复变函数复习资料剖析
考研复变函数知识点详解
考研复变函数知识点详解一、导数和解析函数在复变函数中，导数的定义和实数函数中的定义有所不同。
对于复变函数f(z)，如果在点z_0处存在极限：lim_(z→z_0) [f(z)-f(z_0)]/(z-z_0)那么这个极限称为函数f(z)在点z_0处的导数，记作f'(z_0)。
复变函数的导数可以表示为以下形式：f'(z)=lim_(Δz→0) [f(z+Δz)-f(z)]/Δz解析函数是指在定义域内处处可导的复变函数。
解析函数的导数满足Cauchy-Riemann方程：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x其中，函数f(z)=u(x,y) + iv(x,y) (u和v都是实数函数)。
当且仅当Cauchy-Riemann方程成立时，f(z)是解析函数。
二、积分与留数1. 古欧拉公式古欧拉公式是复变函数中的一个重要公式，它表达了自然对数底e 与三角函数之间的关系：e^(ix) = cos(x) + isin(x)2. 积分路径的选择复变函数中，积分路径的选择对积分结果有重要影响。
常用的积分路径有：- 直线路径：沿直线路径积分- 弧线路径：沿弧线路径积分- 闭合路径：沿闭合路径积分3. 留数定理留数定理是复变函数中的重要定理之一，它描述了在奇点处的留数与沿闭合路径的积分之间的关系：∮(f(z)dz) = 2πi∑(Res(f(z);z_k))其中，Res(f(z);z_k)表示在奇点z_k处的留数。
三、级数展开与解析延拓1. 幂级数展开在复变函数中，幂级数展开是一种重要的展开形式，它可以将复变函数表示为幂级数的形式。
其中，泰勒级数展开是一种常用的展开形式。
2. 解析延拓解析延拓是指将一个函数在定义域外进行扩展，以得到更多的函数性质或定义域。
解析延拓可以通过幂级数展开、亚纯函数等方式实现。
四、全纯函数与亚纯函数1. 全纯函数全纯函数是指在定义域内处处可导的复变函数。
全纯函数具有很多重要的性质，如导数存在、解析、无奇点等。
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳一、复变函数的基础知识1.复数与复平面：复数由实部和虚部构成，可以用复平面表示，实部表示横轴，虚部表示纵轴。
2.复变函数的定义：复变函数是将复数集映射到复数集的函数。
3.极坐标形式和指数形式：复数可以表示为极坐标形式和指数形式，这两种形式有助于分析复数运算和求解复变函数。
二、复变函数的性质与分析1.连续性与可导性：复变函数在复平面上的连续性与可导性是复变函数分析中重要的性质。
2.柯西-黎曼方程：一个函数在一些区域上可导，当且仅当其满足柯西-黎曼方程。
3.偏导数和全微分：复变函数的偏导数与全微分的概念与实变函数的类似，但存在一些差异。
三、积分变换的基础知识1.定积分：定积分是积分变换的基本操作，用于求解区间上的面积和曲线下的面积等问题。
2.不定积分：不定积分是对函数求原函数的逆过程，通过不定积分可以求出函数的原函数。
四、复积分与柯西公式1.复积分：复积分是对复变函数在一些区域上的积分，可以理解为沿着复平面上的曲线进行的积分运算。
2.柯西公式：柯西公式是复积分的重要定理，它将复变函数与曲线围城的区域之间的关系建立了起来。
3.洛朗级数展开：洛朗级数展开是复积分应用中的重要工具，可以将复变函数展开为无穷级数。
五、拉普拉斯变换与傅立叶变换1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是线性时不变系统中信号处理的重要工具，可以将时域函数转换为频域函数。
2.拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，例如位移定理、尺度定理和频率域乘法等。
3.傅立叶变换：傅立叶变换是将时域函数转换为频域函数的一种积分变换，广泛应用于信号分析和图像处理中。
以上是复变函数与积分变换的重要知识点的归纳总结。
这些知识点在数学及其应用中起到了重要的作用，对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
复变函数复习提要解读
第 1 页 共 4 页复变函数复习提要第1章：复数与复变函数⒈了解复数定义及其几何意义； ⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；⒍理解复变函数的极限与连续。
复数是用有序数对),(y x 定义的，其中y x ,为实数。
要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(x y y x ≠。
正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即},:),({R b a b a z C ∈==复数的四则运算定义为),(),(),(d b c a d c b a ++=+ ),(),(),(d b c a d c b a --=- ),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⋅ 0,),(),(),(222222≠++-++=÷d c dc ad bc d c bd ac d c b a 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅ ),(y x -称为),(y x z =的共轭复数，记为z 。
22y x +称为),(y x z =的模，记为z 。
