第1课时 菱形的性质
1.1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质课件+2023—2024学年北师大版数学九年级上册
13. （易错题）四边形 ABCD 是菱形，∠ BAD ＝60°， AB
＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E 在 AC 上.若 OE
＝ 3 ，则 CE 的长为
4 或2
.
14. （贵阳市白云区五中月考）如图，点 P 为菱形 ABCD
对角线 BD 上一点，连接 PA ， PC ，点 E 在边 AD 上，且
AB 至点 E ，使 BE ＝ AB ，连接 CE .
（1）求证： BD ＝ EC ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱
形，∴ AB ＝ CD ， AB ∥ CD ，
又∵ BE ＝ AB ，∴ BE ＝ CD ，∵ BE
∥ CD ，∴四边形 BECD 是平行四边
形，∴ BD ＝ EC .
（2）若∠ E ＝50°，求∠ BAO 的大小.
60°， BD ＝7，则菱形 ABCD 的周长为 28 .
（第6题图）
知识点三 菱形的对角线的性质
7. （贵阳中考）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此
菱形的周长是（ B ）
A. 5
B. 20
C. 24
D. 32
8. （2023湘潭中考）如图，菱形 ABCD 中，连接 AC ，
BD ，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ C ）
∠ AEP ＝∠ DCP . 求证： PC ＝ PE .
证明：∵四边形 ABCD 是菱形.
∴ AD ＝ CD ，∠ ADP ＝∠ CDP ，
∵ DP ＝ DP ，∴△ ADP ≌△ CDP （SAS），
∴ PA ＝ PC ，∠ DAP ＝∠ DCP ，
又∵∠ AEP ＝∠ DCP ，∴∠ AEP ＝∠ DAP ，
1.1+菱形的性质与判定+第1课时菱形的性质+课件+2024-2025学年北师大版数学九年级上册
线的交点.
知识导航
（3）菱形特有的性质：
定理：菱形的四条边 相等 .
定理：菱形的对角线 互相垂直 ，并且每一条对角线
平分一组对角.
注意：菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三
角形，两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
典例导思
题型一 利用菱形的性质进行计算学用P1
∴ BF ＝ CF ＝ BC .
∴ CF ＝ CE .
（第4题）
在△ CEM 和△ CFM 中，
∵ CE ＝ CF ，∠ MCE ＝∠ MCF ， CM ＝ CM ，
∴△ CEM ≌△ CFM （SAS）.
∴ ME ＝ MF.
典例导思
如答案图，延长 AB ， DF ，相交于点 G .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ G ＝∠2.
∴ EH ＝ .
∴ EF ＝
＋ ＝
+
＝
.
（答案图）
典例导思
题型二 利用菱形的性质进行推理
如图，在菱形 ABCD 中， E ， F 分别是 CB ， CD 上
的点，且 BE ＝ DF .
（1）求证： AE ＝ AF ；
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D .
C. 2.5
D. 5
（第1题）
典例导思
2. 如图，在菱形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， AB
的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F ，连接 DF ，若∠ BAD ＝
18.2.2 第1课时 菱形的性质
以下哪些是菱形
D
C
A
B
平行四边形
平行四边形ຫໍສະໝຸດ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
几何语言：在平行四边形 ABCD 中， ∵ AB = BC ∴平行四边行 ABCD 是菱形.
判断
1.菱形是特殊的平行四形。 2.平行四边形是菱形。
菱形是特殊的平行四边形 平行四边形不一定是菱形.
