高中数学 2.1柯西不等式课件 北师大版选修4-5
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高二数学北师大版选修4-5课件2.1 柯西不等式
2.一般形式的柯西不等式 (1)定理 2: 2 2 2 2 设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������1 + ������2 +…+������������ )(������1 +
2 2 ������2 +…+������������ )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当向量(a1,a2,…,an)与向量(b1,b2,…,bn)共线时,等号 成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式): 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有(������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + 2 ������3 )≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时等号成立.
第二章
几个重要的不等式
§1
柯西不等式
课程目标 1.认识简单形式的柯西不等式的 几种形式,理解它们的几何意义. 2.会证明一般形式的柯西不等式, 并能利用柯西不等式来解决有关 问题.
学习脉络
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 表达式 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2 向量形式 |α||β|≥|α· β| α 与 β 共线 等号成立的条件
点拨(1)三维形式的柯西不等式是二维形式的柯西不等式的推广,是二维
形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式过渡的桥梁,是从平面向量的几何背 景到空间向量的几何背景的拓展. (2)根据从特殊到一般的认识过程,由二维和三维形式的柯西不等式,类比猜想 出一般形式的柯西不等式.
高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
取到．
第23页
题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
第24页
【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
第11页
思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
第12页
题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
第6页
3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
第9页
≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.
高二数学选修4-5：第二章 2.1 柯西不等式
又 a，b，c 为正实数，∴a＋b＋c>0.
∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
利用柯西不等式求最值
[例 3] 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6 的最大值．
[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题 需要利用好特定条件，设法去掉根号．
[精解详析] 根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1× 2x＋1＋1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝
a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
即ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
8．已知 x，y，z 均为正实数，且 x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值 为________．
解析：利用柯西不等式．
由于(x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥
x·1x＋
y·2y＋
z·3z2＝36，
所以1x＋4y＋9z≥36.
当且仅当 x2＝14y2＝19z2，即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．∴
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
二、填空题 5．设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P＝ ab＋ cd，Q＝
高中数学柯西不等式PPT课件
等式的基本方法，以及向量的数量积的性质
。
这个性 质正是 柯西不等式的向量形式，是这节课内容最
佳的“知识生长点”。
三、说目标
1、知识目标： 2、能力目标：
（1）理解柯西不等式的二维形式和 向量形式； （2）能运用柯西不等式的二维形式 解决一些简单问题； （3）让学生了解柯西的主要贡献， 贯穿数学史教育。
（二）、实施探究
设计意图
问题5：请仔细观察柯西不等式的 二维形式，想一想，它的结构有
什么特点？
1、掌握柯西不等式的 二维形式的结构特点是 突破本节难点的关键。
2、可以培养学生的观
察、分析，归纳能力，
同时，让学生成为发
（引导学生通过类比基本不等式的结构特点，观 现者，可以增加学生
不小于 察、分析，相互探讨，归纳出：“平方的和的乘
（二）、实施探究
设计意图
问题4：能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式？
(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价)
因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。
五、说学法
教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生学会 学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问题 的方法。在教学活动中，我通过肯定学生的正确，指 出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生养 成独立思考，积极探索的习惯。培养学生主动探究的 学习方式。
六、说教学过程
设置悬念
归纳小结
理解深化 初步运用
（六）、设置悬念
问题9：柯西不等式的三维、四维、
n维的形式是怎样的？如何推导？
高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥__(_a_1b_1_＋__a_2b_2_＋__…_＋__a_n_b_n)_2___________， 当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共__线__时，等号成
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
高中数学 北师大版选修4-5第三讲 一
一 二维形式的柯西不等式
[学习目标]
1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，
以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它
们的几何意义. 2.会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、 定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些 函数的最值.
[知识链接]
1.预习教材后， 想一想在二维形式的柯西不等式的代数形式中， a c 取等号的条件可以是b＝d吗？
（a1－c1）2＋（a2－c2）2 ≥____________________________，
其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|. 5.设 α，β，γ 为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立
α－β＝λ(β－γ)(λ＞0) 的充要条件为______________________.
解析
2
)
6 B. 5
25 C. 36
36 D. 25
2x2＋3y2＝[( 2x)2＋( 3y)2][( 3)2＋
1 1 6 6 2 2 ( 2) ]× ≥ ( 6x＋ 6y) ＝ (x＋y) ＝ . 5 5 5 5 3 2 当且仅当 2x＝3y，取 x＝5，y＝5时等号成立. 答案 B
3.设
2 4 2 1 xy＞0，则x ＋y2y ＋x2
规律方法 二维形式的柯西不等式可以理解为四个 数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的， 不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆.例如，
(a2＋b2)· (d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋
b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.
