2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行训练案北师大版选修2-1

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2019专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行(基础)含答案

②向量判定：
方法一：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 .
方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.
方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行
【学习目标】
1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；
2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；
3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力.
要点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行.
（1）线线平行
向量判定方法：
设直线，的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 .
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有两种：
①判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为 = ；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标；
（iii）根据法向量的定义建立关于的方程 .
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
【变式】在棱长为a的正方体中，分别为和上的点， .
求证： ∥平面 .

用向量讨论平行与垂直说课稿

用向量讨论平行与垂直说课稿今天我说课的内容是北师大版数学选修2-1第二章“用向量讨论平行与垂直”主要内容是用向量讨论平行与垂直的简单应用我将通过教材分析、目标分析、教法学法、教学程序和课后反思五个部分阐述本课的教学设计一、教材与学情分析1、地位与作用本节对用向量讨论平行与垂直的认识从必修内容中推理证明到用向量法的计算来对位置关系判断与证明为学生提供了另外一种思想。

2、学情分析1、知识与能力学生已经学习了立体几何中直线平面的位置关系，具备有关知识，学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识。

2、学生实际学生实际是基础中等、思维活跃，但解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。

二、目标分析1、教学目标根据新课程标准的理念,以及上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标【知识与技能】能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系能用向量方法判断有关直线和平面位置关系的立体几何问题。

【过程与方法】.通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程。

【情感态度价值观】引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神。

同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。

2、教学重点、难点根据教学目标应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程。

特确定如下重点与难点【重点】用向量方法判断有关直线和平面位置关系的立体几何问题【难点】空间直角坐标系的正确建立空间向量的运算及其坐标表示用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.三、教法学法数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科。

在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。

高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行4121数学

求证
(qiúzhèng
):
O1
第七页，共十六页。
活利动用(向huó量dò证ng明)策(z划hèngmíng)垂直
第八页，共十六页。
小结(xiǎojié)
今天你学了什么？ (jīntiān)
12/9/2021
9
第九页，共十六页。
线线平行(píngxíng)：
➢ 证两直线方向向量(xiàngliàng)共线即可
(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．
2021/12/9
第五页，共十六页。
垂直(chuízhí)关系的向量表示
l m 线线垂直(chuízhí)
l 线面垂直(chuízhí)
面面垂直
12/9/2021
第六页，共十六页。
活利动用(向huó量dò(nxgià)n策gli划àng)证明垂直
z
求证
(q(1iúz)hEènFg//平面(píngmiàn)HMN
)(:2)平面EFG//平面HMN
y
平面EFG的法向量怎么求？
x
平面HMN的法向量？
第四页，共十六页。
活求动平(hu面ó d(òpníngg)m策ià划n)的法向量
若要求出一个平面的法向量，一般要根据空间直角坐标系，用待定
系数法求解，一般步骤为：
➢ 证两直线方向(fāngxiàng)向量垂直即可
线面垂直(chuízhí)：
➢ 证直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量数量积均为0 ➢ 证直线的方向向量与平面的法向量平行
面面垂直：
➢ 证两平面的法向量垂直
第十一页，共十六页。
作业(zuòyè)
如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-