3.菱形的对边平行且相等。
B O
C
D
口答：
1.在菱形ABCD中，若AC=8,BD=6,
(1)OA=OC=（ ），OB=OD=( )
B
(2)AB=BC=AD=CD=( )
2.在菱形ABCD中，若∠BAD=60° （1）∠BAC=( )
(2) ∠ABC=( ),∠ABO=( )
O
A
C
D
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长． 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，
A
O
C
∠ABC+∠BAD=∠BAD+∠ADC=180° D
菱形的性质
对角线： 菱形的两条对角线互相垂直平分，并 且每一条对角线平分一组对角
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠∠DAADACBC⊥==B∠∠DCB，ADOCBA，，=∠∠OCDA=BC12DAA=C=∠∠,OBCBCB=ADO，.D=12ABD,
B
O
A
C
D
1.菱形的概念： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形是特殊的平行四边形。
2.菱形的性质： （1）菱形的对角相等，邻角互补。 （2）菱形的对边平行且四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平 分一组对角。
菱形的性质(第一课时)经典课件
关于中垂线对称
菱形的两条中垂线分别垂直平分两条对角线，并且相交于 中心。
菱形中的任意一点关于其中一条中垂线对称，意味着该点 到中垂线的距离相等且与相对的边的中点连线与中垂线垂 直。
05
菱形在实际生活中的应用
建筑设计中的应用
窗户设计
菱形图案的窗户在建筑设计中经常被使用，它能够 增加建筑物的艺术感和视觉效果。
菱形的性质(第一课时)经典课 件
目
CONTENCT
录
• 菱形的定义与性质 • 菱形的边长性质 • 菱形的角度性质 • 菱形的对称性 • 菱形在实际生活中的应用
01
菱形的定义与性质
菱形的定义
。
菱形的性质
对角线互相垂直
四边相等
对角相等
邻边互相垂直
科学实验
在某些科学实验中，菱形形状 的装置或实验器材可以提高实 验的准确性和可靠性。
THANK YOU
感谢聆听
菱形的两条对角线互相 垂直，并且平分对方。
菱形的四条边长度相等。
菱形的对角相等，即相 对的两个角大小相等。
菱形相邻的两边互相垂 直。
菱形与平行四边形的关系
01
菱形是平行四边形的一种特殊情 况，当平行四边形的所有边都相 等时，它就变成了菱形。
02
平行四边形不一定是菱形，但菱 形一定是平行四边形。
02
菱形的对角线互相垂直平分，这 一性质在几何证明中经常被使用 。
80%
角度和边的关系
通过菱形的性质，可以推导出角 度和边的关系，进而证明其他几 何命题。
其他领域中的应用
时尚界
菱形图案在时尚界中广泛流行 ，如服装、饰品和鞋履的设计 中经常出现菱形元素。
艺术创作
.21.第1课时菱形的性质
19.2 菱 形1. 菱形的性质第1课时 菱形的性质1．通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系；2．通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征；3．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．(重点、难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】 菱形的四条边相等如图所示，在菱形ABCD 中，已知∠A ＝60°，AB ＝5，则△ABD 的周长是( )A ．10B ．12C ．15D ．20解析：根据菱形的性质可判断△ABD 是等边三角形，再根据AB ＝5可求出△ABD 的周长为C.方法总结：如果菱形的一个内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．【类型二】 菱形的对角线互相垂直如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝8cm ，AC ＝6cm ，求菱形的周长．解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算．解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD .因为AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，所以AO ＝3cm ，BO ＝4cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理得AO 2+BO 2=AB 2，即32+42=AB 2.∴AB=5cm . ∴菱形的周长＝4AB ＝4×5＝20cm ．方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．【类型三】 菱形的对称性如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB于点E ，CF ⊥AD 于点F .求证：AE ＝AF .解析：要证明AE ＝AF ，需要先证明△ACE ≌△ACF .证明：连接AC .∵四边形ABCD 是菱形，根据菱形的对称性可知AC 平分∠BAD ，即∠BAC ＝∠DAC .∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°.在△ACE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠AFC ，∠EAC ＝∠F AC ，AC ＝AC ，∴△ACE ≌△ACF ，∴AE ＝AF .方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．探究点二：菱形的面积的计算方法如图所示，在菱形ABCD 中，点O 为对角线AC 与BD 的交点，且在△AOB 中，OA ＝5，OBABCD 两对边的距离h .解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．解：因为四边形ABCD 为菱形，所以AO⊥BO ，即∠AOB=90°.由勾股定理得AO 2+BO 2=AB 2,即52+122=AB 2,所以AB=13.即S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×5×12＝30，所以S 菱形ABCD ＝4S △AOB ＝4×30＝120.又因为 S 菱形ABCD ＝AB ·h ＝13h ，所以13h ＝120，得h＝12013. 方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．三、板书设计 1．菱形的性质 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直．2．菱形的面积S 菱形＝边长×对应高＝12ab (a ，b 分别是两条对角线的长)本节课不仅安排了菱形性质的探究，而且穿插了菱形两种面积公式的探究，课堂中为了突出学生的主体地位，留给学生充足的时间思考交流，发挥学生的主体地位，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展.。
初中数学华东师大版八年级下册19.第1课时菱形的性质课件
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.知道菱形的概念及其与平行四边形的关系 2.掌握菱形的性质定理的简单应用
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
做一做：将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开， 你发现这是一个什么样的图形？
该四边形的四 条边相等
这种特殊的平行四边形是菱形. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
几何语言：如图，对于平行四边形ABCD，若AB=BC，则这个平行四边形叫做
菱形.
A
D
B
C
作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时 也具有一些特殊的性质.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°.
又∵AC=AC，
归纳：菱形是轴对称图形，它的对
∴△ACE≌△ACF.
角线所在的直线都是它的对称轴，
∴AE＝AF.
每条对角线平分一组对角．
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
3.如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB=OD．
求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB，
A
D
O
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，
B
EC
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
菱形的性质与判定第一课时(菱形的性质)
B
D
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积
C
菱形的面积等于两条对角线乘积 1 2 BD AE 的一半 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
D A
O
C
解得:
B
菱形的周长为20cm ,面积为24cm2
三、课堂小结
定理:菱形的四条边都相等. 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且 每条对角线平分一组对角.
结论： 菱形是轴对称图形，有2条对称轴， 它们互相垂直。
首先它具有平行四边形的一切特征.
