高考数学压轴题含答案
高考数学高考数学压轴题立体几何多选题分类精编及答案
高考数学高考数学压轴题立体几何多选题分类精编及答案一、立体几何多选题1. 如图，在直三棱柱ABC-A}B}C}中，AC = BC = AA i=2, ZACB = 90°, D, E, F分别为AC, AB的中点.则下列结论正确的是（）B. B、CJ /平而DEFD.点d到平面DFF的距离为比C. EF与4G所成的角为90。
2【答案】BCD【分析】利用异而直线的位這关系，线而平行的判泄方法，利用空间直角坐标系异而直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断.【详解】对选项A,由图知4C|U平而ACC.A. , EFD平面ACQA^E,且E AC r由异面直线的建义可知AC】与EF异面，故A错误: 对于选项B,在直三棱柱ABC — AQG中，BG HBC.•.•D，F分别是AC, AB的中点，• •FDIIBC, ：・B\C\ IIFD.又••• BQ] (Z 平面DEF, DF u 平而DEF, ・・BG //平而DEF.故B正确:对于选项C,由题意，建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0, 0), A(2,0t 0), 5(0,2, 0),人(2,0, 2),坊(0,2, 2), C 】(0,0, 2),D(l,o, 0), E(2,0, 1), F(1,1, 0)..\EF = (-1,1, T), AC ；=(—2,0, 2).•.•EFAC ； = 2+0—2 = 0, :.EF 丄 AC ；, 丄 A©.•.•EF 与AC ；所成的角为90。
，故c 正确：对于选项D,设向量匝= (x,y, Z)是平而DEF 的一个法向疑.・••万E = (ho ・ 1) , DF = (0,l, 0),取 X = 1 ♦则 z=—1 ‘ ・••帀=(h 0, —1),设点耳到平而DEF 的距离为d ・二点d 到平而DEF 的距离为空，故D 正确.2故选：BCD【点睛】本题主要考查异而直线的位置关系，线而平行的判定，异而直线所成角以及点到而的距 离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题.2. 已知球O 为正方体ABCD-AgD 、的内切球，平而A {C }B 截球O 的而积为24兀, 下列命题中正确的有（）A. 异而直线AC 与所成的角为60。
高考数学选择填空压轴题45道(附答案)
,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的 最大值为（ ）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考
高考数学试卷压轴题及答案
一、（20分）已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求以下各题：（1）求函数$f(x)$的极值；（2）求函数$f(x)$在区间$[-2, 2]$上的最大值和最小值。
答案：（1）首先，求函数$f(x)$的导数$f'(x)$：$$f'(x) = 3x^2 - 3$$令$f'(x) = 0$，解得$x = -1$和$x = 1$。
接下来，判断这两个极值点处的极值。
当$x < -1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；当$-1 < x < 1$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。
因此，$x = -1$是函数$f(x)$的极大值点，$x = 1$是函数$f(x)$的极小值点。
计算极大值和极小值：$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3$$$$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$$所以，函数$f(x)$的极大值为3，极小值为-1。
（2）求函数$f(x)$在区间$[-2, 2]$上的最大值和最小值。
首先，计算区间端点处的函数值：$$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = 13$$$$f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = -1$$然后，比较区间端点处的函数值和极值点的函数值。
在区间$[-2, 2]$上，函数$f(x)$的最大值为13，最小值为-1。
综上，本题的答案为：（1）函数$f(x)$的极大值为3，极小值为-1；（2）函数$f(x)$在区间$[-2, 2]$上的最大值为13，最小值为-1。
高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)
决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。
2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案
2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。
高考数学压轴题(详细解析)
已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点的横坐标为.）若数列的通项公式为, 求数列的前项和；）设数列满足:，设，）中的满足对任意不小于, 恒成立已知函数．）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；）当时，试比较与的大小；）求证：（）．设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：．已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．列满足，为数列的前）求、和；）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若（本小题满分分）已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．分）已知圆的圆心为，半径为，：和直线的如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点, 的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点）写出抛物线的标准方程；）若，求直线的方程；）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴已知函数（为自然对数的底数）．）求的最小值；）不等式的解集为，若且求实数的取值范围；）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于列，使得？若存在，请求出数列的通项公已知函数当时，求函数的最值；求函数的单调区间；试说明是否存在实数使的图象与无公共点对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数例如：.平面内，若满足，则的取值范围已知二次函数的导函数为，与轴恰有一个交点，则的最小值为对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N为的阶差分数列，其中．（Ⅰ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列，若数列是等差数列，使得对一切正整数N都成立，求；在（Ⅱ）的条件下，令设若成立，求最小正整数的值．如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．设函数，其中为常数．）当时，判断函数在定义域上的单调性；）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；的正整数，不等式都成立已知函数）、若函数在处的切线方程为，求的值；）、若函数在为增函数，求的取值范围；）、讨论方程解的个数，并说明理由。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
【压轴题】高考数学试卷带答案
【压轴题】高考数学试卷带答案一、选择题1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14- B ．14 C ．23- D ．23 2．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2） 3．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．194．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．245．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元7．在ABC 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-9．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5 10．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A ．1B ．﹣2C ．6D ．2 11．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C 3D 212．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A 3B ．2C 6D 5二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．15．复数()1i i +的实部为 ．16．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____. 17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．三、解答题21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离. 22．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.23．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.24．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程．（2）当60ABC ∠=︒时，求菱形ABCD 面积的最大值．26．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A. 2．A解析：A【解析】 利用数轴，取,P Q 所有元素，得PQ =(1,2)-． 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 3．D解析：D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D 4．D解析：D【解析】【分析】 根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,22a ba b a b ⋅∴<>===本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.5．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方∴可以排除B 答案考点：函数图像．6．D解析：D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．7．A解析：A【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.8．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵()()m n m n +⊥-，∴()()0m n m n +⋅-=. ∴，即22(1)1[(2)4]0λλ++-++=， ∴3λ=-,，故选B.【考点定位】向量的坐标运算9．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．10．C解析：C【解析】试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可．解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素，当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，故选C ．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．11．B解析：B【解析】【分析】【详解】M N ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B12．D解析：D【解析】 由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±． 直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点．当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．二、填空题13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】 试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2【解析】【详解】当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点；当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点，所以共有2个零点．故答案为：2．【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数15．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.16．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使 解析：34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。
高考数学压轴题精选100题汇总(含答案)
7. 已知动圆过定点 P（1，0），且与定直线 L:x=-1 相切，点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方 程； (2)设过点 P,且斜率为 3 的直线与曲线 M 相交于 A, B 两点. （i）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由 （ii）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围.
1
1
n 1 1
（Ⅱ）已知各项不为零的数列an 满足 4Sn f ( ) 1 ，求证： ln
；
an
an1
n
an
（Ⅲ）设 bn 1 ， Tn 为数列bn 的前 n 项和，求证： T2008 1 ln 2008 T2007 ．
ba b a
2
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c），（c 为半焦距），求直线 AB 的斜率 k 的值；
（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
5．已知数列{an}中各项为： 12、1122、111222、……、111 22 2 ……
n
T 2n 1 ．
n
3
26. 对于函数 f (x) ，若存在 x0 R ，使 f (x0 ) x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数
f (x) x2 a (b, c N*) 有且仅有两个不动点 0 、 2 ，且 f (2) 1 ．
bx c
2
（Ⅰ）试求函数 f (x) 的单调区间；
a2 a3
an1 3
14．已知函数gx a2 x3 a x 2 cxa 0,
32
（I）当a 1 时，若函数 gx在区间1,1上是增函数，求实数c的取值范围；
高考数学专题《与函数的对称性相关的零点问题》填选压轴题及答案
【答案与提示】
1.【答案】（0，e）
【提示】分离函数，问题即为x>0时，h(x)=lnx与g(x)=ax的图象恰有2个交点，利用导数求出当a=e时，相切为临界值.
2.【答案】
【提示】同例4，利用f(x)=0，求得 ，而当 时，不满足题意，应舍去.
3.【答案】m=2
【提示】发现f(x)是偶函数，故得到f(0)=0，立得m=2或m=－4，难点在于对m=－4的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x＞0时，函数恒增或恒减即可.
将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．
当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a＝－3时，原方程为x2－6log2(x2＋2)＋6＝0，即x2＋6＝6log2(x2＋2)．通过研究函数y＝4＋t和y＝6log2t可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去．
4.【答案】{0,1,2,4}
【提示】见例3.
5.【答案】B
【提示】根据对称性易得答案.
6.【答案】B
【分析】该题设计抽象函数 关于点 成中心对称，函数 由奇函数 向上平移一个单位得到，也关于点 成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点 成中心对称， ，考虑倒序相加法，可得 ， ，故 .
7.【答案】2020
又 是最小正周期为2，最大值为 的正弦函数，
可得函数 与函数 的大致图象如下图：
要使函数 与函数 只有唯一一个交点，则 （1） （1），
数学高考压轴题含答案
