2020年春北师版九年级数学下册学案2.5 第2课时利用二次函数求方程的近似根

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九年级数学下册第二章二次函数2.5二次函数与一元二次方程教案新版北师大版

(1)h与t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．
图Hale Waihona Puke －5－4由学生熟悉的实例引入，配以课件演示，激发学生的学习热情，在教与学的双边活动中营造出了一个宽松的课堂气氛，活跃了学生的思维，从而顺利引出课题．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解的关系．
图2－5－5
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根？用判别式验证一下．一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有什么关系？
处理方式：让学生以小组为单位进行讨论，充分发表自己的见解，寻求最合理的答案．
教师进行巡视，参与到学生的讨论之中，解答学生的疑难问题，获取信息，为讲解做准备．最后得出结论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题：
1．一元二次方程的一般形式是________，其根的判别式是________，求根公式是________．

二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根课件北师大版数学九年级下册

与x轴交点情况
方法总结
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
四利用二次函数求一元二次不等式的近似解
思考1
函数 y = ax2+bx+c 的图象如图，那么方程 ax2+bx+c=0 的根是 x_1_=_-_1_，___x_2=_3_; 不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_x_<__-_1_或___x_>__3_; 不等式 ax2+bx+c<0 的解集是__-_1_<__x_<_3___.
5
x
做一做
y
你还能利用其他方法二次函数
y3
5
y x2 2x 10 的图象求一元二次方程
x2 2x 10 3 的近似根吗？ x2+2x-10=3即x2+2x=7
–5
O
画出y1=x2+2x,y2=3的图象，交点的横坐标为解
–5
x1≈2.7，x2≈-4.7
–10
y x2 2x 10
5
x
归纳利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
y 2
–4 –2 O –2 –4 –6 –8 –10
2 4x
（1）先求－5和－4之间的根.
y值更接近0
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
y对应的值由负变为正因此，x=－4.3是方程的一个近似根.
y 2
–4 –2 O –2 –4 –6 –8 –10
y 1.21 0.44 －0.31

2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教学设计

2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.2节的内容。

本节课的内容包括：了解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，以及运用二次函数的性质解决实际问题。

教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的联系，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的基本知识。

但部分学生对于如何运用二次函数的性质解决实际问题还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作探讨，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，能运用二次函数的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过探究、合作、交流，培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解法。

2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动探究，发现规律。

3.合作学习法：鼓励学生相互讨论，共同解决问题。

4.实践教学法：让学生在实际问题中运用所学知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数与一元二次方程的关系及解法。

2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的性质解决实际问题。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商场举行打折活动，某商品原价为800元，打八折后售价为多少？引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.呈现（10分钟）展示商品打折问题，引导学生列出相应的二次函数和一元二次方程。

北师大版九年级下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：抛物线形状的物体运动轨迹问题，通过建立二次函数模型，利用顶点式确定物体的最高点或最低点。
2.教学难点
-理解二次函数图像与一元二次方程根的对应关系：对于初学者来说，图像与方程之间的抽象关系较难理解。
-突破方法：通过图形演示和实际操作，如绘制函数图像，让学生观察和总结图像与方程根的关系。
-二次函数顶点式的推导和运用：顶点式的推导涉及代数变换，学生可能会在此过程中感到困惑。
5.激发数学探究精神：引导学生主动探究二次函数与一元二次方程的内在联系，培养学生勇于探索、积极创新的数学精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数与一元二次方程之间的关系：重点讲解二次函数图像上点的坐标特征与一元二次方程根之间的联系，强调图像的几何意义。
-举例：通过具体函数y = ax^2 + bx + c的图像，说明当y = 0时，方程ax^2 + bx + c = 0的解即为图像与x轴交点的横坐标。
-掌握二次函数顶点式的形式及其推导过程：让学生掌握二次函数y = a(x - h)^2 + k的顶点坐标(h, k)和开口方向与系数a的关系。
-举例：通过变换一般式y = ax^2 + bx + c到顶点式，展示顶点的求解方法，并解释顶点在图像上的位置和意义。

北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计

北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版九年级数学下册第2.5节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，对于如何将二次函数与一元二次方程联系起来，以及如何运用二次函数的性质来解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.学会利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.通过例题和练习题，让学生在实践中掌握利用二次函数的性质解决一元二次方程的方法。

3.采用分组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备相关的练习题和答案。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“某商品的原价为200元，商家进行打折促销，折扣率为x（0≤x≤1），求打折后的价格。

