选修基本不等式

题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
a
ab
(3)(a b)(1 1) 4 ab
(4)a 2
2
1 a2
2
2
其中成立的是 （1）（2）（3）(4)
等号能成立的是（1）（2）（3） 。 例2：若 a b 1, P lg alg b,
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”。
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练习：
1、当x>0时，x 1 的最小值为 2 ，此时x= 1 。 x
2、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0)
1
则x y 的最大值是 6 。
3、若实数 x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小
值是（ D ）
A、10
1.若a1, a2 , a3,an R ,
则a1 a2 a3 an nn a1 a2 an
当且仅当a1 a2 a3 an时取 号
4.若a, b R , 则
1
2 1
ab
ab a b 2
a2 b2 2
几何平均数 算术平均数 平方平均数 调和平均数
（当且仅当a=b时，取“=”号）
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为：
算术平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
1、重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？ 基本不等式可以看作是重要不等式的变形，但它们
的前提条件不同。重要不等式中a,b属于全体实数，
而基本不等式中a,b均为大于0的实数。 2、重要不等式与基本不等式的几个推广公式：
例8、已知x, y, z都为正数，且xyz( x y z) 1 求证: ( x y)( y z) 2
题型五：基本不等式的实际应用
例9:一个商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件 分若干次等量进货（设每次进货x件），每进一次货运费50元 且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x/2件货储存在 仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费 最省，每次进货量x应是多少？
Q 1 (lg a lg b), R lg( a b) ，则（ B ）
2
2
A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
题型二：解决最大（小）值问题
结论：利用 a b 2 ab(a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
B、6 3 C、4 6 D、18 3
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x 3)的最小值
x3
例5、求函数 y x2 5 的最小值
x2 4
例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1 x
1y的最小值
例7、 求函数 y 1 2x 3 的值域
x
题型四：利用基本不等式证明不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式 2、基本不等式及其应用
一、重要不等式：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、定理2（基本不等式）
如果a, b>0, 那么
a b ab
2
当且仅当a=b时，等号成立。
如果a,b都是正数，我们就称 a 为 ba,b的 2