第八章 抽样推断

例如： 四个单位中， 例如：从A、B、C、D四个单位中，抽出两个单位构成 、 、 、 四个单位中 一个样本，问可能组成的样本数目是多少？ 一个样本，问可能组成的样本数目是多少？ 重复抽样 AA BA CA DA 不重复抽样 AB BB CB DB AC BC CC DC AD BD CD DD
N n = 42
解：
已知： 已知：
n = 400
p =
n 1 = 80
则：样本成数
n1 80 = = 20 % n 400
µp =
p (1 − p ) = n
0 .2 × 0 .8 = 0 . 02 400
即：根据样本资料推断全部学生中戴眼镜的学 生所占的比重时，推断的平均误差为2% 2%。 生所占的比重时，推断的平均误差为2%。
计算结果表明：不重复抽样的平均误差小于重复抽样，但是“ 计算结果表明：不重复抽样的平均误差小于重复抽样，但是“N” 的数值越大，则两种方法计算的抽样平均误差就越接近。 的数值越大，则两种方法计算的抽样平均误差就越接近。
影响抽样误差大小的因素 1、总体各单位标志值的差异程度 2、样本的单位数 3、抽样方法 4、抽样的组织形式
抽样成数平均误差的计算方法
采用重复抽样： 采用重复抽样 采用不重复抽样： 采用不重复抽样：
µ
p
=
p ( − 1 n
p
)
µp =
p (1 − p ) ( N − n ) n ( N − 1)
p (1 − p ) n 1 − n N
当N很大时
µp =
某校随机抽选400名学生， 某校随机抽选400名学生，发现戴眼镜的学 400名学生 例题三： 例题三 生有80 80人 生有80人。根据样本资料推断全部学生中戴 眼镜的学生所占比重时，抽样误差为多大？ 眼镜的学生所占比重时，抽样误差为多大？
采用不重复抽样： 采用不重复抽样：
µ
x
=
σ
(N − n) n ( N − 1)
2
当N很大时
µx =
σ
n 1 − n N
2
公式表明：抽样平均误差不仅与总体变异程度、 样本容量有关，而且与总体单位数的多少有关。
随机抽选某校学生100人 随机抽选某校学生100人，调查他们的体 100 例题一： 例题一 重。得到他们的平均体重为58公斤，标 得到他们的平均体重为58公斤， 58公斤 准差为10公斤。 10公斤 准差为10公斤。问抽样推断的平均误差 是多少？ 是多少？ 已知： 已知： n=100 则：
统计量
根据样本数据计算的综合指标。 根据样本数据计算的综合指标
x =
∑
x
x f f
− x
研究数 量标志
样本平均数
x =
∑ ∑
∑ (x
∑ ( ∑
n
样本标准差
s =
)
2
n − 1
x −x
s =
)
2
f
f − 1
研究品 质标志
样本成数 成数标准差
p =
n n
s=
p (1 − p )
（三）样本容量和样本个数
−
∆p
p
∆p
p −∆p ≤ P ≤ p + ∆p
例1：要估计某乡粮食亩产，从8000亩粮食作物中抽取400亩，求得平均亩产为 450公斤，如果确定抽样极限误差 ∆ x 为5公斤，
x− ∆ x ≤ X ≤ x+ ∆ x
则某乡粮食亩产在 450±5公斤 即 445 – 455公斤之间
−
−
−
例2：要估计某农作物的成活率，从播种这一品种的秧苗地随机抽取秧苗1000 棵，其中死苗80棵，确定抽样极限误差 ∆ p 为2% p=920/1000=92%
四、有关抽样的基本概念 （一）总 体 和 样 本 总体： 又称全及总体。指所要认识的研究对象全体。 总体 又称全及总体。指所要认识的研究对象全体。 总体单位总数用“ 表示 表示。 总体单位总数用“N”表示。 又称子样。是从全及总体中随机抽取出来， 样本： 又称子样。是从全及总体中随机抽取出来，作为 样本 代表这一总体的那部分单位组成的集合体。 代表这一总体的那部分单位组成的集合体。样本 单位总数用“ 表示 表示。 单位总数用“n”表示。
表示。 表示 样本容量： 一个样本包含的单位数。 样本容量： 一个样本包含的单位数。用 “n”表示。 一般要求 n ≥30 样本个数： 从一个全及总体中可能抽取的样本数目。 样本个数： 从一个全及总体中可能抽取的样本数目。
（四）重复抽样和不重复抽样
重复抽样： 重复抽样 又称回置抽样。 又称回置抽样。 可能组成的样本数目： 可能组成的样本数目： N n 又称不回置抽样。 不重复抽样： 又称不回置抽样。 不重复抽样 可能组成的样本数目： 可能组成的样本数目： N（N-1）（ ）（N-2）……（N-n+1） （ ）（ ） （ ）
系统性误差 2、代表性误差 随机误差
三、抽样平均误差
抽样平均误差是抽样平均数或抽样成数的标准差， 抽样平均误差是抽样平均数或抽样成数的标准差，反 映了抽样指标与总体指标的平均误差程度。 映了抽样指标与总体指标的平均误差程度。