数学高考压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．3．已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．6．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．7．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）参考答案：1．(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.(2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．(1)1-；(2)9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d =，故PAQ △的面积为11623⨯=3．(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.(3)取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有<整理得到：()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b ，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.5．(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =(2)解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.6．(1)11；(2)5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =⋅+，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．7．(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。
高考数学选填压轴题练习与答案
一.单选题1.(2023·河北张家口·统考二模)已知函数f x =2ln x +1 +x -m ，若曲线y =cos x 上存在点x 0,y 0 使得f f y 0 =y 0，则实数m 的取值范围是()A.-∞,ln2B.-1,ln2C.-∞,2ln2D.0,2ln22.(2023·河北·校联考二模)若a =1.1ln1.1,b =0.1e 0.1,c =19，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.a <c <b3.(2023·山东聊城·统考二模)已知函数f x =12ex 2-a x(a >0且a ≠1)有一个极大值点x 1和一个极小值点x 2，且x 1<x 2，则a 的取值范围为()A.0,1eB.1e ,1C.1,eD.e ,+∞4.(2023·湖北·统考二模)已知动直线l 的方程为1-a 2 x +2ay -3a 2-3=0，a ∈R ，P 3,1 ，O 为坐标原点，过点O 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 长度的取值范围为()A.0,5B.1,5C.5,+∞D.0,35.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥AB ，PA =2，AB =2BC =2，二面角P -AB -C 的大小为3π4．若三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，则当三棱锥P -ABC 的体积最大时，球O 的体积为()A.32π B.6π C.82π3D.7143π6.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)设a =2e ，b =2ln2，c =e 24-ln4则()A.c <a <bB.b <c <aC.c <b <aD.b <a <c7.(2023·广东广州·统考二模)已知偶函数f x 与其导函数f x 的定义域均为R ，且f x +e -x +x 也是偶函数，若f 2a -1 <f a +1 ，则实数a 的取值范围是()A.-∞,2B.0,2C.2,+∞D.-∞,0 ∪2,+∞8.(2023·广东深圳·统考二模)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1.若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P ⋅F 1F 2 =12a 2，则C 的离心率为()A.13B.23C.12D.259.(2023·广东佛山·统考二模)已知函数f x =sin 2x +φ φ <π2 ，若存在x 1，x 2，x 3∈0,3π2 ，且x 3-x 2=2x 2-x 1 =4x 1，使f x 1 =f x 2 =f x3 >0，则φ的值为()高考数学选填压轴题练习与答案A.-π6B.π6C.-π3D.π310.(2023·广东茂名·统考二模)黎曼函数R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R x 在0,1 上的定义为：当x =qp(p >q ，且p ，q 为互质的正整数)时，R x =1p；当x =0或x =1或x 为0,1 内的无理数时，R x =0，则下列说法错误的是()A.R x 在0,1 上的最大值为12B.若a ,b ∈0,1 ，则R a ⋅b ≥R a ⋅R bC.存在大于1的实数m ，使方程R x =mm +1x ∈0,1 有实数根D.∀x ∈0,1 ，R 1-x =R x11.(2023·广东湛江·统考二模)对于两个函数h t =e t -1t >12与g t =ln 2t -1 +2t >12 ，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t 1，t 2，则t 2-t 1的最小值为()A.-1B.-ln2C.1-ln3D.1-2ln212.(2023·广东湛江·统考二模)当x ，y ∈0,+∞ 时，4x 4+17x 2y +4y 2x 4+2x 2y +y2<m4恒成立，则m 的取值范围是()A.25,+∞B.26,+∞C.994,+∞D.27,+∞13.(2023·河北·校联考二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.210514.(2023·江苏常州·校考二模)已知a =sin13，b =32π，c =π9-2-36，则()A.a >b >c B.c >a >bC.a >c >bD.c >b >a15.(2023·江苏常州·校考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，离心率为e ，直线y =kx (k ≠0)分别与C 的左､右两支交于点M ，N .若△MF 1N 的面积为3，∠MF 1N =60°，则e 2+3a 2的最小值为()A.2B.3C.6D.716.(2023·湖北·统考二模)已知函数f x 及其导函数f x 定义域均为R ，满足f 32+x-f 32-x =2x ，记g (x )=f (x )，其导函数为g x 且g 3-x 的图象关于原点对称，则g 9 +g 92 =()A.0B.3C.4D.117.(2023·湖南怀化·统考二模)已知球O 的半径为30，球面上有不共面的四个点A ,B ,C ,D ，且AB =214，则四面体ABCD 体积的最大值是()A.146B.9863C.986D.9821318.(2023·广东深圳·统考二模)已知ε>0，x ,y ∈-π4,π4，且e x +εsin y =e ysin x ，则下列关系式恒成立的为()A.cos x ≤cos yB.cos x ≥cos yC.sin x ≤sin yD.sin x ≥sin y19.(2023·广东茂名·统考二模)已知函数f x =2sin x cos x +4cos 2x -1，若实数a 、b 、c 使得af x -bf x +c=3对任意的实数x 恒成立，则2a +b -cos c 的值为()A.12B.32C.2D.52二.多选题1.(2023·江苏常州·校考二模)如图，已知抛物线y 2=4x ，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆x -1 2+y 2=1于A ,C ,D ,B 四点，则()A.AC ⋅BD ≥2B.OF ⋅AB ≥4C.OA ⋅OB ≥5D.AB ⋅AF ≥82.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)在平面直角坐标系中，定义d (P ,Q )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是()A.若点C 在线段AB 上，则有d (A ,C )+d (C ,B )=d (A ,B )B.若A 、B 、C 是三角形的三个顶点，则有d (A ,C )+d (C ,B )>d (A ,B )C.若O 为坐标原点，点B 在直线x +y -22=0上，则d (0,B )的最小值为2D.若O 为坐标原点，点P 满足d (O ,P )=1，则P 所形成图形的面积为23.(2023·河北·校联考二模)函数f x 与g x 的定义域为R ，且f x g x +2 =4,f (x )g -x =4.若f x 的图像关于点0,2 对称.则()A.f x 的图像关于直线x =-1对称B.2024i =1f k =2048C.g x 的一个周期为4D.g x 的图像关于点0,2 对称4.(2023·江苏常州·校考二模)已知定义域为R 的函数f x ，g x 的最小正周期均为2π，且f x +g x +π =cos x ，g x -f x +π =sin x ，则()A.f 0 =g 0B.f π2+x=g π2-x C.函数y =f x -g x 是偶函数D.函数y =f x g x 的最大值是245.(2023·山东聊城·统考二模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F ，G 分别是线段BC 1，CD 1，A 1B 1的中点，则()A.DE ⊥BGB.AF ∥平面BC 1GC.直线AB 与平面BC 1G 所成的角的余弦值为33D.过点F 且与直线DE 垂直的平面α，截该正方体所得截面的周长为35+26.(2023·湖北·统考二模)已知在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过棱BC ，CD 的中点E ，F 作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有()A.截面多边形可能是五边形B.若截面与直线AC 1垂直，则该截而多边形为正六边形C.若截面过AB 1的中点，则该截面不可能与直线A 1C 平行D.若截面过点A 1，则该截面多边形的面积为71767.(2023·湖南怀化·统考二模)数列a n 满足a 1=12，a n -a n +1-2a n a n +1=0n ∈N * ，数列b n 的前n 项和为S n ，且b n -1=23S n n ∈N * ，则下列正确的是()A.12023∈a n B.数列1a n -b n 的前n 项和C n =n 2+n -3n +12+32C.数列a n a n +1 的前n 项和T n <14D.b 1a 1+b 2a 2+⋯+b 10a 10=19×3112+328.(2023·广东深圳·统考二模)如图，在矩形AEFC 中，AE =23，EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC将△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC ，则()A.三棱锥P -ABC 的体积为423B.直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为36C.直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为13D.三棱锥P -ABC 外接球的半径为2229.(2023·广东深圳·统考二模)设抛物线C ：y =x 2的焦点为F ，过抛物线C 上不同的两点A ，B 分别作C 的切线，两条切线的交点为P ，AB 的中点为Q ，则()A.PQ ⊥x 轴B.PF ⊥ABC.∠PFA =∠PFBD.AF +BF =2PF10.(2023·广东佛山·统考二模)如图拋物线Γ1的顶点为A ，焦点为F ，准线为l 1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B ，焦点也为F ，准线为l 2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 作直线与两准线垂直，垂足分别为M 、N 、S 、T ，过F 的直线与封闭曲线APBQ 交于C 、D 两点，则()A.AB =5B.四边形MNST 的面积为100C.FS ⋅FT =0D.CD 的取值范围为5,25311.(2023·广东茂名·统考二模)已知f x =-x 2+2x +1,x <0x e x,x ≥0，若关于x 的方程4ef 2x -af x +1e =0恰好有6个不同的实数解，则a 的取值可以是()A.174B.194C.214D.23412.(2023·广东茂名·统考二模)如图所示，有一个棱长为4的正四面体P -ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是()A.若E 是CD 的中点，则直线AE 与PB 所成角为π2B.△ABE 的周长最小值为4+34C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为63D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为6-213.(2023·广东湛江·统考二模)已知双曲线C :y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 的上焦点为F ，过焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，并与另一条渐近线交于点B ，若FB =4AF ，则C 的离心率可能为()A.263B.153C.2105 D.25 314.(2023·河北张家口·统考二模)设函数y=f x 在区间I上有定义，若∀ε>0,∃δ>0，使得对于在区间I上的任意x1,x2，当x1-x2<δ时，恒有f x1-f x2<ε，则称函数y=f x 在区间I上一致连续.也就是说，若函数f x 在区间I上一致连续，对于区间I内任意x1,x2，只要x1,x2充分接近，那么f x1与f x2也能够充分接近，则下列结论正确的是()A.函数f x =x2在区间0,+∞上一致连续B.函数f x =x在区间1,+∞上一致连续C.函数f x =sin x在区间-∞,+∞上一致连续D.函数f x =1x在区间0,+∞上一致连续15.(2023·河北张家口·统考二模)已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为下底面ABCD上的动点，则()A.当P在对角线BD上运动时，三棱锥A-PB1D1的体积为定值B.当P在对角线BD上运动时，异面直线D1P与B1C所成角可以取到π3C.当P在对角线BD上运动时，直线D1P与平面A1BD所成角可以取到π3D.若点P到棱AA1的距离是到平面BCC1B1的距离的两倍，则点P的轨迹为椭圆的一部分16.(2023·河北·校联考二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得MN⎳平面A1BC1，则()A.三棱锥N-A1BC1的体积为定值23B.当MN最大时，MN与BC所成的角为π3C.正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等D.若DN=2，则点N的轨迹长度为2π17.(2023·山东聊城·统考二模)设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆x-52+y2=r2r>0相切于点M(x0,y0)，且M为AB的中点．()A.当y0=1时，AB的斜率为2B.当y0=2时，AB=8C.当r=5时，符合条件的直线l有两条D.当r=3时，符合条件的直线l有四条18.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)已知函数f(x)=e x-x，g(x)=x-ln x，则下列说法正确的是()A.f(ln x)在(1,+∞)上是增函数B.∀x >1，不等式f (ax )≥f ln x 2 恒成立，则正实数a 的最小值为2eC.若g x =t 有两个零点x 1，x 2，则x 1+x 2<2D.若f x 1 =g x 2 =t (t >2)，且x 2>x 1>0，则ln t x 2-x 1的最大值为1e19.(2023·湖南怀化·统考二模)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上有极大值，无极小值20.(2023·广东广州·统考二模)已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点M ，N 分别为△ABC 和△ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是()A.若AP +BP 取得最小值，则CP =PNB.若CP =3PN ，则DP ⊥平面ABCC.若DP ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为27π2D.直线MN 到平面ACD 的距离为26921.(2023·广东广州·统考二模)已知双曲线Γ:x 2-y 2=a 2a >0 的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，与双曲线Γ的渐近线交于点A 、D (A 、B 在第一象限，C 、D 在第四象限)，O 为坐标原点，则下列结论正确的是()A.若BC ⊥x 轴，则△BCF 1的周长为6aB.若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则BC ⎳EF 1C.△AOD 面积的最小值为4a 2D.AB +BF 1 的取值范围为3a ,+∞22.(2023·广东佛山·统考二模)已知函数f x =e x -12x 2-1，对于任意的实数a ，b ，下列结论一定成立的有()A.若a +b >0，则f a +f b >0B.若a +b >0，则f a -f -b >0C.若f a +f b >0，则a +b >0D.若f a +f b <0，则a +b <023.(2023·湖北·统考二模)已知抛物线x 2=2py p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且AF =3，点M 是抛物线上BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A ，B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的有()A.