共轭复数满足第 2 页 共 4 页z zz z zz zz z Im i2,Re 2,2=-=+=⋅ 2121z z z z ±=± 2121z z z z ⋅=⋅ 0,)(22121≠=z z zz z 例1 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 例2 求复数)i 21)(i 34()i 21)(i 34(+--+=A 的模．解 令i 21,i 3421-=+=z z ，有2121z z z z A ⋅⋅=由共轭复数的运算结果得1212121212121=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=z z z z z z z z z z z z A复数的三角式 )sin i (cos θθ+=r z （其中z r =） 复数的三角式 θi e r z = 由此得如下关系式 )(i 21i 2i 1212121e e eθθθθ+⋅=⋅=⋅r r r r z z0,e e e 2)(i 21i 2i 1212121≠==-z r r r r z z θθθθ第 3 页 共 4 页θn n nr z i e=2121z z z z ⋅=⋅0,22121≠=z z z z z)Arg()Arg()Arg(2121z z z z +=⋅ )Arg()Arg()Arg(2121z z z z -= 对于复数θi e r z =，它的n 次方根为)1,,1,0(eπ2i-==+n k r z nk nn θ。
复变函数复习资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
21复变函数的导数与解析函数剖析
所以
lim
z0
f
( z0
z)
f (z0),
即f (z)在 z0 连续.
例3 f (z) z在z平面上处处连续但却处处不可导
解 (1) f(z)=z的连续性显然
(2)
f z
=
z
z z
z
=
z z
z
x
i y
x x
1
iy
x 0, y 0 1x 0, y 0
iy
f 1(x 0, y 0) z
lim x 2yi lim 2yi 2, z0 x yi y0 yi
所以f (z) x 2 yi的导数 不存在.
x 0 y
z o
y 0 x
2.可导与连续的关系:
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
例3 如果 f (z) 在区域 D内处处为零 , 则 f (z) 在
区域 D内为一常数 . 证 f (z) u i v v i u 0,
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x
所以 u 常数, v 常数, 因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
30
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 1,
z0 z z0
z
y0 x iy i
x0
当点沿不同的方向使z 0时,极限值不同,
复变函数初步例题和知识点总结
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
复变函数总复习资料
总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应 用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断 函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等 。这些应用在物理学、工程学、经济学等领 域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方 程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有 着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有 着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中， 解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
THANKS
感谢观看
总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计 算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问 题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺 序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。
复变函数复习资料
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
复变函数复习重点解读
第一章复数与复变函数
1. 复数的四则运算,欧拉公式,复数的n次方根
2. 复平面上的曲线方程,参数方程和直角坐标方程以及与复数之间的互化。
3. 映射的概念
4. 复变函数的连续与极限
第二章解析函数
1. 掌握复变函数的导数与微分,解析函数的概念
2. 掌握函数解析的判断(大题
3. 初等函数,掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数;了解双曲函数(定义、反三角函数与反双曲函数的定义。
(大题
第三章复变函数的积分
1. 了解复变函数积分的概念和性质
2. 掌握柯西积分定理及其应用:柯西积分定理,原函数,复合闭路定理(大题
3. 掌握柯西积分公式,解析函数的高阶导数(大题
4. 掌握解析函数与调和函数的关系。
(大题
第四章复级数
1. 掌握复数项级数的审敛法
2. 掌握幂级数的敛散性判断及收敛半径
3. 掌握泰勒级数与洛朗级数的展开(大题
第五章留数及其应用
1. 函数的零点与极点及其判断
2. 留数及留数定理(大题
3. 留数在定积分计算中的应用,掌握教材中的1, 2, 3三种类型。
