高考数学三轮冲刺：解三角形课时提升训练(1)(含答案)
2021年高考数学三轮冲刺训练 解三角形(含解析)
解三角形高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活 , 题型多变 , 往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理 , 以解答题的形式综合考查定理的综合应用 , 多与三角形周长、面积有关 ; 有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查 , 试题难度控制在中等或以下 , 主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．1.正、余弦定理在△ABC 中 , 假设角A , B , C 所对的边分别是a , b , c , R 为△ABC 外接圆半径 , 那么定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ;b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ; c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形 (1)a ＝2R sin A , b ＝2R sin B , c ＝2R sin C ; (2)sin A ＝a 2R , sin B ＝b 2R , sin C ＝c2R;(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶s in B ∶sin C ;(4)a sin B ＝b sin A , b sin C ＝c sin B , a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ;cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ;cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径) , 并可由此计算R , r .3.在△ABC 中 , 已知a , b 和A 时 , 解的情况如下 :A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sinb sin A a <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数 一解两解一解一解无解4.判定三角形形状的两种常用途径(1)化角为边 : 利用正弦定理、余弦定理化角为边 , 通过代数恒等变换 , 求出边与边之间的关系进行判断;(2)化边为角 : 通过正弦定理和余弦定理 , 化边为角 , 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;一、利用正弦定理可解决两类问题基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边 , 如A , B , a ①由A＋B＋C＝180° , 求出C ;②根据正弦定理 , 得asin A＝bsin B及asin A＝csin C, 求出边b , c已知两边及其中一边所对的角, 如a, b , A ①根据正弦定理 , 经讨论求B ;②求出B后 , 由A＋B＋C＝180° , 求出C ;③再根据正弦定理asin A＝csin C, 求出边c.[提醒] 也可以根据余弦定理 , 列出以边c为元的一元二次方程c2－(2b cos A)c＋(b2－a2)＝0 , 根据一元二次方程的解法 , 求边c , 然后应用正弦定理或余弦定理 , 求出B , C二、利用余弦定理可解决两类问题已知两边和它们的夹角, 如a , b , C ①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C , 求出边c ;②根据cos A＝b2＋c2－a22bc, 求出A ;③根据B＝180°－(A＋C) , 求出B.求出第三边后 , 也可用正弦定理求角 , 这样往往可以使计算简便 , 应用正弦定理求角时 , 为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0 , π)上是不单调的) , 应先求较小边所对的角 , 它必是锐角已知三边可以连续用余弦定理求出两角 , 常常是分别求较小两边所对的角 , 再由A＋B＋C＝180° , 求出第三个角 ;由余弦定理求出一个角后 , 也可以根据正弦定理求出第二个角 , 但仍然是先求较小边所对的角.1、在△ABC中 , cos C=23, AC=4 , BC=3 , 那么cos B=A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中 , 2cos 3C =, 4AC = , 3BC = , 根据余弦定理 : 2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ ,2224322433AB =+-⨯⨯⨯, 可得29AB = , 即3AB = ,由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯ ,故1cos 9B =.应选 : A ． 2、在ABC △中 , 5cos25C =, 1BC = , 5AC = , 那么AB = A ．42 B ．30 C ．29D ．25【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 12521532425AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 , 应选A.3、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a , b , c , 假设ABC △的面积为2224a b c +- ,那么C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△ , 所以2222sinC a b c ab +-= , 由余弦定理2222cos a b c ab C +-= , 得sin cos C C = , 因为()0,πC ∈ , 所以π4C = , 应选C.4、如下列图 , 在三棱锥P –ABC 的平面展开图中 , AC =1 , 3AB AD == , AB ⊥AC , AB ⊥AD ,∠CAE =30° , 那么cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥ , 3AB = , 1AC = ,由勾股定理得222BC AB AC =+= ,同理得6BD = , 6BF BD ∴== ,在ACE △中 , 1AC = , 3AE AD == , 30CAE ∠= , 由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯= , 1CF CE ∴== ,在BCF 中 , 2BC = , 6BF = , 1CF = ,由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为 : 14-. 5、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .假设π6,2,3b ac B ===, 那么ABC △的面积为_________． 【答案】63【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+- , 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯= , 即212c = ,解得23,23c c ==-〔舍去〕 ,所以243a c == , 113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 6、ABC △中 , sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．〔1〕求A ;〔2〕假设BC =3 , 求ABC △周长的最大值．【解析】〔1〕由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅ , ① 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅ , ② 由① , ②得1cos 2A =-. 因为0πA << , 所以2π3A =. 〔2〕由正弦定理及〔1〕得23sin sin sin AC AB BCB C A=== , 从而23sin AC B = , 23sin(π)3cos 3sin AB A B B B =--=-. 故π33sin 3cos 323sin()3BC AC AB B B B ++=++=++. 又π03B <<, 所以当π6B =时 , ABC △周长取得最大值323+. 7、在△ABC 中 , 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知3,2,45a c B ===︒．〔1〕求sin C 的值 ;〔2〕在边BC 上取一点D , 使得4cos 5ADC ∠=- , 求tan DAC ∠的值．【解析】〔1〕在ABC △中 , 因为3,2,45a c B ===︒ ,由余弦定理2222cos b a c ac B =+- , 得292232cos455b =+-⨯⨯︒= , 所以5b =.在ABC △中 , 由正弦定理sin sin b cB C=, 得52=sin 45sin C︒ , 所以5sin .5C =〔2〕在ADC △中 , 因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角 ,而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角. 故225cos 1sin ,5C C =-=那么sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=- , 所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠= , sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯.8、在ABC △中 , 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．〔Ⅰ〕求角C 的大小 ; 〔Ⅱ〕求sin A 的值 ; 〔Ⅲ〕求πsin(2)4A +的值． 【解析】〔Ⅰ〕在ABC △中 , 由余弦定理及22,5,13a b c === , 有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈ , 所以π4C =． 〔Ⅱ〕在ABC △中 , 由正弦定理及π,22,134C a c === , 可得sin 213sin 13a C A c ==． 〔Ⅲ〕由a c <及213sin 13A =, 可得2313cos 1sin 13A A =-= , 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=． 所以 , πππ12252172sin(2)sin 2coscos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=． 9、在锐角△ABC 中 , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , C ．已知2sin 30b A a -=．〔Ⅰ〕求角B 的大小 ;〔Ⅱ〕求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【解析】〔Ⅰ〕由正弦定理得2sin sin 3sin B A A = , 故3sin 2B = , 由题意得π3B =. 〔Ⅱ〕由πA B C ++=得2π3C A =- , 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π13cos cos()cos sin 322C A A A =-=-+得 311π1313cos cos cos sin cos sin()(,]2226222A B C A A A +++=++=++∈. 故cos cos cos A B C ++的取值范围是313(,]22+. 10、ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a , b , c , 设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．〔1〕求A ;〔2〕假设22a b c += , 求sin C ． 【答案】〔1〕60A ︒= ; 〔2〕62sin 4C +=.【解析】〔1〕由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= , 故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<< , 所以60A ︒=． 〔2〕由〔1〕知120B C ︒=- ,由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-= ,即631cos sin 2sin 222C C C ++= , 可得()2cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<< , 所以()2sin 602C ︒+=, 故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos 60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=． 11、△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知sinsin 2A Ca b A +=． 〔1〕求B ;〔2〕假设△ABC 为锐角三角形 , 且c =1 , 求△ABC 面积的取值范围． 【答案】〔1〕B =60° ; 〔2〕33(,)82. 【解析】〔1〕由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0 , 所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++= , 可得sincos 22A C B += , 故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠ , 故1sin 22B = , 因此B =60°．〔2〕由题设及〔1〕知△ABC 的面积34ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 31sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形 , 故0°<A <90° , 0°<C <90° , 由〔1〕知A +C =120° , 所以30°<C <90° , 故122a << , 从而3382ABC S <<△． 因此 , △ABC 面积的取值范围是33,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．12、在△ABC 中 , a =3 , b −c =2 , cos B =12-． 〔1〕求b , c 的值 ; 〔2〕求sin 〔B –C 〕的值．【答案】〔1〕7b = , 5c = ; 〔2〕437. 【解析】〔1〕由余弦定理2222cos b a c ac B =+- , 得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+ ,所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. 〔2〕由1cos 2B =-得3sin 2B =.由正弦定理得53sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中 , ∠B 是钝角 , 所以∠C 为锐角.所以211cos 1sin 14C C =-=. 所以43sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 13、在ABC △中 , 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a += ,3sin 4sin c B a C =．〔1〕求cos B 的值 ; 〔2〕求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】〔1〕14-; 〔2〕35716+-. 【解析】〔1〕在ABC △中 , 由正弦定理sin sin b cB C= , 得sin sin b C c B = , 又由3sin 4sin c B a C = , 得3sin 4sin b C a C = , 即34b a =．又因为2b c a += , 得到43b a =, 23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． 〔2〕由〔1〕可得215sin 1cos 4B B =-=, 从而15sin 22sin cos 8B B B ==-, 227cos 2cos sin 8B B B =-=- , 故15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭． 14、在ABC 中 , 11a b += , 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知 , 求 :〔Ⅰ〕a 的值 :〔Ⅱ〕sin C 和ABC 的面积．条件① : 17,cos 7c A ==-; 条件② : 19cos ,cos 816A B ==．注 : 如果选择条件①和条件②分别解答 , 按第一个解答计分． 【解析】选择条件①〔Ⅰ〕17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=〔Ⅱ〕2143cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=， 由正弦定理得 : 873sin sin sin sin 2437a c C A C C =∴=∴=113sin (118)863222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②〔Ⅰ〕19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，223757sin 1cos ,sin 1cos 816A AB B ∴=-==-=由正弦定理得 : 116sin sin 3757816a b a a a A B -=∴=∴= 〔Ⅱ〕3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=15、在①3ac = , ②sin 3c A = , ③3c b =这三个条件中任选一个 , 补充在下面问题中 , 假设问题中的三角形存在 , 求c 的值 ; 假设问题中的三角形不存在 , 说明理由．问题 : 是否存在ABC △ , 它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且sin 3sin A B = , 6C π=, ________? 注 : 如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分．【解析】方案一 : 选条件①．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c =． 由①3ac = , 解得3,1a b c ===．因此 , 选条件①时问题中的三角形存在 , 此时1c =． 方案二 : 选条件②．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c = , 6B C π== , 23A π=． 由②sin 3c A = , 所以23,6c b a ===．因此 , 选条件②时问题中的三角形存在 , 此时23c =． 方案三 : 选条件③．由6C π=和余弦定理得222322a b c ab +-=．由sin 3sin A B =及正弦定理得3a b =．于是222233223b b c b +-=, 由此可得b c =． 由③3c b = , 与b c =矛盾．因此 , 选条件③时问题中的三角形不存在．一、单项选择题1、在ABC △中 , 假设 13,3,120AB BC C ==∠= , 那么AC =〔 〕 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.2、已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 假设2cos cos cos b B a C c A =+ ,2b = , 那么△ABC 面积的最大值是A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】B 【解析】由题意知60B =︒ , 由余弦定理 , 262x ππ-=, 故22424ac a c ac =+-≥- , 有4ac ≤ ,故1sin 32ABC S ac B ∆=≤. 应选 : B3、泉城广场上矗立着的〞泉标〞 , 成为泉城济南的标志和象征．为了测量〞泉标〞高度 , 某同学在〞泉标〞的正西方向的点A 处测得〞泉标〞顶端的仰角为45︒ , 沿点A 向北偏东30︒前进100m 到达点B , 在点B 处测得〞泉标〞顶端的仰角为30︒, 那么〞泉标〞的高度为〔 〕A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A 【解析】如下列图,CD 为〞泉标〞高度,设高为h 米 , 由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠= , ,4530CAD CBD ︒∠=∠=．在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,3,BD h AD h == , ,100AB = , 60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+= , 解得50h =或100h =- (舍去), 应选 : B.4、在ABC ∆中 , 〞tan tan 1B C >〞是〞ABC ∆为钝角三角形〞的〔 〕 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题意可得 , 在ABC ∆中 , 因为tan tan 1A B > , 所以sin sin 1cos cos A BA B> , 因为0,0A B ππ<<<< ,所以sin sin 0A B > , cos cos 0A B > ,结合三角形内角的条件 , 故A,B 同为锐角 , 因为sin sin cos cos A B A B > , 所以cos cos sin sin 0A B A B -< , 即cos()0A B +< , 所以2A B ππ<+< ,因此02C <<π, 所以ABC ∆是锐角三角形 , 不是钝角三角形 ,所以充分性不满足 ,反之 , 假设ABC ∆是钝角三角形 , 也推不出〞tan tan 1B C > , 故必要性不成立 , 所以为既不充分也不必要条件 , 应选D.5、在ABC 中 , 满足222sin 2sin 2sin 2A B C += , 那么以下说法中错误的选项是〔 〕 A ．C 可能为4π B ．C 可能为2π C ．C 可能为34π D ．ABC 可能为等腰Rt【答案】B【解析】假设4Cπ, 取,24A B ππ==,此时三个内角满足222sin 2sin 2011sin 2A B C +=+== , 故A 正确且D 正确. 假设2C π=, 那么22sin 2sin 20A B += , 故sin 2sin 20A B == ,故()2,20,2A B π∈ , 故22A B π== , 所以2A B π==, 与内角和为π矛盾 , 故B 错误.假设34C π= , 取8A B π== , 那么222A B π+= ,此时三个内角满足22211sin 2sin 21sin 222A B C +=+== , 故C 正确.应选 : B. 二、多项选择题6、a , b , c 分别为ABC 内角A , B , C 的对边.已知()sin 3sin b A b c B =- , 且1cos 3A = , 那么〔 〕A ．3a c b +=B ．tan 22A =C ．ABC 的周长为4cD ．ABC 的面积为2229c 【答案】ABD【解析】∵()sin 3sin b A b c B =- , ∴()3ab b c b =- , ∴3a b c =-.由余弦定理得()22232cos b c b c bc A -=+- ,整理得23b c = , 又1cos 3A = , ∴22sin 3A =, tan 22A =. 周长为4a b c b ++=. 故ABC 的面积为2122sin 29bc A c =. 应选 : ABD7、当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象恰有三个交点P M N 、、 , 且PMN 是直角三角形 , 那么〔 〕 A ．PMN 的面积1S =B ．22ωπ=C ．两函数的图象必在134x πϕω-=处有交点 D ．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】由()()sin cos x x x ωϕωϕ+=+可得()4x k k Z πωϕπ+=+∈ , 而()2sin 42k k Z ππ⎛⎫+=±∈ ⎪⎝⎭,因为当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象恰有三个交点P M N 、、 , 且PMN 是直角三角形 , 所以该直角三角形斜边上的高为2222⨯= , 且该直角三角形必为等腰直角三角形 , 因此斜边为22 , 所以这两个函数的周期都为22T = , 那么222πω= , 所以22ωπ=, 即B 正确 ;三角形PMN 的面积为122222PMNS=⨯⨯= , 故A 错 ; 当520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 25,22x x πωϕπϕϕϕ⎡⎤+=+∈+⎢⎥⎣⎦ , 因为这两个函数恰有三个交点 , 所以3449513424ππϕπππϕ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩ , 又||2ϕπ< , 所以44ππϕ-≤≤ , 故D 正确 ;因为134x ωϕπ+< , 所以两函数的图象在134x πϕω-=处不可能有交点 , 故C 错.应选 : BD8、在ABC 中 , 内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设1tan A , 1tan B, 1tan C依次成等差数列 , 那么以下结论中不一定成立．．．．．的是〔 〕 A ．a , b , c 依次成等差数列 B ．a , b , c 依次成等差数列 C ．2a , 2b , 2c 依次成等差数列 D ．3a , 3b , 3c 依次成等差数列【解析】ABC 中 , 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 假设1tan A , 1tan B , 1tan C依次成等差数列 ,那么 : 211tan tan tan B A C=+ , 利用sin tan cos ααα=, 整理得 :2cos cos cos sin sin sin B C AB C A=+ ,利用正弦和余弦定理得 : 2222222222222a c b a b c b c a abc abc abc+-+-+-⋅=+, 整理得 : 2222b a c =+ , 即 : 222,,a b c 依次成等差数列.此时对等差数列222,,a b c 的每一项取相同的运算得到数列a , b , c 或a , b , c 或3a ,3b , 3c , 这些数列一般都不可能是等差数列 , 除非a b c == , 但题目没有说ABC 是等边三角形 , 应选 : ABD. 三、填空题9、在ABC ∆中 , ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边 , 假设32sin sin sin ,cos 5B AC B =+= , 且6ABC S ∆= , 那么b =__________． 【答案】4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+ , 利用正弦定理化简得 : 2b a c =+ ,3cos ,5B =∴可得24sin 1cos 5B B =-=, 114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯= , 可解得15ac = , ∴余弦定理可得 , 2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+⎪⎝⎭, ∴可解得4b = , 故答案为4.10、在△ABC 中 , 内角A , B , C 的对边分别为,,a b c , 假设cos cos sin A B Ca b c+= , 22265b c a bc +-= , 那么tan B =______．