抛物线焦点F 的坐标为0,32B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为±32,34C.在△FMN 中，若t MN =MF ，t ∈R ，则t 的最小值为22D.若抛物线在点M 处的切线分别交BT ，AT 于H ，G 两点，则BH ⋅GA =HT ⋅TG三.填空题1.(2023·河北张家口·统考二模)已知抛物线y =x 2-ax -3a ∈R 与x 轴的交点分别为A ,B ,点C 的坐标为0,-3 ,若过A ,B ,C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D 0,b ,则b =.2.(2023·广东佛山·统考二模)有n 个编号分别为1，2，⋯，n 的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第n 个盒子中取到白球的概率是．3.(2023·江苏常州·校考二模)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年-325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l 表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c >0)，由F 1发出的光经椭圆两次反射后回到F 1经过的路程为8c ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：(1)椭圆C 的离心率为．(2)点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l ,F 2在l 上的射影H 在圆x 2+y 2=8上，则椭圆C 的方程为．4.(2023·河北张家口·统考二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点P 2a 2-b 2,0 作直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，若PM =32NM ,F 2M =2F 2N ，则椭圆C 的离心率为.5.(2023·广东广州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，定义d A ,B =x 1-x 2 +y 1-y 2 为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点之间的“折线距离”.已知点Q 1,0 ，动点P 满足d Q ,P =12，点M 是曲线y =1x 2上任意一点，则点P 的轨迹所围成图形的面积为，d P ,M 的最小值为6.(2023·山东聊城·统考二模)已知曲线C :x 2+xy +y 2=1，过点A (0,-2)的直线交曲线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积的取值范围为．7.(2023·湖南怀化·统考二模)已知实数a ，b ，满足e 2-a =a ，b ln b -1 =e 3，其中e 是自然对数的底数，则ab 的值为.8.(2023·湖南怀化·统考二模)如图，A ,F 分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点和右焦点，过A ,F 作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为A ,F ,O 为坐标原点，若S △OAA:S 梯形AAFF =3:2，则C 的离心率为.9.(2023·广东茂名·统考二模)修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C 且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足AC ⊥MN ，且AC 长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A 到小岛建三段栈道AB 、BD 与BE ，水面上的点B 在线段AC 上，且BD 、BE 均与圆C 相切，切点分别为D 、E ，其中栈道AB 、BD 、BE 和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN ，则需要修建的栈道总长度的最小值为百米.10.(2023·广东湛江·统考二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥底面ABCD ，E 为棱AB 上任意一点(不包括端点)，F 为棱PD 上任意一点(不包括端点)，且AE AB=DFDP ．已知AB =AP =1，BC =2，当三棱锥C -BEF 的体积取得最大值时，EF 与底面ABCD 所成角的正切值为．11.(2023·河北·校联考二模)已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x =f -x +4 ，f 2024 =1e2，若f x -f x >0，则不等式f x +2 >e x的解集为.12.(2023·湖北·统考二模)已知X 为包含v 个元素的集合(v ∈N *，v ≥3)．设A 为由X 的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得X 中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称X ,A 组成一个v 阶的Steiner 三元系．若X ,A 为一个7阶的Steiner 三元系，则集合A 中元素的个数为．13.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)已知抛物线y 2=2px (p >0)，圆x -p 22+y 2=1与y 轴相切，直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若AB=λCD ，λ∈[1,4]，则弦长AD 的取值范围为．14.(2023·广东深圳·统考二模)足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽AB =72码，球门宽EF =8码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA =AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA 、OB 两条进攻线路可供选择.若选择线路OA，则甲带球码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB，则甲带球码时，到达最佳射门位置.2023年新高考数学选填压轴题汇编(三十)一.单选题1(2023·河北张家口·统考二模)已知函数f x =2ln x +1 +x -m ，若曲线y =cos x 上存在点x 0,y 0 使得f f y 0 =y 0，则实数m 的取值范围是()A.-∞,ln2B.-1,ln2C.-∞,2ln2D.0,2ln2【答案】D【解析】由题意可得，函数f x 为增函数.若f y 0 >y 0，则f f y 0 >f y 0 >y 0；同理，若f y 0 <y 0，则f f y 0 <f y 0 <y 0，均与题设条件不符.由f f y 0 =y 0可得f y 0 =y 0，且y 0∈0,1 .因此，关于x 的方程2ln x +1 +x -m =x 在0,1 上有解，整理得2ln x +1 -x 2+x =m 在0,1 上有解.设g x =2ln x +1 -x 2+x ,x ∈0,1 ，则g x =2x +1-2x +1为0,1 上的减函数，注意到g 1 =0，故g x ≥0，从而函数g x 在0,1 上单调递增.所以，g x ∈g 0 ,g 1 = 0,2ln2 .因此，实数m 的取值范围是0,2ln2 .故选：D .2(2023·河北·校联考二模)若a =1.1ln1.1,b =0.1e 0.1,c =19，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.a <c <b【答案】A【解析】设f (x )=e x 1-x ,x ∈0,1 ，则f (x )=e x 1-x +e x -1 =-xe x <0恒成立，所以函数f (x )在0,1 上单调递减，则f 0.1 <f 0 =1，即e 0.1×0.9<1，所以e 0.1<10.9，于是有0.1e 0.1<0.10.9=19，即b <c ；设h (x )=(1+x )ln (1+x )-xe x ，h (x )=ln (1+x )+1-e x (x +1)，x =0时，h (0)=0，设s (x )=h (x )，则s (x )=1x +1-e x (x +2)，x ≥0时，s (x )<0，所以h(x )是减函数，所以h (x )≤0恒成立，所以h (x )在x >0时是减函数，并且h (0)=0，所以x =0.1时，(1+0.1)ln (1+0.1)-0.1e 0.1<0，所以a <b ．综上，a <b <c ．故选：A ．3(2023·山东聊城·统考二模)已知函数f x =12ex 2-a x(a >0且a ≠1)有一个极大值点x 1和一个极小值点x 2，且x 1<x 2，则a 的取值范围为()A.0,1eB.1e ,1C.1,eD.e ,+∞【答案】B【解析】由题意知，x∈(-∞,x1)时，f (x)>0，又f x =ex-a x ln a，当a>1时，x<0时，ex<0,-a x ln a<0，所以f (x)<0，矛盾，故0<a<1，由f x =ex-a x ln a=0有两不同实数根可知y=ex，y=a x ln a有两个不同交点，设过原点与y=a x ln a相切的直线为l，切点为(x0,a x0ln a)，因为y =ln2a⋅a x，所以k=ln2a⋅a x0=a x0ln a-0x0-0，解得x0=1ln a，即k=ln2a⋅a1ln a=e ln2a，如图，所以y=ex与y=a x ln a有两个不同交点则需e>e ln2a，解得1e<a<e，又0<a<1，所以1e<a<1，此时满足极大值点为x1，极小值点为x2，且x1<x2.故选：B4(2023·湖北·统考二模)已知动直线l的方程为1-a2x+2ay-3a2-3=0，a∈R，P3,1，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为()A.0,5B.1,5C.5,+∞D.0,3【答案】B【解析】由1-a2x+2ay-3a2-3=0可得1-a21+a2x+2a1+a2y-3=0，令a=tan θ2，由万能公式可得cosθ=cos2θ2-sin2θ2cos2θ2+sin2θ2=1-tan2θ21+tan2θ2=1-a21+a2，sinθ=2sinθ2cosθ2cos2θ2+sin2θ2=2tanθ21+tan2θ2=2a1+a2，所以直线l的方程为x cosθ+y sinθ-3=0①，由题意可知过原点与直线l垂直的直线方程为x sinθ-y cosθ=0②，①2+②2可得x2+y2=9，即表示点Q的轨迹为圆心为(0,0)半径为3的圆，于是线段PQ长度的取值范围为[r-PO,r+PO]，因为PO=2，所以线段PQ长度的取值范围为1,5，故选：B.5(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA=2，AB=2BC =2，二面角P-AB-C的大小为3π4．若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥P -ABC的体积最大时，球O的体积为()A.32πB.6πC.82π3 D.714 3π【答案】D【解析】设点P在平面ABC内的射影为H，连接AH，考虑到二面角P-AB-C的大小为3π4，则点H与点C在直线AB的两侧．因为PH⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PH⊥AB，又PA⊥AB，PA∩PH=P，PA,PH⊂平面PAH，所以AB⊥平面PAH，AH⊂平面PAH，所以∠PAH为二面角P-AB-C的平面角的补角，所以∠PAH=π4，又PA=2，所以PH=AH=1，从而三棱锥P-ABC的高为1．又△ABC的面积S=12AB⋅BC⋅sin∠ABC，所以当AB⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值为1，所以当AB⊥BC时，三棱锥P-ABC的体积最大，因此点C和点P在图中两全等长方体构成的大长方体的体对角线的顶点上．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．因为球O的球心O与△ABC的外接圆的圆心的连线垂直平面ABC，△ABC为AC为斜边的直角三角形，所以其外接圆的圆心为AC的中点，所以球O的球心O在底面ABC内的射影为线段AC的中点，于是设O12,1,z．又A(0,0,0)，P(-1,0,1)，由|OA|=|OP|，得12 2+12+z2=-322+(-1)2+(1-z)2，解得z=32，则球O的半径OA=142，所以球O的体积V=43πR3=4π3×1423=7143π．故选：D.6(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)设a =2e ，b =2ln2，c =e 24-ln4则()A.c <a <bB.b <c <aC.c <b <aD.b <a <c【答案】C 【解析】设f x =x ln x x >1 ，f x =ln x -1ln x2，所以f x 在区间1,e ,f x <0,f x 递减；在区间e ,+∞ ,f x >0,f x 递增.a =2e =e ln e=f e ，f 2 =b =2ln2=42ln2=4ln4=f 4 ，c =e 24-ln4=e 22lne 22=f e 22 ，由于1<e <2<e <e 22<4，所以f e >f 2 =f 4 >f e 22，即c <b <a .故选：C7(2023·广东广州·统考二模)已知偶函数f x 与其导函数f x 的定义域均为R ，且f x +e -x +x 也是偶函数，若f 2a -1 <f a +1 ，则实数a 的取值范围是()A.-∞,2B.0,2C.2,+∞D.-∞,0 ∪2,+∞【答案】B【解析】因为f x 为偶函数，则f x =f -x ，等式两边求导可得f x =-f -x ，①因为函数f x +e -x +x 为偶函数，则f x +e -x +x =f -x +e x -x ，②联立①②可得fx =e x -e -x 2-x ，令g x =f x ，则gx =e x +e -x 2-1≥e x ⋅e -x -1=0，且g x 不恒为零，所以，函数g x 在R 上为增函数，即函数f x 在R 上为增函数，故当x >0时，f x >f 0 =0，所以，函数f x 在0,+∞ 上为增函数，由f 2a -1 <f a +1 可得f 2a -1 <f a +1 ，所以，2a -1 <a +1 ，整理可得a 2-2a <0，解得0<a <2.故选：B .8(2023·广东深圳·统考二模)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1.若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P ⋅F 1F 2 =12a 2，则C 的离心率为()A.13B.23C.12D.25【答案】C 【解析】设∠PF 1F 2=θ，由已知可得，PF 1 =F 1F 2 =2c ，根据椭圆的定义有PF 2 =2a -PF 1 =2a -2c .又F 1P ⋅F 1F 2 =12a 2，所以4c 2cos θ=12a 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，PF 22=PF 1 2+F 1F 2 2-2PF 1 ⋅F 1F 2 cos θ，即2a -2c 2=8c 2-8c 2cos θ=8c 2-a 2，整理可得4c 2+8ac -5a 2=0，等式两边同时除以a 2可得，4e 2+8e -5=0，解得，e =12或e =-52(舍去)，所以e =12.故选：C .9(2023·广东佛山·统考二模)已知函数f x =sin 2x +φ φ <π2 ，若存在x 1，x 2，x 3∈0,3π2 ，且x 3-x 2=2x 2-x 1 =4x 1，使f x 1 =f x 2 =f x 3 >0，则φ的值为()A.-π6B.π6C.-π3D.π3【答案】A 【解析】令t =2x +φ，因为x 1，x 2，x 3∈0,3π2 ，所以t 1，t 2，t 3∈φ,3π+φ ，ϕ <π2，因为f x 1 =f x 2 =f x 3 >0，结合y =sin t 的图象(如图所示)，得到t 1+t 2=π，t 2+t 3=3π或t 1+t 2=3π，t 2+t 3=5π,因为x 3-x 2=2x 2-x 1 =4x 1，所以x 2=3x 1，x 3=7x 1，则8x 1+2φ=π20x 1+2φ=3π 解得φ=-π6，此时x 1=π6，x 2=π2，x 3=7π6，满足题意，或8x 1+2φ=3π20x 1+2φ=5π 解得φ=5π6，不符合题意舍去.故选：A .10(2023·广东茂名·统考二模)黎曼函数R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R x 在0,1 上的定义为：当x =qp(p >q ，且p ，q 为互质的正整数)时，R x =1p ；当x =0或x =1或x 为0,1 内的无理数时，R x =0，则下列说法错误的是()A.R x 在0,1 上的最大值为12B.若a ,b ∈0,1 ，则R a ⋅b ≥R a ⋅R bC.存在大于1的实数m ，使方程R x =mm +1x ∈0,1 有实数根D.∀x ∈0,1 ，R 1-x =R x【答案】C【解析】设A =x x =qp，(p >q ，且p ,q 为互质的正整数)，B ={x |x =0或x =1或x 时0,1 上的无理数}，对于A 中，由题意，R x 的值域为0,12,13,⋅⋅⋅,1p ,⋅⋅⋅ ，其中p 是大于等于2的正整数，所以A 正确；对于B 中，①若a ,b ∈0,1 ，设a =q p ，b =n m (p ,q 互质，m ,n 互质)，a ⋅b =q p ⋅n m ≥1p ⋅1m，则R a ⋅b ≥R a ⋅R b ；②若a ,b 有一个为0，则R a ⋅b ≥R a ⋅R b =0，所以B 正确；对于C 中：若n 为大于1的正数，则n n +1>12，而R x 的最大值为12，所以该方程不可能有实根，所以C 错误；对于D 中：x =0,1和0,1 内的无理数，则R x =0，R 1-x =0，R x =R 1-x ，若x 为0,1 内的有理数，设x =q p (p ,q 为正整数，qp为最简真分数)，则R x =R 1-x =1p，所以D 正确.故选：C .11(2023·广东湛江·统考二模)对于两个函数h t =e t -1t >12 与g t =ln 2t -1 +2t >12，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t 1，t 2，则t 2-t 1的最小值为()A.