高考数学三轮冲刺：解三角形课时提升训练(1)(含答案)
2021年高考数学三轮冲刺训练 解三角形(含解析)
解三角形高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活 , 题型多变 , 往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理 , 以解答题的形式综合考查定理的综合应用 , 多与三角形周长、面积有关 ; 有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查 , 试题难度控制在中等或以下 , 主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．1.正、余弦定理在△ABC 中 , 假设角A , B , C 所对的边分别是a , b , c , R 为△ABC 外接圆半径 , 那么定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ;b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ; c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形 (1)a ＝2R sin A , b ＝2R sin B , c ＝2R sin C ; (2)sin A ＝a 2R , sin B ＝b 2R , sin C ＝c2R;(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶s in B ∶sin C ;(4)a sin B ＝b sin A , b sin C ＝c sin B , a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ;cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ;cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径) , 并可由此计算R , r .3.在△ABC 中 , 已知a , b 和A 时 , 解的情况如下 :A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sinb sin A a <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数 一解两解一解一解无解4.判定三角形形状的两种常用途径(1)化角为边 : 利用正弦定理、余弦定理化角为边 , 通过代数恒等变换 , 求出边与边之间的关系进行判断;(2)化边为角 : 通过正弦定理和余弦定理 , 化边为角 , 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;一、利用正弦定理可解决两类问题基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边 , 如A , B , a ①由A＋B＋C＝180° , 求出C ;②根据正弦定理 , 得asin A＝bsin B及asin A＝csin C, 求出边b , c已知两边及其中一边所对的角, 如a, b , A ①根据正弦定理 , 经讨论求B ;②求出B后 , 由A＋B＋C＝180° , 求出C ;③再根据正弦定理asin A＝csin C, 求出边c.[提醒] 也可以根据余弦定理 , 列出以边c为元的一元二次方程c2－(2b cos A)c＋(b2－a2)＝0 , 根据一元二次方程的解法 , 求边c , 然后应用正弦定理或余弦定理 , 求出B , C二、利用余弦定理可解决两类问题已知两边和它们的夹角, 如a , b , C ①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C , 求出边c ;②根据cos A＝b2＋c2－a22bc, 求出A ;③根据B＝180°－(A＋C) , 求出B.求出第三边后 , 也可用正弦定理求角 , 这样往往可以使计算简便 , 应用正弦定理求角时 , 为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0 , π)上是不单调的) , 应先求较小边所对的角 , 它必是锐角已知三边可以连续用余弦定理求出两角 , 常常是分别求较小两边所对的角 , 再由A＋B＋C＝180° , 求出第三个角 ;由余弦定理求出一个角后 , 也可以根据正弦定理求出第二个角 , 但仍然是先求较小边所对的角.1、在△ABC中 , cos C=23, AC=4 , BC=3 , 那么cos B=A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中 , 2cos 3C =, 4AC = , 3BC = , 根据余弦定理 : 2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ ,2224322433AB =+-⨯⨯⨯, 可得29AB = , 即3AB = ,由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯ ,故1cos 9B =.应选 : A ． 2、在ABC △中 , 5cos25C =, 1BC = , 5AC = , 那么AB = A ．42 B ．30 C ．29D ．25【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 12521532425AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 , 应选A.3、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a , b , c , 假设ABC △的面积为2224a b c +- ,那么C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△ , 所以2222sinC a b c ab +-= , 由余弦定理2222cos a b c ab C +-= , 得sin cos C C = , 因为()0,πC ∈ , 所以π4C = , 应选C.4、如下列图 , 在三棱锥P –ABC 的平面展开图中 , AC =1 , 3AB AD == , AB ⊥AC , AB ⊥AD ,∠CAE =30° , 那么cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥ , 3AB = , 1AC = ,由勾股定理得222BC AB AC =+= ,同理得6BD = , 6BF BD ∴== ,在ACE △中 , 1AC = , 3AE AD == , 30CAE ∠= , 由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯= , 1CF CE ∴== ,在BCF 中 , 2BC = , 6BF = , 1CF = ,由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为 : 14-. 5、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .假设π6,2,3b ac B ===, 那么ABC △的面积为_________． 【答案】63【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+- , 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯= , 即212c = ,解得23,23c c ==-〔舍去〕 ,所以243a c == , 113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 6、ABC △中 , sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．〔1〕求A ;〔2〕假设BC =3 , 求ABC △周长的最大值．【解析】〔1〕由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅ , ① 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅ , ② 由① , ②得1cos 2A =-. 因为0πA << , 所以2π3A =. 〔2〕由正弦定理及〔1〕得23sin sin sin AC AB BCB C A=== , 从而23sin AC B = , 23sin(π)3cos 3sin AB A B B B =--=-. 故π33sin 3cos 323sin()3BC AC AB B B B ++=++=++. 又π03B <<, 所以当π6B =时 , ABC △周长取得最大值323+. 7、在△ABC 中 , 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知3,2,45a c B ===︒．〔1〕求sin C 的值 ;〔2〕在边BC 上取一点D , 使得4cos 5ADC ∠=- , 求tan DAC ∠的值．【解析】〔1〕在ABC △中 , 因为3,2,45a c B ===︒ ,由余弦定理2222cos b a c ac B =+- , 得292232cos455b =+-⨯⨯︒= , 所以5b =.在ABC △中 , 由正弦定理sin sin b cB C=, 得52=sin 45sin C︒ , 所以5sin .5C =〔2〕在ADC △中 , 因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角 ,而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角. 故225cos 1sin ,5C C =-=那么sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=- , 所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠= , sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯.8、在ABC △中 , 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．