山东省文登市2014届高三第三次统考 数学理 含答案

文登市2014届高三第三次统考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效. 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U R =，集合{||1|1},A x x =-≤{|2,1},xB x y y ==>则()U AC B =A.∅B.{0}C.{|02}x x ≤≤D. {|2}x x ≤2.袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为A.23144812161040C C C C C B.21344812161040C C C C C C.12344812161040C C C C C D.13424812161040C C C C C3.—空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为4.已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ.则“(22)0.9P ξ-≤≤=”是“(2)0.04P ξ>>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.按照如图的程序运行，已知输入x 的值为21log 3+，则输出y 的值为 A.112 B.712 C.1124 D.386.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生 参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的4x ≥否是结束输入x1x x =+1()2x y =开始茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是86， 乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 A.9 B.10 C.11 D.137.在ABC ∆中，角,A B 均为锐角，且cos sin A B <， 则ABC ∆的形状是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能判断8.设二元一次不等式组219080,2140x y x y x y +->⎧⎪-+>⎨⎪+-<⎩，所表示的平面区域为M ，使函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过区域M 的a 的取值范围是A.[2,9]B.(2,9)C.[2,10]D.(2,10) 9.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为36π，则p =A.2B.4C.6D.8 10.函数12y x =-的图像与函数sin (48)2y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A.16 B.12 C.8 D.4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11.已知复数z 满足(33)3i z i +=，则z 的虚部＝ . 12.设函数11()3x x af x ++--=, 则使()3f x ≥恒成立的a 的取值范围为 .13.已知nx )21(-展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则)1()21(x x n+-展开式中含2x 项的系数= .14.如图矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中,,,A B C D 都在矩形的边上，若向量 BD xAE y AF =-,则2x y -= .15.已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈满足)()()(a bf b af b a f +=⋅，)(2)2(),()2(,2)2(**∈=∈==N n f b N n n f a f n n n n n ， 考查下列结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}nb为等差数列.其中正确的是_________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）将函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图象向右平移4π后得到()g x 图象，已知()g x 的部分图象如右图所示，该图象与y轴相交于点(0,1)F ，与x 轴相交于点B 、C ，点M为最高点，且2MBC S π∆=．（Ⅰ）求函数()g x 的解析式，并判断5(,0)6π-是否是()g x 的一个对称中心； （Ⅱ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C的对边，()1g A =,且5a =，求ABC S ∆的最大值．17．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,,2n S a =且满足1241()n n S S n N *+=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当1i n ≤≤，1j n ≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和.18．（本题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.//,,AB CD AB BC⊥222,AB CD BC EA EB ===⊥.（Ⅰ）求直线EC 与平面ABE 所成角的正切值；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使//EC 平面FBD ？存在请确定具体位置，不存在说明理由.yx19．（本题满分12分）现有正整数1,2,3,4,5n ，…，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步．（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求E ξ和D ξ； （Ⅱ）求质点恰好到达正整数6的概率．20.(本小题满分13分）已知圆227:(2)3M x y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为圆M的圆心，左焦点与双曲线221x y -=的左顶点重合. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与椭圆C 分别交于两点,A B ，与圆M 分别交于两点,G H （其中点G 在线段AB 上）且||||AG BH =，求k 的值.21．(本题满分14分)设3x =是函数()()()23,xf x x ax b ex R -=++∈的一个极值点.（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()2250,4x a g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭，若存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，求实数a 的取值范围.201404理科数学 参考答案及评分标准17解：（Ⅰ）∵11241(),241(2,)n n n n S S n N S S n n N **+-=+∈∴=+≥∈， 1分两式相减得112,2(2,)n n n na a a n n N a *++=∴=≥∈， 2分 由21241S S =+得1212()41a a a +=+，又21211,1,22a a a a =∴==. 3分 ∴ 数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列， ∴ 22n n a -= . 5分（Ⅱ）由i a 和j a 的所有可能乘积42i j i j a a +-⋅=（1i n ≤≤，1j n ≤≤） 6分可构成下表11412413414214224234243143243343414243442,2,2,,22,2,2,,22,2,2,,22,2,2,,2n n n n n n n n +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-8分设上表第一行的和为1T ，则11(12)14(21)124n n T -==-- 10分于是21(122n T T =+++…＋12)n -＝112(21)412n n --=- 21(21)4n - 12分的一个法向量，则必需使EC ⊥n. (0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,0)E C B D -- 则(1,1,1),(1,1,0)EC BD =--=,设(0,,1)F a a -(1,,1)DF a a =-- ，00n DF n BD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩得(1)00x ya z a x y -++-=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1(1,1,)1a n a +=-- .要使EC ⊥n ，则有11110,13a a a +++=∴=-.此时12111(0,,),(0,,),(0,1,1),33333F EF EA EF EA =-=-∴=所以，线段EA 上存在点F ，且是靠近点E 的一个三等分点.(说明：第二问用几何法更简单) 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）ξ的可能取值为3,4,5 …………………1分224=3==339P ξ⨯（）111(5)339P ξ==⨯= ………………4分ξ的分布列为ξ 3 4 5 p49 4919441113459993E ξ=⨯+⨯+⨯=2224114111114(3)(4)(5)9393939D ξ=-+-+-= ………………7分（Ⅱ）质点恰好到达6有三种情形 ①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4，概率512323243P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；…………8分②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4,概率为312421323381P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭；…………9分③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4，概率2233122339P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ………………10分所以32322182243819243P =++=即质点恰好到达正整数6的概率为182243． ………………12分20解：（Ⅰ）由题意，圆心(2,0)M ,双曲线的左顶点(1,0)-， 1分所以2,1,1a c b ===，椭圆方程为：22:12x C y += 3分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由直线l 与椭圆相较于两点,A B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩12214(4)339P C ξ==⨯=所以22(12)20k x +-=，则1212220,12x x x x k +==-+， 5分所以222288(1)||(1)1212k AB k k k+=+=++ 7分 点(2,0)M 到直线l 的距离2|2|1k d k=+，则222272||2231k GH r d k=-=-+ 9分 显然，若点H 也在线段AB 上，则由于对称性知，直线y kx =就是y 轴，矛盾. 因为||||AG BH =,所以||||AB GH =, 10分即22228(1)724()1231k k k k+=-++整理得424310k k --= 12分 解得21k =即1k =± 13分21． (本题满分14分)解：（Ⅰ）∵()()23xf x x ax b e-=++∴()()()()''32321x x fx x a e x ax b e --=++++-()232xx a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 2分由题意得：()'30f=，即()23320a b a +-+-=，23b a =-- 3分∴()()2323xf x x ax a e -=+--且()()()'331x fx x x a e -=--++令()'0fx =得13x =，21x a =--∵3x =是函数()()()23,xf x x ax b ex R -=++∈的一个极值点∴12x x ≠，即4a ≠-故a 与b 的关系式()23,4b a a =--≠- 5分 （1）当4a <-时，213x a =-->，由()'0f x >得单增区间为：()3,1a --；由()'0fx <得单减区间为：(),3-∞、()1,a --+∞；（2）当4a >-时，213x a =--<，由()'0fx >得单增区间为：()1,3a --；由()'0fx <得单减区间为：(),1a -∞--、()3,+∞； 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，()()(){}()3min min 0,423f x f f a e ==-+，()()max 36f x f a ==+。