10-有限元参数单元-数值积分
数值计算的例子
数值计算的例子数值计算在现代科学和工程中起着非常重要的作用，它们可以帮助我们解决各种实际问题，从物理学到金融学，从天文学到工程学。
下面是一些以数值计算为主题的例子：1. 迭代法求方程的根迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解方程的根。
例如，我们可以使用牛顿迭代法来求解一个非线性方程的根。
假设我们要求解方程f(x)=0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后使用迭代公式x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)来逐步逼近方程的根。
2. 数值积分数值积分是一种计算定积分近似值的方法。
例如，我们可以使用梯形法则来计算一个函数在给定区间上的定积分。
假设我们要计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，我们可以将这个区间分成n个小区间，然后使用梯形面积的近似值来计算整个区间上的定积分。
3. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题。
例如，我们可以使用高斯消元法来求解一个线性方程组Ax=b，其中A是一个矩阵，b是一个向量。
高斯消元法可以将这个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回代求解出方程的解。
4. 数值微分数值微分是一种计算导数近似值的方法。
例如，我们可以使用中心差分法来计算一个函数在某一点的导数。
假设我们要计算函数f(x)在点x0处的导数，我们可以选择一个很小的步长h，然后使用中心差分公式f'(x0) ≈ (f(x0+h) - f(x0-h))/2h来估计导数的值。
5. 最优化问题最优化问题是数值计算中的一个重要问题，它可以帮助我们找到一个函数的最小值或最大值。
例如，我们可以使用梯度下降法来求解一个无约束的最小化问题。
梯度下降法通过迭代地沿着函数的负梯度方向更新变量的值，从而逐步接近最优解。
6. 插值和拟合插值和拟合是数值计算中常用的技术，它们可以帮助我们从离散数据中推测出连续函数的形状。
例如，我们可以使用拉格朗日插值法来构造一个通过给定数据点的插值多项式。
数值积分
数值积分
四边形单元
四边形单元与一维单元类似，按经验公式计算，4 节点、8节点、12节点单元的Gauss积分阶次应该分 别选1.5、2.5、3.5。因此，有
a）4节点单元可以取减缩积分方案n=1或正常积分 方案n=2；
b）8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分 方案n=3；
c）12节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
数值积分
P( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) ( j )
j 1 n
b
a
P( )d 0
i
(i 0,1, , n 1)
上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
i 1 n j 1
n
n
H i H j F ( j ,i )
i 1 j 1
n
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
I
1 1 n
1 n
1
1 1 n
F ( , , )d d d
H i H j H m F ( m , j , i )
i 1 j 1 m 1
① 矩阵相乘的秩规则
如果几Байду номын сангаас矩阵相乘
B UAV
c3d10的积分点
c3d10的积分点C3D10元素是有限元分析软件中常用的一个十节点立方体元素（brick element）。
它对于复杂的三维结构的有限元分析提供了很大的便利，能够有效地模拟力学行为并预测结构的响应。
本文将详细介绍C3D10元素的积分点，以及如何使用这些积分点进行分析。
首先，我们来了解C3D10元素的基本信息。
C3D10元素有十个节点，它按照正立方体的八个顶点和中心点的顺序进行编号。
同时，它有六个面，每个面都有四个节点。
此外，C3D10元素的两条棱上各带有一个节点，总共有十条棱。
这种节点的分布方式使得C3D10元素能够更好地适应结构的几何形状。
在有限元分析中，C3D10元素经常用于模拟具有复杂几何形状的结构，例如汽车车身、飞机机身和建筑物等。
其三维形状可以更好地模拟真实结构，并且由于具有足够的节点数目，能够精确地捕捉结构的力学行为。
在C3D10元素中，为了进行数值积分和力学计算，需要在元素内部选择一系列积分点。
这些积分点通常按照高斯积分点的规则进行选择，以获得更准确的结果。
积分点的数量和位置可以根据具体的分析要求进行选择。
一般来说，积分点越多，结果越准确，但计算量也会增加。
C3D10元素的常见积分点数目有1、8、27和64等。
1个积分点用于代表整个单元，它的位置位于单元的质心上。
8个积分点位于单元的八个顶点上，27个积分点则按照某种规律分布在元素内部的各个位置，64个积分点则进一步增加了积分精度，用于需要更高精度的分析场合。
使用C3D10元素进行有限元分析时，我们需要在每个元素内部选择合适数量的积分点，并计算每个积分点处的场量值。
这些场量通常包括位移、应力、应变等。
通过选择适当的积分点数量，我们能够获得足够准确的场量值，从而在整个结构中分析出力学响应。
C3D10元素的积分点选择与力学计算有着紧密的联系。
在弹性力学中，通常使用高斯积分点进行数值计算，以获得足够精确的结果。
在非线性力学中，由于材料性质的变化，可能需要更多的积分点来获得准确的结果。
有限元基本理论
