17.1.2勾股定理
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
人教8年级下册数学17.1.2勾股定理的实际应用
第1节 勾股定理 第2课时 勾股定理的实际应用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点 1 求实际中长(高)度的应用
1．建立实际问题的数学模型时，关键是画出符合题意 的图形，把实际问题转化为几何中的直角三角形问 题，运用__勾__股____定理求解．
返回
2．如图，在校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高13 m， 另一棵树高8 m，一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟 至少要飞___1_3____m.
返回
方程思想 14．如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一
只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只 猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路 线为直线)．如果两只猴子所经过的路 程相等，求这棵树的高．
解： 设BD＝x m，由题意知BC＋AC＝BD＋AD， ∴AD＝(30－x)m. ∴(10＋x)2＋202＝(30－x)2， 解得x＝5，∴x＋10＝15. 答：这棵树的高为15 m.
点拨 返回
【思路点拨】 通过设未知数，根据两只猴子经过的路程相等表示 出AD的长度，再利用勾股定理列方程求解．
返回
(2)当把该隧道改为双向二车道时， 4÷2＝2(m)<3.2 m， 所以这时这辆卡车不能通过这条隧道．
返回
题型 2 勾股定理在求圆柱上两点最短距离中的应用
12．为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆柱形灯 罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示． 已知圆柱的高为108 cm，其横截面周长为 36 cm，如果在侧面上均匀缠绕油纸4圈， 应裁剪多长的油纸？
人教版数学八年级下册17.1第2课时《勾股定理的应用》说课稿
人教版数学八年级下册17.1第2课时《勾股定理的应用》说课稿一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版数学八年级下册17.1第2课时的一节内容。
本节课主要让学生掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，引导学生探究直角三角形三边的关系，从而得出勾股定理。
学生通过前面的学习，已经掌握了勾股定理的证明，本节课则是将勾股定理应用到实际问题中，进一步巩固学生的数学思维和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对勾股定理有了初步的认识。
但是，他们在解决实际问题时，可能会因为不能准确地找出直角三角形中的直角边和斜边而感到困惑。
因此，在教学过程中，我将会引导学生正确地找出直角三角形中的直角边和斜边，并通过实际问题，让学生理解并掌握勾股定理的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解勾股定理的含义，并能运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考，培养数形结合的思维方式，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生体验到数学与生活的紧密联系，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够运用勾股定理解决实际问题。
2.教学难点：学生能够准确地找出直角三角形中的直角边和斜边，并运用勾股定理进行计算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过讲述毕达哥拉斯的故事，引导学生回顾勾股定理的证明过程，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍勾股定理的应用，让学生尝试解决实际问题。
3.案例分析：分析一组实际问题，引导学生找出直角三角形中的直角边和斜边，并运用勾股定理进行计算。
4.小组讨论：学生分组讨论，交流解题心得，互相学习，共同提高。
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用4
B1
B
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
A
10
B2
8
6
变式训练
1.小明拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了
点儿食物，你能算出小蚂蚁吃到食物的最短路程么？
B
前面 8cm
A 长10
例2 在一个圆柱石凳上，若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm.若小 明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信 息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？(π取3)
蚂蚁A→B的路线
B
A' d B A'
B
OB
B
A
A
A
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
A
A
立体图形中的最短路径 2
C B
A
AC+CB >AB(两点之间线段最短)
直线同侧两点之间路径最短
如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完 成这件事情所走的最短路程是多少？
解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′， 连接A′B则A′B就是最短路线长. 由题意得 A′C=4+4+7=15(km)，
②求法： 以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运
用勾股定理求最短路径.
立体图形中的最短路径 1
例1 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于55cm,10cm和
6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去
人教版初中数学第十七章知识点总结
第十七章勾股定理
17.1勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长分别为b a 、，斜边长为c ，那么2
22c b a =+.2
22b c a -=2
22a c b -=2
2b a c +=2
2b c a -=2
2a c b -=2.勾股定理的作用
（1）已知直角三角形两边的长，可求第三边；
（2）已知直角三角形的一条边，可求另两边的关系式；
（3）用于证明平方关系问题；
（4）可以作出长为n （n 为正整数）的线段；
3.含有30°角的直角三角形长直角边是短直角边的3倍。
4.等腰直角三角形斜边长是直角边长2的倍。
17.2勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
2.互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
3.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。
这两个定理叫做互逆定理。
17.1.2勾股定理
3.15 1.77___ . OD __________ __________
D
0.77 m 梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.
教科书P26
教科书P26
2.在平面直角坐标系中，有两点A（5，0）和B （0，4），求这两点间的距离。
y
5 4 3
2 B
1
0 1 2 3 4
G
F
B
课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
24 4.8 ABC面积为_____,斜边上的高为______.