假设总体包含1、 、 、 、 ，五个数字。 假设总体包含 、2、3、4、5，五个数字。 则：总体平均数为 1+2+3+4+5 5 现在，采用重复抽样从中抽出两个，组成一个样本。 现在，采用重复抽样从中抽出两个，组成一个样本。 可能组成的样本数目： 个 可能组成的样本数目：25个。 如： 1+3 2 =2 1+4 2 =2.5 2+4 2 =3 3+5 2 =4
=16 (个样本)
N（N-1）（N-2）……. 4×3 = 12(个样本)
第二节
抽 样 误 差
一、抽样误差的含义 由于随机抽样的偶然因素使样本各单位的结构 不足以代表总体各单位的结构，而引起抽样指标和全 不足以代表总体各单位的结构， 及指标之间的离差。 及指标之间的离差。
二、抽样误差的种类 1、登记性误差
例题四： 例题四
一批食品罐头共60000桶，随机抽查300桶，发现有6 一批食品罐头共60000桶 随机抽查300桶 发现有6 60000 300 桶不合格，求合格品率的抽样平均误差？ 桶不合格，求合格品率的抽样平均误差？
解： 已知： 已知：
N = 60000
p =
n = 300
n1 = 6
则：样本合格率
（ 二 ）参 数 和 统 计 量 参 数
∑X 反映总体数量特征的全及指标。 反映总体数量特征的全及指标。 X=
总体平均数 研究总体中 的数量标志
参数 研究总体中 的品质标志 （只有两种表现）
总体方差 总体成数
N 成数方差 σ 2 = P(1-P)
P=
N ∑XF X= ∑F （ ） 2 = Σ（X-X）2 σ N （ ）F 2 = Σ（X-X）2 σ N1 ΣF
x =
= 3
多数样本指标与总体指标都有误差,误差有大、 多数样本指标与总体指标都有误差,误差有大、有 有正、有负， 小，有正、有负，抽样平均误差就是将所有的误差综合起 再求其平均数， 来，再求其平均数，所以抽样平均误差是反映抽样误差一 般水平的指标。 般水平的指标。
抽样平均数平均误差的计算方法
采用重复抽样： 采用重复抽样：
p −∆p ≤ P ≤ p +∆p
则该农作物的成活率在92%±2%之间，即90% - 94%之间
五、抽样误差的概率度
抽样误差的概率度是测量抽样估计可靠 程度的一个参数。用符号“ 表示。 程度的一个参数。用符号“ t ”表示。 表示 公式表示： 公式表示： t
含 义
=
∆x
µx
或 t=
∆p
是极限误差与抽样平均误差的比值） （t 是极限误差与抽样平均误差的比值） 上式可变形为： 上式可变形为： ∆
µx =
σ
n
此公式说明，抽样平均误差与总体标准差成正比， 此公式说明，抽样平均误差与总体标准差成正比， 与样本容量成反比。（当总体标准差未知时， 。（当总体标准差未知时 与样本容量成反比。（当总体标准差未知时，可 用样本标准差代替） 用样本标准差代替）
例题： 例题：假定抽样单位数增加 2 倍、0.5 倍时，抽样平均误差怎样变化？ 倍时，抽样平均误差怎样变化？ 解：抽样单位数增加 2 倍，即为原来的 3 倍 则： µ x =
三、抽样推断的作用
1．用于破坏性的调查和推断 ． 2. 用于大规模总体或无限总体的调查和推断 3. 节省人力、物力、财力，有利于提高经济效益和统计 节省人力、物力、财力， 资料的时效性 4． 抽样调查与全面调查同时进行 ， 可以发挥互相补充 ． 抽样调查与全面调查同时进行， 和验证的作用 5．抽样推断可以用于工业生产过程的质量控制 ．
σ
3n
=
1 = 0 . 577 3
即：当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍。 当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍 0.577 抽样单位数增加 0.5倍，即为原来的 1.5倍 倍 倍 则：
µx =
σ
1 .5 n
=
1 = 0 . 8165 1 .5
即：当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍。 当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍 0.5倍时 0.8165
x
µp
= tµ x
或
∆ p = tµ p
倍的抽样平均误差） （极限误差是 t 倍的抽样平均误差）
第三节 参数估计
以样本统计量作为未知总体参数的估计量， 以样本统计量作为未知总体参数的估计量，并通过对样 估计量 本各单位的实际观察取得样本数据， 本各单位的实际观察取得样本数据，计算样本统计量的 取值作为总体未知参数的估计值 估计值。 取值作为总体未知参数的估计值。 估计量：用来估计总体参数的统计量的名称。 估计量：用来估计总体参数的统计量的名称。 估计值：用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体 估计值： 数值。 数值。