2、虚应力原理
第1章 预备知识
1.4.4 线弹性力学的变分原理
1、最小位能原理
第1章 预备知识
设：
第1章 预备知识
2、最小余能原理
第1章 预备知识
第1章 预备知识
第2章 弹性力学有限元
2.1 平面问题3结点三角形单元
第2章 弹性力学有限元
2.1.1 单元位移模式及插值函数
第2章 弹性力学有限元
取：
则：
2.3.3 3结点环状单元的等效结点荷载
第2章 弹性力学有限元
例：计算3结点环状单元自重荷载
由面积坐标
第2章 弹性力学有限元
积分
则：
2.4 空间问题有限元
2.4.1 4结点四面体单元
第2章 弹性力学有限元
1、位移函数
第2章 弹性力学有限元
其中：
代入结点坐标得：
有限元基本理论
目 录
第1章 预备知识 第2章 弹性力学有限元 第3章 单元插值函数的构造 第4章 杆件结构力学问题 第5章 平板弯曲问题 第6章 应用中的若干问题 第7章 材料非线性问题
第1章 预备知识
1.1 引言
数值分析方法
有限差分法
微分方程近似解法
有限单元法
几何形状规则
几何形状规则
则两项近似解为：
力矩法
一项近似解，取W1=1（0≤x≤1）
则一项近似解为：
由
第1章 预备知识
两项近似解，取W1=1，W2=x
由
则两项近似解为：
伽辽金法
第1章 预备知识
一项近似解，取W1= N1 = x(1-x)
由
则一项近似解为：
两项近似解，取W1= N1= x(1-x) ，W2= N2 = x2(1-x)
有限单元法部分课后题答案
１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。
１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。
整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。
单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
有限元计算误差的影响因素
有限元计算误差的影响因素1.网格划分网格划分是有限元方法中最关键的一步，网格的划分对计算结果具有很大的影响。
当网格划分不够细致时，会导致网格近似真实物理结构的能力较差，从而引入较大的误差。
而当网格划分过于细致时，会增加计算量，造成不必要的计算误差。
因此，网格划分需要根据具体问题的特点进行合理选择。
2.材料参数有限元方法在计算中需要使用材料的本构模型和材料的物理性质等参数。
如果这些参数的值与真实材料参数相差较大，就会引入较大的误差。
因此，确定准确的材料参数对于减小有限元计算误差非常重要。
3.边界条件边界条件是指在计算区域内界面及周边所给出的条件。
边界条件的选择和给定不准确都会对计算结果产生很大影响。
合理选择边界条件是保证计算结果准确性的关键。
4.计算方法和算法不同的有限元计算方法和算法对计算结果的准确性也有影响。
例如高阶元素和低阶元素、隐式算法和显式算法等的选择都会对计算误差产生影响。
5.近似假设有限元方法在对实际问题进行数值计算时，通常要对问题进行简化和近似处理。
这些简化和近似假设可能会导致误差的产生。
因此，在进行有限元计算时需要对问题的简化和近似假设进行合理的评估。
6.数值积分在有限元分析中，求解离散形式的形式方程通常需要进行数值积分。
数值积分是将连续函数在一个有限区间中近似表示为离散点的加权和。
数值积分的精度和稳定性会直接影响到计算结果的准确性。
7.迭代收敛有限元求解器通常会使用迭代算法来求解非线性和时间依赖问题。
迭代算法的收敛速度和稳定性对计算误差也会有一定影响。
8.舍入误差总结起来，有限元计算误差的影响因素包括网格划分、材料参数、边界条件、计算方法和算法、近似假设、数值积分、迭代收敛和舍入误差等。
在进行有限元计算前，需要认真评估这些影响因素，并采取相应的措施来减小计算误差，以获得准确可靠的计算结果。
数值积分方法
数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。
在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。
通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。
数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。
当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。
数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。
首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。
其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。
此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。
数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。
另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。
总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。
10-有限元参数单元-数值积分
(x2
3 5
)
x 根 x1
15 5
, x2
0, x3
15 5
四阶 Legendre多项式
L4
(x)
35 8
(x3
15
120 35
)(x 2
15
120 35
)
根 x1、4
15
120 35
, x2、3
15 120 35
一般n阶Legendre多项式的定义为
Ｌ n
(
x)
1 2n n!
