必修四平面向量应用举例导学案

2.5平面向量应用举例

课前预习学案

预习目标

预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

预习内容

阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问

题、物理问题。另外，在思考一下几个问题:

1.例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗?

2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么?

3.例3中，（1）9为何值时，I F i|最小，最小值是多少? ⑵|F i|能等

于I G吗？为什么？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习内容

1.运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决

平面几何和解析

几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.

2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.

二、学习过程

探究一：(1)向量运算与几何中的结论"若l = b，则商前，且a,b所在直线平行或重合"相类比，你有什么体会？

(2)举出几个具有线性运算的几何实例.

例1.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条

边的平方和.

已知：平行四边形ABCD

求证：AC2 +BD2 =AB2 +BC2 +CD2+ DA2.

试用几何方法解决这个问题

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？

(1)建立平面几何与向量的联系，

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

(3)把运算结果“翻译”成几何关系。

变式训练：MBC中,D 占、F分别是AB、BC、CA的中点, BF与CD交于

点0,设A^a,A^=b.

（1）证学呻A、0、E三点共线；

（2）用a,b.表示向量A0。

例2,如图，平行四边形ABC呼，点E、F分别是AD

c DC边的

中点，BE BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR RT

TC之间的关系吗？

探究二：两个人提一个旅行包，夹角越大越费力.在单杠上做引体向上

运动，两臂夹角越小越省力.这些力的问题是怎么回事？

%、

例3.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个

旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角

越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？

G

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题:

⑴8为何值时，|F i|最小，最小值是多少？

⑵|F i|能等于|G吗？为什么？

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽

度d=500m, —艘船从A处出发到河对岸.已

V 知船的速度M|=10km/h，水流的速度

|v2|=2km/h,问行驶航程最短时，所用的时间

是多少（精确到

0.1min）？

变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它

们的位移分别为

S A =(4,3),S B =(2,1O)，( 1)写出此时粒子B相对粒子A的位移S；⑵ 计算S在S A方向上的投影。

反思总结

结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几

何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握

向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。

四、当堂检测

1.已知MBC中，a =2,b =3,C =60°，求边长C。

2.在平行四边形ABC［中，已知AD=1 AB=2对角线BD=2求对

角线AC的长。

3.在平面上的三个力F i,F2,F3作用于一点且处于平衡状态,

T N，F1与F2的夹角为450，求：（1）F3的大小；（2）F i

F i =1N, F2

与F3夹角的大小。

选择题

1.给出下面四个结论:

① 若线段AC 二AB+BC ，则向量TC

; ② 若向量AC +BC ，贝y 线段AC 二AB+BC ;

③ 若向量痛与BC 共线，则线段AC 二AB+BC;

④ 若向量强与BC 反向共线，则

其中正确的结论有

2•河水的流速为2叹，一艘小船想以垂直于河岸方向 10叹的 速度驶向对岸，则小

船的静止速度大小为

（） B. ^26 m S C. 4/6 m S D.12m S

若(CA + CB) .(CA-CB)二0,贝J AABC 为(

) 二、填空题 4.已知也ABC 两边的向量AB=e,,AC=e 2，贝J BC 边上的中线向量 课后练习与提咼

AB + BC = AB + BC . A. 0个

B.1个

C.2个

D.3个 A.10 叹 3.在 MBC 中, A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.无法确定

AM用e、e2表示为

5.已知OR +0P2 +OP3 =0,OR + OR + OR =1，贝J OR、OF2、OR 两两夹角是