第二章 §4 第二课时空间向量与垂直关系

[思路点拨] 本题中 DA，DC，DD1 两两垂直，故可以 D 为原点，DA，DC，DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．可设出点 N 坐标后利用方程 MN ·DC1 ＝0，进行求解．
[精解详析] 建立空间直角坐标系，如图．
则 C1(0,2,3)，M12，2，0，D(0,0,0)，∴ DC1 ＝(0,2,3)．设点 N(0,0，h)，则 MN ＝－12，－2，h. ∵MN⊥DC1，则 MN ·DC1 ＝－12，－2，h·(0,2,3)＝－4＋3h ＝0. ∴h＝43，则 N0，0，43. 故 N 点在 DD1 上且|DN|＝43时，有 MN⊥DC1.
6．在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AS⊥底面 ABCD，
且 AS＝AB，E 是 SC 的中点．求证：平面 BDE⊥平面 ABCD. 证明：设 AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,0,0)， D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)， S(0,0,1)，E12，12，12. 法一：连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OE，则点 O 的坐标为 12，12，0.易知 AS ＝(0,0,1)， OE ＝0，0，12，∴ OE ＝12 AS ，∴OE∥AS. 又 AS⊥底面 ABCD，∴OE⊥平面 ABCD. 又 OE⊂平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABCD.
―A1→D＝(－1,0，－1)，―A1→A ＝(0,0，－1)． ∵―C→E ·―B→D ＝(－1)×12＋(－1)×－12＋0×1＝0， ∴CE⊥BD.
答案：B
2．在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1， BB1＝ 6，M 为 CC1 中点，求证：AM⊥BA1.

高中数学第二章空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论

不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理,而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了.而实际上,利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点.一. 利用空间向量处理垂直关系问题例1.ABC-C 11B A 是各棱长均相等的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点.求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1 .[分析]:线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。

若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。

[解法一]取AB 1的中点M ，AB 中点N ，连结DM ，MN ，CN MN ∥21BB 1∥CD 且MN =21BB 1=CD DMA1B1BNACC 1∴ DM ∥CN 且 DM=CN由已知可得 CN ⊥AA 1,且CN ⊥AB ∴CN ⊥面AB B 1A 1, DM ⊥面AB B 1A 1,且 DM ⊂面AB 1D, ∴面AB 1D ⊥面AB B 1A 1[回顾]面面垂直的判定定理“l ⊥α , l ⊂α ⇒ α ⊥β ”中，首先，L 应是β内垂直于交线的直线。

将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。

于是有下面的证法二。

[证法二] DM ·1AA =(++211AB )·1AA =(++211AA +2111B A )·1AA =-21a 2+0+21a 2+0 (a 为棱长)同样 DM ·AB =DC ·AB +CA ·AB +211AA ·AB +2111B A ·AB =0-21a 2+0+21a 2=0∴DM ⊥相交直线AB. AA 1, ∴DM ⊥平面AB B 1A 1 且 DM ⊂平面AB 1D ∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.本题也可以建立直角坐标系,利用向量坐标证明或证明面AB 1D 与面ABC 的法向量数量积为0.[证法三]以AB 的中点O 为原点，射线OB ，OC ，OM （M 是AB 1的中点）分别为x 轴,y 轴、z 轴正向建立空间直角坐标系.如图，设所有的棱长均为2，则A （-1，0，0），B （1，0，0）D （0,3 ,1）, B(1,0,2) xyCDA1MAOB B1C 1设平面AB 1D 的法向量为n =（x,y,z ）由n ·AD =（x,y,z ）（1，3，1）=x+3y+z=0和n ·1AB =（x,y,z ）（2，0，2）=2x+2z=0 ,取=（-1,0,1）.而平面AB B 1A 1的法向量为=（0, 3,0）·=（-1,0,1）·（0, 3,0）=0+0+0=0 ∴⊥∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.[回顾]:向量坐标法解题时注意；（1）点坐标，向量坐标，向量关系三大步的运算要准确，（2）将题意转化为相应的向量计算。

2.4《用向量讨论垂直与平行》课件(北师大版选修2-1)

学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·南充高二检测）直线 x + y =1 的一个方向向量是
a b
（
）
(A)(a,b)
(C)(b,-a)
(B)(a,-b)
则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(
ADD1A1.
8.(2010·新余高二检测)已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱 CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
【解题提示】找直线的方向向量和平面的法向量.
【解析】系,设正方体的棱长为a, (1)A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0) A1(a,0,a),C1(0,a,a) 设E(0,a,e),则A1E=(-a,a,e-a),
BD=(-a,-a,0),
A1E·BD=(-a)·(-a)+a·(-a)+(e-a)·0=0, ∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.
又∵BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,且BP⊥BC,由BP⊥AB知
BP·AB=(x-1,y,-3)·(1,5,-2) =x-1+5y+6 =x+5y+5=0 ①
答案：
三、解答题（每题8分，共16分）
7.已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的
中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证:MN∥平面ADD1A1. 【解题提示】证明MN⊥平面ADD1A1的法向量即可. 【证明】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

