2014年高考一轮复习数学教案：8.3 抛物线

8.3 抛物线●知识梳理定义到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 方程1.y 2=2px （p ≠0），焦点是F （2p ，0）2.x 2=2py （p ≠0），焦点是F （0，2p ）性质S ：y 2=2px （p ＞0） 1.范围：x ≥02.对称性：关于x 轴对称3.顶点：原点O4.离心率：e =15.准线：x =－2p6.焦半径P （x ，y ）∈S ，|PF |=x +2p对于抛物线x 2=2py （p ＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？●点击双基1.（2004年春季北京）在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.21 B.1 C.2 D.4解析：抛物线的准线方程为x =－2p ，由抛物线的定义知4+2p =5，解得P =2.答案：C2.设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为A.（a ，0）B.（0，a ）C.（0，a161） D.随a 符号而定解析：化为标准方程. 答案：C3.以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为 A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析：利用抛物线的定义. 答案：C 4.以椭圆252x+162y=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________.解析：中心为（0，0），左准线为x =－325，所求抛物线方程为y 2=3100 x .又椭圆右准线方程为x =325，联立解得A （325，350）、B （325，－350）.∴|AB |=3100. 答案：31005.（2002年全国）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 解析：由抛物线方程y 2=10x 可知②⑤满足条件. 答案：②⑤●典例剖析【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x －2y －4=0上.剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0），∵过点（－3，2），∴4=－2p （－3）或9=2p ·2. ∴p =32或p =49.∴所求的抛物线方程为y 2=－34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－89.（2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）. 当焦点为（4，0）时，2p =4，∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ； 焦点为（0，－2）时，2p =2，∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y .∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ，对应的准线方程分别是x =－4，y =2. 评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.【例2】如下图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|NB |=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.ABNM l l 12剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围. 解：以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0）（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p =|MN |，所以M （－2p ，0） 、N （2p ，0）.由|AM |=17，|AN |=3，得 （x A +2p ）2+2px A =17，①（x A －2p ）2+2px A =9.②①②联立解得x A =p4，代入①式，并由p >0，p =4， p =2， x A =1 x A =2. 因为△AMN 为锐角三角形，所以2p >x A .P =2， P =4， x A =2. x A =1. 由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p =4.综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.【例3】 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .剖析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA .本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0.由韦达定理，得y A y B =－p 2， 即y B =－Ay p2.解得 或故舍去 所以∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p 上，∴C （－2p ，y B ）. 则k OC =2p y B -=Ay p 2=AA x y =k OA .故直线AC 经过原点O .证法二：如下图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .xyO ABCDE N Fl则AD ∥EF ∥BC .连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||=||||AB AF .∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点.从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.思考讨论本题也可用平面向量来证明，读者不妨一试.●闯关训练 夯实基础1.（2003年高考·新课程）设a >0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为A.［0，a 1］B.［0，a21］ C.［0，|ab 2|］ D.［0，|ab 21-|］解析：tan α=k =f ′（x ）=2ax +b ， ∴0≤2ax 0+b ≤1. ∴0≤x 0+ab 2≤a21.答案：B2.（2004年全国Ⅰ，8）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A.［－21，21］ B.［－2，2］C.［－1，1］D.［－4，4］解析：∵y 2=8x ，∴Q （－2，0）（Q 为准线与x 轴的交点），设过Q 点的直线l 方程为y = k （x +2）.∵l 与抛物线有公共点， y 2=8x ， y =k （x +8）即k 2x 2+（4k 2－8）+4k 2=0有解.∴Δ=（4k 2－8）2－16k 4≥0，即k 2≤1. ∴－1≤k ≤1. 答案：C3.（2003年春季上海）直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是___________. 解析：将y =x －1代入抛物线y 2=4x ，经整理得x 2－6x +1=0. 由韦达定理得x 1+x 2=6，221x x +=3，221y y +=2221-+x x =226-=2.∴所求点的坐标为（3，2）. 答案：（3，2）4.在抛物线y =4x 2上求一点，使该点到直线y =4x －5的距离最短，该点的坐标是____________.解法一：设与y =4x －5平行的直线y =4x +b 与y =4x 2相切，则y =4x +b 代入y =4x 2，得 4x 2－4x －b =0.①Δ=16+16b =0时b =－1，代入①得x =21，∴所求点为（21，1）.解法二：设该点坐标为A （x 0，y 0），那么有y 0=4x 02.设点A 到直线y =4x －5的距离为d ，则 d =14|54|200+--y x =171|－4x 02+4x 0－5|=171|4x 02－4x 0+5|=171|4（x 0－21）2+1|.