-1B.-ln2C.1-ln3D.1-2ln2【答案】B【解析】设h t 1 =g t 2 =m ，则t 1=1+ln m ，t 2=12e m -2+1，由t >12，得m >e -12，则t 2-t 1=12e m -2+1 -1+ln m =12e m -2-ln m -12，m >e -12，设函数f x =12e x -2-ln x -12，x >e -12，则fbc =12e x -2-1x ，f x 在e -12,+∞ 上为增函数，且f 2 =0，所以当e -12<x <2时，f x <0，f x 单调递减,当x >2时，f x >0,f x 单调递增.故f x min =f 2 =-ln2．故选:B .12(2023·广东湛江·统考二模)当x ，y ∈0,+∞ 时，4x 4+17x 2y +4y 2x 4+2x 2y +y 2<m4恒成立，则m 的取值范围是()A.25,+∞B.26,+∞C.994,+∞D.27,+∞【答案】A【解析】当x ，y ∈0,+∞ 时，4x 4+17x 2y +4y 2x 4+2x 2y +y 2=4x 2+y x 2+4yx 2+y2≤4x 2+y +x 2+4y22x 2+y2=254，当且仅当4x 2+y =x 2+4y ，即y =x 2时，等号成立，所以4x 4+17x 2y +4y 2x 4+2x 2y +y 2的最大值为254．所以m 4>254，即m >25．故选：A .13(2023·河北·校联考二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.2105【答案】D【解析】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，圆心为O0,0，半径为3c2，设PF1=n，PF2=m，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，则有n-m=2a，n2+m2=4c2，可得mn=2b2，过O作MN的垂线，垂足为D，O为F1F2的中点，则OD=12PF1=n2，MN=23c22-n2 2，同理，AB=23c22-m2 2，由AB⊥MN，四边形AMBN的面积为12AB⋅MN=12×23c22-m2 2×23c2 2-n2 2=9b2，481c416-m2+n249c24+m2n216=481c416-9c44+b44=81b4，化简得c2=83b2，则有a2=c2-b2=5 3b 2，则C的离心率e=ca=85=2105.故选：D14(2023·江苏常州·校考二模)已知a=sin13，b=32π，c=π9-2-36，则()A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a 【答案】B【解析】∵a=sin13<sinπ33=36，b=32π<36，c=π9-2-36=π9-13+36>36，∴c>a,c>b，对于函数f x =sin xx,x∈0,π2，f x =x cos x-sin xx2，令g x =x cos x-sin x，x∈0,π2，则g x =cos x-x sin x-cos x=-x sin x<0，∴g x 在0,π2上单调递减，∴g x <g0 =0，即f x <0，f x 在0,π2上单调递减，∴f1 >fπ3 ，即sin1>sinπ3π3，∴a=sin13>b=32π，∴c>a>b.故选：B.15(2023·江苏常州·校考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，离心率为e ，直线y =kx (k ≠0)分别与C 的左､右两支交于点M ，N .若△MF 1N 的面积为3，∠MF 1N =60°，则e 2+3a 2的最小值为()A.2B.3C.6D.7【答案】D【解析】连接NF 2,MF 2，有对称性可知：四边形MF 1NF 2为平行四边形，故NF 2 =MF 1 ,NF 1 =MF 2 ，∠F 1NF 2=120°，S △F 1NF 2=S △MF 1N =3，由面积公式得：12NF 1 ⋅NF 2 sin120°=3，解得：NF 1 ⋅NF 2 =4，由双曲线定义可知：F 1N -F 2N =2a ，在三角形F 1NF 2中，由余弦定理得：cos120°=F 1N 2+F 2N 2-4c 22F 1N ⋅F 2N =F 1N -F 2N 2+2F 1N ⋅F 2N -4c22F 1N ⋅F 2N=2F 1N ⋅F 2N -4b 22F 1N ⋅F 2N=-12，解得：F 1N ⋅F 2N =4b 23，所以4b 23=4，解得：b 2=3，故e 2+3a 2=1+3a2+3a 2≥1+23a 2⋅3a 2=7，当且仅当3a2=3a 2，即a 2=1时，等号成立.故选：D16(2023·湖北·统考二模)已知函数f x 及其导函数f x 定义域均为R ，满足f 32+x -f 32-x =2x ，记g (x )=f (x )，其导函数为g x 且g 3-x 的图象关于原点对称，则g 9 +g 92=()A.0B.3C.4D.1【答案】D【解析】由g 3-x 关于原点对称，则g (3-x )关于y 轴对称，且g 3-x =-g 3+x ，所以g (x )关于x =3对称，g (x )关于(3,0)对称，且g (3)=0，又f 32+x +f 32-x =2，即g 32+x +g 32-x =2，则g (x )关于32,1 对称，综上，g (6-x )=g (x )，g (3-x )+g (x )=2，则g (6-x )+g (3-x )=2，所以g 6-32+g 3-32 =g 92 +g 32 =2，而g 32 =1，故g 92 =1，又g (x )-g (3-x )=0，则g (x )关于x =32对称，即g (3-x )=g (x )，所以g x =-g x +3 ，则g 9 =-g 6 =g 3 =0，所以g 9 +g 92=1.故选：D 17(2023·湖南怀化·统考二模)已知球O 的半径为30，球面上有不共面的四个点A ,B ,C ,D ，且AB =214，则四面体ABCD 体积的最大值是()A.146B.9863C.986D.98213【答案】B 【解析】如图所示：取AB 的中点M ，则有OM =30-14=4，设点O 到直线CD 的距离为d 0，点M 到直线CD 的距离为d ，点A 、B 到平面MCD 的距离分别为h 1、h 2，则CD =230-d 20，d ≤d 0+4，则d 0∈(0,30)，所以S △MCD ≤230-d 20⋅(d 0+4)×12=(30-d 20)⋅(d 0+4)2，令f (x )=(30-x 2)(x +4)2，x ∈(0,30)，则f (x )=-4(x +5)(x +4)(x -3)，所以当x ∈(0,3)时，f (x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(3,30)时，f (x )<0，f (x )单调递减；所以当x =3时，f (x )max =f (3)=21×49，所以S △MCD ≤721，所以V ABCD =13S △MCD ⋅(h 1+h 2)≤13S △MCD ⋅AB ≤13×721×214=9863，当且仅当MC =MD =70，且AB ⊥平面MCD 时，取等号，即四面体ABCD 体积的最大值是9863.故选：B .18(2023·广东深圳·统考二模)已知ε>0，x ,y ∈-π4,π4，且e x +εsin y =e ysin x ，则下列关系式恒成立的为()A.cos x ≤cos yB.cos x ≥cos yC.sin x ≤sin yD.sin x ≥sin y【答案】A【解析】构造f x =sin x ex ，x ∈-π4,π4 ，则f x =cos x -sin xe x，当x ∈-π4,π4 时，cos x >sin x ，f x =cos x -sin xe x>0，所以f x =sin x e x 在-π4,π4 单调递增，因为0<e x ，0<e y，当sin x e x +ε=sin y e y >0，e ε>1时，则0<sin x <sin y ,所以sin x e x >sin y ey >0,所以π4>x >y >0y =cos x ，x ∈0,π4 单调递增，所以cos x <cos y ;当sin x e x +ε=sin y e y <0，e ε>1时sin x <sin y <0,所以sin x e x <sin y ey <0,所以-π4<x <y <0,y =cos x ,x ∈-π4,0 单调递减，所以cos x <cos y .故选：A19(2023·广东茂名·统考二模)已知函数f x =2sin x cos x +4cos 2x -1，若实数a 、b 、c 使得af x -bf x +c =3对任意的实数x 恒成立，则2a +b -cos c 的值为()A.12B.32C.2D.52【答案】B【解析】设f x =2sin x cos x +4cos 2x -1=sin2x +2cos2x +1=5sin 2x +φ +1，可得f x +c =5sin 2x +φ+2c +1，其中0<φ<π2，且tan φ=2，因为实数a ,b ,c 使得af x -bf x +c =3对任意的实数x 恒成立，即5a sin 2x +φ -5b sin 2x +φ+2c +a -b =3恒成立，即5a sin 2x +φ -5b sin 2x +φ+2c +a -b -3 =0恒成立，所以5a -b cos2c sin 2x +φ -5b sin2c cos 2x +φ +a -b -3 =0由上式对任意x ∈R 恒成立，故必有a -b cos2c =0⋯①b sin2c =0⋯②a -b -3=0⋯③，若b =0，则由式①知a =0，显然不满足式③，所以b ≠0，所以，由式②知sin2c =0，则cos2c =±1，当cos2c =1时，则式①，③矛盾.所以cos2c =-1，由式①，③知a =-b =32，所以2a +b -cos c =32.故选：B .二.多选题1(2023·江苏常州·校考二模)如图，已知抛物线y 2=4x ，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆x -1 2+y 2=1于A ,C ,D ,B 四点，则()A.AC⋅BD≥2 B.OF⋅AB≥4 C.OA⋅OB≥5 D.AB⋅AF≥8【答案】BC【解析】由题知，F(1,0)，设直线l为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2)，联立方程x=my+1 y2=4x，消去x得y2-4mx-4=0，所以y1+y2=4m,y1⋅y2=-4，由抛物线的定义知|AF|=x1+p2=x1+1,|BF|=x2+1，因为|AC|=|AF|-1,|BD|=|BF|-1，所以|AC|⋅|BD|=(|AF|-1)(|BF|-1)=x1x2=y214⋅y224=1，故A错误；又AB=x1+x2+2所以OF⋅AB=x1+x2+2=y214+y224+2=y1+y22-2y1y24+2=4m2+4≥4，故B正确；又OA⋅OB=x12+y12⋅x22+y22=x12+4x1⋅x22+4x2=x12x22+4x1x2(x1+x2+4)，由上述知x1x2=1,x1+x2≥2x1x2=2，当x1=x2=1时等号成立，所以OA⋅OB≥5，故C正确；又|AB|⋅|AF|=(x1+x2+2)(x1+1)=x21+x1x2+3x1+x2+2，由上述知x1x2=1，所以x2=1x1，所以|AB|⋅|AF|=x21+3x1+1x1+3，其中x1>0，令f(x)=x2+3x+1x+3，所以f (x)=2x+3-1x2=x+12(2x-1)x2，当x∈0,1 2时，f (x)<0,f(x)单调递减，当x∈12,+∞时，f (x)>0,f(x)单调递增，所以f (x )≥f 12=14+32+2+3=274，所以AB ⋅AF ≥274，故D 错误；故选：BC 2(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)在平面直角坐标系中，定义d (P ,Q )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是()A.若点C 在线段AB 上，则有d (A ,C )+d (C ,B )=d (A ,B )B.若A 、B 、C 是三角形的三个顶点，则有d (A ,C )+d (C ,B )>d (A ,B )C.若O 为坐标原点，点B 在直线x +y -22=0上，则d (0,B )的最小值为2D.若O 为坐标原点，点P 满足d (O ,P )=1，则P 所形成图形的面积为2【答案】AD【解析】A 选项：若点C 在线段AB 上，设点C x 0,y 0 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 0在x 1，x 2之间，y 0在y 1，y 2之间，则d (A ,C )+d (C ,B )=x 0-x 1 +y 0-y 1 +x 2-x 0 +y 2-y 0 =x 1-x 2 +y 1-y 2 =d (A ,B )，故A 正确；B 选项：在△ABC 中，d (A ,C )+d (C ,B )=x 0-x 1 +y 0-y 1 +x 2-x 0 +y 2-y 0 ≥x 1-x 2 +y 1-y 2 =d (A ,B )，故B 错误；C 选项：设B x ,y ，则d (0,B )=x +y =x +22-x ≥22，即d (0,B )的最小值为22，C 选项错误；D 选项：由d (O ,P )=x +y =1，则点P 的轨迹如图所示，面积为12×2×2=2，D 选项正确.故选：AD .3(2023·河北·校联考二模)函数f x 与g x 的定义域为R ，且f x g x +2 =4,f (x )g -x =4.若f x 的图像关于点0,2 对称.则()A.f x 的图像关于直线x =-1对称B.2024i =1f k =2048C.g x 的一个周期为4D.g x 的图像关于点0,2 对称【答案】AC【解析】A 选项：由f x g -x =4，得f -x -2 g x +2 =4，又f x g x +2 =4，所以f -x -2 =f x ,f x 的图像关于x =-1对称，A 选项正确；B 选项：由f x 的图像关于点0,2 对称，得f -x +f x =4，由A 选项结论知f x -2 =f -x ，所以f x -2 +f x =4，从而f x -4 +f x -2 =4，故f x =f x -4 ，即f x 的一个周期为4，因为f 0 =2,f 1 +f 3 =f 1 +f -1 =4,f 2 =4-f -2 =4-f 0 =2，所以2024k =1f (k )=506[f (0)+f (1)+f (2)+f (3)]=4048,B 选项错误；C 选项：由f x =f x +4 ，及f x g -x =4，则f x +4 g -x -4 =4，得g -x =g -x -4 ，函数g x 的周期为4,C 选项正确；D 选项：取f x =sin π2x +2,g -x =4sin π2x +2，又g -1 +g 1 =163，与g x 的图像关于点0,2 对称矛盾，D 选项错误，故选：AC .4(2023·江苏常州·校考二模)已知定义域为R 的函数f x ，g x 的最小正周期均为2π，且f x +g x +π =cos x ，g x -f x +π =sin x ，则()A.f 0 =g 0B.f π2+x=g π2-x C.函数y =f x -g x 是偶函数D.函数y =f x g x 的最大值是24【答案】BC【解析】因为f x ，g x 的最小正周期均为2π，f x +g x +π =cos x ，则f x +π +g x +2π =cos x +π ，即f x +π +g x =-cos x ，又g x -f x +π =sin x ，故可得：g x =sin x -cos x 2，g x +π =sin x +π -cos x +π 2=-sin x +cos x2，则f x =cos x -g x +π =cos x -(-sin x +cos x )2=sin x +cos x2；综上所述，f x =sin x +cos x 2, g x =sin x -cos x2；对A ：f 0 =12,g 0 =-12，故A 错误；对B ：f π2+x =sin π2+x +cos π2+x 2=-sin x +cos x 2，g π2-x =sin π2-x -cos π2-x 2=cos x -sin x 2，显然f π2+x =g π2-x ，故B 正确；对C ：f x -g x =sin x +cos x 2-sin x -cos x2=cos x ，又y =cos x 为偶函数，故函数y =f x -g x 是偶函数，C 正确；对D ：y =f x g x =sin x -cos x sin x +cos x 4=-cos2x 4=-14cos2x ，又y =-14cos2x 的最大值为14，故D 错误.故选：BC .5(2023·山东聊城·统考二模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F ，G 分别是线段BC 1，CD 1，A 1B 1的中点，则()A.DE ⊥BG。
2024年新高考数学选填压轴题汇编二(解析版)