空间直线的方向向量和平面的法向量教学设计高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册

第二章空间向量与立体几何2．4 空间向量在立体几何中的应用 2．4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量新课程标准解读核心素养 1.能用向量语言表述直线和平面数学抽象 2.理解直线的方向向量与平面的法向量数学抽象 3.会求直线的方向向量与平面的法向量数学运算、直观想象教学设计一、目标展示二、情境导入如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.问题 (1)怎样借助空间向量来表示空间点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1? (2)设AB ―→＝v ，如果只借助v ，能不能确定直线AB 在空间中的位置？(3)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点和直线的位置？三、合作探究知识点一位置向量在空间中，取一定点O 作为原点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP ―→来表示，OP ―→_称为点P 的位置向量．知识点二直线的方向向量1．一般地，如果非零向量v 与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量．2．已知空间直线l 上一个定点A 以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置．3．一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；直线l 的方向向量v 也是所有与l 平行的直线的方向向量．知识点三平面的法向量1．如果非零向量n 所在直线与平面α垂直，则称n 为平面α的法向量．2．给定一点A 和一个向量n ，那么，过点A ，且以向量n 为法向量的平面是完全确定的． 3．一个平面的法向量有无穷多个．由于垂直于同一平面的直线是平行的，因而一个平面的所有法向量互相平行．四、精讲点拨【例1】已知点A (2，4，0)，B (1，3，3)，如图，以AB ―→的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：①AP ∶PB ＝1∶2； ②AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标．【例2】 (1)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1，3)，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z ＝( )A ．0B ．1 C.32D ．3(2)在如图所示的坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线BC 1的一个方向向量为________．【例3】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，G ，E ，F 分别为AA 1，AB ，BC 的中点，求平面GEF 的一个法向量．五、达标检测1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)2．若n ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1)六、课堂小结1.确定空间中点的位置；2.直线的方向向量；3.求平面的法向量.。