”让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。

2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），并引导学生回顾二次函数的图像和性质。

3.操练（10分钟）让学生尝试将实际问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质来解决问题。

2020春北师版九年级数学下册第2章【教案】利用函数图像解一元二次方程

利用函数图像解一元二次方程一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（北师版）九年级下册第二章第五节，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。

这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。

这也突出了课标的要求：注重数形结合。

本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

2．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。

2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。

三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。

2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

北师版数学九年级下册教案2.5.2 二次函数与一元二次方程

[师]上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系，请思考(出示画板课件)：
图2－5－27
[生]一元二次方程x2＋x－2＝0的根是二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴交点的横坐标．
[师]很好，我们还可以根据二次函数的图象与x轴的交点情况，判断一元二次方程根的情况．
这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】例1 根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2＋bx＋c
－0.03
－0.01
0.02
0.06
A．6<x<6.17 B．6.17<x<6.18
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.
图2－5－30
本环节是本节新课的重点内容，题目的设计意图：一、让学生巩固对二次函数图象——抛物线的形成的认识，二、主要是让学生运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系.
让学生理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实数)图象交点的横坐标这一代数原理，培养学生熟练画函数图象的能力，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力．由于要列表、取值计算、描点，工作量较大，教学中可以组织学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生的合作意识.

利用二次函数解一元二次方程北师大版数学九年级下册

由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，分别约为-4.3和2.3
(3)确定方程x2+2x-10=0的解; 由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
解法2
其横坐标一个在-5与-4之间约为-4.3
x
-4.1
y=x2+2x-10 -1.39
有一个交点没有交点
有两个相等的实数根没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
合作学习
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？解法1 (1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
课堂总结
一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标 .
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
作业布置
教材课后配套作业题。
课堂练习
1.
C
2.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x
的范围是( C ) A.3<x<3.23
B.3.23<x<3.24
C.3.24<x<3.25
D.3.25<x<3.26

2020年春北师大版本九年级数学下册 2.5 第2课时利用二次函数求方程的近似根

2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时利用二次函数求方程的近似根
1.如图是二次函数2246y x x =--的图像，那么方程2
2460x x --=的两根之和 0．2.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1 3.2)--，及部分图象（如图４所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ．
3.根据下列表格的对应值：
判断方程(a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（）
02
=++c bx ax A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24
C ．3.24＜x ＜3.25
D ．3.25 ＜x ＜3.26 4.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．
(1) 2
4834x x --=-; x 3.23
3.24 3.25 3.26
c
bx ax ++2－0.06－0.020.03
0.09y
(2)2
530x x --=.5.试说明一元二次方程2441x x -+=的根与二次函数2
44y x x =-+的图像的关系，并把方程的根在图象上表示出来．6.2006年世界杯足球赛在德国举行．你知道吗？一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度可以用二次函数刻画，其中表示足球被踢出后经过的时(m)y 24.919.6y x x =-+()x s 间．
（1）方程的根的实际意义是；
24.919.60x x -+=（2）求经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？。

九年级数学下册第2章二次函数2.5二次函数与一元二次方程导学案新版北师大版_

2.5二次函数与一元二次方程预习案一、预习目标及范围：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.预习范围：P51-52二、预习要点二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与抛物线的位置关系如下：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点由常数项c确定．抛物线与y轴交于正半轴c＞0．抛物线与y轴交于原点c=0．抛物线与y轴交于负半轴c＜0．(2)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置由a和b共同确定．对称轴在y轴的左侧a，b同号.对称轴在y轴的朽侧a，b异号．对称轴是y轴b＝0．三、预习检测1.抛物线与x轴的交点个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( )A.无交点B.只有一个交点C.有两个交点D.不能确定4.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.265.抛物线经过原点，则其顶点坐标为。

6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作探究1：我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用公式h=－5t2+v0t +h0表示，其中h0 (m)是抛出点距地面的高度，v0 (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么（1）h与t 的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流.解析：探究2：二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图象如图所示.。

2019-2020年北师大版九年级数学下册学案2.5 第2课时利用二次函数求方程的近似根

2.5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根学习目标:体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．学习重点:本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．学习难点:应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．学习过程:一、实例讲解：我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.二、议一议：在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?三、例题：【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式．四、随堂练习：1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？五、课后练习：1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m=．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点． 8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则ba ca cbc b a +++++的值是（）A ．－3B ．3C ．21D ．－2112．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）A ．0＜－a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b2=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．（1）当实数k为何值时，图象经过原点？（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．。

