的形状改变比能。
材料力学应力状态分析强度理论
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。
材料力学：第10章：应力状态分析_强度理论
y
§10-3 平面应力状态主应力及最大剪应力
( x , x )
( y , y )
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。 单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
x 80MPa, x 60MPa, x y
y 40MPa = 30 x y
cos 2 x sin 2
2 2 102 MPa x y sin 2 x cos 2 2 22.0MPa
max x y 105 x y max x y x y 2 105 MPa 2 x 65 MPa 2 2 x min 2 2 min 65 1 105MPa, 2 0, 3 65MPa 1 105MPa, 2 0, 3 65MPa 2 x tan 2 0 2 x 1 tan 2 0 x y 1 max 105 x y 0 22.5 0 22.5 或112.5 0 22.5态的概念
P
P
m
m
P
A B C D E
A D
B E
C
• 主平面 ：剪应力为零的平面
• 主应力 ：主平面上的正应力 • 主方向 ：主平面的法线方向
• 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定
存在三个互相垂直的主平面。 • 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值 大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
第十章 应力状态,强度理论与组合变形1
2 2
s
2 3
2(s1s 2
s 2s 3
s 3s1 )]
(10 11)
用主应力表示的体积改变比能为：
uV
= 1 2
6E
(s1 s 2
s 3 )2
用主应力表示的形状改变比能为：
usd
=
u
uv
=
1
6E
s 1
s2 2
s 2
s3
2
s 3
s
1
2
(10-13)
14
强度理论
问题：
复杂应力状态下 的强度？
屈服判据 s1-s3= sys Tresca条件, 1864, 法
实验验证： 很好地预测了塑性材料屈服。
设计：
强度条件： s1-s3[s]=sys/n
19
10.2.2 延性材料的屈服强度理论
四、形状改变比能理论（第四强度理论）
？ ？ 思考： Tresca条件与s2无关
滑移改变形状 能量
假说： 延性材料屈服取决于其形状改变比能 ud。
1 2
(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] = s ys / n
21
强度理论汇总：
强度条件的一般形式： 工作应力许用应力
相当应力
破 s1 理论 坏
e1 理论
sr [s]
sr1 = s1 常用
脆性破坏 [s]=sb/n 塑性屈服 [s]=sys /n
5
注意到txy=tyx，解得：
sa=sxcos2a+s ysin2a-2t xy sinacosa t a=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)
应力分析和强度理论
应力分析和强度理论
应力分析是研究物体受力状态的一种方法，通过应力分析可以了解物体在受力时的应力分布情况、应力大小以及应力的变化规律，从而判断物体的强度和稳定性。
强度理论是根据材料的强度性能，通过分析受力物体的承载能力和失效形式来评估其使用性能。
应力分析的基本原理是基于力学的平衡原理和材料的本构关系，通过求解物体内部的应力分布来确定物体受力的情况。
在应力分析中，通常使用应力矢量、应力张量、应变张量等量来描述物体在各个方向上的受力情况。
根据受力情况的不同，可以将应力分析分为静力学分析、力学性能分析、疲劳分析等。
强度理论是根据材料的强度性能，通过对物体的受力状态和承载能力的分析来评估物体的使用性能。
常用的强度理论有极限强度理论、最大剪应力理论、最大正应力理论、能量理论等。
这些理论基于不同的假设和数学模型，对物体的失效形式和破坏条件进行研究，从而为工程设计提供参考依据。
在工程实践中，应力分析和强度理论常常结合使用。
首先，通过应力分析可以了解物体在各个方向上的应力分布情况，从而确定物体的受力状态。
其次，通过强度理论可以评估物体的承载能力和失效形式，从而选择合适的材料和结构设计方案。
最后，通过对应力分析和强度理论的不断优化和改进，可以提高物体的使用性能和结构的安全性。
总之，应力分析和强度理论是研究物体受力状态和评估物体使用性能的基本方法。
通过这两种方法的应用，可以了解物体受力的情况、评估物体的承载能力和失效形式，从而为工程设计提供科学的依据。
在未来的研