第2章空间向量与立体几何知识点清单-高二下学期数学湘教版选择性

新教材湘教版2019版数学选择性必修第二册第2章知识点清单目录第2章空间向量与立体几何2. 1 空间直角坐标系2. 2 空间向量及其运算2. 3 空间向量基本定理及坐标表示2. 4 空间向量在立体几何中的应用第2章空间向量与立体几何2. 1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz.2. 相关概念：在空间直角坐标系O-xyz中，点O叫坐标原点，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.二、空间点的坐标表示1. 空间直角坐标系点的坐标的概念在空间直角坐标系O-xyz中，若点P与有序实数组(x，y，z)之间为一一对应关系，此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标.2. 特殊点的坐标在空间直角坐标系中，原点O的坐标为(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y 轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z). 记忆方法：无谁谁为0.三、空间两点间的距离公式1. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.2. 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=√x2+y2+z2.3. 线段中点坐标公式已知空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为(x1+x22，y1+y22，z1+z22).4. 三角形重心坐标公式已知△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为(x1+x2+x33，y1+y2+y33，z1+z2+z33).5. 空间中的对称问题在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有如下结论：(1)点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)；(2)点P关于横轴(x轴)对称的点是P2(x，-y，-z)；(3)点P关于纵轴(y轴)对称的点是P3(-x，y，-z)；(4)点P关于竖轴(z轴)对称的点是P4(-x，-y，z)；(5)点P关于xOy平面对称的点是P5(x，y，-z)；(6)点P关于yOz平面对称的点是P6(-x，y，z)；(7)点P关于xOz平面对称的点是P7(x，-y，z).记忆方法：关于谁对称谁不变，其余坐标变为相反数.四、空间直角坐标系点的坐标的确定1. 建立空间直角坐标系应遵循的原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性；(3)充分利用图中已有的垂直关系.2. 确定空间中点的坐标的方法(1)垂面法：找到点P在三条坐标轴上的射影. 方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则(x，y，z)就是点P的坐标.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度(2)垂线法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由P1P及其方向确定竖坐标z，再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z).五、空间两点间的距离公式的应用1. 计算空间两点间的距离(1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式求解.(2)若点的坐标未知，则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系求出点的坐标，再代入空间两点间的距离公式求解.2. 利用空间两点间的距离公式确定点的坐标设出点的坐标，利用空间两点间的距离公式构造方程求解. 此外，要注意点的坐标的巧设，如在x轴上的点的坐标可设为(x，0，0)，在xOy平面上的点的坐标可设为(x，y，0).3. 根据两点间的距离公式可求出三角形的三边长，从而判断三角形的形状.2. 2 空间向量及其运算一、空间向量的基本概念1. 空间向量的基本概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量.(2)向量的模：空间向量a 的大小(或长度)称为a 的模，记为|a |.(3)表示：从空间中任意一点A 出发作有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，使AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与a 相同，长度与|a | 相等，则有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量a ，记作a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 通常把A 称为向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点，B 称为向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的终点. 2. 几类特殊的空间向量名称定义零向量长度为0的向量相等向量方向相同且长度相等的向量相反向量方向相反、长度相等的向量二、空间向量的加减法1. 空间向量的加减法法则平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立.(1)对于空间任意两个向量a ，b ，在平面α内任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a +b =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a -b =BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)对于空间三个或更多的向量的求和，与平面内多个向量的加法类似，可将它们依次用首尾相接的折线来表示，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量即为这些向量的和向量.2. 空间向量的加法运算律(1)加法交换律：a +b =b +a .(2)加法结合律：(a +b )+c =a +(b +c ).三、向量与实数相乘1. 向量与实数相乘的定义：任何一个向量a 都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa |=|λ||a |.当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反.空间向量的加法、减法、数乘三种运算统称为空间向量的线性运算.2. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a ，可得到与它方向相同的唯一单位向量e =1|a|a . 3. 共线向量：对于空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，若b =λa ，其中λ为实数，则b 与a 共线或平行，记作b ∥a .4. 零向量与任意向量共线.5. 空间向量与实数的乘法的运算律(1)对向量加法的分配律：λ(a +b )=λa +λb .(2)对实数加法的分配律：(λ1+λ2)a =λ1a +λ2a .四、向量的数量积1. 向量的夹角：作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作<a ，b >，其取值范围为[0，π]. 两向量同向时，夹角为0；两向量反向时，夹角为π.2. 向量的数量积：定义a·b =|a ||b |·cos<a ，b >为a 与b 的数量积.3. 