dn dx n
(x2
1) n
n 阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程在区间[-1,1]上的有界解。
1 x2 y 2xy nn 1y 0
Ln(x) 在区间（-1, 1）上有n个相异实根（零点）若再补充定义
Ｌ 0
(
x)
1
11 1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n dx＝ 1 d n1 2n n! dx n1
(x2
1) n
1 1
0
对于 m≠n （m、n 非零，不妨认为 m>n ）
1
Lm (x) Ln (x)dx
1
1
1 dn
2mn m!n! 1 dx n
(x2
1) n
(4)八结点单元而言[k]共有162=256个元素，利用对称性仍需对其中的136 个元素进行数值积分。
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
例
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
有限元法基础5等参元与数值积分
有限元法基础
5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元方程为 单元刚度矩阵为
34
有限元法基础
5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法
1）母单元为
自然坐标系列
坐标变换
位移插值
Jacobi矩阵
应变的计算
求B时需建立
35
有限元法基础
5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法 单元矩阵计算时
等参变换单元矩阵的变化：
等参变换
单元矩阵的变化：B、K、dΩ换的概念 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变 换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。
13
有限元法基础
5.1等参变换的概念 1）导数之间的变换
由复合函数求导规则有
写成矩阵形式
J 称为Jacobi 矩阵
30
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性 只要
Ni 满足形函数性质，完备性就得到满足， 插值函数能够反映刚体位移和常应变。
31
有限元法基础
5.2 等参变换的条件与收敛性
协调性 单元间边界上的位移场：
➢具有相同的节点和相同的节点数 ➢插值函数相同，有连续的位移场 ➢插值函数满足
32
有限元法基础
38
有限元法基础
5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法 例：无限元 1）一维问题：2节点单元
通常u2是已知的。 39
有限元法基础
5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法 例：无限元 2）二维问题：4节点单元
40
有限元法基础
5. 3 弹性力学中等参单元的一般列式方法 坐标变换
反映了1-2边的变化率。 位移插值函数依然与传统单元一样。 通常节点2和节点3的量是已知的。
有限元课件ppt
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
有限元数值计算范文
有限元数值计算范文有限元数值计算是一种通过数值方法来解决实际工程问题的数学模拟技术。
它主要应用于结构力学、流体力学和热传导等领域，可以用来分析结构的强度、刚度、振动特性、热流传递以及流体流动等问题。
本文将介绍有限元数值计算的基本原理和应用。
一、有限元数值计算的基本原理：有限元数值计算的基本原理是将复杂的连续体问题分割成许多简单的几何单元，也称为有限元。
每个有限元内部的物理场量（如位移、应力、温度等）可以通过一个数学函数进行近似表示。
在有限元分析中，基本的假设是物理场的变化在每个有限元内是线性的，并且通过有限元之间的插值函数进行连接。
1.几何建模：根据实际问题的几何形状，将其建模成有限元的几何形状。
2.网格划分：将几何模型划分成许多小的有限元，构成有限元网格。
3.材料特性定义：为每个有限元指定相应的材料特性，如弹性模量、泊松比等。
4.加载和边界条件定义：确定边界条件和加载情况，如力、位移等。
5.求解方程组：根据有限元离散化的模型，建立求解方程组，例如强度方程或热传导方程等。