2 2 3 跟踪演练 1 设 a1，a2，a3 为正数，求证： a3 ＋ a · a ＋ a · a ＋ a 1 1 2 1 2 2＋ 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 a3 ＋ a · a ＋ a · a ＋ a ＋ a ＋ a · a ＋ a · a ＋ a ≥ 2( a ＋ a ＋ a 2 2 3 2 3 3 3 3 1 3 1 1 1 2 3).
[学习目标]
1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，
以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它
们的几何意义. 2.会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、 定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些 函数的最值.
[知识链接]
1.预习教材后， 想一想在二维形式的柯西不等式的代数形式中， a c 取等号的条件可以是b＝d吗？
（a1－c1）2＋（a2－c2）2 ≥____________________________，
其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|. 5.设 α，β，γ 为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立
α－β＝λ(β－γ)(λ＞0) 的充要条件为______________________.
解析
2
)
6 B. 5
25 C. 36
36 D. 25
2x2＋3y2＝[( 2x)2＋( 3y)2][( 3)2＋
1 1 6 6 2 2 ( 2) ]× ≥ ( 6x＋ 6y) ＝ (x＋y) ＝ . 5 5 5 5 3 2 当且仅当 2x＝3y，取 x＝5，y＝5时等号成立. 答案 B
3.设
2 4 2 1 xy＞0，则x ＋y2y ＋x2
规律方法 二维形式的柯西不等式可以理解为四个 数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的， 不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆.例如，
(a2＋b2)· (d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋
b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.
2 2 3 跟踪演练 1 设 a1，a2，a3 为正数，求证： a3 ＋ a · a ＋ a · a ＋ a 1 1 2 1 2 2＋ 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 a3 ＋ a · a ＋ a · a ＋ a ＋ a ＋ a · a ＋ a · a ＋ a ≥ 2( a ＋ a ＋ a 2 2 3 2 3 3 3 3 1 3 1 1 1 2 3).
选修4-5 一般形式的柯西不等式
情感态度与价值观
培养学生的逻辑思维能力.
教学重难点
重点
运用柯西不等式分析解决一些 简单问题.
难点
一般形式的柯西不等式的 证明思路.
柯西不等式的一般形式为 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+ …+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)2 (2)
猜 想
分 析
如果设 A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C= b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.我们 可以构造二次函数，通过讨论相应的判别 式来证明.
思考
从三维的角度思考问题，关于柯西不 等式会有什么结论（结合图像）？
y
c, d
z
a1 , a2 , a3
0
a, b
x x 0
b1 , b2 , b3
y
观察图，从平面向量的集合背景可以得到
二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的
集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│ 将空间向 量的坐标代入，化简得 (a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当 且仅当α=β共线时，即β=0.或存在一个数k,使得
4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.于是
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2 b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时， 判别式△=0，以上不等式取等号.
【北师大版】选修4-5数学：2.1《柯西不等式》ppt课件
-12-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
-13-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
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重难探究
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-16-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
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重难探究
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点评
当式子中有根号、平方等形式时,经常应用柯西不等式求解.
-17-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
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-14-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
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§1 柯西不等式
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探究二
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2.1柯西不等式 课件(北师大版选修4-5)
课
当
前
堂
自
【证明】 由柯西不等式
双
主
基
导
达
学
(2x＋y)2≤[( 3x)2＋( 2y)2][( 23)2＋( 12)2]
标
课 堂
＝(3x2＋2y2)(43＋12)≤6×161＝11.
互
动 探
于是 2x＋y≤ 11.
究
课 时 作 业
菜单
BS ·数学 选修4-5
设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
【思路探究】 如何构造二组数是解决问题的关键．
课
当
前 自
【自主解答】 由柯西不等式
堂 双
主
基
导 学
[( ab)2＋( bc)2＋( ca)2][( b)2＋( c)2＋( a)2]
达 标
课
≥(
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a)2.
堂
互 动 探 究
于是(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
菜单
利用柯西不等式求最值
BS ·数学 选修4-5
课 前 自
已知 x2＋2y2＋3z2＝1187，求 3x＋2y＋z 的最小值．
当 堂 双
主
基
导
达
学
【思路探究】 利用 x2＋2y2＋3z2 为定值，构造柯西不等 标
式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．
课
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
BS ·数学 选修4-5
【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得 25(x2
课 ＋y2)≥4，
高考数学一轮总复习 2不等式证明的基本方法课件(选修4-5)
放缩法等．
A
9
对点自测
知识点一
基本不等式
1.若 0<a<b<1，则 a＋b,2 ab，a2＋b2,2ab 中最大的一个是 ________．
A
10
解析 ∵a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab. 又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)． ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)＋b(b－1)<0. ∴a2＋b2<a＋b.
