二次函数图象与字母系数的关系教案

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初中数学(人教版)九年级上册《系数a b c与二次函数图象的关系》优质教学设计

《系数a ，b ，c 与二次函数2y=ax bx c ++图象的关系》教学设计一、教学内容分析通过前几节课的学习，学生对二次函数图象有了初步的认识，并且知道二次函数2y=ax bx c ++的图象是一条抛物线，抛物线的开口方向及大小由二次项系数a 的符号和大小决定，抛物线在直角坐标系中的位置由系数a ，b ，c 的值决定，a ，b 共同决定对称轴的位置，c 决定抛物线与y 轴的交点坐标位置，以及2b 4ac -，a+b+c ，a-b+c 的符号等.通过本节课的学习，让学生掌握：|a|相同的抛物线全等.a ，b 同号，抛物线的对称轴（或顶点）即直线x=2ab-在y 轴左侧；a ，b 异号，抛物线的对称轴（或顶点）即直线x=2ab-。

在y 轴右侧；当b=0时，抛物线的对称轴为y 轴.当c>0时，抛物线与y 轴交于正半轴；当c<0时，抛物线与y 轴交于负半轴；当c=0时，抛物线与y 轴交点为原点；c 相同的抛物线均过点（0，c ）.a ，b 相同的抛物线是以顶点为动点且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系.另外，二次项系数a 相同的二次函数图象可通过平移互相转化；a 互为相反数的二次函数图象一定关于x 轴对称.理解这两点对于学生而言比较难，是学生的思维生长点.二、学情分析学生前面已经学习过二次函数的图象与性质，理解了二次函数的一般式2y=ax bx c ++中的系数a ，b ，c 对抛物线有一定的影响，但只是零散的认知，所以本节课有必要帮助学生梳理一下这方面的知识，让学生更加清晰地掌握三个系数是怎样来影响抛物线的. 三、教学目标1.理解系数a ，b ，c 与二次函数图象的关系.2.已知二次函数图象，能确定系数a ，b ，c 的取值范围.3.已知二次函数图象，能确定与系数a ，b ，c 有关的代数式取值范围.4.能从给定二次函数的图象中准确提取信息，体会数形结合思想.重点难点能从二次函数的图象中获取信息，得出相关结论，体会数形结合思想.四、评价设计学习评价量表五、教学活动设计（2）任何一条抛物线y=ax²+bx+c与y轴总有交点（0，c），那么与x轴的交点情况是怎样的？2.对于二次函数y=ax²+bx+c 图象上的特殊点，还有几个点需要了解，请大家计算当自变量x取1，-1，2，-2时，对应的纵坐标的值.例2 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax²+bx的图象可能为例3 已知二次函数y=mx²+2(m-1)x+m+2，根据下列条件求m的值：（1）图象经过原点；（2）图象关于y轴对称；（3）图象的顶点在x轴上例4 请观察以下二次函数解析式，你能根据解析式得出与图象有关的哪些结论？（1）y=ax²；（2）y=x²-4x+a；（3）y=ax²-4ax+3a；（4）y=mx²-2mx+m+1；（5）y=x²-ax+1；（6）y=x²-（a+1）x+a.1.已知下列各抛物线y=ax²+bx+c，根据图象判断系数a，b，c及b²-4ac的取值范围.2.如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，给出下列结论：①a+b+c=0；②b>2a；③b²-4ac>0；④c>0.其中正确的是 . （填序号）3.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x²+a的图象可能是（）4.已知二次函数y=x²+mx+m-4m²，根据下列条件求m的值.（1）图象经过原点；（2）图象关于y轴对称；（3）图象的顶点在x轴上.六、板书设计系数a ，b ，c 与二次函数2y=ax bx c ++图象的关系一、a ，b ，c 与抛物线2y=ax bx c ++的关系 1.二次项系数a 决定抛物线的开口方向. a>0⇔台抛物线开口向上； a<0⇔台抛物线开口向下.2.常数项c 决定抛物线与y 轴的交点位置.c>0⇔台抛物线与y 轴交于正半轴； c<0⇔抛物线与y 轴交于负半轴； c=0⇔抛物线经过原点.3.二次项系数a 与一次项系数b 共同决定对称轴的位置. a ，b 同号台⇔2ab-<0⇔与对称轴在y 轴左侧; a ，b 异号台⇔2ab->0⇔对称轴在y 轴右侧; b=0⇔2ab-=0⇔台对称轴为y 轴. 4.一元二次方程2ax bx =0c ++根的判别式△=2b 4ac -的值决定抛物线y=2ax bx =0c ++与x 轴的交点情况.2b 4ac ->0⇔抛物线与x 轴有两个交点；2b 4ac -=0⇔抛物线与x 轴有一个交点（抛物线顶点在x 轴上）; 2b 4ac -<0⇔抛物线与x 轴没有交点. 