三、已知： c ＝13，a＝5， 求阴影部分面积 a
如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D B 解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线， ∴AE=BE 设AE=xcm，则EC=(10－x)cm 在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
A E
C
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－x)2 解得x=6.8 ∴EC=10－6.8=3.2cm
8m
C
B
2m 8m
一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底 面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口 外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？ A
12cm
B
R=2.5cm
C
试一试：
在我国古代数学著作《九 章算术》中记载了一道有趣的 问题，这个问题的意思是：有 一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方形，在水池的中央 有一根新生的芦苇，它高出水 面1尺，如果把这根芦苇垂直拉 向岸边，它的顶端恰好到达岸 边的水面，请问这个水池的深 度和这根芦苇的长度各是多少？
17.1 第2课时 勾股定理的应用
第17章勾股定理17．1勾股定理第2课时勾股定理的应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】勾股定理在实际问题中的应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米.6秒后，B′C＝13－0.5×6＝10米，则AB′＝B′C2－AC2＝53(米)，所以船向岸边移动的距离为(12－53)米．方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解．【类型二】利用勾股定理解决方位角问题如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100km，∴AC＝AB2＋BC2＝（1003）2＋1002＝200(km)，∴A、C两点之间的距离为200km.方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．【类型三】利用勾股定理解决立体图形最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分两种情况比较最短距离：如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝102＋（20＋5）2＝529(cm)，如图②所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型四】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5B．2C．2.25D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2. 在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型五】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2. 设AD＝x m，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，设AD＝x m.∵两猴子所经过的路程都是15m，则10＋BC＝x＋AC＝15.∴ BC＝5，AC＝15－x，AB＝x＋10.又∵在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2米．∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)．答：树高AB为12米．方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．探究点二：勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1 B ．－5＋1 C.5－1 D. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是 5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的位置，再根据A 的位置来确定a 的值．➢ 练习1 如图，有两棵树，一棵高10m ，另一棵高4m ，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A.8mB.10mC.12mD.14m【解析】如图，设大树高为AB ＝10m ，小树高为CD ＝4m ，过C 点作CE ⊥AB 于E ，四边形EBDC 是长方形，连接AC ，⊥EB ＝4m ，EC ＝8m ，AE ＝AB －EB ＝6 m ，在Rt⊥AEC 中，m 1022=+=EC AE AC . 故选B.➢ 练习2 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1m 处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB ＝2m ，则树高为( ) A.5m B.3m C.(5+1)m D.3m【解析】在Rt △ABC 中，AC=1m ，AB=2m ，由勾股定理，得m 522=+=EC AE BC ;∴树的高度为AC+BC=(5+1)m. 故选C.➢ 练习3 如图，图中有一长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.41cmB.34cmC.25cmD.35cm【解析】如图，连接BC ，BD ，在Rt △ABC 中，AB=5cm ，AC=4cm ，根据勾股定理，m 25222=++=CD AC AB 体对角线. 故选C.➢ 练习4 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB于B ，已知DA ＝15km ，CB ＝10km ，现在要在铁路AB 附近建一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处?【解析】设AE ＝x km ，则AE ＝(25－x ) km ，因为C ，D 两村到E 站的距离相等，所以DE ＝CE ，即DE 2＝CE 2，由勾股定理，得152+x 2＝102+(25－x )2，解得x ＝10.故E 点应建在距A 站10km 处.➢ 练习5 如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P是母线BC 上一点且PC=32BC. 一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+π64cm B.5 cm C.53cm D.7 cm【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离为线段AP 的长. 在Rt⊥ACP 中，AC=621⨯=3(cm)，PC=32BC=4cm ，所以AP=√32+42=5(cm). 故选B.【归纳整合】应用勾股定理解决实际问题(1) 解决两点间距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边,利用勾股定理求第三边.(2) 解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程思想解题.(3) 解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.(4) 解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.三、板书设计1．勾股定理的应用方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想．2．勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者．。