特殊的特征：
1、菱形的四条边相等.
思考：菱形的对角线有什么特征呢？
2、菱形的对角线互相垂直。
定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形.
求证:AB=BC=CD=DA. 分析:由菱形的定义,利用平行四边形性 质可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD. B A D C
O B
C
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD 长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, A E
∴∠AED=900,
AE
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
1 1 DE BD 10 5cm . 2 2 AD 2 DE 2 132 52 12cm .
定理:菱形的两条对角线互相垂直。 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O. 求证: AC⊥BD. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. A D
第1章第1课时 菱形的性质PPT课件(北师大版)
知识点 2 菱形面积的计算 ☞ 例 3 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相 交于点 O，AB＝5，AC＝6，过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，求△BDE 的面积.
6．(2018·贵州贵阳)如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF＝3，那 么菱形 ABCD 的周长是( A )
A．24 B．18 C．12 D．9
7．(2018·辽宁锦州)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 OH. 若 OB＝4，S 菱形 ABCD＝24，则 OH 的长为 33 ．
第1课时 菱形的性质
核心提要 典例精炼 变式训练 基础演练 能力拔高 拓展培优
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的四条边相等， 对角角线线互相垂直，并且每 一条 对角线平分一组对角． 3．菱形是 轴轴对称图形，它有 2 条对称轴． 4．菱形的面积是 对角线乘积的一半．
知识点 1 菱形性质的运用 ☞ 例 1 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，∠BCD＝ 120°，则△ABC 的周长等于( B )
BE 的长．
解：菱形 ABCD 的面积为21×16×12＝96(cm2)． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥DB， ∴CD＝ 62＋82＝10(cm)． ∵S△BCD＝12S 菱形 ABCD，∴12CD·BE＝48， 即12×10BE＝48，解得 BE＝458. ∴菱形 ABCD 的面积为 96cm2图，在菱形 ABCD 中，过点 B
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19.3.2菱形
第1课时菱形的性质
教学目标
【知识与技能】
1.理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算.
2.培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力.
3.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力.
4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想.
【过程与方法】
经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法.
【情感态度】
培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审判观、价值观.并在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点.【教学重点】
菱形的性质定理1、2.
【教学难点】
定理的证明方法及运用.
教学过程
一、创设情境，导入新课
1.(复习)什么叫做平行四边形？什么叫矩形？
平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2.观察下列图片中的图形，它是什么特殊的平行四边形？
【教学说明】
复习矩形的性质，了解矩形和平行四边形之间的关系，再通过观察图片，认识菱形的形象，从而联系菱形与平行四边形之间的关系.
二、合作探究，探索新知
1.我们已经学习了一种特殊的平行四边形－－矩形，其实还有另
外的特殊平行四边形，请看演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念.
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【强调】菱形(1)是平行四边形；(2)一组邻边相等.
【教学说明】
通过动画演示，直观展示菱形与平行四边形之间的关系，从而得到菱形的定义，然后强调指出菱形是特殊的平行四边形.
2.探究：菱形的性质，让学生动手利用折纸、剪切的方法，探究、归纳.
方法一：如图1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD就是菱形；
方法二：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形(如图2) .
总结：菱形的性质：
①菱形的四条边都相等.
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
【教学说明】
通过动手操作，然后观察猜想，再进行推理论证，最后总结归纳，得出菱形的性质.
3.探索
菱形的面积公式是什么？如何证明这个公式？
(提示：四个全等的直角三角形.)
【教学说明】
这是对菱形性质的进一步推理应用，同时也是掌握菱形的面积与对角线关系的重要公式，要让学生明确推理的过程，并且明确菱形面积的两种求法之间的关系.
三、示例讲解，掌握新知
【例】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是
AB上一点，DF交AC于E.求证：∠AFD＝∠CBE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD, CA平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE.
又CE＝CE，∴△BCE≌△DCE(SAS)，∴∠CBE＝∠CDE.
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD ＝∠CBE.
【教学说明】
这是对菱形性质的应用，要让学生先回顾菱形的性质，然后明确解题思路，再结合三角形全等来进行解决，最后教师要对思路和方法进行总结.
四、练习反馈，巩固提高
1.菱形ABCD中，若对角线长AC＝8 cm，BD＝6 cm，则边长AB ＝5 cm.
2.如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝35° .
第2题图第3题图
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE＝CE.
证明：∵四边形ADEF是菱形，∴DE＝EF，AB∥EF，DE∥AC，
∴∠B＝∠CEF，∠C＝∠BED，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BED＝∠CEF，
在△DBE和△FCE中，{∠BED＝∠CEF，∠B＝∠C，DE＝FE，∴△DBE≌△FCE，∴BE ＝CE.
五、师生互动，课堂小结
1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.菱形的性质：
(1)菱形的四条边都相等.
(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
课后作业
完成同步练习册中本课时的练习.。