湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
湖南省2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
湖南省2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知空间两条直线a、b没有公共点，则a和b（）A．一定是异面直线B．一定是平行直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有（）A．2条B．4条C．6条D．8条3．（3分）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④4．（3分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=05．（3分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0B．﹣8 C．2D．106．（3分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=07．（3分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β8．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=a，E、F分别是BC、DC的中点，则AD1与EF所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（3分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切10．（3分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6B．4C．5D．1二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．12．（4分）过点（﹣6，4），且与直线x+2y+3=0平行的直线方程是．13．（4分）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为．14．（4分）直线x﹣y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是．15．（4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．三、解答题（共5小题，8+8+10+12+12）16．（8分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的体积．17．（8分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）平面PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．18．（10分）如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF 沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．（1）求证：EF⊥A′C；（2）求三棱锥F﹣A′BC的体积．19．（12分）求半径为4，与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．湖南省2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知空间两条直线a、b没有公共点，则a和b（）A．一定是异面直线B．一定是平行直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：应该知道平行直线、异面直线没有公共点，从而a，b可能异面，可能平行，而相交时有一个公共点，显然不会相交．解答：解：a和b没有公共点，可能是平行，也可能是异面，但一定不相交．故选：D．点评：考查平行直线、异面直线，以及相交直线的概念，以及对这几种直线的认识，以及对空间两直线位置关系的掌握．2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有（）A．2条B．4条C．6条D．8条考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，从图形上找出与棱AB异面的棱即可得到与AB异面的棱的条数．解答：解：如图，与棱AB异面的棱有：A1D1，B1C1，DD1，CC1；∴共4条．故选B．点评：考查异面直线的概念，能够判断空间两直线是否异面，能画出正方体的直观图．3．（3分）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线线关系以及线面平行、线面垂直的性质对四个命题分析解答．解答：解：由平行线的传递性可以判断①正确；在空间，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面．故②错误；平行于同一个平面的两条直线的位置关系有：平行、相交、异面．故③错误；垂直于同一个平面的两条直线是平行的；故④正确；故选：C．点评：本题考查了线线关系，线面关系的判断；关键是熟练运用相关的公里或者定理．4．（3分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解答：解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．5．（3分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0B．﹣8 C．2D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．6．（3分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0考点：圆的切线方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．解答：解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选D点评：求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P （x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．7．（3分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；若α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，α⊥β，α∩β=m时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n⊂α，则n⊥β不一定成立．解答：解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒ a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=a，E、F分别是BC、DC的中点，则AD1与EF所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD1与EF所成的角的大小．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（a，0，0），D1（0，0，a），E（），F（0，，0），=（﹣a，0，a），=（，﹣，0），设AD1与EF所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=60°．∴AD1与EF所成的角的大小为60°．故选：C．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．9．（3分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：综合题．分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．解答：解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选B．点评：此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．10．（3分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6B．4C．5D．1考点：直线与圆的位置关系．分析：先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．解答：解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选B．点评：本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．12．（4分）过点（﹣6，4），且与直线x+2y+3=0平行的直线方程是x+2y﹣2=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：设与直线x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把（﹣6，4）代入，能求出结果．解答：解：设与直线x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把（﹣6，4）代入，得：﹣6+8+c=0，解得c=﹣2，∴过点（﹣6，4），且与直线x+2y+3=0平行的直线方程是x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线平行的性质的合理运用．13．（4分）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．解答：解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0点评：本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．14．（4分）直线x﹣y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是x+y﹣7=0．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：由题意得直线l过点（3，4），且与直线x﹣y+1=0垂直，利用点斜式求得直线l的方程．解答：解：由题意得直线l过点（3，4），且与直线x﹣y+1=0垂直，故直线l的斜率为﹣1，利用点斜式求得直线l的方程是y﹣4=﹣1（x﹣3），即x+y﹣7=0，故答案为x+y﹣7=0．点评：本题考查两直线垂直的性质，用点斜式直线方程．15．（4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．解答：解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到，即为的最大值．故答案为：点评：本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．三、解答题（共5小题，8+8+10+12+12）16．（8分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的体积．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：该几何体是正六棱锥，依据数据求解即可．解答：解：由三视图可知几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2，该几何体的体积：=．点评：本小题考查三视图求体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．17．（8分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）平面PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证明即可．解答：证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE点评：本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，是一道基础题．18．（10分）如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为A C、AB的中点，将△AEF 沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．（1）求证：EF⊥A′C；（2）求三棱锥F﹣A′BC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证EF⊥A'C，可先证EF⊥平面A'EC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF⊥平面A'EC内两相交直线垂直，而EF⊥A'E，EF⊥EC，EC∩A‘E=E，满足定理条件；（2）先根据题意求出S△FBC，将求三棱锥F﹣A′BC的体积转化成求三棱锥A′﹣BCF的体积，再根据三棱锥的体积公式求解即可．解答：解：（1）证明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，∴EF⊥AC（2分）在四棱锥A'﹣BCEF中，EF⊥A'E，EF⊥EC，（4分）又EC∩A‘E=E∴EF⊥平面A'EC，（5分）又A'C⊂平面A'EC，∴EF⊥A'C（6分）（2）在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，∴又∵A'O垂直平分EC，∴∴V=S△FBC•A′O==点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）求半径为4，与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程．考点：圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：利用待定系数法，求出圆心与半径，即可求出圆的方程．解答：解：由题意，设所求圆的方程为圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．圆C与直线y=0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1（a，4）或C2（a，﹣4）．又已知圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的圆心A的坐标为（2，1），半径为3．若两圆相切，则|CA|=4+3=7或|CA|=4﹣3=1．①当C1（a，4）时，有（a﹣2）2+（4﹣1）2=72或（a﹣2）2+（4﹣1）2=12（无解），故可得a=2±2．∴所求圆方程为（x﹣2﹣2）2+（y﹣4）2=42或（x﹣2+2）2+（y﹣4）2=42．②当C2（a，﹣4）时，（a﹣2）2+（﹣4﹣1）2=72或（a﹣2）2+（﹣4﹣1）2=12（无解），故a=2±2．∴所求圆的方程为（x﹣2﹣2）2+（y+4）2=42或（x﹣2+2）2+（y+4）2=42．点评：本题考查圆的方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．。
东北师大附中2014—2015学年度高一上学期期末考试数学试题
2014—2015学年上学期高一年级（数学）学科 期末测试题考试时间：100分钟 试卷满分:100分一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．1．设集合{1234}U =，，，，{13}A =，，{34}B =，，则C U ()A B = （ ）A ．{134}，，B ．{14}，C ．}2{D ．}3{2．函数()f x =（ ）A ．(1)-+∞，B ．(1)-∞，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．cos 2010=（ ）A ．12-B ．C ．12D 4．在ABC ∆中，若1sin 2A =，则A =（ ）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或1205．下列函数中是幂函数的为（ ）A ．21xy =B ．22x y =C ． x x y +=2D ．1=y6．已知函数2(3)log f x =(1)f 的值为 （ ）A ．21B ． 1C ．5log 2D ． 27．将函数x y 2sin =的图象先向左平行移动6π个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（ ）A ．1)62sin(+-=πx y B ．1)32sin(+-=πx y C ．1)62sin(++=πx yD ．1)32sin(++=πx y8．2sin31cos31a =和sin 28cos35cos 28sin35b =+之间的大小关系是 （ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．不能确定9．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =+，log 2a p a =，则m n p ，，的大小关系是A ．n m p >>B ．m p n >>C ．m n p >>D ．p m n >>10．函数y ＝cos x ·|tan x | ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2 的大致图象是( )11．在锐角ABC ∆中，若31tan ,55sin ==B A ，则=+B A （ ） 434.ππ或A 4.πB 43.πC 22.D 12．下列不等式中，正确的是（ ）A ．tan513tan413ππ< B ．sin )7cos(5ππ-> C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．cos )52cos(57ππ-< 13．函数]0,[),3sin(2)(ππ-∈-=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．]65,[ππ-- B ．]6,65[ππ-- C ．]0,3[π- D ．]0,6[π- 14．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32 C ．1 D.1215．若10sin 3cos =-αα，则=αtan （ ） A ．3； B ．53-; C ．3-; D ．8316．定义在R 上的函数满足，当时，，则（*** ）A ．B ．C ．)45(tan)6(tanππf f < D ． 17．函数()tan f x x x =-在区间[22]ππ-，上的零点个数是 （ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．9个NMDCBA18．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图1，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时，水的体积为'V ，则函数'()V f h =的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题共4小题，每小题4分，共16分．11. 已知扇形的弧长和面积的数值都是2，则其圆心角的正的弧度数为________.12．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，则M ∩N =____. 13．如图,在正方形ABCD 中,M 是边BC 的中点,N 是边CD 的中点,设α=∠MAN ,那么αsin 的值等于_______***_____.14．若10≠>a a 且，则函数1)1(log +-=x y a 的图象恒过定点 .15．设()f x 是()-∞+∞，上的奇函数，()(3)0f x f x ++=，当01x ≤≤时，()21x f x =-， 则=)5.5(f .16．在下列结论中：①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数； ②函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π； ③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-； ④函数1sin(+)23y x π=在[22]ππ-，上单调减区间是5[2][2]33ππππ-- ，，. 其中正确结论的序号为 把所有正确结论的序号都．填上．. 三、解答题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本题满分8分．已知集合{}|34A x x =-≤≤，{}22|132B x m x m =-≤≤-，且A B A = ，求实数m 的取值范围.图118．（本题满分10分）已知角α的终边经过点(3,4)P -，(1) 求sin()cos()tan()πααπα-+-+的值; （2）求1sin 2cos 212αα++的值．19．（本题满分10分）已知函数)sin()(φx ωA x f +=)22,0,0(πφπωA <<->>一个周期的图象如图所示。
中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷word版含答案
D．无论 为何值,均有4个零点
9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ADC＝90°,AD＝2,BC＝1,P是腰DC上的动点,
则 的最小值为 （）
A．4B．5C． D．2
10.