17.1.2勾股定理(教案)
-在证明勾股定理时，学生可能会对如示、动画等多种方式，逐步引导学生理解证明过程中的每一步。
-在解决实际问题时，学生可能会因为题目中没有直接给出直角三角形的直角边和斜边而感到困惑。教师需要教授学生如何识别隐藏的直角三角形，并运用勾股定理。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用纸片制作直角三角形，验证勾股定理。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生发言不够积极，可能是他们对自己的观点不够自信。针对这个问题，我会鼓励学生们大胆表达自己的想法，培养他们的自信心。同时，也要关注那些默默无闻的学生，给他们更多的关注和鼓励。
最后，总结回顾环节，我觉得自己的表达可能还不够精炼，有些地方可以进一步简化。在今后的教学中，我要尽量用简练的语言进行总结，帮助学生更好地巩固所学知识。
-设计实际情景题目，如测量距离、计算建筑物高度等，让学生练习使用勾股定理进行计算。
-引导学生通过拼图、折叠等实际操作，体验勾股定理的证明过程，加深对定理的理解。
2.教学难点
-理解勾股定理的逻辑推理过程，特别是对于证明方法的理解。
-在实际问题中识别并运用勾股定理，特别是在非标准直角三角形的情况下。
-理解勾股定理在不同情境下的变式和拓展。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了勾股定理，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出与日常生活相关的问题来激发学生的兴趣，这是一个好的开始。但在实际操作中，我发现有些学生对这个问题并没有太大的反应。我意识到，可能是因为问题设置得不够具体或者不够贴近他们的生活实际。在今后的教学中，我需要更加关注问题的设计，让它更具针对性和吸引力。
人教版八年级下册17.1.2勾股定理教学设计
3.教师巡回指导，解答学生在练习过程中遇到的问题，帮助学生突破难点。
（五）总结归纳，500字
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结勾股定理的关键点和应用方法。
2.学生分享学习心得，交流在解决问题过程中遇到的困难和解决办法。
3.教师强调勾股定理在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
4.布置课后作业，要求学生结合勾股定理，解决生活中的实际问题，将所学知识内化为自己的能力。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.基础作业：
（1）完成课本第17.1.2节后的练习题1、2、3。
（2）根据勾股定理，自行设计一个直角三角形的实际情景问题，并求解。
3.家长要关注孩子的作业完成情况，鼓励孩子遇到问题时主动寻求帮助，培养良好的学习习惯。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，给予针对性的指导和评价。
2.提问学生：“你们在生活中见过直角三角形吗？直角三角形有什么特殊之处？”让学生思考并回答，为新课的学习做好铺垫。
3.引导学生回顾直角三角形的基本概念和性质，为勾股定理的学习打下基础。
（二）讲授新知，500字
1.教师通过PPT展示直角三角形的图形，引导学生观察并思考：“在一个直角三角形中，斜边与两个直角边之间有什么关系？”
4.小组合作，交流分享
将学生分成小组，让他们相互讨论、交流勾股定理的发现和应用过程，培养学生的团队协作能力和表达能力。
5.拓展延伸，提高能力
结合勾股定理，设计一些拓展性问题，让学生运用勾股定理解决更复杂的问题，提高学生的解题能力和思维水平。
人教版数学17.1.2 勾股定理应用16比9
A 169
勾股定理应用
例1 一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
2m
解：在Rt△ABC中，根据勾股定 理，得 AC2=AB2+BC2=12+22=5．
将实AC际=问题5转≈化2为.数24学．问
因为 题5 ，大建于立木几何板模的型宽，画2.出2图m形，，所分 以 木板能析从已门知量框、内待通求量过，．是掌握解
巩固练习
2.如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离 底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米， 你能计算树折断前的高度吗？
能力提高
1．如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸 （单位：mm）,求两孔中心A、B之间的距离．
能力提高
那么梯子底端B也外移0.5米吗？
勾股定理应用
变式:一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为1.5米,当梯子的顶端 A沿墙下滑0.5米时，梯子底端B也外
移0.5米.求梯子的长度.
巩固练习
1. 如图，在平面直角坐标系中有两点A（5,0）和 B（0，4）.求这两点之间的距离.
探究归纳
如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点的坐标 为（x，0），（0，y），你能求这两点之间的距离吗？
下面的式子： a2+b2 =c2 ( × )
2) 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边
长是5.
( ×)
复习回顾
3.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°, B
①若a = 5，b = 12，则c=
；a
②若c = 25，b = 24，则a=
；C
c
bA
4.求图中，字母A所代表的正方形的面积。 144
人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1.2勾股定理应用 利用勾股定理解决平面几何问题》课件_10
1955年希腊发行了一枚纪念邮票，邮票上的图案 就是根据勾股定理设计的。
观察这枚 邮票上的图案 和图案中各正 方形内小方格 的个数，你有 什么发现？
若将小方格的
面积看作1，则以
BC为边的正方形
B
面积是9，以AC为
边的正方形面积是
16.你能计算出以
C
A
AB为边的正方形
面积吗？
“补”
“割”
在方格纸上，任意画一个顶点都在格 点上的直角三角形，并分别以这个直角三 角形的各边为一边向三角形外部作正方形， 利用“割补法”计算你所画的3个正方形的面 积，寻找3个正方形面积之间的数量关系， 并与周围同学交流。
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AD 平 分 ∠ CAB ， DE ⊥ AB 于 E ， 若 AC=6 ， BC=8，CD=3。
（1）求DE的长； （2）求△ADB的面积。
17 8
x
解：
82 x2 172 x2 225 x＞0 x 15
16
x
20
解：
162 x2 202 x2 144 x＞0 x 12
2．求下列图中未知边长x、y、z的值：
81 x 144
144 y
169
z 625 576
解：
81144 x2 x2 225 x＞0 x 15
解：
解：
y2 144 169 z2 576 625
y2 25
Байду номын сангаас2 49
人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1.2勾股定理应用 利用勾股定理解决平面几何问题》课件_18
试
我们用另外一种方法来说明勾股定理
一
c
c
c
试
a
a
a
a
b
b
b
用两种方法表示大正方形的面积:a
bc
a
c b
a b
c
对比两种表示方法,你得到一个怎样的结论?