【答案】4 【解析】∵cos cos sin A B Ca b c+= , ∴由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+= , ∴111tan tan A B+= , 又22265b c a bc +-= ,∴由余弦定理得62cos 5A = , ∴3cos 5A = ,∵A 为ABC ∆的内角 , ∴4sin 5A = , ∴4tan 3A = ,∴tan 4B = , 故答案为 : 4．11、在ABC 中 , 已知1AC = , A ∠的平分线交BC 于D , 且1AD = , 2BD = , 那么ABC 的面积为_________.【答案】378【解析】因为AD 平分BAC ∠ , 所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠ , 设BAD θ∠= , 那么CAD θ∠= , 2BAC θ∠= , 因为BAD CAD ABC S S S +=△△△ , 设AB x = ,所以111sin sin sin 2222x x θθθ+= , 所以 , sin sin 2sin cos x x θθθθ+= , 因为sin 0θ≠ , 所以12cos x x θ+= , 即1cos 2x xθ+=, 在ABD △中 , 212cos 2x x θ+-= , 所以21122x x x x-+=, 可得220x x --= , 解得 : 2x = ,所以3cos cos 4BAD θ∠==, 所以27sin 1cos 4BAD BAD ∠=-∠=, 7337sin 2sin cos 2448BAC θθ∠==⨯⨯=, 所以137sin 28ABCSAC AB BAC =⋅∠=, 故答案为 : 378四、解答题12、从①ABC 的面积2S = ; ②AD CD ⊥这两个条件中任选一个 , 补充在下面的问题中进行求解.如下列图 , 在平面四边形ABCD 中 , 2AB CD == , 34B π=, 对角线AC 平分BAD ∠ , 且____________________ , 求线段AD 的长.注 : 如果选择两个条件分别解答 , 按第一个解答计分.【答案】4 【解析】 选① , 2S =12222222S BC BC =⋅⋅⋅=⇒=∴2842222252AC ⎛⎫=+-⋅⋅⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭204825cos cos 52252BAC CAD +-∠===∠⋅⋅∴2252022545AD AD +-⋅⋅⋅= 28160AD AD -+= , 4=AD .选② , 过点C 作AB 延长线的垂线 , 垂足于E 因为34B π=, 所以4CBE π∠= , 所以CE BE = 因为对角线AC 平分BAD ∠ , 所以2CE CD == 所以224AD AB BE =+=+=13、在①32ABCS=, ②sin 3sin 3cos b C b B c B c --=;③sin 2sin B C =这三个条件中任选一个 , 补充在下面问题中 , 并做答.问题:已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,,13a b c A c π== , ________ , 角B 的平分线交AC 于点D , 求BD 的长.(注:如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分.) 【答案】3262BD -=. 【解析】假设选条件① : 由32ABCS =, 可得13sin 22bc A =因为,13A c π== ,所以2,b =在ABC 中 , 由222124122132a b c bccosA =+-=+-⨯⨯⨯=所以222b a c =+ , 所以2B π=(法一〕因为BD 为角平分线 , 所以4ABD π∠= , 故53412ADB ππππ∠=--= , 5123226sin sin 126422224πππ+⎛⎫=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 在ABD △中 , 15sin sin 312BDππ= , 可得3262BD -= (法二〕因为BD 为角平分线 , 所以4ABD CBD π∠=∠=, 因为ABC ABD CBD S S S =+ 所以3111sin 453sin 45222BD BD =⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ , 解得3262BD -=假设选条件② : 由sin 3cos b C c B c -= , 可得sin sin 3sin cos sin B C C B C -= ,因为sin 0,C ≠ 所以sin 3cos 1B B -= , 可得1sin 32B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ , 因为203B π<<, 所以333B πππ-<-<故36B ππ-= , 可得2B π=.〔下同条件①)假设选条件③:由sin 2sin B C = , 可得22b c == ,在ABC 中 , 由22212cos 4122132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= , 所以222b a c =+ , 所以2B π=.〔下同条件①).14、在ABC 中 , 角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且2B A = , 94c a =, .在①2a = ; ②13b = ; ③ABC 的面积为93916.这三个条件中任选一个 , 补在上面条件中 , 假设问题中三角形存在 , 求ABC 的周长 ; 假设问题中三角形不存在 , 说明理由.注 : 如果选择多个条件分别解答 , 按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】假设选① , 由2a = , 知92c = , 由2B A =得sin sin 2B A = , 即sin 2sin cos B A A = , 即2cos 4cos b a A A == , 在ABC 中由余弦定理得 : 2222cos a b c bc A =+- , 即28194(4cos )2(4cos )cos 42A A A =+-⋅⋅⋅ , 所以213cos 16A = , 由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 故13cos 4A = , 所以4cos 13b A == , 所以三角形周长为9132131322l =++=+ 假设选② , 由2B A =得sin sin 2B A = , 即sin 2sin cos B A A = , 即2cos b a A = ,而13b = , 所以132cos a A = , 即13cos 2A a =, 在ABC 中由余弦定理得 : 2222cos a b c bc A =+- , 即2229913(13)213442a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭, 即24a = , 即2a = , 所以99242c =⨯= , 所以三角形周长为9132131322l =++=+ 假设选③ , 由2B A =得sin sin 2B A = , sin 2sin cos B A A = , 即2cos b a A = , 三角形ABC 面积21199939sin 2cos sin sin cos 224416S bc A a A a A a A A ==⋅⋅⋅== 由94c a =, 得9sin sin 4C A = , 而sin sin(2)sin3C A A A π=--= , 即9sin sin cos 2cos sin 2sin 4C A A A A A =⋅+⋅= , 而sin A =0 , 即29cos 22cos 4A A =+ , 所以294cos 14A -= , 所以213cos 16A = , 由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 所以13cos 4A = , 3sin 4A = , 于是2931393944416a ⋅⋅= , 所以24a = , 即2a = , 所以99242c =⨯= , 所以三角形周长为9132131322l =++=+. 15、在ABC 中 , A B C <<且tan A , tan B , tan C 均为整数. 〔1〕求A 的大小 ;〔2〕设AC 的中点为D , 求BC BD的值. 【答案】〔1〕45A =︒ ; 〔2〕1BC BD = 【解析】〔1〕A B C << , A ∴不能是钝角 , tan 0A >假设tan 2A ≥ , tan603︒= , 且tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增 , 60A ∴>︒ 又A B C << , ,B C ∴都大于60︒ , 与A B C π++=矛盾tan 1A ∴= , 即45A =︒〔2〕45,135A B C =︒∴+=︒ , ()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B C B C B C++==-- , 即tan tan 1tan tan B C B C -=+ 由tan B , tan C 均为整数 , 且B C < , 可得tan 2,tan 3B C == 那么525cos ,sin 55B B == ; 10310cos ,sin 105C C == 由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒ , 可得21035,55b ac a == 又AC 的中点为D , 那么2214BA BC BD AC ⋅=-, 即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=- 即2235512105545a a BD a ⎛⎫⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭解得BD a = , 故1BC a BD a == 16、在ABC 中 , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .已知cos a C , cos b B , cos c A 成等差数列.〔1〕求角B 的大小 ;〔2〕假设4cos 5A = , 求sin C 的值. 【答案】〔1〕3π ; 〔2〕34310+. 【解析】 〔1〕cos ,a C ∴ , cos b B , cos c A 成等差数列 ,2cos cos cos b B a C c A ∴=+ ,由正弦定理 , 2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+ ,ABC 中 , A B C π++= , sin()sin()sin A C B B π∴+=-= ,2sin cos sin B B B ∴= ,又(0,)B π∈ , sin 0B ∴> ,1cos 2B ∴= , 3B π∴=. 〔2〕(0,)A π∈ , sin 0A ∴> ,23sin 1cos 5A A ∴=-= , sin sin()sin cos sin cos C AB A B B A ∴=+=+3143343525210+=⨯+⨯=. 17、已知函数()sin (3sin cos )222x x x f x =+． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调递增区间 ;〔Ⅱ〕设△ABC 中的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设3()2f B = , 且3b = , 求22a c +的取值范围． 【答案】〔Ⅰ〕单调递增区间为π5π(2π,2π)66k k -++ , k ∈Z. 〔Ⅱ〕2236a c <+≤ 【解析】 〔Ⅰ〕2()3sin sin cos 222x x x f x =+31(1cos )sin 22x x =-+π3sin()32x =-+. 所以πππ2π2π232k x k -+<-<+ , 解得π5π2π2π66k x k -+<<+ , k Z ∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为π5π(2π,2π)66k k -++ , k Z ∈. 〔Ⅱ〕因为π33()sin()322f B B =-+= , 所以πsin()03B -=.所以π=3B . 又因为3b = , 所以223=a c ac +- , 即22=3+a c ac +.而222a c ac +≥ , 所以3ac ≤ , 即226a c +≤.又因为22=3+3a c ac +> , 所以2236a c <+≤．。
高考数学一轮复习提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题含答案
高考数学一轮复习提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.3．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（ ） A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC【分析】通过()22sin sin11324x xf xx xxππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x=具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x=是否具有对称中心，再将()5f x x≤化为32sin555x x x xπ≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin11324x xf xx xxππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数siny x=π的图象关于直线12x=对称，且函数21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象也关于直线12x=对称，故曲线()y f x=也关于直线12x=对称，选项C正确；当12x=时，函数siny x=π取得最大值1，此时21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x≤=，选项A正确；若()5f x x≤，则32sin555x x x xπ≤-+，令()32555g x x x x=-+，则()()221510553210g x x x x x'=-+=-+>恒成立，则()g x在R上递增，又()00g=，所以当0x<时，()00g<；当0x>时，()0g x>；作出sin xπ和32555x x x-+的图象如图所示：由图象可知32sin555x x x xπ≤-+成立，即()5f x x≤，选项B正确；对于D选项，若存在一点(),a b使得()f x关于点(),a b对称，则()()2f a x f a x b-++=，通过分析发现()()f a x f a x -++不可能为常数，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质.【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是1,2⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确. 【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭， 最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.7．已知函数)()lg1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1B C ．3D ．4【答案】CD 【分析】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lglgx x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数， 不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lgy x =单调递增，x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lgx x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lgx x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++， 令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-<⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC【分析】 利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】 1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<, n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确； 121617193300()a a a S a a a +++=+---- 2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.10．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC【分析】 根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确.【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=， 830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确； 由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列， ()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误. 故选：BC ．【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.。
(浙江专用)高考数学三轮冲刺 抢分练 压轴大题突破练(一)三角函数与解三角形-人教版高三全册数学试题
(一)三角函数与解三角形1．(2019·余高、缙中、长中模拟)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (α)＝26，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求cos2α的值．解 (1)f (x )＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，k ∈Z .(2)由f (α)＝26得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，所以2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－223， 所以cos2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4＝2－46.2．(2019·某某二中高考热身考)已知函数f (x )＝sin 2π4x －3sin π4x cos π4x . (1)求f (x )的最大值及此时x 的值； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2019)的值． 解 (1)f (x )＝12－12cos π2x －32sin π2x＝12－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6， 令π2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 得x ＝4k －43，k ∈Z ，∴当x ＝4k －43(k ∈Z )时，f (x )max ＝32.(2)由(1)知函数的周期T ＝4，f (1)＝12－32，f (2)＝12＋12，f (3)＝12＋32，f (4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＝12－32，f (4k ＋2)＝12＋12，f (4k ＋3)＝12＋32，f (4k ＋4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＋f (4k ＋2)＋f (4k ＋3)＋f (4k ＋4)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2019) ＝504×2＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝1010.3．(2019·余高等三校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b sin A －3a cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝3，求AC 边上中线长的最小值． 解 (1)由正弦定理得，sin B sin A －3sin A cos B ＝0， ∵sin A ≠0， ∴tan B ＝3， ∵B 是三角形的内角， ∴B ＝60°.(2)方法一 设AC 边上的中点为E ，在△BAE 中，由余弦定理得，BE 2＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－2c ·b2·cos A ，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，a 2＋c 2－b 2＝2·cos60°ac ，∴BE 2＝c 2＋b 24－b 2＋c 2－a 22＝2a 2＋2c 2－b 24＝a 2＋c 2＋ac 4＝(a ＋c )2－ac 4＝9－ac 4≥9－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 224＝2716， 当且仅当a ＝c 时取到“＝”， ∴AC 边上中线长的最小值为334. 方法二 设AC 边上的中点为E ， BE →＝12(BA →＋BC →)，|BE →|2＝14|BA →＋BC →|2＝c 2＋a 2＋ac 4，以下同方法一．4．(2019·浙大附中考试)已知f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3sin x ·cos x －sin 2x .(1)求函数y ＝f (x )(0<x <π)的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A 满足f (A )＝2，而AB →·AC →＝3，求BC 边上的高AD 长的最大值． 解 (1)f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴当0<x <π时，函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.(2)∵f (A )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2，∴A ＝π6，∵AB →·AC →＝3，∴bc ·cos A ＝3，∴bc ＝2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12，而a ＝b 2＋c 2－3bc ≥(2－3)bc ＝3－1(当且仅当b ＝c 时等号成立)， ∴所求BC 边上的高AD ≤3＋12， 即AD 的最大值为3＋12. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C . (1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值； (2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ， ∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ， ∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， ∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，∴C ＝2π3，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32.(2)若c ＝2，则a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12＝32sin2ωx －12cos2ωx －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1.∵f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6－1＝0，∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6，∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3，由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ， 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334.。
中考数学第三轮冲刺解答题：解直角三角形 专题复习(含答案)
（1）如图 ．若 ， ，求 的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 时，两根支撑杆的夹角 是 （如图 ．求该熨烫台支撑杆 的长度（结果精确到 ．
3、襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.41）．
参考答案
2021年中考数学第三轮冲刺解答题：解直角三角形 专题复习
1、图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： 取1.73）．
16、我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 的 处测得在 处的龙舟俯角为 ；他登高 到正上方的 处测得驶至 处的龙舟俯角为 ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到 ，参考数据： ， ， ，
17、某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔 高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1 米， ）
解三角形(提升)练习题(含答案)
解三角形练习（提升）（含答案）一、选择题1、在△ABC 中，a, b, c 分别是内角 A , B , C 所对的边，若 c cos A b ，则△ABC 形状为 CA.一定是锐角三角形 B . 一定是钝角三角形C . 一定是直角三角形D . 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形2、在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac , 则角 B 的值为（D ）A. B. C.或6 3 6 56D.3或233、在△ABC中，AB 3 ，A 45 ，C 75 ，则BC （Ａ）Ａ．3 3 Ｂ． 2 Ｃ．2Ｄ．3 34、在ABC 中，02 xA 60 ，且最大边长和最小边长是方程x 7 11 0的两个根，则第三边的长为（ C ）A．2 B．3 C．4 D．55、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 DA、b 10, A 45 ,C70B、a 60, c 48, B 60C、a 7,b 5,A 80D、a 14, b 16, A 456、长为5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( B )A 90°B 120°C 135°D 150°二、填空题：7、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD ,2 A B 3BD ,BC 2BD ，则s in C 的值为___________。
6 68、如图，△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= 2 3 ，点D 在BC 边上，∠ADC=4°5，则AD 的长度等于______。
解析：在△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= 2 3 中，ACB ABC 30 ，而∠ADC=4°5，AC ADsin 45 sin 30, AD 2 ,答案应填 2 。