二、记清抛物线上的几个特殊点（1， a+b+c ），（-1，a-b+c ），（2，4a+2b+c ），（-2，4a-2b+c ）.七、达标检测与作业A级1.抛物线y=ax²+bx+c与y=3-2x²的形状完全相同，只是位置不同，则a= .2.已知下列各抛物线y=ax²+bx+c，根据图象判断系数a，b，c及b²-4ac的取值范围.3.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，根据图象得：a-b+c 0.（填“＞”“＜”或“＝”）4.已知抛物线y=ax²+bx+c在直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A.a>0B.b<0C.c<0D.a+b+c>o5.如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac<0；②a+b=0；③4ac-b²>0，④a+b+c<0，其中正确的是 .（填序号）6.二次函数y=ax ²+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c>0；④4ac-b ²>0中，其中正确的是 .（填序号）B 级7.已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=2ax bx c ++，它们在同一直角坐标系内的图象大致是（）8.如图所示是二次函数y=2ax bx c ++图象的一部分，图象过点A （-3，0），对称轴为x=-1，给出四个结论：①2b >4ac ；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a<b ，其中正确的是 .（填序号）9.已知抛物线y=2ax bx c ++，根据下列条件判断a ，b ，c ，2b 4ac -的取值范围.（1）若抛物线的顶点是原点，则；（2）若抛物线经过原点，则；（3）若抛物线的顶点在y 轴上，则；（4）若抛物线的顶点在x 轴上，则 .10.二次函数y=2ax bx +（a>0，b>0）的图象经过第象限.11.已知抛物线y=23x -3kx+k+42，根据下列条件求k 的值. （1）图象经过原点；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象的顶点在x 轴上.C 级12.已知二次函数y=2x ax+b +，若a+b=0，则它的图象必经过点（）A.（-1，-1）B.（-1，1）C.（1，1）D.（1，-1）13.在直角坐标系xO 中，抛物线y=21x -x+22与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称.（1）求直线BC 对应的函数解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4.将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （t>0）个单位长度后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围八、教学反思通过前几节课的学习，学生对于系数a ，b ，c 对二次函数2y=ax bx c ++图象的影响已经有了一些认识，本节课带领同学们进行了梳理，让学生进一步体会二次函数2++图象的位置及形状与系数a，b，c之间有很大的关系，以及y=ax bx c数形结合思想在函数研究中的决定性作用.著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，寥寥数语把数形结合之妙说得淋漓尽致.如给定一条抛物线，其顶点坐标、对称轴、开口方向、在y轴上的截距、与x轴的交点等，都可以从图象上大致读出，但是要具体知道交点坐标还得通过解方程计算出来.本节课关注学生知识结构的构建，从已有知识出发，循序渐进，逐步架构起完整的知识体系，使学生通过二次函数图象能够读出一些信息，得到一些结论，反之知道系数或有关系数的代数式的符号也能大概确定图象的位置，由此进一步体会数形结合的思想.在本节课的“环节4”中，给出了例4这样一个开放性的问题，让学生体会“变中有不变”的思想，抓住问题最本质的东西，从而快速地解决问题，而且在这个过程中学生会逐渐学会一些程序化的操作，也就拥有了解决问题的办法教师作为引导者，课堂上尽管给了学生充足的思考时间，但还没有完全放开比如，在“提出问题”环节，可以让学生给出各种问题形式，而不是由老师给出例题.在最后解答例4时，应引导学生进行充分的讨论交流等.。