A． B． C． D．
二、填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分
(1)当9天购买一次配料时, 求该食堂用于配料的保管费用 是多少元？
(2)设该食堂 天购买一次配料, 求该食堂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式, 并求该食堂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
20.对于函数 , 如果存在实数 使得 , 那么称 为 的线性函数.
(1)下面给出两组函数, 是否分别为 的线性函数？并说明理由;
19.
已知武汉二中食堂需要定期购买食品配料, 该食堂每天需要食品配料200千克, 配料的价格为 元/千克, 每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用（若 天购买一次, 需要支付 天的保管费）. 其标准如下: 7天以内（含7天）, 无论重量多少, 均按10元/天支付; 超出7天以外的天数, 根据实际剩余配料的重量, 以每天0.03元/千克支付.
第一组: ;
第二组: ;
(2)设 , 线性函数 .若不等式
在 上有解, 求实数 的取值范围;
21.(1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学
过: = =
请用上面的数学思维来证明如下:
11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2, 则这个圆心角所对的弧长是.
12.已知 ,则 =. (用t表示)
湖南省师大附中高一数学下学期入学试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某师大附中2014-2015学年高一（下）入学数学试卷一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．3．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=15考点：指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：直接利用指数函数的单调性判断a、b的大小，通过幂函数的单调性判断b、c的大小即可．解答：解：因为y=是减函数，所以，幂函数y=是增函数，所以，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用，考查的比较一般利用函数的单调性．5．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为（）A．8 B． 6 C． 4 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，列出关于a的方程，解方程即可．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，得到24=×a×3×4，∴a=6，故选B．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．6．函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为上是减函数，则实数b的取值X围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．上的解析式可以变为f（x）=x2﹣bx，再由二次函数的性质结合函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数即可得到关于参数b的不等式，解不等式得到参数的取值X围即可选出正确选项．解答：解：∵函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数，∴函数f（x）=x2﹣bx在上是减函数，∴，解得b≥4故选D点评：本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，且能根据题设条件及二次函数的性质进行等价转化得到参数所满足的不等式．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）8．函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a= 4 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．解答：解：因为函数f（x）=（x+a）•（x﹣4）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）=（x+a）•（x﹣4）即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a所以a=4．故答案为：4点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．9．已知4a=2，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．点评：本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值X围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题（共4小题，满分45分）12．已知直线l：x﹣y+m=0绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后过点（2，﹣3）（1）求m的值；（2）求经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心在直线l上的圆的方程．考点：圆的标准方程；待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）通过设直线l与x轴交点P（﹣m，0），利用旋转前后两直线垂直即斜率乘积为﹣1可得m=1；（2）通过中点坐标公式可得线段AB的中点C（，﹣），利用斜率乘积为﹣1可得直线AB 的中垂线的斜率为，进而可得直线AB的中垂线的方程为：x﹣3y﹣3=0，利用所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，所求圆的半径为|EB|，计算即得结论．解答：解：（1）∵直线l：x﹣y+m=0，∴k l=1，直线l与x轴交点为P（﹣m，0），又∵直线l旋转后过点Q（2，﹣3），∴k PQ=﹣1，即=﹣1，解得m=1；（2）∵m=1，∴直线l方程为：x﹣y+1=0，∵所求圆经过点A（1，1）、B（2，﹣2）且圆心在直线l上，∴所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，记线段AB的中点为C（x，y），则，∴C点坐标为：C（，﹣），∵k AB==﹣3，∴直线AB的中垂线的斜率为，又直线AB的中垂线过C（，﹣），∴直线AB的中垂线的方程为：y+=（x﹣），整理得：x﹣3y﹣3=0，联立，解得，即圆心为E（﹣3，﹣2），半径为|EB|=2+3=5，∴所求圆的方程为：（x+3）2+（x+2）2=25．点评：本题是一道直线与圆的综合题，涉及斜率、中垂线、圆的方程等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．13．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C的直二面角，D是AB的中点．（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明平面COD中的直线CO⊥平面AOB即可；（2）作出异面直线AO与CD所成的角，利用直角三角形的边角关系即可求出异面直线AO与CD所成角的正切值．解答：解：（1）如图所示，Rt△AOC是通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，∴CO⊥AO，BO⊥AO；又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角，即∠BOC=90°，∴CO⊥BO；又AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB；又∵CO⊂面COD，∴平面COD⊥平面AOB；（2）作DE⊥OB于点E，连接CE，∴DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角；在Rt△COE中，CO=BO=AB=2，OE=BO=1，∴CE==；又DE=AO=，∴tan∠CDE==，即异面直线AO与CD所成角的正切值是．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直角三角形边角关系的应用问题，是综合性题目．14．已知圆心为C的圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0与直线2x+y﹣3=0相交于A、B两点（1）若△ABC为正三角形，求m的值；（2）是否存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）求得圆的圆心和半径，由正三角形的性质，可得C到AB的距离d=r，计算可得m的值；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由直线垂直的条件，由直线的交点可得M的坐标，运用两点的距离公式，解方程可得m，进而判断存在．解答：解：（1）圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0的圆心C（﹣1，2），半径为r=，由△ABC为正三角形，可得C到AB的距离d=r，即为=•，解得m=；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由CM⊥AB，可得CM的方程为y﹣2=（x+1），联立直线2x+y﹣3=0，可得M（，），即有=，解得m=﹣．则存在常数m=﹣，使以AB为直径的圆经过坐标原点．点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式和正三角形的性质，以及直角三角形的性质，属于中档题．15．已知f（x）=ax2+bx+2，x∈R（1）若b=1，且3∉{y|y=f（x），x∈R}，求a的取值X围（2）若a=1，且方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，求b的取值X围，并证明2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由3∉{y|y=f（x），x∈R}，讨论a的取值，利用二次函数的最值，求出a的取值X围；（2）把方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解化为函数g（x）=x2+bx+|x2﹣1|在（0，2）上有2个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调函数，求出g（x）在（0，2）上存在两个零点时b的取值X围，得出所求证明．解答：解：（1）∵b=1时，f（x）=ax2+x+2，又3∉{y|y=f（x），x∈R}，∴a＞0时，＞3，解得a＜﹣，不合题意，舍去；a=0时，也不合题意，应舍去；a＜0时，＜3，解得a＜﹣，∴a的取值X围是{a|a＜﹣}；（2）a=1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，即x2+bx+|x2﹣1|=0在（0，2）上有两个解x1，x2；由题意知b≠0，不妨设0＜x1＜x2＜2，令g（x）=x2+bx+|x2﹣1|=；因为g（x）在（0，1]上是单调函数，所以g（x）=0在（0，1]上至多有一个解；若x1，x2∈（1，2），即x1、x2就是2x2+bx﹣1=0的解，则x1x2=﹣，这与题设矛盾；因此，x1∈（0，1]，x2∈（1，2），由g（x1）=0得b=﹣，所以b≤﹣1；由g（x2）=0得b=﹣2x2，所以﹣＜b＜﹣1；故当﹣＜b＜﹣1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解；由b=﹣与b=﹣2x2，消去b，得+=2x2；又x2∈（1，2），得2＜+＜4．点评：本题考查了二次函数的综合应用问题，构造函数，将绝对值符号去掉进行讨论是解决本题的关键．。
湖南省师大附中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，2．则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=．11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.63520．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：根据类比推理，演绎推理的定义，对两个推理进行判断即可得出正确选项．解答：解：平面结论推广到空间是类比推理，三段论是演绎推理，故选B．点评：考查类比推理，演绎推理的定义，理解定义，运用定义，套准定义是解题的关键．2．（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的条件与结论，判定命题是否为真，再根据逆命题的定义写出逆命题判定逆命题的真假；然后根据命题与其逆否命题的同真性判定，否命题与逆否命题的真假即可．解答：解：“若•=0，则⊥，得到l∥α，或l⊂α，所以原命题为假命题，若l∥α”则⊥，得到•=0，所以逆命题为真命题，从而否命题为真，故选：C．点评：本题考查四种命题的真假关系．命题与逆否命题同真、同假．3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：∵z=3﹣2i﹣==3﹣2i+1﹣2i=4﹣4i，∴复数z对应复平面上的点Z的坐标为（4，﹣4），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒考点：实际问题中导数的意义．专题：导数的综合应用．分析：直接利用函数的导数的几何意义求解即可．解答：解：由题意可得α′=，车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度：=10π．故选：B．点评：他考查函数的导数的应用，注意导数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合条件求出对应的等价条件，进行判断即可．解答：解：由＞1得0＜a＜1，若函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增，则3﹣2a＞1，解得a＜1，故“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系以及指数函数的性质是解决本题的关键．6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，可以分3步进行分析先在甲乙中选取1人，在剩余3人选取2人，将选出的人对应三科竞赛；求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有排列数公式可得这种情况下的参赛方案数目；最后由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，先在甲乙中选取1人，有2种选法；在剩余3人选取2人，有C32=3种选法；将选出的人对应三科竞赛，有A33=6种情况，则此时有2×3×6=36种选法；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有A33=6种情况，则一共有36+6=42种不同的参赛方案；故选C．