零向量与任意向量的数量积为0，即0·a =0.4. 向量数量积的性质(1)向量垂直的关系式： a ⊥b ⇔a ·b =0.注：零向量与任意向量垂直.(2)模长公式：a·a =|a |2=a 2，|a |=√a 2 .(3)夹角公式：若a ，b 均为非零向量，则cos<a ，b >=a⋅b |a||b|.5. 向量数量积的运算律(1)(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(λ∈R).(2)交换律：a·b =b·a .(3)分配律：a ·(b +c )=a·b +a·c .6. 向量数量积的几何意义(1)投影向量与投影长：如图，将空间任意两个向量a ，b 平移到同一个平面内，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，<a ，b >=α，过点B 作BB 1⊥OA，垂足为点B 1，则OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为OB⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量，投影向量的模|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||cos α|称为投影长，称|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos α为OB⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.(2)数量积的几何意义：a 与b 的数量积等于a 的模|a |与b 在a 方向上的投影|b |·cos α的乘积，也等于b 的模|b |与a 在b 方向上的投影|a |cos α的乘积.五、空间向量的三角不等式1. 如果a ，b 都是空间向量，那么||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.六、空间向量的线性表示1. 空间向量的线性表示的步骤(1)在空间中选三条不在同一个平面内的向量；(2)利用向量的线性运算表示空间中的其他向量.七、利用数量积求距离问题1. 求解两点间距离问题时，转化为求以两点为端点的有向线段表示的向量的模的问题，然后将此向量表示为已知的几个向量和或差的形式，求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=√a⋅a(推广公式：|a±b|=√(a±b)2=√a2±2a⋅b+b2)求解即可.八、利用数量积求解夹角问题1. 求空间两个向量的夹角的方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；求cos<a，b>，最后确定<a，b>.(2)先求a·b，再利用公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|2. 求两条异面直线所成的角的步骤(1)根据题设条件在两条异面直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值；(4)由于异面直线所成的角为锐角或直角，因此向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成的角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的大小.九、利用数量积证明两直线垂直1. 由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的非零向量，然后证明这两个向量的数量积为0即可.2. 用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题.2. 3 空间向量基本定理及坐标表示一、共面向量1. 共面向量的概念：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.2. 平面向量基本定理：如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=x e1+y e2.3. 相关结论：在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面.二、空间向量的基本定理1. 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p=x e1+y e2+z e3，此表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=x e1+y e2+z e3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'.2. 我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量，(x，y，z)称为向量p=x e1+y e2+z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标.三、空间向量的直角坐标表示1. 标准正交基：空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基.2. 向量的坐标：空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p=x i+y j+z k，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p=(x，y，z).3. 与向量坐标有关的结论：一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标.四、空间向量运算的坐标表示1. 空间向量的坐标运算法则设a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).设a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).四、拓展1. 四点共面的充要条件空间中任一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)，使MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，或对空间中任一点O ，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x-y)·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ).2. 定比分点坐标公式已知A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)两点，点M 在直线AB 上，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R 且λ≠-1)则称点M 为有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的定比分点，其坐标为(x 1+λx 21+λ，y 1+λy 21+λ，z 1+λz 21+λ). 五、利用基向量解决几何问题1. 用基向量表示向量的步骤(1)定基向量：若未给定基向量，则应根据已知条件，确定三个不共面的向量作为空间的基向量.(2)找目标：用已给定或确定好的基向量表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量及向量的相关运算进行变形、化简.(3)下结论：将变形、化简后的目标向量进行整理，得到最终结果. 注意此结果中只能含有基向量，不能含有其他形式的向量.六、空间向量平行与垂直的坐标表示的应用1. 利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的. 求解此类问题要抓住两个核心关系式：(1) a∥b (a ≠0)⇔x 2=λx 1，y 2=λy 1，z 2=λz 1，λ∈R；(2) a⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0. 