即通过样本统计量来估计和检验总体参数。统计推断目

1 2 如果统计量为S ( X i X )2 , 则E (Sn ) D( X ) n i 1 n 1 2 此时，E (Sn )＝ D( X ) n
2 n
D( X )
n
2.有效性 :
若参数 θ 1 , θ 2都是参数θ 的无偏估计量，
2 2 但有关系式E（ θ 1－θ ）≤ E（ θ 2－θ ） ，则称 θ 1比 θ 2有效。
这个定理说明了：当观察次数n很大时，用 某随机现象在大量观察中发生的实际频率来 代替该现象发生的真实概率差别是很小的。
定理6.3：设X 1 , X 2 ........X n是独立同分布变量， 且每个随机变量服从正 态分布N ( , 2 ). 1 则其均值X X i ,服从参数为（ , ）的 n i 1 n
由于按随机原则取样，在试验之前，人们无法预言试验的结
而在试验之后，得到X1 ,X 2 ,...X n的一组观察值x1 ,x2 ,.....x n ,
2.抽样分布有关的几个定理：
定理 6.（切比雪夫大数定律） 1 设X 1 , X 2 ,....X n是独立 这个定理说明了：从总体中抽取的简单随 同分布的随机变量，且 机样本得到的统计量 有相同的有限的 X ，其抽样分布的数 学期望等于总体分布的数学期望。 数学期望和方差： E( X i ) ,
1.总体和样本
设X是一个随机变量，X1，X 2 ,......,X n是一组相互独立与X 具有相同分布的随机变量，称X为总体.X1，X 2 ,......,X n为 来自总体的简单随机样本，简称样本，n为样本容量， 称样本观察值为样本值。
果，所以X1 ,X 2 ,...X n是一组随机变量， 则为一组确定的数值。
具有最小的均方误差的估计量是最优的估计量
2
E[( ) ] D( ) [E( )- ]
2
2
2 ˆ D( ) [ Bias( )]
ˆ) 如果E(1 )= ,E(2 ) , 但D (1 )>D ( 2
若有：E[(
1
) ]<E[(2 ) ]
2 2
n 1 n 1 1 n n 2 2 D( X ) D( X i ) 2 D( X i ) 2 D( X i ) 2 n i 1 n n i 1 n n i 1
定理6.4（Lindeberg-Levy中心极限定理） 设X1 , X 2 ,... X n ,...是独立同分布的随机变量， 而且E(X i )、D（X i）存在，D（X i） 0，则对一切x有 1 X i E(X i ) t2 n i x 1 2 lim P x e dt n D （ X ） 2 i n 这个定理说明了：当n充分大时， X近似服从
统计推断包括参数估计和假设检验，即通过 样本统计量来估计和检验总体的参数。统计推断 的目的在于认识未知的总体参数及其分布特征。
第六章 参数估计与假设检验
6.1 样本及其分布 6.2 点估计 6.3 参数的区间估计 6.4 样本容量的确定 6.5 假设检验
6.1 样本及其分布
参数估计的主要内容是研究如何通过样本提 供的信息估计总体的数字特征。 我们把被观察对象的全体称作总体，把从总 体中按照随机原则抽出的个体组成的小群体 称为样本，而样本中所包含的个体数称为样 本容量。
简单随机样本的样本方差是总体方差的无偏估计
n 1 1 i 1 E( X ) E( ) E ( X i ) nE ( X ) E ( X ) n n i 1 n
X
n
i
n n 1 1 2 2 2 E (S ) E( ( Xi X ) ) [E ( X i X ) ] n 1 i 1 n 1 i 1
怎ຫໍສະໝຸດ Baidu办？
ˆ ),这时可以用 如果E( θ 1 )=θ ,E( θ 2 )≠θ ,但D( θ 1 )> D(θ 2 估计量的均方误差（MSE）为评价准则。
3.最小均方误差MSE
MSE ( )＝E[( ) ]
2
=E{[ -E( )]+[E( )- ]}
最小均方误差
2
D( ) 2[E( )-E( ) ][E( )- ] [E( )- ]
n 2
正态分布。即 X～N（ ,

2
n
）
这个定理说明了：对于n个独立的且都服从相 同的正态分布的随机变量而言，它们的均值仍 然服从正态分布，所改变的只是分布的参数。
定理6.3得出
n 1 n 1 1 n 1 n E ( X ) E ( X i ) E ( X i ) EX i n i 1 n n i n i 1 i 1
θ 1比θ 2更紧密地分布在总体参数周围, θ 1比θ 2有效. ˆ 抽样分布 θ
1
估计量
ˆ 抽样分布 θ 2
ˆ ) E( ˆ) E( 1 2
总体参数

评价估计量好坏的标准 无偏比有偏好 方差小的好
ˆ ) 如果E(θ 1 )=θ ,E(θ 2 )≠θ ,但D(θ 1 )> D(θ 2
n
D( X i ) 2 (i 1,2,.....)
则对任意的 0，有 1 lim P{ X i } 1 n n i 1
定理6.（贝努里大数定律）设 2 m是n次 试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次 试验中发生的概率，则 对于任意的 0, m 有 lim P{ p } 1 n n
D( X i ) 参数为 E ( X i ), 的正态分布。 n
6.2 点估计
一、点估计量的评价准则 无偏性、有效性、最小均方误差、一致性
ˆ 满足E（θ ˆ ）＝θ ， 1.无偏性 若参数θ 的估计量θ ˆ 是θ 的无偏估计。 则称θ
简单随机样本的样本均值是总体期望的无偏估计.
1 比 2 好