6.求解方程组：通过数值方法求解建立的方程组，得到物理场量的近似解。
7.结果分析和后处理：对求解结果进行分析和后处理，获得感兴趣的结果，如位移、应力、温度分布等。
二、有限元数值计算的应用：1.结构力学：有限元数值计算在结构工程中的应用非常广泛，可以用于分析结构的强度、刚度、振动特性、疲劳寿命等。
例如，有限元分析可以用来确定承受外部载荷时结构的应力和变形情况，从而评估结构的安全性。
2.流体力学：有限元数值计算在流体力学领域的应用主要包括流场分析和传热问题。
通过有限元数值计算，可以研究液体或气体在管道、河道或空气中的流动行为，从而得到流速、压力、温度等物理量的分布。
3.热传导：热传导问题是指物体内部或跨界面的热量传递过程。
有限元数值计算可以用来分析热传导问题，例如通过实验测量温度分布，确定材料的热传导系数，并进一步预测温度变化。
总之，有限元数值计算是一种重要的数学模拟技术，可以帮助工程师解决复杂的实际问题。
c3d10的积分点
c3d10的积分点C3D10是一种有限元分析中常用的元素类型，用于模拟三维固体结构的行为。
在分析过程中，C3D10的积分点是对结构体积进行离散化处理的关键。
本文将从C3D10的定义、积分点的概念、积分点的位置和数量等方面进行详细阐述。
首先，C3D10是由有限元方法中的网格单元之一，它是指三维空间中的10个节点的一个立方体单元。
这10个节点是构造C3D10单元的基本要素，通过节点间的连接关系构建出类似于立方体形状的单元。
C3D10的节点编号按照一定规则进行排列，通常采用右手螺旋规则进行编号，编号从1到10。
每个节点包含了三个坐标分量，表示其在三维空间中的位置。
而积分点是在有限元分析过程中，用于对C3D10单元内部进行离散化的点。
由于C3D10单元是一个立方体形状，因此在体积上进行积分时，一般会选择将整个单元进行划分，以便进行数值计算。
划分的方法是在单元内部选取一系列的积分点，对于C3D10单元而言，最常见的选择是采用8个积分点或27个积分点。
这些积分点的个数决定了离散化的精度，一般来说，积分点越多，计算结果越准确，但计算量也相应增加。
积分点的位置对于有限元分析的准确性至关重要。
对于C3D10单元而言，积分点的位置应该恰当地分布在整个单元内部，能够尽可能地覆盖整个体积。
一种常见的选择是将积分点均匀地分布在单元的8个顶点附近，这样可以保证对单元的力学性质进行准确的计算。
另一种选择是将积分点均匀地分布在单元的内部，这主要用于计算各个部分的平均应力和应变。
对于C3D10而言，积分点的数量是个关键问题。
一般来说，积分点的数量越多，计算结果越准确，但计算量也相应增加。
对于普通的工程问题，通常只需要采用8个积分点即可满足要求。
但在某些特殊情况下，如计算应力集中区域或模型非线性的情况下，可能需要增加积分点的数量。
这时需要权衡计算精度和计算效率的关系。
总结而言，C3D10的积分点是对立体结构进行离散化处理的关键。
它们的位置和数量决定了有限元分析的精度和计算效率。
有限元单元法程序设计
有限元单元法程序设计有限元单元法程序设计是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它能够模拟复杂结构的受力情况并计算出相应的应力、变形等物理量。
本文将从有限元单元法的基本原理、程序设计流程、关键步骤等方面入手，为您详细介绍有限元单元法程序设计的相关内容。
一、有限元单元法基本原理有限元单元法是一种工程结构分析的数值计算方法，它基于弹性力学原理，将结构划分为有限个小单元（有限元）进行离散化处理，通过对各个单元的力学行为进行分析来描述整个结构的受力情况。
有限元单元法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 将结构离散化为有限个小单元，每个单元内的应力、变形等物理量满足弹性力学理论。
2. 建立每个单元的位移与节点力之间的关系，通常采用单元刚度矩阵来描述。
3. 根据整个结构的连接条件和边界条件，组装各个单元的刚度矩阵，形成整个结构的刚度矩阵。
4. 应用外载荷和边界条件，求解整个结构的位移场，并由此计算出应力、变形等物理量。
二、有限元单元法程序设计流程有限元单元法程序设计通常包括以下几个关键步骤，我们将逐步介绍其设计流程：1. 确定结构的几何形状和材料性质，将结构进行离散化处理，确定有限元的类型和数量。
2. 建立单元刚度矩阵的表达式，通常采用弹性力学理论和数值积分方法来进行推导和计算。