9、在△ABC中，若tan1A ，C 150 ，BC 1，则AB .3110答案210、在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则AC的值等于________，AC 的取值范围为________．cos A解析：由正弦定理BC＝sin AAC，则sin BAC＝cos ABC s in B＝sin Acos A2BCsin Bsin 2A＝2.由A＋B＋C＝π得3A＋C＝π，即C＝π－3A.π0< A<2由已知条件：π0<2 A<2，解得ππ<A< .由AC＝2cos A 知2<AC< 3.6 4π 0<π－3A<2答案：2 ( 2，3)三、解答题：11、在△ABC 中，内角A，B，C 对边的边长分别是a，b，c ，已知c 2，C ．3 （Ⅰ）若△ABC的面积等于 3 ，求a，b ；（Ⅱ）若sin B 2sin A，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理得， 2 2 4a b ab ，又因为△ABC的面积等于 3 ，所以12ab sin C 3 ，得ab 4．联立方程组2 2 4a b ab，解得a 2，b 2．ab 4，（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为 b 2a，联立方程组2 2 4a b ab，解得b 2a，2 3a ，34 3b ．3所以△ABC的面积 1 sin 2 3S ab C ．2 312、在ABC中，若c osB b cosC 2a c（1）求角B的大小（2）若b 13 ，a c 4，求ABC的面积2 a2c2b解：（1）由余弦定理得2a 2ac2b2cb2a c2 2 2化简得： a c b ac2ab2∴2 2 2a cb ac 1cos B∴B＝120°2ac 2ac 22 2 2（2）b a c 2ac cos B 2 ac ac1∴13 (a c) 2 2 ( )2∴ac＝3 ∴S ABC 12ac sin B3 3413、某市电力部门某项重建工程中，需要在A、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距 3 km的C 、D 两地（假设A、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠A CB 75 ，BCD 45 ，ADC 30 ，ADB 45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B 距离的43倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？A解：在ACD 中，由已知可得，CAD 30B 所以，AC 3km⋯⋯⋯754545在BCD 中，由已知可得，CBD 6030CDsin 75 sin(45 30 ) 6 2 4由正弦定理，BC 3 sin 75 6 2 sin 60 2cos 75 cos(45 30 ) 6 2 4在ABC中，由余弦定理 2 2 2 cosAB AC BC AC BC BCA2 6 2 2 6 23 ( ) 2 3 cos75 52 2所以，AB 5 施工单位应该准备电线长4 53.答：施工单位应该准备电线长435 km.3。
高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及答案
新数学《三角函数与解三角形》试卷含答案一、选择题1．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin 2αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin 4αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】 【分析】设AE BF a ==，13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFa a V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，1322EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 93222222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，所以992cos ,922A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（ ） A．3BC．3D．【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B BB C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B-++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且仅当tan B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.5．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.6．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案
高考数学《三角函数与解三角形》课后练习一、选择题1．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B =，所以，1cos sin sin 2C A B +=，即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。
2．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确；∴()sin 3cos 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）()7 2.6≈A ．10分钟B ．15分钟C ．20分钟D ．25分钟【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=，则13BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为130.2552=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.4．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-． 由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．5．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．6．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．7．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()π02f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω= ( ) A ．23B ．2C ．143D ．263【答案】C 【解析】∵函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()02f fπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴1sin()sin()6262πππω-=--=- ∴2266k πππωπ-=+或52,266k k Z πππωπ-=+∈ ∴243k ω=+或42,k k ω=+∈Z∵函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点 ∴(,)6626x ππωππω-∈-- ∴2326ωππππ<-≤∴131933ω<≤ ∴143ω=或6ω= 故选C.8．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.9．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．10．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.11．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.12．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.13．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )A ．sinB ．cosC ．tanD ．cos2θ【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可． 【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．14．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D ，2BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ） A ．2 B 2C 3D ．62【答案】A 【解析】 【分析】先求出6sin 4BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=， ∴6sin BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠， ∴3sin 222sin 6BAD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.16．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间． 【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =，∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．又函数图象过点()1,2，∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈． 故选B ． 【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．17．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．12B ．2C ．D ．﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1，cosθ)，n =r(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.19．化简21sin 352sin 20︒︒-=（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】B 【解析】 【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称【答案】A 【解析】 【分析】 由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-=，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y =过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-=，故圆心为( . 又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y =，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。
高三解三角形专项练习附答案
高三解三角形专项练习附答案一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是()A.152，+∞B.(10，+∞)C.(0,10)D.0，403答案D解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.∴04.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，∴sin(B+C)=2sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，∴sin(B-C)=0，∴B=C.5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案B解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，∴b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k(k>0)，则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A.1B.2C.12D.4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案23解析∵cosC=13，∴sinC=223，∴12absinC=43，∴b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.答案2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，得A>B，∴B=30°，故C=90°，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.答案7解析∵△ABC的'外接圆直径为2R=2，∴asinA=bsinB=c sinC=2R=2，∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.答案126解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanAa2sinBcosB=b2sinAcosA4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosAsinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=πA=B或A+B=π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为()A.45°B.60°C.75°D.90°答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120°，∴sinCsinA=sin120°-AsinA=sin120°cosA-cos120°sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，∴tanA=1，A=45°，C=75°.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4，cosB2=255，求△ABC的面积S.解cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.1.在△ABC中，有以下结论：(1)A+B+C=π;(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC;(3)A+B2+C2=π2;(4)sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2，tanA+B2=1tanC2.2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.。
高考数学三轮冲刺：数列课时提升训练(1)(含答案)
高考数学三轮冲刺数列课时提升训练（1）1、已知定义在上的函数、满足，其中且，在有穷数列中任取前项相加，则前项和大于的概率是（） A、 B、C、 D、2、已知一次函数的图像经过点和，令，记数列的前项和为，当时，的值等于A .B. C. D.3、已知数列{a n}，如果是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n = （） A．2n+1－1 B．2n－1 C．2n－1 D．2n +14、已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是( )(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)5、在数列{a n}中，如果存在非零常数T，使得a m+T=a m对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列{a n}为周期数列，其中T叫数列{a n}的周期．已知数列{x n}满足x n+1=|x n-x n-1|(n≥2，n ∈N)，如果x1=1，x2=a(a∈R，a≠0)，当数列{x n}的周期最小时，该数列前2005项的和是( ) A．668 B．669 C．1336 D．13376、已知等差数列{a n}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，那么一定有 ( )A．a n+1≤b n+1 B．a n+1≥b n+1 C．a n+1<b n+1 D．a n+1>b n+17、互不相等的三个正数x1、x2、x3成等比数列，且点P1(log a x1，log b y1)、P2(log a x2，log b y2)、P3(log a x3，log b y3)共线(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则y1、y2、y3成 ( )A.等差数列，但不成等比数列 B．等比数列而非等差数列 C．等比数列，也可能成等差数列D．既不是等比数列，又不是等差数列8、已知数列{a n}的前n项和S n=a[2-()n-1]-b[2-(n+1)()n-1](n=1,2,…),其中a,b是非零常数,则存在数列{x n}、{y n}使得（）A.a n=x n+y n,其中{x n}为等差数列，{y n}为等比数列B．a n=x n+y n,其中{x n}和{y n}都为等差数列C．a n=x n·y n,其中{x n}为等差数列，{y n}为等比数列D．a n=x n·y n,其中{x n}和{y n}都为等比数列9、若｛a n｝是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004>0，a2003·a2004＜0，则使前n项和S n>0成立的最大自然数n是 ( )A.4005 B．4006 C.4007 D.400810、已知函数，若数列满足，且是递减数列，则实数的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）11、已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1-2，等差数列{b n}中，b2= a2，面b n+3+b n-1=2b n+4, (n2,n N+), 则b n=A. 2n+2B.2nC. n-2D.2n-212、已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，令b n＝(a1＋a2＋…＋a n)，则数列{b n}的前10项和T10＝( )A．70 B．75C．80D．8513、已知数列满足下面说法正确的是①当时，数列为递减数列；②当时，数列不一定有最大项；③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.A. ①②B. ②④C. ③④D. ②③14、A.12084B.12090C.12096D.1210215、各项均为正数的数列的前n项和S n ,且A． B． CD．16、已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则的值为A. B. C.D.17、设函数f(x)=x+,A0为坐标原点,A n为函数y=f(x)图象上横坐标为n(n∈N*)的点,向量a n=,向量i=(1,0),设θn为向量a n与向量i的夹角,满足tanθk<的最大整数n是( )A.2B.3C.4D.518、已知函数f(x)=把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( )A.a n= B.a n=n-1C.a n=n(n-1) D.a n=2n-219、设等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S15>0,S16<0,则,,…,中最大的项为( )A. B. C. D.20、已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．B．C． D．21、等比数列的前项和为= ( )A． B． C． D．22、已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为A．5 B．4 C．3 D．223、已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A．2 B．3 C．4D．524、设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为（）25、等差数列的前n项和为，且，则的最小值是A7 BC8 D26、已知等比数列的前项和为，若，且满足，则使的的最大值为（）（A）6 （B）7 （C）8 （D）927、设为数列的前项和，，其中是常数.则为（）A. B. C. D.28、数列的首项为3，为等差数列且．若则，则（）(A) 0 (B) 3 (C)8(D) 1129、数列前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立则实数的最小值为（）A．B． C． D．2 30、设有无穷数列,且为正整数集的无限子集，，则数列称为数列的一个子列，记为.下面关于子列的三个命题①对任何正整数，必有；②已知为等差数列，则“为等差数列”是“为等差数列”的充分不必要条件；③已知为等比数列，则“为等差数列”是“为等比数列”的充分不必要条件. 真命题的个数是A．0 B．1 C．.2 D．3 31、已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则=( ) A. B. C.D.32、数列满足并且，则数列的第100项为（）A．B．C．D．33、已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（）A． B． C．D．34、设等差数列的前项和为，若，则必定有( )A. ,且B. ,且C. ,且D.,且35、设，，，则数列成（）A. 等差数列B. 等比数列C. 非等差也非等比数列 D. 既等差也等比数列36、已知正项等比数列{a n}，a1＝2，又b n＝log2a n，且数列{b n}的前7项和T7最大，T7≠T6，且T7≠T8，则数列{a n}的公比q的取值范围是( )(A)＜q＜ (B)＜q＜(C)q＜或q＞ (D)q＞或q＜37、若数列{a n}满足＝p(p为正常数，n∈N＋)，则称{a n}为“等方比数列”.甲：数列{a n}是等方比数列；乙：数列{a n}是等比数列，则( )(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件(B)甲是乙的充要条件(C)甲是乙的必要条件但不是充分条件(D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件38、在数列中，如果存在常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期. 已知周期数列满足，若，当数列的周期为时，则数列的前2015项的和为（）A．1344 B．1343 C．1342D． 134139、已知数列{a n}的通项公式是，其中a、b均为正常数，那么数列{a n}的单调性为（）A．单调递增 B．单调递减 C．不单调 D．与a、b的取值相关40、已知定义在上的函数满足：设数列的前项和为，则的取值范围是A. B.C. D.1、D2、A3、B4、D5、D6、B7、C8、C.a1=S1=3a a n=S n-S n-1=a[2+()n-1]-b[2-(n+1)·()n+1]-a[2+()n-2]+b[2-n()n-2]=(b n-b-a)·()n-1 ∵{()n-1}为等比数列,{b n-a-b}为等差数列. 9、B【正确解答】 B ∵a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004＜0，且｛a n｝为等差数列∴{a n}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a2003|＞|a2004|∴在等差数列｛a n｝中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=＞0 ∴使S n＞0成立的最大自然数n是4006． 10、C 11、B12、B解析由已知a n＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋a n＝＝n(n＋2)，则b n＝n＋2，T10＝＝75，故选B.13、C 14、B 15、B16、C 17、B.由已知得A n,又a n===,tanθn===+,所以tanθk=+=2--,验证知n=3符合tanθk<.18、B.当x≤0时,g(x)=2x-1-x,令g(x)=0,得x=0.当0<x≤1时,-1<x-1≤0,g(x)=f(x-1)+1-x=2x-1-x,令g(x)=0,得x=1,当1<x≤2时,0<x-1≤1,-1<x-2≤0,g(x)=f(x-1)+1-x=f(x-2)+2-x=2x-2+1-x,令g(x)=0,得x=2. 依次类推,得到函数g(x)的零点从小到大排列为0,1,2,3,4,…,故选B.19、D.由S15==15a8>0,得a8>0.由S16==<0,得a9+a8<0,所以a9<0,且d<0.所以a1>a2>…>a8>0>a9>…>a15,S8>S7>…>S1>0,0<S15<S14<…<S9,所以>>…>>0>,从而最大.选D.20、A 21、C 22、B23、D 24、C 25、D 26、D 27、B28、B29、A30、D 31、A 32、D 33、D 34、A 35、A36、B.∵b n＝log2a n，而{a n}是以a1＝2为首项，q为公比的等比数列，∴b n＝log2a n＝log2(a1q n －1)＝1＋(n－1)log2q.∴b n＋1－b n＝log2q.∴{b n}是等差数列，由于前7项之和T7最大，且T7≠T6，所以有解得－＜log2q＜－，即＜q＜.故选B.37、 C.乙⇒甲，但甲乙，如数列2,2，－2，－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列.38、A 39、A 40、B。
2024数学高考前冲刺题《解三角形》含答案