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为
c，那么
B
a2 b2 c2
ac
C
b
A
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方。
弦 勾
股
习 题 1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积 1.1
81
A 32
60
B 225
A=92
B=144
2、若直角三角形的两条直角边为3和4那么第三条边等于多少？ 5
习
题 3. 求出下列直角三角形中未知边的长度.
1.1
x
6
x
5
13
8
X=10
X=12
4。如图,一根旗杆在离地面9米处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部
我们通常所说的29英寸 (=74厘米)的电视机，是指 其荧屏对角线的长度
582=3364 462=2116
3364 + 2116 = 5480 = (74.027···)2
• 作业：
• 1、教科书77页第一题，78页第三题。
• 2、阅读教科书（79——80）页，阅读 与思考。
• 3、收集有关勾股定理的证明方法，下 课时交流。
多少千米?
C
A
20秒
4千米 B
5千米
解：设飞机每小时飞行X千米。
17.1.2勾股定理(教案)
17.1.2勾股定理教学目标知识与技能1．运用勾股定理进行简单的计算．2．运用勾股定理解决生活中的实际问题．过程与方法通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．情感态度与价值观引导学生进行前后题目对比，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心教学重点难点教学重点 勾股定理的应用教学难点 勾股定理在实际生活中的应用教学过程一、复习勾股定理：在Rt ΔABC 中90C ∠=o Q ， 222c a b ∴=+ （或 222AB BC AC =+ ）二 、 情景设置问题1 一个门框长2m,宽1m 。
木工小王拿了一块长3m,宽2.2m 的薄木板。
那么他能否从门框内通过？为什么？在Rt △ABC 中，根据勾股定理222AB BC AC =+Acb a C B因此，AC ≈2.236(m)因此，AC ＿＿木板的宽，所以木板＿从门框内通过。
问题2如图，长方形零件尺寸如图（单位：mm ）,求两孔中心的距离 教师引导学生分析题目所给条件学生写出解答过程问题3，大风将一根24m 木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。
接警后排障人员迅速赶到现场，并决定从断裂处(离地面9m)将旗杆折断。
现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？ 教师引导学生分析题目所给条件学生写出解答过程问题4 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？教师引导学生分析题意，并在黑板上演示，学生再练习问题 5 根据图形已知S 1=1,S 2=3,S 3=2,S 4=4求出S 7三 、练习1等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿ 。
2在Rt △ABC 中，斜边=2，则AB 2+BC 2+AC 2=＿。
3一个Rt △的三边长的平方和为200，在斜边长为＿。
A B C 409016040134 如右图，一圆柱高8cm,底面半径为5cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是多少？（π取3）四、课堂小结：勾股定理的应用：小结：（1）当直角三角形中有两边已知，直接利用勾股定理求第三边。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
苏桥中学导学案
八年级数学 备课日期： 备课人： 班级 组别 姓名
17.1.2勾股定理
学习目标：了解勾股定理和简单的证明方法 学习过程：
一、复习引入 勾股定理内容：
右图中勾股定理可表示为：
二、自主学习
1.平面直角坐标系中求两点间的距离
已知点A （2，6），B （-4，-2）是平面直角坐标系中的两点，求A ，B 两点间的距离
平面直角坐标系中任意两点间的距离公式：
2.在数轴上表示无理数 如何在数轴上表示2对应的点
3.用勾股定理解决实际问题
已知两棵树之间的距离为8米，两棵树的高度分别为8米和2
米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，飞行的最短距
离是多少？
4.立体图形上距离最短的问题
如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行多少cm ？
B
A B
C
A B D 三、自学检测 1. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。
2. 如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？
3. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直
角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，
C ，
D 的面积之和为_______
4. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长100cm ，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为60cm ，当端点B 向右移动20cm 时，滑杆顶端A 下滑多长？
8km
C A B 6km
A E
B C。