点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意分析“甲、乙两人至多选1人参赛”的条件，明确分类讨论的思路．7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a值，再将x=6代入可得答案．解答：解：由表格知样本中心点为，则回归方程是=﹣3.2x+a，将（1，50）点代入得：a=53.2，则回归方程是=﹣3.2x+53.2，则当x=6时，y的预测值为，故选：B．点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可．解答：解：设第一次抽到白球为事件A，第二次抽到白球为事件B，则n（A）==12，n（AB）==6，所以P（B|A）===．点评：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可．解答：解：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=6，又∵|PF1|=2|PF2|，∴3|PF2|=6，即|PF2|=2，由双曲线定义可知：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF2|=2a，即a=1，由已知，双曲线的焦半距c=2，则b=，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=1.6．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：根据题意可判断n次独立重复试验问题，X服从B（10，0.8），二项分布问题，根据方差求解即可．解答：解：∵根据题意可判断：X服从B（10，0.8），∴则随机变量X的方差D（X）=10×0.8×0.2=1.6，故答案为1.6点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的放出，同时考查了计算能力，属于中档题11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是﹣192．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：写出二项展开式的通项，由x的次数为2求得r值，则含x2项的系数可求．解答：解：∵=，由3﹣r=2，得r=1．∴含x2项的系数是﹣×25=﹣192．故答案为：﹣192．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=5．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把z=1﹣i代入z2+az+b=，整理后利用复数相等的条件求得a，b，再由复数模的计算公式得答案．解答：解：由z=1﹣i，且z2+az+b=，得（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=1+i，即﹣2i+a﹣ai+b=1+i，∴a+b﹣（a+2）i=1+i．，解得a=﹣3，b=4．故a+bi=﹣3+4i．∴|a+bi|=．故答案为：5．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是[1，2）．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：若p∧（￢q）为真，则p真，q假，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可．解答：解：∵“p∧（￢q）”为真命题，∴p真，q假，若命题p为真，则a（a﹣2）＜0，即0＜a＜2，若命题￢q为真，∀x＞0，x+a﹣1≠0，则1﹣a≤0，即a≥1，∴，解得1≤a＜2故a的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是﹣1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的导数，求得f（x）在（﹣1，1）内的单调区间，即可得到极小值，也为最小值．解答：解：函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的导数为f′（x）=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx（x∈[﹣1，1]），由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）递增，由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）递减．即有x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），利用k AM•k BM=﹣及，计算即得结论．解答：解：设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则k AM•k BM=•==﹣，∵，∴n2=b2（1﹣）=（a2﹣m2），即=﹣=﹣，∴=，则e====，故答案为：．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率，再用1减去此概率的值，即为所求．（Ⅱ）由条件根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．解答：解：（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有击中目标的概率为（1﹣）•（1﹣）=，故至少有一个命中目标的概率为1﹣=．（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为•••••（1﹣）=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值解答：解：（Ⅰ）===（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（，0，1），E （0，1，2）设为平面AB1C1的法向量，则因为则，取x=1，则因为，则所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为点评：本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考题型、中档题．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明．（Ⅱ）先假设（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0，利用两式子加和后的式子退出与已知矛盾，得出原命题成立．解答：解：（Ⅰ）由已知，，又a1=2，则a2=2﹣a3=2﹣，a4=2﹣，由此可猜想：证明：（1）当n=1时，，所以猜想正确．（2）假设当n=k（k≥1，k∈Z）时，猜想成立，即则=，即当n=k+1时也成立．结合（1）（2）可知，数列{a n}的递推公式是（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0则1+a n＞2a n，且1+a k＞2a n，两式相加得，（1+a n）+（1+a k）≥2a n+2a k，即a n+a k≤2因为＞1，则：a k+a n＞2，矛盾．所以假设不成立，即：与中至少有一个小于2．点评：本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用，2015届高考经常涉及，属中档题型．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.635考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表；根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，即可得出结论．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男15 10 25女 5 10 15总计20 20 40因为K2=≈2.667＞2.072，P（K2≥2.072）=0.15故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列和数学期望，本题解题的关键是正确利用观测值公式求出观测值，求概率．20．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用向量由|+|=•+2得到点M的轨迹方程．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1），直线和抛物线联立求得方程，利用韦达定理列得条件，根据题目条件列式求解．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）则，从而，所以||=，又，则由已知，，则（x﹣1）2+y2=（x+1）2，即y2=4x．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1）联立y2=4x，消去x，得y=tanα（），即y2tanα﹣4y﹣4tanα=0，设点D（x1，y1），E（x2，y2）则y1+y2=，x1+x2=，所以线段DE的垂直平分线方程为令y=0，得x=，所以点T（）故|FT|=（1﹣cos2α）=（）（1﹣cos2α）=2（）2sin2α=4为定值．点评：本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中属常考题型．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据定积分的几何意义即可求出面积s，（Ⅱ）先求导，再分离参数，利用基本不等式即可求出a的范围；（Ⅲ）根据零点即是导数等于0时的方程的根，根据根与系数的关系得到x1x2=1，化简整理f（x1）+f（x2），再根据做差法比较大小，需要构造函数g（x）=x﹣lnx﹣1，利用导数求出函数的最小值，问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+，y=f（x）﹣lnx=＞0，∴S=dx=（1﹣）dx=[x﹣ln（x+1）]|=2﹣ln3；（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）=+≥0恒成立，∴a≥﹣=﹣（x++2），∵x++2≥2+2=4，当且仅当x=1时取等号，∴a≥﹣4，故a的取范围为[﹣4，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知f′（x）=+，令f′（x）=0，得到x2+（a+2）x+1=0，由题意得x1，x2是方程的两根，则x1x2=1，∴f（x1）+f（x2）=lnx1++lnx2+=lnx1x2++=a=a•=a，于是﹣=﹣=，设g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣=当g′（x）＜0时，即0＜x＜1，在g（x）在（0，1）上单调递减，当g′（x）＞0时，即x＞1，在g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=0，∴当x∈（0，+∞）时，x﹣lnx﹣1＞0，故≥，当且仅当x=1时取等号．点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及函数恒成立，不等式的证明等问题，考查了转化能力，运算能力，属于难题．。
2014-2015学年湖南师大附中高二上第一次月考数学试题(文)
湖南师大附中2016届高二第一次月考试题数 学（文科）命题：高二文科数学备课组 审题：高二文科数学备课组一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{1，2，3，5，7}，B ＝{x ∈N |2＜x ≤6}，全集U A B =U ，则()U A B =I ð （ A ） A. {1，2，7} B. {1，7} C. {2，3，7} D. {2，7}2.设a ，b ，c 为实数，则使a ＞b 成立的一个充分不必要条件是 （ D ） A. ac ＞bc B.a bc c> C. a ＋c ＞b ＋c D. ac 2＞bc 2 3..函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋（ B ） A.[－3，0)∪(0，3] B.(－1，0)∪(0，3] C. [－3，3]D. (－1，3]4.师大附中高二年级开展“我的未来不是梦”演讲比赛，七位评委为某参赛选手给出的分数(满分：100分)去掉一个最高分和一个最低分后，则余下5个分数的方差是（ A ）A. 1.6B. 8C. 5.已知tan (π－α)＝2，则2sin 2cos αα+= （ D ）A. 1B.35 C. 15- D. 35- 【解析】由已知，tan α＝－2，则原式22222sin cos cos 2tan 13sin cos tan 15ααααααα++===-++，选D. 6.在区间(0，1)上任取两个数x ，y ，则事件“43x y +<”发生的概率是 （ D ）A.92B.95C. 94 【解析】图中阴影部分的面积除以正方形的面积为所求的概率所以122712339P =-⋅⋅=，选D.7.已知函数f (x )＝(t 2－t ＋1)35t x +是幂函数，其图象关于y 轴对称，则实数t 的值为 （ C ）A. －1B. 0C. 1D. 0或18.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知112a =，且123a a a +=，则S 40＝ （ C ） A. 290 B. 390 C. 410 D. 430 9.将函数sin(2)3y x π=+图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移3π个单位，则所得图象的函数解析式是（ D ）A. f (x )＝cos 4xB. f (x )＝cos xC. f (x )＝sin 4xD. f (x )＝sin x10.已知向量a ，b 满足：|a |＝1，b ＝1)，则|a －b |的最大值是 （ B ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上. 11. 从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001，002，…，500进行编号.如果从随机数表第8行第8列的数8开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是_ 286 .（下面摘录了随机数表第7行至第9行各数）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【解析】第一个读数是859，舍去；第二个读数是169，取出；…. 依次抽取的前4个个体的编号分别是169，105，071，286.12. 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则这个三棱柱13.若△ABC的面积为BC ＝3，C ＝60°，则AB14.已知x ＞0，y ＞0，且211x y+=，则x ＋2y 的最小值是 8 . 