【北师版九年级数学下册教案】2.5第2课时利用二次函数求方程的近似根1

2.5二次函数与一元二次方程第 2 课时利用二次函数求方程的近似根1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根； (要点 )2．进一步领悟二次函数与一元二次方程的关系． (难点 )一、情境导入你能依据函数 y＝ x2＋ 2x－ 5 的图象 (如图 )，求出方程 x2＋ 2x－5＝ 0 的近似根吗( 精确到 0.1)?由图象知，抛物线与 x轴有两个公共点，它们分别位于 x 轴上 1 和 2、－ 4 和－ 3 之间，所以一元二次方程 x2＋ 2x－5＝ 0 有两个根，它们分别介于 1 和 2、－ 4 和－ 3 之间．这两个根分别是 1.5 和－ 3.5 吗？二、合作研究研究点：利用二次函数求方程的近似根【种类一】利用二次函数估量一元二次方程的近似根利用二次函数的图象预计一元二次方程 x2－ 2x－ 1＝0 的近似根 (精确到 0.1)．分析：依据函数与方程的关系，可得函数图象与 x 轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．解：方程 x2－ 2x－ 1＝ 0 根是函数y＝ x2－2x－1 与 x 轴交点的横坐标．作出二次函数 y＝ x2－ 2x－1 的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1 和 0 之间，另一个在 2 和 3 之间．先求－ 1 和 0 之间的根，当 x＝－ 0.4 时， y＝－0.04；当 x＝－ 0.5 时， y＝ 0.25.所以， x＝－0.4(或 x＝－ 0.5)是方程的一个近似根．同理，x＝ 2.4(或 x＝2.5)是方程的另一个近似根．方法总结：解答此题的要点是求出对称轴，而后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．【种类二】列表求一元二次方程的近似根下边表格列出了函数y＝ ax2＋ bx ＋c(a，b， c 是常数，且 a≠ 0)部分 x 与 y 的对应值，那么方程 ax2＋ bx＋c＝0 的一个根x 的取值范围是()x 6.17 6.18 6.196． 20y－ 0.03－ 0.010.020.04A.6 ＜ x＜6.17B． 6.17＜ x＜ 6.18C． 6.18＜x＜ 6.19 D ．6.19＜ x＜ 6.20分析：由表格中的数据得，在 6.17＜ x ＜ 6.20范围内， y 随 x 的增大而增大，当 x ＝ 6.18时， y＝－ 0.01，当 x＝ 6.19时， y＝0.02，方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的一个根 x 的取值范围是 6.18＜x＜ 6.19，应选 C.方法总结：利用抛物线的增减来确立抛物线与 x 轴交点的坐标的可能地址．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后牢固提高”第 1 题【种类三】利用图象求一元二次方程的近似根已知二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象以下列图，则一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 的近似根为 ()A．x1≈－ 2.1，x2≈ 0.1 B ．x1≈－ 2.5，x2≈0.5C． x1≈－ 2.9， x2≈ 0.9 D ． x1≈－ 3，x2≈1分析：由图象可得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－ 1，而对称轴右边图象与 x 轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为 x＝－ 1，则x1＋ x2＝2－1，∴ x1＝ 2× (－ 1)－ 0.5＝－ 2.5.故 x1≈－2.5， x2≈ 0.5.应选 B.方法总结：解答此题第一需要依据图象预计出一个根，再依据对称性计算出另一个根，预计值的精确程度，直接关系到计算的正确性，故预计尽量要正确．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题【种类四】利用二次函数和一次函数的图象求方程的根已知二次函数y＝ 2x2－ 2 和函数 y ＝5x＋ 1.(1)你能用图象法求出方程2x2－ 2＝ 5x＋1 的解吗？(2)请经过解方程的方法考据(1) 问的解．分析：(1)依据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案； (2)依据因式分解，可得方程的解．解： (1)如图在平面直角坐标系内画出 y ＝2x2－ 2 和函数 y＝ 5x＋ 1 的图象，如图所示：图象交点的横坐标是－1，3，故 2x2－ 22＝5x＋1 的解是x1＝－1，x2＝3；2(2) 由 (1)可知交点横坐标即为方程2x2－22＝ 5x＋1 的解，化简得2x－5x－3＝，因1式分解，得 (2x＋ 1)(x－ 3)＝ 0.解得 x1＝－，x2＝ 3，可知 (1) 中求得的解正确．方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后牢固提高”第 4 题【种类五】二次函数与其余函数的综合利用图象解一元二次方程x2＋ x － 3＝0 时，我们采纳的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝ x2和直线y＝－x＋ 3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．2(1) 填空：利用图象解一元二次方程x ＋x－ 3 ＝ 0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 y＝ ________和直线 y＝－ x，其交点的横坐标就是该方程的解；6(2) 已知函数y＝－x的图象 (以下列图 )，利用图象求方程6x－ x＋ 3＝0 的近似根 (结果保留两个有效数字 )．1．利用二次函数估量一元二次方程的近似根2．列表或利用图象求一元二次方程的近似根3．利用二次函数和一次函数的图象求方程的根分析： (1)一元二次方程 x 2＋ x － 3＝ 0 可在教课过程中，教师作为指引者，为学生创以转变成 x 2－3＝－ x ，所以一元二次方程 x 2 设问题情境、供给问题，给学生供给广阔的＋ x － 3＝ 0 的解可以看作抛物线 y ＝x 2 －3 与思虑空间、活动空间，为学生搭建自主学习直线 y ＝－ x 交点的横坐标； (2)函数 y ＝－6的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思虑、交流、合作的过程，其知识的x的图象与直线 y ＝－ x ＋ 3 的交点的横坐标就形成和能力的培育相伴而行，创立“海阔凭是方程 6－x ＋ 3＝ 0 的近似根．鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境地.x解： (1)x 2－ 3(2)图象以下列图：6由图象可得，方程－ x ＋ 3＝0 的近似根为 x 1＝－ 1.4，x 2＝ 4.4.方法总结：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： (1) 作出函数的图象，由图象确立方程的解的个数；(2)由图象与 y ＝ h 的交点地址确立交点横坐标的范围；(3) 观察图象求得方程的近似根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后牢固提高”第8 题三、板书设计利用二次函数求方程的近似根。