〔Ⅰ〕求角C 的大小 ; 〔Ⅱ〕求sin A 的值 ; 〔Ⅲ〕求πsin(2)4A +的值． 【解析】〔Ⅰ〕在ABC △中 , 由余弦定理及22,5,13a b c === , 有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈ , 所以π4C =． 〔Ⅱ〕在ABC △中 , 由正弦定理及π,22,134C a c === , 可得sin 213sin 13a C A c ==． 〔Ⅲ〕由a c <及213sin 13A =, 可得2313cos 1sin 13A A =-= , 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=． 所以 , πππ12252172sin(2)sin 2coscos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=． 9、在锐角△ABC 中 , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , C ．已知2sin 30b A a -=．〔Ⅰ〕求角B 的大小 ;〔Ⅱ〕求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【解析】〔Ⅰ〕由正弦定理得2sin sin 3sin B A A = , 故3sin 2B = , 由题意得π3B =. 〔Ⅱ〕由πA B C ++=得2π3C A =- , 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π13cos cos()cos sin 322C A A A =-=-+得 311π1313cos cos cos sin cos sin()(,]2226222A B C A A A +++=++=++∈. 故cos cos cos A B C ++的取值范围是313(,]22+. 10、ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a , b , c , 设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．〔1〕求A ;〔2〕假设22a b c += , 求sin C ． 【答案】〔1〕60A ︒= ; 〔2〕62sin 4C +=.【解析】〔1〕由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= , 故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<< , 所以60A ︒=． 〔2〕由〔1〕知120B C ︒=- ,由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-= ,即631cos sin 2sin 222C C C ++= , 可得()2cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<< , 所以()2sin 602C ︒+=, 故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos 60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=． 11、△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知sinsin 2A Ca b A +=． 〔1〕求B ;〔2〕假设△ABC 为锐角三角形 , 且c =1 , 求△ABC 面积的取值范围． 【答案】〔1〕B =60° ; 〔2〕33(,)82. 【解析】〔1〕由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0 , 所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++= , 可得sincos 22A C B += , 故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠ , 故1sin 22B = , 因此B =60°．〔2〕由题设及〔1〕知△ABC 的面积34ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 31sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形 , 故0°<A <90° , 0°<C <90° , 由〔1〕知A +C =120° , 所以30°<C <90° , 故122a << , 从而3382ABC S <<△． 因此 , △ABC 面积的取值范围是33,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．12、在△ABC 中 , a =3 , b −c =2 , cos B =12-． 〔1〕求b , c 的值 ; 〔2〕求sin 〔B –C 〕的值．【答案】〔1〕7b = , 5c = ; 〔2〕437. 【解析】〔1〕由余弦定理2222cos b a c ac B =+- , 得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+ ,所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. 〔2〕由1cos 2B =-得3sin 2B =.由正弦定理得53sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中 , ∠B 是钝角 , 所以∠C 为锐角.所以211cos 1sin 14C C =-=. 所以43sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 13、在ABC △中 , 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a += ,3sin 4sin c B a C =．〔1〕求cos B 的值 ; 〔2〕求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】〔1〕14-; 〔2〕35716+-. 【解析】〔1〕在ABC △中 , 由正弦定理sin sin b cB C= , 得sin sin b C c B = , 又由3sin 4sin c B a C = , 得3sin 4sin b C a C = , 即34b a =．又因为2b c a += , 得到43b a =, 23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． 〔2〕由〔1〕可得215sin 1cos 4B B =-=, 从而15sin 22sin cos 8B B B ==-, 227cos 2cos sin 8B B B =-=- , 故15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭． 14、在ABC 中 , 11a b += , 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知 , 求 :〔Ⅰ〕a 的值 :〔Ⅱ〕sin C 和ABC 的面积．条件① : 17,cos 7c A ==-; 条件② : 19cos ,cos 816A B ==．注 : 如果选择条件①和条件②分别解答 , 按第一个解答计分． 【解析】选择条件①〔Ⅰ〕17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=〔Ⅱ〕2143cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=， 由正弦定理得 : 873sin sin sin sin 2437a c C A C C =∴=∴=113sin (118)863222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②〔Ⅰ〕19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，223757sin 1cos ,sin 1cos 816A AB B ∴=-==-=由正弦定理得 : 116sin sin 3757816a b a a a A B -=∴=∴= 〔Ⅱ〕3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=15、在①3ac = , ②sin 3c A = , ③3c b =这三个条件中任选一个 , 补充在下面问题中 , 假设问题中的三角形存在 , 求c 的值 ; 假设问题中的三角形不存在 , 说明理由．问题 : 是否存在ABC △ , 它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且sin 3sin A B = , 6C π=, ________? 注 : 如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分．【解析】方案一 : 选条件①．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c =． 由①3ac = , 解得3,1a b c ===．因此 , 选条件①时问题中的三角形存在 , 此时1c =． 方案二 : 选条件②．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c = , 6B C π== , 23A π=． 由②sin 3c A = , 所以23,6c b a ===．因此 , 选条件②时问题中的三角形存在 , 此时23c =． 方案三 : 选条件③．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c =． 由③3c b = , 与b c =矛盾．因此 , 选条件③时问题中的三角形不存在．