(大题第六章拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换的概念
2. 拉普拉斯变换的性质
3. 卷积,拉普拉斯逆变换
4. 拉普拉斯变换的应用(大题,求解微分方程
第七章矢量分析
1. 矢量的微分与积分
2. 矢量的标量积、矢量积以及混和积
第八章场论
1. 方向导数与梯度(大题
2. 通量与散度(散度定理(大题
3. 环量与旋度(斯托克斯定理(大题
4. 有势场与调和场。
复变函数与积分变换复习重点总结
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数知识点梳理解读
复变函数知识点梳理解读复变函数作为数学分析中的一个重要分支，其应用范围非常广泛。
从物理学、工程学到经济学、金融学，复变函数都有着广泛的应用。
本文将围绕复变函数的基本概念、性质、运算、级数展开论述，并提出一些具体的应用实例。
一、基本概念1. 复数复数是由实数和虚数构成的一种数，常见形式为a+bi（其中a、b为实数，i为虚数单位）。
复数具有很强的解析性质，因此在物理学、工程学等领域中有重要的应用。
2. 复变函数复变函数是一种以复数为自变量，输出为复数的函数。
复变函数有着不同于实变函数的特殊性质，因此在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
3. 复平面复平面是为了便于对复变函数进行可视化而引入的一个概念。
它是由实部和虚部作为坐标轴的平面。
在复平面上，复数a+bi对应着平面上的一个点(x,y)，其中x为实部，y为虚部。
二、性质1. 连续与可导性与实函数不同的是，复变函数的连续性与可导性是一对紧密联系的性质。
准确地说，连续、可导、解析是复变函数的递进性质。
一个复变函数在一个区域内解析，则其在该区域内具有无数次可导性。
2. 共轭与模长复数a+bi的共轭是a-bi，而其模长是sqrt(a^2+b^2)。
复变函数的共轭和模长有着重要作用。
实际上，共轭在大量的运算和变换中都有着广泛应用。
而模长则有着很好的几何意义，这种几何意义被广泛应用于电磁学、物理学等领域。
三、运算1. 基本运算对复数进行基本的四则运算与实数相似。
不同之处在于，运算中要特别注意实部与虚部的相互关系。
例如，两个复数相加时，它们的实部相加，虚部相加。
而两个复数相乘时，它们的模长相乘，幅角相加。
2. 洛朗展开洛朗展开是一个复变函数在复平面上展开的一种形式。
它将一个复变函数在原点附近展开成一系列幂函数与幂函数的分数，因此可应用于数值计算和图形绘制等方面。
四、级数展开1. 泰勒级数泰勒级数是一个复变函数在某个点处展开成一系列幂函数的形式。
它在数学和物理学中都有着广泛应用。
复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换复习重点复变函数和积分变换是高等数学中的重要内容，它们在数学和工程学科中有着广泛的应用。
本文将对复变函数和积分变换的复习重点进行介绍，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
一、复变函数：复变函数是指定义在复数域上的函数。
在复变函数的研究中，我们经常涉及到复数的代数运算、复数平面、复变函数的连续性、全纯函数以及留数定理等概念。
1. 复数的代数运算：复数具有加法和乘法运算，复数的共轭和模等概念也是我们需要重点掌握的知识点。
2. 复数平面：复数在平面上的表示方法是通过复平面来实现的。
复平面的坐标轴分别表示实部和虚部，而复数则可表示为平面上的一个点。
3. 连续性：与实变函数类似，复变函数也有连续性的概念。
我们需要了解复变函数的连续与不连续点，以及连续性和全纯性之间的关系。
4. 全纯函数：全纯函数是复变函数中的重要概念，它是指在某个区域上处处可导，并且导数也是复变函数的性质。
5. 留数定理：留数定理是复变函数中非常重要的定理之一，它可以帮助我们计算复变函数的积分，通过计算留数可以得到积分的结果。
二、积分变换：积分变换是一种通过积分的方法将一个函数转换为另一个函数的方法。
常见的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换。
1. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种通过积分的方式将函数从时域转换到复频域。
它在控制论、信号处理等领域有着广泛的应用。
2. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的方法。
它在信号处理、图像处理等方面具有重要的应用。
在学习积分变换时，我们需要掌握积分变换的定义、性质以及常见函数的变换公式。
同时，还需要了解积分变换的逆变换，以及如何通过积分变换求解微分方程等问题。
总结：复变函数和积分变换是数学中重要的内容，在理论和应用中都有广泛的应用。
本文对复变函数和积分变换的复习重点进行了梳理，希望能够对读者在复习和理解这部分知识时起到一定的帮助。
读者在学习过程中应注重理论与实际的结合，多进行习题练习，并通过实际问题的应用来加深对知识的理解和掌握。
复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数 知识点
复变函数知识点一、复数的基本概念。
1. 复数的定义。
- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。
x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。
2. 复数的相等。
- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。
3. 复数的共轭。
- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。