究中，应力分析和强度理论还有很大的发展空间，可以继续深入研究不同材料和工况下的应力分布和强度性能，为工程设计提供更加准确的参考。
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
应力分析和强度理论
要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。
清华出版社工程力学答案-第10章应力状态与强度理论及其工程应用
eBook工程力学习题详细解答教师用书(第10章)2011-10-1范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio习题10－1 习题10－2 习题10－3 习题10－4 习题10－5 习题10－6 习题10－7 习题10－8 习题10－9 习题10－10 习题10－11 习题10－12(a)(a1)x ′习题10－1a 解图工程力学习题详细解答之十第10章 应力状态与强度理论及其工程应用10－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。
试求：1．面内平行于木纹方向的剪应力； 2．垂直于木纹方向的正应力。
（a ）题 解：1．平行于木纹方向的剪应力：6.0))15(2cos(0))15(2sin(2)6.1(4=°−×⋅+°−×−−−=′′y x τMPa 2．垂直于木纹方向的正应力：84.30))15(2cos(2)6.1(42)6.1(4−=+°−×−−−+−+−=′x σMPa（b ）题 解：(a) 1.25 MPa(b)习题10－1图100 MPa60ºABCσxxyτ1．平行于木纹方向的剪应力：08.1))15(2cos(25.1−=°−×−=′′y x τMPa2．垂直于木纹方向的正应力：625.0))15(2sin()25.1(−=°−×−−=′x σMPa10－2 层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。
若已知胶层剪应力不得超过1MPa 。
试分析是否满足这一要求。
解：2(1)sin(2(60))0.5cos(2(60)) 1.552θτ−−=×−°+⋅×−°=−MPa || 1.55MPa 1θτ=>MPa ，不满足。
第十章 强度理论
2. 形状改变能密度理论 或称第四强度理论 形状改变能密度理论(或称第四强度理论 或称第四强度理论) 该理论假设： 是引起材料屈服的主要因素。 该理论假设：形状改变能密度νd是引起材料屈服的主要因素。即 不论材料处于何种应力状态， 不论材料处于何种应力状态，只要单元体中的形状改变能密度νd 材料就会发生屈服破坏， 达到了材料的极限形状改变能密度νdu，材料就会发生屈服破坏， 同样， 由单向拉伸试验测定。 同样，材料的极限形状改变能密度νdu由单向拉伸试验测定。 形状改变能密度： 形状改变能密度： P260（13-7）式 ）
σs
σ1 σ 3
2
σs
τu =
σs
2
按此理论， 按此理论，材料发生屈服破坏的条件是
τ max = τ u =
σs
2
又 Qτ max =
σ 1 σ 3＝σ s
强度条件： 强度条件：
σ 1－σ 3 ≤ [σ ]
（10-3） ）
注意：该理论只适用于拉、 注意：该理论只适用于拉、压屈服极限相同的塑性材料
1 (σ1 σ2 )2 + (σ2 σ3 )2 + (σ3 σ1)2 = 2
（10-8） ）
[σt ] σ σrM = σ1 3 [σc ]
2.各强度理论的适用范围（书192页） 各强度理论的适用范围（ 各强度理论的适用范围 页 在常温和静荷载的条件下，对于低碳钢等拉、 在常温和静荷载的条件下，对于低碳钢等拉、压屈服极限相同 的塑性材料，除了三向拉伸应力状态而外， 的塑性材料，除了三向拉伸应力状态而外，在其余的应力状态 下，其破坏形式均为塑性屈服，这时宜采用第四强度理论，也 其破坏形式均为塑性屈服，这时宜采用第四强度理论， 可以用第三强度理论。 可以用第三强度理论。 对于铸铁、石料等脆性材料，在二向以及三向拉伸应力状态下， 对于铸铁、石料等脆性材料，在二向以及三向拉伸应力状态下， 其破坏形式均为脆性断裂，宜采用第一强度理论； 其破坏形式均为脆性断裂，宜采用第一强度理论；在二向或三 向应力状态下而最大和最小主应力分别为拉应力和压应力时， 向应力状态下而最大和最小主应力分别为拉应力和压应力时， 可采用莫尔强度理论或者第二强度理论；在三向压缩应力状态 可采用莫尔强度理论或者第二强度理论； 下宜采用莫尔强度理论。 下宜采用莫尔强度理论。
应力状态及强度理论
应力张量是一个二阶对称张量， 包含六个独立的分量，可以用 来描述物体的应力状态。
主应力和应力张量可以通过计 算得到，它们是描述物体应力 状态的重要参数。
02
强度理论
第一强度理论
总结词
最大拉应力准则
详细描述
该理论认为材料达到破坏是由于最大拉应力达到极限值，不考虑剪切应力和压 力的影响。
