有限元第五章.等参数单元
第5章等参数单元
B1
B2
B3
1 e e e B4 2 e B 3 e 4
第5步：单元应力—应变—节点位移的关系 由平面问题的物理方程，有 第6步：节点力—节点位移间的关系 由虚功原理，可得节点力于节点位移间的关系式 e T (e) F B D B dV V ( e ) 对于平面问题有 e T e (e) (e) F B D B tdxdy K S ( e )
u1 v 1 1 e u 2 e 2 v 2 e 3 u 3 e v3 4 u 4 v 4
A
e
其中
1
N 3 N 1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N 3 N 1 N 2 N 4 v1 v2 v3 v4 y y y y N 1 u N 2 u N 3 u N 4 u N 1 v N 2 v N 3 v N 4 v 3 4 1 2 3 4 y 1 y 2 y y x x x x u1 v N 1 1 N 3 N 2 N 4 0 0 0 0 u 2 x x x x v N N N N 3 1 2 4 2 0 0 0 0 y y y y u 3 N N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 v 1 3 x y x y x y x y u 4 v 4
N 1 x 0 N 1 y
0 N 1 y N 1 x
N 2 x 0 N 2 y
有限元方法课件 第五章 等参单元和高阶单元
(5-5)
则其中的子矩阵可按下式进行计算
T B i 1 1 S j dd 1 1
k ij Bi D B j tdxdy
T
(i)
如果单元厚度t是常量，则
kij tab
4 1 2
Et
b 1 1 a 1 1 i j i j 1 i j a i j 3 2 b 3 1 i j i j 2
N i N i I ,
1 0 I 0 1 ,
i i
u vi
(i 1，2 ，3，4)
(e)
由几何方程可以求得单元的应变
u 1 u u b a x x 1 v 1 v v y a y b ab xy u v 1 u 1 v a u b v y x b a
x x0 a
y y0 b
式中
x0 ( x1 x2 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 y0 ( y2 y3 ) / 2 ( y1 y4 ) / 2 a ( x2 x1 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 b ( y3 y2 ) / 2 ( y4 y1 ) / 2
u
N u
i i 1
n
i
, v
N v
i 1
n
n
i i
(5-8)
实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即 (5i 1 i 1 9) 可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函 数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形 式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标 值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前 面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公 式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式（或 位置坐标变换式）。
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
第五章.等参数单元
母单元 首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，我们称之为母单元。
1. 一维母单元 采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下： 1） 线性单元（2结点）
1 2 1 2
1 -1 0 (a) 线 性 单 元
2 1
N1
N2
2） 二次单元（3结点）
(8-14)
其中， N是用局部坐标表示的形函数，(x,y)是结点i 的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。
返回
图5-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单 元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是 因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。
y
3 1 2
1 -1
(8-19)
返回
其中，[J]-1是[J]的逆阵
y 1 J x
3. 三维母单元 三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体
1 1 1 1 1 1
如图5-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。 单元结点在角点及各边的等分点上。 1) 线性单元（8结点） 5 8
13
5
16
15 14
8
6
1
这正方形单元的位移模式是：
而其中形函数为：
由图（b）可知