【解析】由已知，211x y +=，则2142(2)()448x y x y x y x y y x +=++=++≥+=. 当且仅当x ＝4，y ＝2时取等号，所以x ＋2y 的最小值是8.15. 函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则实数a 的取值范围是(,(1,2].-∞三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本题满分12分）已知集合A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}，集合B ＝{x |x 2＋6x ＋8≥0}，其中a ＜0为常数.（Ⅰ）设条件p ：x ∈A ；条件q ：x ∈B ，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求a 的取值范围； （Ⅱ）设命题r ：∃a ＜0，使A B =∅I ，试判断命题r 的真假. 【解】（Ⅰ）由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(3)()0x a x a --<.因为a ＜0，则3a ＜x ＜a ，所以A ＝(3a ，a ). （2分） 由x 2＋6x ＋8≥0，得(x ＋4)( x ＋2)≥0，即x ≤－4或x ≥－2.所以B ＝(－∞，－4]∪[－2，＋∞). （4分） 因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则q p ⌝⇒⌝，即p q ⇒，所以A 是B 的真子集. （6分） 所以a ≤－4或－2≤3a ＜0，故a 的取值范围是2(,4][,0)3-∞--U . （8分）（Ⅱ）假设A B =∅I ，则342a a ≥-⎧⎨≤-⎩，即432a a ⎧≥-⎪⎨⎪≤-⎩，无解. （10分）所以对任意a ＜0，A B ≠∅I ，即﹁r 为真命题，故命题r 为假命题. （12分） 17.（本题满分12分）已知函数f (x)＝2cos x (3sin x ＋cos x )－1. （Ⅰ）求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．【解】（Ⅰ）因为f (x )＝23sin x cos x ＋2cos2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6). （3分）当[0,]2x π∈时，72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-. （5分） 所以f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1. （6分）（Ⅱ）因为f (x 0)＝2sin(2x 0＋π6)＝65，则sin(2 x 0＋π6)＝35. （7分）因为x 0∈[π4，π2]，则2 x 0＋π6∈[2π3，7π6]．从而cos(2 x 0＋π6)＝45=-（2分）故cos2 x 0＝cos[(2 x 0＋π6)－π6]＝cos(2 x 0＋π6)cos π6＋sin(2 x 0＋π6)sin π6＝3－4310. （12分）18．（本题满分12分）故所求的概率为1205P =-=. （12分） 19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BC ＝CC 1E 在棱AB 上. （Ⅰ）证明：B 1C ⊥C 1E ；（Ⅱ）若四棱锥E －B 1BCC 1的体积为43，求异面直线AA 1与C 1E 所成的角. 【解】（Ⅰ）连结BC 1，因为BC ＝CC 1，则四边形BCC 1B 1为正方形，所以B 1C ⊥BC 1. ①（2分） 因为AB ⊥平面BCC 1B 1，则AB ⊥B 1C. ② （4分） 结合①②知，B 1C ⊥平面BC 1E ，所以B 1C ⊥C 1E. （6分） （Ⅱ）因为CC 1∥AA 1，则∠CC 1E 为所求的角. （7分）因为BC ＝CC 11111233E B BCC V BC CC BE BE -=⋅⋅⋅=.由已知，2433BE =，则BE ＝2. （9分） 在Rt △CBE 中，CE = （10分）在Rt △C 1CE 中，11tan CECC E CC ∠==CC 1E ＝60°. 故异面直线AA 1与C 1E 所成的角为60°. （12分） 20. （本题满分13分）已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0．问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由． 【解】 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1． （3分） 于是可知，1=AB k ．设b x y AB +=:，代入圆C 的方程，整理得044)1(2222=-++++b b x b x ，则Δ>0，即0962=-+b b ．解得233233+-<<--b ． （7分） 设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2．由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， （10分） 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0． ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0．∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0． 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0， [12分]即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0． （13分） 21.（本题满分13分） 已知数列{a n }满足：21212n na a a n+++=-(n ∈N*). （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设22n nn nb a -=，数列{b n }的前n 项和为.n S 若对一切n ∈N*，都有S n ＜M 成立(M 为正整数)，A B CD A 1B 1C 1D 1E求M 的最小值. 【解】（Ⅰ）因为21212n n a a a n +++=-，则11212121n n a a a n --+++=--( n ≥2). （2分） 两式相减，得12n na n-=，即12(2).n n a n n -=⋅≥ （3分） 由已知，a 1＝2－1＝1满足上式. （4分） 故数列{a n }的通项公式是12.n n a n -=⋅ （5分）（Ⅱ）由题设，11(21)2122n n n n n n b n ----==⋅. （6分） 则21135211222n n n S --=++++， 21113232122222n n nn n S ---=++++. （8分）两式相减，得22111211212311332222222n n n n n nn n n S ----+=++++-=--=-. （10分） 所以1236.2n n n S -+=- （11分）显然，6n S <，又5136516S =->，所以M ≥6，故M 的最小值为6. （13分）。
湖南师大附中高一数学上学期期末考试试卷(含解析)
2012-2013学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共7个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（）A．正三角形的直观图仍然是正三角形．B．平行四边形的直观图一定是平行四边形．C．正方形的直观图是正方形．D．圆的直观图是圆考点：斜二测法画直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，可得正三角形的直观图是一个钝角三角形，正方形的直观图是平行四边形，圆的直观图是椭圆，进而得到答案．解答：解：利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图中正三角形的直观图是一个钝角非等腰三角形，故A错误；由于直观图中平行四边形的对边还是平行的，故直观图一定还是平行四边形，故B正确；正方形的直观图是平行四边形，故C错误；圆的直观图是椭圆，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是斜二侧画法，熟练掌握斜二侧画法的作图步骤及实质是解答的关键．2．（5分）已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为（）A．y=x+2 B．y=x﹣2 C．y=﹣x+2 D．y=﹣x﹣2考点：直线的斜截式方程．专题：计算题．分析：由题意可得直线的斜率和截距，由斜截式可得答案．解答：解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为k=tan45°=1，由斜截式可得方程为：y=x+2，故选A点评：本题考查直线的斜截式方程，属基础题．3．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+2y﹣1=0，l2：mx﹣y+3=0，若l1⊥l2，则m的值为（）A．2B．﹣1 C．2或﹣1 D．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可知两条直线的斜率存在，通过斜率乘积为﹣1，求出m的值即可．解答：解：因为直线l1：（m﹣1）x+2y﹣1=0，l2：mx﹣y+3=0，l1⊥l2，所以，解得m=2或﹣1，故选C．点评：本题考查直线垂直条件的应用，直线的斜率的应用，基本知识的考查．4．（5分）已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于（）A．4πB．6πC．8πD．9π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体的棱长，求出正方体的体对角线长，即球的直径，然后求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：正方体的棱长为正方体的体对角线为=3，即为球的直径，所以半径为，球的表面积为4π （）2=9π．故选D点评：本题考查的知识点是球的表面积，球内接多面体，其中正确理解正方体的体对角线长，即球的直径是解答的关键．5．（5分）已知圆与圆相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（）A．x+2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x﹣2y﹣1=0考点：相交弦所在直线的方程．专题：计算题；直线与圆．分析：对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．解答：解：由题意，∵圆与圆相交，∴两圆的方程作差得6x+12y﹣6=0，即公式弦所在直线方程为x+2y﹣1=0故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交弦所在直线方程的求法，注意x，y的二次项的系数必须相同，属于基础题．6．（5分）若a、b表示两条不同直线，α、β表示两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．a∥α，B．a∥α，C．a∥α，D．α⊥β，b⊥α⇒a⊥b b∥α⇒a∥b b⊂α⇒a∥b a⊂α⇒a⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行与垂直的性质判断A是否正确；借助图形判断平行于同一平面的二直线的位置关系来判断B是否正确；根据线面平行的性质定理的条件判断C是否正确；根据面面垂直的性质定理的条件判断D是否正确．解答：解：∵过a作平面β交平面α于直线c，∵a∥α，∴a∥c，又∵b⊥α，c⊂α，∴b⊥c，∴a⊥b，故A正确；∵a∥α，b∥α，a、b的位置关系不确定，∴B错误；∵a∥α，b⊂α，a、b有可能异面，∴C错误；∵α⊥β，a⊂α，a与β的位置关系不确定，∴D错误．故选A点评：本题考查直线与直线的平行与垂直关系的判定与线面垂直的判定．7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面母线，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解答：解：圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，圆锥的母线长为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：π×12×=．故选A．点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．8．（5分）直线x﹣y=2被圆（x﹣4）2+y2=4所截得的弦长为（）A．B．2C．D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先求出圆心和半径，以及圆心到直线x﹣y=2的距离d的值，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：由于圆（x﹣4）2+y2=4的圆心为（4，0），半径等于2，圆心到直线x﹣y=2的距离为 d==，故弦长为 2=2，故选B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9．（5分）若球的表面积为36π，则该球的体积等于36π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积．解答：解：因为球的表面积为36π，所以4πr2=36π，球的半径为：r=3，所以球的体积为：=36π．故答案为：36π点评：本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．10．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据异面直线所成角的定义，证明已知角为异面直线所成的角，再解三角形求角即可．解答：解：连接BC1，∵A1B1∥C1D1，∴∠BD1C1为异面直线A1B1与BD1所成的角，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，∴C1D1⊥平面BCC1B1，∴C1D1⊥BC1，在Rt△BC1D1中，BC1=，tan∠BD1C1=，∠BD1C1=．故答案是点评：本题考查异面直线所成的角．异面直线所成的角的求法是：1、作角（作平行线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．11．（5分）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4关于y轴对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为（﹣1，2），半径还是2，从而求得所求的圆的方程．解答：解：已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为（﹣1，2），半径不变，还是2，故对称圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，故答案为（x+1）2+（y﹣2）2=4．