2024年新高考数学选填压轴题汇编(二)一、单选题1.(2023·广东东莞·高三校考阶段练习)已知a=e0.1，b=1110，c=101.9，则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b【答案】C【解析】由ln a=ln e0.1=0.1，ln b=ln 1110=ln1.1，则ln a-ln b=0.1-ln1.1=0.1-ln1+0.1，令f x =x-ln1+x，f x =1-11+x=x1+x，当x∈0,+∞时，f x >0，则f x 单调递增，即f0.1>f0 =0，故0.1-ln1.1>0，可得ln a>ln b，即a>b；由b10=111010=1+0.110=1+C1100.1+C2100.12+⋯+C10100.110=1+10×0.1+C2100.12+⋯+C10100.110=2+C2100.12+⋯+C10100.110>2，且c10=1.9<2，则b10>c10，即b>c.综上，a>b>c.故选：C.2.(2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习)已知数列a n的前n项和为S n，且a1=4，a n +a n+1=4n+2n∈N*，则使得S n>2023成立的n的最小值为()A.32B.33C.44D.45【答案】D【解析】a n+a n+1=4n+2①，当n≥2时，a n-1+a n=4n-1+2②，两式相减得a n+1-a n-1=4，当n为奇数时，a n为等差数列，首项为4，公差为4，所以a n=4+4n-12=2n+2，a n+a n+1=4n+2中，令n=1得a1+a2=6，故a2=6-4=2，故当n为偶数时，a n为等差数列，首项为2，公差为4，所以a n=2+4n2-1=2n-2，所以当n为奇数时，S n=a1+a3+⋯+a n+a2+a4+⋯+a n-1=n+124+2n+2+n-122+2n-42=n2+n+2，当n为偶数时，S n=a1+a3+⋯+a n-1+a2+a4+⋯+a n=n24+2n+n22+2n-22=n2+n，当n为奇数时，令n2+n+2>2023，解得n≥45，当n为偶数时，令n2+n>2023，解得n≥46，所以S n>2023成立的n的最小值为45.故选：D3.(2023·广东·高三统考阶段练习)数列a n满足a n+1=2a n-14a n+2，且a1=1，则数列a n的前2024项的和S2024=()A.-2536B.-2538C.-17716D.-17718【答案】C【解析】由题意知：a1=1，a2=2-14+2=16，a3=2×16-14×16+2=-14，a4=2×-14-14×-14+2=-32，a5=2×-32-14×-32+2=1，.....，易知数列a n是周期为4的数列，S2024=506×1+16-14-32=-17716.故选：C.4.(2023·广东·高三统考阶段练习)已知a，b，c均大于1，满足2a-1a-1=2+log2a，3b-2b-1=3+log3b，4c-3c-1=4+log4c，则下列不等式成立的是()A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b 【答案】B【解析】∵2a-1a-1=2+log2a⇒1a-1=log2a，3b-2 b-1=3+log3b⇒1b-1=log3b，4c-3 c-1=4+log4c⇒1c-1=log4c，∴考虑y=1x-1x>1和y=log m x m=2,3,4的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出y=log2x、y=log3x、y=log4x与y=1x-1x>1的图象如下：根据图象可知a<b<c.故选：B.5.(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f(x)=x2-8x+8,x≥02x+4,x<0．若互不相等的实根x1,x2,x3满足f x1=f x2=f x3，则x1+x2+x3的范围是()A.(2,8)B.(-8,4)C.(-6,0)D.(-6,8)【答案】A【解析】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根x 1,x 2,x 3满足f x 1 =f x 2 =f x 3 ，根据图象可得x 2与x 3关于x =4，则x 2+x 3=8，当2x 1+4=-8时，则x 1=-6是满足题意的x 1的最小值，且x 1满足-6<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的范围是(2,8).故选：A .6.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为R ，设f x 的导数是f x ，且f x ⋅f x +sin x >0恒成立，则()A.f π2<f -π2 B.f π2>f -π2 C.f π2 <f -π2D.f π2 >f -π2 【答案】D【解析】设g x =f 2x -2cos x ，则g x =2f x ⋅f x +2sin x >0，故y =g x 在定义域R 上是增函数，所以g π2 >g -π2，即f 2π2 >f 2-π2 ，所以f π2 >f -π2 .故选：D .7.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)若正三棱锥P -ABC 满足AB +AC +AP=1，则其体积的最大值为()A.172B.184C.196D.1108【答案】C【解析】设正三棱锥的底边长为a ，侧棱长为b ，1=AB +AC +AP 2=AB 2+AC 2+AP 2+2AB ⋅AC +2AC ⋅AP +2AB ⋅AP ，=a 2+a 2+b 2+a 2+2ab ⋅b 2+a 2-b 22ab +2ab ⋅b 2+a 2-b 22ab=5a 2+b 2⇒b 2=1-5a 2，设该三棱锥的高为h ，由正弦定理可知：AO =12⋅a sin π3=33a ，所以h =PO =b 2-13a 2，又V P -ABC =13⋅S △ABC ⋅h =13⋅34a 2⋅b 2-13a 2=1123a 4-16a 6.由3a 4-16a 6>0⇒0<a <34设f x =3x 4-16x 60<x <34，f x =12x 3-96x 5=12x 31-8x 2 ，当x ∈0,24 时，fx >0,f x 单调递增，当x ∈24,34时，fx <0,f x 单调递减，y =f x 在0,34 上存在唯一的极大值点x =24，且在x =24时取得最大值为164.故正三棱锥P -ABC 体积的最大值为196，故选：C 8.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=sin 2ωx 2+12sin ωx -12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是A.0,18B.0,14 ∪58,1C.0,58D.0,18 ∪14,58【答案】D【解析】由题设有f (x )=1-cos 2ωx +12sin ωx -12=22sin ωx -π4，令f x =0，则有ωx -π4=k π,k ∈Z 即x =k π+π4ω,k ∈Z .因为f (x )在区间(π,2π)内没有零点，故存在整数k ，使得k π+π4ω≤π<2π<k π+5π4ω，即ω≥k +14ω≤k 2+58，因为ω>0，所以k ≥-1且k +14≤k 2+58，故k =-1或k =0，所以0<ω≤18或14≤ω≤58，故选：D .9.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=x 2-x 2-a2x -4 在区间-∞,-2 ，3,+∞ 上都单调递增，则实数a 的取值范围是()A.0<a ≤23 B.0<a ≤4C.0<a ≤43D.0<a ≤83【答案】D【解析】设g (x )=x 2-a 2x -4，其判别式Δ=a 24+16>0，∴函数g (x )一定有两个零点，设g (x )的两个零点为x 1，x 2且x 1<x 2，由x 2-a2x -4=0，得x 1=a2-a 24+162，x 2=a2+a 24+162，∴f (x )=a 2x +4,x <x 12x 2-a 2x -4,x 1≤x ≤x 2a 2x +4,x >x 2，①当a ≤0时，f (x )在-∞,x 1 上单调递减或为常函数，从而f (x )在-∞,-2 不可能单调递增，故a >0；②当a >0时，g -2 =a >0，故x 1>-2，则-2<x 1<0，∵f (x )在-∞,x 1 上单调递增，∴f (x )在-∞,-2 上也单调递增，g (3)=-32a -1<0，3<x 2，由f (x )在a 8,x 2和x 2,+∞ 上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴f (x )在a 8,+∞ 上单调递增，欲使f (x )在3,+∞ 上单调递增，只需a8≤3，得a ≤83，综上：实数a 的范围是0<a ≤83.故选：D .10.(2023·湖南益阳·高三统考阶段练习)若m >0，双曲线C 1：x 2m -y 22=1与双曲线C 2：x 28-y 2m=1的离心率分别为e 1，e 2，则()A.e 1e 2的最小值为94B.e 1e 2的最小值为32C.e 1e 2的最大值为94D.e 1e 2的最大值为32【答案】B【解析】由题意可得e 21=m +2m ，e 22=8+m 8，则e 1e 2 2=m +2m ⋅8+m 8=54+2m +m8，由基本不等式，e 1e 2 2=54+2m +m 8≥54+214=94，即e 1e 2≥32，当且仅当2m =m 8，即m =4时等号成立，故e 1e 2的最小值为32.故选：B .11.(2023·湖南益阳·高三统考阶段练习)给定事件A ,B ,C ，且P C >0，则下列结论：①若P A >0，P B>0且A ,B 互斥，则A ,B 不可能相互独立；②若P A C +P B C =1，则A ,B 互为对立事件；③若P ABC =P A P B P C ，则A ,B ,C 两两独立；④若P AB=P A -P A P B ，则A ,B 相互独立.其中正确的结论有()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】对于①，若A ,B 互斥，则P AB =0，又P A P B >0，∴P AB ≠P A P B ，∴A ,B 不相互独立，①正确；对于②，∵P A C +P B C =P AC P C +P BCP C=1，∴P AC +P BC =P C ；扔一枚骰子，记事件A 为“点数大于两点”；事件B 为“点数大于五点”；事件C 为“点数大于一点”，则P AC =P A =46=23，P BC =P B =16，P C =56，满足P AC +P BC =P C ，但A ,B 不是对立事件，②错误；对于③，扔一枚骰子，记事件A 为“点数大于两点”；事件B 为“点数大于五点”；事件C 为“点数大于六点”，则P A =46=23，P B =16，P C =0，P ABC =0，P AB =P B =16，满足P ABC =P A P B P C ，此时P AB ≠P A P B ，∴事件A ,B 不相互独立，③错误；对于④，∵A =AB ∪AB ，事件AB 与AB 互斥，∴P A =P AB +P AB，又P AB=P A -P A P B ，∴P A -P AB =P A -P A P B ，即P AB =P A P B ，∴事件A ,B 相互独立，④正确.故选：B .12.(2023·湖南永州·高三校联考开学考试)已知函数f x =x 3+3x 2+x +1，设数列a n 的通项公式为a n =-2n +9，则f a 1 +f a 2 +⋯+f a 9 =()A.36B.24C.20D.18【答案】D【解析】f x =x 3+3x 2+x +1=x +1 3-2x +1 +2，所以曲线f x 的对称中心为-1,2 ，即f x +f -2-x =4，因为a n =-2n +9，易知数列a n 为等差数列，a 5=-1，a 1+a 9=a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5=-2，所以f a 1 +f a 9 =f a 2 +f a 8=f a 3 +f a 7 =f a 4 +f a 6 =4，所以f a 1 +f a 2 +⋯+f a 9 =4×4+2=18.故选:D .13.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，现将△ABD 沿BD 折起成△A 1BD ，折起过程中，当A 1B ⊥CD 时，四面体A 1BCD 体积为()A.2B.372C.37D.972【答案】B【解析】由题可知A 1B ⊥A 1D ,A 1B ⊥CD ，又A 1D ∩CD =D ,A 1D ,CD ⊂平面A 1CD ，故A 1B ⊥平面A 1CD ，又A 1C ⊂平面A 1CD ，所以A 1B ⊥A 1C ，即此时△A 1BC 为直角三角形，因为A 1B =CD =3，AD =BC =4，所以A 1C =7，又BC ⊥CD ，A 1B ∩BC =B ,A 1B ,BC ⊂平面A 1BC ，所以CD ⊥平面A 1BC ，所以四面体A 1BCD 的体积为13×3×12×3×7=372.故选：B .14.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)在三角形ABC 中，AB ⋅AC =0，BC=6，AO=12AB +AC ，BA 在BC 上的投影向量为56BC ，则AO ⋅BC =()A.-12 B.-6C.12D.18【答案】A【解析】由题意，∠BAC =90°，O 为BC 中点，由BA 在BC 上的投影向量为BA cos B ⋅BCBC=56BC，即BAcos B BC=56，又BC =6，所以BA ⋅BC =BA BC cos B =56BC2=30，所以AO ⋅BC =BO -BA ⋅BC =BO ⋅BC -BA ⋅BC=3×6-30=-12.故选：A .15.(2023·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试)如图，在xOy 平面上有一系列点P 1x 1,y 1 ，P 2x 2,y 2 ，⋯，P nx n ,y n ⋯，对每个正整数n ，点P n 位于函数y =x 2x ≥0 的图像上，以点P n 为圆心的⊙P n 都与x 轴相切，且⊙P n 与⊙P n +1外切.若x 1=1，且x n +1<x n n ∈N * ，T n =x n x n +1，T n 的前n 项之和为S n ，则S 20=()A.3940B.4041C.8041D.2041【答案】D【解析】因为⊙P n 与⊙P n +1外切，且都与x 轴相切，所以x n -x n +12+y n -y n +1 2=y n +y n +1，即x n -x n +1 2+y n -y n +1 2=y n +y n +1 2，所以x n -x n +1 2=4y n y n +1=4x 2n x 2n +1，因为x n +1<x n n ∈N * ，所以x n -x n +1=2x n x n +1，所以1x n +1-1x n=2，所以数列1x n 为等差数列，首项1x 1=1，公差d =2，所以1x n=1+n -1 ×2=2n -1，所以x n =12n -1n ∈N * ，所以T n =x n x n +1=12n -1×12n +1=12n -1-12n +1 ×12，所以S n =12×1-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =12×1-12n +1 =n2n +1n ∈N *所以S 20=2020×2+1=2041，故选：D16.(2023·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试)已知定义在R 上的可导函数f x 满足xf x +f x <xf x ，若y =f x -3 -1e是奇函数，则不等式xf x +3e x +2>0的解集是()A.-∞,-2B.-∞,-3C.-2,+∞D.-3,+∞【答案】B【解析】构造函数g x =x ⋅f x e x ，依题意可知g x =f x +xf x -xf x e x<0，所以g x 在R 上单调递减.由于y =f x -3 -1e是奇函数，所以当x =0时，y =f -3 -1e =0，所以f -3 =1e ，所以g -3 =-3⋅f -3e -3=-3⋅1e e-3=-3e 2，由xf x +3e x +2>0得e x g x +3e x +2>0，即g x >-3e 2=g -3 ，所以x <-3，故不等式的解集为-∞,-3 .故选：B17.(2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试)已知圆台O 1O 2的上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为6，圆台的体积为104π，且它的两个底面圆周都在球O 的球面上，则OO 1OO 2=( )．A.3B.4C.15D.17【答案】D【解析】设圆台的高为h ，依题意V =134π+36π+12π h =104π，解得h =6．设O 1O =x ，则22+x 2=62+6-x 2，解得x =173，故OO 1OO 2=1736-173=17．故选：D .18.(2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试)已知sin α-β =13，则当函数f x =79sin x -sin 2α-2β cos x 取得最小值时，sin x =( )．A.-79B.-19C.19D.79【答案】A【解析】依题意，cos 2α-β =1-2sin 2a -β =79，所以f x =sin x cos 2α-2β -cos x sin 2α-2β=sin x -2α-β ，当x -2α-β =-π2+2k πk ∈Z ，即x =2α-β -π2+2k πk ∈Z ，f x 取最小值，此时sin x =-cos 2α-β =-79,故选：A .19.(2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试)已知函数f x =4ex 21+ln2x，则不等式f x >e 2x 的解集是()A.0,1B.12e ,14C.1e ,1D.12e ,12【答案】D【解析】不等式4ex 21+ln2x >e 2x 可整理为2ex 1+ln2x >e 2x 2x ，令g x =e xx，定义域为0,+∞ ，则原不等式可看成g 1+ln2x >g 2x ，g x =e x x -1 x 2，令g x >0，解得x >1，令gx <0，解得0<x <1，所以g x 在0,1 上单调递减，1,+∞ 上单调递增，令h x =1+ln2x -2x ，则h x =1x -2=1-2x x ，令h x >0，则0<x <12，令h x <0，则x >12，所以h x 在0,12 上单调递增，12,+∞ 上单调递减，且h 12 =0，所以h x ≤0，即1+ln2x -2x ≤0，即1+ln2x ≤2x ，当0<x <12时，1+ln2x <1，2x <1，所以1+ln2x <2x0<1+ln2x <10<2x <1，解得12e <x <12；当x >12时，1+ln2x >1，2x >1，所以1+ln2x >2x ，不成立；综上可得，不等式f x >e 2x 的解集为12e ,12.故选：D .二、多选题20.(2023·广东东莞·高三校考阶段练习)已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是()A.异面直线AC 与BD 所成角为60°B.点A 到平面BCD 的距离为263C.四面体ABCD 的外接球体积为6πD.动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60°，则点P 的轨迹是椭圆【答案】BC【解析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC ,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误.取BD 中点E ,连接AE ,CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,AF =AB 2-BF 2=236,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径，因为V A -BCD =13S △BCD ⋅AF =4×13S △BCD ⋅OF ，所以AF =4OF ，即OF =66，AO =62,所以四面体ABCD 的外接球体积V =43πR 3=43πOA 3=6π,故C 正确；建系如图：A 0,0,263 ,C 0,233,0 ,设P (x ,y ,0)，则AP =x ,y ,-263 ，AC =0,233,-263 因为AP ⋅AC =AP AC cos60°，所以233y +249=x 2+y 2+83×129+247×12，即233y +83=x 2+y 2+83，平方化简可得：x 2-y 23-3239y -409-0，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误.