其中，a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).2. 由平行、垂直求参数的值利用平行、垂直关系和上述的两个核心关系式列出方程，即可求出参数的值.3. 利用空间向量的坐标运算证明线线平行或垂直(1)在两直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)利用向量的坐标运算判断两向量的平行或垂直关系；(3)若两向量平行，且两直线不重合，则两直线平行；若两向量垂直，则两直线垂直.七、利用空间向量的坐标运算求夹角和线段的长1. 利用空间向量的坐标运算求夹角和线段长的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用题设条件写出相关点的坐标，进而得相关向量的坐标；(3)利用空间向量的模长公式与夹角公式求解.2. 4 空间向量在立体几何中的应用2. 4. 1 空间直线的方向向量和平面的法向量2. 4. 2 空间线面位置关系的判定一、空间直线的方向向量和平面的法向量1. 位置向量：在空间中，取一定点O 作为原点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示， OP⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量. 2. 直线的方向向量：一般地，如果非零向量v 与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量.由此可知，在直线l 上任取两点A ，B ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (或BA⃗⃗⃗⃗⃗ )就是直线l 的方向向量. 3. 平面的法向量：如果非零向量n 所在直线与平面α垂直，则称n 为平面α的法向量.二、空间线面位置关系的判定1. 设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1=(x 1，y 1，z 1)，v 2=(x 2，y 2，z 2)，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1=(a 1，b 1，c 1)，n 2=(a 2，b 2，c 2)，则三、三垂线定理及其逆定理1. 点在平面内的射影：过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影.2. 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直. 可简记为：垂直于射影，则垂直于斜线.3. 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 可简记为：垂直于斜线，则垂直于射影.四、利用空间向量证明垂直关系1. 利用向量法证明线线垂直的两种思路(1)坐标法：建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示出来，再证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的线性运算，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，再利用数量积运算证明两方向向量的数量积为0.2. 利用向量法证明线面垂直的两种思路(1)求平面的法向量，然后证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(2)证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直，线线垂直则利用向量法证得.3. 利用向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明一个平面过另一个平面的垂线，其实质是转化为利用向量法证明线线垂直.(2)证明两个平面的法向量互相垂直.五、利用空间向量证明平行关系1. 利用向量法证明线线平行的两种思路(1)建立空间直角坐标系，利用向量平行的坐标表示证明两直线的方向向量平行.(2)用空间的一组基表示两直线的方向向量，通过向量的线性运算，结合向量共线的充要条件证明两直线的方向向量平行.2. 利用向量法证明线面平行的三种思路(1)设平面α外的直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，要证明l∥α，只需证明v⊥n，即v·n=0即可.(2)根据线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，证明线线平行则可转化为证明两直线的方向向量平行.(3)根据平面向量基本定理，要证线面平行，则只需证明这条直线的方向向量能够用平面内的两个不共线的向量线性表示即可.3. 利用向量法证明面面平行的两种思路(1)先分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行.(2)证明一个平面内有两个不共线的向量平行于另一个平面，转化为线面平行问题.六、利用空间向量解决立体几何中的探索性问题1. 解决探索性问题的基本方法(1)对于存在型问题，应先假设存在，把要成立的结论当作已知条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“是否有解”或“是否有规定范围内的解”的问题.(2)对于位置探究型问题，通常是借助向量，引入参数，综合已知条件和结论列方程或方程组，解出参数，从而确定位置.2. 4. 3 向量与夹角 2. 4. 4 向量与距离一、向量与夹角(1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平面所成的角. 两个平面平行时，它们所成的角为0.二、向量与距离三、利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角时，要注意空间角的范围与向量夹角的范围的区别.1. 两异面直线所成角的向量求法(1)基向量法：在一些不容易建立空间直角坐标系的题中，我们经常用基向量法求解. 求向量v1，v2的夹角时，先把v1，v2用同一组基向量表示出来，再利用向量的夹角公式求解.(2)坐标法：找出或作两条异面直线的方向向量，再利用向量夹角的坐标公式计算两直线的方向向量的夹角.2. 直线与平面所成角的向量求法法向量法：利用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面所成的角.3. 求二面角的两种方法(1)基向量法：在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，利用向量的线性运算法则对两条直线的方向向量进行转化，求出两方向向量的夹角，进而求得二面角的大小.(2)法向量法：找出或作两个半平面的法向量，应用向量的夹角公式求解.四、利用空间向量求空间距离1. 用向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，过已知点作直线的垂线段，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法.(2)直接套用点线距公式求解.2. 用向量法求点面距的步骤(1)求出平面的一个法向量；(2)找出从已知点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离.3. 用向量法求线线距、线面距、面面距(1)求线面距、面面距都可转化为求点面距，求两直线间的距离可转化为求一条直线上任一点到另一条直线的距离；(2)求线线距、线面距、面面距的前提分别是线线、线面、面面平行.五、利用空间向理解决与夹角、距离有关的探索性问题1. 利用空间向量解决与夹角、距离有关的探索性问题的解题步骤(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标；(3)得到有关向量的坐标；(4)利用空间角、空间距离的计算公式列关系式求解；(5)根据解的情况做出判断.。