2020春北师版九年级数学下册第2章【学案】二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程学习目标1、巩固一元二次方程和二次函数的基础知识；2、总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3、弄清二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用它们之间的关系解决有关问题。

教学重点：二次函数与一元二次方程的关系。

教学难点：如何运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题。

【导学流程】一、自主预习：1.创设教学情境2.出示学习目标3.学生自主学习，完成预习题（1）一元二次方程的一般形式（）一元二次方程根的情况与b²-4ac 的关系:（2）.解方程: t2—4t＋3=0 t2－4t＋4.1＝0 t2－4t+4＝04.组内交流质疑二、展示交流：5、小组汇报交流已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程的解；反之解方程X2-4x+3=0就是已知二次函数的值为0,求的值。

已知函数y=x2-4x+3 (1)画出函数的图像：（2）观察图像，当x取哪些值时，函数值为0？6、教师精讲点拨问题:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点横坐标是多少?当x 取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你得出相应的一元二次方程的解吗?(1)y=x2+x-2(2)y=x2-6x+9(3)y=x2-x+1解：归纳总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式b2-4ac三、反馈拓展7、课堂巩固训练（1）若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是A 无交点B 只有一个交点C 有两个交点 D不能确定(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是(3).抛物线y=x2+7x+6与x轴的交点坐标是, 与y轴的交点坐标是 .(4).不与x轴相交的抛物线是( )A y=2x2–3B y= - 2 x2+ 3C y= - x2 –3x Dy=-2(x+1)2 - 3(5)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.(6)已知抛物线 y=x2–8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.（7）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x 轴的交点坐标是8、教学小结提升：（1）二次函数的图像与一元二次方程的根情况？（2）二次函数的图像与x轴的位置关系？9、达标检测（1）、函数223y x x=-++的的图像与x轴的公共点坐标（2）、二次函数的图像与x轴的公共点坐标是（-1,0）和（2,0），并且它经过点（-3,5）求这个函数的表达式。

北师大版九年级数学下册2.5二次函数与一元二次方程学案

2.5二次函数与一元二次方程学习目标1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．一、【学前复习】1：方程的解的定义：能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值就叫一元二次方程的解也叫做方程的根.2: 一元二次方程的一般形式：任何关于x 的一元二次方程，经过变形整理，都可化成ax 2＋bx ＋c ＝0 (a 、b 、c 是已知数，a ≠0)的形式。