共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。
二、复数的四则运算。
1. 加法与减法。
- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。
2. 乘法。
- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。
3. 除法。
- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。
三、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
2. 复数的模与辐角。
- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。
- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。
《复变函数》重点难点
《复变函数》重点难点重点难点第一篇复变函数论本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理..第一章复数与复变函数本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；复变函数连续和极限的概念；区域概念及其判断；复变函数的极限和连续。
本章难点：涉及到计算机编程实践,以培养读者的计算机仿真能力.读者可以利用Matlab,Mathcad,Mathmatic等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运算,详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分本章知识点摘要：1.复数的概念定义形如某iy的数为复数，记作z某iy.其中某、y分别称为复数z的实部、虚，部，记作间一般不能比较大小.2.复数的表示法某RezyImz2，i称为虚数单位，它满足i1.与实数不同，两个复数之OP矢量（或向量）表示；O0,0P某,y（1）几何表示：对于复数z某iy可以用平面上起点在，终点在的P某,y（2）代数表示：对于平面上的点可用代数形式z某iy表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；zrcoiin（3）三角表示：当z某iy0时，复数可用三角函数形式表示.称为复数z的模；=Argzargz2k（k取整数）称为z的辐角.当k0时，对应于辐角的主值0argz，在本书中规定为πargzπ；3.复数的运算（1）复数满足常规的四则运算规律.zrco1iin1z2r2co2iin2（2）若11，，则z1z2rrco12iin1212z02zrcoiin（3）方根：设，则2kπ2kπnn其中关于复数的模和辐角有以下运算公式z1z2z1z2zrconiinnk0,1,2,,n1rz某2y2z20；Argz1z2Argz1Argz2zz11z2z24.区域和平面曲线本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D：(i)全由内点组成；(ii)具有连通性:即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D称为区域.连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线:如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲线.5.复变函数极限与连续fzu某,yiv某,yuu某,yvv某,y函数的极限等价于两个二元实函数和的极限.fzu某,y,yiv某函数在点z0某0iy0处的连续性等价于两个二元实函数u某,yv某,y和在该点的连续性.解题思路:2例研究什么原像通过映射wz后变为相互垂直的直线ua,vb,(a,b0).【解】由wz(某iy)某yi2某y，可以视为从某y平面到uv平面的映射，即为从z平面(原像)到w平面（像）的映射，易得u某y,v2某y我们具体考察在w平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到u某ya,v=2某yb,(a,b0)22某ya,(a0)显然原像为双曲线，如图1.11(a)实线所示；即有即有v=2某yb,(b0)显然原像为双曲线，如图1.11(a)虚线所示.22222222另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.特别地，当原像点在如图1.11(a)的双曲线右分支实线上时，由ua 且v2某y，得到，v2yy2a.因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：yvua0vb0ua,v2yy2a(y)很明显，当点(某,y)沿0（a）某图1.110(b)u着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b)沿直线ua向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式表示为ua,v2yya(y)当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线ua 向上运动.同样地可以分析：另一双曲线22某yb(b0)映像到直线vb.变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.