3. 将各个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵，考虑节点之间的连接关系以及边界条件的处理。
4. 应用外载荷和边界条件，求解整个结构的位移场，并计算出节点处的应力、变形等物理量。
5. 对程序进行稳定性和准确性的验证，包括收敛性分析、误差估计等。
6. 编写相应的有限元单元法程序，实现结构的建模、求解和结果输出等功能。
三、有限元单元法程序设计的关键步骤在有限元单元法程序设计中，有几个关键的步骤需要特别重视：1. 单元选择和刚度矩阵的建立：选择适合结构特点的有限元类型，建立单元的刚度矩阵表达式，考虑单元的形函数、应变-位移关系等。
2. 结构刚度矩阵的组装：将各个单元的刚度矩阵通过节点的连接关系组装成整个结构的刚度矩阵，考虑节点自由度的排序和边界条件的处理。
数值分析在有限元法中的应用
数值分析在有限元法中的应用随着科学技术的不断进步，有限元法作为一种重要的数值计算方法，在各个领域得到了广泛的应用。
数值分析作为有限元法的基础，起着关键的作用。
本文将从理论和实践两个方面来探讨数值分析在有限元法中的应用。
一、数值分析与有限元法的原理和基础数值分析是研究数值计算方法和数值算法的一门学科，其目的是通过数值计算来解决数学模型中的问题。
有限元法是一种数值分析的方法，通过将连续问题离散化为有限个点和单元，然后利用适当的数学方法对其进行求解。
有限元法的基本步骤是：建立数学模型→离散化→列方程组→求解方程组→后处理。
其中离散化是有限元法的核心，而数值分析则在离散化的过程中发挥着重要的作用。
数值分析可以通过各种数值方法，如数值积分、差分近似、迭代法等，对连续问题进行逼近和求解。
二、数值分析在有限元法中的具体应用1.数值积分的应用数值积分是数值分析中的重要内容之一，广泛应用于有限元法中。
在有限元法的离散化过程中，需要对问题的变量进行数值积分。
通过数值积分，可以将连续函数离散为有限个点，并计算其数值近似值。
数值积分方法有多种，如梯形法则、辛普森法则等，可以根据具体问题的需要选择合适的数值积分方法。
2.差分近似的应用差分近似是数值分析的另一个重要内容，同样也被广泛应用于有限元法中。
在有限元法的离散化过程中，需要对偏微分方程进行离散化处理。
通过差分近似，可以将偏微分方程转化为差分方程，从而实现对问题的离散。
差分近似方法有多种，如前向差分法、中心差分法等，可以根据具体问题的需要选择合适的差分近似方法。
3.迭代法的应用迭代法是数值分析中常用的一种计算方法，也被广泛应用于有限元法中。
在有限元法的求解过程中，往往需要进行大量的迭代计算。
通过迭代法，可以不断逼近问题的解，直到满足给定的收敛条件。
常用的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等，可以根据具体问题的需要选择合适的迭代方法。
三、数值分析在有限元法中的优势和挑战1.优势数值分析作为有限元法的基础，具有以下优势：（1）准确性：数值分析通过精确的数值计算，能够得到更加准确的结果。
有限元课件第1讲有限元方法概述-PPT精品文档
ui 1 ui u ( x ) ui ( x xi ) Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
E (ui 1 ui ) i E i Li
EA(ui 1 ui ) N i A i Li
基本思路：分割-组合
将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化） 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分 析） 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近 似的系统（整体分析）
这种分割-组合思想古而有之，如求圆面积。
圆面积
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为E， 单位长度的重量为q，杆的 内力为N。
这一时期的理论研究是比较超前的。
我国力学工作者的贡献
陈伯屏（结构矩阵方法） 钱伟长、胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝 应力计算的基础上，独立于西方创造了有 限元方法并最早奠定其理论基础。--《数 学辞海》第四卷
1.2 有限元分析的基本原理和思路
试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