二次函数的图象与各项字母系数之间的关系

二次函数的图象与各项字母系数之间
的关系
学习目标
1、能由a,b,c,∆的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确定a,b,c,∆等式子的符号；
2、经历探究问题的过程，加强推理技能训练，体验类比、转化、符号表示及数形结合的思想方法.
1.二次函数图象开口方向、大小和二次项系数a的关系
y
y
的图像如图，则下列a、b、
c间的关系判断正确的是( D )
A.ab < 0
B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0
8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0的
解为 A.x > a/b
(D)
B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b

谈收获
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
图像如图所示，下列结论：
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；
③ abc＞0；④b=2a
中正确个数为
( A)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m

二次函数图象与字母系数的关系教案

A.1B. 2C. 3D. 4
8.在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是()
板书设计
二次函数图象与字母系数的关系
教学
反思
20年月日
是正值还是负值.'《'
(1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b;
(6)a+b+c;(7)a-b+c.
四，检测反馈、分层练习
1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
2 2
①abc>0:②2a-bv0；③4ab.其
中正确的个数是()
通过小组协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神.
教学重难点
重点：
二次函数图象与字母系数的关系
难点：
二次函数图象与字母系数的关系的灵活运用
教学方法
教学过程
教学环节教学内容
二度备课
一，复习巩固、自主学习二，合作探究、解决疑难
1.关于抛物线与a、b、c以及b2-4ac的符号关系：
(1)开口方向由a决定；
3当b2-4acv0时，抛物线与x轴无交点；
(5)抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：
(1,a+b+c),(-1,a-b+c),
(2,4a+2b+c),(-2,4a-2b+c),
⑹判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与土1的关系决定；打価占
三，展示讲评、拓展延伸
已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断以下各式的值一
(2)对称轴位置由a、b决定，“左同右异”：

最全二次函数概念图象与字母系数的关系完整版.doc

二次函数图象与字母系数的关系教学目标：1．准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 2．能通过二次函数的图象确定字母a,b,c 的值及ac b 42-的符号.教学重点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学难点：准确掌握二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系. 教学过程：一、知识构架知识点：二次函数图象与字母系数a,b,c 以及ac b 42-的符号之间的关系（1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a>0 开口向下 a<0(2)c 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定交点在y 轴正半轴 c>0 交点在y 轴负半轴 c<0交点在坐标原点 c=0(3)b的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定对称轴在y 轴左侧 a,b 同号对称轴在y 轴右侧 a,b 异号对称轴在y 轴 b=0(4)ac b 42-的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定与x 轴有两个交点 042>-ac b 与x 轴有一个交点 042=-ac b 与x 轴无交点 042<-ac b(5)a+b+c 的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c 的符号由x=1时，对应的y 值确定 a-b+c 的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y 值确定。

抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：（1，a+b+c ）, （-1，a-b+c ）, （2，4a+2b+c ）, （-2，4a-2b+c ）,(6) 判断2a+b 与2a-b 的正负经常由对称轴与±1的关系确定二、典型例题例1 （1）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞0（2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2； ③a ＜；④b ＞1．其中正确的结论是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④例2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）练习：1.如图001是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断：①0<a ②0>b ③0>c ④0<++c b a ⑤02<+b a ，正确的（填序号） 2.如图002是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，下列判断：①042>-ac b ②1>c ③02<-b a ④0<++c b a ⑤)1()(-≠-<+m b a b am m 其中错误的有（填序号）3.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则函数xay =与c bx y +=在同一直角坐标系内的大致图象是（）三、课堂小结：谈谈你的收获四、课下作业1.如图003是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象一部分,则以下正确的有①a b 2>； ②02=++c bx ax 的两根分别为-3和1；③02<+-c b a ④0=++c b a ⑤08>+c a 其中正确的有（填序号）2.如图004是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，有下列5个结论：①0>abc ②c a b +<③024>++c b a ④0<++c b a ⑤)1()(≠+<+m b a b am m ⑥b a b am m +≤+)(；你认为其中正确的有（填序号）3.抛物线c bx ax y ++=2的顶点为D （-1，2）,与x 轴的一个点A 在点（-3,0）和（-2,0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b ²－4ac ＜0②a ＋b ＋c ＜0③c －a ＝2 ④方程ax ²＋bx ＋c －2=0有两个不相等的实数根.正确的有（）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4.如图是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象一部分,x=-1是对称轴，有下列判断： ①b-2a=0；②4a-2b+c ＜0；③a-b+c=-9a ；④若（-3，y 1），（23，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（）A 、①②③B 、①③④C 、①②④D 、②③④5.函数b ax y +=的图象经过地一、二、三象限，那么函数bx ax y +=2的图像大致是（）6.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的大致图象如图，下列说法错误的是（） A.函数有最小值 B.对称轴是直线21=x C.当21<x ，y 随x 的增大而减小 D.当－1＜x ＜2时，y ＞0 7.小轩从如图所示的函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象中，观察得出了下面五条信息：①0>ab ②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a-2b+4c ＞0；⑤b a 23=你认为其中正确信息的个数有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8.如图所示抛物线是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，给出下列结论： ①abc ＞0；②b+2a=0；③抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；④a+c ＞b ；⑤3a+c ＜0．其中正确的结论有（） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >．将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．123米Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．ABxy P O AB xyPO20 40 60 80 100 120180 2040 60 80 100 120 140 160 Ot (天)y (天) 20 4060 8011018060 Oz (元) 150140 160 50 40 20 10853 图(1)图(2)（180，92） 140 160100 120 t (天)（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取265=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）y O BCD 1 M x2 4AyOBCD 1 Mx2 4 A E FN（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)48436134360x x x ∴-==+=-+<．≈，（舍去）．∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得12626626x x =-=+，．124610CD x x ∴=-=≈．1361017BD ∴=-+=（米）．解法二：令21(6)4012x --+=．解得1643x =-（舍），264313x =+≈．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：1132613k =-<（舍去）， 26432667518k =++++=≈．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．11826x =-（舍去），2182623x =+≈．23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =，所以2(1813)10CD =-=，所以(136)1017BD =-+=．答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．（2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚．（3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++= 解得12422422x x =+=-，21422x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知2112222x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对AB ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．Py B A OC xC B A DH ENM GF2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标；（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，；（2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+．（3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=．由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

二次函数图像与字母系数符号的判定(公开课)

3
以a为字母系数的判定准则
讲解如何根据字母系数a的值，判定二次函数图像的开口方向和是否与x轴相交。
以c为字母系数的判定准则
探讨字母系数c对二次函数图像的平移和纵坐标的影响，以及如何利用这些准则来绘制相应的函数曲线。
结论与总结
1 准确判定二次函数图像
总结前面的内容，强调各个字母系数对二次函数图像的判定作用，确保掌握判定准则并准确绘制图像。
2 应用二次函数图像
介绍二次函数图像在实际应用中的重要性，如何运用二次函数图像进行问题建模和分析。
二次函数图像与字母系数符号的判定(公开课)
本公开课将介绍二次函数图像的定义和表达方式，以及字母系数的含义和作用。同时，将探讨判定二次函数图像的准则，并针对不同字母系数提供相应的判定规则。
函数图像的定义与表达方式
了解二次函数图像的基本定义和不同表达方式，包括顶点形式、标准形式以及因式分解形式。善用这些形式可以更好地分析和理解二次函数。
字母系数的含义和作用
深入探讨二次函数中的字母系数a、b、c的含义和作用，并解释它们对二次函数图像的影响。了解字母系数的作用有助于准确判定二次函数图像的特征。
判定二次函数图像的准则
1
以b为字母系数的判定准则
2
详细说明字母系数b对二次函数图像
的位置和对称轴的影响。掌握这些准பைடு நூலகம்
则有利于更准确地绘制二次函数图像。