这种形式叫做一元二次方程的一般式（或标准式）其中，ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项.二、【方法点拨】点拨1：学习重点（1）．体会方程与函数之间的联系．（2）．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．（3）.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h 是实数)交点的横坐标．点拨2：学习难点（1）．探索方程与函数之间的联系的过程．（2）．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．三、【思路拓展】步骤1：迁移1．（常德市）根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y•的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ）A ．C ．6.18<x<6.19 D ．6.19<x<6.20分析：从表中可以看出当x=6.18时，y=-0.01 ，当x=6.19时，y=0.02,所以方程的一个解肯定在61.8和6.19之间。

本题答案：C步骤2：本节知识应用1．（天津）已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（） A ．b 2－4ac ＞0 B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤0分析：a ＜0，抛物线开口向下，c bx ax y ++=2经过（－1，a －b+c ）点，因为a －b+c ＞0，所以（－1，a －b+c ）在第二象限，所以抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0，故选A ．答案：A2.若二次函数y ＝2 x 2－2 mx ＋2 m 2－2的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（）（A ）0 （B ）±1 （C ）±2 （D ）±2分析：抛物线的顶点在x 轴上，表明抛物线与x 轴只有一个交点，此时y ＝0．由题意知y ＝0，即4 m 2－8 m 2＋8＝0，故m ＝±2．答案：D ．师生互动共解难题一、【实例讲解】例1：竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t 2+v 0t+h 0，表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m ／s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40 m ／s 的速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么(1)h 与t 的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流．分析：（1)h 与t 的关系式为h ＝-5t 2+v 0t+h 0，其中的v 0，为40 m ／s ，小球从地面被抛起，所以h 0=0．把v 0，h 0代入上式即可求出h 与t 的关系式．(2)小球落地时h 为0，所以只要令h=-5t 2+v 0t+h ．中的h 为0，求出t 即可．还可以观察图象得到．解：(1)∵h=-5t 2+v 0t+h 0，当v 0=40，h 0=0时，h ＝-5t 2+40t ．(2)从图象上看可知t ＝8时，小球落地或者令h ＝0，得：-5t 2+40t ＝0．即t 2-8t ＝0．∴t(t-8)=0．∴t=0或t ＝8．t ＝0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间．例2：已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．分析：二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1），就可以把（1，－1）代入解析式，从求得函数的解析式.解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．二、【学会总结】总结1：△的符号△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．总结2：如何利用二次函数的图象估计一元二次方程的两根的值(1)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；(2)根据图象确定抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的两个交点分别在哪两个相邻的整数之间；利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.总结3：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0可以看作是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 当函数值为0的特殊情形，因而它们有着密切的关系，主要表现如下：方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解可用抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标去反映；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴两个交点坐标分别为（x 1，0）和（x 2，0），则x 1、x 2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解．积累运用学会创新1．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（） 77. .k 04477. .k 044A k B k C k D k >-≥-≠≥->-≠且且 2．直线y=3x —3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 3．函数c bx ax y ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根4．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞0 5．函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正6．不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（）A ．在x 轴上方B ．与x 轴只有一个交点C ．与x 轴有两个交点D ．在x 轴下方拓展尝新突破自我7.（天津）已知抛物线y=12x 2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．8．画出函数y =x 2－2x －3的图象，利用图象回答：（1）方程x 2－2x －3=0的解是什么？（2）b 取什么值时，函数值大于0？（3）b 取什么值时，函数值小于0？参考答案积累运用学会创新1.分析：由函数y=kx 2－7x －7的图像和x 轴有交点，可知，当k=0时，y=－7x －7，此函数与x 轴有交点。

北师大版数学九年级下册2 利用二次函数求方程的近似根课件

解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4 或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1 的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
有两个交点 x1,x2 (x1＜x2)
a＞0

a＜0
y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 y＜0，x2＜x或x＜x1
有一个交点x0
y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0,x0之外的所有实数；y＞0，无解
没有交点
y＞0，所有实数；y y＜0，所有实数；y
解：y=x²-2x-4的图象如图所示.
2
解：由图象可知方程的一根在3到 4之间，另一根在-1到-2之间. (1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：
x
…
3.2
3.3
…
y
…
-0.16
0.29
…
因此，x=3.2是方程的一个近似根. (2)可类似地求出另一个根为x=-1.2.
例2变式：你还能利用y=x²-2x-1 的图象求一元二次方程
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
方法归纳利用图象法求一元二次方程的近似根 (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象； (2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； (可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根;