故选：BC ．21.(2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；⋯；第n n ∈N * 次得到数列1，x 1,x 2,x 3,⋯,x k ，2；⋯记a n =1+x 1+x 2+⋯+x k +2，数列a n 的前n 项为S n ，则()A.k +1=2n B.a n +1=3a n -3C.a n =32n 2+3n D.S n =343n +1+2n -3 【答案】ABD【解析】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时k =1第2次得到数列1,4,3,5,2，此时k =3第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时k =7第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时k =15第n 次得到数列1，x 1,x 2,x 3,⋯,x k ，2此时k =2n -1所以k +1=2n ，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：a 1=3+3a 2=3+3+9a 3=3+3+9+27a 4=3+3+9+27+81 ⇒a n =3+31+32+⋯+3n (n ∈N *)用等比数列求和可得a n =3+33n -12则a n +1=3+33n +1-1 2=3+3n +2-32=3n +22+32又3a n -3=33+33n -1 2-3=9+3n +22-92-3=3n +22+32所以a n +1=3a n -3，故B 项正确；由B 项分析可知a n =3+33n -1 2=323n +1即a n ≠32n 2+3n ，故C 项错误.S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n=322+332+⋯+3n +12 +32n =321-3n 1-32+32n=3n +24+3n 2-94=343n +1+2n -3 ，故D 项正确.故选：ABD .22.(2023·广东·高三统考阶段练习)已知O 为坐标原点，F 为抛物线E ：y 2=2x 的焦点，过点P (2，0)的直线交E 于A ，B 两点，直线AF ，BF 分别交E 于C ，D ，则()A.E 的准线方程为x =-12B.∠AOB =90°C.FA +FB 的最小值为4D.AC +2BD 的最小值为3+3664【答案】ABD【解析】对于A ，由题意p =1，所以E 的准线方程为x =-12，故A 正确：对于B ，设A y 212,y 1 ，B y 222,y 2，设直线AB ：x =my +2，与抛物线联立可得y 2-2my -4=0，Δ>0⇒m ∈R ，y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB =y 1y 24y 1y 2+4 =0，所以∠AOB =90°，故B 正确；对于C ，FA +FB =y 21+y 222+1≥y 1y 2 +1=5>4，故C 错误；对于D ，设直线AC ：x =ty +12，与抛物线联立可得y 2-2ty -1=0，Δ>0⇒t ∈R ，y 1y C =-1，同理y 2y D =-1，所以y C =-1y 1，y D =-1y 2，所以x C =y 2C2=12⋅1y 21，x D =y 2D 2=12⋅1y 22所以AC =x A +x C +1=1+12y 21+1y 21 ，BD =x B +x D +1=1+12y 22+1y 22，y 1y 2=-4，所以AC +2BD =3+916y 21+332y 21≥3+3664，当且仅当y 21=2663时等号成立，故D 正确.故选：ABD .23.(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =ae x -x 2+x ln x -ax ，则()A.当a =0时，f x 单调递减 B.当a =1时，f x >0C.若f x 有且仅有一个零点，则a ≤1 D.若f x ≥0，则a ≥1e -1【答案】ABD【解析】当a =0时，f x =x ln x -x 2，f x =1+ln x -2x x >0 ，设g x =1+ln x -2x ，则g x =1x -2=1-2xx，当x ∈0,12 时，g x >0，f x 单调递增，当x ∈12,+∞ 时，g x <0，f x 单调递减，当x =12时，f x 取得最大值，因为f 12 =1+ln 12-2×12=-ln2<0，所以fx <0，f x 单调递减，故A 正确；当a =1时，f x =e x +x ln x -x 2=x e x -ln x -(x -ln x )-1t =m x =x -ln x ，则m x =1-1x =x -1x，当x ∈0,1 时，m x <0，m x 单调递减，当x ∈(1，+∞)时，m x >0，m x 单调递增，当x =1时，m x 取得最小值，m 1 =1，所以t =m x ≥1.设h (t )=e t -t -1，h (t )=e t -1，因为t ≥1，所以h (t )=e t -1≥e -1>0，h (t )单调递增，所以h (t )≥h 1 =e -2>0，所以f x =e x +x ln x -x 2=x e x -ln x -(x -ln x )-1 =xh m (x ) >0，故B 正确；f x =x ae x -ln x -(x -ln x )-a ，若f x =0，则ae x -ln x -(x -ln x )-a =0，设t =m x =x -ln x ≥1，即a =te t -1，设F (t )=t e t -1，则F(t )=(1-t )e t -1e t -12，因为t ≥1，所以(1-t )e t -1<0，F (t )<0，F (t )单调递减，若f x 有且仅有一个零点，则t =1，此时a =1e -1，故C 错误；若f x ≥0，则ae t -t -a ≥0，即a ≥te t -1=F t ，因为F t 单调递减，所以a ≥F (1)=1e -1，故D 正确.故选：ABD .24.(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)我们知道，函数y =f (x )的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x )为奇函数. 有同学发现可以将其推广为:函数y =f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x +a )-b 为奇函数. 现在已知，函数f (x )=x 3+mx 2+nx +2的图像关于点(2，0)对称，则()A.f (2)=0B.f (1)=3C.对任意x ∈R ，有f (2+x )+f (2-x )=0D.存在非零实数x 0，使f 2+x 0 -f 2-x 0 =0【答案】ACD【解析】由题意，因为函数f (x )=x 3+mx 2+nx +2的图像关于点(2，0)对称，所以函数y =f x +2 为奇函数，所以f x +2 +f -x +2 =0，故C 正确；又y =f x +2 =x 3+m +6 x 2+12+4m +n x +4m +2n +10，则f x +2 +f -x +2 =2m +6 x 2+24m +2n +10 =0，所以m +6=04m +2n +10=0，解得m =-6n =7 ，所以f x =x 3-6x 2+7x +2,f x +2 =x 3-5x ，则f 2 =0,f 1 =4，故A 正确，B 错误；令f 2+x -f 2-x =0，则2x 3-10x =0，解得x =0或±5，所以存在非零实数x 0，使f 2+x 0 -f 2-x 0 =0，故D 正确.故选：ACD .25.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 满足f x 0 =f x 0+1 =22，且f x 在x 0,x 0+1 上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是()A.f x 0+12 =1B.若x 0=0，则f x =sin πx +π4 C.f x 的最小正周期为4 D.f x 在0,2024 上的零点个数最少为1012个【答案】AC【解析】A ，由题意f x 在x 0,x 0+1 的区间中点处取得最大值，即f x 0+12=1，正确；B ，假设若x 0=0，则f x =sin πx +π4成立，由A 知f 12 =1，而f 12=sin π2+π4 =22≠1，故假设不成立，则错误；C ，f x 0 =f x 0+1 =22，且f x 在x 0,x 0+1 上有最大值，无最小值，令ωx 0+φ=2k π+π4，ωx 0+1 +φ=2k π+3π4，k ∈Z ，则两式相减，得ω=π2，即函数的最小正周期T =2πω=4，故正确；D ，因为T =4，所以函数f x 在区间0,2024 上的长度恰好为506个周期，当f 0 =0，即φ=k π，k ∈Z 时，f x 在区间0,2024 上的零点个数至少为506×2-1=1011个，故错误.故选：AC .26.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知直线y =a 与曲线y =xe x相交于A ，B 两点，与曲线y =ln xx相交于B ，C 两点，A ，B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.则()A.x 2=ae x 2B.x 2=ln x 1C.x 3=ex 2D.x 1+x 3>2x 2【答案】ACD 【解析】设f x =x e x ，得fx =1-x ex ，令f x =0，可得x =1，当x <1时，f x >0，则函数f x 单调递增，当x >1时，f x <0，则函数f x 单调递减，则当x =1时，f x 有极大值，即最大值f x max =f 1 =1e.设g x =ln x x ，得g x =1-ln xx2，令g x =0，则x =e ，当x <e 时，g x >0，则函数g x 单调递增，当x >e 时，g x <0，则函数g x 单调递减，则当x =e 时，g x 有极大值，即最大值g x max =f e =1e，从而可得0<x 1<1<x 2<e <x 3.由x 2ex 2=a ，得x 2=ae x2，故A 正确；由x 1e x 1=ln x 2x 2，得x 1e x 1=ln x 2e ln x 2，即f x 1 =f ln x 2 ，又0<x 1<1<x 2<e ，得0<ln x 2<1，又f x 在0,1 上单调递增，则x 1=ln x 2，故B 错误；由x 2e x 2=ln x 3x 3，得ln e x2ex 2=ln x 3x 3，即g e x 2=g x 3 .又1<x 2<e <x 3，得e x 2>e ，又g x 在e ,+∞ 上单调递减，则e x 2=x 3，故C 正确；由前面知x 1=ln x 2，e x 2=x 3，得x 1x 3=e x2ln x 2，又由x 2ex 2=ln x 2x 2=a ，得e x2=x 2a ，ln x 2=ax 2，则x 1x 3=x 22，x 1+x 3>2x 1x 3=2x 2.故D 正确.故选：ACD .27.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着BB 1和DD 1分别作上底面的垂面，垂面经过棱EP ,PH ,HQ ,QE 的中点F ,G ,M ,N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若EN =AB =EA =2，则()A.BB 1=22B.FG ⎳ACC.BD ⊥平面BFB 1GD.几何体2的表面积为163+8【答案】ABC【解析】将几何体1与几何体2合并在一起，连接BB 1,FG ,PQ ,EH ,AC ,BD ，记FG ∩PQ =K ，易得K ∈BB 1，对于A ，因为在正四棱台ABCD -EPHQ 中，AB ⎳EP ，F 是EP 的中点，所以AB ⎳EF ，又N 是EQ 的中点，EN =2，所以EQ =4，则EP =4，EF =2，又AB =2，所以AB =EF ，所以四边形ABFE 是平行四边形，则BF =AE =2，同理：B 1F =B 1G =BG =2，所以四形边B 1FBG 是边长为2菱形，在边长为4的正方形EPHQ 中，HE =42，因为F ,G 是EP ,PH 的中点，所以FG ⎳EH ，FG =12EH =22，所以BB 1=222-2222=22，故A 正确；对于B ，因为在正四棱台ABCD -EPHQ 中，面ABCD ⎳面EPHQ ，又面AEHC ∩面ABCD =AC ，面AEHC ∩面EPHQ =EH ，所以AC ⎳EH ，又FG ⎳EH ，所以FG ⎳AC ，故B 正确；对于C ，在四边形EPHQ 中，由比例易得PK =14PQ =2，由对称性可知BK =12B 1B =2，而PB =2，所以PK 2+BK 2=PB 2，则PK ⊥BK ，即PQ ⊥BK ，而由选项B 同理可证BD ⎳PQ ，所以BD ⊥BK ，因为在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，而FG ⎳AC ，所以BD ⊥FG ，因为BK ∩FG =K ,BK ,FG ⊂面BFB 1G ，所以BD ⊥面BFB 1G ，对于D ，由选项A 易知四边形BGB 1F 是边长为2的正方形，上下底面也是边长为2的正方形，四边形ABFE 是边长为2的菱形，其高为22-4-222=3，所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成，所以其表面积为4×22+8×2×3=16+163，故D 错误.故选：ABC .28.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知随机变量ξ~B (2n ,p )，n ∈N *，n ≥2，0<p <1，记f (t )=P (ξ=t )，其中t ∈N ，t ≤2n ，则()A.2nt =0f (t ) =1 B.2nt =0tf (t ) =2npC.n t =0f (2t )<12<nt =1f (2t -1) D.若np =6，则f (t )≤f (12)【答案】ABD【解析】对于A ，2nt =0f (t )=2nt =0P (ξ=t )=1，所以A 正确；对于B ，因为2nt =0t f (t )=E (ξ)=2np ，所以B 正确；对于C ，当p =q =12时，n t =0f (2t )=nt =1f (2t -1)=12，所以C 错误；对于D ，因为(2n +1)p =12+p ，所以当t =12时，f (t )最大，所以D 正确；证明如下：若ξ~B (n ,p )，则P (ξ=k )P (ξ=k -1)=C k n p k(1-p )n -k C k -1n p k -1(1-p )n -k +1=(n -k +1)pk (1-p )，若P (ξ=k )>P (ξ=k -1)，则(n -k +1)pk (1-p )>1，解得k <(n +1)p ，故当k <(n +1)p 时，P (ξ=k )单调递增，当k >(n +1)p 时，P (ξ=k )单调递减，即当(n +1)p 为整数时，k =(n +1)p 或k =(n +1)p -1时，P (ξ=k )取得最大值，当(n +1)p 不为整数，k 为(n +1)p 的整数部分时，P (ξ=k )取得最大值．故选：ABD ．29.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知ab ≠0，函数f x =e ax +x 2+bx ，则()A.对任意a ，b ，f x 存在唯一极值点B.对任意a ，b ，曲线y =f x 过原点的切线有两条C.当a +b =-2时，f x 存在零点D.当a +b >0时，f x 的最小值为1【答案】ABD【解析】对于A ，由已知ab ≠0，函数f x =e ax +x 2+bx ，可得f x =ae ax +2x +b ，令g x =ae ax +2x +b ,∴g x =a 2e ax +2>0，则g x 即f x =ae ax +2x +b 在R 上单调递增，令f x =ae ax +2x +b =0，则ae ax =-2x -b ，当a >0时，作出函数y =ae ax ,y =-2x -b 的大致图象如图：当a <0时，作出函数y =ae ax ,y =-2x -b 的大致图象如图：可知y =ae ax ,y =-2x -b 的图象总有一个交点，即f x =ae ax +2x +b =0总有一个根x 0，当x <x 0时，f x <0；当x >x 0时，f x >0，此时f x 存在唯一极小值点，A 正确；对于B ，由于f 0 =1，故原点不在曲线f x =e ax +x 2+bx 上，且f x =ae ax +2x +b ，设切点为(m ,n ),n =e am+m 2+bm ，则fm =ae am+2m +b =n m =e am +m 2+bm m，即ae am+m=e amm，即eam(am-1)+m2=0，令h(m)=e am(am-1)+m2，h (m)=ae am(am-1)+ae am+2m=m(a2e am+2)，当m<0时，h (m)<0，h(m)在(-∞,0)上单调递减，当m>0时，h (m)>0，h(m)在(0,+∞)上单调递增，故h(m)min=h(0)=-1，当m→-∞时，e am(am-1)的值趋近于0，m2趋近于无穷大，故h(m)趋近于正无穷大，当m→+∞时，e am(am-1)的值趋近于正无穷大，m2趋近于无穷大，故h(m)趋近于正无穷大，故h(m)在(-∞,0)和(0,+∞)上各有一个零点，即e am(am-1)+m2=0有两个解，故对任意a，b，曲线y=f x 过原点的切线有两条，B正确；对于C，当a+b=-2时，b=-2-a，f x =e ax+x2-(a+2)x，故f x =ae ax+2x-a-2，该函数为R上单调增函数，f 0 =-2<0,f 1 =ae a-a=a(e a-1)>0，故∃s∈(0,1)，使得f s =0，即e as=-2as+1+2a，结合A的分析可知，f(x)的极小值也即最小值为f(s)=e as+s2-(a+2)s=-2as+1+2a+s2-(a+2)s，令m(s)=-2as+1+2a+s2-(a+2)s，则m s =2s-a+2a+2，且为增函数，当a<0时，m (0)=-a+2a+2≥22-2>0，当且仅当a=-2时取等号，故当s>0时，m s >m 0 >0，则f(s)在(0,1)上单调递增，故f(s)>f(0)=2a+1，令a=-3，则f(0)=2a+1=13>0,∴f(s)>f(0)>0，此时f(x)的最小值为f(s)>0，f x 无零点，C错误；对于D，当a+b>0时，f x为偶函数，考虑x>0视情况；此时f x=f(x)=e ax+x2+bx,(x>0)，f (x)=ae ax+2x+b，结合A的分析可知f (x)=ae ax+2x+b在R上单调递增，f (0)=a+b>0，故x>0时，f (x)>f (0)>0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，故f(x)在(-∞,0)上单调递减，f x为偶函数，故f xmin=f(0)=1，D正确，故选：ABD30.