一、单项选择题1、在ABC △中 , 假设 13,3,120AB BC C ==∠= , 那么AC =〔 〕 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.2、已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 假设2cos cos cos b B a C c A =+ ,2b = , 那么△ABC 面积的最大值是A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】B 【解析】由题意知60B =︒ , 由余弦定理 , 262x ππ-=, 故22424ac a c ac =+-≥- , 有4ac ≤ ,故1sin 32ABC S ac B ∆=≤. 应选 : B3、泉城广场上矗立着的〞泉标〞 , 成为泉城济南的标志和象征．为了测量〞泉标〞高度 , 某同学在〞泉标〞的正西方向的点A 处测得〞泉标〞顶端的仰角为45︒ , 沿点A 向北偏东30︒前进100m 到达点B , 在点B 处测得〞泉标〞顶端的仰角为30︒, 那么〞泉标〞的高度为〔 〕A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A 【解析】如下列图,CD 为〞泉标〞高度,设高为h 米 , 由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠= , ,4530CAD CBD ︒∠=∠=．在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,3,BD h AD h == , ,100AB = , 60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+= , 解得50h =或100h =- (舍去), 应选 : B.4、在ABC ∆中 , 〞tan tan 1B C >〞是〞ABC ∆为钝角三角形〞的〔 〕 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题意可得 , 在ABC ∆中 , 因为tan tan 1A B > , 所以sin sin 1cos cos A BA B> , 因为0,0A B ππ<<<< ,所以sin sin 0A B > , cos cos 0A B > ,结合三角形内角的条件 , 故A,B 同为锐角 , 因为sin sin cos cos A B A B > , 所以cos cos sin sin 0A B A B -< , 即cos()0A B +< , 所以2A B ππ<+< ,因此02C <<π, 所以ABC ∆是锐角三角形 , 不是钝角三角形 ,所以充分性不满足 ,反之 , 假设ABC ∆是钝角三角形 , 也推不出〞tan tan 1B C > , 故必要性不成立 , 所以为既不充分也不必要条件 , 应选D.5、在ABC 中 , 满足222sin 2sin 2sin 2A B C += , 那么以下说法中错误的选项是〔 〕 A ．C 可能为4π B ．C 可能为2π C ．C 可能为34π D ．ABC 可能为等腰Rt【答案】B【解析】假设4Cπ, 取,24A B ππ==,此时三个内角满足222sin 2sin 2011sin 2A B C +=+== , 故A 正确且D 正确. 假设2C π=, 那么22sin 2sin 20A B += , 故sin 2sin 20A B == ,故()2,20,2A B π∈ , 故22A B π== , 所以2A B π==, 与内角和为π矛盾 , 故B 错误.假设34C π= , 取8A B π== , 那么222A B π+= ,此时三个内角满足22211sin 2sin 21sin 222A B C +=+== , 故C 正确.应选 : B. 二、多项选择题6、a , b , c 分别为ABC 内角A , B , C 的对边.已知()sin 3sin b A b c B =- , 且1cos 3A = , 那么〔 〕A ．3a c b +=B ．tan 22A =C ．ABC 的周长为4cD ．ABC 的面积为2229c 【答案】ABD【解析】∵()sin 3sin b A b c B =- , ∴()3ab b c b =- , ∴3a b c =-.由余弦定理得()22232cos b c b c bc A -=+- ,整理得23b c = , 又1cos 3A = , ∴22sin 3A =, tan 22A =. 周长为4a b c b ++=. 故ABC 的面积为2122sin 29bc A c =. 应选 : ABD7、当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象恰有三个交点P M N 、、 , 且PMN 是直角三角形 , 那么〔 〕 A ．PMN 的面积1S =B ．22ωπ=C ．两函数的图象必在134x πϕω-=处有交点 D ．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】由()()sin cos x x x ωϕωϕ+=+可得()4x k k Z πωϕπ+=+∈ , 而()2sin 42k k Z ππ⎛⎫+=±∈ ⎪⎝⎭,因为当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象恰有三个交点P M N 、、 , 且PMN 是直角三角形 , 所以该直角三角形斜边上的高为2222⨯= , 且该直角三角形必为等腰直角三角形 , 因此斜边为22 , 所以这两个函数的周期都为22T = , 那么222πω= , 所以22ωπ=, 即B 正确 ;三角形PMN 的面积为122222PMNS=⨯⨯= , 故A 错 ; 当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 25,22x x πωϕπϕϕϕ⎡⎤+=+∈+⎢⎥⎣⎦ , 因为这两个函数恰有三个交点 , 所以3449513424ππϕπππϕ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩ , 又||2ϕπ< , 所以44ππϕ-≤≤ , 故D 正确 ;因为134x ωϕπ+< , 所以两函数的图象在134x πϕω-=处不可能有交点 , 故C 错.应选 : BD8、在ABC 中 , 内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设1tan A , 1tan B, 1tan C依次成等差数列 , 那么以下结论中不一定成立．．．．．的是〔 〕 A ．a , b , c 依次成等差数列 B ．a , b , c 依次成等差数列 C ．2a , 2b , 2c 依次成等差数列 D ．3a , 3b , 3c 依次成等差数列【解析】ABC 中 , 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 假设1tan A , 1tan B , 1tan C依次成等差数列 ,那么 : 211tan tan tan B A C=+ , 利用sin tan cos ααα=, 整理得 :2cos cos cos sin sin sin B C AB C A=+ ,利用正弦和余弦定理得 : 2222222222222a c b a b c b c a abc abc abc+-+-+-⋅=+, 整理得 : 2222b a c =+ , 即 : 222,,a b c 依次成等差数列.此时对等差数列222,,a b c 的每一项取相同的运算得到数列a , b , c 或a , b , c 或3a ,3b , 3c , 这些数列一般都不可能是等差数列 , 除非a b c == , 但题目没有说ABC 是等边三角形 , 应选 : ABD. 三、填空题9、在ABC ∆中 , ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边 , 假设32sin sin sin ,cos 5B AC B =+= , 且6ABC S ∆= , 那么b =__________． 【答案】4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+ , 利用正弦定理化简得 : 2b a c =+ ,3cos ,5B =∴可得24sin 1cos 5B B =-=, 114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯= , 可解得15ac = , ∴余弦定理可得 , 2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+⎪⎝⎭, ∴可解得4b = , 故答案为4.10、在△ABC 中 , 内角A , B , C 的对边分别为,,a b c , 假设cos cos sin A B Ca b c+= , 22265b c a bc +-= , 那么tan B =______．【答案】4 【解析】∵cos cos sin A B Ca b c+= , ∴由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+= , ∴111tan tan A B+= , 又22265b c a bc +-= ,∴由余弦定理得62cos 5A = , ∴3cos 5A = ,∵A 为ABC ∆的内角 , ∴4sin 5A = , ∴4tan 3A = ,∴tan 4B = , 故答案为 : 4．11、在ABC 中 , 已知1AC = , A ∠的平分线交BC 于D , 且1AD = , 2BD = , 那么ABC 的面积为_________.【答案】378【解析】因为AD 平分BAC ∠ , 所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠ , 设BAD θ∠= , 那么CAD θ∠= , 2BAC θ∠= , 因为BAD CAD ABC S S S +=△△△ , 设AB x = ,所以111sin sin sin 2222x x θθθ+= , 所以 , sin sin 2sin cos x x θθθθ+= , 因为sin 0θ≠ , 所以12cos x x θ+= , 即1cos 2x xθ+=, 在ABD △中 , 212cos 2x x θ+-= , 所以21122x x x x-+=, 可得220x x --= , 解得 : 2x = ,所以3cos cos 4BAD θ∠==, 所以27sin 1cos 4BAD BAD ∠=-∠=, 7337sin 2sin cos 2448BAC θθ∠==⨯⨯=, 所以137sin 28ABCSAC AB BAC =⋅∠=, 故答案为 : 378四、解答题12、从①ABC 的面积2S = ; ②AD CD ⊥这两个条件中任选一个 , 补充在下面的问题中进行求解.