三维图形几何变换

三维图形几何变换
2007-06-22 22:50:04| 分类：兴趣|举报|字号订阅
3.1.2三维图形几何变换
三维几何变换包括平移、旋转和变比。

三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。

下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。

并记变换前物体的坐标为x,y,z；变换后物体的坐标为x′，y′，z′。

一、平移
设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：
x′＝x＋T x
y′＝y＋T y
z′＝z＋T z
矩阵运算表达为：
［x′y′z′1］＝［x y z1］
简记为：T(Tx,Ty,Tz)
二、旋转
旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。

在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。

1绕z轴旋转的公式为：
x′＝xcosθ－ysinθ
y′＝xsinθ＋ycosθ
z′＝z
矩阵运算的表达为：
［x′y′z1］＝［x y z1］
简记为R z(θ)。

2绕x轴旋转的公式为：
x′＝x
y′＝ycosθ－zsinθ
z′＝ysinθ＋zcosθ
矩阵运算的表达为：
［x′y′z′1］＝［x y z1］简记为R x(θ)
2绕y轴旋转的公式为：
x′＝zsinθ＋xcosθ
y′＝y
z′＝zcosθ－xsinθ
矩阵的运算表达式为：
［x′y′z′1］＝［x y z1］简记为Ry(θ)。

如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。

首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。

然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。

最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。

这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。

设旋转所绕的任意轴为p1, p2两点所定义的矢量。

旋转角度为q(图3.6)。

这7个基本变换是：
1T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图3.6(b))；
2R x(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；
3R y(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));
4R z(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；
5R y(－β)，作3的逆变换；
6R x(－α)，作2的逆变换；
7T(x1,y1,z1)作1的逆变换。

图3.6 绕任意轴P1P2旋转的前四个步骤
1求R x(α)的参数：转角α是u在yoz平面的投影u′＝（o，b,c)与z轴的夹角(图37(a))，故有：
cosa＝，其中d＝
又因u′×u z＝u x｜u′｜｜u z｜sinα
其中u x是在x轴上的投影。

并且用行列式计算矢量积得：
u′×u z＝u x·b，故得：
sinα＝，得出R x(α)为：
R x(α)=
图3.7
2求R y(β)的参数(图3.7(b))：经过R x(α)变换，p2已落入xoz平面，但p2点与x轴的距离保持不变。

因此，p1p2现在的单位矢量u″的z方向分量之值即为u′之长度，等于d,β是u″与u z之夹角，故有：
cosβ=＝d
根据矢量积的定义，有：
u z｜u″｜｜u z｜sinβ＝u y〃(－a）
因为｜u″｜＝＝＝１，并｜u z｜＝１，所以：sinβ＝－a
因此得到R y（β)为：
Ry（β)＝
绕任意轴(x1y1z1)(x2y2z2)转动θ角的变换R(θ)为如下级联变换：
R(θ)＝Ｔ（－x1,－y1,－z1)〃R x(a)〃R y(β)〃R z(θ)〃
R y（－β）〃R x(－a)〃T(x1,y1,z1)
三、变比
设sx,sy,sz是物体在三个方向的比例变化量，则有公式：x′＝x〃sx，
y′＝y〃sy，
z′＝z〃sz，
矩阵运算的表达为
［x′y′z′1］＝［x y z］
简记为S(sx,sy,sz)。

相对于某个非原点参数点(xf,yf,zf)进行固定点变比变换，是通过如下级联变换实现的：
T(－xf,－yf,－zf)〃S(sx,sy,sz)〃T(xf,yf,zf)。