北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理

北京市2014～2015学年度第二学期期中考试

高 二数学（理）试卷

(考试时间：100分钟 总分：100分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）

1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-

2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。 A.120 B.16 C.64 D.39

3．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为1

2

，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．1

2

4．由直线12y =

,2y =,曲线1

y x

=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．2ln 2 B ．2ln 21- C ．1ln 22

D ．5

4

5．以下说法正确的是（ ）

A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件

B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件

C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件

D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ） A.=x e B.ln 2=x C.2=x e D.1=

x e

7．已知1

212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）

A ．4

213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

B ．5

21357956789⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯

C ．4

213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯

D ．5

213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯

8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的

复数为（ ）

A ．22i -+

B ．22i -

C ．1i -+

D ．1i - 9．已知函数()()2

1cos ,4

f x x x f x '=

+是函数()f x 的导函数，

则()f x '的图象大致是（ ）

10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”

，已知()5411

2012f x x mx =

-22x -在()1,3上为“凹函数”

，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31

[,5]9 C ．(,3]-∞ D ．(),5-∞

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）

11．函数3

()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是

12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程12

2=+b

y a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.

13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ⎧⎡⎫

∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭

=⎨⎡⎤

⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩

，则20

()f x dx ⎰为 。

14．已知复数()0,,≠∈+=x R y x yi x z 且32=-z ，则

x

y

的范围为 ． 15．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有2

2

2

b a

c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，

4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．

16．对定义在区间D 上的函数)(x f 和)(x g ，如果对任意D x ∈，都有1)()(≤-x g x f 成立，那么称函数)(x f 在区间D 上可被)(x g 替代，D 称为“替代区间”．给出以下命题：

①1)(2

+=x x f 在区间),(+∞-∞上可被2

1

)(2+

=x x g 替代； ②x x f =)(可被x x g 411)(-=替代的一个“替代区间”为]2

3

,41[；

③x x f ln )(=在区间],1[e 可被b x x g -=)(替代，则22≤≤-b e ；

④)(sin )(),)(lg()(212

D x x x g D x x ax x f ∈=∈+=，则存在实数)0(≠a a ，使得)(x f 在区间21D D ⋂ 上被)(x g 替代；

其中真命题的有

三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共8分）

已知函数2,2)(2

3

=++=x ax x x f 是)(x f 的一个极值点，求： （1）实数a 的值；

（2）)(x f 在区间[]3,1-上的最大值和最小值。