(2023·湖南益阳·高三统考阶段练习)已知函数f x =e x-1,x≥0x2+2x,x<0，则()A.f x 有两个零点B.直线y=x与f x 的图象有两个交点C.直线y=12与f x 的图象有四个交点D.存在两点a,b，-2-a,ba>0,b>0同时在f x 的图象上【答案】ABD【解析】画出f x 的图象，如下：A 选项，f x 有两个零点，即-2和0，A 正确；B 选项，当x ≥0时，f x =e x -1，则f x =e x ，令f x =e x =1，解得x =0，又f 0 =0，故y =e x -1在x =0的切线方程为y =x ，令m x =e x -1-x ，x >0，则m x =e x -1>0，故m x =e x -1-x 在0,+∞ 上单调递增，故m x >m 0 =0，即e x -1>x 在0,+∞ 上恒成立，故y =e x -1在x ∈0,+∞ 上与y =x 只有一个交点，当x <0时，f x =x 2+2x ，联立y =x ，可得x 2+2x =x ，解得x =-1或0(舍去)，结合函数图象，可知直线y =x 与f x 的图象有两个交点，B 正确；C 选项，在同一坐标系内画出f x 与直线y =12的图象，可知直线y =12与f x 的图象有2个交点，C 错误；D 选项，点a ,b ，-2-a ,b a >0,b >0 是关于x =-1对称的两点，因为a >0,b >0，故a ,b 是位于第一象限的点，-2-a ,b 位于第二象限，-2-a ,b 在f x =x2+2x ,x <-2上，要想满足a ,b 同时在f x 的图象上，只需g x =x 2+2x ,x >0与h x =e x -1,x >0在第一象限内有交点，因为g 1 =3,h 1 =e -1，故g 1 >h 1 ，又g 3 =15,h 3 =e 3-1，故g 3 <h 3 ，两函数均在0,+∞ 单调递增，故一定存在x 0∈1,3 ，使得g x 0 =h x 0 ，D 正确.故选：ABD31.(2023·湖南益阳·高三统考阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1上的点，则下列结论正确的是()A.三棱锥P -CB 1D 1的体积是43B.线段PQ 的长的取值范围是233,23C.若P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1的中点，则PQ 与平面AC 所成的角为π6D.若P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1的中点，则PQ 与直线AC 所成的角为π3【答案】AC【解析】建立如图所示空间直角坐标系：因为棱长为2，所以A 2,0,0 ,B (2,2,0),C (0,2,0),A (2,0,2),D (0,0,2),A B =(0,2,-2),DC =(0,2,-2),AC =(-2,2,0),对于A ,∵A B =(0,2,-2),D C =(0,2,-2),∴A B =D C,则A B ⎳D C,所以A B ⎳D C ,又A B ⊄平面CB D ,D C ⊂平面CB D ，所以A B ⎳平面CB D ，又点P ∈A B ,故点P 到平面CB D 的距离等价于点B 到平面CB D 的距离,所以V P -CB 1D 1=V B -CB 1D 1=V D 1-BCB 1=13×2×2=43,故A 正确；对于B ,设P (2,m ,2-m ),Q (n ,n ,2),m ,n ∈[0,2]则PQ =n -22+n -m 2+m 2=2m 2+2n 2-2mn -2n +4=2m -n 2 2+32n -232+103，故m =n2n =23及m =13n =23时，PQ min =103=303≠233，故B 错误；对于C ,若P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1的中点，则P (2,1,1),Q (1,1,2),PQ =(-1,0,1),取平面AC 的法向量n=(0,0,1)，设θ为PQ 与平面AC 所成的角，则sin θ=cos PQ , n =PQ ⋅nPQ n=12=22，所以θ=π4，即PQ 与平面AC 所成的角为π4，故C 错误；对于D ,若P ，Q 分别是线段A 1B ，B 1D 1的中点，则P (2,1,1),Q (1,1,2),PQ =(-1,0,1)，则PQ ⋅AC =(-1,0,1)⋅(-2,2,0)=2,则cos PQ ,AC =PQ ⋅ACPQ AC=22×22=12，则PQ ,AC =π3,即PQ 与直线AC 所成的角为π3，故D 正确.故选：AD .32.(2023·湖南永州·高三校联考开学考试)已知函数f x =x 3-3x ,x <02x-2,x ≥0，若关于x 的方程f 2x -2a +1 f x +a2+a =0有6个不同的实根，则实数a 可能的取值有()A.-12B.12C.34D.2【答案】BC【解析】当x <0时，f x =x 3-3x ，则f x =3x 2-3=3x -1 x +1 ，当x ∈-∞,-1 时，f x >0，f x 单调递增，当x ∈-1,0 时，f x <0，f x 单调递减，作出f x 的图象，如图所示，f 2x -2a +1 f x +a 2+a =f x -a f x -a -1 =0，即f x =a 与f x =a +1共六个不等实根，由图可知f x =2时，x =-1或x =2，即f x =2有两个根，若使f x =a 与f x =a +1共六个不等实根，只需满足0<a <20<a +1<2 ，即0<a <1.故选：BC .33.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)若数列a n 中任意连续三项a i ，a i +1，a i +2，均满足a i -a i +2 a i +2-a i +1 >0，则称数列a n 为跳跃数列.则下列结论正确的是()A.等比数列：1，-13，19，-127，181，⋯是跳跃数列B.数列a n 的通项公式为a n =cos n π2n ∈N *，数列a n 是跳跃数列C.等差数列不可能是跳跃数列D.等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比q ∈-1,0 【答案】ACD【解析】对于选项A ，由跳跃数列定义知，等比数列：1，-13，19，-127，181，⋯是跳跃数列，故A 正确；对于选项B ，数列的前三项为a 1=0，a 2=-1，a 3=0，不符合跳跃数列的定义，故B 错误；对于选项C ，当等差数列公差d >0时，它是单调递增数列；公差d <0时，它是单调递减数列；公差d =0时，它是常数列，所以等差数列不可能是跳跃数列，故C 正确；对于选项D ，等比数列a n 是跳跃数列，则a i -a i +2 a i +2-a i +1 =a 2i 1-q 2 q 2-q >0，整理得q +1 q (q -1)2<0，即-1<q <0，若比数列a n 的公比-1<q <0，则q +1 q (q -1)2<0，可得a i -a i +2 a i +2-a i +1 =a 2i 1-q 2 q 2-q >0，所以等比数列a n 是跳跃数列，故D 正确.故选：ACD .34.(2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)已知函数f x 的定义域为R ，函数f x 的图象关于点1,0 对称，且满足f x +3 =f 1-x ，则下列结论正确的是()A.函数f x +1 是奇函数B.函数f x 的图象关于y 轴对称C.函数f x 是最小正周期为2的周期函数D.若函数g x 满足g x +f x +3 =2，则2024k =1g k =4048【答案】ABD【解析】因为函数f x 的图象关于点1,0 对称，所以f x +1 =-f 1-x ，所以函数f x +1 是奇函数，故A 正确；因为f x +1 =-f 1-x ，所以f x +2 =-f -x ，又f x +3 =f 1-x ，所以f x +3 =-f x +1 ，所以f x +2 =-f x ，所以f -x =f x ，所以f x 为偶函数.故B 正确；因为f x +4 =-f x +2 =f x ，所以f x 是最小正周期为4的周期函数，故C 错误；因为g x +f x +3 =2，所以g x =2-f x +3 ，那么g x +4 =2-f x +7 =2-f x +3 =g x ，所以g x 也是周期为4的函数，g 1 +g 2 +g 3 +g 4 =2-f 4 +2-f 5 +2-f 6 +2-f 7 =8-f 4 +f 5 +f 6 +f 7 ，因为f x +2 =-f x ，所以f 4 +f 6 =0，f 5 +f 7 =0，所以g 1 +g 2 +g 3 +g 4 =8，所以2024i =1g k =506g 1 +g 2 +g 3 +g 4 =4048，故D 正确.故选：ABD .35.(2023·湖南株洲·高三校考阶段练习)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD =4，点E ,F 分别为A 1B 1,BC 的中点，点P 满足AP =λAD +μAA 1,λ∈0,1,μ∈ 0,1 ，则下列说法正确的是()A.若λ+μ=1，则四面体PEFD 1的体积为定值B.若λ=12,μ=14，则C 1P ⊥平面EFD 1C.平面EFD 1截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面的周长为5+42+35D.若λ=1,μ=0，则四面体PEFD 1外接球的表面积为344π9【答案】BD【解析】如图1，取AB 的中点G ，连接DG ，易得D 1E ∥DG ，取CD 的中点H ，连接BH ，易得BH ∥DG ，再取CH 的中点M ，连接FM ,D 1M ，则FM ∥BH ，所以FM ∥D 1E ，则FM 是平面EFD 1与正方体底面ABCD 的交线，延长MF ，与AB 的延长线交于N ，连接EN ，交BB 1于P ，则BB 1=3BP ，且五边形D 1EPFM 即平面EFD 1交正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的截面，由F 是BC 中点且BN ⎳CM 得BN =CM =12CH =12B 1E ，又由BN ⎳B 1E 得BP =12B 1P =13BB 1，从而可计算得ED 1=25,D 1M =5,MF =5,EP =103,PF =2133，所以平面EFD 1截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面的周长为253+2133+35，故C 错误．对于A ，因为AP =λAD +μAA 1 ,λ+μ=1，所以P ,D ,A 1三点共线，所以点P 在A 1D 上，因为A 1D 与平面EFD 1不平行，所以四面体PEFD 1的体积不为定值，A 错误．对于B ，如图2，以A 为原点，分别以AB ,AD ,AA 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则AP =12AD+14AA 1 =0,2,1 ，C 1P =C 1A +AP =-4,-2,-3 ,D 1E =2,-4,0 ,EF =2,2,-4 ，则C 1P ⋅D 1E =0，C 1P ⋅EF =0，C 1P是平面EFD 1的一个法向量，所以C 1P ⊥平面EFD 1，故B 正确．对于D ，若λ=1,μ=0，则点P 即点D ．易知EG ⎳DD 1，DD 1⊥D 1E (由DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1可得)，同理EG ⊥D 1E ，即四边形EGDD 1是矩形，则四面体PEFD 1的外接球与四棱锥F -ED 1DG 的外接球相同，在△GFD 中，GF =22,GD =25,FD =25，在图3四棱锥F -DD 1EG 中，取U 是GF 中点，则DU ⊥GF ，△DGF 的外心T 在DU 上，sin ∠DGU =(25)2-(2)225=31010，则△GFD 外接圆的半径为DT =2531010×12=523，设DE ∩GD 1=S ，取GD 中点Q ，连接QT ,QS ，则QT ⊥GD ，同样由DD 1⊥平面DGF ，QT ⊂平面DGF ，得DD 1⊥QT ，而DG 与DD 1是平面DD 1EG 内两相交直线，因此有TQ ⊥平面DD 1EG ，同理可证SQ ⊥平面DGF ，得SQ ⊥QT ，作矩形SQTO ，可得OT =SQ =12DD 1=2，OS ⊥平面DD 1EG ，OT ⊥平面DGF ，从而知O 是四棱锥F -ED 1DG 的外接球的球心，所以四面体PEFD 1外接球的半径R =OD =DT 2+OT 2=5232+22=863，即四面体PEFD 1外接球的表面积为344π9，D 正确．故选：BD ．36.(2023·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n ln a n +1 +1，则下列说法正确的有()A.2a 3a 1+a 2<5 B.a n +1-a 2n ≤a 2n +1C.若n ≥2，则34≤ni =11a i +1<1D.ni =1ln a i +1 ≤2n -1 ln2【答案】BCD【解析】a 2=2a 1ln a 1+1 +1=3,a 3=2a 2ln a 2+1 +1=6ln3+7，则2a 3-5a 1+a 2 =12ln3-6>0，又a 1+a 2>0，所以2a 3a 1+a 2>5，A 不正确.令函数f x =x -ln x -1，则f x =1-1x，则f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，f x ≥f 1 =0，即x ≥ln x +1，又易得a n 是递增数列，a n ≥a 1=1，故a n ≥ln a n +1，所以a n +1≤2a 2n +1，B 正确.易知a n 是递增数列，所以a n ≥a 1=1，则ln a n +1≥1,a n +1=2a n ln a n +1 +1≥2a n +1，则a n +1+1≥2a n +1 ，即a n +1+1a n +1≥2，所以a n +1a n -1+1⋅a n -1+1a n -2+1⋯⋯⋅a 2a 1≥2n -1，即a n +1≥2n -1a 1+1 =2n ，所以1a n +1≤12n，所以ni =11a i +1≤12+122+⋯+12n =121-12n1-12=1-12n<1，而当n ≥2时，则有ni =11a i +1≥1a 1+1+1a 2+1=34，C 正确.令函数g x =2ln x -x +1x ，则gx =2x -1-1x 2=-x 2+2x -1x 2≤0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，所以当x ≥1时，g x ≤g 1 =0，则ln x ≤12x -1x，所以a n +1≤2a n 12a n -1a n+1+1=a 2n +2a n ，a n +1+1≤a n +1 2,ln a n +1+1 ln a n +1 ≤2,ln a n +1 ln a n -1+1⋅ln a n -1+1 ln a n -2+1 ⋅⋯⋅ln a 2+1ln a 1+1≤2n -1，ln a n +1 ≤2n -1ln a 1+1 =2n -1ln2，所以∑ni =1ln a i +1 ≤(1+2+⋯+2n -1 ln2=2n -1 ln2，D 正确.故选：BCD .37.(2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试)已知函数f x ，g x 是定义在R 上的非常数函数，f x +1 的图象关于原点对称，且f x +g 1-x =4，f x +1 +g x -2 =4，则( )．A.f x 为奇函数 B.f x 为偶函数C.2024k =1f k =0D.2024k =1g k =8096【答案】BCD【解析】因为f x +1 的图象关于原点对称，故f 1+x +f 1-x =0，即f x +f 2-x =0①，f x +1 +g x -2 =4中，用3-x 代替x 得f 4-x +g 1-x =4，而f x +g 1-x =4，故f 4-x +g 1-x =4f x +g 1-x =4，两式相减可得f x =f 4-x ，即f x +2 =f 2-x ②，由①②可得f x =-f x +2 =f x +4 ③，故f x 的周期为4，所以f -x =f 4-x =f x ，故f x 为偶函数，因为f x 不是常数函数，所以f x 不是奇函数，故A 错误，B 正确．由①可得，f x +f x -2 =0，故f 1 +f 3 =0，f 2 +f 4 =0，于是2024k =1f k =506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =0，故C 正确．由f x +g 1-x =4可得f 1-x +g 1-1+x =4，即f 1-x +g x =4，因为f x 为偶函数，且f x =-f x -2 ，所以f -x =-f x -2 ，f 1-x =-f -1+x -2 =。
【压轴题】高考数学试卷带答案