黄金冲刺大题01 解三角形（精选30题）1．（2024·江苏·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a+=.(1)证明：2B A =；(2)若sin A b ==，求ABC 的周长.2．（2024·湖南常德·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B A B C ++=．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且ABC ABC 的周长．3．（2024·江苏·一模）在ABC 中，()sin sin B A A C -=．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC CM = ．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小．4．（2024·浙江温州·二模）记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．5．（2024·浙江嘉兴·二模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A -=.(1)求cos A 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值.6．（2023·福建福州·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin sin ,3a C c B C π==．(1)求B ；(2)若ABC BC 边上中线的长．7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC 中，2,3BAC BAC π∠=∠的角平分线交 BC 于P 点，2AP =.(1)若8BC =，求△ABC 的面积;(2)若4CP =，求BP 的长.8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，4AB AD ==，6BC =．(1)若2π3A =，π3C =，求sin BDC ∠的值；(2)若2CD =，cos 3cos A C =，求四边形ABCD 的面积．9．（2024·浙江·一模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =ABC AD 的长．10．（2024·湖北·一模）在ABC 中，已知π4AB AC C ===．(1)求B 的大小；(2)若BC AC >，求函数()()()sin 2sin 2f x x B x A C =--++在[]π,π-上的单调递增区间．11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin SC c b =-.(1)证明：ABC 是倍角三角形；(2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.(1)若BC =AD =ACD 的面积；(2)若2π3D =，求BC AD -的最大值.13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.(1)若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；(2)若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角ABC 的三内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222(cos cos )b c b C c B bc +-⋅+⋅=，(1)求角A 的大小；(2)bc 的取值范围．15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的周长为sin sin sin sin a BA B C+-．(1)求C ；(2)若2a =，4b =，D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=，求BCD △的面积．16．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．17．（2024·广东广州·一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .已知222)S a c b =+-.(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC 的周长.18．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中1a =，21cos 2c A b-=．(1)求角B 的大小；(2)如图，D 为ABC 外一点，AB BD =，ABC ABD ∠=∠，求sin sin CABCDB∠∠的最大值．19．（2024·河北石家庄·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量(2sin )m A A A =，π2π(cos ,cos sin ),(),,63n A A A f A m n A ⎡⎤=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()f A 的最大值;(2)若()0,sin f A a B C ==+=ABC 的面积.20．（2024·广东·一模）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos b c A a B C -=．(1)求cos B ；(2)若点D 在AC 上（与,A C 不重合），且π,24C ADB CBD =∠=∠，求CDAD 的值．21．（2024·辽宁·二模）在ABC 中，D 为BC 边上一点，1DC CA ==，且ACD 面积是ABD △面积的2倍．(1)若AB =，求AB 的长；(2)求sin sin ADBB∠的取值范围．22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π,4cos 24B bC a ==+.(1)求tan C ；(2)若ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m ）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，16.5MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上）．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角48.5MDE ∠=︒，楼尖MN 的视角 3.5MDN ∠=︒（N 是楼尖底部，在线段MO 上）．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO ．参考数据：sin16.5sin48.52sin325︒︒≈︒，8tan16.527︒≈，8tan48.57︒≈37.4,≈24．（2024·重庆·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．(1)求角A 的大小；(2)若BP PC =，且2b c +=，求AP 的最小值．25．（2024·山西朔州·一模）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=-- ，且//m n ．(1)求B ；(2)求222b a c+的最小值．26．（2024·河南开封·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b A B =．(1)求sin A ；(2)若a =①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求ABC 的面积．条件① ：=b ；条件② ：b =③ ：1sin 3C =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．27．（2024·河南·一模） ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22b a ac -=.(1)求证：2B A =；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin()sin sin C A BA--的取值范围.28．（2023·河南·三模）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2222a abc c b +-=，且a c ≠．(1)求证：2B C =；(2)若ABC ∠的平分线交AC 于D ，且12a =，求线段BD 的长度的取值范围．29．（2024·湖北·二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，()c a b <，2cos cos cos 2c a A B b A =-．(1)求A ；(2)者13BD BC =，2AD = ，求b c +的取值范围．30．（2024·河北·二模）若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，则称点P 为ABC 的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．如图，已知ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，θ为ABC的布洛卡角．(1)若b c =，且满足PBPA=ABC ∠的大小．(2)若ABC 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACBθ=++∠∠∠．（ⅱ）若PB 平分ABC ∠，证明：2b ac =．黄金冲刺大题01 解三角形（精选30题）1．（2024·江苏·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a+=.(1)证明：2B A =；(2)若sin A b ==，求ABC 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；（2）利用倍角公式求得sin C ，然后利用正弦定理可得【详解】（1）()()2cos 1sin sin sin sin cos cos sin B A C A B A B A B+==+=+()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ⇒=-=-因为()(),0,π,π,πA B B A ∈∴-∈-A B A ∴=-或()πA B A +-=（舍），2B A ∴=.（2）由sin A =1）知()30,πA B A +=∈，则π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得cos A ===sin sin22sin cos 2B A A A ====，213cos cos212sin 1284B A A ==-=-⨯=，()3sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+===由正弦定理得25sin sin sin a a b c c A B C =⎧==⇒==⇒⎨=⎩ABC ∴的周长为7a b c ++=2．（2024·湖南常德·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B A B C ++=．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且ABC ABC 的周长．【答案】(1)2π3(2)15【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出222a b ab c ++=；再结合余弦定理得出1cos 2C =-即可求解.（2先根据a ，b ，c 成等差数列得出2a c b +=；再利用三角形的面积公式得出15ab =；最后结合(1)中的222a b ab c ++=，求出a ，b ，c 即可解答.【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A B A B C ++=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得：222a b ab c ++=.由余弦定理可得：2222222()1cos 222a b c a b a b ab C ab ab +-+-++===-.又因为(0,π)C ∈，所以2π3C =.（2）由a ,b ,c 成等差数列可得：2a c b +=①.因为三角形ABC ，2π3C =，1sin 2ab C ∴=15ab =②.由(1)知：222a b ab c ++=③由①②③解得：3,5,7a b c ===.15a b c ∴++=，故三角形ABC 的周长为15.3．（2024·江苏·一模）在ABC 中，()sin sin B A A C -=．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC CM = ．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小．【答案】(1)π4B =；(2)π12BAC ∠=或5π12．【分析】（1）由()sin sin C A B =+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =B 的大小；（2）设BC x =，BAC θ∠=，在ABC 和ACM △中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC ∠的大小.【详解】（1）在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin C A B =+．因为()sin sin B A A C -=，所以()()sin sin B A A A B -=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A A B A B A -=+2cos sin A B A =．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，cos B =因为0πB <<，所以π4B =．（2）法1：设BC x =，BAC θ∠=，则2CM x =．由（1）知π4B =，又π4CAM ∠=，所以在ABM 中，π2AMC θ∠=-．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B=∠，即πsin sin 4x ACθ=①．在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM ACCAM M =∠，即2ππsin sin 42x ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭②．①÷②=12sin cos 2θθ=，所以1sin 22θ=．因为3π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26θ=或5π6，故π12θ=或5π12．法2：设BC x =，则2CM x =，3BM x =．因为π4CAM B ∠==，所以ACM BAM △△∽，因此AM CMBM AM=，所以226AM BM CM x =⋅=，AM =．在ABM 中，由正弦定理得sin sin =∠BM AM BAM B，即3sin x BAM =∠化简得sin BAM ∠=因为30,4BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3BAM ∠=或2π3，π4BAC BAM ∠=∠-，故π12BAC ∠=或5π12．4．（2024·浙江温州·二模）记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．【答案】(1)π4C =或3π4(2)43【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C ，从而确定角C .（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】（1）由2sin c B得2sin sin C B B =，而B 为三角形内角，故sin B >0,得sin C =C 为三角形内角，∴π4C =或3π4（2）由()tan tan tan tan A B C B C =-+=+得tan tan tan tan 1tan tan B CB C B C+-=+-，又tan tan 0B C +≠，∴tan tan 2B C =， ，故π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）得tan 1C =，故tan 2B =，∴tan tan tan 3A B C =+=，而A 为三角形内角，∴sin A =又sin sin a c A C ==⇒c =又tan 2B =，而B为三角形内角，故sin B =114sin 2223S ac B ∴==⨯=.5．（2024·浙江嘉兴·二模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A -=.(1)求cos A 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值.【答案】(1)1cos 3A =或cos 0A =；.【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；（2）解法一，由23b c =，利用正弦定理边化角得2sin 3sin B C =，结合()sin sin A C B +=和1cos 3A =，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得23c a =，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】（1）由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=，解得1cos 3A =或cos 0A =.（2）解法一：因为23b c =，由正弦定理得2sin 3sin B C =，即()2sin 3sin A C C +=，即2sin cos 2sin cos 3sin A C C A C +=，因为1cos 3A =，所以sin A =2sin 3sin 3C C C +=，又22sin cos 1C C +=，且ABC为锐角三角形，解得sin C =.解法二：由余弦定理得2221cos 23b c a A bc +-==，因为23b c =，所以222291433c c a c +-=，即2249c a =，所以23c a =，所以2sin sin 3C A =，又1cos 3A =，所以sin A =，所以2sin sin 3C A ==.6．（2023·福建福州·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin sin ,3a C c B C π==．(1)求B ；(2)若ABCBC 边上中线的长．【答案】(1)π6B =【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角B ；（2）根据A B =，得a b =，结合三角形面积公式即可得到a b ==c ，以及2AD AB AC =+，即可得到答案．【详解】（1）sin sin a C c B = ，由正弦定理边化角得sin sin sin sin A C C B =，sin 0C ≠ ，sin sin A B ∴=，A B ∴=或πA B +=（舍），又 2π3C =，∴π6B =；（2） π6B =，2π3C =，π6A =，a b ∴=，∴1sin 2ABC S ab C =212a =a b ==由正弦定理sin sin a cA C=，得sin 3sin a Cc A==，设BC 边的中点为D ，连接AD ，如下图：2AD AB AC =+ ，即22(2)()AD AB AC =+，即22242cos 9323AD c b bc A =++=++解得AD 7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC 中，2,3BAC BAC π∠=∠的角平分线交 BC 于P 点，2AP =.(1)若8BC =，求△ABC 的面积;(2)若4CP =，求BP 的长.【答案】【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出1AC =，再利用正弦定理求出sin C ，再根据三角恒变换求出sin B ，最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-⋅⋅∠，即2264c b b c =++⋅①因ABC MBP MCP S S S =+，即22222bc c b =整理得22b c b c ⋅=+②①②解得2b c ⋅=+所以1sin 2ABC S bc BAC =∠=（2）因为π2,4,3AP CP PAC ==∠=，所以在APC △中由余弦定理可得2222cos CP AP AC AP AC CAP =+-⋅⋅∠，所以21642AC AC =+-解得1AC =，由正弦定理得sin sin AP PCC CAP=∠，即2sin Csin C =所以cos C ==，sin sin()sin cos cos sin B BAC C BAC C BAC C =∠+=∠+∠=ABC 中由正弦定理得sin sin AC BC B BAC=∠=解得BC所以4PB BC PC =-==8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，4AB AD ==，6BC =．(1)若2π3A =，π3C =，求sin BDC ∠的值；(2)若2CD =，cos 3cos A C =，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)34【分析】（1）ABD △中求出BD ，在BCD △中，由正弦定理求出sin BDC ∠的值；（2）ABD △和BCD △中，由余弦定理求出cos A 和cos C ，得sin A 和sin C ，进而可求四边形ABCD 的面积．【详解】（1）在ABD △中，4AB AD ==，2π3A =，则π6ADB ∠=，π2cos 24cos 6BD AD ADB =∠=⨯⨯=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BDBDC C=∠，sin 3sin 4BC C BDC BD ∠===.（2）在ABD △和BCD △中，由余弦定理得222222cos 44244cos 3232cos BD AB AD AB AD A A A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，222222cos 62262cos 4024cos BD CB CD CB CD C C C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，得4cos 3cos 1A C -=-，又cos 3cos A C =，得11cos ,cos 39A C =-=-，则sin A =sin C =四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅⋅+⋅⋅11446222=⨯⨯⨯⨯9．（2024·浙江·一模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =ABC AD 的长．【答案】(1)π3A =【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到222b c a bc +-=，再结合余弦定理即可求出角A ；（2）根据三角形面积公式得到3bc =和2210b c +=，再结合中线向量公式计算即可.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得，sin sin C cB b=，因为2222sin sin c Cb c a B =+-，所以2222c c b c a b =+-，化简得，222b c a bc +-=，在ABC 中，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==，又因为0πA <<，所以π3A =（2）由1sin 2ABC S bc A ===△3bc =，由2222cos a b c bc A =+-，得2273b c =+-，所以2210b c +=．又因为边BC 的中点为D ，所以()12AD AB AC =+，所以12AD ====10．（2024·湖北·一模）在ABC 中，已知π4AB AC C ===．(1)求B 的大小；(2)若BC AC >，求函数()()()sin 2sin 2f x x B x A C =--++在[]π,π-上的单调递增区间．【答案】(1)π3B =或2π3B =(2)7ππ5π11ππ,,,,,π12121212⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin AB ACC B==sin B =又0πB <<，故π3B =或2π3B =．（2）由BC AC >，可得A B >，故π2π,33B AC =+=.()π2πππsin 2sin 2sin 2sin 2π3333f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈,解得π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，.由于[]π,π∈-x ，取1k =-，得7ππ12x -≤≤-；取0k =，得π51212πx -≤≤；取1k =，得11ππ12x ≤≤，故()f x 在[]π,π-上的单调递增区间为7ππ5π11ππ,,,,,π12121212⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin SC c b =-.(1)证明：ABC 是倍角三角形；(2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；（2）由正弦定理结合题中条件得到9sin 3sin 2B a B=，结合三角形面积公式1sin 2S ac B =⨯化为关于tan B 的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.【详解】（1）因为22222212sin 2sin 2sin ab CS ab C C c b c b c b ⨯===---，又sin 0C ≠,所以221abc b =-，则22b c ab =-，又由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，故可得2cos c B a b =+，由正弦定理，2sin cos sin sin C B A B =+,又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,代入上式可得sin cos sin cos sin C B B C B =+,即sin cos sin cos sin C B B C B -=，()sin sin C B B -=，则有,2C B B C B -==,故ABC 是倍角三角形.（2）因为2C B =，所以ππ30A B C B =--=->,故π03B <<，则(tan B ∈，又9c =，又sin sin a c A C =，则()9sin π39sin 9sin 3sin sin 2sin 2B A Ba C B B-===,则19sin sin 22S ac B a B=⨯=99sin 381sin 3sin 2sin 24cos B B B B B =⨯⨯=⋅,81sin 2cos cos 2sin 4cos B B B B B +=⋅()81sin 2cos 2tan 4B B B =⨯+222812tan 1tan tan 41tan 1tan B BB B B ⎛⎫-=+⋅ ⎪++⎝⎭32813tan tan 41tan B B B-=⨯+设(tan x B =∈，()3231x x f x x -=+，则()()()()()22322331321x x x x x f x x -+--⋅+'=()4222631x x x --+=+令()0f x '=得23x =-或者23x =-（舍），且当203x <<时，()0f x '>，当233x <<时，()0f x '<，则()f x 在(上单调递增，在上单调递减，故当x =()f x 取最大值，此时S 也取最大值，故tan B =.12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.(1)若BC =AD =ACD 的面积；(2)若2π3D =，求BC AD -的最大值.【答案】(1)4；.【分析】（1）在三角形ABC 中，根据正弦定理求得,AC CAB ∠，再在三角形ADC 中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设DAC ∠θ=，在三角形,ADC ABC 中分别用正弦定理表示,BC AD ，从而建立BC AD -关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】（1）因为π6B =，ABC 的外接圆半径为4，所以8sin ACB=，解得4AC =.在ABC 中，BC =8sin BC CAB ==∠，解得sin CAB ∠又π0,2CAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π4CAB ∠=；在ACD 中，4AC =，ππ24DAC CAB ∠=-∠=，AD =所以1442ACD S ∆=⨯⨯=.（2）设DAC ∠θ=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又2π3D =，所以π3ACD θ∠=-.因为π2DAB ∠=，所以π2CAB θ∠=-.在DAC △中，4AC =，由正弦定理得sin sin AC ADD ACD=∠，πsin 3ADθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得π1sin 32AD θθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭4cos θθ=.在ABC 中，4AC =，由正弦定理得sin sin AC BCB CAB=∠，即41πsin 22BC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得π8sin 8cos 2BC θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以4cos BC AD θθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，所以BC AD -.13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.(1)若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；(2)若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(1)=45ADC ∠︒2【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理可得AC =30BCA ∠=︒，然后在ADC △中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得BD =BCD ABD S S + 即可求解.【详解】（1）在ABC 中，AB BC ==120θ=°，所以30BCA ∠=︒，由余弦定理可得，2221262AC ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即AC =又BC CD ⊥，所以60ACD ∠=︒，在ADC △中，由正弦定理可得3sin 60=︒sin ADC ∠=因为AC AD <，所以060ADC ︒<∠<︒，所以=45ADC ∠︒.