重点难点第二章解析函数重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念；解析函数的概念；保角映射的概念；常用的初等解析函数；解析函数与调和函数的关系难点：多值函数产生多值性的原因；如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支；从几何意义上描述解析函数的特征.特色：（Matlab，Mathcad，Mathmatic）编程计算简单的复数方程本章知识点摘要：1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：f(z)limz0f(zz)f(z)z微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，df(z)f(z)dz.2.解析函数的概念解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若f(z)在z0及其一个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.3.柯西－黎曼条件方程复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R方程）.函数f(z)uiv在区域D内解析u,v在D内可微，且满足C-R条件：.4.关于解析函数的求导方法(1)利用导数的定义求导数(2)若已知导数存在，可以利用公式f(z)u某iv某vyiuyu某iuyvyiv某u某vy,v某uy求导.5初等复变函数初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.6解析函数与调和函数的关系区域D内的解析函数f(z)u(某,y)iv(某,y)的实部和虚部都是D内的调和函数.要想使得f(z)uiv在区域D内解析，u和v还必须满足C-R条件.因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数.平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现.解题思路【解】若设22某yc，求复势.例已知等势线的方程为u某某2,uyy2uu0u某2y2某某yy，则，故u不是调和函数.因而不u0222某y,uF()能构建为复势的实部（或虚部）.若令，采用极坐标有，故1u12uu()202把极坐标系中的拉普拉斯方程简化为1u()0，即为uC1,uC1lnC2vuC1,v=C1C3根据极坐标C-R条件的得到，故复势为f(z)C1lnC2iC1iC3C1(lni)C2iC3C1lnzC,(CC2iC3)22n我们可以总结出，当u,v具有(某y)的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便.重点难点第三章复变函数的积分重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法；解析函数积分的基本定理柯西积分定理；推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理；由柯西积分定理推导出一个基本公式柯西积分公式.难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明；理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广特色：尝试计算机仿真计算积分的值。
复变函数复习解读
u ( , ) 2 cos
2
u0
f ( , ) u ( , ) iv( , ) 2 cos
2
i 2 sin
2
u0 2 e 2 u0
i
2 ei u0 2 z u0
复变项级数
k 1
k
( z ) 1 ( z ) 2 ( z ) k ( z ) ,
收敛、一致收敛、绝对一致收敛
例
解
1 1 1 1 4 7 10
t a 1 a 0,b0 1 a 1 b n t (t ) dt 0 1 t b dt 0 n 0
求u
选坐标系：
u v x y y x
直角坐标
x y
2 2
1 2 x x2 y 2
y
x2 y 2
u 1 2y x 2 x x 2 y 2 2 x 2 y 2 u( z)
z z u 1 2y dx dx 2 2 0 x 2 x x2 y 2 2 x y
4. 柯西定理 在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零
B
积分路径只要不经过奇点， 可以连续变形
公式：
1 dz 0, l 2i z 1,
Sl . Sl
A
n ( z ) dz 0, l
n 1
柯西公式
1 f (a) 2 i
m 阶极点
例 令
的奇点的类型
1 1 z
sin
k 0
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在区域 D内
f (z) u i v u i u v i v v i u . x x x y y x y y
例4 设 f (z) x2 y2 2xyi,问 f (z) 在何处可微? 是否解析?
解 记 u x2 y2,v 2xy. 显然, 函数
u( x, y)和v( x, y) 在全平面内处处可微，但
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
(k 0, 1, 2, , n 1).
求方程 w4+16=0的四个根.
解 因用为M-1A6=T2L4eAiB, 函所数以命w4令=2可4e以i . 进于是行复数的四则
运公w算式和中2k乘4=e幂0时i 运 14的算结,2但e果 4是. k2方 i根 k运算0只,1,能2,得3到. 求方根
u 2x, u 2 y, v 2 y, v 2x.
x
y
x
y
只有在实轴 y 0 上满足Cauchy-Riemann方程,
所以 f (z)在实轴上可微. 但在任何一点的邻域 内都有不可微的点，因此， f (z) 处处不解析.