材料力学解答
N ( x) q ( L x)
N ( x) q x ( L x) A A
q x ( L x) E EA du ( x) q x ( L x) dx EA
q x2 u ( x) ( Lx ) EA 2
2等参北京航空航天大学34进度安排?第1讲有限元方法概述?第2讲矩阵分析及弹性力学基础?第3讲弹性问题有限元方法?第4讲等参元和高斯积分?第4讲等参元和高斯积分?第5讲结构单元?第6讲材料非线性?第7讲几何非线性?第8讲有限元应用专题北京航空航天大学课程评估?出勤率10?课堂作业40?期末考试50北京航空航天大学主要参考书籍1
有限元方法基本原理
有限元方法基本原理有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。
它最早由Courant、Bubnov和Galerkin等人在20世纪50年代提出，并在以后的几十年中得到了广泛的发展和应用。
有限元方法的基本原理是将要求解的区域分割成若干个小的子区域，通常称为有限元，每个有限元内部的物理量可以用一个简单的数学表达式来表示。
然后，通过在有限元之间建立连续性条件，将整个问题转化为一组代数方程，进而得到数值解。
有限元方法的基本步骤包括：建立有限元模型、离散化、建立代数方程、求解代数方程和后处理。
下面将详细介绍每个步骤的具体内容。
第一步，建立有限元模型。
该步骤主要是对要求解的问题进行数学建模，包括选择适当的坐标系、定义物理量和约束条件等。
通常，物理问题可以通过连续介质假设，将其离散化为一组小的有限元。
第二步，离散化。
将要求解的区域划分为有限个小的子区域，通常称为有限元。
常见的有限元形状包括三角形、四边形和六面体等。
有限元的选择通常是根据问题的几何形状和物理条件来确定的。
第三步，建立代数方程。
有限元方法的核心是建立代数方程，用于描述物理问题在离散点上的数值解。
代数方程通常是通过施加适当的数学形式和边界条件来建立的。
建立代数方程的基本思想是使用一组试验函数来近似描述有限元内部的解。
通常采用Galerkin方法，即在离散点上进行加权残差积分，使得残差的加权平均为零。
第四步，求解代数方程。
一旦代数方程建立完成，就可以使用数值方法求解这组代数方程。
常见的求解方法包括直接法和迭代法等。
直接法适用于方程较小的情况，而迭代法适用于方程较大的情况。
常见的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共轭梯度法等。
第五步，后处理。
求解代数方程后，需要对结果进行后处理和分析。
后处理包括计算和显示物理量、绘制图形以及进行误差估计等。
通过后处理，可以对模型进行验证，并对结果进行解释和解释。
数值积分及有限元注意事项
1）保证精度
2)保证总刚K 为非奇异矩阵
～
①若 A B C D
～ ～ ～ ～ ～
则 A 秩 min B 秩、 秩、 秩 C D
～ ～ ～
②若 A B C
～ ～ ～ ～
则 A 秩 B 秩 C 秩
～ ～
考察单刚积分计算
考察总刚
例：
等参元的收敛性
（）经 N xe映射的单元边界发生严 1 重扭曲；
3.应力修匀法
作业
应力计算结果的整理
1.绕结点平均法
(a)对内绕点 ~ 5 : j i / 6 1
j ～ i 1
6
(b) 根据内结点应力利用外 插值公式计算 0 、 6 效果良好，
～ ～
反映了实际应力。
2.两单元平均法
(a)以相邻单元应力的平均 值作为公共边中点的应 力
(b)用外插法求边界单元边 中点的应力值。 注：为进行外插，“内 点”数不应小于 3
(4)为使获得较好的应力结 果，每个结点 连结的单元要均匀
(5)等参元分析时，不要使 母单元到 子单元之映射发生 畸变，保证坐标 变化唯一性。
二.应力梯度很大时问题的 处理
（）高应力梯度区细密网 , 低应力梯度区粗网格划 1 格 分。（机器容量等）
（ ）分步法： 2
采用不同的单元处理 (3)
数值积分
采用数值积分方法：
(1)一维高斯积分公式于一些常见的积分点 情况 i ,W i 见表
多维的用上述积分公式 有
常见三角形数值积分见表
（2）积分阶次的选择
性 1.保证精度、不损失收敛 涉及的基本问题： 法求解 2.避免总刚的奇异性，无
~
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
构造插值函数
01.
位移函数
节点条件：
同理可得：
单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐标给出。
?