空间向量与立体几何第四节用向量讨论垂直与平行(精讲精练)

z
O1 A1 B1 C1
O A
C E B F
y
x
即
2 y 2z 0 2 例 1. 证：如图，建立空间直角坐标系 A－xyz，设 AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵ E 为 AB 的中点，F 为 PC 的中点∴ E (a, 0, 0)， 2 x 2 y 2z 0 → → → →1 →→ → → F (a, b, c)(1)∵ EF ＝(0, b, c)， AP ＝(0, 0, 2c)， AD ＝(0, 2b, 0)∴ EF ＝ ( AP ＋ AD ) ∴ EF 与 AP 、 2 2 2
10. 如图，在四棱锥 O
ABCD中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ底面 O
ABC
ABCD 四边长
为 1 的菱形，

4
,
M
（A） 5
（B）
5 3 （C）
10
（D）
10 3
OA 底面ABCD , OA 2 , M
OA 的中点， N
为 BC 的中点；
为
A B N C
D
2．已知 a、b、c 是空间三非零向量，若︱a－b－c︱＝︱a ︱＋︱b︱＋︱c︱,则在下列各结论中，正确的结论为（（A）a、b、c 同向（B）a 与 b 同向（D）a 与－(b+c)反向）
5 设 M、 N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点， DE⊥AB 于 E(如图)．现将△ADE 沿 DE 折起，使二面角 A－ DE－B 为 45° ，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、N 的连线与

高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一课件北师大版选修2_132

√A.(1，2，3)
C.(2，1，3)
B.(1，3，2) D.(3，2，1)
答案解析
因为A→B＝(2，4，6)，所以与A→B共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量.
12345
2.已知直线l1的方向向量为a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量为b＝(－ 4，x，y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是答案解析
第二章空间向量与立体几何
§4 用向量讨论垂直与平行(一)
学习目标
1.会用待定系数法求平面的法向量. 2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
内容索引Biblioteka 问题导学题型探究当堂训练
问题导学
知识点一空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
由直线方向向量的定义知，若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？答案
可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.
√ C.(－2，－3，1) D.(－2，3，－1)
能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3，1)共线，(－2，3，－1) ＝－μ.
12345
4.若直线 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m，1)，平面 α 的法向量为1，12，2，
则 m 为答案解析
A.－4
B.－6
√C.－8

用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系

用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知学习目标：1．理解直线的方向向量与平面的法向量.2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。

重点：空间向量共线与垂直的充要条件；空间向量的运算及其坐标表示；用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。

难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.学习策略：直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置，因此用向量讨论立体几何中的平行和垂直问题，关键就是利用直线的方向向量和平面的法向量，讨论这些向量之间的平行垂直关系，从而得出空间直线、平面间的平行垂直关系。

对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．知识要点梳理知识点一：基本定理线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行。

线面垂直判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。

面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

知识点二：空间向量平行和垂直的充要条件若，，则①，，②知识点三：直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量：若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。

2．平面的法向量：如果直线垂直于平面,那么直线的方向向量就叫做平面的法向量；设平面的法向量为，A、P为平面内任意两点，则。

知识点四：用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系.设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则：①线线平行：或与重合即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