点评：本题主要考查求圆的标准方程，求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为（﹣1，2），是解题的关键，属于基础题．12．（5分）已知点A，B到平面α的距离分别为4cm和6cm，当线段AB与平面α相交时，线段AB的中点M到α平面的距离等于 1 ．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，利用相似三角形的性质、中点的性质、三角函数、线面垂直的判定与性质、点M到α平面的距离的定义即可得出．解答：解：如图所示：BD⊥α，AC⊥α，C、D为垂足．设线段AB与平面α相交于点O，点E为线段AB的中点，过点E作EF⊥DO，垂足为F 点，则EF⊥平面α．又∵∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴==．∵OE+OA=BE=OB﹣OE，∴==．在Rt△OBD中，．在Rt△OBD中，EF=OEsin∠EOF==1．∴线段AB的中点M到α平面的距离等于1．故答案为1．点评：熟练掌握相似三角形的性质、三角函数、线面垂直的判定与性质、点M到α平面的距离的定义事件他的关键．13．（5分）无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P的坐标为（3，1）．考点：恒过定点的直线．分析：直线l即：m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点，解方程组，求得定点P的坐标．解答：解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0 即 m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，故直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点．由求得，∴点P的坐标为（3，1），故答案为（3，1）．点评：本题主要考查过定点问题，判断直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点，是解题的关键，属于中档题．14．（5分）直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是[1，3] ．考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：求出直线恒过的定点，画出图形，求出PA，PB的斜率即可得到k的范围．解答：解：因为直线y=k（x﹣1）恒过P（1，0），画出图形，直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，就是直线落在阴影区域内，所以k PA==1；k PB==3；所求k的范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．点评：本题是基础题，考查直线的斜率的应用，斜率的求法，考查数形结合的思想，计算能力．15．（5分）若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则它的体积等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，可得圆柱的高和底面周长均为4，求出底面半径，代入圆柱体积公式可得答案．解答：解：由圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，可得圆柱的高H=4，底面周长也为4故底面半径R=故底面面积S=πR2=故圆柱的体积V=SH=．故答案为：点评：本题考查的知识点是圆柱的展开图，圆柱的体积，其中根据已知分析出圆柱的高和底面周长均为4，是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（11分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可以分析出该几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，进而可得到圆锥的高为，代入圆锥的体积公式和表面积公式，可得答案．解答：解：根据几何体的三视图知，原几何体是以半径为1的圆为底面，母线长为2的圆锥则圆锥的高为的圆锥．…3分则它的侧面积S侧=πrl=2π，…7分体积．…11分点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状及底面半径，母线长等几何量是解答的关键．17．（12分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：（1）由垂直可得a+3（a﹣2）=0，解之即可；（2）由平行可得a=3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．解答：解：（1）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）=0，…4分解得；…6分（2）当l1∥l2时，有，…8分解得a=3，…9分此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0即3x+3y+9=0，故它们之间的距离为．…12分．点评：本题考查直线的一般式方程的平行和垂直关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．18．（12分）如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E 是AC中点，且AB=BC=2，∠CBD=45°．（1）求证：CD⊥面ABC；（2）求直线BD与面ACD所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）利用圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理即可得出；（2）利用线面垂直的判定和性质、线面角的定义即可得出．解答：（1）证明：∵BD是底面圆的直径，∴∠BCD=90°，∴CD⊥BC；由圆柱可得：母线AB⊥底面BCD，∴AB⊥CD；又AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（2）连接DE，由（1）可知：CD⊥BE．∵E是AC的中点，AB=BC，∠ABC=90°．∴BE⊥AC，又AC∩CD=C，∴BE⊥平面ACD．∴∠BDE是直线BD与面ACD所成的角．在Rt△ABC中，AB=BC=2，AE=EC，∴BE==，在Rt△BCD中，BC=2，∠CBD=45°，∴．由BE⊥平面ACD，∴BE⊥ED，即∠BED=90°．∴，又∠BDE是锐角，∴∠BDE=30°．点评：熟练掌握圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的判定和性质、线面角的定义是解题的关键．19．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）通过面面平行⇒线面平行；（2）根据线面垂直关系，判定直线在平面内的射影，证角符合线面角定义，再求角．（3）可根据三垂线定理作二面角的平面角，再通过解三角形求角．解答：解：（1）证明：取AC的中点G，连接EG、FG，∵EG∥CC1，CC1⊄平面EFG，∴CC1∥平面EFG，同理：BC∥平面EFG，又∵BC、CC1⊂平面BCC1B1，∴平面EFG∥平面BCC1B1．（2）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴EG⊥平面ABC∵EG∥CC1，∠FEG为直线EF与CC1所成的角△EFG为Rt△，∴tan∠FEG===．（3）取AF的中点H，连接GH、EH，∵AC=BC，∴CF⊥AB，又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH为EH在平面ABC中的射影，∴∠EHG为二面角E﹣AB﹣C的平面角，又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，，EG=CC1=a，则．点评：本题考查线面平行的判定、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．空间角的求法：1、作角（作平行线或垂线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．20．（13分）已知⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上．（1）求⊙C的方程；（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，求实数k的取值范围．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上，构造关于D，E，F的三元一次方程组，解方程组后可得⊙C的方程；（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则联立直线和圆的方程后，所得方程有根，即对应的△≥0，解不等式可得实数k的取值范围解答：解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，…5分所以⊙C方程为x2+y2﹣6x﹣8y+24=0．…6分（2）：由， (8)分因为直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则△=（6+2k）2﹣36（1+k2）≥0，…10分解得．…12分点评：本题考查的知识点是圆的标准方程，直线与圆的位置关系，（1）的关键是根据已知构造方程组，（2）的关键是分析出联立方程后，消元得到的方程有根．21．（14分）（2008•湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题．分析：（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E 到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．解答：解：（I）如图，AB=40，AC=10，．由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．由余弦定理得BC=．所以船的行驶速度为（海里/小时）．（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．在△ABC中，由余弦定理得，==．从而．在△ABQ中，由正弦定理得，AQ=．由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15．过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°﹣∠ABC）=．所以船会进入警戒水域．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．考查学生的运算能力、综合考虑问题的能力．。
湖南师大附中高一数学上学期期末考试试卷(含解析)
2012-2013学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共7个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是1212，解得：正方体的棱长为=3即为球的直径，所以半径为）5．（5分）已知圆与圆相交，则12与圆7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为，圆锥的高为：π×=222=，二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9．（5分）若球的表面积为36π，则该球的体积等于36π．所以球的体积为：10．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．，tan∠BD，．故答案是11．（5分）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4关于y轴对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4 ．12．（5分）已知点A，B到平面α的距离分别为4cm和6cm，当线段AB与平面α相交时，线段AB的中点M到α平面的距离等于 1 ．=．==中，EF=OEsin∠EOF=13．（5分）无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P 的坐标为（3，1）．，求得定点，14．（5分）直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是[1，3] ．=1=315．（5分）若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则它的体积等于．=V=SH=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（11分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．，代入圆锥的体积公式和表面积公式，可得答案．的圆锥． (3)． (11)17．（12分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．； (6)时，有故它们之间的距离为18．（12分）如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E 是AC中点，且AB=BC=2，∠CBD=45°．（1）求证：CD⊥面ABC；（2）求直线BD与面ACD所成角的大小．，∴BE=，19．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值．=．．20．（13分）已知⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上．（1）求⊙C的方程；（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，求实数k的取值范围．：由． (12)21．（14分）（2008•湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．求出AB=40，AC=10．BC=所以船的行驶速度为．．。
最新版湖南师大附中高一上学期期末考试数学Word版含答案
湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试数 学命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组时量：120分钟 满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线过点(1, 2)，(2, 2＋3)，则此直线的倾斜角是 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2: (a ＋2)x －y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为 A ．2 B ．1 C ．0 D ．－13．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为 ①a ⊥α，b ∥αa ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥bb ∥α；③a ∥α，a ⊥bb ⊥α.A ．1B ．2C ．3D ．04．在空间直角坐标系中，点B 是A (1，2，3)在xOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于A.14B.13C. 5D.105．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离6．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是7．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是 A ．3x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝08．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为 A.322 B.142 C.324 D.322－110．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCDED ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上 答题卡4 5 6 7 8二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．11．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′＝3, O′B′＝4，则△AOB的面积是________．12．在三棱锥A－BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________．13．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若P A⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．三、解答题： 14．(本题满分10分)已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.(Ⅰ)求直线l 的方程；(Ⅱ)求与直线l 切于点(2，2)，圆心在直线x ＋y －11＝0上的圆的方程．15．(本题满分12分)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点A (26，1)，B (2，1)的距离之比等于5. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C ，过点P (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．16．(本题满分13分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：P A∥平面BDE；(Ⅱ)平面P AC⊥平面BDE；(Ⅲ)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．第Ⅱ卷(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如11＝2(mod 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于A ．21B ．22C ．23D ．2418．在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD ＝∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是A ．直线的一部分B ．半圆的一部分C ．圆的一部分D ．球的一部分 答题卡17 18 得 分二、填空题：本大题共1小题，每小题5分．19．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F (x )＝f (x )－20172018的所有零点之和为________三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．(本题满分10分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(Ⅰ)求证：AC⊥BD1；(Ⅱ)是否存在直线与直线AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由)；若不存在，请说明理由．平面直角坐标系中，在x轴的上方作半径为1的圆Γ，与x轴相切于坐标原点O.平行于x轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为－1，A(x，y)是圆Γ外一动点，A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1.(Ⅰ)求动点A的轨迹方程；(Ⅱ)设l2是圆Γ平行于x轴的切线，试探究在y轴上是否存在一定点B，使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)．(Ⅰ)若f (x )＋f (x －1)＞0成立，求x 的取值范围；(Ⅱ)若定义在R 上奇函数g (x )满足g (x ＋2)＝－g (x )，且当0≤x ≤1时，g (x )＝f (x )，求g (x )在[－3，－1]上的解析式，并写出g (x )在[－3，3]上的单调区间(不必证明)；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g (x )，若关于x 的不等式g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2x8＋2x ＋3≥g ⎝⎛⎭⎫－12在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C 【解析】利用斜率公式k ＝3＝tan θ，可求倾斜角为60°. 2．D 【解析】由题知(a ＋2)a ＋1＝0a 2＋2a ＋1＝(a ＋1)2＝0，∴a ＝－1.也可以代入检验． 3．A 【解析】①正确．4．D 【解析】点A (1，2，3)在xOz 坐标平面内的射影为B (1，0，3)， ∴|OB |＝12＋02＋32＝10.5．B 【解析】将两圆化成标准方程分别为x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，可知圆心距d ＝5，由于2<d <4，所以两圆相交．6．C 【解析】当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.7．D 【解析】化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9，过点P (1，2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1，由k PC ＝－2得k l ＝12，进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.8．C 【解析】将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为正方体ABDC －A 1B 1D 1C 1, 则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于BA 1与BD 1所成的角，为60°.9．B 【解析】当圆心到直线距离最短时，可得此时切线长最短．d ＝322，切线长＝⎝⎛⎭⎫3222－12）＝142.10．B 【解析】对A 来说，DE ⊥平面A ′GF ，∴DE ⊥A ′F ；对B 来说，∵E 、F 为线段AC 、BC 的中点，∴EF ∥AB ，∴∠A ′EF 就是异面直线A ′E 与BD 所成的角，当(A ′E )2＋EF 2＝(A ′F )2时，直线A ′E 与BD 垂直，故B 不正确；对C 来说，因为DE ⊥平面A ′GF ，DE 平面BCDE ，∴平面A ′GF ⊥平面BCDE ，故C正确；对D 来说，∵A ′D ＝A ′E ，∴DE ⊥A ′G ，∵△ABC 是正三角形，∴DE ⊥AG ，又A ′G ∩AG ＝G ，∴DE ⊥平面A ′GF ，从而平面ABC ⊥平面A ′AF ，且两平面的交线为AF ，∴A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上，正确．二、填空题11．12 【解析】△OAB 为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12.12．50π 【解析】三棱锥A －BCD 的外接球就是长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球，所以外接球的半径R 满足：2R ＝32＋42＋52＝5 2.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积S ＝4 πR 2＝50 π.13. a >6 【解析】由P A ⊥平面AC ，PE ⊥DE ，得AE ⊥DE .问题转化为以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，所以a2>3，解得a >6.三、解答题14．【解析】(Ⅰ)3x ＋4y －14＝0 (Ⅱ)(x －5)2＋(y －6)2＝25 15．【解析】(Ⅰ)由题意，得|MA ||MB |＝5. （x －26）2＋（y －1）2（x －2）2＋（y －1）2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0. 即(x －1)2＋(y －1)2＝25.∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25， 轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆． (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段的长为252－32＝8， ∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1， 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0.即5x －12y ＋46＝0. 综上，直线l 的方程为 x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0.16．【解析】(Ⅰ)证明：连接OE ，如图所示． ∵O 、E 分别为AC 、PC 中点， ∴OE ∥P A . ∵OE面BDE ，P A平面BDE ，∴P A ∥平面BDE .(Ⅱ)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ， 又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC . 又∵BD平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE .(Ⅲ)取OC 中点F ，连接EF . ∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ， ∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°. 在Rt △OEF 中， OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.17．C18．C 【解析】因为AD ⊥平面P AB ，BC ⊥平面P AB ，所以AD ∥BC ，且∠DAP ＝∠CBP ＝90°.又∠APD ＝∠CPB ，AD ＝4，BC ＝8，可得tan ∠APD ＝AD P A ＝CB PB ＝tan ∠CPB ，即得PBP A ＝CBAD＝2，在平面P AB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (－3，0)、B (3，0)．设点P (x ，y )，则有|PB ||P A |＝（x －3）2＋y 2（x ＋3）2＋y 2＝2，整理得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0.由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个圆，但要去掉二个点，选C. 19．【解析】∵当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1）；1－|x －3|，x ∈[1，＋∞）；即x ∈[0，1)时，f (x )＝log 12(x ＋1)∈(－1，0]；x ∈[1，3]时，f (x )＝x －2∈[－1，1]； x ∈(3，＋∞)时，f (x )＝4－x ∈(－∞，－1)； 画出x ≥0时f (x )的图象，再利用奇函数的对称性，画出x ＜0时f (x )的图象，如图所示；则直线y ＝20172018，与y ＝f (x )的图象有5个交点，则方程f (x )－20172018＝0共五个实根，最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，∵x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1)，∴f (－x )＝log 12(－x ＋1)，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 12(－x ＋1)＝log 12(1－x )－1＝log 2(1－x )，∴中间的一个根满足log 2(1－x )＝20172018，即1－x ＝220172018，解得x ＝1－220172018，∴所有根的和为1－220172018.20．【解析】(Ⅰ)证明：如图，连结BD . ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1， ∴D 1D ⊥平面ABCD . ∵AC平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC .∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1. ∵BD 1平面BDD 1，∴AC ⊥BD 1.(5分)(Ⅱ)存在．答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC 1A 1中， 且过BD 1的中点并与直线A 1A ，C 1C 相交． 下面给出答案中的两种情况，其他答案只要合理就可以给满分．(10分)21．【解析】(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O 1，显然圆Γ上距A 距离最小的点在AO 1上，于是依题意知AO 1的长度等于A 到l 1的距离．显然A 不能在l 1的下方，若不然A 到l 1的距离小于AO 1的长度， 故有（y －1）2＋x 2＝y －(－1)， 即y ＝14x 2 (x ≠0)．(5分)(Ⅱ)若存在这样的点B ，设其坐标为(0，t )，以AB 为直径的圆的圆心为C ，过C 作l 2的垂线，垂足为D .则C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y ＋t 2，于是CD ＝|y ＋t －4|2，AB ＝x 2＋（y －t ）2＝4y ＋（y －t ）2 设所截弦长为l ，则l 24＝⎝⎛⎭⎫AB 22－CD 2＝4y ＋（y －t ）24－（y ＋t ）2－8（y ＋t ）＋164， 于是l 2＝(12－4t )y ＋8t －16，(10分) 弦长不变即l 不随y 的变化而变化， 故12－4t ＝0，即t ＝3.