全称量词与存在量词教案

1．4全称量词与存在量词
[教学目标]
1通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义 2能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容 [教学重点、难点]
重点：理解全称量词与存在量词的意义 难点：全称命题、特称命题的真假判断 [教学过程]
问题1：请大家思考：下列语句是命题吗？你能发现这些语句之间的一些关系吗？ （1）、3>x
（2）、对所有的3,>∈x R x （3）、12+x 是整数
（4）、对任意一个12,+∈x Z x 是整数 （5）、312=+x
（6）、存在一个,0R x ∈使3120=+x （7）、x 能被2和3整除
（8）至少有一个Z x ∈0，0x 能被2和3整除
不是命题， 是命题。

他们之间的关系是：后者比前者多了一些量词，通过这些量词来限定变量的范围使不是命题的语句成为了命题。

短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。

含有全称量词的命题叫做全称命题。

（2）、（4）是全称命题。

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。

含有存在量词的命题叫做特称命题。

（6）、（8）是特称命题。

通常将含有变量x 的语句用)(x p ，)(x q ，)(x r ,…表示，变量x 的取植范围用M 表示，那么：
全称命题“对M 中任意一个x ，有)(x p 成立”可用符号简记为)(,x p M x ∈∀ 特称命题“存在M 中的一个0x ，使)(0x p 成立”可用符号简记为)(,00x p M x ∈∃
问题2：下列日常用语，哪些表示全称量词，哪些表示存在量词？
“凡”、“所有”、“有一个”、“一切”、 “ 全”、“都”、“任意一个”、“存在一个”、“有些”、“至少有一个”、“有”。

其中：
全称量词的有： 存在量词的有： 练习：判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并找出其中的量词
（1）任意实数的平方都是正数____ ______，______ ____ （2）0乘以任何数都等于0______ ________，__ _________ （3）至少有一个实数有相反数________ ___，______ _______
（4）⊿ABC 的内角中有小于600
的角______ _____，____ _______ （5）正方形是矩形______ ______，__________ 问题3：如何判断一个全称命题，特称命题的真假？ 例1；判断下列全称命题的真假 （1）、所有的素数都是奇数 （2）、01,2≥+∈∀x R x
（3）、对每一个无理数x ，2
x 也是无理数 解析：（1）
（2） （3）
规律：全称命题)(,x p M x ∈∀为真，必须对给定的集合的每一个元素x, )(x p 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假 练习1：（1）、每个指数函数都是单调函数 （ ）
（2）、任何实数都有算术平方根 （ ）
（3）、}{
是无理数x x x |∈∀，2x 是无理数 （ ）
例2判断下列特称命题的真假
(1)、有一个实数0x ，使03202
0=++x x （2）、平面内存在两个相交直线垂直于同一直线 （3）、有些整数只有两个正因数 解析：（1） （2）
（3）
规律：存在性命题)(,x p M x ∈∃为真，只要在给定的集合M 中找出一个元素x ，使命题)(x p 为真，否则为假；
练习2：（1）、0,00≤∈∃x R x （ ）
（2）、至少有一个整数，它既不是合数也不是素数 （ ） （3）、}{
是无理数x x x |0∈∃，20x 是无理数 （ ）
例3：已知[]1,3x ∀∈，都有1
x a x
+>恒成立，则a 的取值范围是 ；
例4：已知[]1,3x ∃∈，使得1
x a x
+
>成立，则a 的取值范围是 ；
巩固练习： 四、自我检测
1、判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断它们的真假。

1、 每个三角形都有外接圆
2、 有一个四边形没有外接圆
3、 2
2
2
,,,z y x N z y x =+∈∃+
4、 有些奇函数的图象不过原点
2、将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示。

1）、实数的平方大于或等于0
2）对某些实数x 有2x ＋1＞0
3、下列命题为真命题的是 （ ） A.03,2
<+∈∀x R x B.1,2
≥∈∀x N x C.1,5
<∈∃x Z x 使 D.3,2
=∈∃x Q x
4、已知命题P:“[]0,2,12
≥-∈∀a x x ”命题Q ：
“022,2
=-++∈∃a ax x R x ” 若命题“P ∧Q ”为真命题，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．12=-≤a a 或 B. 212≤≤-≤a a 或 C. 1≥a D. 12≤≤-a
五、课堂小结：
六、课后作业
1.下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数；
B. 2,(1)0x R x ∀∈- ；
C.1,2x R x x ∀∈+
≥ D.1(0,),sin 22sin x x x
π∀∈+≥ 2.下列特称命题中，假命题是：
A.
2,230x R x x ∃∈--= B.至少有一个,x Z x ∈能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线
D.{|x x x ∃∈是无理数},x 2
是有理数． 3.用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并对命题加以否定：
（1） 一切矩形都是平行四边行；（2）无论m 取什么实数，方程2
0x x m +-=必有实根； （3）方程2210(0)ax x a ++=<至少存在一个负根； 4. 下列存在性命题中真命题的个数是（ ）
①0,≤∈∃x R x ； ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； ③}{是无理数x x x ∈∃，x 2是无理数。

A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5.下列命题中真命题的个数是 ( )
①4
2
x R x x ∀∈>，
②若p q ∧是假命题，则p q 、都是假命题
③命题“3
2
240x R x x ∀∈++≤，”的否定为“32
000,240x R x x ∃∈++>”
6.已知命题:p x R ∀∈，2
1
04
x x -+
<；命题:q x R ∃∈
，sin cos x x += 则下列判断正确的是 ( )
A. p 是真命题
B. q 是假命题
C.
p 是假命题 D. q 是假命题 7.若命题“∃0x ∈R ，使得2
(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围？ 8．对),0(+∞∈∀x ，总∃),0(+∞∈a 使得2)(≥+
=x
a
x x f 恒成立，求a 的取值范围． ⌝⌝。