• 假如图 (a)中的任意四边形单元能用上式的位移 模式及形函数进行计算，则前面所提的位移连续 性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何 将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正 方形单元的局部坐标( , )。
根据形函数的两条性质：
2
图5-2 以上形函数也可以合并表示为 1 1
等参数单元
(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。 在上述分析的基础上，利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成 结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件，进而进 行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念 等参数单元（Isoparametric elements）简称等参元，是根据特 定方法设定的一大类单元，不一定具有相同的几何形状。因为等参 元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限 元理论中占有重要的地位。采用等参元，一方面能够很好地适应曲 线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，等参元一般 具有高阶位移模式，能够较好地反映结构的复杂应力分布情况，即 使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。 等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系（Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系）的规整形状的单 元（母单元）的高阶位移模式，然后利用形函数多项式进行坐标变 换，得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元 （子单元），其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换 的节点数相等，位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的 形函数与节点参数，这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程，将会 得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x
5.1.15.1等参数单元及空间问题分析
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2） 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状，又能具 有较高次的位移模式，
等参单元（iso-parametric element）的概念：等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。
。
5.1.1 平面4节点等参单元 1）等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知：
xi yi
f
ii
（i=
1,2,3,4）求， ：
x y
f
解法：插值 x 1 2 3 4
有限元第5章-等参数单元
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
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1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
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27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
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4
4
x
i1
Ni , xi
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30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
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第五章 有限元法-1-泛函与变分
设待求变分问题（5-4）的解答（极值函数）为 y=y(x) （5-7）
因y是x的函数，但讨论的是y的变化
设想函数y从极值解（5-7）稍稍变动到y+dy，并把变分dy改记为：eh(x)，
e是一个任意给定的微量实参数（实变量）；
h(x)是定义于区间[x1，x2]，且满足齐次边界条件的任意选定的可微函数，即有： h(x1)=h(x2)=0。
15
与多元函数的极值问题相对应，在几何、力学上的求解泛 函极值的问题。 最速降线问题。
研究当质点从定点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短，试 求质点应沿着怎样形状的光滑轨道y=y(x)下滑。 取A点为坐标原点，y轴竖直向下（图5-1）。
则沿曲线y=y(x)滑行线段ds所需的时间为
16
18