当且仅当x 0=21时，d 有最小值，将x 0=21代入y =4x 2解得y 0=1.故A 点坐标为（21，1）.答案：（21，1）5.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A （0，9），其轨迹方程是y =ax 2+c （a ＜0），D =（6，7）为x 轴上的给定区间.∴方程组 有解，（1）为使物体落在D 内，求a 的取值范围； （2）若物体运动时又经过点P （2，8.1），问它能否落在D 内？并说明理由.解：（1）把点A 的坐标（0，9）代入y =ax 2+c 得c =9，即运动物体的轨迹方程为y =ax 2+9. 令y =0，得ax 2+9=0，即x 2=－a9.若物体落在D 内，应有6＜a9-＜7，解得－41＜a ＜－499.（2）若运动物体又经过点P （2，8.1）， 则8.1=4a +9，解得a =－409，∴－41＜－409＜－499，∴运动物体能落在D 内.6.正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y =x +4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积.解：设CD 所在直线的方程为y =x +t ， y =x +t ， y 2=x ，x 2+（2t －1）x +t 2=0，∴｜CD ｜＝]4)21[(222t t -- ＝)41(2t -.又直线AB 与CD 间距离为｜AD ｜＝2|4|-t ，∵｜AD ｜＝｜CD ｜， ∴t =－2或－6.从而边长为32或52.面积S 1＝（32）2＝18，S 2=（52）2=50.培养能力7.给定抛物线y 2=2x ，设A （a ，0），a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜P A ｜=d ，试求d 的最小值.解：设P （x 0，y 0）（x 0≥0），则y 02=2x 0，∵ 消去y 得∴d =｜PA ｜=2020)(y a x +-=0202)(x a x +-=12)]1([20-+-+a a x . ∵a ＞0，x 0≥0，∴（1）当0＜a ＜1时，1－a ＞0， 此时有x 0=0时，d min =12)1(2-+-a a =a . （2）当a ≥1时，1－a ≤0， 此时有x 0=a －1时， d min =12-a .8.过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的弦AB ，点A 、B 在抛物线准线上的射影为A 1、B 1，求∠A 1FB 1.解：由抛物线定义及平行线性质知∠A 1FB 1=180°－（∠AFA 1+∠BFB 1） =180°－21（180°－∠A 1AF ）－21（180°－∠B 1BF ）=21（∠A 1AF +∠B 1BF ）=90°.探究创新9.（2003年春季北京）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上.（1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点. ①问△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由. ②当△ABC 为钝角三角形时，求这时点C 的纵坐标的取值范围.解：（1）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x ，如下图.（2）①由题意得，直线AB 的方程为 y =－3（x －1）.y =－3（x －1），y 2=4x ， 解得A （31，332），B （3，－23），若△ABC 能为正三角形，设C （－1，y ），则|AC |=|AB |=|BC |，（31+1）2+（332－y ）2=（3－31）2+（23+332）2， ①（3+1）2+（23+y ）2=（3－31）2+（23+332）2. ②解得y =－9314.但y =－9314不符合（1），所以①②组成的方程组无解.因此直线l 上不存在点C 使△ABC 是正三角形.②设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由 y =－3（x －1），x =－1， 即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23. 又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=928－334y +y 2，|BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当|BC |2＞|AC |2+|AB |2， 即28+43y +y 2＞928－334y +y 2+9256，即y ＞923时，∠CAB 为钝角.当|AC |2＞|BC |2+|AB |2， 即928－334y +y 2＞28+43y +y 2+9256，即y ＜－3103时，∠CBA 为钝角.又|AB |2＞|AC |2+|BC |2，即9256＞928－334y +y 2+28+43y +y 2，即y 2+343y +34＜0，（y +32）2＜0.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是由 消去y ，得3x 2－10x +3=0.∴得y =23，y ＜－3310或y ＞932（y ≠23）.●思悟小结本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点： 1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质.●教师下载中心 教学点睛本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质.难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用.建议在教学中注意以下几点：1.圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e =1时，表示抛物线；当e ＞1时，表示双曲线.2.由于抛物线的离心率e =1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的.3.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p 等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.4.求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.5.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化.拓展题例【例题】 （2003年北京东城区模拟题）已知抛物线C 1：y 2=4ax （a ＞0），椭圆C 以原点为中心，以抛物线C 1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为2，过抛物线C 1的焦点F 作倾斜角为4π的直线l ，交椭圆C 于一点P （点P 在x 轴上方），交抛物线C 1于一点Q （点Q 在x 轴下方）.（1）求点P 和Q 的坐标；（2）将点Q 沿直线l 向上移动到点Q ′，使|QQ ′|=4a ，求过P 和Q ′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程.解：（1）由题意可知F （a ，0），设椭圆方程为22mx +22ny =1（m ＞n ＞0）.n m=2， m 2=2a 2， m 2－n 2=a 2， n 2=a 2， ∴椭圆方程为222ax+22ay =1，直线l ：y =x －a .由 解得y =x －a ， 222ax+22ay =1，y =x －a ，y 2=4ax ， （2）将Q 点沿直线l 向上移动到Q ′点，使|QQ ′|=4a ，则可求出Q ′点的坐标为（3a ，2a ）. 设双曲线方程为sx2－ry2=1（s ·r ＞0）.由于P 、Q ′在双曲线上，则有sa 2)3(－ra 2)2(=1，sa 2)34(－ra 2)31(=1.s 1=2117a， r1=21113a.∴双曲线方程为2117ax 2－21113ay 2=1.由可求出P （34a ，31a ）.由 可求出Q （（3－22）a ，（2－22）a ）. 解得。