如下列图 , 在平面四边形ABCD 中 , 2AB CD == , 34B π=, 对角线AC 平分BAD ∠ , 且____________________ , 求线段AD 的长.注 : 如果选择两个条件分别解答 , 按第一个解答计分.【答案】4 【解析】 选① , 2S =12222222S BC BC =⋅⋅⋅=⇒=∴2842222252AC ⎛⎫=+-⋅⋅⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭204825cos cos 52252BAC CAD +-∠===∠⋅⋅∴2252022545AD AD +-⋅⋅⋅= 28160AD AD -+= , 4=AD .选② , 过点C 作AB 延长线的垂线 , 垂足于E 因为34B π=, 所以4CBE π∠= , 所以CE BE = 因为对角线AC 平分BAD ∠ , 所以2CE CD == 所以224AD AB BE =+=+=13、在①32ABCS=, ②sin 3sin 3cos b C b B c B c --=;③sin 2sin B C =这三个条件中任选一个 , 补充在下面问题中 , 并做答.问题:已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,,13a b c A c π== , ________ , 角B 的平分线交AC 于点D , 求BD 的长.(注:如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分.) 【答案】3262BD -=. 【解析】假设选条件① : 由32ABCS =, 可得13sin 22bc A =因为,13A c π== ,所以2,b =在ABC 中 , 由222124122132a b c bccosA =+-=+-⨯⨯⨯=所以222b a c =+ , 所以2B π=(法一〕因为BD 为角平分线 , 所以4ABD π∠= , 故53412ADB ππππ∠=--= , 5123226sin sin 126422224πππ+⎛⎫=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 在ABD △中 , 15sin sin 312BDππ= , 可得3262BD -= (法二〕因为BD 为角平分线 , 所以4ABD CBD π∠=∠=, 因为ABC ABD CBD S S S =+ 所以3111sin 453sin 45222BD BD =⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ , 解得3262BD -=假设选条件② : 由sin 3cos b C c B c -= , 可得sin sin 3sin cos sin B C C B C -= ,因为sin 0,C ≠ 所以sin 3cos 1B B -= , 可得1sin 32B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ , 因为203B π<<, 所以333B πππ-<-<故36B ππ-= , 可得2B π=.〔下同条件①)假设选条件③:由sin 2sin B C = , 可得22b c == ,在ABC 中 , 由22212cos 4122132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= , 所以222b a c =+ , 所以2B π=.〔下同条件①).14、在ABC 中 , 角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且2B A = , 94c a =, .在①2a = ; ②13b = ; ③ABC 的面积为93916.这三个条件中任选一个 , 补在上面条件中 , 假设问题中三角形存在 , 求ABC 的周长 ; 假设问题中三角形不存在 , 说明理由.注 : 如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】假设选① , 由2a = , 知92c = , 由2B A =得sin sin 2B A = , 即sin 2sin cos B A A = , 即2cos 4cos b a A A == , 在ABC 中由余弦定理得 : 2222cos a b c bc A =+- , 即28194(4cos )2(4cos )cos 42A A A =+-⋅⋅⋅ , 所以213cos 16A = , 由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 故13cos 4A = , 所以4cos 13b A == , 所以三角形周长为9132131322l =++=+ 假设选② , 由2B A =得sin sin 2B A = , 即sin 2sin cos B A A = , 即2cos b a A = ,而13b = , 所以132cos a A = , 即13cos 2A a =, 在ABC 中由余弦定理得 : 2222cos a b c bc A =+- , 即2229913(13)213442a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭, 即24a = , 即2a = , 所以99242c =⨯= , 所以三角形周长为9132131322l =++=+ 假设选③ , 由2B A =得sin sin 2B A = , sin 2sin cos B A A = , 即2cos b a A = , 三角形ABC 面积21199939sin 2cos sin sin cos 224416S bc A a A a A a A A ==⋅⋅⋅== 由94c a =, 得9sin sin 4C A = , 而sin sin(2)sin3C A A A π=--= , 即9sin sin cos 2cos sin 2sin 4C A A A A A =⋅+⋅= , 而sin A =0 , 即29cos 22cos 4A A =+ , 所以294cos 14A -= , 所以213cos 16A = , 由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 所以13cos 4A = , 3sin 4A = , 于是2931393944416a ⋅⋅= , 所以24a = , 即2a = , 所以99242c =⨯= , 所以三角形周长为9132131322l =++=+. 15、在ABC 中 , A B C <<且tan A , tan B , tan C 均为整数. 〔1〕求A 的大小 ;〔2〕设AC 的中点为D , 求BC BD的值. 【答案】〔1〕45A =︒ ; 〔2〕1BC BD = 【解析】〔1〕A B C << , A ∴不能是钝角 , tan 0A >假设tan 2A ≥ , tan603︒= , 且tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增 , 60A ∴>︒ 又A B C << , ,B C ∴都大于60︒ , 与A B C π++=矛盾tan 1A ∴= , 即45A =︒〔2〕45,135A B C =︒∴+=︒ , ()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B C B C B C++==-- , 即tan tan 1tan tan B C B C -=+ 由tan B , tan C 均为整数 , 且B C < , 可得tan 2,tan 3B C == 那么525cos ,sin 55B B == ; 10310cos ,sin 105C C == 由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒ , 可得21035,55b ac a == 又AC 的中点为D , 那么2214BA BC BD AC ⋅=-, 即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=- 即2235512105545a a BD a ⎛⎫⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭解得BD a = , 故1BC a BD a == 16、在ABC 中 , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .已知cos a C , cos b B , cos c A 成等差数列.〔1〕求角B 的大小 ;〔2〕假设4cos 5A = , 求sin C 的值. 【答案】〔1〕3π ; 〔2〕34310+. 【解析】 〔1〕cos ,a C ∴ , cos b B , cos c A 成等差数列 ,2cos cos cos b B a C c A ∴=+ ,由正弦定理 , 2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+ ,ABC 中 , A B C π++= , sin()sin()sin A C B B π∴+=-= ,2sin cos sin B B B ∴= ,又(0,)B π∈ , sin 0B ∴> ,1cos 2B ∴= , 3B π∴=. 〔2〕(0,)A π∈ , sin 0A ∴> ,23sin 1cos 5A A ∴=-= , sin sin()sin cos sin cos C AB A B B A ∴=+=+3143343525210+=⨯+⨯=. 17、已知函数()sin (3sin cos )222x x x f x =+． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调递增区间 ;〔Ⅱ〕设△ABC 中的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设3()2f B = , 且3b = , 求22a c +的取值范围． 【答案】〔Ⅰ〕单调递增区间为π5π(2π,2π)66k k -++ , k ∈Z. 〔Ⅱ〕2236a c <+≤ 【解析】 〔Ⅰ〕2()3sin sin cos 222x x x f x =+31(1cos )sin 22x x =-+π3sin()32x =-+. 所以πππ2π2π232k x k -+<-<+ , 解得π5π2π2π66k x k -+<<+ , k Z ∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为π5π(2π,2π)66k k -++ , k Z ∈. 〔Ⅱ〕因为π33()sin()322f B B =-+= , 所以πsin()03B -=.所以π=3B . 又因为3b = , 所以223=a c ac +- , 即22=3+a c ac +.而222a c ac +≥ , 所以3ac ≤ , 即226a c +≤.又因为22=3+3a c ac +> , 所以2236a c <+≤．。
