数学必修一讲义

第一讲 集合集合的有关概念⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。

⑵集合中元素的特性：⎪⎩⎪⎨⎧的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。

⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ∉（注意：属于或不属于（∉∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上）⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号∅表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。

例：{}2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

例：{}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。

图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N*；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。

（这些特定集合外面不用加{}）高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。

例题讲解：夯实基础一、判断下列语句是否正确1）大于5的自然数集可以构成一个集合。

正确{}5>∈x N x 2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。

错误 3）所有的偶数构成的集合是无限集。

正确4）集合{}{}b a c B c b a A ,,,,,==则集合A 和集合B 是两个不同的集合。

错误 二、用符号∈或∉填空。

1）N __0 2）Z _____14.3 3）Q______π4）若{}x x x A 22==，则A _____2-5）若{}0322=--=x xx B ，则B _____3三、用适当的方法表示下列集合 1）一次函数12+=x y 与421+-=x y 的交点组成的集合。

⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛517,56 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛517,56⎭⎬⎫⎩⎨⎧517,56区别是什么？ 2）绝对值等于3的全体实数构成的集合。

{}3,3-3）大于0的偶数。

{}*,2N n n x x ∈={},...8,6,4,2能力提升 1）集合(){}N y x y x y x A ∈=+=,,72,，用列举法表示集合A 。

,005322x y N x y N N ∈∴≥≥∉∈∴解： 当x=1 y=3 当x=3 y=2x=2 y= x=4 y= x=5 y=1{（1,3）,(3,2),(5,1)}2）集合{}0122=++=x axx A 中只有一个元素，求a 的值。

21221044a 1=0a=1x ≠++=∆=-⨯⨯∴解：当a=0 方程：2x+1=0 x=-合题意当a 0 ax 当 3）用描述法可将集合{} ,11,9,7,5,3,1---表示成________________________。

n+1{x x n *}N =∈解：（-1）（2-1）,n知识要点二：集合与集合之间的关系 ⑴子集①一般地，如果集合A 中的任何元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集 记作B A ⊆（A 包含于B ）或A B ⊇(B 包含A )即：对任意B x A x ∈⇒∈，则B A ⊆。

显然A A ⊆，对于任一集合A ，规定A ⊆φ。

⑵真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素A x B x ∉∈,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB 。

⊂集合是任意非空集合的真子集。

⑵集合的相等集合,A B 如果B A ⊆，同时B A ⊆，则称A B =。

⑶严格区分，正确使用“,,,,∈∉⊆⊄”等符号。

前两个是用在元素与集合的关系上，后三个是用在集合与集合的关系上，一定注意区分。

集合关系与其特征性质之间的关系一般地，设(){}(){},A x p x B x q x ==，如果B A ⊆，则B x A x ∈⇒∈，{}2x x x x例： A={3} B=于是x 具有性质()p x x ⇒具有性质()q x ，即()()p x q x ⇒。

B ∈⇒⇒若A B 当x 3x2当x3x 2我们说A 一定是的子集。

反之，如果()()p x q x ⇒，则A 一定是B 的子集。

集合的运算 ⑴交集一般地，对于两个给定的集合,A B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做,A B 的交集，记作A B ⋂，读作“A 交B ” 由定义容易知道：⑵并集一般地，对于两个给定的集合,A B ，由A ，B 两个集合的所有元素构成的集合，叫做,A B 的并集，记作A B ⋃，读作“A 并B ” 由定义容易知道⑶补集全集：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 来表示。

补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作UA ，读作“A 在U 中的补集”。

高考要求：理解子集、补集、交集、并集的概念。

了解全集的意义，了解包含、相等关系得意义，掌握相关的术语、符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

例题讲解：夯实基础一、用适当的符号填空∈⊆⊂1）{}2__1,2,3 2）{}__,a a b 3）{}{}_____,,a a b c 4）{}__0∅ 5）{}{}1,4,7____7,1,4 6）{}0,1____N 7）{}2____1x R x ∅∈=-二、已知集合{}2,0,1A =-，那么A 的非空真子集有_________个。

{}{}{}{}{}{}20120211,0Φ---解：A 的非空真子集指的是，除A 集合本身与后所有子集 含有1个元素的 含有2个元素的，，n 2n =给出计算子集的公式，全部子集个数，表示元素个数。

三、求下列四个集合间的关系，并用维恩图表示。

U A C{}{}{}{}A x x B x x C x x D x x ====是平行四边形，是菱形，是矩形，是正方形⊂⊂⊂⋂解：B A,C A,D A,D=B C四、已知{}{}{}1,2,3,4,,10,21234U A B ===，4，6，8，10，，，，，求()(),U U A B C A C B ⋂⋂。

{}{}{}()(){}24135795678910579U U U U A B A B A B ⋂===∴⋂=解：， C ，，，， C ，，，，，C C ，，能力提升一、若集合X 满足{}{}0121012X ⊆⊆--，，，，，，则X 的个数有几个？ {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}0101320110120101232101220112010132102X --------解：中至少要含有，两个元素。

比，多一个元素的有个，，，，，，比，多个人元素的有个，，，，，，，，，比，多个元素的，，，1， 二、如右图U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集， 则阴影部分所表示的集合是（ ）()().U A M P C S ⋂⋂()().U B M P C S ⋂⋃().C M P S ⋂⋂().D M P S ⋂⋃u M P C S ⋂解：先看如图所示 而为图以外部分以上两部分公共区域显然为图中阴影三、已知集合{}{}{}24,21,,5,1,9,9A a a B a a A B =--=--⋂=，试求实数a 。

{9}9B A∴∴∴⋂⋂=∴∈解：对于集合A 来讲（1）令2a-1=9a=5A={-4,9,25} B={0,-4,9}A B={-4，9}与已知不符。

a=5舍去A2(2)9333{4,5,9}a a a a A ===-==-令或时， B={-2，-2，9} 不符合集合的互异性，a=3舍去A B={9}3{4,4,8,7,9}a A B ⋂∴=-∴⋃=---（3）当a=-3A={-4,-7,9} B={-8,4,9} 与相符 四、已知集合(){}2210,,A x x p x p x R =+++=∈，且A R +⋂=∅，求实数p 的取值范围。

222(2)x 1041104p0 -4p 0A R p φφφ+⋂=+++=∴∆-⨯⨯+∴解：若 等价于A= 或方程x 有两个非正根 若A=则=（p+2）p21212(2)x 100p 0p 4x x p 20p x x 10p -4p 0p 2p 0p p +++=∆≥⇒≥≤⎧⎪+=--⎨⎪⋅=⎩≤≥⎧⎨-⎩∴≥∞ （2）方程x 有两个非正根或 -2或 解得 综上的取值范围（-4，+）注意：A R +⋂=∅的条件之一就是A =∅，这是十分容易遗漏的，另外对(){}2210,,A x x p x p x R =+++=∈的正确理解应是二次方程()2210x p x +++=的根组成的集合。

那么应该有三种情况：两个不等实根、两个相等实根、无实根。

而无实根就是使得A 为空集的情况。

第二讲 函数及其性质知识要点一：函数及其相关概念⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。

记作：:f A B →。

⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。

⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。

⑹区间：定 义 名 称 符 号{}x a x b ≤≤ 闭区间 [],a b {}x a x b << 开区间 (),a b{}x a x b ≤< 半开半闭区间 [),a b {}x a x b <≤半开半闭区间(],a b闭区间是包括端点，开区间不包括端点。