雅可比矩阵：
偏导数变换
不能有重节点 不能出现内角大于180o的情况 内角最好介于30o-150o之间（有限变形的情 ，2维
直角坐标系( x , y , z)
球坐标系(r,θ, )
柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
选轨迹上任一点O为原点
用轨迹长度S 描写质点位置
O
m
S
质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
3
4.2 数值积分
数值积分及其基本思想
Newton-cotes积分公式
Gauss-Legendre积分公式
等参元中积分阶次的选择
一个函数的定积分可以通过n个结点的函数值的加权组合来表示
计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵的元素时，往往涉及到复杂函数的定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分方法。 数值积分方法是一种近似的方法。
第4讲 等参单元和数值积分
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4.1 等参单元
01
02
03
04
简单杆系问题分析的新途径
等参单元定义的给出
平面问题四边形等参单元计算公式
三维问题六面体等参单元计算公式
05
采用等参单元的优点
途经1：在整体直角坐标系下进行单元分析（参看第3讲内容） 途径2：建立局部自然坐标系进行单元分析
当点的运动轨迹已知时，通常采用自然法确定点的运动规律、速度、加速度。
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。
此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。
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Legendre多项式的定义域为[-1,1]
-1
x 1
-1 1
x
x 1
零阶 Legendre多项式 一阶 Legendre多项式 二阶 Legendre多项式
L0 ( x) 1
L1 ( x) x 根 x1 0
L２( x)
3 2 1 3 3 ( x ) 根 x1 , x 2 2 3 3 3 5 3 15 15 三阶 Legendre多项式 L3 ( x) ( x 2 ) x 根 x1 , x 2 0, x3 2 5 5 5
解决这一矛盾的办法是探索新型单元，比如非协调元就是其中的一类。
n 1 d m 1 2 m d m 1 ( x 1) ( x 2 1) n dx dx dx n 1 1 1 m 1 n 1
1
1
1
1 d n m n (1) m n 1 ( x 2 1) m 2 m!n! dx
m n 1
1
0
1
当 m=n
1 2
时则有
1 1
1 1 2 Lm ( x)dx 2 m (1) m ( x 2 1) m dx 2 m (1 x 2 ) m dx 1 2m 1 2 (m!) 2 2 (m!) 2 1 1
(2) 若在 (1) 的证明中将 Ln (x) 换成任何次数不超过m-1次的多项式 P m－１(x) 则有
f(x)
f(xi)
n
f(xi+1)
f(x)
I f x dx Wi f xi
a i 1
b
n
W
i 1
i
ba
a
xi h xi+
1
x
Wi：权系数；
b
xi ：积分样点； f xi ：积分样点的函数值。
n
b
梯形法的求积公式为
I f x dx
a i 1
一般来说，对于一个2n-1阶的多项式，需用2n个样点及其样点值才能 精确重构该多项式，或者说，需用2n个积分样点才能给出精确积分。
常见的高斯点坐标和权系数
积分阶数n
１ ２ ３ X = 1，2
高斯点坐标
x1=0 0.5773502692
权系数
W1=2 W1,2=1 W1,3=5/9 W1=8/9
2n－1
T e 1 1
1 1
k WiW j BT E B t det J ( i , j )
n n i 1 j 1
注意： (1) 其中(ξi，ηj )为积分点的自然坐标。 (2) [Ｂ]矩阵在积分点上的函数值是确定的，因为它与形函数相关，而形函数 是一个确定的函数。 (3)对于每个积分点都必须计算detJ 的值。
1
L
1
m
( x)Pm 1 ( x)dx 0
这表明：Lm(x) 与任何一个次数不超过 m-1的多项式正交。
(3) 若q(x) 是（－１，１）上平方可积的函数，则可将q(x)展开成
q ( x ) C m Lm ( x )
m 0
对于n次多项式Pn(x)有
n
2m 1 Cm 1 Lm ( x)q( x)dx 2
I
1 1
f ( x, y)dxdy W W
i 1 j 1 i
1 1
n
n
j
f ( xi , y j )
积分阶数n是对每一个自变量而言的积分阶数，而积分点总数在二维情 况下为n2，在三维情况下为n3。
1 1
2 2
3 3
4 4
单元刚度公式的数值积分形式
k B E Btdxdy BT DBt det J dd
（1）1点Gauss积分公式 n=1时 (4-149)
(2) 2点Gauss积分 n=2时 (4-150)
3.数值积分的Gauss方法
高次多点 Gauss积分
4. Gauss -Legendre (高斯-勒让德)积分
L0=1 L1= x 1 L2 1 x1 -1 -1/2 x2 1 x -1 L3
对于 m≠n （m、n 非零，不妨认为 m>n ）