调和函数的定义
定义4 u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0,
利用x z z ; y z z 得f (z) 2z iz
2
2i
f (z) z2 z2 i c 2
x2
y2
xy
i
1 2
y2
2 xy
1 2
x2
cLeabharlann 定理2.3 (Cauchy积分定理) 设f (z)是单连 通区域 D上的解析函数，则对D内的任何闭曲线
C, 都有 f (z)dz 0.
定义5
若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R方程， 则称v为u的共轭调和函数 .
定理4：
函数f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内解析
v为u的共轭调和函数 .
解析函数的虚部为实部的共轭调和函数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。
(称为调和方程或Laplace方程)
称u(x, y)为区域D内的调和函数.
解析函数和调和函数的关系
定理3：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
注：逆定理不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v,
f (z) u iv 不一定是解析函数 .
>> (-16)^(1/4)
定理2.1 复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
在点 z0 x0 iy0 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要
条件是二元函数 u( x, y),v( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处都
可微，并且满足Cauchy-Riemann方程
u v , u v . x y y x
f
(n)(z0 )
n!
2 i
f (z) C (z z0 )n1定d理z,2.6 设函数f (z)在单连
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
C是D内分段光滑(或可求长)的
2 i.
zC的1 内部区域, 则f (z)在z0处存
(n)
n!
f (z)
5.1.2 孤立奇点
如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的
此时
f
( z0
)
u x
(
x0
,
y0
)
i
v x
(
x0
,
y0
)
.
定理2.2 复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
在区域D内解析的充分必要条件是 u( x, y),v( x, y)
在区域 D 内可微, 且在D内满足Cauchy-Riemann
方程
u v ,
v
u .
x y x y
则有各阶导数为：
f
(n)(z0 )
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,3, ),
其中C取正向.
高阶导数公式
例3.10
求积分
z3 1 z 2 (z 1)4 dz.
解 因为函数 f (z) z3 1在复平面解析,
z0 1在 z 2 内, n=3, 根据 高阶导数公式.
cx 1 x2 c,
2
所以 v x, y 1 y2 2xy 1 x2 c . 于是
2
2
f
z
x2
y2
xy
i
1 2
y2
2xy
1 2
x2
c
由
f
0
0 (
x
y
0 0
)
c0
从而
f
z
x2
y2
xy
i
1 2
y2
2xy
1 2
x2
为所求。
（法二）
因 f (z) u i u (2x y) i(2 y x), x y
3z 1
都 分在 段光C 的滑内(或部可, 求它C长们z)互(Jz不ord包a1含n曲)也d线互z, 不C1相C,C1交2z,,(并z,C且n 以都1) dz
C2
z(z
dz. 1)
3.3.3 高阶导数公式
定理3.8 设f (z) 在简单曲线C围成的区域D上解析, 在闭区域 D D C上连续，z0 是D内的一个点,
例6 已知一调和函数 u x, y x2 y2 xy ,
求一解析函数 f z u iv使 f 0 0.
解：（法一） ux 2x y , uy 2 y x
由 C-R 方程
vy ux 2x y v 2x y dy
2xy
1 2
y2
cx
vx
2y
c x ,
由vx uy 2y c x 2y x
C
注意1 若闭曲线C是区域 D 的边界, 函数
f (z)在在闭区域 D D C上解析 则 C f (z)dz 0.
1
例3.4
计算积分
z 1 2z
dz. 3
解 因为函数 f (z) 1 2z 3
在 z 1上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有 1
dz 0.
z 1 2z 3
定理3.7 设f (z) 在简单曲线C围成的区域D上解析, 在闭区域 D D C上连续，z0 是D内的一个点,
则有：
f
( z0
)
1 2πi
f (z) dz. C z z0
Cauchy积分公式
z0
D
C
3z 1
例3.9
计算积分
dz,
C z(z 1)
其中C是
正向圆周 z 2.
解 在C内部作正向圆周
C1
:
z
1, 2
C2
:
z
1
1 4
.
根据 复合闭路定理 ,
定理2.4 设 C,C31,zC2, 1,Cn是多连通区3z域D内1