（2）在Rt BCD 中，BC CD ==BD =，所以，四边形ABCD 的面积1122BCD ABD S S S ABD=+=∠2sin ABD =∠，当90ABD Ð=°时，max 2S =，即四边形ABCD 2.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角ABC 的三内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222(cos cos )b c b C c B bc +-⋅+⋅=，(1)求角A 的大小；(2)bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)(]6,9【分析】（1）由余弦定理将cos ,cos B C 化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】（1）()222cos cos b c b C c B bc +-+=Q ，由余弦定理可得22222222222a b c a c b b c b c bc ab ac ⎛⎫+-+-+-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，化简整理得222b c a bc +-=，又2222cos b c a bc A +-=，1cos 2A ∴=，又π02A <<，所以π3A =.（2）因为三角形外接圆半径为R b B =，c C =，12sin sin bc B C ∴=，由（1）得2π3B C +=，所以2π112sin sin 12sin sin 12sin sin 32bc B C B B B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()2cos 6sin 231cos 2B B B B B =+=+-162cos 232B B ⎫=-+⎪⎪⎭π6sin 236B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，且2π3B C +=，所以ππ62B <<，ππ5π2666B ∴<-<，1πsin 2126B ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，π66sin 2396B ⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎝⎭，即69bc <≤.所以bc 的取值范围为(]6,9.15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的周长为sin sin sin sin a BA B C+-．(1)求C ；(2)若2a =，4b =，D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=，求BCD △的面积．【答案】(1)2π3C =；【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出CD ，再求出BCD △的面积.【详解】（1）在ABC 中，sin sin sin sin a B A B C a b c +=-++，由正弦定理得aba b c a b c++=+-，整理得222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，而0πC <<，所以2π3C =.（2）由D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=及（1）得π2ACD ∠=，且+= ACD BCD ABC S S S ，即有1π1π12πsin sin sin 222623b CD a CD ab ⋅+⋅=，则4CD CD +=，解得CD =所以BCD △的面积1π1sin 2264BCD S a CD =⋅=⨯=16．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．【答案】(1)2π3A =(2)AC =ABC S 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A 的值，结合(0,)A π∈即可求解A 的值；（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得cos AB AD ABC ABC C BD BD ∠=∠===正弦定理即可求解.（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．【详解】（1）cos sin B b A -=，cos sin sin A B B A C -=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin sin B A A B -=，因为B 为三角形内角，sin 0B >，所以sin A A -=，可得tan A =因为(0,π)A ∈，所以2π3A =；（2）（Ⅰ）此时22AB AD ==，AD AB ⊥，所以D B ==2π1cos sin 32AB AD ABC ABC C B BD BD ⎛⎫⎛⎫∠=∠===+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ABC中，由正弦定理可得sin sin sin sin AC AB AB ABCAC ABC C C∠=⇒==∠=（Ⅱ）设CAD α∠=，由ABC BAD CAD S S S =+ ，2π2sin()sin 3b αα=-+2πsin 2sin()3b αα-=-有2,2πsin sin sin sin()3b CD BD ADC ADB αα==∠∠-，由于2BD DC =，所以sin sin 12πsin 22sin()3b ADB ADC αα∠⨯=∠-，所以2πsin()13sin sin 2b ααα-==⇒b =则1sin 2ABC S bc A ==17．（2024·广东广州·一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .已知222)S a c b =+-.(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC 的周长.【答案】(1)2π3；(2)3+【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B 的范围，即可求得结果；（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得,AB BC ，即可求得三角形周长.【详解】（1）由222)S a c b =+-，则1sin 2cos 2ac B ac B ⋅=⋅，tan B =又()0,πB ∈，故2π3B =.（2）由（1）可知，2π3B =，又π2ABD ∠=，则π6CBD ∠=；由题可知，22AD DC ==，故()11213333BD BC CD BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+-=+，所以2211103333BA BD BA BC BA c ac ⎛⎫⋅=⋅+=-= ⎪⎝⎭ ，因为0c ≠，所以a c =，π6A C ==，在Rt △ABD中，πcos6c AD =⋅=，故ABC的周长为33AB BC AC ++=+=+18．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中1a =，21cos 2c A b-=．(1)求角B 的大小；(2)如图，D 为ABC 外一点，AB BD =，ABC ABD ∠=∠，求sin sin CABCDB∠∠的最大值．【答案】(1)π3B =【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得sin sin CAB CDCDB AC∠=∠，再由余弦定理分别得到22,AC CD ，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为1a =，所以2cos 2c aA b-=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得2sin sin cos 2sin C A A B-=，整理可得2sin cos 2sin sin B A C A =-，又因为()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，化简可得sin 2sin cos A A B =，而sin 0A ≠，则1cos 2B =，又()0,πB ∈，则π3B =（2）在BCD △中，由sin sin BC CD CDB CBD=∠∠可得2sin 3sin CDB CD π∠=，在ABC 中，由sin sin BC AC CAB ABC=∠∠可得sin3sin CAB ACπ∠=，所以sin sin CAB CDCDB AC∠=∠，设()0AB BD t t ==>，由余弦定理2222cos CD BA BC BA BC CBD =+-⋅⋅∠，2222cos AC BA BC BA BC CBA =+-⋅⋅∠，可得221CD t t =++，221AC t t =+-，因此222221211311CD t t tAC t t t t++==+≤=+-+-，当且仅当1t t =时，即1t =等号成立，所以sin sin CABCDB∠∠1AB BD ==.19．（2024·河北石家庄·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，设向量(2sin )m A A A =，π2π(cos ,cos sin ),(),,63n A A A f A m n A ⎡⎤=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()f A 的最大值;(2)若()0,sin f A a B C ==+=ABC 的面积.【答案】(2)ABC S !【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得π()2sin(23f x A =+，再结合三角函数的值域计算即可求得；（2）由题中条件计算可得π3A =，再由正弦定理得b c +=，由余弦定理可得1bc =，再由三角形的面积公式计算即可求得．【详解】（1）()2sin cos )(cos sin )f x m n A A A A A A =⋅=+-22πsin 2sin )sin 222sin(2)3A A A A A A =-=+=+因为π2π,63A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π5π2,333A ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π233A +=，即π6A =时，()f x有最大值2=；（2）因为()0f A =，所以π2sin(2)03A +=，所以π2π,Z 3A k k +=∈，因为π2[,]63A A ∈，所以π3A =，由正弦定理得：22sin a R A===，所以sin 22b bB R ==，sin 22c c C R ==，又因为sin sin B C +=22b c +=所以b c +=，由余弦定理有：2222cos a b c bc A =+-，即23()3b c bc =+-，所以1bc =，所以11sin 122ABC S bc A ==⨯=△20．（2024·广东·一模）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos b c A a B C -=．(1)求cos B ；(2)若点D 在AC 上（与,A C 不重合），且π,24C ADB CBD =∠=∠，求CDAD 的值．【答案】(1)12(2)2【分析】（1）根据条件，边转角得到sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，再利用sin sin cos cos sin B A C A C =+即可求出结果；（2）根据题设得到π4DBC C ∠==，进而可求得5π12A =，π12ABD ∠=，再利用BCD ABD S CD AD S = ，即可求出结果.【详解】（1）由cos 2cos cos b c A a B C -=，得到sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，又sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+，所以cos sin 2sin cos cos C A A B C =，又三角形ABC 为锐角三角形，所以sin 0,cos 0A C ≠≠，得到12cos B =，即1cos 2B =.（2）因为2ADB CBD ∠=∠，又ADB ACB CBD ∠=∠+∠，所以ACB CBD ∠=∠，则BD CD =，所以π4DBC C ∠==，由（1）知，π3B =，则ππ5ππ3412A =--=，π5πππ21212ABD ∠=--=，则1ππ5πππsin sin sin sin sin cos1244124121ππππππsin sin sin sin sin sin tan 212124121212BCDABDBC BD A S CD AD S AB BD C ⋅⋅⋅======⋅⋅⋅ ，又πππtan tan(1243=-=2CD AD ==21．（2024·辽宁·二模）在ABC 中，D 为BC 边上一点，1DC CA ==，且ACD 面积是ABD △面积的2倍．(1)若AB =，求AB的长；(2)求sin sin ADBB∠的取值范围．【答案】(1)1(2)5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出,AB AD 的表达式，最后根据正弦定理求出sin sin ADBB∠的表达式，利用余弦函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1）设BC 边上的高为AE ，垂足为E ，因为ACD 面积是ABD △面积的2倍，所以有113221222ACD ABDCD AES BD BC S BD AE ⋅==⇒=⇒=⋅ ，设AB x AD ==⇒=，由余弦定理可知：222222229111142cos 322211212x x AC BC AB AC DC AD C AC BC AC DC +-+-+-+-==⇒=⋅⋅⨯⨯⨯⨯，解得1x =或=1x -舍去，即1AB =；（2）由（1）可知13,22BD BC ==，设ADC θ∠=，由π2DC CA DAC ADC C θθ=⇒∠=∠=⇒=-且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：AD ==2cos θ==，AB ====，在ABD △中，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以由正弦定理可知：sin sin sin sin AB AD ADB ABADB B B AD∠=⇒=∠1144==，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()22211cos 0,1cos 0,1124255cos cos θθθθ∈⇒∈⇒>⇒+>⇒>，于是有sin 5sin 4ADB B ∠>，因此sin sin ADBB ∠的取值范围为5,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭..22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知π,4cos 24B bC a ==+.(1)求tan C ；(2)若ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.【答案】(1)1tan 2C =.【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tan C .（2）根据三角形ABC 的面积求得ac ，根据同角三角函数的基本关系式求得sin ,cos A A ，利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC 边上的中线长.【详解】（1）由正弦定理可得sin sin c bC B=，所以4sin cos 2sin B C C A =+，即2sin C C A +，又πA B C ++=，所以π2sin 4C C C C C ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，C C =，解得1tan 2C =；（2）依题意，113sin 222ac B ac ==，解得ac =又3π1tan tan tan 341tan CA C C--⎛⎫=-==- ⎪-⎝⎭，所以A 为钝角，所以由22sin 3cos sin cos 1AAA A ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,解得sin A A ==由正弦定理可得sin sin c C a A ===，又ac =所以sin 3,sin c Ba cb C=====设BC 的中点为D ，则()12AD AB AC =+，所以222212cos 5()444b c bc A AD AB AC ++=+===，所以BC23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m ）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，16.5MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上）．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角48.5MDE ∠=︒，楼尖MN 的视角 3.5MDN ∠=︒（N 是楼尖底部，在线段MO 上）．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO．参考数据：sin16.5sin48.52sin325︒︒≈︒，8tan16.527︒≈，8tan48.57︒≈37.4,≈【答案】(1)41.7m ，5m (2)FO 为37．4m【分析】（1）法一：在CDM V 中，由正弦定理得，可得100sin 48.5sin 32CM ︒=︒，进而求得ME ，MO ，进而求得CE ，计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；法二：利用tan ME CE MCE=∠，tan MEDE MDE =∠，可求得ME ，进而计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；（2）设m FO x =，40tan MGE x∠=，35tan NGE x ∠=，进而可得()tan tan MGN MGE NGE ∠=∠-∠403540351x x x x -=+⋅，利用基本不等式可求得楼尖MN 的视角最大时x 的值．【详解】（1）法一：16.5MCE ∠=︒，48.5MDE ∠=︒，∴32DMC ∠=︒．在CDM V 中，由正弦定理得，sin sin CD CDMCM DMC∠=∠，又100m CD =，∴()100sin 18048.5100sin 48.5sin 32sin 32CM ︒-︒︒==︒︒．∴100sin 48.5sin16.5sin 40m sin 32ME CM MCE ︒︒=∠==︒，∴40m 1.7m 41.7m MO ME EO =+=+=．40401358tan tan16.527ME CE MCE ====∠︒（m ）．∴35m DE CE CD =-=．∵45NDE MDE MDN ∠=∠-∠=︒，∴35m NE DE ==，5m MN ME NE =-=．法二：tan ME CE MCE=∠，tan MEDE MDE =∠，∴100tan tan ME MECE DE MCE MDE-=-=∠∠，即27710088ME ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，∴40m ME =，∴40m 1.7m 41.7m MO ME EO =+=+=．40401358tan tan16.527ME CE MCE ====∠︒m ．∴35m DE CE CD =-=．∵45NDE MDE MDN ∠=∠-∠=︒，∴35m NE DE ==，5m MN ME NE =-=．（2）设m FO x =，40tan MGE x∠=，35tan NGE x ∠=，∴()tan tan tan tan 1tan tan MGE NGEMGN MGE NGE MGE NGE∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠40355403540351x x x x x x -==≤=⨯+⋅+当且仅当4035x x⨯=，即37.4x ≈时，等号成立．∴测角仪底到楼底的距离FO 为37．4m 处时，测得楼尖MN 的视角最大．24．（2024·重庆·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．(1)求角A 的大小；(2)若BP PC =，且2b c +=，求AP 的最小值．【答案】(1)π3A =；【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin a B b A =又由2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦知2π2sin cos 2cos 122122B B A a b ⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即πsin cos 6a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6b A b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得π1sin cos sin 62A A A A ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，得1sin 2A A =，所以tan A =又因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由BP PC =，得1122AP AB AC =+ ，所以22221111122442AP AB AC AB AC AB AC⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭ 2222111111cos 442444c b bc A c b bc =++=++()()()22221133442164b c b c bc b c b c ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤=+-≥+-=+=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当2b c b c =⎧⎨+=⎩，即1b c ==时等号成立，故AP25．（2024·山西朔州·一模）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=-- ，且//m n．(1)求B ；(2)求222b a c +的最小值．【答案】(1)π3B =(2)12【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得222a c b ac +-=，结合余弦定理可求B ；（2）利用基本不等式可求最小值.【详解】（1）因为//m n ，所以()()()sin sin sin sin a b A B c A C +-=-，由正弦定理可得()()()a b a b c a c +-=-即222a b ac c -=-，故222a cb ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，而B 为三角形内角，故π3B =.（2）结合（1）可得：2222222221ac b a c ca c c c a a a +==+--++,2211111222c a c a a c c a -≥-=-=+，当且仅当a c =时等号成立，故222b a c+的最小值为12.26．（2024·河南开封·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos sin b A B =．(1)求sin A ；(2)若a =①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求ABC 的面积．条件①：=b ；条件②：b =③ ：1sin 3C =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)sin A =；(2)答案见解析.【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.【详解】（1）由cos sin b A B =得：sin cos sin B A A B =，而sin 0B ≠，则cos 0A A =>，A 为锐角，又22sin cos 1A A +=，解得sin A =所以sin A =且A 为锐角.（2）若选条件①，由sin A =A为锐角，得cos A =由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，又=b ，则222364c c c =+-，解得1,c b ABC ==唯一确定，所以1sin 2ABC S bc A ==.若选条件②，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin 1B =<，由b a =>=B A >，因此角B 有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.若选条件③，由sin A =，A为锐角，得cos A又1sin sin 3A C =>=，得a c >，A C >，则cos C =，因此sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ABC =+=+=唯一确定，由正弦定理得sin sin a cA C=，则1c ==，所以1sin 2ABC S ac B ==△。
高考数学三轮冲刺：三角函数课时提升训练(1)(含答案)
三角函数课时提升训练（1）1、A．B． C． D．2、函数是（）A．周期为π的偶函数 B．周期为2π的偶函数 C．周期为π的奇函数 D．周期为2π的奇函数3、设，则有 ( )A．O>b>c B．O<b<c C．O<c<6 D．6<c<O4、已知的值为 ( )A. B. C. D.5、已知函数f（x）=asinx+acosx（a＜0）的定义域为[0，π]，最大值为4，则a的值为（）﹣6、将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）A. B. C.0D.7、函数（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到的图象，则只要将的图象( )A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8、的值为A. B. C. D.．9、已知函数的最大值为，最小值为，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则符合条件的解析式为A .B.C. D.10、如图为函数（其中）的部分图象，其中两点之间的距离为，那么( )A．B．C．D． 111、若，是第三象限的角，则等于( ) A． B. C.-2 D. 212、设函数，其中为已知实数，，则下列各命题中错误的是…（）．若，则对任意实数恒成立; ．若，则函数为奇函数; ．若，则函数为偶函数; ．当时，若，则13、已知，函数在单调递减，则的取值范围是（）A． B． C．D．14、函数的部分图象如图所示，则函数表达式（）A． B．C． D．15、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是A.①②B.①④ C.②③ D.③④16、若且则的可能取值是（）A. B C. D.17、已知，且在第三象限，则的值为 A.B. C. D.18、设函数f(x)＝sin(w x＋)＋sin(w x－)(w＞0)的最小正周期为π，则A．f(x)在(0, )上单调递增 B．f(x)在(0, )上单调递减 C．f(x)在(0, )上单调递增 D．f(x)在(0, )上单调递减19、已知，，那么的值是（）A． B． C． D．20、已知，，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．21、若直线与函数的图像不相交,则 A.B. C. 或 D. 或22、等于( ) A. B. C. D.23、已知f（x）＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤｜f（）｜对一切x∈R恒成立，且f（）＞0，则f（x）的单调递增区间是 A．[kπ－，kπ＋]（k∈Z） B．[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）C．[kπ，kπ＋]（k∈Z） D．[kπ－，kπ]（k∈Z）24、给出下列命题，其中正确的有（）①存在实数，使得；②若，则是第一象限角或第四象限角；③函数是偶函数；④若是第二象限角，且是终边上异于坐标原点的一点，则．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个25、函数的值域是：(A) (B)(C) (D)26、设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )(A) (B) (C)(D)27、已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（）28、已知函数，则A．函数的周期为 B．函数在区间上单调递增C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称29、设函数为（） A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数30、已知锐角θ的终边上有一点，则锐角θ= A．85° B．65° C．10°D．5°31、有四个关于三角函数的命题：其中真命题的是 A． B． C．D．32、对于函数，则下列说法正确的是A．该函数的值域是 B．当且仅当时，C．当且仅当时，该函数取得最大值1D．该函数是以为最小正周期的周期函数33、若（为常数）的最大值是，最小值是，则的值为（）A．B．或C．D．34、的值为（）A.B. C.D.35、已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）A．B．C．D．36、若函数，则是（）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为2的偶函数 D．最小正周期为的奇函数37、函数y=的图象的一条对称轴为( ) A．B．C ．D．38、设函数，对任意，若，则下列式子成立的是A． B． C．D．39、= （） A．4B．2 C． D．40、已知函数的图象过点，若有4个不同的正数满足，且，则等于（）A．12 B．20 C．12或20 D．无法确定1、B2、D3、C4、A5、D6、B7、B8、C9、A 10、C11、A 12、D【解析】试题分析：由函数，可化简得：，则，，则在中，若，则，即正确; 在中，若，则函数，有是奇函数，即正确; 在中，若，则函数，有是偶函数，即正确;在中，由知不同时为，则函数的最小正周期为，若，则，即错误．13、A 14、D 15、 D 16、A17、A 18、B 19、B 20、C 21、C 22、B 23、B 24、A25、B 26、A 27、Cy=sin的周期，则≤t，∴t≥28、C29、A 30、A 31、B 32、B【解析】由图象知，函数值域为，A错；当且仅当时，该函数取得最大值，C错；最小正周期为，D错．故选B．33、B 34、B 35、B 36、D 37、 C 38、B 39、D 40、C。