高中数学《空间向量与立体几何》教材介绍

2. 在平面向量学习的基础上，进一步理解向量是一个几何研究的对象，借助于向量可以表示点、直线和平面，理解空间向量运算的几 3. 在教学中，帮助学生理解向量是连接代数与几何的一座桥梁，提高把空间几何问题转化为向量问题的能力.
4. 培养学生空间想象能力应贯穿在这一部分教学的自始至终.帮助学生养成画图的习惯，通过图形探索解决问题的思路.
1. 重点： (1)空间向量和空间向量运算的几何意义； (2)运用向量思想解决几何问题； (3)培养学生的空间想象能力.
三、重点、难点分析的建议
2. 难点： (1)把空间的几何问题转化为空间向量问题； (2)培养学生的空间想象能力.
四、教学中需要注意的问题
1. 在平面向量学习的基础上，进一步理解向量是一个代数研究的对象，理解向量中蕴涵的丰富运算.
二、教材编写特色
6. 在教材的编写中，明确地把几何问题归为两类：位置关系问题和度量关系问题.在讨论位置关系时，完整地证明了“标准”中（包括必修2）要求的判定定理和性质定理，揭示了用向量证明几何问题的特点.在讨论度量关系问题时，不仅给出了计算公式，而且给出了算法框图.
三、重点、难点分析的建议
普通高中课程标准实验教科书
空间向量与立体几何
高中数学课程标准北师大（版）教材编写组
一、教材编写的基本结构
1. 知识结构
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录
§1 从平面向量到空间向量 §2 空间向量的运算 §3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2空间向量基本定理 3.3空间向量运算的坐标表示
四、教学中需要注意的问题
5. 在解决度量关系的问题中，重要的是帮助学生理解算理、建立解决问题的算法框图，提高逻辑推理能力，而不是仅仅记忆公式.

高中数学第二章空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修21

探究二
探究三
思维辨析
利用向量方法证明空间中的平行关系
【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为
BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
思维点拨:画出示意图后用常规的方法也能将问题得以解决,但
不如用向量法处理直接简单,因此本题可以通过建立空间直角坐标
∴=(1,-2,-4), =(2,-4,-3).设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z),依题
-2-4 = 0,
解得 z=0,且 x=2y.令
2-4-3 = 0,
y=1,则 x=2.故 n=(2,1,0)是平面 α 的一个法向量.
意,应有 n·=0,且 n· =0,即
探究一
一
二
三
思考辨析
一、空间中的垂直关系
1.线面垂直判定定理
若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平
面垂直.
2.面面垂直判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直.
3.三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投
影,则这两条直线垂直.
4.三垂线定理的逆定理
设平面HMN的法向量为n=(x2,y2,z2),
则 n· =(x2,y2,z2)·(0,-1,1)=-y2+z2=0,
n·=(x2,y2,z2)·(1,1,0)=x2+y2=0,
从而得x2=-y2=-z2,设x2=-1,则n=(-1,1,1),
∴m∥n,∴平面EFG∥平面HMN.
探究一
探究二
∴ =(0,-1,1),=(1,1,0),

空间向量巧解平行、垂直关系

高中数学空间向量巧解平行、垂直关系编稿教师X咏霞一校黄楠二校杨雪审核X建彬一、考点突破知识点课标要求题型说明空间向量巧解平行、垂直关系1. 能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。

2. 理解直线的方向向量与平面的法向量。

3. 能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用。

选择题填空题解答题注意用向量方法解决平行和垂直问题中坐标系的建立以及法向量的求法。

二、重难点提示重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。

难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。

考点一：直线的方向向量与平面的法向量1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。

2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。

【核心归纳】①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。

②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。

【随堂练习】A〔1，1，0〕，B〔1，0，1〕，C〔0，1，1〕，那么平面ABC的一个法向量的单位向量是〔〕A. 〔1，1，1〕B. (,,)333C.111(,,)333D. (,333-思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。

答案：设平面ABC的一个法向量为n＝〔x，y，z〕，AB＝〔0，－1，1〕，BC＝〔－1，1，0〕，AC＝〔－1，0，1〕，那么·0·0·0AB y zBC x yAC x z⎧=-+=⎪⎪=-+=⎨⎪=-+=⎪⎩nnn，∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确。

技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：〔1〕设出平面的法向量为n＝〔x，y，z〕。

〔2〕找出〔求出〕平面内的两个不共线的向量a＝〔a1，b1，c1〕，b＝〔a2，b2，c2〕。