高考数学一轮复习提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题含答案
高考数学一轮复习提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.3．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（ ） A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC【分析】通过()22sin sin11324x xf xx xxππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x=具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x=是否具有对称中心，再将()5f x x≤化为32sin555x x x xπ≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin11324x xf xx xxππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数siny x=π的图象关于直线12x=对称，且函数21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象也关于直线12x=对称，故曲线()y f x=也关于直线12x=对称，选项C正确；当12x=时，函数siny x=π取得最大值1，此时21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x≤=，选项A正确；若()5f x x≤，则32sin555x x x xπ≤-+，令()32555g x x x x=-+，则()()221510553210g x x x x x'=-+=-+>恒成立，则()g x在R上递增，又()00g=，所以当0x<时，()00g<；当0x>时，()0g x>；作出sin xπ和32555x x x-+的图象如图所示：由图象可知32sin555x x x xπ≤-+成立，即()5f x x≤，选项B正确；对于D选项，若存在一点(),a b使得()f x关于点(),a b对称，则()()2f a x f a x b-++=，通过分析发现()()f a x f a x -++不可能为常数，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质.【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是1,2⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确. 【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭， 最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.7．已知函数)()lg1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1B C ．3D ．4【答案】CD 【分析】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lglgx x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数， 不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lgy x =单调递增，x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lgx x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lgx x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++， 令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-<⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC【分析】 利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】 1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<, n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确； 121617193300()a a a S a a a +++=+---- 2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.10．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC【分析】 根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确.【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=， 830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确； 由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列， ()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误. 故选：BC ．【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.。
(浙江专用)高考数学三轮冲刺 抢分练 压轴大题突破练(一)三角函数与解三角形-人教版高三全册数学试题
(一)三角函数与解三角形1．(2019·余高、缙中、长中模拟)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (α)＝26，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求cos2α的值．解 (1)f (x )＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，k ∈Z .(2)由f (α)＝26得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，所以2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－223， 所以cos2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4＝2－46.2．(2019·某某二中高考热身考)已知函数f (x )＝sin 2π4x －3sin π4x cos π4x . (1)求f (x )的最大值及此时x 的值； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2019)的值． 解 (1)f (x )＝12－12cos π2x －32sin π2x＝12－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6， 令π2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 得x ＝4k －43，k ∈Z ，∴当x ＝4k －43(k ∈Z )时，f (x )max ＝32.(2)由(1)知函数的周期T ＝4，f (1)＝12－32，f (2)＝12＋12，f (3)＝12＋32，f (4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＝12－32，f (4k ＋2)＝12＋12，f (4k ＋3)＝12＋32，f (4k ＋4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＋f (4k ＋2)＋f (4k ＋3)＋f (4k ＋4)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2019) ＝504×2＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝1010.3．(2019·余高等三校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b sin A －3a cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝3，求AC 边上中线长的最小值． 解 (1)由正弦定理得，sin B sin A －3sin A cos B ＝0， ∵sin A ≠0， ∴tan B ＝3， ∵B 是三角形的内角， ∴B ＝60°.