高三数学复习专题练习题：解三角形（含答案）
⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。
高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》全集汇编含答案
高考数学《三角函数与解三角形》课后练习一、选择题1．已知ABCV的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x米后，仍组成一个钝角三角形，则x的取值范围是（）A．1 02x<<B．112x<<C．12x<<D．01x<<【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x的取值范围.【详解】将ABCV的三条边的边长均增加x米形成A B C'''V，设A B C'''V的最大角为A'∠，则A'∠所对的边的长为()4x+米，且A'∠为钝角，则cos0A'∠<，所以()()()()()222234234x x xx x xx⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x<<.故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.2．如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x xπ∠=∈，BP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为()y f x=，则函数()f x的图像是（）A．B．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.3．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，5||2MN =，则点M 的横坐标为（ ）A ．12B ．25-C ．1-D ．23-【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56πϕ=，由5||23MN πω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.【详解】由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象，可得(0)2sin 1f ϕ==，56πϕ∴=，5||23MN πω===， ∴函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 得52,0362x k k ππππ+=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3πω=，属于中档题.4．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.5．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A．27B．5C．7D．25【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cosb Cc B=，∴2sin cos sinCcosB C B=，∴tan2tanC B=.又A B Cπ++=，∴()()tan tan tanA B C B Cπ=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan3tan3tan1tan tan12tan2tan1B C B BB C B B+=-=-=---，∴21112tan111tan tan tan3tan tan2tanBA B C B B B-++=++27tan36tanBB=+.又∵在锐角ABC∆中, tan0B>,∴272727tan2tan36tan36tanB BB B+≥⨯=，当且仅当7tan2B=时取等号，∴min11127tan tan tan3A B C⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.6．如图，在等腰直角ABC∆中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近点B），过E作AD的垂线，垂足为F，则AF=u u u v（）A．3155AB AC+u u u v u u u vB．2155AB AC+u u u v u u u vC．481515AB AC+u u u v u u u vD．841515AB AC+u u u v u u u v【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.7．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.8．在OAB ∆中，已知2OB =u u u v ，1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）A ．35B ．25C ．6 D ．6 【答案】A 【解析】 【分析】根据2OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知2OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 22OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A坐标为⎝⎭所以22OA ⎛= ⎝⎭u u u r,)OB =u u ur因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)22OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u ur ,22λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则OP =u u u r=因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得==所以当95λ=时, min5OP ==u u u r故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.9．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数， 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭， 解得02m π<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题10．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.11．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ+∈-++，又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤，由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642ππϕ-<-<，解得526ππϕ<<， 综上223ππϕ<≤. 故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2x k ππ=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈.12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,3,sin a b c a c b A ===cos ,6a B b π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则( )A ．1 BC D 【答案】C 【解析】 【分析】将sin b A = cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭结合正弦定理化简，求得B ，再由余弦定理即可求得b ． 【详解】因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫+⎪⎝⎭，展开得sin b A =1?cos sin 2B a B -，由正弦定理化简得sin sinB A =1?cos sin 2B sinA B -= cos B即3tanB =，而三角形中0<B<π，所以π 6B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入(2223236b π=+-⨯⨯解得b =所以选C 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．13．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a bA B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ， ∴C=π6， 故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.15．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】1,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===cos 2A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.16．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.17．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πω<）的最小正周期为π，且其图象向左平移3π个单位后，得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(,0)12π对称D ．关于点5(,0)12π对称 【答案】C 【解析】试题分析：依题意()()2,sin 2f x x ωϕ==+，平移后为2sin 2cos 2,36x x ππϕϕ⎛⎫++==- ⎪⎝⎭，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.考点：三角函数图象与性质.18．4cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分.【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D . 【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。
解三角形专题(高考题)练习【附答案】
解三角形专题（高考题）练习1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→→•=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A =，cos B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长ＡＢ Ｃ120°θ边的边长为l.求：（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ∆=. （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+3π)的值. 12、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。
2020高考数学 三轮冲刺 解答题专练--解三角形 一(10题含答案)
2020高考数学三轮冲刺解答题专练--解三角形一1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acos C=(2b－3c)cos A.(1)求角A的大小；(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．2.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2sin B,2-cos 2B),n=(2sin2(+),-1),m⊥n, a=,b=1.(1)求角B的大小;(2)求c的值.3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的值；(2)若的面积为，△ABC的周长为，求边长a.4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，sinB=2sinA．（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求△ABC的面积．5.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量与平行.（1）求角A；（2）若，求的面积.6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=sinAcosB．（1）求cosB的值；（2）若a+c=1，求b的取值范围．7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）如果，求b的值及△ABC的面积．8.在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c，且．（1）求角A的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．9.已知为锐角的内角，，，.（1），，能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求的最小值.10.△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为，已知. （1）求的值；（2）若角是钝角，且，求的取值范围.答案解析1.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C=2sin Bcos A －3sin Ccos A ， 从而可得 3sin(A ＋C)=2sin Bcos A ， 即3sin B=2sin Bcos A. 又B 为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A=32，又A 为三角形的内角，所以A=π6.(2)由余弦定理可得，a 2=b 2＋c 2－2bccos A 得4=b 2＋c 2－2bc·32≥2bc－3bc ， 所以bc≤4(2＋3)．所以S=12bcsin A≤2＋ 3.故当a=2时，△ABC 面积的最大值为2＋ 3.2.解:(1)根据已知,有m ·n=0,则4sin Bsin 2(+)+cos 2B-2=0,则2sin B[1-cos(+B)]+cos 2B-2=0,所以sin B=,又B ∈(0,π),则B=或,又a>b, 所以B=.(2)由余弦定理:b 2=a 2+c 2-2accos B,故有1=3+c 2-3c,解得c=2或c=1. 3.4.5.（1） (2)6.解：7.（Ⅰ）; （Ⅱ）.8.9.10.。
高考数学三轮冲刺解三角形课时提升训练(1).docx
解三角形课时提升训练（1）1、已知三个内角A，B，C所对的边，若且的面积，则三角形的形状是（）A、等腰三角形B、等边三角形C、等腰直角三角形D、有一个为的等腰三角形2、在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是（）A．B．C．D．3、在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ΔABC的形状是( ) A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形4、若，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．5、在ABC中，，，面积为，则的值为（）A．1 B．2 C．D．6、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则△ABC是（）A.正三角形B.等腰三角形 C .直角三角形 D.等腰直角三角形7、8、在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形9、、的内角所对的边分别为且则（）A．B．C． D．10、给出以下命题①若则；②已知直线与函数，的图象分别交于两点，则的最大值为；③若是△的两内角，如果，则；④若是锐角△的两内角，则。
其中正确的有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 411、已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且等于A. B. C. D.12、已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（）.A. B. C.D.13、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或14、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（） A．B． C．D．16、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（） A．B． C． D．17、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1B．2 C．3 D．418、在∆ABC中, “sin A>cos B”是“A+B>”成立的( )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件19、9. 在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.20、的内角满足条件：且，则角的取值范围是（）A、 B、C、 D、21、已知的外接圆半径和的面积都等于1，则=（）.A． B． C． D．22、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形23、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( )（） A． B． C． D．24、△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C－sinBsinC,则A的取值范围是A. B. C.D.25、在中，，若点为的内心，则的值为（）A．2 B． C．3 D．26、已知的三个内角满足：，则的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形27、四个分别满足下列条件（1）；（2）；（3），；（4）则其中是锐角三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个28、在中，角A,B,C,所对的边分别为a, b, c.若，则（）(A)- (B) (C) -1 (D) 129、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin2 B＋sin2 C－sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A 的值是(A) (B) － (C) (D) －30、已知非零向量满足，且，则的形状为【】.A.等腰非等边三角形B.等边三角形C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形31、设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为（）A． B． C． D．32、在中，若，则A的取值范围是（）A．B． C． D．33、在中，角的对边分别为，则且，则等于（）（A）（B）（C）4 （D）34、在△ABC中，，若三角形有解，则的取值范围是（）A． B． C．D．35、在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是（） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D ．等腰直角三角形36、在锐角三角形中，，则的取值范围是（）A． B． C． D．37、中，角所对的边，，则（）A．- B． C． -1 D．138、在中，若对任意，有，则一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定39、在△ABC中，角A、 B、 C所对的边分别为若，则-的取值范围是（）A． B． C． D．40、已知向量,的夹角为60°，||=||=2，若=2+,则△ABC为A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形1、由知中的平分线垂直边BC，所以，再由，2、B3、．B4、B5、B6、A7、C8、解：∵在△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAccosB+cosAsinB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，∴在△ABC中，A为直角．∴△ABC为直角三角形．故选D．9、B 10、D11、【答案】C由得，即,所以，又，所以，即,所以,即,选C.12、D13、D 14、 15、B 16、 A 17、B 18、A 19、9. C 由题意知，∴，∴，又、不共线，∴，∴20、C 21、B 22、A 23、 D 24、C 25、D 26、B 27、Ｂ 28、Ｄ 29、D 30、A 31、A 32、C 33、A34、B 35、C 36、A 37、D 38、A 39、C 40、C。
解三角形(提升)练习题(含答案)
---解三角形练习（提升）（含答案）一、选择题1、在△ ABC 中， a, b, c 分别是内角 A , B , C 所对的边，若 c cos Ab ， 则△ ABC 形状为 CA. 一定是锐角三角形B . 一定是钝角三角形C . 一定是直角三角形D . 可能是锐角三角形 , 也可能是钝角三角形2、在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 、c,若 (a 2+c 2-b 2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为（ D ）A.B.C.或5D.或26366333、在 △ ABC 中， AB3 ， A45 ， C75 ，则 BC（Ａ）Ａ． 3 3 Ｂ． 2Ｃ． 2Ｄ． 3 34、在ABC 中， A 600，且最大边长和最小边长是方程x27x11 0 的两个根，则第三边的长为（C ）A ． 2B ． 3C ．4D ． 5 5、在 △ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是DA 、 b 10, A 45 , C 70B 、 a 60,c 48,B 60C 、 a7,b5, A80D 、 a14,b16, A 456、长为 5、7、 8 的三角形的最大角与最小角之和为 ( B)A 90°B120 °C135 °D150 °二、填空题：7、如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点， 且 ABAD,2AB 3BD, BC 2BD ，则 sin C 的值为 ___________。
668、 如图，△ ABC 中， AB=AC=2 ， BC= 2 3 ，点 D 在 BC 边上，∠ ADC=45° ，则 AD 的长度等于 ______。
解析：在△ ABC中， AB=AC=2 ，BC= 2 3 中，ACBABC30 ，而∠ ADC=45° ，ACAD, AD 2 ,答案应填 2 。
sin 45 sin 30、在 △ ABC 中，若 tan A 1 ， C 150 ， BC1，则 AB.9 31---答案10210、在锐角△ ABC 中， BC ＝ 1， B ＝ 2A ，AC 的值等于 ________，AC 的取值范围为 ________． 则cos A解析：由正弦定理BC ＝ AC ，则 AC＝sin A sin B cos A由 A ＋ B ＋ C ＝π得 3A ＋ C ＝ π，即 BCsin B ＝ 2BCsin B ＝ 2.sin Acos Asin 2A C ＝ π－ 3A.π0< A<2由已知条件：0<2A< π，解得 π π26<A<4 .由 AC ＝ 2cos A 知 2<AC< 3.π0< π－3A<2答案： 2 ( 2， 3)三、解答题：11、 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 对边的边长分别是 a ， b ， c ，已知 c2 ， C ．3（Ⅰ）若 △ ABC 的面积等于 3 ，求 a ， b ；（Ⅱ）若 sin B2sin A ，求 △ ABC 的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理得， a 2b2ab 4 ，又因为 △ ABC 的面积等于3 ，所以 1ab sin C3 ，得 ab4 ．2联立方程组a 2b2 ab，2 ， b2 ．4 解得 aab，4（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为b 2a ，a 2b 2 ab ，2 34 3联立方程组4解得 a b，， b3．32a所以 △ ABC 的面积 S1ab sin C2 3 ．2312、在 ABC 中，若cos BbcosC2a c（ 1）求角 B 的大小（ 2）若 b 13 ， a c 4 ，求ABC 的面积a 2c 2 b 2b解：（ 1）由余弦定理得2ac化简得： a 2c 2b 2aca2b 2c 2 2a c2ab2---∴ cosBa2c2b2ac 1∴ B ＝ 120 °2ac2ac2（2） b2a2c22ac cos B∴ 13(a c)22ac 2ac ( 1)2∴ac ＝ 31 3 3∴ SABCac sin B4213、某市电力部门某项重建工程中，需要在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量 A 、 B 两地距离 . 现测量人员在相距3 km 的 C 、 D 两地（假设 A 、 B 、C 、D 在同一平面上） ，测得∠ ACB 75， BCD45 ， ADC30 ， ADB 45（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的4倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？3AACD 中，由已知可得，CAD30解：在B所以， AC3km ⋯⋯⋯7545在 BCD 中，由已知可得，CBD 6045C30Dsin 75sin(4530 )624由正弦定理， BC3sin 75 62sin 602cos75cos(4530 ) 624在 ABC 中，由余弦定理AB2AC2BC2AC BC cos BCA2(62 )22 362 cos755 322所 以， AB5施工 单位应 该准 备电线 长4 5 . 答 ：施 工单 位应该 准备 电线长34km .5 33。
