2017-2018年安徽省淮北一中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年安徽省淮北一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A ∩（∁U B）=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2，3，4}2．（5分）下列函数中，是同一函数的是（）A．B．y=x2与y=x|x|C．D．y=x2+1与y=t2+13．（5分）设f（x）=，则f（f （2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）函数f（x）=x3+2x﹣1一定存在零点的区间是（）A．B． C． D．（1，2）5．（5分）令a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（5分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域（）A． B．[﹣1，4]C．[﹣5，5]D．[﹣3，7]8．（5分）设函数f（x）=x4+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（）D．（﹣∞，）∪（，+∞）9．（5分）已知函数满足对任意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1） B． C． D．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（﹣1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．（5分）已知f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b），并且α，β是方程f（x）=0的两根（α＜β），则实数a，b，α，β的大小关系是（）A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b12．（5分）已知函数f（x）=，若方程f2（x）+bf（x）+=0有六个相异实根，则实数b的取值范围（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣，0）D．（﹣，﹣1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=．14．（5分）函数g（x）=log2（3﹣2x﹣x2）的单调递增区间为．15．（5分）定义运算a*b为：，例如：1*2=1，则1*2x的取值范围是．16．（5分）若函数与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2≤4x≤8}，C={x|a ﹣4＜x≤2a﹣7}．（1）求（∁U A）∩B；（2）若A∩C=C，求实数a的取值范围．18．（12分）计算：（1）×．19．（12分）已知函数f（x）=log2（mx2+（m﹣1）x+1）．（1）当m=2时，求f（x）的值域；（2）若f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．20．（12分）设a∈R，已知函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x﹣1．（1）若函数f（x）的图象恒在x轴下方，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值g（a）．21．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f（kx2）+f（2x﹣1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．22．（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f （x）的上界，已知函数．（1）当时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2017-2018学年安徽省淮北一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A ∩（∁U B）=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴∁U B={0，1}，∴A∩（∁U B）={1}．故选：B．2．（5分）下列函数中，是同一函数的是（）A．B．y=x2与y=x|x|C．D．y=x2+1与y=t2+1【解答】解：∵=|x|，与y=x的对应关系不同，∴两函数不是同一函数，故A错误；∵y=x|x|=，与y=x2两函数对应关系不同，∴两函数不是同一函数，故B错误；∵（x≠1），与y=x+3的定义域不同，∴两函数不是同一函数，故C错误；y=x2+1与y=t2+1为相同函数，故D正确．故选：D．3．（5分）设f（x）=，则f（f （2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵f（2）=，而1＜2，∴f（f（2））=f（1）=21﹣1=20=1，故选：B．4．（5分）函数f（x）=x3+2x﹣1一定存在零点的区间是（）A．B． C． D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x﹣1在（0，+∞）上连续单调递增函数，f（）=﹣1＜0，f（）=＞0，f（）f（）＜0∴函数f（x）=x3+2x﹣1只有1个零点，在（，）内，故选：A．5．（5分）令a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，所以c＜b＜a故选：D．6．（5分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=a x﹣，为减函数，当a＞1时，函数f（x）=a x﹣，为增函数，且当x=﹣1时f（﹣1）=0，即函数恒经过点（﹣1，0），故选：D．7．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域（）A． B．[﹣1，4]C．[﹣5，5]D．[﹣3，7]【解答】解：解：∵函数y=f（x+1）定义域为[﹣2，3]，∴x∈[﹣2，3]，则x+1∈[﹣1，4]，即函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，再由﹣1≤2x﹣1≤4，得：0≤x≤，∴函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，]．故选：A．8．（5分）设函数f（x）=x4+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【解答】解：由函数f（x）=x4+x2，可得函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）单调递增，若f（x）＞f（2x﹣1）则|x|＞|2x﹣1|，解得x∈（），故选：A．9．（5分）已知函数满足对任意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1） B． C． D．【解答】解：函数对任意的实数x1≠x2都有成立，可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数的减函数，可得：，解得a∈[，）．故选：D．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（﹣1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（x+2）]=f（x+2），即f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），故函数f （x）的周期为4．∵f（﹣1）=﹣f（1）=1，∴f（1）=﹣1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=1，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=505•[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f （2017）=504•0+f（1）=﹣1，故选：A．11．