即存在点B (0，3)，满足以AB 为直径的圆截直线l 2所得的弦长不变．(12分) 22．【解析】(Ⅰ)由f (x )＋f (x －1)＞0得log 2(x ＋1)＋log 2x ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＞1x ＞0x ＋1＞0，解得x ＞5－12，所以x 的取值范围是x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞5－12(5分)； (Ⅱ)当－3≤x ≤－2时，g (x )＝－g (x ＋2)＝g (－x －2)＝f (－x －2)＝log 2(－x －2＋1)＝log 2(－x －1)， 当－2＜x ≤－1时，g (x )＝－g (x ＋2)＝－f (x ＋2)＝－log 2(x ＋3)，综上可得g (x )＝⎩⎨⎧log 2（－1－x ），（－3≤x ≤－2）－log 2（3＋x ），（－2＜x ≤－1），g (x )在[－3，－1]和[1，3]上递减；g (x )在[－1，1]上递增；(9分) (Ⅲ)因为g ⎝⎛⎭⎫－12＝－g ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－log 232， 由(Ⅱ)知，若g (x )＝－log 232，得x ＝－32或x ＝52，由函数g (x )的图象可知若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2x8＋2x ＋3≥g ⎝⎛⎭⎫－12在R 上恒成立．设u ＝t －2x 8＋2x ＋3＝－18＋t ＋18（1＋2x ）， 当t ＋1≥0时，u ＝－18＋t ＋18（1＋2x）∈⎝⎛⎭⎫－18，－18＋t ＋18， 则u ∈⎝⎛⎭⎫－18，－18＋t ＋18⎝⎛⎭⎫－12，52，则－18＋t ＋18≤52，解得－1≤t ≤20.当t ＋1＜0时，u ＝18＋t ＋18（1＋2x ）∈⎝⎛⎭⎫－18＋t ＋18，－18， 则u ∈⎝⎛⎭⎫－18＋t ＋18，－18⎝⎛⎭⎫－12，52，则－18＋t ＋18≥－12， 解得－4≤t ＜－1.综上，故－4≤t≤20.(13分)。
湖南师大附中2014年高一上数学期末试题及答案【新课标人教版】
必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知过点(2,)A m 和(,4)B m 的直线与直线012y x 平行，则m 的值为（A）A ．8B ．0C ．2D ．102、过点(1,3)P 且垂直于直线032y x 的直线方程为（ B ）A ．052y xB ．012y x C ．052y x D ．072y x 3、下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ A ）A ．0B ．1C ．2D ．34、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ B ）Ａ．28cm Ｂ．212cm Ｃ．216cm Ｄ．220cm 5、圆122y x 上的点到点(3,4)M 的距离的最小值是（ B ）A ．1B ．4C ．5D ．66、若)1,2(P 为圆25)1(22y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ D ）A. 052y xB. 032y x C. 01y x D. 03y x 7、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ C ）A ．90B ．60C ．45D ．30二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．8、在空间直角坐标系中，点(1,1,3)A 与点(1,3,0)B 的距离为5.。
2014-2015学年湖南师大附中高一(上)模块数学试卷(必修5)
2014-2015学年湖南师大附中高一（上）模块数学试卷（必修5）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0}，B ={x|x ≥0}，则A ∩B =( ) A.{x|0≤x ≤1} B.{x|1≤x ≤3} C.{x|x ≥3或0≤x ≤1} D.{x|0≤x ≤3}2. 在三角形ABC 中，若sin A cos B ≤0，则三角形ABC 为（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形或直角三角形3. 已知数列{a n }，且a n =1n 2+n，则数列{a n }前100项的和等于（ ）A.99100 B.100101C.101102D.991014. 不可以作为数列：2，0，2，0，…，的通项公式的是（ ） A.a n =2|sinnπ2|B.a n ={2(n =2k −1,k ∈N +)0(n =2k,k ∈N +)C.a n =(−1)n +1D.a n =2|cos (n−1)π2|5. 函数f(x)=lg (−x 2+2x +15)的定义域为（ ） A.(−3, 5)B.(−5, 3)C.(−∞, −5)∪(3, +∞)D.(−∞, −3)∪(5, +∞)6. △ABC 中，若acos B =bcos A ，则该三角形一定是（ ） A.直角三角形但不是等腰三角形 B.等腰三角形但不是直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形7. 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=−10，则a 2016=( ) A.2015 B.2014 C.−2015 D.−20148. 已知△ABC 的面积为√32，AC =2，∠BAC =60∘，则BC =( )A.√3B.√7C.√5−2√3D.39. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表分别为（ ） A.30，20 B.50，0C.20，30D.0，5010. 下列说法错误的是（ ） A.等差数列不可能是摆动数列B.等比数列可以是递增、递减、摆动、常数数列C.数列通项公式可能不止一个D.既是等差数列又是等比数列的数列有且只有一个 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.在等比数列{a n }中，a 2=1，a 4=16，则公比为________．已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤02x −y −3≥0，当目标函数z =ax +by(a >0, b >0)在该约束条件下取到最小值2√5时，ab 的最大值为________．若△ABC 的内角满足sin A +√2sin B =2sin C ，则cos C 的最小值是________． 三、解答题（本题共6个小题，满分85分）已知点O(0, 0)，A(3, 1)，点P(x, y)满足{2x +y −2≥0x −2y +4≥03x −y −3≤0，求OA →⋅OP →的最大值和最小值．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2−5x +6=0的根． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{an2n }的前n 项和．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，cos A =√63，B ＝A +π2．(Ⅰ)求b 的值；(Ⅱ)求△ABC 的面积．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项之和，且S 6<S 7，S 7>S 8，则： ①此数列的公差d <0 ②S 9一定小于S 6③a 7是各项中最大的一项 ④S 7一定是S n 中的最大值．其中正确的是________（填入你认为正确的所有序号）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n 个三角形数为n(n+1)2=12n 2+12n ．记第n 个k 边形数为N(n, k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N(n, 3)=12n 2+12n正方形数 N(n, 4)=n 2 五边形数 N(n, 5)=32n 2−12n六边形数 N(n, 6)=2n 2−n可以推测N(n, k)的表达式，由此计算N(10, 24)=________．设函数f(x)=mx 2−mx −1．若对一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围；对于x ∈[1, 3]，f(x)<−m +5恒成立，求m 的取值范围．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A =1213，cos C =35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ，a n+1=23a n +n −4，b n =(−1)n (a n −3n +21)，其中λ为实数，n 为正整数．S n 为数列{b n }的前n 项和．（1）对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列； （2）对于给定的实数λ，试求数列{b n }的通项公式，并求S n ．（3）设0<a <b （a ，b 为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a <S n <b ？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2014-2015学年湖南师大附中高一（上）模块数学试卷（必修5）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】三角函来值的阿号【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】数列体函硫特性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函数因值的十用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】等差因列的校质等比使香的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共6个小题，满分85分）【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题函数因值的十用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式诱三公定余弦常理么应用正因归理同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数列与验流式的综合数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
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湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共35分）1．（5分）已知直线l经过点A（4，1），B（6，3），则直线l的倾斜角是（）A．0°B．30°C．45°D．60°2．（5分）若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥m，则m⊥αD．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α5．（5分）直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的距离为（）A．2B．C．D．16．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=07．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC二、填空题（每小题5分，共15分）8．（5分）空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．9．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．10．（5分）过点P（﹣3，1）且与直线2x+3y﹣5=0垂直的直线方程为．三、解答题11．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=3，BC=BD=4，点E，F分别是AC，AD的中点（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．12．（12分）三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程．13．（13分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点（1）求证：AC⊥平面BDD1（2）求EA与平面BDD1所成角的正弦值．14．（13分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0（1）写出圆C的圆心坐标及半径；（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程．四、选择题（每小题5分，共15分）15．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．16．（5分）已知0＜a＜1，则方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．五、填空题（每小题5分，共10分）18．（5分）圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为．19．（5分）一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为米．六、解答题20．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=2|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+2m﹣8，其中m为参数，且满足m≤5．（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在x∈，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共35分）1．（5分）已知直线l经过点A（4，1），B（6，3），则直线l的倾斜角是（）A．0°B．30°C．45°D．60°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：根据直线过点A、B，求出它的斜率，由斜率得出对应的倾斜角．解答：解：直线l经过点A（4，1），B（6，3），∴直线l的斜率是k==1，∴直线l的倾斜角是45°．故选：C．点评：本题考查了利用两点的坐标求直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题目．2．