高考数学三轮冲刺大题提分三角函数与解三角形理
大题精做1 三角函数与解三角形1.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ． （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，ABC △a ． 【答案】（1）π3A =；（2）13a =． 【解析】（1）由⊥m n ，可得0⋅=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+， 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+，∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =， ∵0πA <<，∴π3A =．（2）由ABC S =△1sin 2ABC S bc A =△4bc =，又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴a =2．如图，在ABC △中，π4A ∠=，4AB =，BC D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（1）求BD 的长； （2）求BCD △的面积．3．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=． （1）求B ；（2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积．4．已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．1．【答案】（1）3；（2）【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3ADB ∠=-，∴sin ADB ∠，由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=，∴()1cos cos πcos 3CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=．∴()sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠=，sin CDB ∠ 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， 得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）．∴BCD △的面积11sin 34223S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=． 2．【答案】（1）2π3B =；（2）ABC S =△【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=，∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ∵()sin sin A B C +=．∴1cos 2B =-，∵0πB <<，∴2π3B =．（2）由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，229a c ac ++=，∴()29a c ac +-=，∵3a b c ++=+3b =，∴a c +=3ac =， ∴11sin 322ABC S ac B ==⨯=△． 3．【答案】（1）函数最小正周期为π，单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）ABC S △【解析】（1）()22πcos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭，2ππ2T ==，即函数最小正周期为π， 由πππ2π22π262k x k -≤+≤+得ππππ36k x k -≤≤+， 故所求单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）由()1f C =，得π2sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ22π66C k +=+或π5π22π66C k +=+，∴πC k =或ππ3C k =+， ∵()0,πC ∈，∴π3C =， 又∵()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=， ∴2sin cos 2sin2B A A =，即sin cos 2sin cos B A A A =，①当cos 0A =时，即π2A =，则由π3C =，2c =，可得ABC S =△，②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，则由2221cos 22a b c C ab +-==，解得a ，b∴1sin 2ABC S ab C ==△综上：ABC S =△。
高中数学专项训练(解三角形提升版)(含详细解答)
高中数学专项训练（解三角形提升版）（含详细解答）1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sin B⋅sin C=sin2A，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形2.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于()A. 1：1：√3B. 2：2：√3C. 1：1：2D. 1：1：43.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2√2，cosA=34，sinB=2sinC，则△ABC的面积是()A. √7B. √74C. 165D. 854.在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=√3，则csin C=()A. 8√381B. 2√393C. 26√33D. 2√75.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为()A. 5√22B. 5C. 5√2D. 6√26.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.asinBcosC+csinBcosA=12b 且a>b，则∠B=()A. 5π6B. π3C. 2π3D. π67.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3√2，则AC=()A. 4√3B. 2√3C. √3D. √328.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5,B=π3,cosA=1114，则△ABC的面积S=()A. 10√33B. 10C. 10√3D. 20√39.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2√2，且C=π4，则△ABC的面积为______．10.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______．11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=√3bc，sinC=2√3sinB，则A=______．12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c=2b，则角B的取值范围为______．13.在△ABC中，a=√3，b=1，∠A=π3，则cosB=________．14.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a+b+c)(a−b+c)=ac，则B=______．15.△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且√2c−a =sinAsinB+sinC，则角B=______ ．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B+bcos A)=c．(1)求角C的大小；(2)若c=√7，△ABC的面积为3√32，求△ABC的周长．17.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．18.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(2a+b)sinA+(2b+a)sinB=2csinC．(Ⅰ)求C的大小；(Ⅱ)若c=√3，求△ABC周长的最大值．19.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.设S为△ABC的面积，满足S=√34(a2+c2−b2)．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=√3，求(√3−1)a+2c的最大值．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，S=√3，求b+c的值．221.在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．(1)求角A的大小；(2)若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a2=2bcsin(B+C)．(1)求角A的大小；(2)若a=2,B=π，求△ABC的面积．323.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=√3bcosC，a2−c2=2b2(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积为21√3，求b的值．24.已知a⃗=(sinx,−cosx)，b⃗⃗=(√3cosx,−cosx)，f(x)=2a⃗⋅b⃗⃗．(1)求f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f(A)=2，b=1，△ABC的面积为√32，求a的值．25.如图，在△ABC中，AB=2，cosB=13，点D在线段BC上．(1)若∠ADC=34π，求AD的长；(2)若BD=2DC，△ADC的面积为43√2，求sin∠BADsin∠CAD的值．26.如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，sinB=3√68．(1)求sin∠BAD的值；(2)求cos∠ADC及△ABC外接圆的面积．27.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB−2cosAcosC =2a−bc(Ⅰ)若b=2，求a的值；(Ⅱ)若角A是钝角，且c=3，求b的取值范围．28.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB=0．(1)求角A的大小；(2)已知b+c=2+√2，△ABC的面积为1，求边a．29.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c.已知c2=a2+b2−4bccosC，且A−C=π2．(Ⅰ)求cos C的值；(Ⅱ)求cos(B+π3)的值．30.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．①求函数f(x)的最小正周期；②在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f(C)=2，a+b=4，求△ABC的最大面积．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理、等边三角形的判定方法，属于中档题．b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=12，可得A=π3.由sin B⋅sinC=sin2A，利用正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．∵sin B⋅sinC=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴(b−c)2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选C．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题．利用三角形内角和公式求得三个内角的值，再利用正弦定理求得a：b：c的值．【解答】解：△ABC中，A：B：C=1：1：4，设A=x，B=x，C=4x，则，解得，则，，则a：b：：1：√3，故选A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正弦定理，余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形的面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由于sinB=2sinC，利用正弦定理可得：b=2c.再利用余弦定理可解得c，b，根据三角形面积公式即可得出．【解答】解：∵a=2√2，cosA=34，sinB=2sinC，可得：b=2c.sinA=√1−cos2A=√74，∴由a2=b2+c2−2bccosA，可得：8=4c2+c2−3c2，解得c=2，b=4．∴S△ABC=12bcsinA=12×2×4×√74=√7．故选A．4.【答案】B【解析】【分析】由三角形的面积公式求出c的值，再由余弦定理求出a的值，由正弦定理求出csinC的值．本题考查了三角形的面积公式以及余弦、正弦定理的应用问题，是基础题．【解答】解：△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=√3，∴12bcsinA=12×1×c×sin60°=√3，解得c=4；∴a2=b2+c2−2bccosA=12+42−2×1×4×cos60°=13，∴a=√13；∴csin C =asin A=√13√32=2√393．故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查正弦定理余弦定理及三角形面积公式．利用三角形面积公式列出关系式，将a，sin B以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，∴12acsinB=2，即c=4√2，∴由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=1+32−8=25，即b=5，则由正弦定理得2R=bsinB=5√2．故选C．6.【答案】D【解析】解：由asinA =csinC=bsinB=2R，可把asinBcosC+csinBcosA=12b化为sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=12⇒sin(A+C)=12，即sinB=12，∵a>b，∴B为锐角．∴B=π6故选：D．可把asinBcosC+csinBcosA=12b化为sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB得sinAcosC+sinCcosA=12⇒sin(A+C)=12，即sinB=12，即可求解．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．结合已知，根据正弦定理，BCsinA =ACsinB可求AC．【解答】解：根据正弦定理，BCsinA =ACsinB，则AC=BC⋅sinBsinA =3√2×√22√32=2√3，故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式，以及运算能力，属于中档题．求得sin A，再由正弦定理可得b，运用两角和的正弦公式可得sin C，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．【解答】解：若a=5,B=π3,cosA=1114，可得sinA=√1−cos2A=5√314，由正弦定理可得b=asinBsinA =5×√325√314=7，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=5√314×12+1114×√32=4√37，则△ABC的面积为S=12absinC=12×5×7×4√37=10√3．故选C．9.【答案】√3+1【解析】【分析】本题考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．由已知利用正弦定理可求sin B，结合B的范围，利用特殊角的三角函数值可求B，利用三角形内角和定理可求A，利用两角和的正弦公式可求出sinA=sin(B+C)，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由正弦定理得bsinB =csinC⇒sinB=bsinCc =12，又c>b，且B∈(0,π)，所以B=π6，所以A=7π12，∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=12×√22+√32×√22=√6+√24，所以S=12bcsinA=12×2×2√2×√6+√24=√3+1．故答案为√3+1．10.【答案】3√74【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知及正弦定理可求bsinCa =3√72，又b=4a，可求sin C，利用同角三角函数基本关系式可求cos C，利用余弦定理解得a，b，c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由正弦定理及sinBsinCsinA =3√72，得bsinCa =3√72，又b=4a，∴sinC=3√78，∵△ABC为锐角三角形，∴cosC=18，∴由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab =a2+(4a)2−(5−a)22a×4a=18．解得a=1，b=4，c=4，∴S△ABC=12absinC=12×1×4×3√78=3√74．故答案为3√74．11.【答案】30°【解析】【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．已知sinC=2√3sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2√3sinB利用正弦定理化简得：c=2√3b，代入得a2−b2=√3bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =22243b2=√32，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为30°12.【答案】(0,π3]【解析】【分析】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：cosB=a2+c2−b22ac =a2+c2−(a+c2)22ac=3a2+3c2−2ac8ac ≥6ac−2ac8ac=12，当且仅当a=c=b，即△ABC为等边三角形时，cosB=12．又∵0<B<π，∴B∈(0,π3]．故答案为：(0,π3]．13.【答案】√32【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可求sin B，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值．【解答】解：∵a=√3，b=1，∠A=π3，∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa =1×√32√3=12，∵b<a，∴B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=√32．故答案为√32．14.【答案】2π3【解析】【分析】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．由条件利用余弦定理求得cos B的值，可得B的值．【解答】解：∵(a+b+c)(a−b+c)=ac，即a2+c2−b2=−ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =−12，∴B=2π3，故答案为：2π3．15.【答案】π4【解析】【分析】本题考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，根据正弦定理得c2−b2+a2=√2ac，又由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =√22，即可求出角B．【解答】解：由正弦定理可得√2c−a =sinAsinB+sinC=ab+c，∴c2−b2=√2ac−a2，∴c2−b2+a2=√2ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =√22，∵0<B<π，∴B=π4，故答案π4．16.【答案】解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，整理得：2cosCsin(A+B)=sinC，∵sinC≠0，sin(A+B)=sinC，∴cosC=12，又0<C<π，∴C=π3；(2)由余弦定理得7=a2+b2−2ab·12，∴(a+b)2−3ab=7，∵S=12absinC=√34ab=3√32，∴ab=6，∴(a+b)2−18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+√7．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0求出cos C的值，即可确定出C的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．17.【答案】解：(1)∵(b−c)2=a2−bc，可得：b2+c2−a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，又∵A∈(0,π)，∴A=π3；(2)由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，∵a=3，A=π3，∴由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=3b2，∴解得：b=√3，c=2√3，∴S△ABC=12 bcsinA=12×√3×2√3×√32=3√32．【解析】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式，属于中档题．(1)由已知等式可得b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A∈(0,π)，即可求得A的值；(2)由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=π3，由余弦定理可解得b，c 的值，利用三角形面积公式即可得解．18.【答案】解：(Ⅰ)∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(2a+b)sinA+(2b+a)sinB=2csinC，∴由正弦定理得a(2a+b)+b(2b+a)=2c2，即a2+b2−c2=−ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =−12，由0<C<π，∴C=2π3；(Ⅱ)∵c=√3，∴asinA =bsinB=√3√32=2，∴a=2sinA，b=2sinB．设周长为l，则l=a+b+c=2sinA+2sinB+√3=2sinA+2sin(π3−A)+√3=2sin(A+π3)+√3，∵0<A<π3，π3<A+π3<2π3，，∴2√3<2sin(A+π3)+√3≤2+√3，当，即时，取得最大值2+√3，∴△ABC周长的最大值为2+√3．【解析】本题考查三角形周长的最大值的求法，考查余弦定理、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想，是中档题．(Ⅰ)由正弦定理得到a2+b2−c2=−ab，由此利用余弦定理能求出C=2π3；(Ⅱ)由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB.由此求出周长l=2sin(A+π3)+√3，由此能求出△ABC周长的最大值．19.【答案】解：(Ⅰ)∵S=12acsinB，cosB=a2+c2−b22ac，即a2+c2−b2=2accosB，∴由S=√34(a2+c2−b2)变形得：12acsinB=√34×2accosB，整理得：tanB=√3，又∵0<B<π∴B=π3；(Ⅱ)∵A+B+C=π，∴0<A<2π3，由正弦定理知a=bsinAsinB =√3sinAsinπ3=2sinA，c=bsinCsinB =2sin(2π3−A)，∴(√3−1)a+2c=2(√3−1)sinA+4sin(2π3−A)=2√3sinA+2√3cosA=2√6sin(A+π4)≤2√6，当且仅当A=π4时取最大值，故(√3−1)a+2c的最大值为2√6．【解析】本题考查三角形面积公式正弦定理、余弦定理和三角函数的化简，正弦函数的图象和性质，属于中档题．(Ⅰ)利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cos B，代入已知等式求出tan B 的值，即可求出B；(Ⅱ)先求出A的范围，再根据正弦定理表示出a，c，根据两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质即可求出最大值．20.【答案】解：(1)asinB=√3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=√3sinBcosA，∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴tanA=√3，又A是三角形内角，∴A=π3．(2)∵S=12bcsinA=√32，∴bc=2，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得3=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−6，∴b+c=3．【解析】本题考查正弦定理以及余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．(1)利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．(2)由三角形的面积公式求出bc=2，再根据余弦定理即可求出b+c的值．21.【答案】解：(1)因为2cos2A+3=4cosA，所以4cos2A+1=4cosA，所以4cos2A−4cosA+1=0，所以cosA=12，又因为0<A<π，所以A=π3．(2)由正弦定理得，asinA =bsinB=csinC，又A=π3，a=2，所以b=√3sinB,c=√3sinC，所以l=2+b+c=2+4√3(sinB+sinC)，因为B+C=2π3，所以l=2+√3[sinB+sin(2π3−B)]=2+4sin(B+π6)，又因为0<B<2π3，，当时，sin(B+π6)=12，当时，sin(B+π6)=1，所以12<sin(B+π6)≤1，所以l∈(4,6]．【解析】本题考查了二倍角公式，正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由2cos2A+3=4cosA，利用二倍角公式可得4cos2A+1=4cosA，化简解出即可．(2)利用正弦定理将周长表示为B的三角函数，结合三角函数的图象和性质即可求出范围．22.【答案】解：(1)∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，∴b2+c2−a2=2bcsinA，∴b2+c2−a22bc=sinA，由余弦定理得cosA=sinA，可得tanA=1，又∵A∈(0,π)，∴A=π4．(2)根据正弦定理得b=asinA⋅sinB=√6，又sinC=sin(A+B)=sin(π4+π3)=√6+√24，∴S△ABC=12ab sin C=12×2√6⋅√6+√24=3+√32．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用余弦定理即可得出；(2)根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出．23.【答案】解：(Ⅰ)∵由已知及正弦定理可得，sinCsinB=√3sinBcosC，∵sinB≠0，∴tanC=√3，因为，∴C=π3.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，cosC=a2+b2−c22ab =12，∴a2+b2−c2=ab，又∵a2−c2=2b2，∴a=3b，∴由题意可知，S△ABC=12absinC=3√34b2=21√3，∴b2=28，可得：b=2√7．