1
1
n
n 1
1
0
1
1 dn 2 dm 2 Lm ( x) Ln ( x)dx m n ( x 1) n m ( x 1) m dx 1 2 m!n! 1 dx n dx 1 d 2 m d ＝ m n m 1 ( x 1) ( x 2 1) n 2 m!n! dx dx n
数值积分
1. 问题的提出
对于一个实际的单元，可以实现整个单元刚度矩阵在两个坐标系的变换计算，即
2. 数值积分的基本概念 任何积分工作取决于三个要素： (1) 给定的积分区间; (2) 给定的被积函数; (3) 具体的积分方法。下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念。 (i) 梯形法
函数 f(x) 在区间 (a,b) 的积分可以表达为
f xi f xi 1 h 2
ba h n 1
(ii) 当被积函数为n-1次多项式Pn-1(x)时，则由n个样点及其样点值（xi, Pn1(xi),i=1,n）可以确定这个多项式。
(iii)对多项式形式的被积函数进行积分可以采用高斯求积法。
3.数值积分的Gauss方法
(4-148)
1 3 5 7
x 1，3 = 0.7745966692 x2=0 X 1,4 =
X 2,3 =
４
0.8611363116
0.3399810436
W1,4= 0.3478548451
W2,3= 0.6521451549
5. 二维情况
一种经常采用的（并非唯一可能的）选择方式是：沿x、y方向取同样个数的积分点
四阶 Legendre多项式
L4 ( x )
35 3 15 120 2 15 120 (x )( x ) 8 35 35 15 120 15 120 , x 2、 3 35 35
根 x1、 4
一般n阶Legendre多项式的定义为
1 dn 2 Ｌn ( x) n n ( x 1) n 2 n! dx
结束语
等参数单元是目前应用最广的一类单元，它的边可直可曲，精度可高可低。 由于采用数值积分，处理材料非线性问题不会遇到新的困难。鉴于这些优点，在 一些通用分析程序中，等参元成为处理二阶问题的主要单元。 等参数单元也有它的不足之处：精度和计算量之间在存着矛盾。在二维情况
下，结点个数取到20单元才有较满意的适应能力，而这时计算量往往相当可观。
Ｌ0 ( x)、 Ｌ ( x) 、Ｌ ( x) 、 Ｌn ( x)、 １ ３
多项式的性质，涉及下面的关系：
dk 2 ( x 1) n ＝( x 2 1) n k Pk ( x) dx k
显然有
d 2 dk ( x 1) n ( x 2 1) n 1 n 2 x ( x 2 1) n 1 p1 ( x) ( x 2 1) n ＝0 dx k dx 2 x 1 d 2 n 2 n 1 2 n2 2 ( x 1) ( x 1) n 2 ( x 1) n(n 1) 4 x 2 dx ＝( x 2 1) n 2 P2 ( x)
1
Pn ( x) C m Lm ( x)
m 0
一般若取任取n个积分点x1、x2、… xn，作n-1次插值多项式，积分Ｉ的 近似值可表示为
I Wi f ( xi )
i 1
n
(a)
当积分点取为n 阶Legendre多项式的零点时，如果被积函数f(x) 为次 数不超过2n－1次的多项式，（a）将给出积分的精确值。这就是高斯求 积分法，上述积分点又称为高斯点。高斯点的个数又称为积分阶数，有限 元分析中一般n=2~4。
n 阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程在区间[-1,1]上的有界解。
1 x y 2xy nn 1y 0
2
Ln(x) 在区间（-1, 1）上有n个相异实根（零点）若再补充定义
Ｌ0 ( x) 1
则得一个定义在[-1, 1]上的多项式系列 对于任何 k<n 都有
(4)八结点单元而言[k]共有162=256个元素，利用对称性仍需对其中的136 个元素进行数值积分。
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
例
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
其中H为
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算 具体计算等参元的
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
６. 有限元解的误差
有限元解的误差是四个方面因素综合影响的结果。 (i) 插值误差 这是在单元内用多项式代替真实解（在整个求解域内则表现为用有 限自由度代替了无限自由度）所引起的。 （ii）边界形状以及边界条件的误差 即使采用了曲边单元，单元边界仍有它本身的特点（例如是某个 自然坐标的二次函数），不可能作到与实际曲线边界完全吻合。边界形 状的误差使得实际边界条件不能得到精确满足。这种误差一般只在边界 附近影响较大（奇点除外）。 (iii) 数值积分误差 这种“误差”如果利用得好，可以与（i）引起的误差“抵消”， 但处理不当也将影响解的精度。 （iv）截断误差 可以加大计算机的字长（例如用双精度量）使其减少。
关于Legendre多项式有如下重要结论
(1) 任何两个阶数不同的Legendre多项式正交，对于n≥1
1 d 1 d 2 n L0 ( x) Ln ( x)dx n ( x 1) dx＝ n ( x 2 1) n 1 2 n! dx n 2 n! dx n 1 1