(2)方法一 设AC 边上的中点为E ，在△BAE 中，由余弦定理得，BE 2＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－2c ·b2·cos A ，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，a 2＋c 2－b 2＝2·cos60°ac ，∴BE 2＝c 2＋b 24－b 2＋c 2－a 22＝2a 2＋2c 2－b 24＝a 2＋c 2＋ac 4＝(a ＋c )2－ac 4＝9－ac 4≥9－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 224＝2716， 当且仅当a ＝c 时取到“＝”， ∴AC 边上中线长的最小值为334. 方法二 设AC 边上的中点为E ， BE →＝12(BA →＋BC →)，|BE →|2＝14|BA →＋BC →|2＝c 2＋a 2＋ac 4，以下同方法一．4．(2019·浙大附中考试)已知f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3sin x ·cos x －sin 2x .(1)求函数y ＝f (x )(0<x <π)的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A 满足f (A )＝2，而AB →·AC →＝3，求BC 边上的高AD 长的最大值． 解 (1)f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴当0<x <π时，函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.(2)∵f (A )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2，∴A ＝π6，∵AB →·AC →＝3，∴bc ·cos A ＝3，∴bc ＝2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12，而a ＝b 2＋c 2－3bc ≥(2－3)bc ＝3－1(当且仅当b ＝c 时等号成立)， ∴所求BC 边上的高AD ≤3＋12， 即AD 的最大值为3＋12. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C . (1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值； (2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ， ∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ， ∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， ∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，∴C ＝2π3，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32.(2)若c ＝2，则a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12＝32sin2ωx －12cos2ωx －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1.∵f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6－1＝0，∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6，∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3，由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ， 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334.。
中考数学第三轮冲刺解答题：解直角三角形 专题复习(含答案)
（1）如图 ．若 ， ，求 的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 时，两根支撑杆的夹角 是 （如图 ．求该熨烫台支撑杆 的长度（结果精确到 ．
3、襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.41）．
参考答案
2021年中考数学第三轮冲刺解答题：解直角三角形 专题复习
1、图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： 取1.73）．
16、我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 的 处测得在 处的龙舟俯角为 ；他登高 到正上方的 处测得驶至 处的龙舟俯角为 ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到 ，参考数据： ， ， ，
17、某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔 高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1 米， ）
解三角形(提升)练习题(含答案)
解三角形练习（提升）（含答案）一、选择题1、在△ABC 中，a, b, c 分别是内角 A , B , C 所对的边，若 c cos A b ，则△ABC 形状为 CA.一定是锐角三角形 B . 一定是钝角三角形C . 一定是直角三角形D . 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形2、在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac , 则角 B 的值为（D ）A. B. C.或6 3 6 56D.3或233、在△ABC中，AB 3 ，A 45 ，C 75 ，则BC （Ａ）Ａ．3 3 Ｂ． 2 Ｃ．2Ｄ．3 34、在ABC 中，02 xA 60 ，且最大边长和最小边长是方程x 7 11 0的两个根，则第三边的长为（ C ）A．2 B．3 C．4 D．55、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 DA、b 10, A 45 ,C70B、a 60, c 48, B 60C、a 7,b 5,A 80D、a 14, b 16, A 456、长为5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( B )A 90°B 120°C 135°D 150°二、填空题：7、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD ,2 A B 3BD ,BC 2BD ，则s in C 的值为___________。
6 68、如图，△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= 2 3 ，点D 在BC 边上，∠ADC=4°5，则AD 的长度等于______。
解析：在△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= 2 3 中，ACB ABC 30 ，而∠ADC=4°5，AC ADsin 45 sin 30, AD 2 ,答案应填 2 。
9、在△ABC中，若tan1A ，C 150 ，BC 1，则AB .3110答案210、在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则AC的值等于________，AC 的取值范围为________．cos A解析：由正弦定理BC＝sin AAC，则sin BAC＝cos ABC s in B＝sin Acos A2BCsin Bsin 2A＝2.由A＋B＋C＝π得3A＋C＝π，即C＝π－3A.π0< A<2由已知条件：π0<2 A<2，解得ππ<A< .由AC＝2cos A 知2<AC< 3.6 4π 0<π－3A<2答案：2 ( 2，3)三、解答题：11、在△ABC 中，内角A，B，C 对边的边长分别是a，b，c ，已知c 2，C ．3 （Ⅰ）若△ABC的面积等于 3 ，求a，b ；（Ⅱ）若sin B 2sin A，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理得， 2 2 4a b ab ，又因为△ABC的面积等于 3 ，所以12ab sin C 3 ，得ab 4．联立方程组2 2 4a b ab，解得a 2，b 2．ab 4，（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为 b 2a，联立方程组2 2 4a b ab，解得b 2a，2 3a ，34 3b ．3所以△ABC的面积 1 sin 2 3S ab C ．2 312、在ABC中，若c osB b cosC 2a c（1）求角B的大小（2）若b 13 ，a c 4，求ABC的面积2 a2c2b解：（1）由余弦定理得2a 2ac2b2cb2a c2 2 2化简得： a c b ac2ab2∴2 2 2a cb ac 1cos B∴B＝120°2ac 2ac 22 2 2（2）b a c 2ac cos B 2 ac ac1∴13 (a c) 2 2 ( )2∴ac＝3 ∴S ABC 12ac sin B3 3413、某市电力部门某项重建工程中，需要在A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距 3 km的C 、D 两地（假设A、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠A CB 75 ，BCD 45 ，ADC 30 ，ADB 45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B 距离的43倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？A解：在ACD 中，由已知可得，CAD 30B 所以，AC 3km⋯⋯⋯754545在BCD 中，由已知可得，CBD 6030CDsin 75 sin(45 30 ) 6 2 4由正弦定理，BC 3 sin 75 6 2 sin 60 2cos 75 cos(45 30 ) 6 2 4在ABC中，由余弦定理 2 2 2 cosAB AC BC AC BC BCA2 6 2 2 6 23 ( ) 2 3 cos75 52 2所以，AB 5 施工单位应该准备电线长4 53.答：施工单位应该准备电线长435 km.3。