【解析】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)由已知及正弦定理可得，sinCsinB =√3sinBcosC ，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC =√3，即可得角C 的值．(Ⅱ) 由(Ⅰ)利用余弦定理可求a 2+b 2−c 2=ab ，又a 2−c 2=2b 2，可得a =3b ，利用三角形面积公式即可解得b 的值．24.【答案】解：(1)f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1；(2)∵f(A)=2sin(2A +π6)+1=2， ∴sin (2A +π6)=12，∵A ∈(0,π)，∴2A +π6∈(π6,13π6)，∴2A +π6=5π6，∴A =π3． ∴S △ABC =12bcsinA =12×1×c ×√32=√32， ∴c =2，由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =3， ∴a =√3．【解析】本题考查平面向量的数量积及三角函数恒等变换，余弦定理解三角形及面积公式的应用，属于中档题．(1)根据平面向量的数量积公式和三角恒等变换化简即可；(2)根据f(A)=2计算A ，根据面积计算c ，再利用余弦定理求出a ．25.【答案】解：(1)在三角形中，∵cosB =13，∴sinB =2√23， 在△ABD 中，由正弦定理得ABsin ∠ADB=AD sinB，又AB =2，∠ADB =π4，sinB =2√23． ∴AD =83．(2)∵BD =2DC ，∴S △ABD =2S △ADC ，S △ABC =3S △ADC ， 又S △ADC =43√2，∴S △ABC =4√2，∵S △ABC =12⋅AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC ，∴BC =6，∵S △ABD =12AB ⋅AD ⋅sin ∠BAD ，S △ADC =12AC ⋅AD ⋅sin∠CAD ， S △ABD =2S △ADC ，∴sin ∠BADsin ∠CAD =2⋅ACAB ，在△ABC 中，由余弦定理得：AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC ，∴AC =4√2，∴sin ∠BAD sin∠CAD =2⋅AC AB =4√2.【解析】本题考查正、余弦定理的应用，考查三角形面积公式，属于中档题．(1)求出sinB =2√23，由正弦定理得AB sin∠ADB =ADsinB ，由此能求出AD ．(2)推导出S △ABD =2S △ADC ，S △ABC =3S △ADC ，S △ABC =4√2，BC =6，从而得到sin ∠BAD sin∠CAD =2⋅ACAB ，由此利用余弦定理能求出sin∠BAD sin ∠CAD的值．26.【答案】解：(1)在△ABD 中，BD =2，sinB =3√68，AD =3， ∴由正弦定理，得sin ∠BAD =BD sin B AD=√64； (2)由图可知cosB >0，cos ∠BAD >0， ∵sinB =3√68，∴cosB =√108， ∵sin ∠BAD =√64，∴cos ∠BAD =√104， ∴cos ∠ADC =cos (B +∠BAD)=√108×√104−3√68×√64=−14，∵D 为BC 的中点，∴DC =BD =2， ∴在△ACD 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DCcos∠ADC =9+4+3=16， ∴AC =4．设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2R =ACsin B =3√68，∴R =8√69， ∴△ABC 外接圆的面积S =π⋅(8√69)2=128π27．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和与差的三角函数公式，熟练掌握定理是解答本题的关键，属于中档题．(1)在△ABD 中，由正弦定理即可解得sin ∠BAD 的值；(2)根据同角三角函数的基本关系求得cos B ，cos ∠BAD ，进而利用两角和的余弦函数公式可求cos ∠ADC ，在△ACD 中，利用余弦定理即可求得AC 的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，即可求得外接圆的面积．27.【答案】解：(Ⅰ)由题意及正弦定理，得cosB−2cosAcosC=2sinA−sinBsinC，即sinCcosB −2sinCcosA =2sinAcosC −sinBcosC ， 则sinCcosB +sinBcosC =2(sinCcosA +sinAcosC)， ∴sin (B +C)=2sin(A +C)． ∵△ABC 中，A +B +C =π， ∴sinA =2sinB ，故a =2b ． 由b =2，得a =4．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，a =2b ，由余弦定理可得： cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+9−4b 26b=9−3b 26b<0，则b >√3．在△ABC 中，b +c >a ，即b +3>2b ，则b <3． ∴b 的取值范围为(√3,3).【解析】本题考查三角形的解法，考查余弦定理及正弦定理在解三角形中的应用，是中档题．(Ⅰ)把已知等式利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦可得sin (B +C)=2sin(A +C)，进一步得到sinA =2sinB ，可得a =2b.则答案可求；(Ⅱ)利用余弦定理结合a =2b 可得b >√3.再由两边之和大于第三边可得b <3． 28.【答案】解：(1)∵bcosA +asinB =0， ∴由正弦定理得：sinBcosA +sinAsinB =0， ∵0<B <π，∴sinB ≠0，∴cosA +sinA =0， ∵A ≠π2，∴tanA =−1，又0<A <π， ∴A =3π4，(2)方法1：∵A =3π4，S △ABC =1，∴12bcsinA =1， 即：bc =2√2，又b +c =2+√2， 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2+√2bc ， =(b +c)2−(2−√2)bc =10， 故：a =√10， 方法2：∵A =3π4，S △ABC =1，∴12bcsinA =1， 即：bc =2√2…①，又b +c =2+√2…②，由①②解得：{b =2c =√2或{b =√2c =2， 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =10，故：a =√10．【解析】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力． (1)利用余弦定理以及正弦定理，转化求解即可．(2)方法1：通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．方法2：利用三角形的面积以及知b +c =2+√2，求出b ，c ，然后利用余弦定理求解a 即可．29.【答案】解：(Ⅰ)△ABC 中，c 2=a 2+b 2−4bccosC ， 由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC ， ∴a =2c ，由正弦定理得sinA =2sinC ； 又A −C =π2，∴sinA =sin (C +π2)=cosC ， ∴cosC =2sinC >0；又sin 2C +cos 2C =1， ∴14cos 2C +cos 2C =1， 解得cosC =2√55； (Ⅱ)由cosC =2√55，得sinC =√55，∴sin2C =2sinCcosC =2×√55×2√55=45，cos2C =2cos 2C −1=2×(2√55)2−1=35；∴cos (B +π3)=cos [π−(A +C)+π3]=cos (5π6−2C) =cos 5π6cos2C +sin 5π6sin2C =−√32×35+12×45=4−3√310．【解析】(Ⅰ)由正弦、余弦定理，利用同角的三角函数关系，即可求出cos C 的值； (Ⅱ)根据同角的三角函数关系，利用三角恒等变换即可求出cos (B +π3)的值． 本题考查了正弦、余弦定理，同角的三角函数关系以及三角恒等变换的应用问题，是基础题．30.【答案】解：①由已知f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx =cos2x +1+√3sin2x =2sin(2x +π6)+1， ∴T =2π2=π ；②由①知f(C)=2sin(2C +π6)+1=2， 即sin (2C +π6)=12， 又0<C <π， ∴π6<2C +π6<13π6，∴2C +π6=5π6，∴C =π3，∴S =12absinC =√34ab ≤√34(a+b 2)2=√3，当且仅当a =b 时等号成立，所以S max =√3 ．【解析】本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，由三角函数值求角，基本不等式在函数最值求解中的应用，属于中档题．①利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简可得，f(x)=2sin(2x+π6)+1，利用周期公式T=2πω可求；②由①知f(C)=2sin(2C+π6)+1=2，即sin(2C+π6)=12，又0<C<π可求C=13π，代入三角形的面积公式S=12absinC=√34ab≤√34(a+b2)2可求面积的最大值．第21页，共21页。
(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形的应用(含解析)
例1(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形的应用（含解析）【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何运算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的明白得，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ． 2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离动身点恰好3km ，那么x 的值为_______________ km ．3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B ，行驶4h 后，船到达C 处，看到那个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．4第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离2d 之间的大小关系为_______________．5．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观看所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标显现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC 解：在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 60sin 45a BC=︒︒∴63BC =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠∴5233AC a +=答：线段AC 的长为5233a +． 【范例解析】例1.如图，测量河对岸的塔高AB 时，能够选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 分析：构造三角形，依照正弦定理或余弦定明白得决问题． 解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．A BCD第5题23或3 3400302 21d d <1A2A120 105例2（1）由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 因此sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．答：塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ+·．点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解． 例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船 位于甲船的北偏西105方向的1B 处，现在两船相距20海里， 当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，现在两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读明白题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(2)，连结12A B ，由已知22A B =122060A A ==，1222A A AB ∴=， 又12218012060A A B =-=∠，122A AB ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111211122cos 45B B A B A B A B AB =+-2220220=+-⨯⨯200=． 12B B ∴=60=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里．1A2A120 105例2（2）1A2A120 5乙例2（3）解法二：如图（3），连结21A B ， 由已知1120A B =，122060A A ==，112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos 60sin 45sin 60=-=，sin105sin(4560)=+sin 45cos 60cos 45sin 60=+=在211A A B △中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯100(4=+．2110(1A B ∴=+．由正弦定理1112111221202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin1054+==在122B A B △中，由已知22A B =22212212221222cos15B B A BA B A B AB =+-22210(1210(1=+-⨯+⨯200=．12B B ∴=60=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但运算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．例3.在某海边都市邻近海面有一台风，据监测，当前台风 中心位于都市O （如图）的东偏南θ（cos θ=）方向 300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北︒45东O方向移动，台风侵袭的范畴为圆形区域，当前半径为60km ， 并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该都市开始 受到台风的侵袭？分析：解决本题的关键是读明白题目，弄清题目条件， 设出时刻，找出三角形，恰当选取正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(1)，设通过t 小时后台风中心为Q ，现在台风 侵袭的圆形区域半径为1060t +()km ．若在t 时刻都市O 受到台风的侵袭，则1060OQ t ≤+． 在OPQ △中，由余弦定理得：2222cos OQPQ PO PQ PO OPQ =+-⋅⋅∠．又300PO =，20PQ t =，cos cos(45)OPQ θ∠=-︒， 故22400960090000OQt t =-+．因此，22400960090000(1060)tt t -+≤+，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤．答：12小时后该都市开始受到台风的侵袭.解法二：如图（2）建立坐标系以O 为原点，正东方向为x在时刻t 时台风中心Q （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 现在台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻都市O 则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该都市开始受到台风的侵袭.点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个要紧特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解. 【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m 45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒m ．东O例3（2）2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长____1___km ． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看__________海里．4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边____________cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时刻t （时）的函数，其中240≤≤t.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时刻t 与水深y 的关系：经长期观看，函数)(t f y =的图象能够近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）． 假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于．7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时刻t 的函数，sin AI t ω=，sin(120)B I t ω=+︒，sin(240)C I t ω=+︒，则A B C I I I ++= 0 ．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针平均地绕点O 旋转，当时刻0t=时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ，其中[0,60]t ∈．9．如图，某人在高出海面600m 的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为30︒，航标B在南偏东60︒，俯角为45︒，则这两个航标间的距离为___600___m ．PCB A45︒30︒第9题725 10sin 60tπ第6题10．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选相距3km的C、D两点，并测得75ACB∠=︒，45BCD∠=︒，30ADC∠=︒，30ADB∠=︒（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B 之间的距离．解：在ACD中，CD=，120ACD∠=︒，30ADC∠=︒得AC=3AD=．在BCD中，45BCD∠=︒，CD=，60BDC∠=︒，由正弦定理sin45BD=︒得：3BD=-在ABC中，由余弦定理229(323(3cos30AB=+-⨯⨯⨯︒，解得AB=．答：两目标A，B km．11．在海岸A处，发觉北偏东45︒方向，距离A处1)海里的B处有一走私船，在A处北偏西75︒方向，距离A处2海里C处的缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，现在，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30︒方向逃跑，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私艇用t小时在D处追上走私船，则有CD=，10BD t=，在ABC中，1AB=-，2AC=，120BAC∠=︒，由余弦定理得：BC=在ABC中，由正弦定理：sin sinACABC BACBC∠=∠=45ABC∴∠=︒，即BC与正北方向垂直，在BCD中，由正弦定理：1sin sin2BDBCD CBDCD∠=∠=，30BCD∴∠=︒答：缉私艇沿东偏北30︒方向能最快追上走私船．12．某建筑的金属支架如图所示，依照要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，060BCD∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问如何样设计,AB CD的长，可使建筑那个支架的成本最低？解：设( 1.4)BC am a=≥，CD bm=，连结BD．则在CDB∆中， ACC DBA第10题CABD第11题2221()2cos60.2b b a ab -=+-214.1a b a -∴=- 21422.1a b a a a -∴+=+- 设 2.81,10.4,2t a t =-≥-= 则21(1)3422(1)347,4t b a t t t t+-+=++=++≥ 等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==答：当3,4AB m CD m ==时，建筑那个支架的成本最低．B。
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解三角形课时提升训练（1）
1、已知三个内角A，B，C所对的边，若且
的面积，则三角形的形状是（）
A、等腰三角形
B、等边三角形
C、等腰直角三角形
D、有一个为的等腰三角形
2、在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是（）
A．B．C．D．
3、在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ΔABC的形状
是( )
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
4、若，且，则的取值范围是
（）
A． B． C． D．
5、在ABC中，，，面积为，则的值为（）
A．1 B．2 C．D．
6、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则△ABC
是（）
A.正三角形
B.等腰三角形 C .直角三角形 D.等腰直角三角形
7、
8、在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是（）
9、、的内角所对的边分别为且
则
（）A．B．C． D
．
10、给出以下命题①若则；②已知直线与函数
，的图象分别交于两点，则的最大值为；
③若是△的两内角，如果，则；④若是锐角△的两内角，则。
其中正确的有（）个 A. 1 B. 2 C.
3 D. 4
11、已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且
等于
A. B. C.
D.
12、已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（）.
A. B. C.
D.
13、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或
D．或
14、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能
15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果，那么三边长a、b、c之间满足的关系是
（） A．B． C．
D．
16、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量
，，若，则角的大小为
（） A．
B． C．
D．
17、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；
（3）在中，若，，，则为锐角三角形；
（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；
其中正确命题的个数
是（） A．1
B．2 C．3
D．4
18、在∆ABC中, “sin A>cos B”是“A+B>”成立的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件
19、9. 在△中，是边中点，角的对边分别是
，若
，则△的形状为
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形.
20、的内角满足条件：且，则角的取值范围是（）
A、 B、C、
D、
21、已知的外接圆半径和的面积都等于1，则=
（）.A． B． C． D．
22、在中,若,且,则是
( )
A.等边三角形
B.等腰三角形,但不是等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形,但不是等腰三角形
23、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取
值范围是
( )
（） A． B．
C． D．
24、△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C－sinBsinC,则A的取值范围是A. B.
C. D.
25、在中，，若点为的内心，则的值为（）
A．2 B． C．3 D．
26、已知的三个内角满足：，则的形状为（）
A．正三角形 B．直角三角
形 C．等腰直角三角
形 D．等腰三角形或直角三角形
27、四个分别满足下列条件（1）
；（2）；
（3），；（4）
则其中是锐角三角形有（） A．1个 B．2
个 C．3个 D．4个
28、在中，角A,B,C,所对的边分别为a, b, c.若，则
（）
(A)- (B) (C) -1 (D) 1
29、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin2 B＋sin2 C－sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A的值是
(A) (B) － (C) (D) －
30、已知非零向量满足，且，则的形状为【】.
A.等腰非等边三角形
B.等边三角形C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形
31、设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为（）
A． B． C．
D．
32、在中，若，则A的取值范围是（）A．B． C．
D．
33、在中，角的对边分别为，则且，则等于（）
（A）（B）（C）4 （D）
34、在△ABC中，，若三角形有解，则的取值范围
是（） A． B． C．
D．
35、在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是（） A．直角三角
形 B．等边三角形 C．等腰三角
形
D．等腰直角三角形
36、在锐角三角形中，，则的取值范围
是（）
A． B．
C． D．
37、中，角所对的边，，则
（）
A．- B． C． -1 D．1
38、在中，若对任意，有，则一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角
形D．不能确定
39、在△ABC中，角A、 B、 C所对的边分别为若，则-
的取值范围是（）
A． B． C． D．
40、已知向量,的夹角为60°，||=||=2，若=2+,则△ABC为
A. 等腰三角形
B. 等边三角
形 C. 直角三角
形
D. 等腰直角三角形
1、由知中的平分线垂直边BC，所以，再由，
2、B
3、．B
4、B
5、B
6、A
7、C
8、解：∵在△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAccosB+cosAsinB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，∴在△ABC中，A为直角．∴△ABC为直角三角形．故选D．
9、B 10、D11、【答案】C由得，即
,所以，又
，所以，即
,所以,即,选C.12、D 13、D 14、 15、B 16、 A 17、B 18、A 19、9. C 由题意知
，
∴，∴，又、不共线，∴
，∴ 20、C 21、B 22、A 23、 D 24、C 25、D 26、B 27、Ｂ 28、Ｄ 29、D 30、A 31、A 32、C 33、 A
34、B 35、C 36、A 37、D 38、A 39、C 40、C。