二次函数图象与字母系数的关系13192省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c旳图象如图所示，下
列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④
(a＋c)2＜b2. 其中正确旳个数是
( D)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在 y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
(3)4a 2b c 0 (4)(a c)2 b2 其中正确的有几个？
(6)判断 2a+b与2a-b 旳正负经常由对称轴与 ±1旳关系决定；
7.若一次函数y=ax+b旳图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3旳大致图象是 ( C )
y
y
y
y
ox -3
A
ox -3
B
c=0 c＞0 c＜0
经过原点正
与y轴交于__负___半轴与y轴交于_____半轴
问题2 二次函数 y ax2 bx c 旳图象如下图所示，
请根据二次函数旳性质填空：
x b1
2a1 y x=0时，y=c.
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0 c2_＝__ 0
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
c为0时图象经过原点. (4)抛物线y=ax²+bx+c与x轴旳交点由b²-4ac决定：
①当b²-4ac＞0时，与x轴有两个不同交点； ②当b²-4ac=0时，与x轴只有一种交点（顶点在x 轴上）； ③当b²-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；
(5)抛物线上几种特殊点旳坐标所决定旳代数式旳正负：

二次函数与字母系数的关系(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调系数a对图像开口方向和宽度的影响，以及系数b、c对图像对称轴和y轴交点的影响。对于难点部分，我会通过实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的问题，如“如何通过改变系数来得到特定的图像”。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。它在数学和物理学等多个领域都有广泛应用，如描述物体抛掷运动的轨迹。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析y=x^2和y=-2x^2+4x+1这两个函数的图像，了解系数a、b、c对图像的具体影响。
- b对图像对称轴的影响；
- c对图像与y轴交点的影响；
3.结合具体实例，通过调整系数，观察图像变化，总结规律；
4.解决实际问题，运用字母系数的关系解决二次函数相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.掌握二次函数图像的基本性质，提高学生的数形结合思维能力，强化几何直观；
最后，关于课堂总结部分，我觉得自己在引导学生们进行反思和总结时，还可以做得更好。在今后的教学中，我会更加注重这一点，让学生们在总结过程中，能够更好地梳理所学知识，提高他们的自主学习能力。
二次函数与字母系数的关系（教案）
一、教学内容
本节教学内容选自人教版《数学》八年级下册第11章“二次函数”，重点探讨二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）中字母系数a、b、c对函数图像的影响。具体内容包括：
1.二次函数图像的基本性质；

《二次函数》说课稿

《二次函数y=a x²+bx+c(a≠0)的图象与字母系数a、b、c的关系》说课稿一.教学背景分析：（一）教材分析本节课的教学内容是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与字母系数a、b、c的关系，是二次函数图像和性质及一元二次方程与函数的综合性应用，是二次函数教学中的重点、难点之一，它是集图像、符号、文字为一体的问题。

同时也是近年来中考命题的热点，在中考试卷中通常以选择题（3分）或填空题（4分）的方式呈现。

因为所占的分值少，加之需要学生有良好的学习基础，所以教学中未能引起教师和学生的足够重视。

学生在识图的过程中往往容易忽略特殊点、对称轴问题，不去归纳和总结解决这类问题的模型，所以其中一个选择支的误判，就会增加失分，而且影响学生对后面二次函数综合性问题解决的能力的提升。

因此通过这一教学内容做专题性的研讨，尝试寻求建立解决这一问题的模型，优化解决问题的方法。

从而提高学生分析和解决问题的能力。

（二）学情分析：学生已经学习了二次函数图像及性质等相关内容，具有一定的知识储备，能运用图像和性质对简单的问题进行分析和解答，但部分学生的计算能力、推理能力较弱，对这类问题的数形结合思想、特殊点函数值的利用、式子的变形技巧等，不能结合具体的问题情境进行分析，因此教学中学生会产生困惑和疑问。