第二强度理论
05
实际应用
航空航天领域
飞机结构强度分析
利用应力状态及强度理论，对飞 机各部件的受力状态进行详细分 析，确保飞机在各种工况下的结 构安全。
航天器材料选择
根据材料的应力-应变关系，选择 适合航天器发射和运行阶段的材 料，确保航天器的可靠性和寿命。
航空材料疲劳寿命
评估
通过应力状态及强度理论，评估 航空材料的疲劳寿命，预防因疲 劳引起的结构失效。
03
材料失效分析
弹性失效
总结词
材料在弹性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其弹性极限时 ，会发生弹性失效。这种失效通常表 现为突然断裂或大幅度变形，且材料 不具有恢复原状的能力。
塑性失效
总结词
材料在塑性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其屈服点后，会发生塑性失效。这种 失效表现为材料发生较大的塑性变形，无法保持其原始形状 和尺寸。
土木工程领域
桥梁承载能力分析
通过对桥梁的应力分布和承载能力的分析，确保桥梁在设计寿命 内的安全性和稳定性。
建筑结构抗震设计
利用强度理论，对建筑结构进行抗震设计，提高建筑物的抗震能 力，减少地震灾害的影响。
岩土工程稳定性分析
通过对岩土工程的应力状态和强度理论的分析，评估岩土工程的 稳定性和安全性。
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
第10章应力状态概述
sx 三个互相垂直的主平面.
主应力：
sz
主平面上的正应力。
z
x 主应力排列规定：按代数值大小，
s2
s 1s 2 s 3
s1 主应力单元体：
由主平面构成的单元体。
s3
六.应力状态的分类: 三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。
s1 17°
x
(e)
解析法：
s max s min
1 2
(s
x
s
y)
1 2
(s x
s y )2
4t
2 x
46.1MPa
26.1MPa
0
1 tg 1 2t x 2 sx sy
16.85o
s 1 46.1MPa, s 2 29MPa, s 3 26.1MPa
t max
s1
s3
2
36.1MPa
t
(c)
s 2 20MPa s 3 26MPa
t
(d)
B
D2
D2
max t
OC
A
s
OC
A
s
D1
s3
s1
D1
s3
s2 s1
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。
最大剪应力对应于B点的纵坐标，即
tmax BC 36MPa
作用面与s2平行而与s1成45°角，如图e所示。
s3
tmax s2
s2
s1
t
s3
s2
s3
s1
s3
s2
s2
s1
s3
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x
y
2
cos 2 x sin 2
102MPa
x
y
2
sin 2 x cos 2
2 2.0 M P a
max x y
min
2
x
y
2
2
2 x
105
MPa
65
1 105MPa,
2 0,
3 65MPa
tan 2 0
2 x x
y
1
max
0 min
22.5x
212090即 1045
即 ： 最 大 和 最 小 剪 应 力 所 在 平 面 与
主 平 面 的 夹 角 为 45
二、图解法
x x 2 2y y x 2yc o s 2xs in 2 ( 1 )
x 2 ys in 2 xc o s 2
(2 )
(1)2(2)2,得
(xx0)2(yy0)2R 2
x 80 M Pa,
y 40M Pa
x 60 M Pa,
= 3 0
xx y2源自xy2co s 2 x
102 M Pa
x y
2
sin 2 x co s 2
2 2 .0 M P a
80M Pa, y 40M Pa
sin 2
x 60M Pa, = 30
x
y
x 2y 2 2 x 2y 22 x
x 2y 2 2 x 2y 22 x
应力圆 莫尔(Mohr)圆
圆
心
坐
标
为
x
y
，
0
2
半径为
x
2
y
2
2 x
下面根据已知单元体上的应力 σx、 σy 、τx画应
力圆 y
y
y x
(x , x )
x
x
x
x
y y
(y , y )
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力
平 面 ， 另 一 个 是 最 小 正 应 力 所 在 平 面
maxxy
min
2
x 2y22 x
用 完 全 相 x似 2的 y方 法 x可 2确 y定 co剪 s2应 力 的 x s极 in值 2
d d (x2x ysiy n)2c os2 x c os22xsin2
若 1时 ， 能 使dd0
2
x
x
y
1
0 22.5 或112.5
3 65MPa