在最速下降问题，在端点x1和x2给定的无数个函数之中， y ( x) 仅有一个函数 能使式（ 5-2a）中的定积分达到极小 y ( x) 值函数，这一函数 被称为极值函数。 所谓变分问题就在于寻求使泛函达到极值的该极值函数， 即分析研究泛函的极值问题。 物理学各分支都存在有相应的变分问题（变分原理），例 如
因此
式中
26
故可得
简写为
将上式与式（5-6）相比较，只相差一个数值因子e。
27
故（5-8）等价于变分方程
也即
（线性主部）
利用分部积分，根据变分与微分顺序可以互换的原理，即 dy’=(dy)’，得
28
在变分问题中，变分dy在端点保持为零
于是，必要条件（5-12）成为
第五讲 等参单元
•
关于高斯积分有如下结论： 采用N个积分点的高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以
下的多项式，则高斯求积公式给出准确结果。
•
对于二、三维高斯积分，有：
I
I
1
1
1 1
1
1
f ( , )dd f (i , j ) wi w j
i 1 j 1
1
L
M
1 1 1
平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然， 母单元的节点对应于不同的x，y坐标就得到不同的任意 四边形单元。
•变实例
• 建立了局部坐标系或映射后，我们可以在ξ -η 平面上 的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。 • 任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式（或者
称为ξ -η 坐标系下的位移模式）可以参考矩形单元的 位移模式写为：
1）形函数导数的坐标变换 • 等参单元中形函数是局部坐标ξ ,η 的显函数，而计算 应变时需要形函数对x,y坐标的导数。根据等参变换式， ξ ,η 和 x,y之间有一定函数关系，由复合函数求导规 则有：
N i x N x i y N i N i x x N J N y i i y y
k B DBhd
e T
e
由于[B]矩阵已是ξ,η的函数，上式积分应该在自然坐标系下 进行，或者说进行积分变量替换。
在整体坐标系中，面积微元为x 方向和y 方向微矢量的叉乘 的模量，
• 由二维重积分变量替换公式得到：
k 1 1 B DBh J dd
任意直边四边形
任意六面体
有限单元法 数学术语
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
内容简述在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
第五章 等参单元1
在第一章中已阐明位移模式就是：单元内任意一点的位移，被表述为其坐标的函数。
在平面问题的单元中，任一点的位移分量可用下列多项式表示；显然位移模式的项数取得越多，计算也越精确，但是项数取得越多，待定系数61，。
z，…A1，P z，…也就越多，根据第一章64所述，待定系数是通过代入节点坐标及其位移而确定的。
所以一般要根据有几个节点才可确定取几项。
表4—1列出几种平面单元的位移模式。
为了使有限元的解能够收敛于精确解，任何单元的位移模式都必须满足以下三个条件：1、位移模式中必须包括反应刚体位移的常数项。
刚体位移是单元的基本位移，当单元作刚体位移时，单元内各点的位移值均相等，而和各点的坐标值无关。
显然式(4．1)中的常数项就是提供刚体移的。
2、位移模式中必须包括反应常应变的线性位移项。
当单元分割得十分细小时，单元中的应变就接近于常量。
所以选取的位移模式就必须反应这一点，由第一章可知线性位移项就是提供常应变的。
单元的位移模式满足了上述两个条件者，称为完备单元。
3、位移模式必须能保证单元之间位移的连续性。
在连续弹性体中位移是连续的，所以分割成许多单元后，相邻单元的位移必须保持连续，这就要使相邻单元的公共边界具有相同的位移，以避免发生两相邻单元互相脱离或互相位侵入的现象。
这种连续性在有的文献中称为协调性或相容性。
现在具体分析几种单元的位移模式。
图4—1表示两个相邻的三节点三角形单元，其公共节点『及m的位移对两个单元是一样，由于三节点三角形单元的位移模式是坐标的线性函数，公共边用M 在变形后仍是一条直线，所以上述两个相邻单元在iM边上的任意一点都具有相同位移，从而保证了连续性。
图4—2表示两个相邻矩形单元，其公共边界是M M，相当于y＝常数的一条直线，由表4—l可知矩形单元的位移模式是，当y＝常数，位移分量M是按线性变化的，所以和前例同样的推理，可以证明两个相邻矩形单元的位移在公共边界上是连续的。
对于六节点的三角形单元及八节点的矩形单元，在单元边界上位移分量是按抛物线变化的，而每条公共边界上有三个公共节点，正好可以保证相邻两单元位移的连续性。
UG NX 8.5 有限元分析入门与实例精讲 第5章
本章内容简介 本实例首先利用UG NX高级仿真中的静力学【SOL 101 Linear Statics -
Global Constraints】解算模块，以叶轮叶片为分析对象，依次创建有限元模型 和仿真模型，计算出该模型的位移和应力值，以此作为疲劳分析的名义值，通过 创建耐久性仿真方案，依次选取应力准则、应力类型和疲劳寿命准则，分别计算 了两种工作转速下的结构疲劳寿命，通过查看结构的疲劳寿命、疲劳损伤程度、 疲劳安全系数及强度安全系数等指标来评判该结构的疲劳性能。
本章节主要内容:
基础知识 问题描述 问题分析 操作步骤 本节小结
5.1基础知识
主要内容大致分为四个部分： 疲劳分析概述 疲劳分析主要参数 疲劳分析操作流程
操作流程
5.2 问题描述
如图为某大型离心压缩机叶轮叶片的实际模型，压缩机叶轮叶片的主要破坏形式 是疲劳破坏，该叶轮叶片的特点是叶片是整体压铸或采用焊接的联结方式，首先 计算该结构线性静力学中的Von-Mises应力和应变值，判断结构在此工况下是否处 于弹变阶段，然后按照最大应力值的工况根据一般的疲劳寿命准则，计算以下条 件的疲劳寿命：