（三）教学准备：课件二.教学目标：知识与技能:经历对二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)的图象和性质与字母系数a 、b 、c 的关系的系统探究和学习，掌握解决这类问题的方法和技巧。

过程与方法：在学习过程中学会观察、分析、比较，掌握有关a 、b 、c 式子的函数值的确定方法和步骤。

情感态度与价值观：体会数形结合的转化思想。

三.教学重点和难点：重点：探索二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)的图象与字母系数a 、b 、c 的关系.难点：能根据函数图象、对称轴x=-a b 2、特殊的x 的值等判定a 、b 、c 及相关代数式的取值范围.四.教学方法：自主探究、合作交流五.教学流程图:综合以上各方面的分析，紧扣教学重点，力求突破教学难点，达到教学目标，我将本节课的教学过程设置为以下几个环节：六. 教学过程：（一）创设情景，导入新课课件出示相关中考题，引入主题。

九年级二次函数一轮复习教案-图像性质、系数、解析式

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级: 九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：许晶晶授课类型C二次函数的图像与性质C 二次函数的图像与系数的关系C二次函数解析式的求法授课日期时段教学内容一、专题精讲1．二次函数的定义：形如cbxaxy++=2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴二次函数y=ax2(a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

⑵二次函数cbxaxy++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2ba，244ac ba-），对称轴x=－2ba；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－2ba，y随x的增大而增大，x＜－2ba，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－2ba，y随x的增大而减小，x＜－2ba，y随x的增大而增大．注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。

首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。

解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（yx,1），（yx,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线221xxx+=。

⑶当a＞0时，当x=－2ba时，函数有最小值244ac ba-；当a＜0时，当 x=－2ba时，函数有最大值244ac b a-。

3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2+k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y=－ax 2的图像关于x 轴对称。

二次函数的图像与性质(教案)

二次函数的图像与性质（教案）教学目标：一. 知识与技能：1. 通过对二次函数性质习题的讲评，使学生熟练掌握二次函数的图像与性质2. 懂得从图像中获取有关的性质信息。

3. 使学生会通过图像求二次函数的解析式。

二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。

三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。

教学重点：如何在图像中获取有用的信息。

教学难点：性质的综合应用教学过程：一. 引入：华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”要真正的研究数学就应该数形结合，研究函数就是用数形结合的思想二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图像与性质有关，本节课通过对我们做过的习题进行讲评，使同学们熟练掌握二次函数的图像与性质二.讲评：一. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质： 1.图像位置一题.5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x²+2x+1 的图像可能是（）总结抛物线()20y ax bx c a =++≠的性质：b 同号 b=0 b 异号 0 040ac 40ac = 抛物线与40ac抛物线与Ａ．Ｃ．24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 决定顶点位置 0a 时，顶点纵坐标244ac b a-是二次函数的最小值。

0a 时，顶点纵坐标244ac b a-是二次函数的最大值。

242b b aca -±- 决定抛物线与x 轴交点的横坐标当0y =时，即20ax bx c ++=，则抛物线与x轴的交点坐标为2244,0,,022b b ac b b ac a a ⎛⎫⎛⎫-+----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【练习】已知反比例函数xy =的图像如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图像大致为（）【总结】灵活运用二次函数中24a b c b ac -、、、的性质在图像中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图像要比较熟悉，并能在图像中从这些性质来思考解决问题的思路。

二次函数的图象与各项字母系数之间的关系(课堂PPT)

y
•(0,c)
x
0
• x 0 (0,0)
• x 0 (0,c)
交点在x轴上方 c>0
经过坐标原点交点在x轴下方
c=0
c<0
8
4.二次函数图象与x轴交点的个数和△的关系
y
y
• • 0
(x1,0)