max105
max x y
min
2
x
y
2
2
2 x
105
MPa
65
1 105MPa,
2 0,
3 65MPa
tan 2 0
2 x x
y
1
0 22.5 或112.5
022.5
min 65
max min
x
2y22x
y
y
n
x
y
x
x
x
x
y
y
(,)
2 (x,x)
(y , y )
§10-3 平面应力状态主应力及最大剪应力
(x , x )
(y , y )
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
第十章 应力状态分析 强度理论 §10-1 应力状态的概念
P
P
m
m
P
A
B C
D
E
A
B
C
D
E
• 主平面 ：剪应力为零的平面 • 主应力 ：主平面上的正应力 • 主方向 ：主平面的法线方向 • 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定
存在三个互相垂直的主平面。 • 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值
(x y ) c o s 2 1 2 x s in 2 1 0
tan21
x y 2x
1、 19 0 ,它 们 确 定 两 个 互 相 垂 直 的
平 面 ， 分 别 作 用 着 最 大 和 最 小 剪 应 力
max min
x
y2
2
2x
tan20
2x x y
tan21
x y 2x
tan21tan1 20ctg20
yx xy x x
y
y y x
x x
一、解析法
y
y y
n
x
x
xx x
y
y
n
x
x
Acos
A
y
Asin
y
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α：逆时针转动为正
x
y
2
x
y
2
cos2x
sin2
x
y
2
sin2x
cos2
和 都 x 2是 y 的 函 x数 2。 y利 co用 s2上 式 便 x s可 in确 2
定 d d 正 应 力 x和 2 2 剪 y 应 xsi 2 n力 2的 y极 sin x值 2 c os 2xcos2 若 x 2 0时 y ， si能 n2 使 0 dd xco 0s200
tan20
2x x y
0、 090,它 们 确 定 两 个 互 相 垂 直
的 平 面 ， 其 中 一 个 是 最 大 正 应 力 所 在
85MPa
(二)使用图解法求解
作应力圆，从应力圆上可量出：
102 M Pa
22 M Pa
m ax 1 0 5 M P a
m in 6 5 M P a
0 2 2 .5
m ax 8 5 M P a
例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析 低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
p p
pD 2t
pD 4t
pD 1 2t
pD 2 4t 30
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。
D2
p
N p 4
A Dt
pD
4t
1
2
pD 4t
3 0
m 圆杆受扭转和拉伸共同作用
P
P
m
N A
4P
d2
T 16m Wt d 3
§10-2 平面应力状态下的应力分析
y y
大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
• 单向应力状态：三个主应力中只有一个不等 于零
• 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应 力不等于零
• 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应 力皆不等于零
• 单向应力状态也称为简单应力状态 • 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承 受内力p作用
或 2 11y2 .5
x
1 105MPa,
2
0,
tan 2
0
2
x
x
y
1
0
22.5 或112.5
y
2
3
2
2 x
65MPa
105 MPa
65
max min
x y 2
x 2
y
2
2 x
105
MPa
65
1 105MPa,
2 0,
tan 2
0
解：
低碳钢
铸铁
max
min
(0,)
max , min , 0 45 1 , 2 0, 3 max
(0,)
§10-4 三向应力状态简介 主单元体：六个平面都是主平面
2
1 3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:
首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的 各斜截面上的应力。