高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及答案
新数学《三角函数与解三角形》试卷含答案一、选择题1．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin 2αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin 4αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】 【分析】设AE BF a ==，13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFa a V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，1322EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 93222222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，所以992cos ,922A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（ ） A．3BC．3D．【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B BB C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B-++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且仅当tan B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.5．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.6．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案
高考数学《三角函数与解三角形》课后练习一、选择题1．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B =，所以，1cos sin sin 2C A B +=，即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。
2．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确；∴()sin 3cos 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）()7 2.6≈A ．10分钟B ．15分钟C ．20分钟D ．25分钟【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=，则13BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为130.2552=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.4．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-． 由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．5．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．6．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．7．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()π02f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω= ( ) A ．23B ．2C ．143D ．263【答案】C 【解析】∵函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()02f fπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴1sin()sin()6262πππω-=--=- ∴2266k πππωπ-=+或52,266k k Z πππωπ-=+∈ ∴243k ω=+或42,k k ω=+∈Z∵函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点 ∴(,)6626x ππωππω-∈-- ∴2326ωππππ<-≤∴131933ω<≤ ∴143ω=或6ω= 故选C.8．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.9．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．10．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.11．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.12．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.13．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )A ．sinB ．cosC ．tanD ．cos2θ【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可． 【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．14．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D ，2BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ） A ．2 B 2C 3D ．62【答案】A 【解析】 【分析】先求出6sin 4BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=， ∴6sin BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠， ∴3sin 222sin 6BAD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.16．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间． 【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =，∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．又函数图象过点()1,2，∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈． 故选B ． 【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．17．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．12B ．2C ．D ．﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1，cosθ)，n =r(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.19．化简21sin 352sin 20︒︒-=（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】B 【解析】 【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称【答案】A 【解析】 【分析】 由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-=，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y =过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-=，故圆心为( . 又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y =，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。
高三解三角形专项练习附答案