(x2,0)
0
•x (x,0) 0
•
x
与x轴有两个交点与x轴有一个交点与x轴无交点
b2-4ac>0
你真棒 29
谈收获
30
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（1）a （2）b
y
（3）c
（4）2a+b （5）2a-b, （6）b2-4ac
-1 0
x 12
（7）a+b+c
（8）a-b+c
（9）4a+2b+c
（10）4a-2b+c
19
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
2020
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
y
y
O
x

二次函数与字母系数的关系

y
o x=1
x
课后回顾
教研组次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的判别式△＝b2－4ac．（1）当△＝b2－4ac＞0 时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点；（2）当△＝b2－4ac＝0 时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴只有一个交点；（3）当△＝b2－4ac＜0 时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴没有公共点【典题解析】例 1:．如图为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，在下列说法中： ①ac＜0；②方程 ax2＋bx＋c＝0 的根是 x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0； ④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大．正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．
7.特殊代数式求值： ①如图看图填空：（1）a＋b＋c_______0 （2）a－b＋c_______0 （3）2a－b _______0 ②如图 2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0 8.根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； 2 （4）△＝b －4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0； 2 （8）方程 ax ＋bx＋c＝0 的根为__________；（9）当 y＞0 时，x 的范围为___________；（10）当 y＜0 时，x 的范围为___________； □
能力提升·走进中考我能赢
9．已知抛物线 y＝x2－2kx＋9 的顶点在 x 轴上，则 k＝____________． 10．已知抛物线 y＝kx2＋2x－1 与坐标轴有三个交点，则 k 的取值范围___________． 11. 已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中： ①b＞0； ②c<0； ③4a+2b+c 2 2 ＞ 0；④（a+c) ＜b ，其中正确的个数是（） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个

二次函数的图像与字母系数之间的关系

二次函数的图像与字母系数之间的关系年级九学科数学组长签字第1周第课时使用人备课教师课题二次函数的图象与字母系数之间的关系课型新授共1课时第1课时教学目标知识与技能二次函数的图象与字母系数之间的关系过程与方法根据图形进一步理解函数图像和字母之间的关系情感、态度、价值观数形结合思想的渗透与应用教学重点与难点根据图形进一步理解函数图像和字母之间的关系教学方法及学法指导讲授法教学工具PPT课件教学过程复备第 2 页第 3 页自主学习：抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)当a>0时，开口向—___，当a<0时，开口向___；(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b___号；若对称轴在y轴的右边，则a，b___号；若对称轴为y轴，则b____；(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c__0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c__0；若抛物线经过原点，则c___0；(4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝____；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝______；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝________；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝_________；…故要比较a＋b＋c与0的大小，只需看抛物线中横坐标为1的点与y轴的关系即可；(5)当对称轴x＝1时，x＝－b2a＝___，所以－b＝____，此时2a＋b＝___；当对称轴x＝－1时，x＝－b2a＝___，所以b＝___，此时2a－b＝___；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝___的位置关系；判断1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①若点(x1，y1)，(x2，y2)在图象上，当x2＞x1＞0时，y2＞y1；②当x＜－1时，y＞0；③4a＋2b＋c＞0；④x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4第 4 页2．如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a＋b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0.其中正确信息是( )A．①②③ B．①②④C．①②⑤ D．①②③④检测提升：1．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a ≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)，有下列结论：①当x>3时，y<0；②3a＋b<0；③－1≤a≤－23；④4ac－b2>8a.其中正确的结论是( )A．①③④ B．①②③C．①②④D．①②③④2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.①c＞0；②2a－b＝0；③4ac－b24a ＜0；④若点B(－32，y1)，C(－52，y2)为函数图象上的两点，则y1＞y2；四个结论中正确的是_______．第 5 页总结提升1、本节课你学了哪些函数知识？2、你认为你的学友（师傅）本节课表现怎样板书设计作业反思提升第 6 页。

二次函数的图像与字母a、b、c的关系

课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科版本年段辅导类型上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。

教学策略教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。

4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）．（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？五、中考真题回顾：（09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分，满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分；（2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。