由平均不等式可得a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3.
所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
A
16
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
答案 a＋b
A
11
2．已知 x，y∈R，且 xy＝1， 则1＋1x1＋1y的最小值为 ________．
解析 1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝4. 答案 4
A
12
知识点二
柯西不等式
3.已知 x，y，z 为正数，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小
值是__________．
解析 x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×13≥(1·x＋1·y＋ 1·z)2×13＝13.
A
19
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就 不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须 是明显的．
北师大版数学高二《 柯西不等式》教案 选修4-5
1 让学生通过观察得出二维形式的三角不等式
从而得到定理3（二维形式的三角不等式）
2引导学生利用柯西不等式证明定理3，即以经典不等式为依据得出定理3中的不等关系，这是柯西不等式的一个简单的应用。
3例3的解决也是柯西不等式的一个简单的应用，让学生体会柯西不等式的用处
4在解决问题的过程中，让学生体会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决具体问题的方法。
新
课
讲
授
过
程
引 探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据 △ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
③讲解例题（例3）
④练习P37 第7题 第6题
小
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37 第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
从而得到定理3（二维形式的三角不等式）
2引导学生利用柯西不等式证明定理3，即以经典不等式为依据得出定理3中的不等关系，这是柯西不等式的一个简单的应用。
3例3的解决也是柯西不等式的一个简单的应用，让学生体会柯西不等式的用处
4在解决问题的过程中，让学生体会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决具体问题的方法。
新
课
讲
授
过
程
引 探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据 △ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
③讲解例题（例3）
④练习P37 第7题 第6题
小
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37 第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
北师大版高中数学选修4-5：本章整合2 (共26张PPT)
②
所以
5 3 3 3 ������ +������ a +b +c ≤ 2������2
5
+
������5 +������5
������5 +������ 2 + 2������2 2������
5
.
本章整合
专题一 专题二 专题三
变式训练 2 设 a,b,c 都是正数,求证: ������ + ������ + ������ ≥a+b+c. 证明由题意不妨设 a≥b≥c>0,
本章整合
本章整合
本章整合
答案:①柯西不等式 ②向量形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺 序和 ⑤证明整除问题 ⑥证明几何问题 ⑦贝努利不等式
本章整合
专题一 专题二 专题三
专题一 柯西不等式的应用
2 2 2 2 1.柯西不等式的一般形式为(������1 + ������2 +…+������������ )(������1 + 2 2 ������2 +…+������������ )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当向量(a1,a2,…,an)与向 量(b1,b2,…,bn)共线时,等号成立,其中 ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式 的形式简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较 为困难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题.
1
1
本章整合
专题一 专题二 专题三
变式训练 1 已知实数 a,b,c 满足 a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求 证:- ≤c≤1.
《2.1柯西不等式 2 一般形式的柯西不等式》课件 -优质公开课-北师大选修4-5精品
1，2，3)时，等号成立.
课前探究学习
课堂讲练互动
3．你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？
提示 柯西不等式的一般形式为：若 a1，a2，„，an，b1， 2 2 2 2 b2， „， bn 都为实数，则有 (a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ ＋ 2 b2 n)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ， 证明如下： 若 a1＝a2＝„＝an＝0，则不等式显然成立，故设 a1，a2，„， 2 2 an 至少有一个不为零，则 a2 ＋ a ＋ „ ＋ a 1 2 n>0. 2 2 2 考虑二次三项式 (a 2 1 ＋ a 2 ＋ „ ＋ a n )x ＋ 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 1＋b2＋„＋bn) ＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋„＋(anx＋bn)2≥0. 对于一切实数 x 成立，设二次三项式的判别式为 Δ， Δ 2 2 2 2 则 ＝(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2－(a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ 4 2 ＋bn )≤0.
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课堂讲练互动
2．在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯 西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，
则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得
2 2 2 2 2 2 (a2 1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3) . 当且仅当α与β共线时，即存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝
＝[( a＋b)2＋( b＋c)2＋( c＋a)2]·
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高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
解：由柯西不等式，得 4a＋1＋ 4b＋1＝1· 4a＋1＋1· 4b＋1
≤ 12＋12[ 4a＋12＋ 4b＋12] ＝ 24a＋1＋4b＋1＝ 2×6＝2 3， 当且仅当 4a＋1＝ 4b＋1，即 a＝b＝12时等号成立． 故 4a＋1＋ 4b＋1的最大值为 2 3.