高三解三角形专项练习附答案一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是()A.152，+∞B.(10，+∞)C.(0,10)D.0，403答案D解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.∴04.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，∴sin(B+C)=2sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，∴sin(B-C)=0，∴B=C.5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案B解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，∴b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k(k>0)，则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A.1B.2C.12D.4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案23解析∵cosC=13，∴sinC=223，∴12absinC=43，∴b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.答案2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，得A>B，∴B=30°，故C=90°，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.答案7解析∵△ABC的'外接圆直径为2R=2，∴asinA=bsinB=c sinC=2R=2，∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.答案126解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanAa2sinBcosB=b2sinAcosA4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosAsinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=πA=B或A+B=π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为()A.45°B.60°C.75°D.90°答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120°，∴sinCsinA=sin120°-AsinA=sin120°cosA-cos120°sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，∴tanA=1，A=45°，C=75°.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4，cosB2=255，求△ABC的面积S.解cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.1.在△ABC中，有以下结论：(1)A+B+C=π;(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC;(3)A+B2+C2=π2;(4)sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2，tanA+B2=1tanC2.2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.。
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解三角形课时提升训练（1）
1、已知三个内角A，B，C所对的边，若且
的面积，则三角形的形状是（）
A、等腰三角形
B、等边三角形
C、等腰直角三角形
D、有一个为的等腰三角形
2、在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是（）
A．B．C．D．
3、在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ΔABC的形状
是( )
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
4、若，且，则的取值范围是
（）
A． B． C． D．
5、在ABC中，，，面积为，则的值为（）
A．1 B．2 C．D．
6、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则△ABC
是（）
A.正三角形
B.等腰三角形 C .直角三角形 D.等腰直角三角形
7、
8、在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是（）
9、、的内角所对的边分别为且
则
（）A．B．C． D
．
10、给出以下命题①若则；②已知直线与函数
，的图象分别交于两点，则的最大值为；
③若是△的两内角，如果，则；④若是锐角△的两内角，则。
其中正确的有（）个 A. 1 B. 2 C.
3 D. 4
11、已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且
等于
A. B. C.
D.
12、已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（）.
A. B. C.
D.
13、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或
D．或
14、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能
15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果，那么三边长a、b、c之间满足的关系是
（） A．B． C．
D．
16、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量
，，若，则角的大小为
（） A．
B． C．
D．
17、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；
（3）在中，若，，，则为锐角三角形；
（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；
其中正确命题的个数
是（） A．1
B．2 C．3
D．4
18、在∆ABC中, “sin A>cos B”是“A+B>”成立的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件
19、9. 在△中，是边中点，角的对边分别是
，若
，则△的形状为
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形.
20、的内角满足条件：且，则角的取值范围是（）
A、 B、C、
D、
21、已知的外接圆半径和的面积都等于1，则=
（）.A． B． C． D．
22、在中,若,且,则是
( )
A.等边三角形
B.等腰三角形,但不是等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形,但不是等腰三角形
23、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取
值范围是
( )
（） A． B．
C． D．
24、△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C－sinBsinC,则A的取值范围是A. B.
C. D.
25、在中，，若点为的内心，则的值为（）
A．2 B． C．3 D．
26、已知的三个内角满足：，则的形状为（）
A．正三角形 B．直角三角
形 C．等腰直角三角
形 D．等腰三角形或直角三角形
27、四个分别满足下列条件（1）
；（2）；
（3），；（4）
则其中是锐角三角形有（） A．1个 B．2
个 C．3个 D．4个
28、在中，角A,B,C,所对的边分别为a, b, c.若，则
（）
(A)- (B) (C) -1 (D) 1
29、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin2 B＋sin2 C－sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A的值是
(A) (B) － (C) (D) －
30、已知非零向量满足，且，则的形状为【】.
A.等腰非等边三角形
B.等边三角形C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形
31、设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为（）
A． B． C．
D．
32、在中，若，则A的取值范围是（）A．B． C．
D．
33、在中，角的对边分别为，则且，则等于（）
（A）（B）（C）4 （D）
34、在△ABC中，，若三角形有解，则的取值范围
是（） A． B． C．
D．
35、在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是（） A．直角三角
形 B．等边三角形 C．等腰三角
形
D．等腰直角三角形
36、在锐角三角形中，，则的取值范围
是（）
A． B．
C． D．
37、中，角所对的边，，则
（）
A．- B． C． -1 D．1
38、在中，若对任意，有，则一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角
形D．不能确定
39、在△ABC中，角A、 B、 C所对的边分别为若，则-
的取值范围是（）
A． B． C． D．
40、已知向量,的夹角为60°，||=||=2，若=2+,则△ABC为
A. 等腰三角形
B. 等边三角
形 C. 直角三角
形
D. 等腰直角三角形
1、由知中的平分线垂直边BC，所以，再由，
2、B
3、．B
4、B
5、B
6、A
7、C
8、解：∵在△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAccosB+cosAsinB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，∴在△ABC中，A为直角．∴△ABC为直角三角形．故选D．
9、B 10、D11、【答案】C由得，即
,所以，又
，所以，即
,所以,即,选C.12、D 13、D 14、 15、B 16、 A 17、B 18、A 19、9. C 由题意知
，
∴，∴，又、不共线，∴
，∴ 20、C 21、B 22、A 23、 D 24、C 25、D 26、B 27、Ｂ 28、Ｄ 29、D 30、A 31、A 32、C 33、 A
34、B 35、C 36、A 37、D 38、A 39、C 40、C。