算模块分析模型在工况下的疲劳性能。
（1）创建有限元模型
1）依次左键单击【开始】和【高级仿真】命令， 在【仿真导航器】窗口的分级树中，单击 【Impeller.prt】节点，进行新建FEM相关操作；
弹出的【新建FEM】对话框，默认【求解器】和 【分析类型】中的选项，单击【确定】按钮即 可进入了创建有限元模型的环境，注意在【仿 真导航器】窗口分级树上出现了相关的数据节 点。
5.4.1 结构静力学分析操作步骤 创建有限元模型 创建仿真模型 求解及其解算参数的设置 5.4.2 单个载荷变量疲劳分析的操作 创建工况1的疲劳分析解算方案 查看疲劳分析结果 创建工况2的疲劳分析解算方案并查看分析结果 查看工况2的疲劳分析结果
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
有限元分析第五章(第二部分)
§5-5数值积分１、问题的提出在上一节中对等参元进行单元分析时要进行下列积分： (i) 单元刚度矩阵(ii)体积力的等效结点力(iii)边界力的等效结点力(iv)温升载荷的等效结点力式（5-4-5）~（5-4-8）分别归结为计算以下两种形式的积分对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到解析的结果（精确值），一般情况只能用数值积分方法（主要是高斯求积法）求近似值。
虽然数值积分是“被迫“采用的，但后来发现：有选择地控制积分点的个数和位置，可以方便地实现我们的某些特殊意图。
这样一来，数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分，以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。
２、数值积分的基本概念任何积分工作取决于三个要素：给定的积分区间，给定的被积函数，具体的积分方法。
下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念 (i) 梯形法函数()x f 在区间(a,b)的积分可以表达为 ()()ini ibax f W dx x f I ∑⎰=≈=1⎰⎰⎰---111111),()(dxdxy x f dx x f 、 [][][][][][][]ηξd d J t B E B tdxdyB E B k T Te det 1111⎰⎰⎰⎰--=={}[][]ηξσd d J t f f N td f f N r y xT y x T eV det 1111⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰⎰--{}[]{}ηξσγd Jd t B T det 01111T ⎰⎰--={}[]()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰--dy y f dx x f tds q p N r T 1111,ΓΓ(5-4-5)(5-4-8) (5-4-7) (5-4-6)i W ：权系数；i x ：积分样点；()i x f ：积分样点的函数值。
梯形法的求积公式为其中，1--=n ab h ，而a b W ni i -=∑=1(ii) 当被积函数为n-1次多项式P n-1(x )时，则由n 个样点及其样点值（x i , P n-1(x i ),i=1,n ）可以精确重构这个多项式，从而可以得到精确解。
有限元分析基础
1.什么是等参数单元？（教材）坐标变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数，这种变换方法是等参数变换，这种变换方式能满足坐标变换的相容性，采用等参数变换的单元称之为等参数单元。
2.等参数单元的特点、基本条件、划分单元应注意的问题（教材习题）3.应用等参数单元时为什么要采用高斯积分，高斯积分点的数目如何确定？（教材习题）4.薄板弯曲问题的基本假设是什么？（其他参考书）（1）板弯曲钱垂直于中面的法线，在板弯曲后保持为直线，并垂直于弯曲后的中面。
（2）板面各水平层之间相互挤压（3）薄板受垂直于中面的载荷时可以为中间层各点设有平行于板面的位移.5.位移插值必须满足的三个条件：（教材）（1）位移插值函数应能满足单元的刚体位移（2）位移插值函数应能反映常量应变——常应变准则（3）位移插值函数应能保证单元内及相邻单元间位移的连续性——变形协调准则6.什么是轴对称问题？（其他参考书）：轴对称物体的形变及应力分布不一定是轴对称的，只有当约束和载荷都对称于旋转轴时，轴对称物体的变形及应力分布才是轴对称的。
我们把满足上述条件的系统应力分析问题称为轴对称问题。
（教材）：如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外力，都是绕某一轴对称的，则弹性体的应力、应变和位移也就对称于这一轴，这种问题称为轴对称问题。
7.刚度矩阵性质(总刚)：（1）对称性，关于正对角线对称（2）稀疏性，矩阵中有大量的零元素（3）带状分布，矩阵中非零元素在主对角线两侧呈带状分布10.形函数的性质。
(教材)（1）单元内任一点的三个形函数之和恒等于1，即Ni+Nj+Nm=1.(2)在节点i:Ni=1,Nj=0,Nm=0在节点j:Ni=0,Nj=1,Nm=0在节点m:Ni=0,Nj=0,Nm=111. 有限元法的特点（其他参考书）（1）概念清楚，容易理解（2）适应性强，应用范围广。
（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用数字计算机的优势。