• 1．柯西不等式强调的是两个正项与另外两个正项之 间的关系，对不符合形式的式子要从整体上进行拆 分，“拼” “合”“变式”，转化为某两项间的关
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
• 阅 内容读，教完材成P27下～列P2问8“题简：单形式的柯西不等式”的有关
• 1．简单形式的柯西不等式
• 定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋
d2)≥ ____________，当向量(a，b)与向量(c，
(da)c_＋_b_d)_2 ______时等号成立．
共线
• 1．柯西不等式中，当实数a，b，c，d满足什么条件 时取等号？
利用柯西不等式证明不等式
•
(1)若a，b∈R，求证：(a4＋b4)(a2＋b2)≥(a3
＋b3)2.
(2)若 a>b>c，求证：a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
证明：(1)根据柯西不等式，得 (a4＋b4)(a2＋b2)＝[(a2)2＋(b2)2](a2＋b2)≥(a2·a＋ b2·b)2＝(a3＋b3)2.
≤ 12＋12[ 4a＋12＋ 4b＋12] ＝ 24a＋1＋4b＋1＝ 2×6＝2 3， 当且仅当 4a＋1＝ 4b＋1，即 a＝b＝12时等号成立． 故 4a＋1＋ 4b＋1的最大值为 2 3.
• 1．柯西不等式强调的是两个正项与另外两个正项之 间的关系，对不符合形式的式子要从整体上进行拆 分，“拼” “合”“变式”，转化为某两项间的关
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
• 阅 内容读，教完材成P27下～列P2问8“题简：单形式的柯西不等式”的有关
• 1．简单形式的柯西不等式
• 定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋
d2)≥ ____________，当向量(a，b)与向量(c，
(da)c_＋_b_d)_2 ______时等号成立．
共线
• 1．柯西不等式中，当实数a，b，c，d满足什么条件 时取等号？
利用柯西不等式证明不等式
•
(1)若a，b∈R，求证：(a4＋b4)(a2＋b2)≥(a3
＋b3)2.
(2)若 a>b>c，求证：a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
证明：(1)根据柯西不等式，得 (a4＋b4)(a2＋b2)＝[(a2)2＋(b2)2](a2＋b2)≥(a2·a＋ b2·b)2＝(a3＋b3)2.
北师大版高中数学选修4-5课件1-1 不等式的性质课件
a>b，c<0⇒ _a_c_<_b_c_； 推论1：a>b>0，c>d>0⇒ _a_c_>_b_d_； 推论2：a>b>0⇒ _a_2_>_b_2_ 推论3：a>b>0⇒ _a_n_>_b_n_，n∈N*；
11
推论4：a>b>0⇒ _a_n_>_b_n ，n∈N*.
课前探究习
课堂讲练互动
自主探究
( )．
A．m<n
B．m>n
C．m≥n
D．m≤n
解析 化简后作差．
答案 D
课前探究学习
课堂讲练互动
2．若 1<a<4，1<b<2，则ab的取值范围为
A．(1，2)
B.12，2
C．(2，4)
D.12，4
解析 先求出1b的范围．
答案 D
( )．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．已知不等式：①x2＋3>2x；②a5＋b5>a3b2＋a2b3；③a2＋ b2≥2(a－b－1)，其中正确的不等式有__________(填上正 确的序号)． 答案 ①③
课前探究学习
课堂讲练互动
2．怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变 形？ 提示 比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a －b的符号． 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形， 前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平 方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．
行．其一般步骤是：
(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化 等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论．
课前探究学习
11
推论4：a>b>0⇒ _a_n_>_b_n ，n∈N*.
课前探究习
课堂讲练互动
自主探究
( )．
A．m<n
B．m>n
C．m≥n
D．m≤n
解析 化简后作差．
答案 D
课前探究学习
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2．若 1<a<4，1<b<2，则ab的取值范围为
A．(1，2)
B.12，2
C．(2，4)
D.12，4
解析 先求出1b的范围．
答案 D
( )．
课前探究学习
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3．已知不等式：①x2＋3>2x；②a5＋b5>a3b2＋a2b3；③a2＋ b2≥2(a－b－1)，其中正确的不等式有__________(填上正 确的序号)． 答案 ①③
课前探究学习
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2．怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变 形？ 提示 比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a －b的符号． 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形， 前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平 方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．
行．其一般步骤是：
(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化 等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论．
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