（5分）已知f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b），并且α，β是方程f（x）=0的两根（α＜β），则实数a，b，α，β的大小关系是（）A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b【解答】解：方法1：方程化为一般形式得：x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0，∵α，β是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2=0的两根，∴α+β=a+bf（α）=0，f（β）=0，f（a）＜0，f（α）＜0又二次函数图象开口向上，所以必有α＜a＜b＜β；故选A方法2：令w=（x﹣a）（x﹣b），作出图象抛物线与x轴交于点a，b．则y=（x ﹣a）（x﹣b）﹣2的图象是将w向下平移2个单位得到，如图则α、β是抛物线y与x轴的两个交点．在图上可以直接看到α＜a＜b＜β．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=，若方程f2（x）+bf（x）+=0有六个相异实根，则实数b的取值范围（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣，0）D．（﹣，﹣1）【解答】解：令t=f（x），则原函数方程等价为t2+bt+=0．作出函数f（x）的图象如图1：图象可知当由0＜t＜1时，函数t=f（x）有3个交点．所以要使f2（x）+bf（x）+=0有六个相异实根，则等价为有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1．令g（t）=t2+bt+，则由根的分布（如图2）可得，即，即，解得﹣＜b＜﹣1，则实数b的取值范围是（﹣，﹣1）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数∴其定义域关于原点对称，故a﹣1=﹣2a，又其奇次项系数必为0，故b=0解得，b=0∴a+b=故答案为：．14．（5分）函数g（x）=log2（3﹣2x﹣x2）的单调递增区间为．【解答】解：3﹣2x﹣x2＞0，解得：﹣3＜x＜1，不等式对应的二次函数y=3﹣2x ﹣x2是开口向下的二次函数，对称轴为：x=﹣1，x∈（﹣3，﹣1]时，函数是增函数，而y=log2x是增函数，由复合函数的单调性可知，函数在（﹣3，﹣1]上是增函数．故答案为：（﹣3，﹣1]{或写出（﹣3，﹣1）．也是正确的}．15．（5分）定义运算a*b为：，例如：1*2=1，则1*2x的取值范围是（0，1] ．【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=，作出函数的图象，由图知：函数y=1*2x的取值范围为：（0，1]．故答案为：（0，1]．16．（5分）若函数与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围是（，+∞）∪{} ．【解答】解：当a＞1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=2a﹣与函数y=|a x﹣1|的图象有且只有一个公共点，由图象可知0＜2a＜1，解得＜a＜，与a＞矛盾，当2a﹣＞1即a时，有一个交点；当0＜a＜1时，﹣2a，可得2a=0，即a=时，两个函数有一个公共点，故答案为：（，+∞）∪{}．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2≤4x≤8}，C={x|a ﹣4＜x≤2a﹣7}．（1）求（∁U A）∩B；（2）若A∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解（1）∵全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，∴∁U A={x|x≤﹣1或x≥1}，∵B={x|2≤4x≤8}={x|1≤2x≤3}={x|≤x≤}，∴（∁U A）∩B={x|1≤x≤}；（2）由A∩C=C得，C⊆A，且C={x|a﹣4＜x≤2a﹣7}，①当C=∅时，a﹣4≥2a﹣7，解得a≤3；②当C≠∅时，则，解得3＜a＜4，综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，4）．18．（12分）计算：（1）×．【解答】解：1）×=﹣4﹣1+0.5×4=﹣3=lg5+lg2﹣lg0.1﹣2=1+﹣2=﹣．19．（12分）已知函数f（x）=log2（mx2+（m﹣1）x+1）．（1）当m=2时，求f（x）的值域；（2）若f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时，函数f（x）=log2（2x2+x+1）．y=2x2+x+1可得△=﹣7＜0，所以y=2x2+x+1=2（x+）2+，f（x）=log2（2x2+x+1）的值域为[，+∞）．（2）①当m=0时，满足题意；②当m≠0时，，解得0＜m或m，所以0≤m或m．20．（12分）设a∈R，已知函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x﹣1．（1）若函数f（x）的图象恒在x轴下方，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值g（a）．【解答】解：（1）若函数f（x）的图象恒在x轴下方，函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x﹣1．开口向下，则△＜0，即4（a﹣1）2﹣4＜0，解得：0＜a＜2故a的取值范围是（0，2）．（2）函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x﹣1．其对称轴为：x=a﹣1；∵x∈[﹣1，2]上，∴当a﹣1≤﹣1，即a≤0时，f（x）在[﹣1，2]上是减函数，∴f（x）max=f（﹣1）=﹣2a；当﹣1＜a﹣1＜2时，即0＜a＜3时，在（﹣1，a﹣1）上是增函数，在（a﹣1，2）上是减函数，∴f（x）max=f（a﹣1）=a2﹣2a；当a﹣1≥2，即a≥3时，f（x）在[﹣1，2]上是增函数，∴∴f（x）max=f（2）=4a﹣9；综上所述，最大值g（a）=21．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f（kx2）+f（2x﹣1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）在定义域为R是奇函数．所以f（0）=0，即，∴b=1．检验知，当b=1时，原函数是奇函数．（2）由（1）知，任取x1，x2∈R，设x1＜x2，则，因为函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以，又，∴f（x2）﹣f（x1）＜0即f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在R上是减函数．（3）因f（x）是奇函数，从而不等式f（kx2）+f（2x﹣1）＞0等价于f（kx2）＜﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x），因f（x）在R上是减函数，由上式推得kx2＜1﹣2x，即对一切有：恒成立，设，令，则有g（t）=t2﹣2t，，∴g（x）min=g（t）min=g（1）=﹣1，∴k＜﹣1，即k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．22．（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f （x）的上界，已知函数．（1）当时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当时，，令，∵x＜0，∴t＞1，；∵在（1，+∞）上单调递增，∴，即f（x）在（﹣∞，0）上的值域为，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．∴函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立，即：﹣4≤f（x）≤4，令，∵x≥0，∴t∈（0，1]．∴对t∈（0，1]恒成立，∴，设，，由t∈（0，1]，由于h（t）在t∈（0，1]上递增，p（t）在t∈（0，1]上递减，h（t）在t∈（0，1]上的最大值为h（1）=﹣6，p（t）在t∈（0，1]上的最小值为p（1）=2．∴实数a的取值范围为[﹣6，2]．。