数学必修一讲义

第一讲 集合

集合的有关概念

⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。

⑵集合中元素的特性：⎪⎩

⎪

⎨⎧的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素

注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。

⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈

②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ∉

（注意：属于或不属于（∉∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上）

⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号∅表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。例：{

}2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{}

4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。

图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N

*

；整数集记

作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}）

高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些

简单集合。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列语句是否正确

1）大于5的自然数集可以构成一个集合。 正确{}5>∈x N x 2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。错误 3）所有的偶数构成的集合是无限集。 正确

4）集合{}{}b a c B c b a A ,,,,,==则集合A 和集合B 是两个不同的集合。 错误 二、用符号∈或∉填空。

1）N __0 2）Z _____14.3 3）Q

______π

4）若{}

x x x A 22==，则A _____2-

5）若{}

0322

=--=x x

x B ，则B _____3

三、用适当的方法表示下列集合 1）一次函数12+=x y 与421

+-

=x y 的交点组成的集合。⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛517,56 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛517,56⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧517,56区别是什么？ 2）绝对值等于3的全体实数构成的集合。{}3,3-

3）大于0的偶数。{}*,2N n n x x ∈={},...8,6,4,2

能力提升 1）集合(){}N y x y x y x A ∈=+=

,,72,，用列举法表示集合A 。

,00

53

22

x y N x y N N ∈∴≥≥∉∈∴解： 当x=1 y=3 当x=3 y=2

x=2 y= x=4 y= x=5 y=1

{（1,3）,(3,2),(5,1)}

2）集合{}0122

=++=

x ax

x A 中只有一个元素，求a 的值。

21

2

21044a 1=0

a=1

x ≠++=∆=-⨯⨯∴解：当a=0 方程：2x+1=0 x=-合题意

当a 0 ax 当 3）用描述法可将集合{

} ,11,9,7,5,3,1---表示成________________________。 n+1

{x x n *}N =∈解：（-1）（2-1）,n

知识要点二：

集合与集合之间的关系 ⑴子集

①一般地，如果集合A 中的任何元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集 记作B A ⊆（A 包含于B ）或A B ⊇(B 包含A )即：对任意B x A x ∈⇒∈，则B A ⊆。 显然A A ⊆，对于任一集合A ，规定A ⊆φ。

⑵真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素A x B x ∉∈,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作

A

B 。⊂

集合是任意非空集合的真子集。 ⑵集合的相等

集合,A B 如果B A ⊆，同时B A ⊆，则称A B =。 ⑶严格区分，正确使用“,,,,

∈∉⊆⊄”等符号。

前两个是用在元素与集合的关系上，后三个是用在集合与集合的关系上，一定注意区分。 集合关系与其特征性质之间的关系

一般地，设(){}()

{}

,A x p x B x q x ==，如果B A ⊆，则B x A x ∈⇒∈，

{}

2x x x x

例： A={3} B=

于是x 具有性质()p x x ⇒具有性质()q x ，即()()p x q x ⇒。B ∈⇒⇒若A B 当x 3x

2

当x

3x 2

我们说A 一定是的子集。

反之，如果()()p x q x ⇒，则A 一定是B 的子集。 集合的运算 ⑴交集

一般地，对于两个给定的集合,A B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做,A B 的交集，记作A B ⋂，读作“A 交B ” 由定义容易知道：

⑵并集

一般地，对于两个给定的集合,A B ，由A ，B 两个集合的所有元素构成的集合，叫做,A B 的并集，记作A B ⋃，读作“A 并B ” 由定义容易知道

⑶补集

全集：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 来表示。

补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作

U

A ，读作“A 在U 中的补集”。

高考要求：理解子集、补集、交集、并集的概念。了解全集的意义，了解包含、相等关

系得意义，掌握相关的术语、符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

例题讲解：

夯实基础

一、用适当的符号填空∈⊆

⊂

1）{}2__1,2,3 2）{}__,a a b 3）{}{}_____,,a a b c 4）{}__0∅ 5）{}{}1,4,7____7,1,4 6）{}0,1____N 7）{}

2

____1x R x ∅∈=-

二、已知集合{}2,0,1A =-，那么A 的非空真子集有_________个。

{}{}{}{}{}{}

20120211,0Φ---解：A 的非空真子集指的是，除A 集合本身与后所有子集 含有1个元素的 含有2个元素的，，

n 2n =给出计算子集的公式，全部子集个数，表示元素个数。

三、求下列四个集合间的关系，并用维恩图表示。U A C

{}{}

{}{}A x x B x x C x x D x x ====是平行四边形，是菱形，是矩形，是正方形