（5分）若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等．解答：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为等腰直角三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选D．点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥m，则m⊥αD．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．解答：解：A．根据线面平行的性质可知，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者l与m是异面直线，所以A错误．B．平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，可能是异面直线，所以B错误．C．根据线面垂直和直线平行的性质可知，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，所以C正确．D．根据线面垂直的判定定理可知，要使直线l⊥α，则必须有l垂直平面α内的两条直线，所以D错误．故选C．点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的位置关系的判断和应用，要求熟练掌握相应的定义和判断定理．5．（5分）直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的距离为（）A．2B．C．D．1考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：由已知中直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的方程，代入两条平行直线距离公式d=，即可得到答案．解答：解：直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0中a=1，b=1，c1=﹣1，c2=1∵两条平行直线距离公式d==故选B点评：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离，其中熟练掌握两条平行直线距离公式d=，是解答本题的关键．6．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，可得出圆心坐标为（1，2），将x=1，y=2代入A选项得：x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入C选项得：x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；将x=1，y=2代入D选项得：x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，则直线x﹣y+1=0将圆平分．故选C点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．7．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC考点：平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．解答：解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故选D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．二、填空题（每小题5分，共15分）8．（5分）空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案．解答：解：∵点A（0，0，1），点B（0，1，0），∴根据空间两点之间的距离公式，可得线段AB长|AB|==故答案为：点评：本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题．9．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解答：解：由得，所以S=4πR2=12π．点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题．10．（5分）过点P（﹣3，1）且与直线2x+3y﹣5=0垂直的直线方程为3x﹣2y+11=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：由方程可得已知直线的斜率，进而由垂直关系可得所求直线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：可得直线2x+3y﹣5=0的斜率为，由垂直关系可得所求直线的斜率为，故可得所求方程为y﹣1=（x+3），化为一般式可得3x﹣2y+11=0故答案为：3x﹣2y+11=0点评：本题考查直线的一般式方程，以及直线的垂直关系，属基础题．三、解答题11．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=3，BC=BD=4，点E，F分别是AC，AD的中点（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）在△ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，由三角形中位线定理可得EF∥CD，然后利用线面平行的判定得答案；（2）直接由三棱锥的体积公式结合已知条件求得三棱锥A﹣BCD的体积．解答：解：（1）EF∥平面BCD．事实上，∵在△ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD；（2）∵AB⊥平面BCD，∴AB为三棱锥A﹣BCD的高，又BC⊥BD，BC=BD=4，∴，又AB=3，∴．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．12．（12分）三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；（2）先由中点坐标求出点D的坐标，再根据两点式公式写出直线方程即可．解答：解：（1）BC边所在直线的方程为：即x+2y﹣4=0（2）∵BC边上的中点D的坐标为（0，2）∴BC边上中线AD所在直线的方程为：即2x﹣3y+6=0点评：此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题．13．（13分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点（1）求证：AC⊥平面BDD1（2）求EA与平面BDD1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，可证DD1⊥AC，又AC⊥BD，即可证明AC⊥平面BDD1．（2）设AC∩BD=O，连接EO，由AC⊥平面DD1B，可得∠AEO为EA与平面BDD1所成角．不妨设正方形的边长为2，AO=，AE=，即可由sin∠AEO=求值．解答：本题满分为12分解：（1）证明：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC又∵在正方向ABCD中，AC⊥BD∴AC⊥平面BDD1…6分（2）设AC∩BD=O，连接EO，∵AC⊥平面DD1B，∴∠AEO为EA与平面BDD1所成角．不妨设正方形的边长为2，AO=，AE=，可得：sin∠AEO===…12分．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．14．（13分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0（1）写出圆C的圆心坐标及半径；（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程．考点：圆的一般方程；轨迹方程．专题：综合题．分析：（1）整理出圆C的标准方程，确定圆的圆心与半径；（2）分类讨论，利用直线ι被圆C截得的线段长为4，可得直线ι与圆心的距离为2，由此可得结论；（23）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），利用CD⊥PD，可得方程．解答：解：（1）整理圆的方程得（x+2）2+（y﹣6）2=16，圆心（﹣2，6），半径r=4；（3分）（2）由圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0得圆心坐标为（﹣2，6），半径为4又∵直线ι被圆C截得的线段长为4，∴直线ι与圆心的距离为2，当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx﹣y+5=0；∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+20=0；当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．故所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．（8分）（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y﹣6）•（y﹣5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30=0．（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．四、选择题（每小题5分，共15分）15．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可．解答：解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1∴构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选C．点评：本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，通过解直角三角形完成求直线l的斜率，属于基础题．16．（5分）已知0＜a＜1，则方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由a x﹣|log a x|=0得a x=|log a x|，作出两个函数y=a x与y=|log a x|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由a x﹣|log a x|=0得a x=|log a x|，∵0＜a＜1，∴作出两个函数y=a x与y=|log a x|的图象如图：由图象知，两个图象的交点个数为2个，即方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为2个，故选：B．点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数和方程之间的关系转化为两个函数交点问题是解决本题的关键．17．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间角．分析：先作出二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用余弦定理求解即可．解答：解：由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）∴cos∠BEF===故选C．点评：本题考查二面角的平面角，考查余弦定理，正确作出二面角的平面角是关键．五、填空题（每小题5分，共10分）18．（5分）圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出已知圆的圆心关于直线x+2y﹣5=00对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．解答：解：圆C：x2+y2=4的圆心C（0，0），半径为2，设圆心C关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆的圆心的坐标为（a，b），则，解得a=2，b=4，∴圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，注意垂直、平分的应用是解决对称问题的基本方法．19．（5分）一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为2米．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）根据点在圆上，可求得x0的值，从而得到问题的结果．解答：解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，﹣2），设圆的半径为r，则C（0，﹣r），即圆的方程为x2+（y+r）2=r2，将A的坐标代入圆的方程可得r=10，所以圆的方程是：x2+（y+10）2=100则当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）代入圆的方程可得x0=，所以当水面下降1米后，水面宽为2米．故答案为：2．点评：本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，是个基础题．六、解答题20．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，由此能求了圆的方程．（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（4分）（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）点评：本题考查圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数是否存在．对数学思维要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（13分）已知函数f（x）=2|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+2m﹣8，其中m为参数，且满足m≤5．（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在x∈，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由二次函数性质可知函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）；（2）方程f（x）=2|m|可化为（x﹣m）2=m2，解得x=0或x=2m，根据题意可得2m=0或2m ＜﹣2，从而可知实数m的取值范围；（3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集．分情况讨论f（x）和g（x）的值域，即可确定实数m的取值范围．解答：解：（1）m=2时，，∴函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（2）由f（x）=2|m|在x∈上单调递增，∴f（x）≥f（m）=1．g（x）在上单调递减，故f（x）≥f（4）=2m﹣4，g（x）在上单调递减，综上，m的取值范围是点评：本题考查导数在函数单调性中的应用，方程根的存在定理，以及存在性问题的转化，属于难题．。