【压轴题】高考数学试卷带答案一、选择题1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12 C ．1 D2．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．564．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,45．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4B ．16C ．8D ．326．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．19B ．29C ．49D ．7187．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．48．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ).ABCD ．69．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ．14B ．13C ．12D ．2310．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-211．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，712．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．4二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．16．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为 17．若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．18．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程． 22．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 23．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.24．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.25．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
高考数学专题《与过定点的直线相关的最值》填选压轴题及答案
专题41 与过定点的直线相关的最值【方法点拨】1. 选择直线方程的适当形式，若设为截距式，实质是引入了双元；若设为斜截式，则是引入了单元.无论那种形式，都有注意参数的范围.2. 当求线段被定点分成两条线段之积的最值时，转化为向量的数量积的坐标形式求解较简单，也可引入角为变量，建立关于角的目标函数，利用三角函数的有界性求解.【典型题示例】例1 已知直线l 过定点()2,1P -，且交x 轴负半轴于点A ､交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点，则OA OB +取得最小值时直线l 的方程为 . 【答案】240x y -+= 【解析一】设直线l 的方程为1x ya b +=（其中0,0a b <>） ∵直线l 过点()2,1P -，∴211a b-+= ∵||||OA OB b a +=-，∴()212||||33a b OA OB b a b a a b b a -⎛⎫+=-=--+=++≥+ ⎪-⎝⎭当且仅当2a =，1b =+l 的方程为20x ++=. 【解析二】设直线l 的方程为1(2)y k x -=+（其中0k >） 令0x =，21y k =+；令0y =，12x k=--∵11||||212233OA OB k k k k+=++--=++≥+∴当且仅当12k k=，即k 时取等号，所以直线l 的方程为20x -++=.例 2 已知直线l 过定点()2,1P -，且交x 轴负半轴于点A ､交y 轴正半轴于点B ，则PA PB ⋅取得最小值时直线l 的方程为 .【答案】30x y -+=【解析一】（截距式+向量+基本不等式中的“1”的代换） 设直线l 的方程为1x ya b+=（其中0,0a b <>）∵直线l 过点()2,1P -，∴211a b-+=， ∵A ，P ，B 三点共线，∴()()2,12,125PA PB AP PB a b a b ⋅=⋅=--⋅-=-+-()212222254154b a b a a b a b a b a b ⎛⎫=-+-+-=--++-=--≥ ⎪⎝⎭，当且仅当3a =-，3b =时取等号，所以直线l 的方程为30x y -+=． 【解析二】（斜截式+向量+基本不等式） 设直线l 的方程为1(2)y k x -=+（其中0k >） 令0x =，21y k =+；令0y =，12x k=-- ∴1,1PA k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2,2PB k = ∵A ，P ，B 三点共线， ∴()12,12,224PA PB PA PB k k k k ⎛⎫⋅=-⋅=---⋅=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当22k k=，即1k =时取等号，所以直线l 的方程为30x y -+=． 【解析三】（作垂线，利用直角三角形边角关系，三角函数有界性） 过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，设BAO α∠=（其中02πα<<）则1sin PA α=，2cos PB α= ∴244sin cos sin 2PA PB ααα==≥当且仅当sin21α=，即4πα=时取等号，此时直线的斜率为1∴直线l 的方程为30x y -+=．例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，则直线l 的方程是 ． 【答案】x ＋2y －4＝0【解析一】设直线l 的方程为y －1＝k (x －2) （其中k ＜0） 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )．∵S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k )＝4 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.【解析二】设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b ＝1.又∵2a ＋1b≥22ab ⇒12ab ≥4， 当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.【解析三】过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是C D 、 设BAO α∠=（其中02πα<<）则1tan PC α=，2tan PD α=∴122tan 2242tan AOBPBD PACSS Sαα=++=++≥=当且仅当12tan 2tan αα=，即1tan 2α=时取等号，此时直线的斜率为12-∴直线l 的方程是x ＋2y －4＝0.例4 已知直线:(2)3l y k x =-+，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．若使AOB ∆的面积为m 的直线l 共有四条，则正实数m 的取值范围是 ． 【答案】12m >【分析】由于直线:(2)3l y k x =-+过定点（2,3），故直线l 与第二、四象限围成的AOB ∆的面积可以取任意实数，换言之，当m 给定一正实数时，直线l 与第二、四围成的面积为m 的直线有且仅有两条，故只需考虑l 与第一象限围成的AOB ∆的面积为m 的直线有两条即可，由于l 与第一象限围成的AOB ∆的面积有最小值，根据对称性，大于该最小值的直线有两条，故问题转化为求l 与第一象限围成的AOB ∆的面积的最小值. 【解析一】∵直线(2)3y k x =-+与x 轴，y 轴交点的坐标分别是3(2A k-，0)，(0,32)B k -． ∴2131(23)|2||32|22||k S k k k -=⨯-⨯-=⨯．当0k >时，21412919(412)22k k S k k k-+=⨯=⨯+-，9424912k k+⨯=，当且仅当32k =时取等号．∴当0S m =>时，在0k >时，k 有两值；当0k <时，221(23)1412919[(4)12]2||22k k k S k k k k--+=⨯=⨯=⨯-++--，9424912k k -+⨯=-．当且仅当32k =-时取等号． ∴当0m =时，仅有一条直线使AOB ∆的面积为m ；当012m <<时，仅有两条直线使AOB ∆的面积为m ； 当12m =时，仅有三条直线使AOB ∆的面积为m ； 当12m >时，仅有四条直线使AOB ∆的面积为m ． 故答案是：12m >．【解析二】直线:(2)3l y k x =-+过定点（2,3），先求直线l 与第一象限围成的AOB ∆的面积的最小值，则所求m 大于该最小值时，满足题意 ∵3(2A k-，0)，(0,32)B k -（0k >） ∴2131(23)191|2||32|(412)(2412)1222||22k S k k k k k -=⨯-⨯-=⨯=⨯+-⨯= 当且仅当94k k =，即32k =时取等号 ∴当12m >时，仅有四条直线使AOB ∆的面积为m ． 故答案是：12m >．【巩固训练】1. 直线 （ 且不同时为0）经过定点_________．2.过点P (－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有_________条．3.已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|MA →|·|MB →|取得最小值时，直线l 的方程为________．4.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )，若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，则S 取得最小值时直线l 的方程是 ．5. 一直线过点(2,2)A 且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于B 、C 两点，O 为坐标原点．则||||||OB OC BC +-的最大值为 ．()()220m n x m n y m n ++--+=,m n R ∈,m n6.已知直线(21)(1)3(1)0m x m y m ++--+=，1(,1)2m ∈-与两坐标轴分别交于A 、B 两点．当OAB ∆的面积取最小值时(O 为坐标原点），则m 的值为 A ．13B ．13-C ．15-D ．157.（多选题）已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( ) A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是2【答案或提示】1. 【答案】【解析】直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含的项与含的项分别归为一组，可得：，若要让“失去作用”，则，解得，即定点为 .2.【分析一】直接设点斜式或截距式求出.【解析一】设过点P (－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ，则有直线的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M (0，2k ＋3)、N ⎝⎛⎭⎫－2－3k ，0．再由12＝12OM ·ON ＝12|2k ＋3|×|－2－3k |，可得|4k ＋9k ＋12|＝24，即4k ＋9k ＋12＝24，或4k ＋9k ＋12＝－24．解得k ＝32或k ＝－9－622或k ＝－9＋622，故满足条件的直线有3条．【分析二】求出与x 轴负方向、y 轴正方向所围成三角形面积的最小值，若大于12，满足条件的直线有二条；若小于12，满足条件的直线有四条；若大于12，满足条件的直线有三条. 3.【答案】x ＋y －3＝0【解析】设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.()1,1-m n ()()2120m x y n x y +-+-+=,m n 21020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=⎩()1,1-4.【答案】x －2y ＋4＝0【解析】由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 5. 【答案】842-【解析】设(,0)B b ，C (0,)c ，0b >，0c >， 则直线方程的截距式为1x yb c+=， 由(2,2)A 在直线上可得：221b c+=，即22bc c b =+， 因为22412b c bc=+，所以24bc ，当且仅当4b =，6c =时取等号， 所以22||||||OB OC BC b c b c +-=+-+222222()()b c b c b c b c b c b c++++-+=+++22()2bcb c b c bc=+++-22()224bc bc bc bc =+-24()8bc bc bc bc=+-448428111112bc==-+-+-．故答案为：842-． 6.【答案】C【解析】由直线(21)(1)3(1)0m x m y m ++--+=，1(,1)2m ∈-，可得3(1)(,0)21m A m ++，3(1)(0,)1m B m+-． ∴当OAB ∆的面积2213(1)3(1)9122211221m m m m S m m m m ++++=⨯⨯=⨯+--++， 令131(,)22m t +=∈，222991159225222()48t S t t t ∴=⨯=⨯-+---+，∴当45t =，即15m =-时，S 取得最小值．故选C ． 7.【答案】 ABD【解析】 对于A ，a ×1＋()－1×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立， 所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立， 所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确． 对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ， 代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1，所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2，所以|MO |的最大值是2，故D 正确.故选ABD.。
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高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020
【例
1】已知12,F F 为椭圆
2
2
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
1
1
C.
1
2
【课堂笔记】 【规律总结】
............................................................................................................................................................................................................
【例2】已知函数
x
x x x ax x f ln ln )(2
--
+=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则
211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3
322
x x x x --的值为
（ ）
A ．a -1
B ．1-a
C ．1-
D ．1
【课堂笔记】 【规律总结】
【例3】已知函数()2h x x ax b =++在
()0,1上有两个不同的零点，记
{}()(
)min ,m m n m n n m n ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则
()(){}min 0,1h h 的取值范围
为 .
【课堂笔记】
【规律总结】
........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数
表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知
113161351,9,48.a a a a =+==
（1）求1n a 和4n a ； （2）设
()()
()()
4144121n
n n n n n a b a n N a a +=
+-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【例5】在平面直角坐标系中动点()
,P x y 到圆()2
2
:11F x y +-=的圆心F 的距离比
它到直线2y =-的距离小1. （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设点P 的轨迹为曲线E ，过点F 的直线l 的斜率为k ，直线l 交曲线E 于,A B 两点，交圆F 于D C ,两点（C A ,两点相邻）. ①若BF tFA =，当]2,1[∈t 时，求k 的取值范围；
②过,A B 两点分别作曲线E 的切线12,l l ，两切线交于点N ，求ACN ∆与BDN ∆面积之积的最小值.
..................................
.......................................................................................................................................................................... 【综合演练】1.已知抛物线px y 22=的准
线方程为1-=x 焦点为C B A F ,,,为该抛物
列，且点B 在x 轴下方，若
=++，则直线AC 的方程
为 ．
【规律总结】 【例6】已知函数
()()ln 1.a
f x x x a R x
=-++∈
（1）讨论()f x 的单调性与极值点的个数；
（2）当0a =时，关于x 的方程
()()f x m m R =∈有2个不同的实数根
12,x x ，证明：12 2.x x +>
......................................................................................................
...................................................................................................... 【综合演练】2.已知函数
()24,0
ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨
>⎩
图象上有且只有4个不同的点关于直线e y =的对称点在函数
()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取
值范围为（ ）
A. ()1,2
B. ()1,0-
C.
()2,1-- D.()6,1--
【规律总结】。